Recorrências - Parte II . 2

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1 Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível Prof Marcelo Mendes Aula Recorrências - Parte II Na aula 3, falamos de uma sequência famosa, a Sequência de Fibonacci, cuja definição é a seguinte: F 1 = F = 1 e, para n 3, F n = F n 1 +F n Essa fórmula é uma recorrência linear de ordem Um de nossos objetivos neste o texto é mostrar que a fórmula explícita para seus termos é ( F n = 1 1+ ) n ( 1 1 ) n Surpreendente, não é mesmo? Imaginar que, substituindo n por 1,, 3, 4,, 6, na fórmula acima, acharemos exatamente os termos 1,1,,3,,8,, e nenhum sobra, é realmente muito belo Em geral, nesta aula, trataremos equações de recorrência lineares que dependem somente dos dois termos anteriores Inicialmente, vamos estudar o caso em que as raízes da equação característica (que definiremos no texto) são distintas 1 Um Exemplo para Organizar as Ideias Vamos resolver a recorrência a 1 = 1,a = 3 e, para n 3, a n = 3a n 1 a n Podemos escrever a n a n 1 = (a n 1 a n ) e, em seguida, multiplicar telescopicamente várias delas a n a n 1 = (a n 1 a n ) a n 1 a n = (a n a n 3 ) : a 3 a = (a a 1 )

2 POT 01 - Álgebra - Nível - Aula - Prof Marcelo Mendes obtendo a n a n 1 = n (a a 1 ) = n 1 Agora, somamos telescopicamente várias dessa última equação a n a n 1 = n 1 a n 1 a n = n : a a 1 = e chegamos a a n a 1 = ++ n + n 1, ou seja, a n = n 1 Observe que, na primeira passagem, para transformar a n = 3a n 1 a n em a n a n 1 = (a n 1 a n ), pedimosemprestado a n 1 paraomembroesquerdo Essaoperação gerou proporção entre os coeficientes dos termos dos dois membros (antes e depois da igualdade), permitiu colocar o fator de proporção em evidência e a diferença que surgiu entre parênteses no membro direito ficou com o mesmo padrão da diferença no membro esquerdo, mas com índices reduzidos Essa será nossa ideia para encontrar o termo geral da Sequência de Fibonacci Como já definimos anteriormente, seus termos são dados por F 1 = F = 1 e, para n 3, F n = F n 1 + F n Na verdade, os cálculos ficam mais interessantes escrevendo F n+1 = F n +F n 1 Seriadifícil pediremprestado umaquantidade inteira desta vez pois há somente F n no membro direito Assim, vamos chamar de λ a quantidade que será passada para o membro esquerdo, ou seja, F n+1 λf n = (1 λ)f n +F n 1 Para repetirmos a ideia bem sucedida do primeiro exemplo, o valor de λ deve cumprir a relação de proporção ou seja, 1 λ = 1 λ, 1 λ λ 1 = 0, a qual chamaremos de equação característica da sequência de Fibonacci Observe desde já que os coeficientes dessa equação são os mesmos da recorrência que define a sequência Sendo λ 1 e λ as raízes, aqui será mais relevante saber que λ 1 +λ = 1 e λ 1 λ = 1 (mas veja que ambas são reais e distintas) do que escrever seus valores pela fórmula de Baskara Agora, substituindo λ por λ 1, obtemos F n+1 λ 1 F n = (1 λ 1 )F n +F n 1,

