DETERMINAÇÃO DE FUNÇÕES APROXIMADAS PARA A SOLUÇÃO NUMÉRICA DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA

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1 Revista de la Facultad de Ingeniería de la U.C.V., Vol., N, pp. 9 37, 006 DETERMINAÇÃO DE FUNÇÕES APROXIMADAS PARA A SOLUÇÃO NUMÉRICA DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA WILTON PEREIRA DA SILVA, CLEIDE M. D. P. S. E SILVA, DIOGO D. P. S. E SILVA, CLEITON D. P. S. E SILVA E ANTONIO G. B. LIMA Universidade Federal de Campina Grande, Centro de Ciências e Tecnologia, Campina Grande, Paraíba, Brasil Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Depto. Sistemas e Controle, São José dos Campos, São Paulo, Brasil. wiltonps@uol.com.br Recibido: febrero de 004 Recibido en forma final revisado: junio de 005 RESUMO Este artigo discute a possibilidade de determinação de uma função aproximada para a solução numérica de uma equação diferencial ordinária (EDO), por ajuste de curvas, como uma alternativa à técnica de interpolação. Para tal, foi desenvolvido um programa de computador com uma biblioteca contendo cerca de 00 funções que são ajustadas, de forma automática, ao conjunto de pontos que representa a solução numérica da EDO. O programa classifica as melhores funções pelo critério do menor qui-quadrado reduzido e as informa ao usuário. Esta alternativa para a obtenção de uma solução aproximada foi aplicada a várias equações diferenciais ordinárias e os resultados obtidos foram considerados satisfatórios. Palavras-chave: Equações diferenciais ordinárias, EDO, métodos numéricos, ajuste de curvas, descobridor de funções, solução aproximada. DETERMINACIÓN DE FUNCIONES APROXIMADAS PARA LA SOLUCIÓN NUMÉRICA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA RESUMEN En este artículo se discute la posibilidad de determinar una función aproximada para la solución numérica de una ecuación diferencial ordinaria (EDO), por ajuste de curvas, como una alternativa a la técnica de interpolación. En este sentido, se desarrolló un programa de computación con una biblioteca que contiene cerca de 00 funciones que han sido ajustadas, de forma automática, a un conjunto de puntos que representan la solución numérica de la EDO. El programa clasifica las mejores funciones a través del criterio del mínimo cuadrado reducido e informa al usuario. Esta alternativa para la obtención de una solución aproximada fue aplicada a varias ecuaciones diferenciales ordinarias y los resultados obtenidos se consideraron satisfactorios. Palabras claves: Ecuaciones diferenciales ordinarias, EDO, métodos numéricos, ajuste de curvas, localizador de funciones, solución aproximada. INTRODUÇÃO Em ciências e em engenharia, ao se modelar um determinado fenômeno pode-se chegar a uma equação diferencial ordinária (EDO) cuja solução fornece informações úteis acerca de tal fenômeno. Como em muitos casos de interesse a EDO pode não ter uma solução analítica em termos de funções elementares, ou mesmo não ter solução analítica, é comum recorrer-se a métodos numéricos para determinar a sua solução. Tal solução é, geralmente, dada através de um conjunto de pontos (x,y), em que y é o valor aproximado da função solução para um dado x. Assim, em alguns softwares que resolvem este tipo de problema, como o MATLAB, a solução numérica é dada simplesmente através de uma tabela de pontos. Um avanço em relação ao recurso da solução numérica, via tabela de pontos, é fornecer a solução aproximada através de um polinômio interpolante, como é feito pelo Mathematica. Entretanto, embora o recurso do polinômio interpolante seja eficiente para se extrair informações sobre a solução da EDO, não é fácil utilizar algumas dessas informações em outros softwares, devido à dificuldade de se escrever a expressão do polinômio que representa a solução. Este artigo propõe uma forma de substituir, em muitos casos, a aproximação da solução numérica através de um polinômio interpolante por uma função solução aproximada, de poucos parâmetros, que possa ser utilizada fora do ambiente em que foi determinada. 9

