UMA NOVA FORMULAÇÃO PARA O PROBLEMA DE CORRESPONDÊNCIA DE GRAFOS

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1 UMA NOVA FORMULAÇÃO PARA O PROBLEMA DE CORRESPONDÊNCIA DE GRAFOS Renato Gonçalves de Lanes Universidade Federal do Espírito Santo (UFES) Centro Tecnológico - Departamento de Informática Av. Fernando Ferrari, Goiabeiras - Vitória - ES CEP rglanes@gmail.com Maria Claudia Silva Boeres Universidade Federal do Espírito Santo (UFES) Centro Tecnológico - Departamento de Informática Av. Fernando Ferrari, Goiabeiras - Vitória - ES CEP boeres@inf.ufes.br RESUMO Considera-se neste trabalho a proposta de uma nova formulação ao problema de corresponder de forma ótima dois grafos a partir de suas informações estruturais e de matrizes de similaridade entre seus vértices e arestas. Uma nova modelagem como um problema de otimização combinatória é definida a partir da proposta de novas funções objetivo. Devido à complexidade do problema, utiliza-se para sua resolução a metaheurística GRASP analisando o seu comportamento de acordo com as funções propostas. Resultados experimentais são obtidos a partir de 6 problemas teste. Mostra-se que o modelo proposto é consistente e a definição de uma das funções como melhor em face dos resultados gerados. Palavras-Chave: Correspondência de Grafos, Funções Objetivo, Otimização Combinatória. Área de classificação principal: Otimização Combinatória ABSTRACT We consider in this work the proposal of a new formulation to the problem of establishment of the best correspondence between two graphs, given the estructural information of the graphs the vertex and the edge similarity matrices. A new model as a combinatorial otimization problem is defined using new proposed objetive functions. Due to the complexity of the problem, we use the GRASP metaheuristic to solve it and analyse its behavior for the proposed functions. Experimental results are obtained from 6 test problems. We show that the proposed model is consistent and we also define one of the functions as the best one according to the experimental results. Key-words: Graph Correspondence, Objetive Functions, Combinatorial Optimization Main Area: Combinatorial Optimization [2655]

2 1 Introdução A motivação para o presente trabalho é criar uma base para aplicações nas quais imagens devem ser processadas e regiões, ou sub-regiões, devem ser localizadas e identificadas de forma automatizada. A razão para tal escolha é o crescente número dessas aplicações e a variedade de áreas de utilização. De forma concisa, dada uma imagem obtida de forma diversa e variável de acordo com o escopo do problema em questão, deseja-se estabelecer uma correspondência entre essa imagem e um atlas. O referido atlas é uma imagem padrão, também variável de acordo com o problema, definida por especialistas, e cuja característica principal é apresentar todas as regiões ou áreas padrões do tipo de imagem a ser analisada. Como exemplo, normalmente cita-se o reconhecimento de estruturas cerebrais, de imagens de satélite, reconhecimento de faces entre outros. Para podermos resolver esse tipo de problema, necessitamos de uma modelagem e de uma estrutura que seja capaz de representar o conhecimento. Grafos são estruturas adequadas para essa representação, ESHERA e FU(1986). Quando grafos são usados para representar objetos ou imagens, os vértices designam regiões do objeto ou imagem analisada, enquanto que as arestas designam as relações existentes entre essas regiões. Na Seção 2 é apresentada a notação básica e a terminologia para o problema. Na Seção 3 o homomorfismo de grafos é apresentado como uma variação do isomorfismo de grafos, em seguida, na Seção 4, uma formulação em otimização combinatória é apresentada, denotada por Problema de Correspondência de Grafos. A Seção 5 é o cerne deste trabalho e trata da proposta de novas funções objetivo. Na Seção 6 a modelagem da Seção 5 é utilizada juntamente com o algoritmo GRASP para gerar resultados computacionais apresentados na Seção 7. Na Seção 8 são feitas as conclusões do trabalho e apresentadas propostas de trabalhos futuros. 2 Notação Básica e Terminologia Um grafo é uma estrutura G = (V, E) composta de vértices e arestas. V é o conjunto de vértices e E V V (produto cartesiano do conjunto de vértices V por ele mesmo) um conjunto finito de arestas do grafo G. Se dois vértices de G, u e v V são ligados por uma aresta e E, então essa aresta é denotada por e = (u, v) e os vértives u e v são ditos adjacentes ou vizinhos. As arestas, para a aplicação a que propõe o presente trabalho, não são direcionadas, ou seja, (u, v) = (v, u). Vértices e arestas podem conter informações, então o grafo é chamado grafo de atributos (attributed graph), sendo que os atributos (informações) podem estar vinculados a vértices, arestas ou a ambos. Um grafo G = (V, E) admite estrutura de grafo bipartido, se o o seu conjunto de vértices V puder ser particionado em dois subconjuntos V 1 e V 2, tal que V 1 V 2 = V e V 1 V 2 = 0, e de forma que (u, v) E u V 1, v V 2. Um grafo G = (V, E) é dito ser conexo se para quaisquer dois vértices u, v V existe um caminho entre eles. 3 Isomorfismo de Grafos Utilizaremos dois grafos para representar as imagens, sendo G M (grafo modelo) o grafo que representa o atlas do problema e G D (grafo de dados) o grafo que representa a imagem a ser comparada ao atlas 1. O objetivo é encontrar uma correspondência um a um dos vértices de dois grafos dados, obedecendo as adjacências existentes entre os vértices. Essa correspondência aparece na literatura de Teoria dos Grafos com o nome Isomorfismo de Grafos, BERGE(1985). De forma mais formal, dados dois grafos G M = (V M, E M ) e G D = (V D, E D ), com V M = V D, busca-se um mapeamento biunívoco f : V D V M tal que (u, v) E D se e somente se (f (u), f (v)) E M. 1 Apesar de envolver uma série de etapas desde a aquisição das imagens até a geração dos grafos, não nos deteremos nessas etapas. Outrossim, partiremos do ponto em que os grafos G M e G D já encontram-se produzidos e precisamente definidos. [2656]

