Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata

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1 Capítulo XX Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata Célia A. dos Reis 1, Diego Colón 2, Helenice O. Florentino 3, Daniela Cantane 3, Suélia S. R. F. Rosa 4, José M. Balthazar 5, Fábio J. da Costa 4, Adson F. da Rocha 6 1 Unesp, Fac. de Ciências de Bauru, Dep. de Matemática (celia@fc.unesp.br) 2 USP, Escola Politécnica, Lab. de Automação e Controle (diego@lac.usp.br) 3 Unesp, Dep. de Bioestatística - IB (helenice@ibb.unesp.br, dcantane@ibb.unesp.br) 4 BioEngLab, Fac. Gama, MIT Media Lab (suelia@unb.br, fabio.costa.unb@gmail.com) 5 Instituto Tecnológico da Aeronáutica (ITA)(jmbaltha@gmail.com) 6 BioEngLab, Fac. Gama, UnB(adsonr@gmail.com) Resumo Este capítulo trata da análise de um modelo não linear que descreve a dinâmica populacional do mosquito transmissor da dengue via a técnica da linearização exata entrada-saída. Supondo que seja possível interferir na evolução do sistema por meio do controle de apenas uma variável de entrada, deseja-se investigar estratégias em que se possa controlar a população do mosquito, de modo a diminuir a transmissão da doença. Essa metodologia permite transformar a dinâmica de um sistema não linear em uma dinâmica linear em malha fechada, mediante uma realimentação não linear dos estados, que representa a estratégia de combate ao mosquito. A linearização exata tem sido utilizada com êxito em uma grande gama de aplicações em diversas áreas da Engenharia. Esta técnica decompõe o sistema na chamada forma normal, isto é, em uma parte externa linear (que relaciona entrada-saída) e uma parte interna não linear e não observável, e que fornece a dinâmica interna do sistema original, que deve ser estável para que o método funcione. O sistema

2 realimentado (com controle) deve ser assintoticamente estável. Foram estudadas duas estratégias: uma para eliminar completamente a população de mosquitos, e outra para controlar em uma situação de equilíbrio. 2

3 Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata 3 1 Introdução A dengue é uma doença infecciosa febril aguda causada por vírus da família Flaviridae e é geralmente transmitida para o homem pela picada de mosquito do gênero Aedes aegypti. A Organização Mundial da Saúde (OMS) estima que 2,5 bilhões de pessoas vivem em áreas de risco de contrair a dengue e que 5 milhões de pessoas por ano se infectam em todo o mundo. Cerca de 55 mil doentes necessitam de hospitalização e 2 mil morrem em consequência do agravo desta doença. O número de casos de infectados aumentou mais de 3 vezes nas últimas 5 décadas. Assim sendo, a dengue tem sido atualmente uma das mais preocupantes doenças na área de saúde pública, principalmente em regiões tropicais e subtropicais, em que há maior adaptabilidade do mosquito transmissor [1, 2, 3, 4, 5, 6]. Desta forma, a dengue tornou-se tema de muitas pesquisas. Hoje busca-se uma vacina eficaz, tratamentos específicos para a doença e meios de controlar o vetor da dengue de forma eficiente, econômica e ambientalmente correta. Muitas medidas de controle do vetor têm sido utilizadas na tentativa de erradicar a doença, seja por meio de controles físicos (ou mecânicos), genéticos, químicos e biológicos, ou a partir de medidas médicas e educacionais como sistemas de alerta de surtos e casos, capacitação para o manejo dos casos clínicos e mobilização social [6]. No Brasil, a forma mais utilizada de controle do Aedes aegypti é o químico, mediante o uso de inseticidas. Este tem sido um dos controles mais eficazes da população do mosquito, mas pode promover resistência nestes insetos, pois a exposição a altas dosagens mata os indivíduos suscetíveis e os resistentes sobrevivem e transferem essa capacidade a seus descendentes, devendo assim ter de utilizar dosagens cada vez maiores ou produtos quimicamente mais potentes, o que pode causar grandes danos ao ambiente e à saúde pública [1]. Uma forma de minimizar a necessidade de grandes quantidades de inseticida é investir no controle físico com a remoção de criadouros, diminuindo

