Experiment Portugues BR (Brazil) Condutividade elétrica em duas dimensões (10 pontos)

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1 Q1-1 Condutividade elétrica em duas dimensões (10 pontos) Por favor, leia as instruções gerais no envelope separado antes de iniciar este problema. Introdução Com o objetivo de produzir a próxima geração de dispositivos baseados na tecnologia dos semicondutores, como chips de computadores ou células solares, pesquisadores buscam por materiais que possuam propriedades ótimas de transporte elétrico, por exemplo baixa condutividade elétrica. Medidas destas propriedades são realizadas utilizando amostras de tamanho finito, contatos com resistência finita e em uma geometria especial. Estes efeitos devem ser levados em conta de forma a extrair corretamente as propriedades elétricas verdadeiras. Além disso, um filme fino de um material pode apresentar propriedades diferentes das propriedades volumétricas do mesmo. Neste problema iremos investigar as medidas de propriedades elétricas. Utilizaremos duas definições distintas: Resistência R: A resistência é a propriedade elétrica de uma amostra ou dispositivo. Essa é a quantidade que nós medimos numa amostra específica com dadas dimensões. Resistividade ρ: A resistividade é a propriedade do material que determina a resistência. Ela depende do próprio material e de parâmetros externos, como temperatura, mas não depende da geometria da amostra. Em particular, iremos medir uma propriedade chamada de resistividade da folha. Esta é a resistividade dividida pela espessura de uma folha muito fina. Iremos explorar a influência dos seguintes parâmetros na medida da resistência elétrica das finas camadas do material: o circuito utilizado para as medidas, a geometria das medidas, e as dimensões da amostra. Um folha de papel com material condutor e uma bolacha (wafer) de silício coberta com um metal servirão como amostras.

2 Q1-2 Lista de materiais (1) (2) (4) (3) (5) Figura 1: Equipamento adicional para este experimento. 1. Papel condutor coberto com grafite 2. Uma bolacha de silício coberta com um fino filme de cromo (guardada num porta amostras) 3. Um prato de Plexiglas (acrílico) com oito furos para pinos 4. Um resistor ôhmico 5. Adesivos coloridos Precauções importantes A bolacha de silício fornecida pode quebrar facilmente se for dobrada ou cair. Não toque ou risque sua superfície brilhante. Instruções No experimento, o gerador de sinal será usado como uma fonte de voltagem DC. Neste modo, a saída do gerador de sinal é uma voltagem constante entre o soquete (5) e o soquete GND (7). Os números se referem à fotografia mostrada nas instruções gerais. A voltagem (0-5 V) pode ser ajustada no potenciômetro da esquerda nomeado adjust voltage (3) usando uma chave de fenda. Quando estiver realizando este experimento, tenha certeza de que o sistema do gerador correspondente ao alto-falante está desligado usando a chave liga/desliga. Isto pode ser checado medindo a voltagem entre os monitores speaker amplitude, soquete (6), e o soquete GND (7). Se o sistema do alto-falante estiver desligado, a voltagem entre estes dois terminais é nula.

3 Q1-3 Parte A. Medidas usando o método dos quatro pontos (4PP) (1,2 pontos) Para medir a resistência de uma amostra com precisão, os contatos utilizados para a medida de voltagem e os contatos utilizados para a injeção de corrente devem ser separados. Esta técnica é conhecida como método dos quatro pontos (4PP). Os quatro contatos são arranjados numa geometria simétrica da forma mais simples possível. A corrente I flui para a amostra através de um dos contatos externos (chamado de fonte), então segue em todos os caminhos possíveis através da amostra até sair da mesma através do outro contato (dreno). Assim, a voltagem V pode ser medida sobre um determinado caminho de comprimento s sobre a amostra. Tudo se torna bastante simples se tivermos um arranjo simétrico, i.e. a mesma distância s entre todos os contatos e os contatos no centro da amostra como mostra o seguinte esboço: R contact Bateria + _ I V s s s Amostra R contact A curva I versus V representa a característica I V da amostra e permite medir a resistência desse segmento da amostra. No que se segue, iremos utilizar somente a técnica 4PP. Para começar, utilizaremos o arranjo de pontos equidistantes de quatro dos oito contatos mostrados na figura. Figura 2: Prato de acrílico (Plexiglas) para as medidas com a técnica 4PP, com as quatro bases de apoio de borracha e os oito contatos de mola. Para a medida a seguir, use toda a folha de papel condutor.