3 POT 01 - Álgebra - Nível - Aula - Prof Marcelo Mendes ou seja, F n+1 λ 1 F n = λ (F n λ 1 F n 1 ) Assim, deixamos a equação pronta para escrevê-la várias vezes e fazer o produto telescópico cujo resultado será F n+1 λ 1 F n = λ (F n λ 1 F n 1 ) F n λ 1 F n 1 = λ (F n 1 λ 1 F n ) : F 3 λ 1 F = λ (F λ 1 F 1 ), F n+1 λ 1 F n = λ n 1 (F λ 1 F 1 ) = λ n 1 (1 λ 1 ) = λ n Analogamente, substituindo λ por λ, temos F n+1 λ F n = λ n 1 A diferença entre esses últimos resultados gera e, portanto, (λ 1 λ )F n = λ n 1 λn F n = λn 1 λn λ 1 λ lembrando queλ 1 λ Substituindoos valores deλ 1 e λ, chegamos ao resultado desejado ( F n = 1 1+ ) n ( 1 1 ) n Mas há um pequeno problema Esse método é bastante trabalhoso A boa notícia é que podemos deixá-lo como uma quase demonstração e realizar, na prática, os seguintes passos: 1 o passo: Escreva a equação característica Basta copiar os mesmos coeficientes da equação de recorrência Em seguida, calcule as raízes dessa equação o passo: Escreva o termo geral da recorrência O termo geral é dado por F n = Aλ n 1 +Bλn 1 (essa fórmula pode ser encontrada refazendo os cálculos paraarecorrência mais geralmente, ouseja, com aequação x n = ax n 1 +bx n ) 3

4 POT 01 - Álgebra - Nível - Aula - Prof Marcelo Mendes As constantes A e B são dadas pelos valores dos termos iniciais É interessante, para reduzir as contas, calcular o termo de ordem 0, que, no caso da sequência de Fibonacci, é F 0 = 0 Vejamos como seria, então, a resolução na prática para encontrar o termo geral da sequência de Fibonacci Passo 1 Equação característica DeF n F n 1 F n = 0, obtemosλ λ 1 = 0, cujasraízessãoλ 1 = 1+ eλ = 1 Passo Termos geral F n = Aλ n 1 +Bλn 1 Com os valores 0 e 1 para n, obtemos 0 = A+B cuja solução é A = B = 1 1 = Aλ 1 +Bλ Portanto, ( F n = 1 1+ ) n ( 1 1 ) n Problema 1 Um garoto tem n reais Todo dia, ele realiza exatamente uma das seguintes compras: um bolo que custa R$ 1,00, um sorvete que custa R$,00 ou um pastel que também custa R$,00 De quantas maneiras o menino pode gastar seu dinheiro? Solução Seja a n o número de maneiras de ele gastar os n reais Assim, para gastar os últimos reais, ou ele gasta n 1 reais primeiramente e compra um bolo no final, ou ele gasta n reais inicialmente e, em seguida, compra um sorvete ou um pastel Portanto, podemos escrever a n = a n 1 +a n, com a 1 = 1 (só dá pra comprar 1 bolo) e a = 3 (comprando bolos ou 1 sorvete ou 1 pastel) Agora, vamos resolver i) Equação característica: λ λ = 0, cujas raízes são e 1 4

5 POT 01 - Álgebra - Nível - Aula - Prof Marcelo Mendes ii) Termos geral: a n = A n +B ( 1) n Podemos calcular a 0, que não faz sentido para o gasto do dinheiro, mas existe na sequência associada: a = a 1 +a 0 a 0 = 1 Agora, para n = 0 e n = 1 cuja solução é A = 3 e B = 1 3 Assim A+B = 1 A B = 1, a n = n+1 +( 1) n 3 Problema Determine o termo geral da sequência definidapela recorrência a 1 = 1, a = 4 e a n = 4a n 1 3a n 1 para n 3 Problema 3 Determine o termo geral da sequência definida recorrentemente por a 0 = 0, a 1 = 3 e, para n 3, a n = a n 1 +a n 1 Problema 4 Considere um retângulo 1 n, que deve ser preenchido por dois tipos de retângulos menores 1 1 e 1 De quantas maneiras se pode fazer isso? Problema (OPM) Uma escada tem n degraus Para subi-la, em cada passo, pode-se subir um ou dois degraus de cada vez De quantos modos diferentes pode-se subiraescada? Problema 6 Uma sequência de números a k é definida por a 0 = 0 e a k+1 = 3a k +1,k 0 Prove que a 1 é divisível por 11 Solução Inicialmente, veja que essa recorrência não depende dos dois termos anteriores A parcela 1 no membro da direita, na verdade, não é bem-vinda Assim, de a k+1 = 3a k +1 (a de- a k = 3a k 1 +1 obtemos a k+1 4a k + 3a k 1 = 0 O termo geral dessa recorrência é a n = 3n 1 monstração deixamos para o leitor) Logo, a 1 = 31 1 Para finalizar, deixo como sugestão que 3 1 = 4 = 11 Problema 7 Seja {a n } uma sequência tal que a 1 = 1 16 e a n 3a n 1 = 3 n+1,n Encontre o valor de a e a lei de recorrência de cada termo em função dos dois termos imediatamente anteriores

