NOVA EDIÇÃO: De acordo com as Metas Curriculares e o Novo Programa de 2013.

Transcrição

1 NOVA EDIÇÃO: De acordo com as Metas Curriculares e o Novo Programa de 2013.

2

3 Índice Introdução... 3 Metas Curriculares do 5. o ano... 5 Planificação a médio prazo Fichas de avaliação Fichas de remediação Passatempos Soluções... 92

4

5 3 Introdução Caros Colegas, Como é do conhecimento dos professores, foram implementadas, no ano de 2012, pelo Ministério da Educação, «Metas Curriculares do Ensino Básico Matemática». Essas metas obrigaram à presente reformulação do Manual MATemática 5, que agora está de acordo com as «Metas Curriculares» e com o Programa de Para o professor, este projeto é um instrumento de apoio ao processo de ensino-aprendizagem, apresentando uma grande variedade de propostas de trabalho e de recursos que o docente pode selecionar de acordo com a especificidade dos alunos das suas turmas. As notas e as sugestões metodológicas apresentadas no Manual do Professor irão ajudar a preparação das aulas e rentabilizar a utilização do Manual em sala de aula. O Caderno de Apoio ao Professor disponibiliza, além da usual planificação de médio prazo, mais recursos de avaliação e de remediação (concretamente, 6 fichas de avaliação e 25 fichas de remediação, para os alunos que apresentem mais dificuldades). Disponibiliza também 9 pequenos passatempos, que poderão ser utilizados, por exemplo, em aulas de substituição. Para o aluno, o Caderno de Apoio ao Aluno é um guia de apoio às aprendizagens, um elemento de consulta regular, um incentivo à descoberta e ao trabalho autónomo, uma fonte de tarefas a realizar dentro e fora da aula, um elemento regulador da aprendizagem através das atividades de autoavaliação (Saber fazer, Fichas, Problemas). No Manual, para cada tópico do Programa, propõe-se uma diversidade de tarefas significativas com as quais se pretende encorajar o aluno a ser ativo, fomentar a confrontação de ideias, facilitar a descoberta, criar uma atmosfera de confiança e desafio, e desenvolver hábitos de trabalho e persistência, contribuindo para a construção dos conceitos matemáticos fundamentais, compreensão dos procedimentos matemáticos e domínio da linguagem matemática. O Manual propõe, ainda, problemas, investigações, explorações, exercícios, projetos e jogos, encontrando-se estas propostas reforçadas no Caderno de Apoio ao Aluno e no O Meu Portefólio. Este último material, disponível em apresenta um conjunto de materiais manipuláveis, imprescindíveis para as aprendizagens, e um conjunto de grelhas, que ajudarão o aluno a criar o seu portefólio, reflexivo das suas aprendizagens. Optámos, em Geometria, por dar a conhecer ao aluno quer a notação simplificada, de acordo com as primeiras instruções aquando da implementação do Programa em 2010, quer a notação tradicional, que os alunos também devem conhecer. Cabe-nos a nós, professores, criar condições na sala de aula que promovam e facilitem as aprendizagens, o que passa por envolver os alunos nas aprendizagens e partilhar com eles o prazer de gostar de Matemática. Esperamos que o MATemática 5 seja um bom auxiliar nesta nossa tarefa de todos os dias. Bom trabalho! Elza e Margarida

6

7 5 Metas Curriculares do 5. o ano Números e Operações NO5 Números racionais não negativos 1. Efetuar operações com números racionais não negativos 1. Simplificar frações dividindo ambos os termos por um divisor comum superior à unidade. 2. Reconhecer, dadas duas frações, que multiplicando ambos os termos de cada uma pelo denominador da outra obtêm-se duas frações com o mesmo denominador que lhes são respetivamente equivalentes. 3. Ordenar duas quaisquer frações. a c a d + c b 4. Reconhecer que + d = (sendo a, b, c e d números naturais). b b d a c a d c b a c 5. Reconhecer que d = (sendo a, b, c e d números naturais, d ). b b d b c 6. Identificar o produto de um número racional positivo q por (sendo c e d números naturais) 1 d c c como o produto por c do produto de q por, representá-lo por q d e d q e reconhecer que a c a c d d = b (sendo a e b números naturais). b d 7. Reconhecer que b a : d c = b a d c (sendo a, b, c e d números naturais). 8. Designar por «fração irredutível» uma fração com menores termos do que qualquer outra que lhe seja equivalente. 9. Representar números racionais não negativos como numerais mistos. 10. Adicionar e subtrair dois números racionais não negativos expressos como numerais mistos, começando respetivamente por adicionar ou subtrair as partes inteiras e as frações próprias associadas, com eventual transporte de uma unidade. 11. Determinar aproximações de números racionais positivos por excesso ou por defeito, ou por arredondamento, com uma dada precisão. 2. Resolver problemas 1. Resolver problemas de vários passos envolvendo operações com números racionais representados por frações, dízimas, percentagens e numerais mistos. Números naturais 3. Conhecer e aplicar propriedades dos divisores 1. Saber os critérios de divisibilidade por 3, por 4 e por Identificar o máximo divisor comum de dois números naturais por inspeção dos divisores de cada um deles. 3. Reconhecer que, num produto de números naturais, um divisor de um dos fatores é divisor do produto. 4. Reconhecer que, se um dado número natural divide outros dois, divide também as respetivas soma e diferença.

8 6 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 5. Reconhecer, dada uma divisão inteira (D = d q + r), que se um número divide o divisor (d) e o resto (r) então divide o dividendo (D). 6. Reconhecer, dada uma divisão inteira (D = d q + r), que se um número divide o dividendo (D) e o divisor (d) então divide o resto (r = D d q). 7. Utilizar o algoritmo de Euclides para determinar os divisores comuns de dois números naturais e, em particular, identificar o respetivo máximo divisor comum. 8. Designar por «primos entre si» dois números cujo máximo divisor comum é Reconhecer que dividindo dois números pelo máximo divisor comum se obtêm dois números primos entre si. 10. Saber que uma fração é irredutível se o numerador e o denominador são primos entre si. 11. Identificar o mínimo múltiplo comum de dois números naturais por inspeção dos múltiplos de cada um deles. 12. Saber que o produto de dois números naturais é igual ao produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum e utilizar esta relação para determinar o segundo quando é conhecido o primeiro, ou vice-versa. 4. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo o cálculo do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais. Geometria e Medida GM5 Propriedades geométricas 1. Reconhecer propriedades envolvendo ângulos, paralelismo e perpendicularidade c 1. Identificar um ângulo não giro a como soma de dois ângulos b e c se a for igual à união de dois ângulos adjacentes b e c respetivamente iguais a b e a c. 2. Identificar um ângulo giro como igual à soma de outros dois se estes forem iguais respetivamente a dois ângulos não coincidentes com os mesmos lados. 3. Construir um ângulo igual à soma de outros dois utilizando régua e compasso. 4. Designar por «bissetriz» de um dado ângulo a semirreta nele contida, de origem no vértice e que forma, com cada um dos lados, ângulos iguais, e construí-la utilizando régua e compasso. 5. Identificar dois ângulos como «suplementares» quando a respetiva soma for igual a um ângulo raso. a b 6. Identificar dois ângulos como «complementares» quando a respetiva soma for igual a um ângulo reto.

9 7 7. Reconhecer que ângulos verticalmente opostos são iguais. 8. Identificar duas semirretas com a mesma reta suporte como tendo «o mesmo sentido» se uma contém a outra. 9. Identificar duas semirretas com retas suporte distintas como tendo «o mesmo sentido» se forem paralelas e estiverem contidas num mesmo semiplano determinado pelas respetivas origens. 10. Utilizar corretamente as expressões «semirretas diretamente paralelas» e «semirretas inversamente paralelas». B 11. Identificar, dadas duas semirretas O A e V C contidas na mesma reta e com o mesmo D O sentido e dois pontos B e D pertencentes a um mesmo semiplano definido pela reta A OV, os ângulos AOB e CVD como «correspondentes» e saber que são iguais quando V (e apenas quando) as retas OB e VD são paralelas. C 12. Construir segmentos de reta paralelos recorrendo a régua e esquadro e utilizando qualquer par de lados do esquadro. 13. Identificar, dadas duas retas r e s intersetadas por uma secante, «ângulos internos» e «ângulos externos» e pares de ângulos «alternos internos» e «alternos externos» e reconhecer que os ângulos de cada um destes pares são iguais quando (e apenas quando) r e s são paralelas. 14. Reconhecer que são iguais dois ângulos convexos complanares de lados dois a dois diretamente paralelos ou de lados dois a dois inversamente paralelos. 15. Reconhecer que são suplementares dois ângulos convexos complanares que tenham dois dos lados diretamente paralelos e os outros dois inversamente paralelos. 16. Saber que dois ângulos convexos complanares de lados perpendiculares dois a dois são iguais se forem «da mesma espécie» (ambos agudos ou ambos obtusos) e são suplementares se forem «de espécies diferentes». 2. Reconhecer propriedades de triângulos e paralelogramos 1. Utilizar corretamente os termos «ângulo interno», «ângulo externo» e «ângulos adjacentes a um lado» de um polígono. 2. Reconhecer que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a um ângulo raso. 3. Reconhecer que, num triângulo retângulo ou obtusângulo, dois dos ângulos internos são agudos. 4. Designar por «hipotenusa» de um triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto e por «catetos» os lados a ele adjacentes. 5. Reconhecer que um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes. 6. Reconhecer que, num triângulo, a soma de três ângulos externos com vértices distintos é igual a um ângulo giro.

10 8 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 7. Identificar paralelogramos como quadriláteros de lados paralelos dois a dois e reconhecer que dois ângulos opostos são iguais e dois ângulos adjacentes ao mesmo lado são suplementares. 8. Utilizar corretamente os termos «triângulo retângulo», «triângulo acutângulo» e «triângulo obtusângulo». 9. Construir triângulos dados os comprimentos dos lados, reconhecer que as diversas construções possíveis conduzem a triângulos iguais e utilizar corretamente, neste contexto, a expressão «critério LLL de igualdade de triângulos». 10. Construir triângulos dados os comprimentos de dois lados e a amplitude do ângulo por eles formado e reconhecer que as diversas construções possíveis conduzem a triângulos iguais e utilizar corretamente, neste contexto, a expressão «critério LAL de igualdade de triângulos». 11. Construir triângulos dado o comprimento de um lado e as amplitudes dos ângulos adjacentes a esse lado e reconhecer que as diversas construções possíveis conduzem a triângulos iguais e utilizar corretamente, neste contexto, a expressão «critério ALA de igualdade de triângulos». 12. Reconhecer que, num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais e reciprocamente. 13. Reconhecer que, em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais e reciprocamente. 14. Classificar os triângulos quanto aos lados utilizando as amplitudes dos respetivos ângulos internos. 15. Saber que, num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado opõe-se o menor ângulo, e vice-versa. 16. Reconhecer que, num paralelogramo, lados opostos são iguais. 17. Saber que, num triângulo, a medida do comprimento de qualquer lado é menor do que a soma das medidas dos comprimentos dos outros dois e maior do que a respetiva diferença e designar a primeira destas propriedades por «desigualdade triangular». 18. Saber, dada uma reta r e um ponto P não pertencente a r, que existe, uma reta perpendicular a r passando por P, reconhecer que é única e construir a interseção desta reta com r (ponto designado por «pé da perpendicular») utilizando régua e esquadro. r P 19. Saber, dada uma reta r e um ponto P a ela pertencente, que existe, em cada plano contendo r, uma reta perpendicular a r passando por P, reconhecer que é única e construí-la utilizando régua e esquadro, designando o ponto P por «pé da perpendicular». 20. Identificar a distância de um ponto P a uma reta r como a distância de P ao pé da perpendicular traçada de P para r e reconhecer que é inferior à distância de P a qualquer outro ponto de r. r P 21. Identificar, dado um triângulo e um dos respetivos lados, a «altura» do triângulo, relativamente a esse lado (designado por «base»), como o segmento de reta que une o vértice oposto à base ao pé da perpendicular traçada desse vértice para a reta que contém a base. base altura

11 9 22. Reconhecer que são iguais os segmentos de reta que unem duas retas paralelas e lhes são perpendiculares e designar o comprimento desses segmentos por «distância entre as retas paralelas». 23. Identificar, dado um paralelogramo, uma «altura» relativamente a um lado (designado por «base») como um segmento de reta que une um ponto do lado oposto à reta que contém a base e lhe é perpendicular. 24. Utilizar raciocínio dedutivo para reconhecer propriedades geométricas. base alturas 3. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo as noções de paralelismo, perpendicularidade, ângulos e triângulos. Medida 4. Medir áreas de figuras planas 1. Construir, fixada uma unidade de comprimento e dados dois números naturais a e b, um quadrado unitário decomposto em a b retângulos de lados consecutivos de medidas 1 a e 1 e reconhecer que a b área de cada um é igual a 1 a 1 unidades quadradas. b 2. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dados dois números racionais positivos q e r, que a área de um retângulo de lados consecutivos de medida q e r é igual a q r unidades quadradas. 3. Exprimir, em linguagem simbólica, a regra para o cálculo da medida da área de um retângulo em unidades quadradas, dadas as medidas de comprimento de dois lados consecutivos em determinada unidade, no caso em que são ambas racionais. 4. Exprimir, em linguagem simbólica, a regra para o cálculo da medida da área de um quadrado em unidades quadradas, dada a medida de comprimento c dos respetivos lados em determinada unidade (supondo c racional), designando essa medida por «c ao quadrado» e representando-a por «c 2». 5. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dado um paralelogramo com uma base e uma altura a ela relativa, com comprimentos de medidas respetivamente iguais a b e a a (sendo b e a números racionais positivos), que a medida da área do paralelogramo em unidades quadradas é igual a b a, verificando que o paralelogramo é equivalente a um retângulo com essa área. 6. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dado um triângulo com uma base e uma altura a ela relativa, com comprimentos de medidas respetivamente iguais a b e a (sendo b e a números racionais positivos), que a medida da área do triângulo em unidades quadradas é igual a metade de b a, verificando que se pode construir um paralelogramo decomponível em dois triângulos iguais ao triângulo dado, com a mesma base que este. 7. Exprimir, em linguagem simbólica, as regras para o cálculo das medidas das áreas de paralelogramos e triângulos em unidades quadradas, dadas as medidas de comprimento de uma base e correspondente altura em determinada unidade, no caso em que são ambas racionais.