4 Q1-4 Dicas importantes para os experimentos seguintes: O lado de maior comprimento da folha de papel é o lado de referência. Os quatro contatos devem estar alinhados e paralelos a este lado. Seja cuidadoso para usar o lado recoberto (preto), e não o lado marrom da folha de papel! Você pode marcar a orientação correta com os adesivos coloridos. Verifique que não há buracos ou cortes no papel. Para as medidas, coloque os contatos o mais próximo do centro do papel quanto possível. Pressione os contatos com força o suficiente para garantir um bom contato elétrico em cada um deles. As bases de apoio de plástico devem apenas tocar a superfície. A.1 Medida com a técnica 4PP: Meça a queda de potencial V num segmento de comprimento s como função da corrente I que passa através desse segmento. Obtenha pelo menos 4 pontos e faça uma tabela e um gráfico da queda de potencial V versus corrente I no Gráfico A pt A.2 Determine a resistência elétrica R = V I que você obteve através do Gráfico A pt A.3 Utilize o Gráfico A.1 para determinar a incerteza ΔR na resistência R para a medida 4PP. 0.4pt

5 Q1-5 Parte B. Resistividade de uma folha (0,3 pontos) A resistividade ρ representa uma propriedade do material, através da qual a resistência de um condutor 3D de dimensões e geometria dadas pode ser calculada. Aqui consideramos uma barra de comprimento l, lagura w e espessura t: l ρ t I w A resistência elétrica R do condutor espesso dado acima é dada por: R = R 3D = ρ l w t (1) Da mesma forma, podemos definir a resistência de um condutor 2D de espessura pequena t w e t l: l ρ w t R = R 2D = ρ l w, (2) utilizando a resistividade ρ ρ/t rho quadrado. Sua unidade é dada em Ohms: [ρ ] = 1Ω. Importante: A equação 2 só é válida para uma densidade de corrente homogênea e um potencial constante no plano de seção transversal do condutor. No caso de contatos pontuais sobre a superfície essa fórmula não é válida. No entanto, pode-se mostrar que a resistividade está relacionada com a resistência neste caso através da fórmula para l, w t. ρ = π R (3) ln(2) B.1 Calcule a resistividade da folha ρ do papel para a medida 4PP na parte A. Iremos chamar esse valor em particular de ρ (e a resistência medida da parte A R ) porque as dimensões de toda a folha são muito maiores que o espaçamento entre os contatos s: l, w s. 0.3pt

6 Q1-6 Parte C. Medidas para diferentes dimensões das amostras (3,2 pontos) Até agora, as medidas finitas da amostra w e l não foram levadas em consideração. Se a amostra for cada vez menor, ela pode carregar menos corrente se a voltagem for mantida constante: Se aplicarmos uma voltagem entre os dois contatos (círculos brancos), a corrente irá fluir através da amostra em todas as possíveis direções que não se cruzam, conforme pode ser visualizado pelas linhas: quanto maior a linha, menor é a corrente como indicado pela largura das linhas. Para uma amostra pequena (b) e a mesma voltagem aplicada, a corrente total diminui porque há menos caminhos possíveis. Assim, a resistência medida irá aumentar: (a) (b) A resistividade (da folha) não irá mudar como função da dimensão da amostra. Assim, de forma a converter a resistência medida em uma resistividade utilizando a equação 3, é preciso introduzir um fator de correção f(w/s): ρ = π ln(2) R(w/s) f(w/s). (4) Para uma amostra de comprimento l s o fator f só depende da razão w/s e é maior que 1: f(w/s) 1. Por simplicidade, iremos focar na dependência com a largura w e somente garantir que a amostra seja longa o suficiente para nossas medidas. Assumiremos que o valor se aproxima do resultado correto ρ para grandes dimensões: R(w/s) = R f(w/s) com f(w/s ) 1.0. (5) C.1 Utilizando a técnica 4PP, meça a resistência R(w, s) para 4 valores de w no intervalo entre 0,3 até 5,0 e coloque seus resultados na Tabela C.1. Garanta que o comprimento da amostra é maior que cinco vezes o espaçamento dos contato, l > 5s, e que o comprimento l das amostras é sempre tomado ao longo da mesma direção (lado maior) sobre a folha de papel. Para cada valor de w/s meça a voltagem para 4 valores distintos de corrente e calcule a resistência média R(w/s) das 4 medidas. Coloque seus resultados na Tabela C pt C.2 Determine f(w/s) para cada uma das medidas. 0.2pt Parte D. Fator de correção geométrica: lei de escala (1,9 pontos) Você viu na parte C que a medida da resistividade varia com a razão entre largura e a distância entre os contatos w/s. Partindo dos dados obtidos na parte C, escolhemos a seguinte função genérica para

