MODELO GEOESTATÍSTICO DE PREVISÃO ESPAÇO-TEMPORAL: IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL NO SOFTWARE R

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1 ! "#$ " %'&)(*&)+,.- C)D 5.,.5FE)5.G.+ &4- (IHJ&?,.+ /?<>=)5.KA:.+5MLN&OHJ5F&4E)*EOHJ&)(IHJ/)G.- D - ;./);.& Foz do Igaç, PR, Brasil, 9 a de otbro de 7 MODELO GEOESTATÍSTICO DE PREVISÃO ESPAÇO-TEMPORAL: IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL NO SOFTWARE R Raphael Lennie Fernandes Ribeiro (UFMG) faellennie@yahoo.com.br Seli Aparecida Mingoti (UFMG) seli@est.fmg.br Modelos espaço-temporais são ferramentas probabilísticas para análise de dados e predições qe representam as dependências espaciais e temporais entre as observações. O desenvolvimento de métodos para a análise de modelos espaço-temporais ttem amentado consideravelmente devido ao fato do avanço de métodos comptacionais. Neste trabalho apresentamos m programa comptacional desenvolvido em R ntamente com o pacote Geo-R para análise espaço-temporal de dados. A metodologia implementada é a de geoestatística proposta por Kyriakidis e Jornel (999). Para qe o sário possa tilizar o programa adeqadamente é necessário qe este tenha conhecimentos sobre Geoestatística. Palavras-chaves: Modelos espaço-temporais; Geoestatística; Variograma; Krigagem.

2 Foz do Igaç, PR, Brasil, 9 a de otbro de 7. Introdção Os modelos espaço-temporais são modelos mais recentes e constitem ma área com grande potencial para pesqisa científica. Os modelos em geral são constrídos de forma a representar probabilisticamente o comportamento dos dados coletados em várias localizações no espaço sendo qe em cada localização estes também apresentam ma dependência temporal. Existem vários exemplos de aplicação prática. Pode-se citar os artigos relacionados com a modelagem dos fenômenos climáticos e o efeito da polição atmosférica (Oehlert, 993), o estdo da qalidade de solos, em Medicina no estdo de evolção de doenças ao longo do tempo e em áreas geográficas distintas (Carroll e Cressie, 997), Ecologia, etc. Uma área de grande potencial para a aplicação dessas técnicas é a gestão de empresas de telefonia e energia, dentre otras. Se for de interesse prever-se a direção da expansão dos serviços da empresa é importante qe se analise estatisticamente dados tanto em nível temporal qanto em nível espacial. Por exemplo, em qe localizações novas estações de telefonia o geração de energia devem ser colocadas? e em relação ao tempo qando essas novas estações deveriam ser implementadas? O grande problema é qe comptacionalmente mitos dos modelos espaço-temporais não estão implementados. Além disso, os modelos geoestatísticos da forma como foram propostos permitem qe se faça previsões espaciais apenas para os tempos específicos nos qais se tem algma informação sobre a variável resposta Z(.). A proposta deste artigo é mostrar m programa desenvolvido na lingagem R ntamente com o so do pacote Geo-R qe implementa ma versão da metodologia proposta por Kyriakidis e Jornel (999).. Modelagem Geoestatística Espaço-Temporal Sponha qe tenhamos n localizações,...,, n e em cada localização tenhamos ma série Z ( i, t, temporal em T tempos distintos. Assim, tem-se o connto de observações: ) i =,,...n ; =,,... T, onde Z(.) é a variável resposta de interesse. O obetivo principal é constrir m modelo qe possa fazer previsões de Z(.) para localizações não amostradas nm tempo específico t, =,,,T. O modelo proposto por Kyriakidis e Jornel (999) para cada localização no tempo fixo t é dado em () no qal M ( ) é m componente qe representa a variação da média espacial, R ( é m componente com média zero qe fnciona como m fator de correção temporal de M ( ), R(, é o resído espaço-temporal com média zero e variância, e S (, é o componente espaço-temporal qe modela o desvio padrão da variável aleatória Z(.) sendo este decomposto em m prodto de m componente pramente espacial ( S () ) e otro pramente temporal ( S ( ). Z(,t ) = M ( ) + R ( t ) + S(,t )R(,t ) = M ( ) + R ( t ) + S( )S( t )R(,t ) () Para qe se possa fazer a previsão para a localização nm tempo t específico é necessário estimar-se os componentes do modelo proposto por Kyriakidis e Jornel (999).