3 Entretanto existe um variação do problema de isomorfismo de grafos, conhecida na literatura como homomorfismo de grafos, em que dados dois grafos G D e G M é impossível estabelecer um mapeamento isomórfico entre eles, uma vez que o número de vértices e arestas dos grafos a serem mapeados não são iguais, e mais que isso, vamos considerar que V D > V M. Nesses problemas, dado que V D > V M, o objetivo é encontrar um mapeamento unívoco e não-bijetivo f : V D V M tal que (u, v) E D se (f (u), f (v)) E M. A complexidade do problema de isomorfismo de grafos encontra-se ainda em aberto, FORTIN(1996), entretanto, acredita-se que seja NP-Completo. Dessa forma, por tratar-se de uma extensão do problema de isomorfismo de grafos, o homomorfismo deve apresentar complexidade semelhante. Como pode ser inferido, no homomorfismo de grafos não só é possível estabelecer um mapeamento entre os grafos G D e G M, como é também possível estabelecer diversos mapeamentos parciais entre eles. Assim, faz-se necessária uma modelagem capaz de gerar e qualificar os diversos mapeamentos. Definido em BOERES(2002), o Problema de Correspondência de Grafos é uma formulação em otimização combinatória 2 para o problema de homomorfismo de grafos. 4 Correspondência de Grafos Para iniciarmos a resolução do problema de correspondência de grafos precisamos formalizar o significado de uma solução. Uma solução do problema de estabelecer a correspondência entre dois grafos G D = (V D, E D ) e G M = (V M, E M ), é representada por um grafo bipartido G = (V M V D, E ) que é representado computacionalmente por um vetor de tamanho V D, onde cada posição do vetor conterá um valor entre 1 e V M. A Figura 1(a) apresenta o grafo bipartido G para um exemplo de problema de correspondência de grafos. Cabe ressaltar que as arestas pertencentes ao conjunto E estão destacadas em vermelho, ou seja, nenhuma aresta dos grafos G M e G D faz parte desse conjunto. A coloração é também uma forma de representação do casamento estabelecido, sendo que cada vértice de G M e todos os vértices de G D com o qual foram casados possuem a mesma coloração. A Figura 1(b) apresenta a representação vetorial do grafo bipartido que representa uma solução para o problema de correspondência de grafos. (a) (b) Figura 1: (a) Grafo bipartido G = (V M V D, E ) e (b) sua representação vetorial A relação existente entre o índice j de uma posição do vetor que representa uma solução e o valor i armazenado nessa posição, é dada por h : V D V M, h(j) = i. No contexto do problema, um índice j representa um vértice do grafo de dados G D, enquanto o valor armazenado i representa um vértice do grafo modelo G M. O domínio do problema de correspondência de grafos formado por todas as possíveis soluções obtidas a partir da permutação dos valores i de cada posição j do vetor que representa uma solução é discreto e finito, porém muito grande mesmo para instâncias pequenas do problema. 2 Otimização combinatória é um campo da matemática aplicada que se baseia no uso conjunto de técnicas de combinatória, programação matemática e teoria de desenvolvimento de algoritmos para resolver problemas de otimização formulados sobre estruturas discretas. [2657]

