ESTIMAÇÃO DE ATITUDE EM TEMPO REAL UTILIZANDO SENSOR DE ESTRELAS

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1 V CONGRESSO NACIONAL DE ENGENHARIA MECÂNICA V NATIONAL CONGRESS OF MECHANICAL ENGINEERING 25 a 28 de agosto de 2008 Salvador Bahia - Brasil August 25 28, Salvador Bahia Brazil ESTIMAÇÃO DE ATITUDE EM TEMPO REAL UTILIZANDO SENSOR DE ESTRELAS Carlos J. Alves Moreira, cjamoreira@gmail.com Roberta V. Garcia, rovgarcia@yahoo.com.br Roberto V. F. Lopes, roberto@dss.inpe.br Hélio K. Kuga, h@dem.inpe.br INPE - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - Divisão de Mecânica Espacial e Controle, Av. dos Astronautas 758, São José dos Campos, SP Resumo: O objetivo deste trabalho é realizar a estimação da atitude e velocidades angulares de satélites artificiais, em tempo real, utilizando dados fornecidos apenas por sensores de estrelas que são processados através do filtro de Kalman. Para a utilização deste processo de determinação de atitude é necessário conhecer inicialmente as coordenadas das estrelas no referencial inercial, as quais ficam armazenadas em um catálogo de estrelas, na memória do sensor. O sensor compara então a imagem obtida em sua medida com a do catálogo, através de técnicas de reconhecimento de padrões, e determina a atitude do sensor em relação ao referencial inercial. Para o estudo do problema, uma história da atitude nominal do satélite é gerada, através da simulação da órbita e atitude para um período orbital, sendo que a órbita é suposta com pequena excentricidade. As medidas do sensor são obtidas simulando os dados fornecidos pelo sensor de estrelas de modo que dinâmica de rotação do satélite, ou seja, sua atitude e velocidade angular, são levadas em conta através das equações de Euler. O procedimento de estimação da atitude é implementado através de um estimador de tempo real, o filtro de Kalman, que permite considerar erros no modelo da dinâmica, por meio da inclusão de ruídos de estado, e fornece as estimativas atualizadas para o instante em que a medida é processada. Com base nas medidas fornecidas pelo sensor de estrelas, o filtro de Kalman estima com maior precisão a atitude do satélite. Os resultados finais da atitude e da velocidade angular do satélite estimado pelo filtro de Kalman são comparados com seus valores nominais a fim de mostrar a precisão e o desempenho do filtro. A análise revela também o erro de apontamento decorrente do erro da estimação da atitude do satélite. Palavras-chave: Satélites Artificiais, sensor de estrelas, atitude, equações de Euler, Filtro de Kalman.. INTRODUÇÃO A determinação de atitude consiste em calcular a orientação dos eixos de um corpo fixo em um sistema de coordenadas com relação a um referencial inercial. Esta tarefa é fundamental durante as missões espaciais, uma vez que avalia o desempenho do sistema de controle de atitude e órbita, além de fornecer a interpretação correta dos resultados dos experimentos realizados a bordo pela carga útil. Para se obter esta orientação é necessário dispor de um ou mais vetores de referência, isto é, vetores com direções conhecidas em relação ao veículo espacial. Dado um vetor de referência, um sensor de atitude mede sua orientação em relação a um sistema de coordenadas do veiculo espacial. Feito isso, para dois ou mais vetores, podemos determinar a orientação do veículo espacial em relação a estes vetores. Este processo de determinação de atitude é geralmente realizado utilizando a combinação de sensores e modelos matemáticos. Neste trabalho é utilizado apenas o sensor de estrelas para a determinação da atitude e velocidades angulares, sem o uso de giroscópios utilizando uma compensação do modelo dinâmico. Este sensor é utilizado, pois oferece maior quantidade de observações simultâneas e com melhor precisão. Estas observações são realizadas com base na simulação de uma órbita e atitude de um satélite artificial e informações contidas num catalogo de estrelas, no qual é possível através de relações entre sistemas de coordenadas, obter a representação das estrelas observadas pelo sensor. Assim é possível usar o posicionamento das estrelas para simular uma região a ser vista por um sensor de estrelas nos diversos pontos da órbita simulada através de ângulos relativos ao eixo de apontamento do sensor estelar, e assim estimar sua atitude utilizando uma técnica de decomposição em valor singular. De posse dos dados de atitude obtidos pela simulação do sensor de estrelas, para estimar com melhor precisão a atitude do satélite artificial em tempo real é utilizado o filtro de Kalman, que nos permite considerar erros no modelo da dinâmica, e as observações são processadas à medida que vão sendo coletadas.