3 Foz do Igaç, PR, Brasil, 9 a de otbro de 7.. Estimação dos Componentes do Modelo Sponha qe qeiramos fazer previsão de Z para ma localização não amostrada (nova) nm tempo específico t, =,...,T. O valor previsto para a localidade de interesse ( ), em m tempo fixo, é dado por: Z( ˆ,t ) = M ˆ ( ) + R ˆ ( t ) + S( ˆ )S( ˆ t )R( ˆ,t ) () Os passos propostos para calclar essa previsão são: a) Para cada localização fixa amostrada i calclar a média da série temporal respectiva, o sea, M ( ) = T T Z(,t i i 3 = Assim, teremos o connto espacial com n informações de médias. b) Calclar o variograma experimental da variável regionalizada M(.). Identificar o modelo e estimar os parâmetros. c) Para a localização estimamos o componente M(.) fazendo krigagem sando ma vizinhança de. Assim teremos o componente estimado por: Mˆ ( ) = λ ( ) M ( ) (4) { i V } ) i i onde λ são os pesos obtidos na krigagem. d) O componente R ( ) é estimado da seginte forma: t Rˆ ( = n λ ( )( Z(, Mˆ ( ( i i i i= Vale ressaltar qe os pesos λ vêm por krigagem dos valores de M(.), D. Temos qe os pesos, λ (), são independentes de t e são obtidos sando o variograma da série M(.). e) A variância estimada de Z para cada localização fixa é dada por: ˆ T S ( ) ( (, ) ˆ ( ) ˆ ( )) = Z t M R t (6) T t = No entanto, todas as localizações têm a mesma variância de Z. Assim m estimador connto é: n w = λ ( i= ) Sˆ ( i i f) O próximo componente qe devemos estimar é S ( qe representa a variância de Z( para m t fixo. No entanto, têm-se várias localizações para m t fixo, assim as estimativas são combinadas como em (8). n ˆ ( )] ( )( (, ) ˆ ( ) ˆ [ S t = λ ( )) (8) i Z i t M i R t w i= g) Por último, o resído é estimado para cada e t fixo como em (9): [ Z( ˆ ˆ i, M ( i ) R ( ] Rˆ(, = (9) [ Sˆ ( )] [ Sˆ ( ] i ) ) )) (7) (5) 3

4 Foz do Igaç, PR, Brasil, 9 a de otbro de 7 onde S ˆ ( ) = S ˆ ( ) e S ˆ ( t ) = S ˆ ( t ). Com isso, para não amostrada previamente, a estimativa pontal para Z ˆ(,, t fixo pertencente ao connto T observado na amostra, é dado como em (), onde: Mˆ Sˆ( Rˆ( ( ) = ) = λ( ) Mˆ λ( ) Sˆ ( ) ( ), = λ( ) Rˆ(, () A variância aproximada do erro de predição é obtida como em (): Var( Z(, Zˆ(, ) = Var( M ( ) Mˆ ( )) + [ S ( )][ S ( ] Var( M ( ) Mˆ ( )) Var( Z(, Zˆ(, ) = σ ( ) + [ S ( )][ S ( ] k σ k ( ) () 3. Implementação Comptacional A implementação comptacional foi feita tilizando-se o software R.. e o pacote geor qe está disponível para versões do software R.., o mais recentes. Por ser ma metodologia mais recente existem pocas implementações comptacionais nessa área, o qe dificlta a aplicação dessa metodologia em sitações reais. Um dos grandes desafios da implementação desenvolvida consiste em modelar o comportamento de dados qe variam tanto no espaço como no tempo. Desta forma destaca-se a importância da implementação desenvolvida, á qe ela axiliará no estdo dessa metodologia. Através dessa implementação será possível fazer predições para localizações não amostradas considerando a dependência espacial desses dados. Um fator importante no so do programa é a familiaridade com a identificação de variograma teórico e de métodos de Krigagem (Cressie, 99). Exemplo de Aplicação: Sponha qe estamos interessados em verificar a taxa de ocorrência de casos de Aids em mnicípios do estado de Minas Gerais. Temos m connto de 338 localizações,,,..., 338 e em cada localização temos ma série temporal com T = 4. Assim temos o connto de observações: Z( i, t ), i =,...338; =,,3,4. onde Z ( i, t ) é a taxa de casos de Aids na localidade i no tempo. Observe na Figra qe para todas as localidades no mapa temos ma série temporal (localizações amostradas). Estamos interessados em estimar o número de ocorrências de Aids no mnicípio de Sabará, qe é ma localidade não amostrada, o sea, não conhecemos o comportamento do número de casos de Aids nesse mnicípio nos períodos de 996 a 999 (t=4). Vale ressaltar qe a previsão de Z(.) poderá ser feita somente para os tempos amostrados nas demais localidades, o sea, a princípio não poderíamos tilizar essa metodologia para fazer previsões para tempos ftros. Em algns mnicípios não foi verificada a ocorrência de casos de Aids em determinados 4