12 10 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 5. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas. 6. Medir amplitudes de ângulos 1. Identificar, fixado um ângulo (não nulo) como unidade, a medida da amplitude de um dado ângulo como b 1 àquele. (sendo b número natural) quando o ângulo unidade for igual à soma de b ângulos iguais 2. Identificar, fixado um ângulo (não nulo) como unidade, a medida da amplitude de um dado ângulo θ como b a (sendo a e b números naturais) quando for igual à soma de a ângulos de amplitude b 1 unidades e representar a amplitude de θ por «θ». 3. Identificar o «grau» como a unidade de medida de amplitude de ângulo tal que o ângulo giro tem amplitude igual a 360 graus e utilizar corretamente o símbolo «ο». 4. Saber que um grau se divide em 60 minutos (de grau) e um minuto em 60 segundos (de grau) e utilizar corretamente os símbolos e. 5. Utilizar o transferidor para medir amplitudes de ângulos e construir ângulos de determinada amplitude, expressa em graus. 7. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo adições, subtrações e conversões de medidas de amplitude expressas na forma complexa e incomplexa. Álgebra ALG5 Expressões algébricas 1. Conhecer e aplicar as propriedades das operações 1. Conhecer as prioridades convencionadas das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, e utilizar corretamente os parênteses. 2. Reconhecer as propriedades associativa e comutativa da adição e da multiplicação, e as propriedades distributivas da multiplicação relativamente à adição e à subtração, e representá-las algebricamente. 3. Identificar o 0 e o 1 como os elementos neutros respetivamente da adição e da multiplicação de números racionais não negativos, e o 0 como elemento absorvente da multiplicação. 4. Utilizar o traço de fração para representar o quociente de dois números racionais e designá-lo por «razão» dos dois números. 5. Identificar dois números racionais positivos como «inversos» um do outro quando o respetivo produto 1 for igual a 1 e reconhecer que o inverso de um dado número racional positivo q é igual a. q

13 11 a b 6. Reconhecer que o inverso de é b a (sendo a e b números naturais) e reconhecer que dividir por um número racional positivo é o mesmo do que multiplicar pelo respetivo inverso. 7. Reconhecer que o inverso do produto (respetivamente quociente) de dois números racionais positivos é igual ao produto (respetivamente quociente) dos inversos. 8. Reconhecer, dados os números racionais positivos q, r, s e t, que q r s t = q s e concluir que o r t inverso de q r r é igual a. q q 9. Reconhecer, dados os números racionais positivos q, r, s e t, que r = q t. r s s t 10. Simplificar e calcular o valor de expressões numéricas envolvendo as quatro operações aritméticas e a utilização de parênteses. 11. Traduzir, em linguagem simbólica, enunciados matemáticos expressos em linguagem natural e vice - -versa, sabendo que o sinal de multiplicação pode ser omitido entre números e letras e entre letras, e que pode também utilizar-se, em todos os casos, um ponto no lugar deste sinal.

14

15 13 Planificação a médio prazo A proposta de planificação a médio prazo prevê a seguinte ordem de lecionação de conteúdos: 1. Números naturais 2. Números racionais não negativos 3. Figuras no plano 4. Perímetros e áreas 5. Representação e interpretação de dados Esta proposta não é impeditiva da escolha de outro percurso temático de aprendizagem, alternativo ao nosso, se decidido pelos professores de Matemática, em reunião de disciplina, de acordo com os conhecimentos e necessidades dos seus alunos. Alertamos os colegas para as alterações introduzidas pelas «Metas Curriculares» e pelo Programa de 2013, que obrigam à lecionação, no 5. o ano, de conteúdos que eram abordados em anos posteriores e implicam a retirada de conteúdos que eram de 5. o ano para serem ensinados no 6. o ano. No tratamento dos diversos conteúdos do Programa, procurou-se que os alunos deste nível etário tivessem o seu primeiro contacto com os métodos simbólicos próprios da álgebra.

16 14 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Tópico 1. Números naturais Propriedades das operações e regras operatórias: adição subtração multiplicação divisão Divisão inteira Divisores Propriedades dos divisores Critérios de divisibilidade Potências de base e expoente naturais Potências de base 10 Números primos e números compostos Relações da divisibilidade com a divisão inteira m.d.c. de dois números m.m.c. de dois números Capacidades transversais Comunicação matemática Raciocínio matemático Resolução de problemas 1.º Período Números e operações Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Compreender as propriedades e regras das operações e usá-las no cálculo. Interpretar uma potência de expoente natural como um produto de fatores iguais. Identificar e dar exemplos de quadrados e de cubos de um número e de potências de base 10. Utilizar os critérios de divisibilidade de um número (2, 3, 4, 5, 9 e 10). Identificar e dar exemplo de números primos e distinguir números primos de números compostos. Usar propriedades dos divisores. Utilizar as relações da divisibilidade com a divisão inteira. Compreender as noções de m.m.c. e m.d.c. de dois números e determinar o seu valor. Reconhecer que o produto de dois números naturais é igual ao produto do seu m.d.c. pelo seu m.m.c. Neste tópico, as propostas do Manual pretendem contribuir para um melhor conhecimento dos números e operações pelos alunos, para a descoberta de propriedades e relações para desenvolver o cálculo mental e a capacidade de estimação. Os alunos decompõem os números naturais em somas ou produtos, procuram divisores, formam potências. Os conceitos de m.d.c. e m.m.c. surgem naturalmente de problemas que envolvem sequências de divisores e múltiplos, e os seus valores poderão também ser calculados recorrendo ao algoritmo de Euclides e à relação entre m.d.c. e m.m.c. de dois números naturais. Mostrar, com exemplos, as propriedades dos divisores bem como as relações da divisão inteira com a divisibilidade. Ver outras sugestões metodológicas em cada subtema do Manual do Professor. Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber Fazer» e «Fichas» Calculadora (ver indicações metodológicas no Programa) Fichas formativas Fichas de remediação (1 a 9) Computador: folha de cálculo Quadro interativo Ficha de autoavaliação n. o 1 do Caderno de Apoio ao Professor Contínua Diagnóstica Formativa Autoavaliação dos alunos Trabalhos individuais ou de grupo (pesquisa) Ler e analisar na aula os objetivos de cada tema (ver rubrica Agora Já do Manual antes da realização das fichas de avaliação) Sumativa 18 blocos Resolver problemas que envolvam as propriedades da adição, subtração, multiplicação e divisão, bem como potenciação, m.m.c. e m.d.c.

17 15 Tópico 2. Números racionais não negativos Noção e representação de número racional Comparação e ordenação Operações: adição e subtração Propriedades da adição Percentagem Capacidades transversais Comunicação matemática Raciocínio matemático Resolução de problemas 1.º Período Números e operações (Cont.) Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Compreender e usar um número racional como quociente, relação parte-todo, razão, medida e operador. Reconhecer frações decimais. Comparar e ordenar números racionais representados de diferentes formas. Localizar e posicionar na reta numérica um número racional não negativo representado nas suas diferentes formas. Representar sob a forma de fração um número racional não negativo dado por uma dízima finita. Identificar e dar exemplos de frações equivalentes a uma dada fração e escrever uma fração na sua forma irredutível. Escrever, se possível, uma fração decimal equivalente a outra dada. Adicionar e subtrair números racionais não negativos representados em diferentes formas. Usar as propriedades da adição no cálculo mental e escrito. Compreender a noção de percentagem e relacionar diferentes formas de representar uma percentagem. Traduzir uma fração por uma percentagem e interpretá-la como o número de partes em 100. Calcular e usar percentagens. Resolver problemas que envolvam números racionais não negativos. É importante que o professor esteja atento aos obstáculos com que os alunos se deparam quando iniciam o trabalho com números racionais. Pretende-se que os alunos desenvolvam uma compreensão e uso de um número racional como quociente, parte-todo, medida, razão e operador, de modo a tornarem-se competentes na utilização de frações, numerais decimais, numerais mistos e percentagens. É importante que os alunos saibam que os números racionais podem ser representados de várias maneiras e que compreendam, por exemplo, que 2 1, 50% e 0,5 são apenas representações equivalentes. Os alunos devem ganhar destreza na conversão de frações em numerais decimais e percentagens e vice -versa, bem como na ordenação, comparação e cálculo com números racionais, utilizando diferentes estratégias. Praticar a adição e subtração de números representados por numerais mistos, começando respetivamente por adicionar ou subtrair as partes inteiras e as frações próprias associadas com eventual transporte de uma unidade. Os alunos devem averiguar se as propriedades da adição de números naturais se mantêm para os números racionais não negativos e utilizar as propriedades para facilitar cálculos. Os alunos devem ganhar destreza no cálculo mental e escrito. Ver outras sugestões metodológicas em cada subtema do Manual do Professor. Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber Fazer» e «Fichas» Materiais simples do quotidiano (folhas de papel, berlindes, lápis de cor, relógio, círculos ou barras divididas em partes iguais) Material Cuisenaire Tangram Calculadora Computador: folha de cálculo Fichas de trabalho Fichas formativas Fichas de remediação (10 a 12) Portefólio do Aluno Ficha de autoavaliação n. o 2 do Caderno de Apoio ao Professor Contínua Diagnóstica Formativa Autoavaliação dos alunos A avaliação deve fornecer informações úteis quer para professores quer para alunos Sumativa 18 blocos

18 16 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Tópico 2. Números racionais não negativos (cont.) Arredondamentos; regras Valores aproximados Multiplicação de números racionais não negativos Propriedades da multiplicação Capacidades transversais Resolução de pro blemas Raciocínio matemático Comunicação matemática 2.º Período Números e operações (Cont.) Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Fazer arredondamentos atendendo ao número de casas decimais. Determinar o valor aproximado de um número por defeito e por excesso, com uma dada precisão. Multiplicar números racionais não negativos representados de diferentes formas. Compreender o efeito de multiplicar um número racional não negativo por um número maior do que zero e menor do que 1. Estimar produtos. Compreender e usar as propriedades da multiplicação para facilitar cálculos. Partindo, por exemplo, de números racionais representados por dízimas infinitas, ensinar aos alunos as regras dos arredondamentos atendendo ao número de casas decimais. A necessidade de trabalhar com valores aproximados pode surgir de problemas concretos como, por exemplo: «Determinar o lado de um triângulo equilátero cujo perímetro é 5 metros.» Explorar a aproximação às unidades e às décimas por defeito e por excesso podendo utilizar-se a reta numérica. Partir de situações concretas, como, por exemplo, «Recorta um terço da metade de uma folha. Que fração da folha cortaste?» e mostrar que = 6 1, e que, assim, se realizou uma multiplicação. Com exemplos deste tipo e outros, os alunos devem descobrir a regra para multiplicar números representados por frações. Recordar o produto de números racionais não negativos representados por decimais (1. o ciclo). A estimativa de produtos e a discussão do valor de um produto de um número racional não negativo por outro maior do que zero e menor do que 1 deve ser realizada nesta altura. Fazer conexões com a Geometria, por exemplo no cálculo de áreas e perímetros de figuras planas. Devem ser propostas expressões numéricas cujo cálculo seja facilitado com o uso das propriedades das operações. Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber fazer» e «Fichas» Calculadora Computador Folhas de papel, tesoura, lápis de cor, material de desenho Fichas formativas Fichas de remediação (13 a 15) Ficha de autoavaliação n. o 3 do Caderno de Apoio ao Professor Diagnóstica Contínua Formativa Trabalhos individuais (ou de grupo) 8 blocos