7 Q1-7 descrever os dados nessa região das medidas: Função genérica de ajuste: f(w/s) = a ( w s )b (6) Observe que para grandes valores de w/s, f(w/s) deve ser 1,0. D.1 De forma a ajustar (fitar) uma curva modelo usando a equação 6 e os dados f(w/s), tomados na parte C, escolha a folha de gráfico apropriada (linear Gráfico D.1a, monologarítmico Gráfico D.1b ou dilogarítmico Gráfico D.1c) para fazer um gráfico dos dados. 1.0pt D.2 Deduza quais são os parâmetros a e b através do seu ajuste (fitting). 0.9pt

8 Q1-8 Parte E. A bolacha de silício (wafer) e o método de van der Pauw (3,4 pontos) Na indústria de semicondutores, o conhecimento da resistência elétrica (da folha) de semicondutores e finas camadas metálicas é muito importante porque ela determina as propriedades dos dispositivos. No que se segue você irá trabalhar com uma bolacha de silício. A bolacha semicondutora está coberta com uma fina camada de cromo metálico (sobre o lado brilhante). Abra a caixa com a bolacha (gire no sentido da seta release) e retire a bolacha. Seja cuidadoso para não deixá-la cair, não quebrar, não arranhar e não tocar sua superfície brilhante. Para as medidas coloque sobre a mesa com a parte brilhante voltada para cima. E.1 Utilize o mesmo arranjo 4PP como anteriormente para medir a voltagem V como função da corrente I. Escreva o número de referência da sua bolacha na Folha de Respostas. Você irá encontrar este número no porta amostras de plástico. 0.4pt E.2 Faça um gráfico dos dados no Gráfico E.2 e determine a resistência R 4P P. 0.4pt E.3 De forma a determinar a correção para uma amostra circular como a bolacha, iremos aproximar a largura w da amostra pelo diâmetro D = 100 mm da bolacha. Sob esta aproximação, calcule a razão w/s. Utilize a função de ajuste na equação 6 e seus parâmetros a e b para determinar o fator de correção f(w/s) para as medidas da bolacha. 0.2pt E.4 Calcule a resistividade da folha ρ da camada de cromo usando a equação pt Para medir a resistividade da folha precisamente sem a necessidade de correções geométricas, o engenheiro da Philips, L. J. van der Pauw, desenvolveu um esquema de medidas simples: As quatro pontas são montadas sobre a circunferência de uma amostra de forma arbitrária como mostrado na figura (numerados de 1 a 4). A corrente flui de dois contatos adjacentes, por exemplo contatos 1 e 2, e a voltagem é medida entre os contatos 3 e 4. Isto fornece o valor da resistência R I,V = R 21,34. I 21 Bateria + _ 1 2 Amostra 4 3 V 34 Por razões de simetria R 21,34 = R 34,21 e R 14,23 = R 23,14. Van der Pauw mostrou que para um formato

9 Q1-9 arbitrário e simplesmente conectado (sem buracos) da amostra e contatos pontuais, a seguinte equação é válida: e πr 21,34/ρ + e πr 14,23 /ρ 1. (7) Figura 3: Dispositivo de medida 4PP sobre a camada metálica na bolacha de silício. Observe o corte (chanfro) no lado direito da bolacha circular. Este corte será chamado de flat (chanfro). Conecte os quatro contatos de mola de forma que as pontas de prova formem um quadrado. Conecte dois contatos adjacentes à fonte de corrente com o amperímetro, e conecte os dois contatos restantes com o voltímetro. Ajuste o quadrado de forma que um de seus cantos esteja sobre o flat, chanfro, da bolacha. E.5 Indique a orientação das correntes nos carregadores de corrente e a orientação do flat da bolacha. Meça pelo menos 6 valores distintos e espaçados igualmente de voltagem V versus corrente I, utilizando ambas as polaridades. Coloque os resultados na Tabela E pt E.6 Repita o procedimento ajustando os contatos para que a corrente flua na direção perpendicular ao caso anterior. Coloque seus resultados na Tabela E pt E.7 Coloque todos os dados num único gráfico Gráfico E.7 utilizando diferentes cores e/ou símbolos. Determine o valor médio R das duas curvas. 0.5pt E.8 Trocando todas as resistências R kl,mn por R, resolva a equação 7 para ρ e calcule a resistividade da folha ρ da camada de cromo. 0.4pt E.9 Compare o resultado da medida tomada com o arranjo linear (E.4) e o resultado do método de van der Pauw (E.8). Dê a diferença entre as duas medidas como um erro relativo em porcento. 0.1pt

10 Q1-10 E.10 As camadas de Cromo (Cr) têm uma espessura nominal de 8 nm. Utilize esse valor e os resultados finais do método de van der Pauw para calcular a resistividade do Cr usando as equações 1 e pt