2 IDÉIA BÁSICA A idéia básica da proposta tem como ponto central o desenvolvimento e a utilização de um programa de computador com um grande número de funções em sua biblioteca (cerca de 00 funções), cujo intuito é realizar a regressão não-linear de todas as suas funções ao conjunto de pontos que representa a solução numérica da EDO. Tal programa usa o método dos mínimos quadrados para realizar as regressões das funções ao conjunto de pontos. As melhores funções são selecionadas através do critério de menor qui-quadrado reduzido e todo este assunto é abordado, por exemplo, em TAYLOR (997) e em SILVA E SILVA (998). O programa desenvolvido, denominado «Finder», foi incorporado ao LAB Fit Curve Fitting Software V Como é desejável que o Finder seja rápido, posto que deve ajustar uma grande quantidade de funções a um conjunto relativamente grande de pontos, o algoritmo de Levenberg-Marquardt (ver Press et al (996)), presente em todo o restante do pacote LAB Fit, não foi utilizado. Embora não existam, disponíveis no mercado, muitos softwares com a característica de descobrir funções, ainda podem ser citados dois outros: DataFit e TableCurve. Utilizando-se um destes softwares, a solução de uma EDO pode ser dada, em muitos casos, por uma função aproximada que, uma vez determinada, pode ser facilmente implementada em outros programas de computador. A opção pelo desenvolvimento e utilização do Finder se deve, principalmente, ao fato de ser desejável que as funções disponíveis sejam compactas, com até quatro parâmetros a serem ajustados. Para efeito de estudo da viabilidade de aplicação desta idéia, alguns exemplos serão analisados. Antes, entretanto, será feita uma breve apresentação dos métodos estatísticos aplicados tanto na determinação de funções aproximadas quanto na validação dos resultados obtidos. MÉTODOS ESTATÍSTICOS A determinação dos parâmetros das funções previamente definidas será feita através do método dos mínimos quadrados (regressão não-linear), enquanto que a análise dos resultados obtidos será feita através de um conjunto de testes estatísticos disponíveis para esta finalidade. Regressão não-linear: o processo iterativo Praticamente todo o estudo visando generalizar o método dos mínimos quadrados para a sua aplicação em regressão não-linear está descrito em SILVA E SILVA (998). O estudo parte de uma função qualquer em que «t, t,..., t m» são as suas «m» variáveis independentes, sendo que tal função é não-linear nos «n» parâmetros «a, a,..., a n» de ajuste: 30 y = f(t, t,..., t m, a, a,..., a n ) () Seja um conjunto de «N» pontos que se adequem a essa função, em que o i-ésimo dentre estes pontos é dado da seguinte forma: (t i, t i,...t mi, y i ± σ ). Nesta expressão σ é a incerteza de y i, que é o valor médio de y referente ao i- ésimo ponto, sendo que as variáveis independentes, a priori, são consideradas isentas de erros. Com referência ao ajuste, pode-se tentar contornar o problema da não-linearidade expressando, inicialmente, qual é a modificação Δf da função, causada pelas modificações Δa, Δa,..., Δa n dos parâmetros de ajuste: f Δf = a Δa f + a Δa f a n Δa Neste estudo deve-se interpretar Δf como uma função corretiva associada a «f», na qual as derivadas parciais são calculadas fazendo-se o valor de cada parâmetro a k, desconhecido, igual a um valor inicial a k0. É importante perceber que a expressão obtida para Δf é aproximada porque, a rigor, na expansão de «f», os termos