19 17 Tópico 2. Números racionais não negativos (cont.) Potências de expoente natural e base racional não negativa Inverso de um número racional positivo Divisão de números racionais não negativos Operações combinadas Capacidades transversais Resolução de pro blemas Raciocínio matemático Comunicação matemática 2.º Período Números e operações (Cont.) Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Calcular potências de expoente natural de um número racional não negativo, representadas nas suas diferentes formas. Compreender a noção de inverso de um número racional positivo. Determinar o inverso de um número racional positivo. Dividir números racionais não negativos, representados de diversas formas. Compreender o efeito de dividir um número racional não negativo por um número maior do que zero e menor do que 1. Estimar quocientes. Compreender o significado dos parênteses e a prioridade das operações numa expressão numé - rica. Usar expressões numéricas para representar situações. Resolver problemas. Traduzir, em linguagem simbólica, enunciados matemáticos expressos em linguagem natural e vice-versa. Simplificar e calcular o valor de expressões numéricas. Utilizar o traço de fração para representar o quociente de dois números racionais e designá-lo por razão dos dois números. O cálculo de áreas de quadrados e volumes de cubos deve ser aproveitado para trabalhar respetivamente quadrados e cubos de números representados por frações e por dízimas. Sugere-se que se explore bem a diferença entre, por exemplo: 5 3 2, 5 32 e (0,1 + 0,5) 2 e 0, ,5 2 O uso das propriedades das operações deve ser explorado no cálculo de expressões do tipo: ,1 10 A tarefa proposta no volume 1 do Manual (p. 134) para determinar o inverso de um número racional positivo deve ser realizada. Mostrar que o zero não tem inverso. A noção de inverso serve também para facilitar cálculos do tipo: = 1 1 Propor aos alunos que, usando números racionais, mostrem que o inverso do produto é igual ao produto dos inversos. Situações concretas para explorar a divisão devem ser propostas, por exemplo: «Quantos terços de folha há em duas folhas iguais?» As respostas dos alunos devem ser exploradas, registando em linguagem simbólica 2 : 3 1 = 6 e comparando com 2 3 = 6. Outras situações análogas devem ser sugeridas, de modo que os alunos cheguem à regra da divisão de números racionais não negativos. Recordar o vocabulário da divisão. Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber fazer» e «Fichas» Folhas de papel, lápis de cor, material de desenho e tesoura Dados de jogar Calculadora Computador Fichas Formativas Fichas de remediação (16 a 18) Ficha de autoavaliação n. o 3 do Caderno de Apoio ao Professor Diagnóstica Contínua Formativa Trabalhos individuais (ou de grupo) Ler e analisar na aula os objetivos de cada tema (ver rubrica Agora Já do Manual antes da realização das fichas de avaliação) Autoavaliação dos alunos. Sumativa 8 blocos

20 18 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Tópico Capacidades transversais 2.º Período Números e operações (Cont.) Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo «Numa divisão em que o divisor é um número maior do que zero e menor do que 1, o que se pode dizer do quociente comparado com o dividendo?» Exemplos do seguinte tipo devem ser fornecidos: 5 : 2 1 = 10 e 10 > 5 0,5 : 4 1 = 2 e 2 > 0,5 Propor aos alunos que, usando números racionais, mostrem que o inverso do quociente é igual ao quociente dos inversos. A tradução de problemas por expressões numéricas que envolvam as operações estudadas e o cálculo do valor dessas expressões, recordando o uso de parênteses e a prioridade das operações, deve também ser efetuado. Problemas do dia a dia, que envolvam os conteúdos deste capítulo, devem ser resolvidos. Os alunos devem criar enunciados de problemas dadas as respetivas expressões numéricas. Propor aos alunos exercícios do tipo: = : 3 5 = = 3 1 e quocientes de razões como:, 0 1,, 4 2, , = 0 1, 3 4 : 5 2,, 5 0 = 1 1,, 3 2, , 1 = 5 = 1 0,, ,, 1 5

21 19 Tópico 3. Figuras no plano Retas, semirretas e segmentos de reta Posição relativa de duas retas Ângulos, comparação e soma de ângulos Construções geométricas Unidades de medida da amplitude de ângulos Relações entre ângulos: de lados paralelos; de lados perpendiculares Polígonos: triângulos e suas propriedades, construção e congruência quadriláteros; paralelogramos circunferência e círculo Capacidades transversais Comunicação matemática Raciocínio matemático Resolução de problemas 2.º Período Geometria e medida Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Identificar e representar retas paralelas, perpendiculares e concorrentes, semirretas e segmentos de reta, e identificar a sua posição relativa no plano. Construir uma reta perpendicular a outra passando por um ponto dado. Identificar o pé da perpendicular. Determinar a distância de um ponto a uma reta e a distância entre duas retas paralelas. Comparar ângulos. Construir o ângulo soma de dois ângulos dados usando o compasso. Construir a bissetriz de um ângulo. Converter a amplitude de um ângulo, dada na forma complexa, na forma incomplexa, e vice-versa. Medir, em graus, a amplitude de um ângulo e construir um ângulo sendo dada a sua amplitude. Estabelecer relações entre ângulos e classificar ângulos. Identificar ângulos complementares, suplementares, adjacentes e verticalmente opostos. Identificar, em duas retas cortadas por uma secante, ângulos: internos; externos; alternos internos; alternos externos; correspondentes. Este tópico assenta em tarefas que permitem aos alunos observar, comparar, descobrir e traçar. O aluno deve aperfeiçoar o uso de instrumentos de medição e desenho e usar programas de geometria dinâmica. As tarefas de exploração favorecem a formulação de conjeturas. Para a soma das amplitudes dos ângulos internos e externos de um triângulo deve recorrer-se não só a provas informais mas também às justificações dos passos utilizados para as deduzir. A simetria, abordada de forma experimental, contribuirá para desenvolver o conhecimento dos triângulos e suas propriedades. Colaborar com o professor de Educação Visual, no sentido de melhorar nos alunos a capacidade de usar material de desenho e medição, nomeadamente no traçado de retas paralelas e perpendiculares, construção de triângulos e desenho de circunferências e círculos. É importante fazer a interação da Geometria com Números e Operações. A diversidade de tarefas propostas neste capítulo no Manual, bem como as sugestões metodológicas, pormenorizadas por assunto, podem orientar o professor de modo a conseguir que os alunos atinjam o grande leque de objetivos exigidos no tema Geometria e Medida. Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber Fazer» e «Fichas» Régua Esquadro de 60º e 45º Transferidor Compasso Tangram Programa Geogebra Palhinhas Fichas formativas Fichas de remediação (19 a 22) Portefólio do Aluno Ficha de autoavaliação n. o 4 do Caderno de Apoio ao Professor Contínua Diagnóstica Formativa Observação sistemática da atividade dos alunos Autoavaliação dos alunos Valorizar o esforço e a progressão de cada aluno Sumativa Observação direta da atividade dos alunos na realização das tarefas propostas 20 blocos

22 20 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Tópico Capacidades transversais 2.º Período Geometria e medida (Cont.) Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Reconhecer que pares de ângulos alternos internos, alternos externos e correspondentes são iguais quando, e só quando, as retas dadas e cortadas pela secante forem paralelas. Saber que ângulos convexos de lados perpendiculares dois a dois são iguais se forem da mesma espécie e que são suplementares se forem de espécies diferentes. Identificar os elementos de um polígono, compreender as suas propriedades e classificar polígonos. Classificar triângulos quanto aos ângulos e quanto aos lados. Construir triângulos e compreender os casos de possibilidade na construção de triângulos. Compreender relações entre elementos de um triângulo e usá-las na resolução de problemas. Compreender o valor da soma das amplitudes dos ângulos internos e externos de um triângulo. Relacionar a amplitude de um ângulo externo de um triângulo com as amplitudes de dois ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo. Designar, num triângulo retângulo, a hipotenusa e os catetos. Saber os casos de igualdade de triângulos: LLL, LAL e ALA.

23 21 Tópico Capacidades transversais 2.º Período Geometria e medida (Cont.) Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Reconhecer que em triângulos iguais com lados iguais opõem-se ângulos iguais e vice-versa. Identificar paralelogramos e reconhecer propriedades dos paralelogramos. Identificar as propriedades da circunferência e distinguir circunferência de círculo. Resolver problemas envolvendo ângulos, triângulos e paralelogramos.

24 22 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Tópico 4. Perímetros e áreas Polígonos regulares e irregulares Áreas Equivalência de figuras planas Unidades de área Áreas do retângulo e do quadrado Área do paralelogramo Área do triângulo Áreas de figuras por decomposição Estimativas Área e perímetro 3.º Período Geometria e medida. Perímetros e Áreas Capacidades transversais Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Comunicação matemática Raciocínio matemático Resolução de problemas Determinar o perímetro de polígonos regulares e irregulares. Resolver problemas envolvendo perímetros de polígonos. Compreender a noção de equivalência de figuras planas. Distinguir figuras equivalentes de figuras congruentes. Utilizar unidades de área e reconhecer que a medida da área depende da unidade escolhida. Identificar, num triângulo e num paralelogramo, a altura relativa a uma base e traçá-la. Exprimir, em linguagem simbólica, as regras para o cálculo das medidas das áreas de paralelogramos e triângulos. Saber que o sinal de multiplicação pode ser omitido entre números e letras e entre letras, ou pode ser substituído por um ponto. Relacionar a área do retângulo com a área do paralelogramo com a mesma base e a mesma altura. Relacionar a área do triângulo com a do paralelogramo com a mesma base e a mesma altura. Determinar áreas de triângulos e paralelogramos. Pode ser proposta aos alunos uma atividade no exterior da sala de aula: os alunos munidos de instrumentos de mediação adequados poderão calcular perímetros de canteiros, do campo de jogos, Usar o tangram, por exemplo, para introduzir a noção de equivalência de figuras planas e deduzir que figuras planas equivalentes têm a mesma área. Recordar congruência de figuras planas. Recordar unidades de área. A manipulação do paralelogramo obliquângulo deve ajudar os alunos a concluírem que o paralelogramo é equivalente a um retângulo com a mesma base e a mesma altura. Ensinar os alunos a traçar a altura de um paralelogramo relativa a uma base. Manipular paralelogramos desenhados em papel quadriculado para descobrir que a área do triângulo, com a mesma base e a mesma altura do paralelogramo, é metade da área desse paralelogramo. Ensinar os alunos a traçar as três alturas num triângulo. O professor deve fazer uma síntese e um formulário de áreas usando notação simplificada (omitir o sinal de multiplicação). Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber Fazer e «Fichas» Régua, esquadro e compasso Fio Papel quadriculado de 1 cm Tangram Pentaminós Fita métrica Calculadora Programa Geogebra Folha de cálculo Fichas formativas Fichas de remediação (23 e 24) Portefólio do Aluno Ficha de autoavaliação n. o 5 do Caderno de Apoio ao Professor Contínua Diagnóstica Formativa Observação direta da atividade dos alunos na realização das experiências propostas Sumativa 10 blocos Resolver problemas que envolvam áreas e perímetros de figuras planas.

25 23 Tópico 3.º Período Geometria e medida. Perímetros e Áreas (Cont.) Capacidades transversais Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Propor aos alunos a determinação de áreas de figuras planas por decomposição em figuras conhecidas. Pedir aos alunos que desenhem, em papel quadriculado, figuras não congruentes com o mesmo perímetro e que determinem a área de cada uma. Pedir aos alunos que desenhem figuras não congruentes com a mesma área e que determinem o seu perímetro. Os problemas a propor no final deste capítulo devem fazer a conexão com os temas Números Racionais e Figuras no Plano.

26 24 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Tópico 5. Representação e interpretação de dados Referencial cartesiano Formulação de questões Natureza dos dados Tabela de frequências absolutas e relativas Gráficos de barras, circulares e de linha e diagramas de caule-e-folhas e de pontos Média aritmética Moda Extremos e amplitude 3.º Período Organização e tratamento de dados Capacidades transversais Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Comunicação matemática Raciocínio matemático Resolução de problemas Identificar um referencial cartesiano ortogonal e monométrico. Identificar as coordenadas de um ponto P (x, y). Localizar, num referencial, as coordenadas de um ponto P (x, y). Construir um gráfico cartesiano referente a dois conjuntos de números. Formular questões suscetíveis de tratamento estatístico, e identificar os dados a recolher e a forma de os obter. Distinguir dados de natureza qualitativa de dados de natureza quantitativa. Recolher, classificar e organizar dados de natureza diversa. Construir e interpretar tabelas de frequências absolutas e relativas, gráficos de barras e de linha e diagramas de caule-e-folhas e de pontos. Interpretar gráficos circulares. Compreender e determinar a média aritmética de um conjunto de dados e indicar a adequação da sua utilização, num dado contexto. Compreender e determinar os extremos e a amplitude de um conjunto de dados. O estudo deste assunto é indispensável ao mundo em que vivemos. No dia a dia somos confrontados em jornais, revistas, televisão, com informação em tabelas e gráficos. Este tópico proporciona a realização de atividades interdisciplinares em trabalho de grupo. A iniciação a este tópico deve fazer -se com atividades ligadas a interesses dos alunos. Estes devem adquirir métodos e processos de recolha, organização e representação de dados estatísticos. A tarefa proposta na introdução dos referenciais cartesianos deve despertar nos alunos a necessidade de posicionarem um ponto relativamente a dois eixos que se intersetam. O professor deverá introduzir as noções de referencial cartesiano, referencial cartesiano ortogonal e monométrico e coordenadas de um ponto P (x, y). Aplicar estes conhecimentos nos gráficos de linhas. A construção de gráficos circulares será trabalhada no 6. ano. No entanto, podem ser interpretados gráficos circulares. Devemos desenvolver nos alunos a destreza na representação de dados, através de tabelas, gráficos e diagramas. Manual Caderno de Apoio ao Aluno: «Saber Fazer e «Fichas» Jornais Revistas Calculadora Computador: folha de cálculo Internet Régua Ficha de autoavaliação n. o 6 do Caderno de Apoio ao Professor Ficha de remediação (25) Diagnóstica De pequenos projetos desenvolvidos pelos alunos no âmbito da Estatística Formativa Sumativa 10 blocos

27 25 Tópico 3.º Período Organização e tratamento de dados (Cont.) Capacidades transversais Objetivos específicos Sugestões metodológicas Recursos Avaliação Tempo Interpretar os resultados que decorrem da organização e representação de dados e formular conjeturas a partir desses resultados. Utilizar informação estatística para resolver problemas e tomar decisões. Ao trabalhar a moda, média, extremos e amplitude, deve ser discutida a questão de a média ser muito influenciada por valores extremos, transmitindo por vezes uma ideia enganadora na interpretação de algumas situações. Ver sugestões metodológicas por subtópico no Manual do Professor.