6 POT 01 - Álgebra - Nível - Aula - Prof Marcelo Mendes 3 Recorrências e Equações do o Grau Como exemplo para organizar as ideias, vamos supor que α seja uma raiz da equação x +x 1 = 0 Assim Daí, α = α+1 α 3 = α +α = α 1 α 4 = α α = 3α+ α = 3α +α = α 3 Será que existe um padrão entre os coeficientes que aparecem no lado direito de cada potência de α? Sim, existe! Na próxima aula, que será sobre indução finita, estaremos aptos a provar que sendo {F n } a sequência de Fibonacci α n = ( 1) n 1 F n α+( 1) n F n 1, Problema 8 Se α e β são as raízes da equação ax +bx+c = 0 e S n = α n +β n, n N, então mostre que as n+1 +bs n +cs n 1 = 0 Solução Como α e β são as raízes de ax +bx+c = 0, então aα +bα+c = 0 aβ +bβ +c = 0 Daí, multiplicando por α n 1 e β n 1, respectivamente, temos Somando, obtemos ou seja, aα n+1 +bα n +cα n 1 = 0 aβ n+1 +bβ n +cβ n 1 = 0 a ( α n+1 +β n+1) +b(α n +β n )+c ( α n 1 +β n 1) = 0 as n+1 +bs n +cs n 1 = 0 Problema 9 Seja α a maior raiz de x +x 1 = 0 Determine o valor de α α 6

7 POT 01 - Álgebra - Nível - Aula - Prof Marcelo Mendes Problema 10 Sejam α e β as raízes de x +x 1 = 0 Sendo a n = αn β n α β, n = 1,,3, Determine os dois primeiros termos a 1 e a dessa sequência e a lei de recorrência de cada termo em função dos dois termos imediatamente anteriores 7

8 POT 01 - Álgebra - Nível - Aula - Prof Marcelo Mendes Dicas Use a equação característica e encontre o termo geral seguindo o exemplo e a questão 1 3 Use a equação característica e encontre o termo geral seguindo o exemplo e a questão 1 4 Para finalizar, ou ele completa com um quadradinho 1 1 o retângulo 1 (n 1), que pode ser preenchido de a n 1 maneiras, ou ele completa com um retângulo 1 o retângulo 1 (n ), que pode ser preenchido de a n maneiras Para finalizar, ou ele sobe um degrau a partir do degrau n 1, que podeser alcançado de a n 1 maneiras, ou ele sobe dois degraus a partir do degrau n, que pode ser alcançado de a n maneiras 7 Multiplique a equação de recorrência por e subtraia de a n 1 3a n = 3 n, que é a equação dada substituindo n por n 1 10 Se a equação característica é x + x 1 = 0, então a equação de recorrência é a n = a n 1 +a n Respostas a n = 3n 1 ( ) n ( a n = ) n 4 Sendo a n o número de maneiras, a 1 = 1, a =, a n = a n 1 +a n Sendo a n o número de maneiras, a 1 = 1, a =, a n = a n 1 +a n 7 a = 69 3 e 4a n 8a n 1 +3a n a 1 = 1 e a = 1; a n = a n 1 +a n 8