2 2. SENSOR DE ESTRELAS A finalidade da determinação de atitude é obter a orientação do veículo espacial com relação a um sistema de referencia inercial, cuja origem pode ser o centro da Terra, ou uma direção específica, como a de uma estrela, do Sol, ou ainda uma determinada pelo campo magnético terrestre. Basicamente existem duas alternativas: ou a atitude é medida com respeito a uma direção de referência usando algum tipo de sensor, ou a mudança de orientação é obtida medindo diretamente aceleração centrifuga utilizando giroscópios e acelerômetros. Aqui a determinação da atitude é feita considerando apenas os dados fornecidos pelo sensor de estrelas, sendo eles mecanismos que focalizam a imagem estelar de uma parte do céu que esta dentro do campo de visão (FOV) do sensor através de um sistema de lentes. As estrelas detectadas pelo sensor são sempre bem conhecidas, tanto por sua grandeza (brilho aparente) quanto por sua posição em relação a outras estrelas e coordenadas celestes. Estas estrelas são comparadas com as que ficam armazenadas no catalogo de estrelas localizado na memória do sensor. Através das informações do catalogo (, ) em torno da direção de apontamento do sensor é possível obter os versores das estrelas V no referencial inercial. Com a matriz de rotação do referencial inercial para o do sensor M SI e os versores do referencial inercial Vˆ, pode-se obter os versores no referencial do sensor Ŝ através da Eq. (), segundo Carvalho (200): Sˆ M Vˆ () SI Com os versores no referencial do sensor é possível determinar então a atitude do sensor, ou seja, o comportamento dos eixos do sensor em relação ao sistema inercial. Neste trabalho para facilitar as simulações o sensor foi alinhado com o negativo do eixo de apontamento. Com os dados das simulações de órbita e atitude nominais, foram inseridos erros de natureza aleatória na atitude nominal para simular os torques de controle e então esses dados foram cruzados com os dados de um catálogo estelar de onde se podia extrair o campo de visão do sensor a cada instante na órbita e com isso calcular a atitude do sensor de estrelas em relação ao sistema inercial utilizando-se dos versores das estrelas identificadas no campo de visada do sensor através de decomposição em valor singular (SVD) conforme Marley (988). 3. FILTRO DE KALMAN O filtro de Kalman é um estimador de tempo real, na qual, as estimativas são fornecidas conforme as medida são processadas, outra vantagem do filtro de Kalman é que com ele é possível incorporar um ruído dinâmico no modelo da dinâmica do estado. A implementação do filtro de Kalman pode ser feita em duas etapas, na qual uma delas é chamada de fase de propagação em que o estado e a covariância do instante t - são propagados para o instante t. A segunda fase é chamada de atualização, na qual é feita uma correção do estado e da covariância do instante t para o instante t + conforme a medida y recebida. A fase de propagação através do modelo dinâmico que tem como Eq. (2), serve para propagar o estado e a covariância conforme a Eq. (3), Eq. (4) e Eq. (5), (Stengel, 994): x x n (2), x ˆ (3), x ˆ T T,, P P Q (4) T T T,, Q G Q G d (5) Onde x é o vetor de estados a ser estimado, υ é a matriz de transição do sistema, Г é a matriz de adição do ruído dinâmico, n é um vetor de ruídos brancos, x e P representam o estado e covariância propagada. A parte estatística modelada com ruído branco tem as seguintes características dadas pela Eq. (6) e pela Eq. (7): En [ ] 0 (6) T E[ nn ] Q (7) j