28

29 27 Ficha de avaliação 1 Números e operações: Números naturais Nome Ano Turma N. o Esta prova consta de duas partes: A e B. Na parte A, terás de colocar X no quadrado correspondente à resposta correta. Na parte B, apresenta todos os cálculos que executares e todas as justificações necessárias. 1. A parcela desconhecida em? + 75 = 129 é: Parte A 2. O aditivo, numa subtração em que o subtrativo é 575 e o resto é 900, é: O fator desconhecido em 18? = 72 é: Pensei num número, dividi-o por 15 e obtive 20. Em que número pensei?

30 28 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 5. O valor da expressão 2 (4 + 5) é o mesmo que o valor de: representa o mesmo que: Os divisores de 18 são: 1, 2, 9, 18 18, 36, 54, 72 1, 2, 3, 6, 9, 18 1, Qual dos números seguintes é composto? Qual das afirmações seguintes é verdadeira para todos os números divisíveis por 9? O número representado pelo algarismo das unidades é divisível por 9. A soma dos números representados por todos os seus algarismos é múltiplo de 9. O número representado pelo algarismo das unidades é 9. O produto dos números representados pelos seus algarismos é divisível por 9.

31 29 Parte B 1. A despesa de uma visita de estudo foi de 475 euros. A despesa foi repartida igualmente por 25 alunos. Quanto pagou cada um? 2. Distribuí os meus caramelos por 7 sacos, cada saco levou uma dúzia e sobraram 9 caramelos. Descobre quantos caramelos tinha. 3. Coloca parêntesis em cada uma das expressões de modo que o seu valor seja : Completa a igualdade com quadrados e cubos de números naturais =34 5. Calcula pelo método das divisões sucessivas: 5.1 m.d.c (70, 136) 5.2 m.d.c. (80, 52) 6. Verdadeiro ou falso? (A) representa um número divisível por 3. (B) O maior divisor comum de 14 e 49 é 7. (C) O mínimo múltiplo comum de 5 e 7 é 12. (D) 21 é número primo. (E) 10 5 representa um milhão. (F) (15 + 9) 3 = Tenho duas pipas de vinho: uma leva 36 litros de vinho branco e a outra leva 48 litros de vinho tinto. Quero engarrafar o vinho em garrafões de igual capacidade e a maior possível, sem misturar os dois tipos de vinho. Qual a capacidade desses garrafões e quantos vou usar?

32 30 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 8. Dois autocarros passam pela mesma paragem: um de 20 em 20 minutos e o outro de 35 em 35 minutos. Se ambos coincidiram às 9 horas da manhã, quando voltam a passar juntos pela mesma paragem? 9. Por que algarismos devo substituir a letra a em 8a5a para que o número obtido seja divisível por 3 e par? 10. Dados os números 1, 2, 3, 5, 21, 23, 35, 49, 71, 630 e 1005, indica os que são: 10.1 divisores de 230: 10.2 números primos: 10.3 múltiplos de 7: 10.4 divisíveis por 3 e por 5: 10.5 quadrados de números naturais: 11. A Sara tem metade dos euros da sua irmã Teresa. A Teresa tem o quádruplo dos euros do seu primo João. O João tem 116 euros. Quantos euros tem a Sara?

33 Dados os números e : 12.1 Mostra que são divisíveis por Sem efetuares a divisão inteira de por , mostra que o resto desta divisão é divisível por 4. Confirma a tua resposta efetuando a divisão inteira. 13. Sabendo que 198 = e 143 = 11 13, podes afirmar, sem calcular, que a diferença é divisível por 11? Justifica. 14. Sabendo que 161 = 7 23 e 294 = 7 42, podes afirmar, sem calcular, que a soma é múltiplo de 7? Justifica. 15. Usa o resto e o divisor da divisão inteira de 156 por 130 para concluir que 156 é divisível por Sabendo que 4641 = , o João afirmou: «4641 é divisível por 7.» A Joana afirmou «4641 é divisível por 9.» Terão ambos razão? Justifica. 17. Tenho entre 56 e 86 laranjas. Contando-as de 5 em 5 não sobra nenhuma e contando-as de 6 em 6 sobra uma. Quantas laranjas tenho? 18. O produto de dois números é 3240 e o seu m.d.c. é 18. Qual é o m.m.c. daqueles números?

34 32 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de avaliação 2 Números e operações: Números racionais não negativos Nome Ano Turma N. o Esta prova consta de duas partes: A e B. Na parte A, terás de colocar X no quadrado correspondente à resposta correta. Na parte B, apresenta todos os cálculos que executares e todas as justificações necessárias. 1. Em qual das figuras se pintou a sua terça parte? Parte A 2. Na figura, que fração das bolas corresponde às bolas escuras? Uma orquestra é composta por 34 homens e 23 mulheres. Qual é a razão entre o número de mulheres e o número de homens?

35 33 4. A fração que representa o número maior do que 1 é: A fração que representa 2,2 é: A fração equivalente a é: A fração que representa um número maior do que 5 e menor do que 6 é: % de 50 são:

36 34 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 1. Escreve cada uma das frações na forma irredutível. Parte B Representa por numeral decimal e por percentagem: Representa por uma fração decimal as dízimas finitas: 0,075 1,04 4. Indica o número que corresponde a cada um dos pontos (A, B, C, D e E) assinalados na reta. A B C D E 5. Que fração de cada figura, tomada como unidade, é a parte sombreada? O Zé trouxe da aldeia dois sacos com figos, um de 3,5 kg e outro de kg Qual é o peso total dos figos? 6.2 Se 1,5 kg dos figos apodreceram, quantos quilogramas de figos se aproveitaram? 7. Calcula

37 35 8. Qual das seguintes frações representa o número menor? Dos 400 lugares de uma sala de concertos, 3 estão ocupados. Quantos são os lugares vazios? Calcula o valor de cada uma das expressões , , Para fazer bolos para uma festa, o Zé precisa de 400 g de açúcar para um bolo, de kg de açúcar para 5 2 outro e de kg de açúcar para outro. 4 Quantos pacotes de 1 kg o Zé precisa de ir comprar para fazer os bolos se não tiver açúcar em casa? 12. A Luísa tinha Gastou 40% do seu dinheiro num relógio e 25% do dinheiro que lhe sobrou numa caneta Que percentagem do seu dinheiro gastou a Luísa? 12.2 Quanto dinheiro, em euros, lhe sobrou? 13. Numa aula de natação, 4 dos alunos são raparigas. Se há 10 rapazes, quantos são os alunos no total? Calcula o valor exato de Reduz à dízima o resultado do item anterior e arredonda-o, primeiro, à unidade e, depois, à décima.

38 36 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de avaliação 3 Números e operações: Números racionais não negativos Nome Ano Turma N. o Esta prova consta de duas partes: A e B. Na parte A, terás de colocar X no quadrado correspondente à resposta correta. Na parte B, apresenta todos os cálculos que executares e todas as justificações necessárias. Parte A 1. 2,3 não é o mesmo que: % é maior do que: , O valor aproximado de 6 a menos de uma décima por defeito é: 0,8 0,9 0,83 0,84 4. A soma de três com um sétimo arredondada à milésima é: 3,140 3,150 3,142 3,143

39 37 5. A diferença entre cinquenta e quatro décimas e um meio é: 0,4 0,04 4, Se um pacote de amêndoas «pesa» um quarto de quilograma, sete pacotes iguais «pesam»: 1,25 kg 1,75 kg 2 kg 8 kg 7. Com 60 l de azeite, encheram-se garrafas iguais de 0,75 l cada. O número de garrafas utilizadas foi: O inverso de 0,8 é: 8, , : 1 : 4 representa o mesmo que:

40 38 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Parte B 1. O André comeu cinco doze avos das 60 cerejas que havia num saco. O seu irmão Joaquim comeu um terço das 60 cerejas e a sua irmã Fernanda comeu o resto. Completa as frases: 1.1 A fração das 60 cerejas que a Fernanda comeu é: 1.2 O número de cerejas que a Fernanda comeu é: 1.3 Quem comeu mais cerejas foi: Assinala, na reta numérica seguinte, 7 ; 7,2 e Calcula 7, 5, 3 e completa a frase «O inverso do primeiro quociente é igual ao quociente dos.» 4. Mostra que = 1 e completa a frase. «O inverso do produto é igual ao produto dos.» 5. O Júlio gastou 5 3 do dinheiro que tinha e sobraram-lhe 16. Que dinheiro tinha o Júlio? Explica como chegaste à tua resposta. 6. Calcula, utilizando propriedades da multiplicação que te facilitem os cálculos. Diz, em cada caso, o nome da propriedade que utilizaste: , , ,

41 39 7. Verdadeiro ou falso? Corrige as falsas : 1 < ,2 = : 4 5 = > = : 7 7 > Três sétimos do ordenado do sr. Marques são Qual é o ordenado do sr. Marques? 9. O Sérgio tinha 120 caricas. Deu 20% das caricas ao Pedro e um sexto das restantes à Joana. Com quantas caricas ficou o Sérgio? 10. Um campo retangular tem 225 metros de comprimento e a largura é 5 2 do comprimento Qual é a largura do campo? 10.2 Terá o campo 2 hectares? Explica a tua resposta O campo estava à venda por 20 o metro quadrado, mas no ato do pagamento houve um desconto de 10%. Quanto custou o campo? 11. Quarenta dos 320 alunos de uma escola frequentam o Clube de Informática. Que percentagem dos alunos deste escola não frequenta o clube?

42 40 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de avaliação 4 Geometria: Figuras no plano Nome Ano Turma N. o Esta prova consta de duas partes: A e B. Na parte A, terás de colocar X no quadrado correspondente à resposta correta. Na parte B, apresenta todos os cálculos que executares e todas as justificações necessárias. 1. Na figura, a reta AE e a reta BD são: Parte A estritamente paralelas. concorrentes perpendiculares. concorrentes oblíquas. B F coincidentes. A C E 2. Na figura, o ângulo ACD é: raso. D reto. agudo. obtuso. 3. Na figura, o triângulo CED é: equilátero. acutângulo. retângulo. escaleno. 4. Na figura, o ângulo BCA e o ângulo DCE são: suplementares. alternos internos. adjacentes. verticalmente opostos.

43 41 5. As amplitudes de dois dos ângulos internos de um triângulo são 47 e A amplitude do outro ângulo interno do triângulo é: Não é possível construir um triângulo em que os comprimentos dos lados são: 6 cm; 6 cm; 6 cm. 7 cm; 7 cm; 2 cm. 6 cm; 6 cm; 9 cm. 6 cm; 8 cm; 14 cm. 7. A soma das amplitudes dos ângulos externos de um triângulo é: Dois ângulos convexos complanares de lados perpendiculares dois a dois são: complementares se forem ambos agudos. suplementares se um é agudo e o outro obtuso. suplementares se forem ambos obtusos. sempre de amplitudes diferentes. 9. Na figura está um par de retas paralelas intersetado por uma secante e estão assinalados quatro ângulos: a, b, c e d. b < c os ângulos a e b são correspondentes. os ângulos b e c são alternos externos. os ângulos c e b têm amplitudes iguais. b d c a

44 42 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Parte B 1. Observa a figura onde a reta AC é paralela à reta DF. Determina justificando: 1.1 FE G 115 o B E G 1.2 CB E C 1.3 EB A A F D 2. Desenha um ângulo suplementar de um ângulo de amplitude 123 e traça a bissetriz do ângulo de ampli - tude Desenha o triângulo ABC, em que BA C = 140. O lado [AB] e o lado [AC] são congruentes e têm 4 cm de comprimento. Traça a reta perpendicular a [CB] que passa pelo ponto A e assinala o pé dessa perpendicular. Qual a distância do ponto A a [CB]? 4. Considera o paralelogramo MARE, em que RA E = 90 o e AE R = 40 o Determina EA M e ME A. E R 90 A 4.2 Justifica que os triângulos da figura são congruentes. M

45 Justifica que M E = A R e M A = E R. 4.4 Calcula AM E. 5. Calcula, em cada caso, a amplitude do ângulo externo assinalado o 52 o? 30 o?? 43 o 6. Observa a figura, onde o ponto O é o centro da circunferência. A 98 o D O B C 6.1 Classifica o triângulo AOB quanto aos lados e quanto aos ângulos. 6.2 Calcula a amplitude dos outros dois ângulos internos do triângulo, justificando.

46 44 Caderno de Apoio ao Professor MATemática Qual é a amplitude do ângulo DOC? Porquê? 6.4 Sabe-se que o perímetro do triângulo AOB é 7 cm e que o comprimento da corda AB é 3 cm. Calcula o diâmetro da circunferência. 6.5 Traça, na figura, o segmento de reta [DC]. Mostra que o triângulo DOC é geometricamente igual ao triângulo AOB. 7. Observa os dados na figura. a b 58,4 58,1? c d 7.1 As retas a e b são paralelas? Justifica. 7.2 Qual deve ser a amplitude do ângulo desconhecido? se as retas c e d são paralelas?

47 45 8. Na figura, as retas AB e DE intersetam-se no ponto M e M C é a bissetriz do ângulo BMA. 8.1 Calcula BM C e CM D. D C 8.2 Calcula AM E em graus e minutos. 8.3 Justifica que EM B = 40 o ,2 A M B E 8.4 Indica dois ângulos, da figura, complementares não adjacentes. 9. Os triângulos ABC e DEF são tais que A C = D F, A B = D E e C B = E F. 9.1 Justifica que os triângulos são iguais. 9.2 Identifica, nestes triângulos, os pares de ângulos iguais. 10. Tendo em conta os dados da figura e que A é o ponto de interseção dos segmentos [EB] e [CD] e A B = B C : C 10.1 Classifica os dois triângulos quanto aos ângulos. 130 E A B D? 10.2 Calcula a amplitude do ângulo externo de vértice D Justifica que E A < D A Que nome dás ao lado oposto ao ângulo reto?