a partir da segunda ordem foram desprezados. Supondo que a 0, a 0,..., a n0 sejam os valores iniciais dos parâmetros, isto é, antes das modificações Δa, Δa,..., Δa n, os valores Δf i da função corretiva correspondentes aos t i, t i devem ser calculados assim: n () Δf(t i, t i ) = f(t i, t i, a, a,..., a n ) - - f(t i, t i, a 0, a 0,..., a n0 ). (3) Na Eq. (3), f(t i, t i, a, a,..., a ) são os valores y i dos n dados numéricos, enquanto que f(t i, t i, a 0, a 0,..., a n0 ) são os valores aproximados da função a ser ajustada, obtidos através da substituição das estimativas a k0 dos parâmetros na função. Como, para um dado conjunto de parâmetros a K0, as diferenças Δf só dependem dos valores de «t i, t i», elas foram denotadas simplesmente por Δf( t i, t i ). Por outro lado, se for feito f z = Δf(t, t,..., t m ) e x K = a (4) k a = a a Eq. (), que relaciona Δf e Δa k, poderá ser reescrita do seguinte modo: z = (Δa )x + (Δa )x (Δa n )x n (5) É fácil perceber que «z» é uma função linear de várias variáveis independentes (x, x,..., x n ) e pode-se determinar os coeficientes Δa k utilizando o método dos mínimos k k0

3 quadrados, minimizando o qui-quadrado χ relativo à essa função z: χ = 0 Δa j em que χ N para j =,,..., n, (6) = [ zi z(xi,..., xni, Δa,..., Δan) ], (7) σ i= onde σ = σ zmi são as incertezas das ordenadas dos pontos. A igualdade é justificada porque as variáveis independentes da função a ser ajustada foram consideradas isentas de erros. Ao minimizar o qui-quadrado da função corretiva obtém-se um sistema de equações para o cálculo dos Δa k que pode ser escrito da seguinte forma: [M]. [ΔA] = [C], (8) onde [ M] = xi xixi xi x L σ σ σ xixi xi xi x L σ σ σ M M M xixni xi xni x L σ σ σ e ainda zi x i σ Δa Δa zx i i [ΔA] = e [ C] = (0) M σ Δa M n zx i ni σ Ao se determinar os Δa k, pode-se recalcular os a k (a k = a k0 + Δa k ) e repetir o processo até que um critério de convergência seja atingido. Em geral, esse critério de convergência consiste em Δa k < tol, ou ainda, χ < tol, sendo «tol» uma tolerância estipulada pelo usuário. Esta teoria foi implementada no Finder com a finalidade de ajustar mais de 00 funções previamente definidas, e a lista completa dessas funções pode ser encontrada no próprio software LAB Fit ou ainda em < labfit/functions.htm>. ni ni ni (9) Testes estatísticos aplicados aos ajustes Para um dado conjunto de pontos, em que o i-ésimo é (x i ;y i ), tendo-se determinado os parâmetros de uma função y(x) = f(x,a,a,...,a n ), a adequação de (x i ;y(x i )) a tal conjunto de pontos será avaliada pelos testes a seguir indicados. Primeiro, será usado o teste t de Student, que neste contexto indica a probabilidade de cada parâmetro ser zero, mesmo tendo o valor obtido. Este teste está implementado no programa desenvolvido e detalhes sobre ele podem ser obtidos, por exemplo, em BUSSAB (995). Para avaliar o ajuste de forma global será usado o teste de Fisher-Snedecor que possibilita calcular a probabilidade das variâncias da regressão e do resíduo serem iguais. Detalhes sobre o «teste F» podem ser obtidos, por exemplo, em NETO et al (003). Um terceiro teste será efetuado usando o valor do coeficiente de correlação, para o qual será calculada a probabilidade dos dois conjuntos com «N» pontos, (x i ;y i ) e (x i ;y(x i )), ocorrerem ao acaso. Detalhes sobre este teste podem ser encontrados em BEVINGTON e ROBINSON (99). Vale salientar que estes dois últimos testes também foram implementados no programa desenvolvido. ALGUNS EXEMPLOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) Para efeito de análise da proposta de determinação de funções soluções aproximadas, daqui por diante denotadas por FSA, serão tentadas soluções para as equações diferenciais ordinárias mostradas no Quadro. Número