3 Onde E[.] denota a operação expectância e T indica a operação de transposição. A fase de atualização que é utilizada para corrigir o estado e a covariância do instante devido às medidas y que chegam do sensor e que tem como modelo de observações a Eq. (8), pode ser implementada conforme a Eq. (9), Eq. (0) e Eq. (): y H x (8) K P H H P H R T T ( ) (9) Pˆ P K H P (0) ˆ x x K y H x () Onde K é o ganho de Kalman, x e P são o estado e a covariância atualizados. A matriz H modela como as medidas se relacionam com o estado, o vetor modela os erros cometidos durante as medidas e a matriz R é a matriz de covariância dos erros das observações. 4. REPRESENTAÇÃO E DETERMINAÇÃO DE ATITUDE A atitude de um satélite artificial está diretamente relacionada à sua orientação no espaço. Através da atitude podese conhecer a orientação espacial do satélite, uma vez que na maior parte dos casos ele pode ser considerado como um corpo rígido, onde a atitude é expressa pela relação entre dois sistemas de coordenadas, um deles fixo no satélite e outro associado a um sistema inercial. Dois sistemas de coordenadas são definidos na órbita. Neste trabalho, o sistema l, b, n de coordenadas é um sistema para o qual o plano orbital é definido aproximadamente polar. O eixo l é paralelo a linha do centro da Terra ao nó ascendente da órbita da espaçonave (sentido negativo), o eixo n é paralelo à normal à órbita, isto é, perpendicular ao plano da órbita, e o eixo b é tal que para os vetores unitários nas direções dos eixos, bˆ nˆ x lˆ. É definido também um referencial que mantém sua orientação em relação á Terra quando o satélite move-se em órbita. Estas coordenadas são conhecidas como rolamento, arfagem e guinada, conforme Prado e Kuga (200). Neste sistema, o eixo de guinada é direcionado para sentido oposto ao nadir, isto é, para o sentido oposto ao centro da Terra, o eixo de arfagem é dirigido na direção negativa à normal da órbita e o eixo de rolamento é perpendicular aos outros dois, de tal maneira que a Eq. (2) seja respeitada. Rˆ Pˆ xyˆ (2) Onde Rˆ é o vetor unitário na direção de rolamento, Pˆ é o vetor unitário na direção da arfagem e Ŷ é o vetor unitário na direção de guinada. 5. PROCEDIMENTOS As simulações foram realizadas no aplicativo Matlab e em uma primeira etapa foi feita uma simulação de uma órbita circular no qual foram extraídas as velocidades X Y Z e também as posições X Y Z em cada instante de duração de um segundo em um período orbital de seis mil e vinte quatro segundos. Com os dados da simulação da órbita em cada instante foi possível calcular uma atitude nominal (A n ) conforme a Eq. (3), Eq. (4), Eq. (5) e Eq. (6): ˆ X Y Z Y,, r r r ˆ ˆ YV P Y ˆ V (3) (4) Rˆ Pˆ Yˆ Pˆ Yˆ (5)

4 A ˆ ˆ ˆ T n R P Y (6) Onde r e V são calculados conforme a Eq. (7) e a Eq. (8): r X Y Z (7) (8) V X Y Z A atitude nominal (A n ) é perturbada de maneira aleatória conforme a Eq. (9) para se obter uma simulação de torques externos ao veículo espacial e torques de controle de maneira que o os erros de apontamento fiquem oscilando com um valor máximo de 0.05 graus e a estabilidade do controle fique em torno de 0.00 graus/s. Desta forma obtém-se uma atitude simulada diferente da nominal que é denominada real ou de referência (A r ). A sen f t f B sen f t f (9) Na qual f e f 3 são obtidas através da Eq. (20) e da Eq. (2) e f 2 e f 4 são vetores aleatórios de dimensão 3, as amplitudes das perturbações A e B são obtidas com a Eq. (23) e a Eq. (24). f 22 (20) f f3 (2) 3 2 d (22) s A 2 f d s f f (23) B 2 f d s f f3 (24) Na qual τ é a constante de tempo do controle e pode ser obtido pela Eq. (22), d e s são respectivamente os valores de erros de apontamento e estabilidade do sistema. As velocidades angulares (ω) nominais e reais de cada eixo são calculadas através da Eq. (25) (Wertz, 978): A A T (25) ( ) A matriz Ω(ω) tem como forma a Eq. (26) (Wertz, 978): 0 z y ( ) z 0 x y x 0 (26) De onde se podem tirar facilmente as velocidades angulares de cada eixo do sistema.