48 46 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de avaliação 5 Geometria: Perímetros e áreas Nome Ano Turma N. o Esta prova consta de duas partes: A e B. Na parte A, terás de colocar X no quadrado correspondente à resposta correta. Na parte B, apresenta todos os cálculos que executares e todas as justificações necessárias. Parte A 1. O perímetro de um hexágono regular em que o lado tem de comprimento 9 cm é: 1,5 cm 62 cm 54 cm 45 cm 2. Um triângulo equilátero tem 32,1 cm de perímetro. O comprimento do lado é: 1,07 cm 10,7 cm 96,3 cm 64,2 cm 3. O comprimento de um retângulo com 7 cm de largura e 31 cm de perímetro é: 17 cm 24 cm 76 cm 8,5 cm 4. Se o perímetro do polígono irregular representado é 80 m, o comprimento do lado desconhecido é: 60 m 20 m? 15 m 25 m 15 m 10 m 10 m 25 m

49 47 5. Observa as figuras A, B, C e D. A B C D Podes afirmar que: A e C são figuras congruentes. B e D são figuras equivalentes. B e C são figuras equivalentes. A e D são figuras congruentes. 6. Tomando como unidade de área a quadrícula, a medida da área da figura é: Um oitavo de um metro quadrado são: 25 dm 2 1,25 dm 2 12,5 dm 2 2,5 dm 2

50 48 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 8. A área do triângulo que vês representado é: 7 cm 2 40 cm 2 24 cm 2 30 cm 2 10 cm 8 cm 6 cm 9. Um corredor retangular, como o que vês representado, está pavimentado com placas triangulares congruentes em mármore preto e branco. A área de mármore preto é: 8 m 2 7,2 m 2 3 m 2,2 m 2 13 m 2 8 m 10. A área de um quadrado com 26 cm de perímetro é: 676 cm 2 42,25 cm 2 6,5 cm 2 25 cm A área de um paralelogramo com 12 cm de base e altura da base é: 4 0,09 dm 2 0,54 dm 2 1,08 dm 2 10,8 dm 2

51 49 Parte B 1. Constrói um triângulo isósceles em que o comprimento de cada um dos lados congruentes seja 2,5 cm e o perímetro do triângulo seja 9 cm. 2. Quanto tem de perímetro um quadrado com 64 cm 2 de área? 3. Observa a representação de dois terrenos retangulares: 18 m 18 m 45 m Horta 36 m Horta 36 m A B 3.1 Que fração da área do terreno A é a área da horta? 3.2 Sabendo que a horta do terreno B ocupa 3 2 do terreno B, qual é a área ocupada pelas hortas dos dois terrenos?

52 50 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 4. Determina, por enquadramento, a área do relvado representado. 1 m 5. Considera o retângulo ABCD, em que os seus comprimento e largura, 1 1 numa dada unidade, são respetivamente e Constrói, no teu caderno, um quadrado de lado unitário decomposto em retângulos iguais a ABCD e relaciona o número de retângulos com a área de cada um. 5.2 Determina a área do retângulo ABCD. Justifica. 1 4 D A 1 3 C B 6. Na figura, ABCD é um paralelogramo com 7,5 cm 2 de área. 6.1 Determina CE B e ED A. B C Determina B C. 2,5 cm E 62 A F D 7. A figura, ABCE é um quadrado com 10 cm de perímetro e C D = 4 de A B Determina a área do triângulo ACD. A E 7.2 Se AD C = 35 o 30, calcula CA D. B D C 8. Decompõe o polígono ABCD em figuras tuas conhecidas e calcula a sua área. B 3 cm C 2,5 cm 2,5 cm 1,5 cm A D 7 cm

53 51 9. Traça o segmento de reta [MN] com 4 cm. Constrói um retângulo, um paralelogramo não retângulo e um triângulo com bases [MN] e equivalentes. 10. ABCD é um paralelogramo e o ponto E é o ponto médio do lado [BC]. F B 10.1 Mostra que os triângulos CDE e BFE são congruentes. A 6 cm D 10.2 Determina a área do quadrilátero ABED. 2 cm E C Calcula a medida da área de um paralelogramo, sabendo que a altura é da base e que a medida da base 3 é o valor numérico da expressão: : 0, ABCD é um paralelogramo, em que A B = 2,5 cm, B C = 2 cm e D E = 2,2 cm Calcula as amplitudes dos ângulos internos do paralelogramo. D C 32 E Os triângulos ABC e ACD são congruentes? Justifica. A B 12.3 O paralelogramo é equivalente a um retângulo de comprimento 4 cm. Calcula o perímetro desse retângulo.

54 52 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de avaliação 6 Organização e tratamento de dados Nome Ano Turma N. o Esta prova consta de duas partes: A e B. Na parte A, terás de colocar X no quadrado correspondente à resposta correta. Na parte B, apresenta todos os cálculos que executares e todas as justificações necessárias. 1. De entre os dados seguintes, são dados qualitativos: o número de irmãos. a cor dos olhos. a altura, em centímetros. a capacidade, em litros. Parte A 2. De entre os dados seguintes, são dados quantitativos: a atividade preferida nos tempos livres. os sabores de gelados. a idade, em anos. o meio de transporte utilizado no percurso casa-escola No conjunto de dados, a frequência absoluta do dado 13 é: A moda do conjunto de dados é:

55 53 5. As coordenadas dos pontos A e B são: y A (4, 0) e B (2, 4) A (4, 4) e B (2, 4) A (0, 4) e B (4, 2) A (4, 1) e B (4, 2) A B x 6. O número a colocar no ponteado de modo que o conjunto de dados tenha uma única moda superior a 7 é: Observa o diagrama de pontos que se refere à altura de várias roseiras plantadas no mesmo dia. Escolhe a afirmação verdadeira. O valor da amplitude é 40 e o valor da moda é 55. O valor da amplitude é 55. O valor da moda é 25. N. o de roseiras O valor da amplitude é 25 e o valor da moda é Altura, em centímetros 8. Registaram-se as alturas, em centímetros, dos alunos de uma turma. Observa: A Luísa tem 152 cm de altura. O número de alunos que são mais altos do que a Luísa é: 3 Caule Folhas

56 54 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Parte B 1. Numa turma do 12.º ano, os alunos construíram uma tabela de frequências com os dados relativos ao país que gostavam de visitar na viagem de finalistas. Cada aluno deu só uma resposta. Países Frequência absoluta Frequência relativa França 6 Inglaterra 3 Suíça 9 Holanda Completa a tabela com as frequências relativas. 1.2 Todos os alunos da turma escolheram um país. Qual é a moda deste conjunto de dados? 1.3 Qual o país que foi escolhido por 20% dos alunos? 1.4 Utiliza a informação da tabela anterior para completares o gráfico de barras seguinte França Países Número de alunos

57 55 2. Os trinta níveis registados na pauta de uma turma de 30 alunos na disciplina de Matemática encontram-se registados ao lado. Organiza os dados, no teu caderno, numa tabela de frequências absolutas e relativas. Apresenta a frequência relativa em percentagem Indica a moda e calcula a média do seguinte conjunto de dados: Se a minha média das últimas cinco fichas de Inglês foi 70% e se nas quatro primeiras tive 60%, 90%, 80% e 56%, descobre a percentagem que obtive na quinta ficha. 5. O gráfico mostra a quantidade de água que uma torneira deitou num tanque inicialmente vazio até o encher. 500 Número de litros Tempo (segundos) 5.1 Ao fim de 5 segundos, quantos litros de água havia no tanque? 5.2 Quantos litros de água leva o tanque? 5.3 Em quantos segundos o tanque atingiu 300 litros de água?

58 56 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 6. Constrói, no referencial cartesiano ortogonal apresentado, o gráfico correspondente aos valores da seguinte tabela. y Ponto x y P 3 5 Q 0 4 R 4 0 S 1 1 T x 7. Observa o referencial, que se anexa. 7.1 Trata-se de um referencial cartesiano ortogonal? É monométrico? 3 2 y Assinala, no referencial, os pontos M e N, tais que: M tem ordenada tripla da abcissa; N tem ordenada nula e abcissa é o inverso de x 8. A média das idades do Rui e do Pedro é 30. Se o Rui é mais velho 8 anos do que o Pedro, que idade tem o Rui? 9. O Zé resolveu construir uma tabela de frequências absolutas e relativas para organizar os dados que recolheu sobre as idades dos alunos da sua turma. Sem querer, deixou cair um borrão de tinta sobre alguns dados da tabela. Descobre os dados que o borrão ocultou. Idade (anos) Frequência absoluta 10 Frequência relativa 5% 50% 35% 14 Total 100% O Zé afirma «A média é inferior à moda.» Terá razão? Explica.

59 57 Ficha de remediação 1 Adição e subtração de números naturais Nome Ano Turma N. o Observa: IN = {números naturais} = {1, 2, 3, } Calcular uma soma, rapidamente, usando propriedades da adição = (72 + 8) + (19 + 1) Aplicaram-se as propriedades = comutativa e associativa. = 100 Calcular a parcela desconhecida numa soma. 33 +? = 198? = ? = 165 Usar a identidade fundamental da subtração.? 73 = 412? = (Aditivo = Subtrativo + Resto) 1. Calcula, usando propriedades da adição: = 2. A soma de dois números é 578, e um deles é 149. Calcula o outro número. 3. Pensei num número, subtraí-lhe 523 e obtive 829. Em que número pensei? 4. Calcula o número desconhecido em: ? = ? 98 = Quais dos números abaixo representados não são números naturais? ; 0 ; 1,2 ; ; 3 2

60 58 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação 2 Multiplicação e divisão de números naturais Nome Ano Turma N. o Observa: Calcular usando as propriedades comutativa e associativa: = = Calcular usando a propriedade distributiva em relação à adição e à subtração: 9 ( ) = = = = 198 (12 2) = = 1980 Calcular o fator desconhecido num produto: 25? = 200? = 200 : 25? = 8 Usar a identidade fundamental da divisão: Dividendo = divisor quociente? : 12 = 6? = 12 6? = 72 Dividendo divisor quociente Dividendo = divisor quociente 1. Calcula usando propriedades da multiplicação: = = = = (10 + 2) = (100 1) = 2. Descobre o fator desconhecido em cada produto: 2.1? 20 = ? 9 = ? = ? = ? = ? 25 = Pensei num número, dividi-o por 15 e obtive 8. Em que número pensei? 4. Calcula o número desconhecido em: 4.1? : 4 = 3 4.2? : 20 = 6 4.3? : 18 = 3

61 59 Ficha de remediação 3 Potências Nome Ano Turma N. o Observa: 4 4 = 4 2 lê-se: quatro ao quadrado ou quadrado de quatro = 5 3 lê-se: cinco ao cubo ou cubo de cinco = 10 4 lê-se: dez à quarta. 4 2 expoente da potência base da potência Não confundas = 6 3 = 216 com = 3 6 = Escreve as potências, na forma simplificada, com base e expoente: = = = = = = 2. Calcula: = = = = = = 3. Completa: é o quadrado de é o cubo de é o quadrado de é o cubo de 4. Calcula: 4.1 O quadrado de sete: 4.2 O dobro do cubo de oito: 4.3 O triplo do cubo de onze: 4.4 Metade do quadrado de dez:

62 60 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação 4 Operações combinadas Nome Ano Turma N. o Observa: Calcular o valor de cada expressão: = As somas e diferenças efetuam-se = da esquerda para a direita. = : 3 5 = 18 : 3 5 Os produtos e quocientes efetuam-se = 6 5 da esquerda para a direita. = : 2 = A multiplicação e divisão têm prioridade = 30 4 sobre a adição e sobre a subtração. = 26 2 (6 3 4) 12 : 4 = 2 (18 4) 3 Os cálculos dentro de parêntesis efetuam-se = primeiro, mas copia-se o que está antes = 28 3 = 25 e depois dos ( ). 1. Calcula o valor das expressões: = : = = (3 + 2) = : 4 5 = (15 7) : 2 2 = : 3 : 2 : 2 = 1.11 (7 3 2) : (8 : 4 1) = = : 3 + (5 3) 3 = : = : : 1 6 = : 3: 2 = 1.14 (5 + 20) =

63 61 Ficha de remediação 5 Divisão inteira Nome Ano Turma N. o Observa: Para levar 143 turistas a uma visita ao Porto, alugaram-se vários autocarros. Cada autocarro só levava 25 turistas. Quantos autocarros foram necessários? dividendo divisor 143 = resto 18 5 quociente Dividendo = divisor quociente + resto Resposta: 6 autocarros. São 5 autocarros completos e um com 18 pessoas. 1. Para levar 237 alunos a uma visita de estudo, alugaram-se vários autocarros. Cada autocarro só levava 40 alunos. Quantos autocarros foram necessários? 2. Numa divisão inteira, o divisor é 9, o quociente é 6 e o resto é 5. Qual é o dividendo? 3. Numa sala de espetáculos há 150 cadeiras para colocar em filas de 12 cadeiras. Quantas filas completas é possível formar? Quantas cadeiras sobram? 4. Numa divisão inteira, o divisor é o menor número de três algarismos diferentes, o quociente é 7 e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo?