Quadro. Exemplos de equações diferenciais Equação Diferencial Ordinária (EDO) y =y-x, com y(0.0)=.0, y =y, com y(0.0)=.0, de x=-.0 até x=.0 3 y =-y+x+, com y(0.0)=.0, 4 y +0.5y =sen(y), com y(0.0)=0.0, y (0.0)=-.0, Função Solução Exata (FSE) e x +x+ e x e -x +x+ Não tem As três primeiras equações diferenciais do Quadro são exemplos apresentados por BRONSON (973) ao abordar o estudo de solução numérica de uma EDO. Com o objetivo de se analisar o quão próxima uma FSA está de uma função solução exata (denotada por FSE), três dos quatro exemplos propostos possuem soluções analíticas, e tais soluções também são apresentadas no Quadro. 3

4 SOLUÇÕES APROXIMADAS O conjunto de pontos que representa a solução numérica de cada EDO foi obtido através do método Runge-Kutta de quarta ordem, descrito em BRONSON (973). O intervalo estipulado para x foi dividido em 500 subintervalos. Do conjunto de 50 pontos gerados ao se determinar a solução numérica, foram extraídos 5 pontos, na seguinte ordem: o primeiro, o décimo primeiro, o vigésimo primeiro e assim por diante. Tal conjunto de pontos foi obtido no próprio LAB Fit que, embora seja um software de ajuste de curvas, possui uma opção para a solução numérica de EDO até a quinta ordem. Assim, para cada exemplo de EDO apresentado neste artigo, deve ser obedecido o roteiro dado a seguir, na tentativa de se obter uma FSA. Inicialmente, com um clique no botão «IDDE», e após o fornecimento de todas as informações sobre a EDO, obtém-se um conjunto de 5 pontos referentes à solução numérica. Uma vez copiado o conjunto de pontos para o clipboard, a seção de equações diferenciais deve ser fechada enquanto que o botão «New» deve ser clicado optando-se, em seguida, pelo botão «Paste» para colar o conjunto de dados anteriormente copiado. Após salvar o arquivo gerado, o programa desenvolvido deve ser acionado, através do botão «Find», e nele deve ser requisitado que sejam descobertas funções com até quatro parâmetros de ajuste. Então, as dez melhores funções ajustadas são apresentadas e o usuário deve optar por uma delas para fazer o ajuste completo, em que são disponibilizadas várias informações sobre todo o processo de ajustamento. Neste artigo optou-se pela primeira função sugerida pelo Finder e, para realizar o ajuste completo, o botão «Libr» deve ser clicado. Em cada ajuste completo a tolerância de convergência foi a default, igual a.0x0-6, enquanto que o parâmetro Power, que segundo o «Help» do LAB Fit aumenta a probabilidade de se obter um mínimo global no ajuste, a menos de uma indicação em contrário, também deve assumir o seu valor default, que é igual a. O número máximo de iterações escolhido foi o default, que é igual a 300, sendo aumentado para 600 se a primeira quantidade for atingida em algum ajuste. Por último, deve ser observado que a quantidade de algarismos dos parâmetros da função ajustada é determinada pelas incertezas destes parâmetros, e tais incertezas também são informadas no ajuste completo da função. Exemplo Para a equação y =y-x, com a condição inicial e o intervalo estabelecidos no Quadro, seguindo-se o roteiro definido anteriormente, obtém-se que a melhor opção disponível na biblioteca do Finder é a função de número 64. Esta é a função de Cauchy acrescida de um termo do primeiro grau. No ajuste completo a convergência foi atingida na iteração 3 de número 0 e, com os valores dos parâmetros determinados, pode-se escrever: y aprox = x (x.7488) () Para este ajuste, o teste t de Student ponta para P(t)=0.0 para todos os quatro parâmetros determinados. Já a análise de variância indica, de forma resumida, P(.345x0 0 )=0.0. Sobre o coeficiente de correlação tem-se P(5;.00000)=0.0 o que indica que a probabilidade dos 5 pares (y i ; y aprox (x i )) terem