Sistemas de Computação. Representação de Inteiros

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1 Representação de Inteiros

2 Como utilizar os bits da palavra para representar inteiros? Inteiros sem sinal (não negativos) e com sinal (negativos, zero e positivos) Tipos inteiros em C declaração C Garantido 32-bit típico Mínimo Máximo Mínimo Máximo char unsigned char shot [int] unsigned short[int] int unsigned [int]

3 Representação de inteiros não negativos Inteiro sem sinal codificado por um vetor com w bits [x w-1, x w-2,...,x 0 ] w-1 B2U(X)= x i.2 i i=0 B2U([0101])= = 5 B2U([1101])= = 13 Intervalo de valores a ser representado: 0 a (2 w - 1)

4 Representação de inteiros com sinal Inteiro com sinal codificado por um vetor com w bits [x w-1, x w-2,...,x 0 ] utilizando representação complemento a 2 B2T(X)=-x w-1 2 w-1 + x i.2 i B2T([0101])= = +5 B2T([1101])= = -3 Bit mais significativo é o bit de sinal: 1 para negativos, 0 para positivos Intervalo de valores a ser representado: -2 w-1 a +(2 w-1-1) w-2 i=0

5 Outras representações de inteiros com sinal Sinal e magnitude w-2 B2S(X)=(-1).x w-1.( x i.2 i ) i=0 Duas representações do 0 [ ] e [ ] Complemento a 1 B2O(X)=-x w-1 (2 w-1-1) + ( x i.2 i ) Duas representações do 0 [ ] e [ ] w-2 i=0 Máquinas modernas utilizam complemento a 2

6 Dificuldades de utilizar as outras representações Dificuldades para implementação: Dois elementos diferentes para efetuar soma e subtração Tempo gasto na manipulação de sinais (tipo de operação e sinal do resultado) Dupla representação do 0

7 Representação de Números Negativos em Complemento Vantagens da utilização de aritmética de complemento a 2: uma única representação para o zero necessita apenas um circuito somador para operações de soma e subtração Assimetria na quantidade de números representados -2 w-1 a +(2 w-1-1)

8 Valores interessantes para diversos tamanhos de palavra Quantidade Tamanho da palavra w Umax Tmax Tmin xFF 0xFFFF 0xFFFFFFFF 0xFFFFFFFFFFFFFFFF 0 0x00 0x000 0x x

9 Valores numéricos sem sinal X com sinal Exemplo para w =4 X B2U(X) B2T(X) Mesma codificação para valores não negativos Cada padrão de bits representa um único valor inteiro Cada inteiro representável possui uma única codificação em bits

10 Conversão de representação com sinal para sem sinal A linguagem C permite o casting (moldagem) de uma representação com sinal para sem sinal short int x = 15213; unsigned short int ux = (unsigned short) x; short int y = ; unsigned short int uy = (unsigned short) y; Não muda a representação em bits Valores não negativos permanecem os mesmos ux = Valores negativos mudam para valores grandes positivos uy = 50323

11 Relação entre representação C2 e sem sinal Complemento a 2 x T2B T2U X B2U Sem sinal ux Mantém o mesmo padrão de bits ux w ux = x x > = 0 x+2 w x < 0 - x w w-1 = 2*2 w-1 = 2 w

12 Relação entre valores numéricos sem sinal X com sinal uy=y+2*32768=y Peso Soma

13 Conversão entre complemento a 2 e sem sinal T2U(x)=B2U(T2B(x))=x + x w-1 2 w Exemplo: X = 1010 C2 = -6 2 w Sem sinal = w 1 2 w 1 Sem sinal Complemento a w 1

14 Conversão entre sem sinal e complemento a 2 U2T(x)=B2T(U2B(x))=x - x w-1 2 w Exemplo: X = 1010 Sem sinal = 10 C2 = -6 2 w Sem sinal 2 w 1 +2 w Complemento a 2 2 w 1

15 Uso de representações com sinal e sem sinal em C Constantes São consideradas como inteiros com sinal Utiliza o sufixo U para indicar sem sinal Casting 0U, 42356U Casting explícito entre repr. com sinal e sem sinal int tx, ty; unsigned ux, uy tx = (int) ux; uy = (unsigned) ty; Casting implícito ocorre através de atribuições e chamadas de procedimento tx = ux; uy = ty;

16 Surpresas em casting Em uma expressão com valores com sinal e sem sinal, os valores com sinal são tratados como sem sinal Expressão Tipo Avaliação 0 == 0U sem sinal 1-1 < 0 com sinal 1-1 < 0U sem sinal 0* > com sinal U > sem sinal 0* > (int) U com sinal 1* -1 > -2 com sinal 1 (unsigned) -1 > -2 sem sinal 1

17 Extensão de sinal Dado um inteiro x representado com sinal utilizando-se w bits, deseja-se representá-lo com k+w bits Faça k cópias do bit de sinal X = x w-1,..., x w-1, x w-1, x w-2,..., x 0 K cópias de BMS

18 Exemplo de extensão de sinal short int x = 15213; int ix = (int) x; short int y = ; int iy = (int) y; Decimal Hexa Binário x B 6D ix B 6D y C iy FF FF C

19 Porque funciona a extensão de sinal? B2T w+k ([x w-1,..., x w-1, x w-1, x w-2,..., x 0 ])= B2T w ([x w-1, x w-2,..., x 0 ]) B2T w+1 ([x w-1, x w-1, x w-2,..., x 0 ])= -x w-1 2 w + x i 2 i = -x w-1 2 w + x w-1 2 w-1 + x i 2 i = -x w-1 ( 2 w -2 w-1 ) + x i 2 i = -x w-1 2 w-1 + x i 2 i =B2T([x w-1, x w-2,..., x 0 ])

20 Ordem dos castings short int x = 15213; short int y = ; unsigned iux = (unsigned) (unsigned short) x; unsigned iuy = (unsigned) (unsigned short) y; unsigned uix = (unsigned) (int) x; unsigned uiy = (unsigned) (int) y; unsigned uuy = y; iux = 15213: iuy = 50323: uix = 15213: uiy = : uuy = :

21 Truncando números O que fazer quando o número de bits que pode ser utilizado para representar um número é reduzido? int x = 53191; short sx = (short) x; /* */ int y = sx; /* */ Para truncar um número X representado por w bits para k bits, abandonam-se os w-k bits mais significativos Para um número sem sinal, este truncamento equivale a obter x mod 2 k Para um número em complemento a 2, teremos U2T (x mod 2 k )

22 Quando usar números sem sinal? Poucas linguagens suportam números sem sinal Útil para tratar seqüência de bits sem interpretação numérica flags descrevendo condições booleanas endereços pacotes matemáticos para aritmética modular