5 Para a determinação da atitude medida pelo sensor de estrelas (A ss ) foi feito um cruzamento dos dados de atitudes reais com um catalogo de estrelas real no qual se obtém os versores das estrelas que estão no campo de visada do sensor em cada instante de um segundo ao longo da órbita através da Eq. (27): U vis A V (27) r Onde U vis é uma matriz que contém os versores das estrelas no sistema do corpo de onde depois são extraídos todos os versores que estão em uma faixa de abertura de 20 graus. A matriz V é a matriz que contém os co-senos diretores das estrelas do catalogo. O campo de visada do sensor conforme dito acima foi determinado utilizando uma abertura de 20 graus. Para simular os erros do sensor, foi adicionado nas estrelas visíveis um erro aleatório gaussiano com desvio padrão de 0,0 graus, o que leva o sensor a calcular a atitude final com um desvio de 0,005 graus. Para a determinação da atitude medida pelo sensor de estrelas foi utilizado um algoritmo de decomposição em valor singular nos versores das estrelas identificadas pelo sensor, de onde se obtém a matriz de atitude do sensor (A ss ). Com os dados de atitude medidos pelo sensor (A ss ), simulados nominais (A n ) e simulados reais (A r ) pode-se calcular os quatérnions reais, nominais e os medidos pelo sensor de estrelas através da Eq. (28) (Wertz, 978): q A A A 2 q A A q4 q A A q4 q A A q4 (28) As medidas feitas pelo sensor são passadas para o filtro de Kalman na forma de desvios nos ângulos de atitude calculados conforme a Eq. (29), o filtro estima com maior precisão estes desvios e também estima os desvios ocorridos nas velocidades angulares. Para se obter as velocidades angulares estimadas e os ângulos de atitude estimados basta somar os desvios de velocidade angular e ângulos estimados as velocidades angulares nominais e ângulos nominais a cada instante da órbita. 2 ( q) T qss (29) A matriz Ω(q) tem como forma a Eq. (30) conforme Varoto et al (986): q q4 q3 q2 q q q 3 4 q2 q q4 q q2 q3 (30) A dinâmica completa do sistema pode ser representa pela Eq. (3) de Euler, (Wertz, 978): I I I I I I2 I I I3 (3)

6 Na qual I, I 2 e I 3 são os momentos de inércia dos eixos do corpo e são os toques externos, porém considerando que o controle esta atuando e o sistema esta controlado, podemos representar o sistema de acordo com a Eq. (32). n 2 2 (32) O termo ξ representa na Eq. (32) uma aceleração angular que esta simulando os torques da equação de Euler adicionados de um erro modelado por um processo maroviano de primeira ordem no qual o termo λ representa uma freqüência de atuação do controle para garantir os requisitos de apontamento e estabilidade. Tal consideração sobre o sistema estar controlado e a simplificação nas equações de Euler nos permite aplicar um filtro de Kalman para cada eixo (Wertz, 978), desacoplando assim o sistema. Porém para obter resultados ainda melhores, nos eixos x e z onde aparecem acoplamentos com o termo da velocidade orbital (ω y ) será feito de maneira acoplada conforme a Eq. (33): n 2 2 n (33) Na qual as constantes K e K 2 são obtidas com a Eq. (34) e a Eq. (35): K K I I (34) I I I (35) I3 Com isso os filtros de Kalman para o eixo y e para os eixos x e z têm como Eq. (36), Eq. (37) e Eq. (38) na fase de propagação: x xˆ (36) ˆ T P P (37) T T,, G Q G d (38) E na fase de atualização a Eq. (39), Eq. (40) e Eq. (4): K P H H P H R T T ( ) (39) ˆP P K H P (40) ˆx x K y H x (4) Na qual K é o ganho de Kalman e υ é a matriz de transição do sistema.

7 6. RESULTADOS São mostrados resultados gráficos através das Fig. () a Fig. (6) de onde se pode tirar a conclusão da eficiência do procedimento adotado. Figura. Funções distribuição dos erros de estimativa e de medida do sensor em θ e ω nos três eixos do veículo espacial Figura 2. Erros de estimação e desvios dos erros de estimação para σ no ângulo θ x e velocidade angular ω x

8 Figura 3. Erros de estimação e desvios dos erros de estimação para σ no ângulo θ y e velocidade angular ω y Figura 4. Erros de estimação e desvios dos erros de estimação para σ no ângulo θ z e velocidade angular ω z Figura 5. Resíduos de estimação nos eixos x e y Figura 6. Resíduos de estimação no eixo z