um coeficiente de correlação igual a devido ao acaso é igual a 0.0. Por último, o resíduo e o desvio padrão do ajuste valem, respectivamente, x0-7 e x0-5. A função ajustada, dada pela Eq. (), bem como os 5 pontos da solução numérica podem ser vistos no gráfico da Fig.. Figura. FSA para a equação y =y-x, com y(0.0)=.0, Para esta e outras figuras de funções ajustadas, cabe uma observação: como a função se ajusta muito bem aos pontos correspondentes à solução numérica, nem é possível fazer uma distinção entre tais pontos e a linha que representa a função determinada. Com tantos indicadores favoráveis deve-se esperar que, embora a função obtida não seja a FSE, pode ser aproximada a ela no intervalo estipulado para x. Para que isto possa ser observado de forma clara, a Fig. mostra a superposição da FSA, dada pela Eq. (), e da FSE (ver o Quadro ), com pequenas extrapolações, de x=0.0 até x=-.0 e de x=.0 até x=3.0. É interessante observar a grande concordância entre as duas funções no intervalo previamente definido no Quadro, e até mesmo fora dele, indicando que pequenas extrapolações seriam aceitáveis. Para complementar o estudo de validade da função aproximada como solução da EDO analisada, seria interessante observar alguns valores

5 Figura. FSA e FSE para a EDO y =y-x, com y(0.0)=.0,, no intervalo de x=- até x=3 da FSA e de sua primeira derivada, o que pode ser visto no Quadro, para os pontos extremos do intervalo de interesse. Tal quadro mostra, também, os valores correspondentes para a FSE e sua derivada. Quadro. Valores da FSA e FSE e de suas derivadas para y =y-x, com y(0.0)=.0, Função Solução Aproximada (FSA) Função Solução Exata (FSE) y aprox (0.0)=.00 y e (0.0)=.000 y aprox (.0)=3.74 y e (.0)=3.78 y aprox (0.0)=.000 y e (0.0)=.000 y aprox (.0)=4.78 y e (.0)=4.78 Apesar de pequenos erros no cálculo das derivadas, nota-se uma boa concordância entre a solução exata e a aproximada. Exemplo Para a equação y =y deve-se observar que o intervalo vai de x=-.0 até x=.0 enquanto que o valor de x para o qual se conhece y é x=0.0. Neste caso, a solução numérica deve ser obtida em duas etapas: de x=0.0 até x=-.0 (o que gera 5 pontos) e (o que gera mais 5 pontos). Eliminando um dos dois pares (0.0;.0) e reunindo os dois conjuntos de dados num único arquivo com 30 pontos, obtém-se como solução aproximada a função de número 8 da biblioteca do Finder e, já na iteração de número 5 do ajuste completo, encontra-se: y ( x aprox = ). () A Eq. (), a menos de pequenos erros nos parâmetros, é a própria FSE. A Fig. 3 mostra tal função exponencial e os 30 pontos da solução numérica para o intervalo estipulado. Figura 3. FSA obtida para a EDO de número do Quadro Como se trata da própria FSE, torna-se até mesmo desnecessário fazer uma análise da qualidade do ajuste. Exemplo 3 Para a equação y =-y+x+, com os mesmos procedimentos já descritos, encontra-se a função de número 56 da biblioteca do Finder. Como o valor zero para x ou y muitas vezes elimina algumas possíveis funções, devido à forma como os valores iniciais para o ajuste são determinados pelo Finder, o primeiro ponto da solução numérica, dado por (0.0;.0), será eliminado. O objetivo desta eliminação é mostrar a possibilidade de obtenção de uma FSA ainda mais próxima da FSE. Com este procedimento, uma função ainda melhor que a anterior é determinada: a de número 59. A primeira tentativa de se fazer o ajuste completo dessa função não apresenta bons resultados e, por isso, foi feita uma nova tentativa estipulando-se o valor 50 para o parâmetro Power. Como a nova tentativa também falha, um terceiro recurso foi tentado, lembrando que a função de número 59 foi obtida através do Finder, que não usa o algoritmo de Levenberg-Marquardt. Então, desabilitando esta opção ao