4 Conforme proposto em BOERES(2002), a modelagem para resolução do problema consiste de duas fases: a primeira consiste em transformar o problema em um modelo em otimização combinatória e, posteriormente, implementar um algoritmo para resolver o modelo. O presente trabalho está focado na primeira fase, e o intuito é ampliar e melhorar a modelagem. 4.1 Similaridade de Vértices e Arestas Além da informação estrutural, são considerados entradas para o problema de correspondência de grafos os atributos de vértices (e/ou arestas). Esses atributos mudam de acordo com o problema em particular a ser considerado, além disso um vértice (e/ou uma aresta) pode conter um único atributo ou vários, o que também é uma característica do problema. Neste trabalho, não há uso direto dos atributos dos grafos, e sim das matrizes de similaridade construídas a partir desses atributos. Uma matriz de similaridade de vértices S v, de dimensões V M V D, é composta de elementos s v (i, j), tal que i V M e j V D. Esses elementos representam o grau de similaridade existente entre um vértice de G M e um vértice de G D e s v (i, j) [0, 1]. Quanto mais próximo de 1 é o valor s v (i, j), mais similares podem ser considerados os vértices i e j. O valor de similaridade é obtido através da combinação dos atributos dos vértices, sendo que a forma como essa combinação é feita varia de acordo com o problema ou o método aplicado. De forma idêntica, temos a matriz de similaridade de arestas S a, de dimensões E M E D, composta de elementos s a ((i, i ), (j, j )), tal que (i, i ) E M e (j, j ) E D. Esses elementos são valores difusos, ou seja, s a ((i, i ), (j, j )) [0, 1] e representam o grau de similaridade existente entre uma aresta de G M e uma aresta de G D. Quanto mais próximo de 1 é o valor s a ((i, i ), (j, j )), mais similares podem ser considerados as arestas (i, i ) e (j, j ). 4.2 Restrições A definição das restrições aplicadas ao problema tem extrema relevância, uma vez que objetivam garantir a aplicabilidade de uma solução obtida para o problema de correspondência de grafos ao problema real a que esse está sendo aplicado, além disso ajuda no quesito desempenho, uma vez que o espaço de soluções viáveis é reduzido, tornando menor o domínio do problema. As restrições aqui apresentadas são as mesmas propostas em BOERES(2002) e LANES(2007). Restrição 1 Existe exatamente um nó i V M tal que (i,j) E, j V D. Restrição 2 A i 1, i V M. A i = {j V D : (i, j) E }, chamado Lista de Adjacências, é um subconjunto de vértices j V D associados a um vértice i V M. Lembrando que E é o conjunto das arestas do grafo bipartido que representa a solução do problema de correspondência inexata de grafos. Restrição 3 O subgrafo induzido em G D = (V D, E D ) por A i é conexo, i V M. Restrição 4 j V D : j A i, i V M, s v (i, j) > 0. Restrição 5 (j, j ) E D : j A i (j A i ) (j A i : (i, i ) E M ) 5 Funções Objetivo Uma função objetivo deve completar a modelagem do problema, fornecendo um recurso para qualificar as soluções e assim podermos estabelecer a melhor solução. Para tanto, a função objetivo deve representar características que devem ser valorizadas ou penalizadas em uma solução. O grande desafio, proposta e contribuição deste trabalho é definir novas funções objetivo e investigar experimentalmente a qualidade das respostas obtidas. [2658]