5 Š P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_yi k% h Foz do Igaç, PR, Brasil, 9 a de otbro de 7 períodos, por isso, realizaremos a seginte transformação no connto de dados para execção do programa: ln ( Taxa) = ln Nº de casos real Total de habitantes ŒŽ + Vale ressaltar qe os dados estão sendo tilizados para axiliar na compreensão da metodologia implementada, por isso, os resltados obtidos não refletem nenhma tendência real. Figra Metodologia Espaço-Temporal A localização na qal estamos interessados em fazer as previsões, nos tempos em qestão, possi coordenadas (-9,889 ; -43,863). O primeiro passo é iniciar o pacote geor: Figra Iniciando o GeoR Para fins de exemplificação exibiremos somente algns resltados da implentação desenvolvida. Nos primeiros itens é exigida a interferência do sário, á qe é necessária a identificação do modelo do variograma. a) Algmas informações descritivas sobre a média temporal, M ( i ), das localizações (i), e algmas considerações sobre as distâncias entre as localizações: 5

6 š š P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_yi k% h Foz do Igaç, PR, Brasil, 9 a de otbro de 7 Figra 3 Análise Descritiva Através da saída do programa notamos qe a máxima distância entre das localidades é,686 nidades. b) Variograma experimental de M(): Figra 4 Variograma Experimental c) Estimação dos parâmetros do modelo astado: Figra 5 Estimação dos Parâmetros Os modelo e os parâmetros astados são representados por: γ ( h; θ ) = se h = 3 h h,553 +,98 5,766 5,766,596 se h 5,766 3, se < h 5,766 6

7 Foz do Igaç, PR, Brasil, 9 a de otbro de 7 A partir de agora não é necessário a interferência do sário na implementação. Esses comandos irão estimar os componentes do modelo sgerido por Kyriakidis e Jornel (999). d) Validação do modelo: Após a análise dos resídos, não encontramos indícios de falta de adeqação do modelo e das sposições a ele associadas. Feito todas as avaliações anteriores, o próximo passo será fazer as previsões do número de casos de Aids ( ln(taxa)) na cidade de Sabará, nos tempos indicados Histogram of residtest Density residtest Figra 6 Validação do modelo e) Previsões para a localidade de interesse: Obtemos as previsões para a localidade de interesse, a variância das predições e os intervalos de confiança, nesse caso de 95%. Figra 7 Previsões para ln (Taxa) Figra 8 Variância das Previsões Figra 9 Intervalo de Cofiança para as Previsões 7