64 62 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação 6 Múltiplos e divisores. Números primos e compostos Nome Ano Turma N. o Observa: Os múltiplos naturais de 6 são: 6, 12, 18, 24, 30, 36, Os divisores de 6 são: 1, 2, 3 e 6 porque 1 6 = = 6 3 já está repetido! Os divisores de 7 são: 1 e 7. Um número que só tem dois divisores chama-se número primo. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, Um número natural que tem 3 ou mais divisores chama-se número composto. Exemplo: 8, porque tem 1, 2, 4 e 8 como divisores. 1. Indica os seis primeiros múltiplos naturais: 1.1 de 7: 1.3 de 9: 1.2 de 12: 1.4 de 15: 2. Indica todos os divisores de 12, 27 e 30: 1 = 12 = 27 = 30 = 12 = 27 = 30 = 12 = 30 = 30 Divisores de 12: Divisores de 27: Divisores de 30: 2.1 Completa: Os números 12 e 27 são números porque têm divisores. 3. De entre os números seguintes, sublinha os números primos: Para cada um dos números que não sublinhaste, indica os seus divisores:

65 63 Ficha de remediação 7 Divisão inteira. Propriedades dos divisores Nome Ano Turma N. o Observa: Num produto de números naturais, um divisor de um dos fatores é divisor do produto. Exemplo: 14 3 = 42, 7 é divisor de 14, logo é divisor de 42 2 é divisor de 14, logo é divisor de 42 Se um dado número natural divide outros dois, divide também as respetivas soma e diferença. Exemplo: 135 = 9 15 e 108 = 9 12, então e são divisíveis por 9 porque = = 9 ( ) = = 9 (15 12) Dada uma divisão inteira (D = d q + r), se um número divide o dividendo e o divisor então divide o resto. Exemplo: 120 e 32 são divisíveis por = 8 15 e 32 = Então, o resto da divisão inteira de 120 por 32 também é divisível por 8 (24 = 8 3) Dada uma divisão inteira (D = d q + r), se um número divide o divisor d e o resto r então divide o dividendo D. Exemplo: 7 divide 35 (resto) e 70 (divisor), então divide , isto é, 315 (315 : 7 = 45) Sabendo que 184 = 23 8 e que 299 = : 1.1 Podemos afirmar que é divisível por 23? E por 11? Justifica. 1.2 Mostra que 8 é divisor de Mostra que é divisível por Mostra que 23 é divisor do resto da divisão inteira de 299 por Utiliza o divisor e o resto da divisão inteira de 136 por 24 para concluir que 136 é divisível por 4, mas não é divisível por 7.

66 64 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação 8 Critérios de divisibilidade Nome Ano Turma N. o Observa: 2104 é divisível por 2 porque é número par; não é divisível por 3 porque = 7 e 7 não é divisível por 3; é divisível por 4 porque os dois últimos algarismos são um múltiplo de 4; não é divisível por 5 porque o algarismo das unidades não é zero nem 5; não é divisível por 9 porque = 7 e 7 não é divisível por 9; não é divisível por 10 porque o algarismo das unidades não é zero; não é divisível por 100 porque os algarismos das dezenas e unidades não são zero é divisível por 2, 3, 4, 5, 9, 10 e Observa os números representados: 2016 ; 909 ; 1040 e Indica: 1.1 os números divisíveis por 2: 1.2 os números divisíveis por 3: 1.3 os números divisíveis por 4: 1.4 os números divisíveis por 5: 1.5 os números divisíveis por 9: 1.6 os números divisíveis por 4, 5 e 10: 2. Completa com algarismos, de modo que: seja divisível por 4 e por seja divisível por 3 e por 5, mas não por Completa com algarismos 5 8, de modo a obter um número divisível por 3 e por Qual é o menor número de três algarismos que é divisível por 3? E o maior?

67 65 Ficha de remediação 9 Máximo divisor comum de dois números e mínimo múltiplo comum de dois números Nome Ano Turma N. o Observa: Determinar o m.d.c. (12, 30) : Calculando os divisores 1, 2, 3, 4, 6, 12 divisores de 12 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 divisores de 30 6 é o maior divisor comum de 12 e 30, logo m.d.c. (12, 30) = 6 Pelas divisões sucessivas Divide-se o maior número pelo menor Como o resto não deu zero, divide-se o menor número pelo resto anterior. Como o resto deu zero, o m.d.c. é o divisor, neste caso, Determinar o m.m.c. (12, 30) : Calculando os múltiplos naturais 12, 24, 36, 48, 60, 72 múltiplos de 12 30, 60, 90, 120 múltiplos de 30 m.m.c. (12, 30) = 60 Relacionar o m.d.c. com o m.m.c. : a b = m.d.c. (a, b) m.m.c. (a, b) sendo a e b números naturais. Exemplo: = 6 60 m.d.c. (12, 30) m.m.c. (12, 30) 1. Calcula por dois métodos diferentes: 1.1 m.d.c. (18, 20) = 1.2 m.d.c. (30, 40) = 1.3 m.d.c. (12, 16) = 2. Calcula: 2.1 m.m.c. (18, 20) = 2.2 m.m.c. (30, 40) = 2.3 m.m.c. (15, 25) = 3. O produto de dois números é 1260 e o seu máximo divisor comum é 6. Qual é o mínimo múltiplo comum desses números? 4. O máximo divisor comum de dois números é 2 e o seu mínimo múltiplo comum é 210. Se um dos números é 14, qual é o outro?

68 66 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação 10 Números racionais não negativos I Nome Ano Turma N. o Observa: A todo o número que se pode representar por uma fração chama-se número racional. 3 4 < > = 2 6 = 3 9 = 4 = = 4 : 4 = = 3 : 4 = 0,75 = 75 = 75% = 5 4 = 5 : 4 = 1,25 = 1 25 = 125% = 1 6 = = 2 fração fração decimal numeral misto dízima finita percentagem Frações equivalentes representam o mesmo número 1. Tomando por unidade o primeiro quadrado, pinta, em cada figura, a parte correspondente à fração indicada Representa por um numeral misto e por uma percentagem Representa e por um numeral decimal Completa com os símbolos >, < e = , O João tem 10 berlindes. Quantos berlindes são dois quintos dos berlindes do João? 4. Rodeia da mesma cor as frações que representam o mesmo número. 3 ; 1 ; ; 3 ; Representa de cinco maneiras diferentes. 5

69 67 Ficha de remediação 11 Números racionais não negativos II Nome Ano Turma N. o Observa: Comparação Adição e subtração Comparar: 2 3 com 4 5 Calcula-se o m.m.c. (3, 5) para se transformar as frações dadas noutras equivalentes com o mesmo denominador. m.m.c. (3, 5) = 15 2 = ( 5) ( 3) 10 12, logo, = Para adicionar ou subtrair números representados por frações com o mesmo denominador: adicionam-se, ou subtraem-se, os numeradores; mantém-se o denominador. Substituem-se as frações dadas por outras equivalentes, com o mesmo denominador, e aplica-se o procedimento anterior. Substitui-se 4 1 por 0,25 e efetua -se o cálculo. Podes adicionar (ou subtrair) separadamente as partes inteiras e fracionárias e, se necessário, fazer o transporte de uma unidade = = = = ( 5) ( 3) m.m.c. (3, 5) = ,75 = 0,25 + 0,75 = = = = = Coloca e por ordem crescente Calcula: , , Representa na reta, e Coloca por ordem decrescente: 5 ; 3 ; 1 1 : Calcula: De uma torta, comi 1 2 ao almoço e 1 ao lanche. 6 Que parte da torta sobrou? Se a torta pesava 600 gramas, quantos gramas sobraram?

70 68 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação 12 Percentagens. Fração de uma quantidade Nome Ano Turma N. o Observa: 7 7% = = 0, sete por cento ,8 = = = 80% de 10 3 (10 : 5) = % de 20 0,25 20 = 5 2 em 10 é o mesmo que 2 20 = 0,20 = = 20% de 30 2 (30 : 3) = 20 ou = Escreve na forma de percentagem: 0, Completa: 2.1 Dei 20% dos meus 25 caramelos. 2.2 Dos 120 cromos, dei ao Zé 4 5. Dei caramelos. Dei cromos ao Zé. 2.3 Gastei 15% dos meus 300 euros % do meu dinheiro são 12 euros. Gastei euros. Tenho euros. 3. Uma bicicleta custava 200 euros, mas fizeram-me um desconto de 10%. Paguei pela bicicleta euros. 4. O salário do Zé é 500 euros. Este mês vai ter um aumento de 6% do vencimento. Qual vai ser o novo salário do Zé? 5. Dos vinte alunos de uma turma, 4 são raparigas e 75% dos rapazes jogam futebol. 5 Quantas são as raparigas? Quantos rapazes não jogam futebol?

71 69 Ficha de remediação 13 Arredondamentos. Valores aproximados por defeito ou por excesso Nome Ano Turma N. o Observa: 5 Arredondamento de: = 0, arredondando com 0 casas decimais é 0 (porque 3 < 5); arredondando com 1 casa decimal é 0,4 (porque 8 > 5); arredondando com 2 casas decimais é 0,38 (porque 4 < 5). Valor exato e valor aproximado do quociente de 5 por 3 5 : 3 = 5 valor exato 3 1 < 5 < 2 logo: é o valor aproximado por defeito de é o valor aproximado por excesso de 5 3 1,6 é o valor aproximado por defeito de 5 3 1,7 é o valor aproximado por excesso de = 1,(6) a menos de uma unidade; a menos de uma unidade; a menos de uma décima; a menos de uma décima. 1. Completa a tabela: Arredondamento com 1 c.d Arredondamento com 2 c.d. Arredondamento com 3 c.d. 2. O valor aproximado por defeito de a menos de uma unidade é O valor aproximado por excesso de a menos uma décima é O valor aproximado de 1 7 por excesso às centésimas é 3. Calcula o valor exato de: = = 9 + 0,3 = Calcula os valores aproximados, por excesso e às décimas, das expressões anteriores.

72 70 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação 14 Multiplicação de números racionais não negativos Nome Ano Turma N. o Observa: A Helena comeu metade da metade de um bolo. Que parte do bolo comeu a Helena? de 2 é 2 2 = = Multiplicam-se os numerados e multiplicam-se os denominadores. 1 4 Calcular dois terços de sete quintos: = = Calcular: 0,7 1 3 = = 7 1 = A Diana comeu metade de três quartos de uma piza. Que parte da piza comeu a Diana? 2. O António deu a um amigo metade de dois terços de uma tablete de chocolate. Que parte da tablete deu o António ao amigo? 3. Calcula e simplifica, quando possível = = = 3.5 0,18 = ,4 = 3.6 0,7 = De seiscentos croissants venderam-se 5 4. Quantos croissants há ainda para vender?

73 71 Ficha de remediação 15 Propriedades da adição e da multiplicação de números racionais Nome Ano Turma N. o Observa: Como facilitar cálculos usando propriedades das operações: 0, , = (0,7 + 0,3) = , = , = 3 Comutativa e associativa da adição Comutativa e associativa da adição = = 1 9 Comutativa e associativa da multiplicação = 233 (96 + 4) = , ,2 = 2013 (1,2 0,2) = 2013 Distributiva da multiplicação em relação à adição Distributiva da multiplicação em relação à subtração 1. Calcula de forma rápida usando propriedades das operações , ,2 + 7 = _ = = = = = 2. Calcula por dois processos diferentes:

74 72 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação 16 Potências de expoente natural e base racional não negativa Nome Ano Turma N. o Observa: 2 Calcular o quadrado de = 3 = = Calcular o cubo de = 6 6 = Calcular o triplo do cubo de um meio = = = 8 8 Calcular = Calcula o quadrado de: = = 2. Calcula o cubo de: = = Um quadrado tem 9 7 m de lado. Calcula a área desse quadrado. 4. Um cubo tem 4 1 m de aresta. Calcula o volume desse cubo A Ana diz que é igual a. Mostra que a Ana não tem razão. 3 2

75 73 Ficha de remediação 17 Inverso de um número racional positivo. Divisão de números racionais não negativos Nome Ano Turma N. o Observa: é o inverso de porque 9 9 = 1 5 é o inverso de 9 3 porque = 1 Dois números dizem-se inversos um do outro se o seu produto é : 3 = = 15 0,3 : 5 7 = = Para dividir dois números racionais não negativos, basta multiplicar o primeiro pelo inverso do segundo. 1. Completa. 1.1 O inverso de 4 3 é porque 1.2 O inverso de 7 é porque 1.3 O inverso de 1,3 é porque 2. Calcula e simplifica, quando possível : = 2.3 : 3 = 2.5 : 0,2 = : 2 = : 0,3 = : 1 = Comprei 3 kg de nozes em pacotes de 5 1 kg. Quantos pacotes comprei? 4. Verdadeiro ou falso? Justifica = = 5 : : 3 4 4

76 74 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação 18 Operações combinadas Nome Ano Turma N. o Observa: No cálculo do valor de uma expressão numérica, deves: 1. o efetuar os cálculos dentro de parênteses; 2. o dar prioridade à multiplicação e à divisão sobre a adição e a subtração. Notas: entre duas operações com a mesma prioridade, efetua primeiro a que aparecer em primeiro lugar; antes de efetuares o cálculo do valor exato de uma expressão, observa-a bem, para decidires se é mais adequado trabalhar com frações ou com dízimas finitas. Exemplos: : = = 1 + 0,75 : 0,25 = 0,5 + 3 = 3, = (1 + 2) + 24 = = Calcula o valor de cada expressão numérica e, se necessário, simplifica o resultado = , = : 9 7 : = : ,1 = : 1 = (0,1 0,1) : 5 + 0,7 : = 1 70

77 75 Ficha de remediação 19 Distância de um ponto a uma reta. Unidades de medida da amplitude de ângulos Nome Ano Turma N. o Observa: P Distância do ponto P à reta r é o comprimento do segmento de reta [PA]. r O ponto A designa-se «pé da perpendicular». A A unidade fundamental de medida da amplitude de um ângulo é o grau. 1 grau são 60 minutos e 1 minuto são 60 segundos: 1 o = 60 = 3600 Exemplos: 1234 são 20 o 34 porque o são ( ) = ,6 o são 12 o e 0,6 60, isto é, 12 o 36 Bissetriz de um ângulo é a semirreta que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes. bissetriz Traça a perpendicular à reta t que passa pelo ponto P. Assinala o pé da perpendicular. Qual é a distância do ponto P à reta t? t P 2. Na figura, AB e FC são retas, AO D = 90 o e O E e O C são bissetrizes respetivamente dos ângulos DOA e BOD. E D C 2.1 Calcula CO D, DO F e FO B. A O B 2.2 Que nome dás à semirreta O D relativamente ao ângulo COE? F 3. Converte, em segundos, 32 o 15 e 20,4 o. 4. Converte, em graus, minutos e segundos, 1531 e Desenha um ângulo de 124 o e traça a sua bissetriz.