5 Uma função objetivo ideal, conforme sintetizado por BENGOETXEA(2002), deve ser monotônica, deve evitar ambigüidades, deve levar em consideração apenas os atributos adequados de vértices e arestas, e adicionalmente, deve ser fácil de computar, de forma a não comprometer o desempenho do algoritmo utilizado. 5.1 Função f 1 Proposta em BOERES(2002), onde foi escolhida como a função que gerou os melhores resultados de um estudo com três modelos diferentes, a função f 1 será usada neste trabalho em caráter comparativo. A função f 1 é composta de dois termos que representam respectivamente as contribuições das associações entre vértices e entre arestas de G M e G D para medir a qualidade da correspondência representada por uma solução. Associações entre vértices e entre arestas com valores altos de similaridade são privilegiadas por f 1, enquanto aquelas com valores baixos de similaridade são penalizadas. O comportamento da função f 1 é sensível a valores discriminantes de similaridade entre vértices e entre arestas. Caso isso não ocorra, correspondências não consideradas como as mais adequadas podem ser erroneamente encontradas como se fossem soluções de alta qualidade. A função f 1 a ser maximizada é definida como: f 1 (G ) = α 1 V M V D δ 1 + (1 α 1) E M E D δ 2 onde δ 2 = (i,i ) E M δ 1 = i V M j V D (1 x ij s v (i, j) ) (j,j ) E D (1 max{x ij x i j, x ijx j i } sa ((i, i ), (j, j )) ) onde α 1 é um parâmetro usado para ponderar cada termo de f 1. A variável x ij assume o valor 1 se a aresta (i, j) E, 0 caso contrário. 5.2 Função f 2 A idéia inicial na definição da função f 2 foi aperfeiçoar a função f 1 acrescentando um novo termo tal que, uma vez escolhidos pares de arestas tal que (i, i ) G M e (j, j ) M ii, o novo termo da função f 2 satisfizesse os seguintes quesitos: privilegiar a solução com valores de similaridade altos entre os pares; graduar as soluções de acordo com o maior valor de similaridade entre os pares. Definiremos M ii como o conjunto das arestas pertencentes a G D, tal que um dos extremos faça parte do suporte de i e o outro do suporte de i, independente da ordem. A formulação matemática é dada por: M ii = {(j, j ) E D : ((j A i, j A i ) (j A i, j A i )) (i < i )} Agora, seja Y ii o conjunto contendo os valores de similaridade entre uma dada aresta (i, i ) do grafo G M e as arestas pertencentes ao respectivo conjunto M ii. A formulação matemática é dada por: Y ii = {s a ((i, i ), (j, j )) : (j, j ) M ii } Para o acréscimo do novo termo à função é necessária a inclusão de um novo parâmetro (α 2 ). A função f 2 é apresentada a seguir: [2659]

6 f 2 (G ) = α 1 V M V D δ α E M E D δ 2 + (1 α 1 α 2 ) δ 3 Y onde δ 2 = (i,i ) E M δ 1 = i V M j V D (1 x ij s v (i, j) ) (j,j ) E D (1 max{x ij x i j, x ijx j i } sa ((i, i ), (j, j )) ) δ 3 = (i,i ) E M max {Y ii } Y = (i,i ) E M Y ii 1 Y ii x Y ii x 5.3 Função f 3 A função f 3 é uma segunda proposta de função objetivo deste trabalho e baseia-se no processo intuitivo humano para solução de um problema de correspondência inexata de grafos. Intuitivamente, o procedimento utilizado é buscar o casamento em que a maior combinação de valores de similaridade de vértices determinem a melhor solução. Um raciocínio análogo é válido para as arestas, entretanto agora devemos considerar uma solução que equilibre o maior valor possível para o casamento dos vértices simultâneamente ao maior valor possível para o casamento das arestas. A solução encontrada com base nesse raciocínio deve satisfazer as restrições definidas para o problema. Assim. propomos neste trabalho a seguinte função objetivo f 3 : f 3 (G ) = α 1 V D δ 1 + (1 α 1) δ 2 Y onde δ 2 = δ 1 = (i,i ) E M i V M j V D s v (i, j) max {Y ii } O primeiro termo δ 1 representa a soma dos valores dos casamentos estabelecidas entre vértices i V M e sua lista de adjacências A i. Quanto maior for o resultado desse somatório melhor o casamento estabelecido entre os vértices. De forma idêntica, o segundo termo δ 2 representa a soma dos valores dos casamentos estabelecidas entre arestas (i, i ) E M e as arestas pertencentes a E D casadas a elas. x Y ii x [2660]