se fazer o ajuste completo, e mantendo o valor 50 para o parâmetro Power, é obtido o seguinte resultado, na iteração de número 7: yaprox =.8365[ln(x +.408)] x(3) com os indicadores para o ajuste dados a seguir. Primeiro, o teste t de Student aponta para P(t)=0.0 para os quatro parâmetros determinados. O teste de Fisher-Snedecor resulta em P(9.936x0 0 )=0.0 enquanto que para o coeficiente de correlação é obtido P(50;.00000)=0.0. Já o resíduo e o desvio padrão do ajuste valem, respectivamente, 9.404x0-0 e.5576x0-6. A Fig. 4 apresenta os 50 pontos da solução numérica e a FSA, dada pela Eq. (3), obtida no intervalo previamente estipulado para a EDO. 33

6 Figura 4. FSA obtida para a EDO de número 3 no Quadro Com o objetivo de comparar a FSA com a FSE, o gráfico de y versus x foi traçado para as duas funções, sobrepostas no intervalo de x=-.0 até x=4.0, o que é visto na Fig. 5. Figura 6. Derivadas da FSA e da FSE para a EDO y =y+x+, com y(0.0)=.0, de x=0.0 até.0, no intervalo de x=- até x=4 Como se pode observar, há uma grande compatibilidade entre as derivadas da FSA e da FSE até mesmo em pequenos intervalos fora do intervalo definido para a EDO. Exemplo 4 Para a equação y +0.5y =sen(y) o Finder descobre a função de número 54 e, no ajuste completo, é obtida a seguinte FSA, na iteração de número 454: yaprox = 0.533e.037x 0.535e x (6) Figura 5. FSA e FSE para a EDO y =-y+x+, com y(0.0)=.0, de x=0.0 até.0, no intervalo de x=- até x=4 A análise da Fig. 5 possibilita concluir que até mesmo pequenas extrapolações seriam aceitáveis ao se trabalhar com a FSA. Resta saber se a derivada de tal função também é compatível com a derivada da FSE o que é, a priori, esperado. Lembrando que a expressão para a derivada da FSA é dada por ln( x) y' aprox = x (4) Associadas ao ajuste têm-se as informações dadas a seguir. Primeiro, o teste t de Student aponta para P(t)=0 para todos os quatro parâmetros determinados. Já a análise de variância dá P(5.534x0 8 )=0.0 e, quanto ao coeficiente de correlação, tem-se P(5;.00000)=0.0. O resíduo e o desvio padrão do ajuste valem, respectivamente, 9.50x0-7 e x0-5. A Fig. 7 mostra os 5 pontos obtidos na solução numérica e a FSA, dada pela Eq. (6), no intervalo estipulado para a EDO. e que a derivada da FSE é y ' e x e = +, (5) o gráfico das derivadas das funções (Eqs. (4) e (5)) pode ser traçado, por exemplo, de x=- até x=4, o que é mostrado na Fig Figura 7. FSA obtida para a EDO de número 4 (Quadro )

7 Para uma EDO de segunda ordem, a solução numérica obtida através do método de Runge-Kutta de quarta ordem dá, também, um arquivo de pontos referentes à primeira derivada da função solução. Então, de forma similar ao que já foi feito, pode-se determinar uma função aproximada para a primeira derivada por ajuste de curvas, o que é mais coerente com a proposta deste artigo do que derivar a própria FSA obtida. Seguindo-se o roteiro anteriormente descrito, chega-se a uma função polinomial do terceiro grau (função de número 50). Ao fazer o ajuste completo, já na iteração de número 9 encontra-se y x 0.598x 0.798x 3 'aprox = + + (7) Neste ajuste estão disponíveis as informações dadas a seguir. Primeiro, o teste t de Student aponta para P(t)=0.0 para os quatro parâmetros determinados. A análise de variância dá P(5.790x0 6 )=0.0 e o teste para o coeficiente de correlação indica P(5;.00000)=0.0. O resíduo e o desvio padrão do ajuste valem, respectivamente,.04x0-6 e x0-5. A função ajustada para a primeira derivada, dada pela Eq. (7), e os 5 pontos referentes à solução numérica podem ser observados na Fig. 8. Por outro lado, derivando esta última expressão (Eq. (7)) tem-se uma aproximação para a segunda derivada da FSA: y '' x x aprox = + (8) A substituição dos valores dados no Quadro 3 na EDO mostra