78 76 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação 20 Relações entre ângulos Nome Ano Turma N. o Observa: Complementares Dois ângulos dizem-se complementares quando a soma das suas amplitudes é 90 o. Suplementares Dois ângulos dizem-se suplementares quando a soma das suas amplitudes é 180 o. Ângulos de lados paralelos (ou de lados perpendiculares) da mesma espécie são iguais e de espécies diferentes são suplementares. Adjacentes Têm o mesmo vértice e um lado comum que os separa. Ângulos Verticalmente opostos Têm o mesmo vértice e os lados de um ângulo estão no prolongamento dos lados do outro. São iguais. c a a = b b d c = d t r b a d s c g e h f Os ângulos: a e e são correspondentes; c e g são alternos internos; b e f são alternos externos. Nota: Se as retas r e s forem paralelas: a = e c = g b = f 1. Calcula a amplitude do ângulo complementar e do ângulo suplementar de: o o ,5 o 2. Calcula as almplitudes dos ângulos desconhecidos, sabendo que as retas r e s são paralelas. 2.1 e 2.2 r 2.3 d s b r c a 74 b s a t r a b 48 s d c e 3. Se y = 115 o, qual deve ser a amplitude do ângulo a para que as retas MN e RT sejam paralelas? a R T 4. De dois ângulos de lados perpendiculares e de espécies diferentes, sabe-se que um deles tem 133 o de amplitude. Qual é a amplitude do outro? Justifica. M y x N

79 77 Ficha de remediação 21 Triângulos Nome Ano Turma N. o Observa: Classificação quanto ao comprimento dos lados Triângulo equilátero (3 eixos de simetria) Triângulo isósceles (1 eixo de simetria) Triângulo escaleno (não tem eixos de simetria) Num triângulo, a lados com o mesmo comprimento opõem-se ângulos com a mesma amplitude e vice-versa. Num triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados quaisquer é sempre maior do que o comprimento do outro lado. O que devo saber A soma das amplitudes dos ângulos internos é 180º. Classificação quanto aos ângulos Triângulo retângulo Triângulo acutângulo Triângulo obtusângulo Casos de igualdade de triângulos LLL LAL ALA A soma das amplitudes dos ângulos externos é 360º. 1. Calcula as amplitudes dos ângulos desconhecidos em cada triângulo. Classifica os triângulos quanto aos ângulos e quanto aos lados. 75 O 47 O 60O????? 25 O 60 O 42 O? 120 O? A B C D 2. Existirá um triângulo com lados de 5 cm, 5 cm e 10 cm? Porquê? E com lados 3 cm, 4 cm e 5 cm? A 3. Justifica que os dois triângulos da figura são congruentes. 25 mm D Determina y, justificando. B C y E 4. ABC é um triângulo e AD = DC C. Mostra que os triângulos CBD e DBA são congruentes e que CB D = DB A. D B Qual é o maior lado do triângulo CBD? Justifica. A

80 78 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação 22 Paralelogramos Nome Ano Turma N. o Observa: Propriedades os ângulos opostos são iguais; os ângulos adjacentes a cada lado são suplementares; as diagonais bissetam-se; a soma das amplitudes dos ângulos internos é 360. Paralelogramos são polígonos; são quadriláteros; têm os lados opostos paralelos e iguais. Retângulo Losango tem 4 ângulos retos; 2 eixos de simetria; diagonais iguais. 4 lados iguais; 2 eixos de simetria; diagonais perpendiculares. A altura relativamente a uma base do paralelogramo é um segmento de reta que une um ponto do lado oposto à reta que contém a base e lhe é perpendicular. Quadrado tem as propriedades do retângulos e do losango. 1. Quais dos polígonos são paralelogramos? Justifica. A B C D E 2. Determina a amplitude dos ângulos internos do paralelogramo. D C A B 65,30 3. Observa o paralelogramo MNPQ. Q P 3.1 Qual a amplitude do ângulo externo x? Justifica. x M 56 N 3.2 Os triângulos MPQ e NPM são congruentes? Justifica. 3.3 Na figura, qual a distância do ponto Q à reta MN? 4. Observa os paralelogramos e determina os ângulos desconhecidos a b d c f e 37,5 22

81 79 Ficha de remediação 23 Perímetros Nome Ano Turma N. o Observa: 1 cm 1 cm 2 cm Um retângulo tem 41 m de perímetro e comprimento 13 m. O perímetro deste hexágono regular é 6 cm. 1,5 cm 2 cm O perímetro deste polígono irregular é 6,5 cm. Determinar a sua largura: = = : 2 = 7,5 A largura do retângulo é 7,5 m. 13 m P = 41 m? 1. Desenha no quadriculado: um polígono regular com 10 cm de perímetro; um polígono irregular com 8 cm de perímetro. 0,5 cm 2. Calcula o perímetro de um octógono regular com 12 cm de lado. 3. Calcula o comprimento de um retângulo com 28 cm de perímetro e 4,25 cm de largura. 4. Determina o lado de um triângulo equilátero com 16,2 cm de perímetro. 5. Calcula, em metros, a quantidade de rede necessária para vedar um terreno como o da figura. 5 dam 4 dam 3 dam 20 dam

82 80 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação 24 Superfícies equivalentes. Áreas Nome Ano Turma N. o Observa: 1 cm 2 A B As figuras A e B não são congruentes, pois não podem ser levadas a coincidir ponto por ponto. No entanto, as figuras A e B são equivalentes: a área da figura A é 3 cm 2 e a área da figura B é 3 cm 2. Área do quadrado Área do retângulo Área do triângulo Área do paralelogramo A = A = 2 c A = c A = c b a A = b a 2 A = ba 2 b a A = b a ou A = ba 1. Calcula as áreas das figuras cm ,5 cm 3 cm 3 cm 1,5 cm 15 cm 12 cm 3 cm P = 15 cm 9 cm cm 2 cm 2,5 cm 6,8 cm 10,5 cm 26,5 cm 20,5 cm 1,5 cm Triângulo isósceles de perímetro 24,9 cm 10 cm 2. A área do paralelogramo ABCD é 126 cm 2 e a base é 4 3 de 28 cm. Determina a altura relativa a essa base.

83 81 3. Desenha no quadriculado: 3.1 duas figuras com a mesma área e perímetros diferentes; 3.2 duas figuras com perímetros iguais e áreas diferentes; 3.3 uma figura com 12 cm de perímetro e 9 cm 2 de área. 0,5 cm 4. Determina a área da superfície pintada. 36 cm 12 cm 15,5 cm 5. O paralelogramo representado na figura é equivalente a um quadrado. Determina o perímetro desse quadrado. 8 cm 12,5 cm

84 82 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação 25 Representação e interpretação de dados Nome Ano Turma N. o Observa a tabela de frequências. Frequência absoluta de um dado é o número de vezes que esse dado se repete no conjunto de dados. Frequência relativa = frequência absoluta total das frequências absolutas N. o irmãos Frequência absoluta Frequência relativa : 20 35% : 20 50% : 20 5% : 20 10% Total % A média do número de irmãos é: = 1,9 20 A moda é 2 irmãos (dado que ocorre com mais frequência). 1. Completa a tabela, que se refere às idades de 30 alunos. Completa: A média é A moda é Idade (anos) Frequência absoluta Frequência relativa % % Total Observa o gráfico que mostra a altura de uma planta, medida durante alguns dias à mesma hora. 2.1 Qual a altura da planta na terça-feira? 2.2 Em que dia a planta atingiu 8 cm? 2.3 Qual foi o aumento da altura da planta de sexta para sábado? 2.4 Em que dia a planta cresceu 3 cm? 2.5 Quantos dias demorou a planta a crescer de 2 cm até 12 cm? Altura da planta (cm) ạ f. 3 ạ f. 4 ạ f. 5 ạ f. 6 ạ f. Sáb. Dias da semana 3. A Joana obteve nos três testes de Matemática, em 100 pontos, respetivamente: 55, 60 e 75. Prepara-se para fazer um novo teste. Que pontuação deverá ter nesse último teste para ficar com uma média de 70 pontos nos quatro testes?

85 83 Passatempos 1. Números cruzados Assunto: Números naturais e operações. Horizontais: A. A soma de uma dezena com 18. O aditivo numa diferença em que o subtrativo é 12 e o resto é 9. B. O produto de 5 por 25. O quociente de 12 por 12. C. Número natural. O dividendo numa divisão em que o divisor é 25 e o quociente é 5. D. Múltiplo de 8. E. Terça parte de seis. A parcela desconhecida em 223 +? = 260. A. B. C. D. E Verticais: 1. O dividendo numa divisão em que o divisor é 2 e o quociente é 108. Dobro do menor número natural. 2. Metade de 164. O valor da expressão O valor da expressão A quinta parte de 10. O número natural cujo quadrado é 4. O valor de O valor da expressão : 3.

86 84 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 2. Descobrir a mensagem Assunto: Divisores e múltiplos. Números primos e compostos. m.d.c. e m.m.c. de dois números naturais. Determina: Soluções: 1. O m.d.c. (12, 15). M O maior número composto, menor do que 10. T O maior divisor de 49. G O m.m.c. (3, 4). I O maior número primo menor do que 10. E O maior múltiplo de 15 menor do que 50. C O m.m.c. (16, 20). A. 9 Faz corresponder a letra correspondente das soluções aos números 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 do enunciado. Preenche o quadriculado com as letras e descobre a mensagem

87 85 3. Brincar com números Utiliza os seguintes números: para completar as igualdades abaixo, de modo a serem verdadeiras. Cada número pode ser utilizado uma única vez em cada igualdade. = 0,5 = 5,5 + : = : = = 2,5 : + = 0,1 + = 7,5 : = 0,75 : = 3 1

88 86 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 4. Crucigrama Assunto: Ângulos, polígonos, círculo. Verticais: 1. Figura plana limitada por uma linha poligonal fechada. 6. Quadrilátero que é retângulo com 4 lados congruentes. 7. Ângulo cujos lados são perpendiculares. 8. Triângulo com os lados todos diferentes. 9. Polígono com metade do número de lados do hexágono. 10. Segmento de reta que é metade do diâmetro. 16. Segmento de reta que une dois pontos da circunferência. 17. Maior corda do círculo. 18. Triângulo com 3 lados congruentes. 19. Figura plana que é limitada pela circunferência. 20. Polígono com menos 2 lados do que o decágono. Horizontais: 2. Polígono com 5 lados. 3. Polígono com lados e ângulos congruentes. 4. Ângulo com amplitude inferior a 90º. 5. Um triângulo que tem um ângulo cuja amplitude é maior do que 90º. 11. Linha que limita o círculo. 12. Polígono com 6 lados. 13. Número de lados do heptágono. 14. Triângulo com 3 ângulos agudos. 15. Quadrilátero com 4 ângulos retos P O L Í G O N O

89 87 5. Desenhar e pintar Assunto: Geometria. Traça, usando material de desenho. Um segmento de reta AB Uma reta CD Uma semirreta EF Duas retas paralelas Duas retas perpendiculares Um ângulo reto Um ângulo obtuso Um ângulo agudo Dois ângulos complementares Dois ângulos suplementares Dois ângulos verticalmente opostos Dois ângulos alternos internos Um polígono regular Um polígono irregular Um círculo de 2 cm de diâmetro Um semicírculo de 1,5 cm de raio

90 88 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 6. Descobrir as amplitudes de ângulos Assunto: Ângulos. Relação entre ângulos. Ângulos de um triângulo. Liga, em cada figura, o ângulo indicado por? à sua amplitude. 35 o? 25 o? 45 o 45 o? 40 o 90 o 60 o? r 65 o? 120 o 60 o r? 60 o 60 o r? 25 o s r//s 60 o? 65 o r? 65 o 42 o 48 o? 150 o r r 52 o r s 38 o? 128 o?