7 X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável 6 Algoritmo escolhido para validação experimental das unções Para produzirmos resultados práticos, e gerarmos soluções reais para o problema, necessitamos da segunda fase de resolução do problema que consiste na aplicação de um algoritmo para resolver o modelo. Para tal utilizaremos o algoritmo GRASP(Greedy Randomized Adaptive Search Procedure3 ) que é uma metaheurística híbrida de construção seguida de melhoramento para problemas de otimização combinatória, FEO e RESENDE(1989), FEO e RESENDE(1995),FESTA e RESENDE(2001). A idéia de iteração do GRASP, na sua forma básica, difere bastante das outras metaheurísticas, pois a solução da iteração corrente não é resultado das anteriores, sendo fruto unicamente da semente aleatória da iteração. A escolha da metaheurística GRASP, além de suas vantagens intrínsecas, é que sua aplicação já foi estudada em trabalhos anteriores relacionados ao mesmo problema, como BOERES(2002) e BENGOETXEA(2002), gerando bons resultados tanto em relação a qualidade de solução, quanto em relação ao desempenho. 6.1 Problemas Teste Como forma de comparar a utilização das funções f1, f2 e f3 como guias da metaheurística GRASP é necessário a utilização de problemas teste como forma de obter resultados experimentais na busca de soluções. Os problemas teste devem representar características desejáveis em uma instância do problema de correspondência de grafos, mas ao mesmo tempo devem estar próximos de situações práticas encontradas em estudos da área. Devido a inexistência de uma biblioteca de problemas testes obtidos a partir de situações reais, em geral os experimentos são realizados com problemas teste produzidos artificialmente de diversos tamanhos e com diversos arranjos. Inicialmente utilizaremos cinco instâncias básicas cedidas por BOERES(2002) e produzidas artificialmente, cujas matrizes de similaridade de vértices (e/ou arestas) foram geradas aleatoriamente com valores no intervalo [0, 1], a saber I0, I1, I2, I3, I4, como primeira base de análise. Essas instâncias possuem correspondências ideais definidas artificialmente e que se espera sejam obtidas pelo algoritmo, apresentadas respectivamente pelas Figuras 2 a 6. GM GD Figura 2: I0 - Solução Ideal GM GD Figura 3: I1 - Solução Ideal [2661]

8 X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável GM GD Figura 4: I2 - Solução Ideal GM GD Figura 5: I3 - Solução Ideal GM GD Figura 6: I4 - Solução Ideal Em um segundo nível de análise, temos o problema teste I5, como um problema mais real construído a partir da descrição de imagens da área médica, mais precisamente a partir de imagens 2D de um corte muscular. Os dados desse problema teste, além de uma solução considerada ótima ou ideal, foram cedidos por PERCHANT(2000). A origem do problema é mostrada na Figura 7, enquanto o grafo GM é mostrado na Figura 8 e o grafo GD na Figura 9. (a) (b) (c) Figura 7: Corte de um músculo: (a) imagem original, (b) atlas, e (c) imagem supersegmentada. 3 Em português, Procedimento de Busca Adaptativo, Aleatório e Guloso [2662]

9 X X X I X SBPO 28 a 31/08/07 Fortaleza, CE A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável Figura 8: I5 - GM Figura 9: I5 - GD - Solução Ideal 7 Resultados Computacionais O objetivo dessa seção é apresentar os resultados obtidos para cada um dos problemas teste tendo sido aplicada a metaheurística GRASP usando as funções objetivo propostas como guias, comparar o maior valor obtido por cada uma das funções (indica a solução classificada como a melhor pela função objetivo) com o valor obtido pela aplicação da respectiva função à solução ideal do problema teste e comparar a quantidade de acertos de casamento de vértices gerado pelas funções para os valores de α1 e α2 com o qual o melhor resultado por função foi obtido. Os resultados obtidos foram gerados utilizando os seguintes valores para os parâmetros: Número máximo de iterações = 200; Número máximo de soluções viáveis geradas = 25; Número máximo de tentativas para construção de uma solução viável = 100. Além disso, foi utilizado microcomputador com processador Intel Pentium IV de 2,67Ghz e 256MB de memória RAM, rodando o sistema operacional Linux, distribuição UBUNTU 6.06 LTS. A linguagem de programação empregada foi o ANSI C. Nas Tabelas 1 a 6 são apresentados os resultados obtidos pela aplicação das funções objetivo f1, f2 e f3, sendo que a coluna f representa o valor obtido pelas funções objetivo para as soluções ideais, e a coluna T M refere-se ao tempo médio obtido por iteração do algoritmo e a coluna iteração indica a iteração da metaheurística GRASP em que foi encontrada a melhor solução. [2663]

10 Problema Teste Função α 1 α 2 f Iteração f TM f I 0 f f Tabela 1: Resultados para I 0 Problema Teste Função α 1 α 2 f Iteração f TM f I 1 f f Tabela 2: Resultados para I 1 Problema Teste Função α 1 α 2 f Iteração f TM f I 2 f f Tabela 3: Resultados para I 2 [2664]