que, dentro de uma certa tolerância, a função obtida pode ser considerada, de fato, como uma solução aproximada. Quadro 3. Valores da FSA e de suas primeira e segunda derivadas para y +0.5y =sen(y), com y(0.0)=0.0, y (0.0)=-.0 de 0.0 até.0, em x=0.0 y aprox (0.0)= y aprox (0.5)= y aprox (.0)= y aprox (0.0)= y aprox (0.5)= y aprox (.0)= y aprox (0.0)= y aprox (0.5)= y aprox (.0)= INFLUÊNCIA DO INTERVALO NA DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO SOLUÇÃO APROXIMADA Para verificar a influência do intervalo estipulado para x no descobrimento de uma FSA para uma EDO, o exemplo 4 será retomado. Este exemplo será refeito modificando-se o valor final de x para x=7.0. Neste caso, observa-se que o Finder, que busca por funções com até quatro parâmetros, não consegue determinar uma FSA adequada para a EDO. Mas na biblioteca do LAB Fit existem muitas outras funções com mais de quatro parâmetros, para as quais se poderia tentar uma solução. Optando-se, por exemplo, por um polinômio do sexto grau para o ajuste, correspondente à função de número 53 da biblioteca do LAB Fit, obtém-se o resultado mostrado na Fig. 9. Figura 8. Primeira derivada para a FSA da EDO y +0.5y =sen(y), com y(0.0)=0.0, y (0.0)=-.0, Deve ser observado que a EDO do exemplo 4 não possui solução analítica em termos de funções elementares. Assim, para analisar a validade da solução aproximada, pode-se observar o Quadro 3, que destaca o valor da função e de sua primeira e segunda derivadas para x=0.0, x=0.5 e x=.0. Figura 9. FSA obtida para a equação diferencial de número 4, no intervalo de x=0.0 até x=7.0 Já para o conjunto de pontos que representa a primeira derivada da função solução relativa ao exemplo 4, um polinômio de sexto grau não dá bons resultados. Como este é o polinômio de mais alto grau na biblioteca do LAB Fit, só restaria uma última tentativa de se buscar uma solução 35

8 aproximada para a primeira derivada da função solução: escrever um polinômio de grau mais elevado e realizar o ajuste. Utilizando-se a opção «User» do LAB Fit e escrevendo-se a função desejada, após algumas tentativas chega-se à conclusão de que um polinômio do oitavo grau pode representar a primeira derivada da função solução do exemplo 4 no novo intervalo estipulado. O gráfico de tal polinômio é mostrado na Fig. 0, juntamente com o conjunto de pontos relativos à solução numérica. 36 Figura 0. Primeira derivada da FSA da EDO y +0.5y =sen(y), com y(0.0)=0.0, y (0.0)=-.0, de x=0.0 até x=7.0 Embora possa parecer estranho ter-se um polinômio de oitavo grau representando a derivada de um outro do sexto, deve-se observar que tais polinômios são apenas funções solução aproximadas, que se adequam às suas respectivas soluções numéricas. DISCUSSÕES E CONCLUSÃO A proposta contida neste artigo tem uma vantagem clara em relação ao uso de uma tabela de pontos ou de um polinômio interpolante como solução de uma EDO. Esta vantagem reside no fato de se obter uma função compacta, de poucos parâmetros, que pode facilmente ser usada fora do ambiente em que foi determinada. Para equações diferenciais de segunda ordem (ou mais) pode-se conhecer, com o mesmo raciocínio, funções aproximadas representando as derivadas da função solução. Isto foi mostrado no exemplo 4, em que a primeira derivada foi obtida também por ajuste de curvas, e somente a segunda derivada foi obtida por derivação, pelo fato de não se conhecer a solução numérica para tal derivada. Muito embora esta proposta de obtenção de uma FSA para uma EDO esteja limitada a uma biblioteca com cerca de 00 funções, ela apresenta bons resultados para uma ampla gama de equações diferenciais ordinárias. A utilidade imediata da proposta contida neste artigo consiste na tentativa de obtenção de uma FSA para uma EDO