91 89 7. Jogo com dados Assunto: Números racionais não negativos. Material: 2 dados de jogar de cores diferentes por exemplo, um preto e um branco, com as faces numeradas de 1 a 6. Lança o dado branco. O número saído será o numerador da fração. Lança o dado preto. O número saído será o denominador da fração. Exemplo: 3 6 Descobre: A fração que representa o menor número racional não inteiro que é possível obter nas condições dadas. A fração que representa o maior número racional não inteiro que é possível obter nas condições dadas. Todas as frações que representam números racionais inteiros que é possível obter nas condições dadas. Todas as frações equivalentes que representam um número racional não inteiro que é possível obter nas condições dadas.

92 90 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 8. Labirinto Assunto: Comparação de números racionais. Ajuda o caracol a chegar à couve. Só pode fazer dois tipos de movimentos: descer para um número menor; subir para um número maior. 5,55 3, Escreve os números por onde passa o caracol. 5, ,15 3,25 5,115 3,75 2,51 5,10 5, ,5 3,3 1, ,4 1, , ,6 3,04 1,55

93 91 9. Números cruzados Assunto: Perímetros e áreas Horizontais: A. A medida do perímetro, em cm, de um triângulo equilátero de 2,5 cm de lado. A medida da área de um quadrado, em cm 2, com 3 cm de lado. B. Número natural. A medida da largura, em cm, de um retângulo de 114 cm de perímetro e com 40 cm de comprimento. C. A medida do perímetro de um círculo, em cm, com raio 0,5 cm e quando π 3,14. A. B. C. D. E ,,, D. Número par. Medida da área de um círculo, em cm 2, com raio 1 cm e quando π 3,1. E. Número ímpar. A medida da área de um triângulo, em cm 2, com 2,4 cm de base e 20 cm de altura. Verticais: 1. Medida do lado, em cm, de um hexágono regular com 432 cm de perímetro. A medida do perímetro, em cm, de um pentágono regular com 5 cm de lado. 2. A medida da área de um triângulo, em cm 2, com 3 cm de base e 2 cm de altura. Medida do perímetro, em cm, de um quadrado com 1,25 cm de lado. 3. Medida do perímetro, em cm, de um triângulo equilátero com 17,1 cm de lado. 4. Medida do perímetro, em cm, de um quadrado com 17,8 cm de lado. 5. Medida da área, em cm 2, de um quadrado com 3 cm de lado. Medida do perímetro, em cm, de um pentágono regular com 82,8 cm de lado.

94 92 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Soluções Ficha de avaliação 1 Parte A , 2, 3, 6, 9, A soma dos números repre - sentados por todos os seus algarismos é múltipla de 9. Parte B (32 4) (25 20) : 4 (5 3) 4. Por ex.: (A) F; (B) V; (C) F; (D) F; (E) F; (F) F litros; 7 garrafões horas e 20 minutos 9. a = , 2, 5, , 3, 5, 23, , 35, 49, , , é divisível por 4, logo também é; 40 é divisível por 4, logo também é Se 4 divide o dividendo ( ) e o divisor (85 340) divide necessariamente o resto da divisão inteira. 13. Sim, porque se um número natural é divisor de outros dois, é divisor da sua diferença: = = = = 11 (18 13) = Sim, porque se um número natural é divisor de outros dois, é divisor da sua soma: = = = = 7 ( ) 15. O resto 26 e o divisor 130 são divisíveis por 13, logo o dividendo também é divisível por Não, só o João porque 7 é divisor do fator 21, logo é divisor de produto Tenho 85 laranjas Ficha de avaliação 2 Parte A Parte B ; ,35; 35%; 2,2; 220% ; A 1 4 ; B 3 4 ; C ou 5 4 ; D ou 7 4 ; E ou ,75 kg 6.2 4,25 kg , pacotes de 1 kg cada um % alunos ; 2,8 Ficha de avaliação 3 Parte A , ,3 5. 4, ,8 6. 1,75 kg Parte B André ; ; ; inversos = = 1 ; inversos (0,9 10) = 1 ; propriedades comutativa e associativa ; elemento absorvente (0,25 + 0,75) = 1550; propriedade distributiva = 1; propriedades comutativa, associativa e existência de inverso F; > V 7, F; V 7.5 F ; = 7.6 F ; = caricas metros 10.2 Tem mais de 2 ha, tem 2,025 ha ,5% Ficha de avaliação 4 Parte A 1. Concorrentes oblíquas 2. Obtuso 3. Retângulo 4. Verticalmente opostos cm; 8 cm; 14 cm Suplementares se um é agudo e o outro obtuso. 9. Os ângulos c e d têm amplitudes iguais Parte B 1.1 FE G = 115, porque o ân - gulo DEB e o ângulo FEG são verticalmente opos tos. 1.2 CB E = 115, porque o ângulo CBE e o ângulo DEB são alternos internos em duas retas paralelas cortadas por uma secante. 1.3 EB A = 65, porque o ângulo EBA e o ângulo CBE são suplementares B 123 O 57 O A 4 cm 4 cm 140 O C P PA = 12 mm 4.1 EA M = 40 o 30 ; ME A = 90 o 4.2 ALA 4.3 Em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais o Obtusângulo e isósceles , porque, num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais º, porque o ângulo DOC e o ângulo BOA são verticalmente opostos, logo iguais. 6.4 O diâmetro é 4 cm. 6.5 LAL 7.1 Não, porque se fossem, os ângulos correspondentes eram iguais, e 58,4 o é diferente de 58,1 o ,9 o 8.1 BM C = 90 o ; CM D = 59 o AM E = 139 o Ângulo DMA e ângulo EMB são verticalmente opostos, logo iguais: 40,2 o = = 40 o + 0,2 60 = 40 o Ângulo CMD e ângulo EMB. 9.1 LLL 9.2 B = E, C = F e A = D 10.1 Triângulo ADE retângulo; triângulo ABC obtusângulo.

95 o 10.3 Porque, num triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado Hipotenusa Ficha de avaliação 5 Parte A cm 2. 10,7 cm 3. 8,5 cm m 5. B e C são figuras equivalentes ,5 dm dm ,2 m ,25 cm ,08 dm 2 Parte B cm 4 cm 2,5 cm 2,5 cm m m 2 A 42 m 2 5. D C 1 4 A 1 B 3 12 retângulos, = CE B = 80 o ; ED A = 118 o cm 7.1 2,5 cm o ,5 cm 2 9. Por exemplo: a a M N a 4 cm a valor à tua escolha 10.1 B E = E C, porque o ponto E é ponto médio de [BC]. FE B = DE C, porque os ângulos são verticalmente opostos. EC D = EB F ; ângulos alternos internos em duas retas paralelas cortadas por uma reta secante, logo os triângulos são congruentes pelo critério ALA cm u.a o ; 87 o ; 93 o ; 87 o 12.2 Sim, por exemplo, por LLL, (os lados opostos do paralelogramo são iguais e o lado AC é comum) ,2 cm Ficha de avaliação 6 Parte A 1. A cor dos olhos. 2. A idade, em anos A (0, 4) e B (4, 2) O valor da amplitude é 25 e o valor da moda é Parte B Holanda 1.3 França 1.4 País preferido para a viagem de finalistas. 2. N. o de alunos País Freq. absoluta Freq. relativa França 6 20% Inglaterra 3 10% Suíça 9 30% Holanda 12 40% Nível França Inglaterra Frequência absoluta Suíça Holanda Países Frequência relativa 2 3 0,1 = 10% ,4 = 40% 4 9 0,3 = 30% 5 6 0,2 = 20% 3. Média 18,3. Moda % litros litros segundos Não, os eixos não são perpendiculares. É monométrico. 7.2 y 1 0 N 1 x M (por exemplo (1, 3) N (3, 0) anos 9. y 1 Q 0 1 S Idade (anos) M P R Freq. absoluta Não; moda 12; média 12,5. T x Freq. relativa % % % % Total % Ficha de remediação 1 1. ( ) + (13 + 7) = = = ? = ? = ; 1,2 ; 7 3 Ficha de remediação (5 2) (10 10) = = = (20 5) (4 6) = = = = = = (102 2) = (97 + 3) = = = = ? = 6 2.2? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = 54 Ficha de remediação Ficha de remediação Ficha de remediação autocarros ; sobram Ficha de remediação De 7: 7, 14, 21, 28, 35, De 12: 12, 24, 36, 48, 60, De 9: 9, 18, 27, 36, 45, De 15: 15, 30, 45, 60, 75, , 2, 3, 4, 6, 12. 1, 3, 9, 27. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, Compostos mais de , 11, , 3, 9 divisores de 9. 1, 2, 3, 6, 9, 18 divisores de 18. 1, 3, 7, 21 divisores de divisores de 1.

96 94 Caderno de Apoio ao Professor MATemática 5 Ficha de remediação Sim, porque: = = = = 23 (8 + 13) = Por 11 não é porque nem 184 nem 299 são divisíveis por é divisor de 8, logo é divisor de 23 8, isto é, de = = 23 (13 8) = Se 23 é divisor do dividendo e do divisor de uma divisão inteira então é divisor do resto é divisor de 16 e de 24, logo é divisor do dividendo, isto é, de não é divisor de 16 nem de 24, logo não é divisor de 136. Ficha de remediação Por exemplo, Por exemplo, ; 999 Ficha de remediação Ficha de remediação = 2 4 ; 1 4 = 3 12 ; 6 2 = ,2; 20%; ; ;, por exemplo. Ficha de remediação < ; 1 3 ; 1 3 ; 4 1 ; ; 4 1 ; 3 ; > > ; 5 ; 11, ; 200 g 3 Ficha de remediação %; 50%; 5%; 75%; 140% ; 1 Ficha de remediação Arredondamento com 1 c.d. Arredondamento com 2 c.d. Arredondamento com 3 c.d ; 2,9 ; 0, ; 2 2 ; ,2 ; 1,5 ; 1, ,8 2,1 0,3 4,83 2,09 0,27 4,833 2,091 0,273 Ficha de remediação (0,8 + 0,2) = = = = = (93 + 7) = = = = ou = Ficha de remediação m m Ficha de remediação porque = porque = porque 1,3 1 0 = Ficha de remediação , Ficha de remediação Ponto T ; 2 cm o ; 135 o ; 135 o 2.2 Bissetriz ; o 31 0 ; 2 o t bissetriz 62 Ficha de remediação o ; 123 o o ; 168 o o 30 ; 141 o a = c = e = 130 o ; b = d = 50 o 2.2 a = 53 o ; b = 53 o 2.3 a = d = e = 48 o ; b = c = 132 o 3. a = 65 o o, porque ângulos de lados perpendiculares de espécies diferentes são suplementares. T 62 P 2 cm = 175% 1.2 0,375; 1, = ; < ; > ; > ; = 3. 4 berlindes Ficha de remediação croissants pacotes 4.1 Verdadeiro, porque o inverso do produto de dois números racionais é igual ao produto dos inversos desses números. 4.2 Verdadeiro, porque o inverso do quociente de dois números racionais é igual ao quociente dos inversos desses números. Ficha de remediação A: 58 o ; triângulo escaleno e acutângulo. B: 60 o ; 120 o ; triângulo equilátero e acutângulo. C: 48 o ; 132 o ; triângulo escaleno e retângulo. D: 35 o ; 60 o ; triângulo escaleno e obtusângulo. 2. Não, porque < 10 ; falso; sim.

97 95 3. B C = C D ; AC B = EC D; são ângulos verticalmente opostos; B = D = 90 o, pelo critério ALA. y = 25 mm, porque, em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais. Ficha de remediação cm cm cm ,5 cm ,48 cm cm cm Descobrir a mensagem MA T EMÁ T I CA É MÁG I CA Uma semirreta EF E F Duas retas paralelas 4. A D = D C ; o lado DB é comum; BD C = AD B = 90 o ; LAL ; lado CB porque se opõe ao maior ângulo do triângulo Brincar com números = 0,5 2 r s Duas retas perpendiculares a b = 5,5 2 Ficha de remediação B e D, porque são quadriláteros com os lados opostos paralelos o 30 ; 65 o 30 ; 114 o 30 ; 114 o o, porque os ângulos x e PNM são correspondentes em duas retas paralelas cortadas por um secante, logo iguais. 3.2 Sim, pelo critério LLL (lados opostos do paralelogramo são iguais e lado MP é comum aos dois triângulos) mm 4.1 b = 37,5 o ; a = c = 142,5 o 4.2 e = d = 120 o ; f = 38 o Ficha de remediação cm cm Ficha de remediação Idade Frequência absoluta Frequência relativa % % % % A média é 11,3 anos. A moda é 11 anos cm 2.2 Sexta-feira cm 2.4 De terça para quarta dias pontos 1 + : = : 2 = = 2,5 1 2 : = 0,1 1 + = 7, : 2 = 0, : 3 = Crucigrama 1 Polígono; 2 Pentágono; 3 Regular; 4 Agudo; 5 Obtusângulo; 6 Quadrado; 7 Reto; 8 Escaleno; 9 Triângulo; 10 Raio; 11 Circunferência; 12 Hexágono; 13 Sete; 14 Acutângulo; 15 Retângulo; 16 Corda; 17 Diâmetro; 18 Equilátero; 19 Círculo; 20 Octógono. Um ângulo reto A Um ângulo obtuso C Um ângulo agudo M O Dois ângulos complementares D B Dois ângulos suplementares C Dois ângulos verticalmente opostos E N E C A B D P D F Passatempos 5. Desenhar e pintar A 1. Números cruzados Um segmento de reta AB cm 3. 9,75 cm 4. 5,4 cm m A B C D 2 4 E A Uma reta CD C D B D Dois ângulos alternos internos em duas retas paralelas cortadas por uma secante s r p B C 0,5 cm r p E

98

99 ISBN