8 Foz do Igaç, PR, Brasil, 9 a de otbro de 7 A Tabela smariza os resltados obtidos pelo programa. (*): Intervalo de Confiança Cidade Latitde Longitde Z ˆ(, t ) Z ˆ(, t ) Z ˆ(, t 3 ) Z ˆ(, t 4 ) Sabará ,6743 (-,57 ; -7,48) -8,6393 (-,389 ; -6,88) (-,77 ; -7,48) ] (-,64 ; -7,73) Tabela Previsões para a localidade não amostrada Vale lembrar qe as previsões foram feitas para os dados transformados e qe os resltados não podem ser considerados, á qe os dados foram tilizados somente para expor o programa desenvolvido. Após algmas pesqisas tivemos acesso ao número de casos de Aids na cidade de Sabará nos anos em qestão. Para fins de comparação realizamos a mesma transformação nesses dados. A Tabela mostra os valores previstos pelo modelo astado e os valores reais. Nº Aids Latitde Longitde Z ˆ(, t ) Z ˆ(, t ) Z ˆ(, t 3 ) Z ˆ(, t 4 ) Valor Real -9,334-8,879-9,765-9, Valor Previsto -8,67-8, Tabela - Comparação entre o valores reais e os valores preditos pelo modelo Observe qe os valores preditos estão razoavelmente próximos dos valores reais para a localidade no qal fizemos as previsões. Todos os valores reais estão contidos no intervalo de confiança das previsões. Com isso, temos evidências de qe o modelo astado descreve, com boa qalidade, a variação espaço-temporal dos dados. Como os dados foram transformados aconselha-se, nesse caso, qe sea feita ma transformação log-normal nas previsões para termos acesso ao número de casos de Aids nessa localidade. Porém, essa transformação não será tratada nesse artigo. 4. Previsões Espaciais para Tempos não Amostrados Para efetar previsões espaciais para tempos não amostrados previamente sgere-se a seginte alternativa: primeiramente para cada localização fixa asta-se m modelo de séries temporais fazendo-se previsões para os tempos ftros nos qais a variável Z(.) não foi amostrada. Posteriormente, tiliza-se o modelo espaço-temporal como descrito neste trabalho como se as previsões de Z(.) para os tempos ftros fossem dados reais obtendo-se assim as previsões espaciais. É claro qe a qalidade das previsões espaciais para os tempos ftros é dependente da qalidade do modelo de série temporal astado para cada localidade. Para tornar o procedimento mais prático pode-se por exemplo astar modelos por métodos de alisamento exponencial o Holt-Winters (Morettin e Toloi, 4). 8

9 Foz do Igaç, PR, Brasil, 9 a de otbro de 7 5. Considerações Finais O estdo dos modelos espaço-temporais, proposto nesse trabalho, reforça a idéia de qe a informação sobre a localização espacial de ma observação é de extrema relevância para a constrção dos modelos estatísticos. O programa foi desenvolvido com o intito de aplicar essa metodologia a sitações reais, á qe os modelos espaço-temporais consegem modelar, com boa qalidade, o comportamento tanto espacial qanto temporal dos dados. O programa disponibiliza ma maneira fácil de fazer previsões para localizações não amostradas considerando a dependência das regiões mais próximas. Além disso, o programa retorna os intervalos de confiança para as predições, e permiti qe o sário faça previsões para várias localidades ao mesmo tempo. Para a tilização correta do programa é necessário conhecimento de geoestatística e algma familiaridade com o pacote geor. Drante a tilização do programa é imprescindível a intervenção do sário, á qe é necessária a identificação do modelo geoestatístico. Embora o programa tenha sido revisado cidadosamente ele não esta livre de imperfeições.. Referências BROCKWELL, P.J., DAVIES, R,.A. Time series theory and methods. a. edição. New York: Springer Verlag, 99. CARROLL, S. S. E CRESSIE, N. Spatial modeling of snow water eqivalent sing covariances estimated from spatial and geomorphic attribtes. Jornal of Hidrology, 997. CRESSIE, N. Statistics for spatial data. New York: John Wiley & Sons, 99. DIGGLE, P.J., RIBEIRO JR, P.J. Model-based geostatistics. XIV SINAPE - Simpósio Nacional de Probabilidade e Estatística, Caxamb: Associação Brasileira de Estatística. HOST, G., MORE, H. SWITZER, P. Spatial interpolation errors for monitoring data. Jornal of American Statistical Association, 995. ISSAKS, EDWARD H; SRISVASTAVA, R. MOHAN. Applied geostatistics. New York: Oxford University Press,989. KYRIAKIDIS, P.C., JOURNEL, A. G. Geostatistical space-time models: a review. Mathematical Geology, 999. MINGOTI, S. A., LEITE, A. G., ROSA, G. Describing the total nmber of diagnosed cases of aids by means of geostatistics. Revista de Matemática e Estatística, Unesp, 4,, 6-76, 6. MORETTIN, P. A., TOLOI, C. M. Análise de séries temporais. ABE-Proeto Fisher. São Palo: Editora Edgard Blcher, 6. NIU, X-F, MCKEAGUE, I.W.,ELSNER,J.B. Seasonal space-time models for climate systems. Statistical Inference for Stochastic Processes, 3. OEHLERT, G. W. Regional trends in slfate wet deposition. Jornal of American Statistical Association, 993. R DEVELOPMENT CORE TEAM (5). R: A langage and environment for statistical compting. R Fondation for Statistical Compting, Vienna, Astria. ISBN , URL 9