que não possui solução analítica ou para aquelas cuja solução analítica não pode ser dada em termos de funções elementares. A confiança nesta proposta decorre do fato de se ter uma razoável segurança sobre a adequação da função obtida aos pontos da solução numérica, através dos indicadores do ajuste e do gráfico da função ajustada. Devese observar, entretanto, que apenas uma mudança no intervalo para o qual se deseja a solução pode fazer com que não se obtenha bons resultados através do Finder. Isto pode ser observado na seção 5, em que o exemplo 4 foi retomado modificando-se o limite superior de x, de x=.0 para x=7.0. Neste caso, obtém-se uma solução numérica para a qual o Finder não consegue determinar uma FSA, com até quatro parâmetros, adequada para a EDO. Mas mesmo neste caso de insucesso, o gráfico obtido e os indicadores do ajuste evidenciariam a falha na tentativa de obtenção da FSA e, deste modo, o usuário não ficaria sujeito ao uso de resultados inadequados por falta de informações. Ainda com relação a uma possível falha do Finder, evidenciada na seção 5, restaria a opção do ajuste de uma função com mais de quatro parâmetros aos pontos da solução numérica. Para o exemplo 4 com o novo limite superior, um polinômio do sexto grau, presente na biblioteca do LAB Fit, já apresentaria indicadores muito favoráveis como uma FSA para a EDO. Por último, caso não se encontre uma função adequada na biblioteca do LAB Fit, como foi o caso do conjunto de dados da solução numérica relativo à primeira derivada da função solução do exemplo 4 para os novos limites, o usuário ainda poderia escrever a sua própria função e tentar descobrir uma solução aproximada. Conforme constatado, foi possível determinar um polinômio de oitavo grau como solução aproximada para a primeira derivada da função solução. Mesmo já não se tratando mais de funções tão compactas, ainda assim tais soluções são muito mais fáceis de serem implementadas em outros softwares que os polinômios interpolantes. Para tornar esta proposta de obtenção de uma FSA para uma EDO ainda mais eficiente pode-se pensar, em uma próxima etapa, na ampliação da biblioteca do Finder. Além de novas funções com até 4 parâmetros, existe também a possibilidade de inclusão de funções com cinco ou seis parâmetros na biblioteca do programa desenvolvido. Um outro ponto que poderia dar mais robustez à proposta seria a implementação de uma opção para o uso do algoritmo de Levenberg-

9 Marquardt durante o processo de descobrimento de funções, caso o usuário assim desejar. REFERÊNCIAS BEVINGTON, PHILIP R. E ROBINSON, D. KEITH, (99), Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, McGraw-Hill, Boston. BRONSON, RICHARD, (973), Theory and Problems of Modern Introdutory Differential Equations (Schaum s Outline Series), Schaum Publishing Co., McGraw-Hill Inc. USA. BUSSAB, WILTON O. E MORETTIN, PEDRO A., (995), Estatística Básica, Atual Editora LTDA, São Paulo, Brasil. DataFit Curve Fitting, disponível em acesso em 0/08/004. LAB Fit Curve Fitting Software ( ) V. 7..9, disponível em acesso em 0/08/004. Mathematica - acesso em 0/08/ 004. Matlab - acesso em 0/08/ 004. NETO, BENÍCIO B. ; SCARMÍNIO, IEDA S. E BRUNS, ROY E., (003), Como Fazer experimentos, Editora UNICAMP, Campinas São Paulo. PRESS, WILLIAM H. ; TEUKOLSKY, SAUL A. ; VETTERLING, WILLIAM T. E FLANNERY, BRIAN P., (996), Numerical Recipes in Fortran 77 The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press. SILVA, WILTON P. E SILVA, CLEIDE M. D. P. S., (998), Tratamento de Dados Experimentais, UFPB/Editora Universitária, João Pessoa, a Edição. TableCurve, disponível em acesso em 0/ 08/004 TAYLOR, J. R., An Introduction to Error Analysis, (997), nd Edition, University Science Books, Sausalito, California 37