11 Problema Teste Função α 1 α 2 f Iteração f TM f I 3 f f Tabela 4: Resultados para I 3 Problema Teste Função α 1 α 2 f Iteração f TM f I 4 f f Tabela 5: Resultados para I 4 Problema Teste Função α 1 α 2 f Iteração f TM f I 5 f f Tabela 6: Resultados para I Análise dos Resultados Com base nos resultados obtidos e apresentados nas Tabelas 1 a 6, verificamos que as funções f 1 e f 3 foram nitidamente superiores à função f 2 em todos os quesitos, mas principalmente em termos de [2665]

12 qualidade de resposta. Nem mesmo a calibração dos parâmetros α 1 e α 2 puderam tornar os resultados da função f 2 equiparáveis aos das outras duas. Para o problema teste I 5, por exemplo, o número máximo de acertos de casamento de vértices foi de 5, obtido para α 1 = 0.8 e α 2 = 0.1, conforme Tabela 6. A f 1 e f 3 geraram resultados extremamente equivalentes para os problemas teste menores. Entretanto, para o problema teste I 5 os resultados obtidos pela f 1 foram bastante superiores, obtendo como número máximo de acertos de correspondência de 21 vértices (para α = 0.5), enquanto a f 3 obteve 8 acertos (para α = 0.8), segundo dados da Tabela 6. Com relação ao tempo médio por iteração os resultados obtidos para as três funções objetivo foram equivalentes. No que tange ao número de iterações necessárias para chegar a melhor resposta, não foi possível estabelecer uma linha geral de correlação entre as três funções. A função f 2 evidentemente utilizou mais iterações para obter a melhor resposta que as funções f 1 e f 3, novamente com resultados equivalentes. 8 Conclusões e Trabalhos Futuros Os resultados se mostraram bastante satisfatórios, uma vez que a modelagem do problema mostrouse consistente, e os resultados permitiram indicar a função f 1 como mais adequada para aplicação ao problema. Entretanto, neste ponto cabe uma ressalva de que os resultados foram obtidos para exemplos quase que na totalidade gerados artificialmente, o que implica que a qualidade de sua representação não é garantida. Uma dúvida ainda restante após o término deste trabalho é se eventualmente a função f 1 teria aproveitado uma característica presente nestes exemplos e somente por isso gerado melhores resultados. Assim, fica aqui a indicação para trabalhos futuros de maior investigação no processo precedente ao estudado neste trabalho, quanto à geração das matrizes de similaridade. Além disso, a geração de um banco de exemplos preferencialmente obtidos em situações práticas é uma necessidade evidente. A partir desses novos exemplos cabe uma nova investigação das funções aqui propostas para ratificar ou retificar as conclusões aqui feitas. 9 Referências Bibliográficas BENGOETXEA, E. Inexact Graph Matching Using Estimation of Distribution Algorithms. Tese de Doutorado, École Nationale Supérieure des Télécommunications, Paris, BERGE, C. Graphs. North-Holland, Amsterdam, BOERES, M.C.S. Heurísticas para reconhecimento de cenas por correspondência de grafos. Tese (Doutorado em Engenharia de Produção) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Rio de Janeiro, ESHERA, M. A.; FU, K.-S. An image understanding system using attributed symbolic representation and inexact graph matching. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 8(5): , FEO, T.A.; RESENDE, M.G.C. A probabilistic heuristic for a computationally difficult set covering problem. Operations Research Letters, 8:67 71, FEO, T.A.; RESENDE, M.G.C. Greedy randomized adaptive search procedures. Journal of Global Optimization, 6: , FESTA, P.; RESENDE, M.G.C. GRASP: An annotated bibliography. Essays and surveys in metaheuristic, editado por RIBEIRO, C.C. e HANSEN, P., págs Kluwer Academic Publishers, FORTIN, S. The graph isomorphism problem, LANES, R.G. de Uma Nova Formulação para o Problema de Correspondência de Grafos. Projeto de Graduação (Engenharia de Computação) - Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, PERCHANT, A. Morphisme de graphes d attributs flous pour la reconnaissance structurelle de scènes: Application à la reconnaissance de structures anatomiques saines et pathologiques sur des IRM. Tese de Doutorado, École Nationale Supérieure des Télécommunications, Paris, [2666]