9 Observa-se na Fig. () que os erros de estimativa feitos pelo filtro de Kalman são bem menores que os erros das medidas feitas pelo sensor de estrelas tanto em ângulos de atitude como em velocidades angulares nos três eixos. Apesar de o sensor de estrelas medir apenas ângulos de atitude o filtro de Kalman está estimando as velocidades angulares. Os supostos erros de medidas de velocidades angulares cometidos pelo sensor mostrados na Fig. () que são comparados com as estimativas do filtro de Kalman são na verdade uma derivada discreta das medidas dos ângulos de atitude feitas pelo sensor de estrelas. Nas Fig. (2), Fig. (3) e Fig. (4), pode-se observar que os erros de estimação tanto nos ângulos de atitude como nas velocidades angulares ficaram dentro de um desvio padrão de σ, mostrando a eficácia do filtro nas estimativas. Nas Fig. (5) e Fig. (6) observam-se os resíduos de estimação dos eixos x, y e z ao longo da órbita, estes gráficos são importantes, pois na prática não temos os valores reais para realizar as comparações como foram feitas nas figuras anteriores. Novamente pode-se observar que os resíduos das estimativas estão dentro de um desvio padrão de σ, mostrando que o filtro esta estimando bem os estados do sistema. 7. CONCLUSÕES A análise dos gráficos de desempenho do estimador nos leva a concluir que o filtro de Kalman e o método de compensação do modelo dinâmico são ferramentas bastante úteis na estimação de estados que não estão sendo medidos diretamente e na melhoria dos que estão sendo medidos, conforme é mostrado também na Tab. (). O trabalho nos leva a concluir também que é possível apenas com sensores de estrelas, sem o uso de giroscópios, fazendo uso da compensação do modelo dinâmico, estimar a atitude e as velocidades angulares de um veículo espacial, uma vez que atualmente tais sensores conseguem taxas de amostragem da ordem de Hz. Tabela. Desvios nas medidas do sensor de estrelas e do estimador Medidos no sensor para 3 σ Estimados pelo Filtro para 3 σ Desvios em θ x (graus),5 x 0-3 6,49 x 0-4 Desvios em θ y (graus),5 x 0-3,3 x 0-3 Desvios em θ z (graus),0 x 0-2 3,44 x 0-3 Desvios em ω x (graus/s) 2, x 0-3 8,59 x 0-5 Desvios em ω y (graus/s) 2, x 0-3,6 x 0-3 Desvios em ω z (graus/s),5 x 0-2 3,58 x 0-4 A implementação do filtro de Kalman depois das simplificações feitas ficou bem reduzida o que nos leva a crer que o filtro tem um consumo de processamento baixo o que o torna bastante viável. 8. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem o apoio da agência financiadora Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Capes e ao Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais INPE. 9. REFERÊNCIAS Carvalho, G. B., (200), Levantamento de Técnicas de Identificação de Estrelas e Desenvolvimento de um Ambiente de Simulação e Testes para Analise de seus Desempenhos em Aplicações Espaciais, Dissertação de Mestrado em Engenharia e Tecnologia Espacial, São José dos Campos, INPE. Marley,F. L., (988), Attitude Determination using Vector Observations and the Singular Value Decomposition. Journal of the Astronautical Sciences, Vol. 36, July-September 988, pp Prado, A. F. B; Kuga, H. K., (200), Fundamentos de Tecnologia Espacial, São José dos Campos, INPE, Cap 5. Stengel, Robert F., (994), Optimal Control and Stimation, New Yor, Dover Publications, Cap. 4. Varotto, S. E. C.; Orlando, V.; Lopes, R. V. F., (986), Um procedimento para Determinação da Atitude de Satélites Artificiais utilizando Técnicas de Estimação Ótima Estática e Dinâmica, 6º Congresso Brasileiro de Automática, Belo Horizonte, pp Wertz, J. R., (978), Spacecraft Attitude Determination and Control, London, D. Reidel, Cap DIREITOS AUTORAIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluídos no seu trabalho.

10 REAL TIME ATTITUDE ESTIMATION USING STAR SENSOR Carlos J. Alves Moreira, Roberta V. Garcia, Roberto V. F. Lopes, Hélio K. Kuga, INPE - Brazilian National Space Research Institute Space Mechanics and Control Division, Av. dos Astronautas, 758, São José dos Campos, SP Abstract: The purpose of this research is to estimate the attitude and angular speed of artificial satellites, in real time, using data supplied by star sensors that are processed through the Kalman filter. For the use of this attitude determination process it is necessary to now initially the coordinates of the stars in the inertial reference, which are stored in a catalogue of stars, in the sensors memory. Then the sensor compares the sy image obtained in its FOV(Field of View) with the one from the catalogue, through techniques of pattern recognition, and determines the sensors attitude in relation to the inertial reference. For the study of the problem, a detailed report of the nominal attitude of the satellite is generated, through the simulation of the orbit and attitude for one orbital period, where the orbit is supposed with small eccentricity. The measurements of the sensor are generated simulating the data supplied to the star sensor where the satellite rotation dynamic, that is, its attitude and angular speed, are considered through the Euler s equations. The procedure of attitude determination is implemented through a real time estimator, the Kalman filter which allows one to consider errors in the dynamic model, through the inclusion of state noises, and supplies updated estimates whenever the star sensor measurements are processed. Therefore, based on the measurements supplied by the star sensor, the Kalman filter determines with precision the attitude of the satellite. The final results of the attitude and angular speed of the satellite estimated by the Kalman filter are compared with their nominal values to show the precision and performance of the filter. Analysis also reveals the pointing error resulting from the attitude estimation of the satellite. Keywords: Artificial satellites, star sensor, attitude, Euler s equations, Kalman filter.