4 4 C. Reis, D. Colón, H. Florentino, D. Cantane, S. Rosa, J. Balthazar, F. Costa e A. da Rocha assim a quantidade de indivíduos na fase aquática, e promovendo a redução dos mosquitos adultos. Esse tipo de estratégia teria maior sustentabilidade que aquelas centralizadas e baseadas em uso exclusivo de inseticidas [1]. O gerenciamento do uso deste controle, é porém, muito complexo, pois necessita de apoio de órgãos públicos e da população, e pode também apresentar custos muito elevados, dependendo das dimensões das cidades e da necessidade de fiscalização das residências e outros locais em busca dos criadouros. Esta forma de controle necessita ainda de muitos estudos. Com base nestes argumentos, propõe-se neste capítulo um estudo, a partir de técnicas matemáticas, do controle físico aplicado a uma população do mosquito transmissor da dengue. Para descrever a dinâmica desta população, considera-se o ciclo de vida dos mosquitos dividido nas fases aquática e alada (terrestre) [4]. Na fase aquática considera-se que os insetos estão nos estágios de ovos, larvas e pupas e na alada estão no estágio adulto. Os mosquitos adultos são divididos em machos, fêmeas imaturas (antes de acasalar) e fêmeas fertilizadas. Neste estudo apresenta-se um modelo considerando a dinâmica não linear da população do mosquito e o controle é aplicado apenas na fase aquática. O objetivo é utilizar a técnica da linearização exata entrada-saída para análise desta dinâmica. A linearização exata por realimentação (do inglês Feedback Linearization) é um procedimento que permite transformar a dinâmica de um sistema não linear em uma linear, mediante uma realimentação não linear dos estados ou da saída escolhida previamente [7]. Esta metodologia de análise tem sido utilizada com êxito numa grande gama de aplicações, como em problemas de rastreamento, no controle de braços de robôs e manipuladores, peças de artilharia, helicópteros, aviões e satélites, além de ser usada em bioengenharia, aparelhagens médicas e nas indústrias química e farmacêutica [8, 9, 1, 7, 11]. Para atingir o objetivo efetua-se uma decomposição da dinâmica do sistema não linear na chamada forma normal, isto é, em uma parte externa linear (que relaciona entrada-saída) e uma parte interna não linear e não observável. Para

5 Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata 5 tal, define-se um novo conjunto de estados a partir da saída e suas derivadas, provando a existência de um difeomorfismo, o qual transforma o sistema não linear em outro linear de menor grau, que relaciona a entrada-saída, e uma parte não linear que representa os estados não observáveis, fornecendo a dinâmica interna do sistema original. O conhecimento da dinâmica interna é importante, pois a partir de seu equacionamento torna-se possível a análise da dinâmica zero, a qual pode ser utilizada para análise de estabilidade assintótica da dinâmica não linear, e assim avaliar se a linearização por realimentação pode ser usada. Destaque-se que este procedimento, quando possível, é uma forma alternativa de estudo da estabilidade assintótica da malha fechada diferenciada do método clássico de Lyapunov [7]. Por sua vez, a análise da estabilidade assintótica do sistema relacionado com a dinâmica populacional do mosquito transmissor da dengue é importante, pois define o período em que se deve aplicar o controle nesta população, ou seja, o período em que há uma saturação de mosquitos no ambiente, podendo a dengue apresentar sua forma epidêmica. O capítulo está organizado da seguinte forma: inicialmente é apresentado e discutido um sistema não linear modelando a dinâmica populacional do vetor da dengue. Em seguida, um estudo do plano de fase desta dinâmica é efetuado objetivando o conhecimento do comportamento do modelo não linear, além da utilização da dinâmica interna desse sistema para análise de estabilidade assintótica. Exemplos numéricos são apresentados. 2 O modelo matemático da dinâmica populacional não linear A dengue é uma doença viral comumente transmitida pelo mosquito Aedes aegypti. Segundo [12], a doença é transmitida a partir da picada das fêmeas. Esta acasala uma única vez em sua vida e libera seus ovos aos poucos e em

6 6 C. Reis, D. Colón, H. Florentino, D. Cantane, S. Rosa, J. Balthazar, F. Costa e A. da Rocha lugares diferentes, aumentando a probabilidade de nascimento de novos mosquitos. A fêmea torna-se contaminada com o vírus ao sugar o sangue das pessoas infectadas e o período de incubação do vírus no mosquito é de 8 a 1 dias, estando esta apta a transmitir o vírus a indivíduos suscetíveis [2]. Não há transmissão por contato direto de um doente ou de suas secreções para uma pessoa sadia, nem através da água ou alimento. Existem relatos de outras formas de transmissão vertical da dengue, como doação de sangue e/ou órgão e gestação. De acordo com [13], os quatro sorotipos do vírus pertencem à família Flavivirus e são denominados DEN-1, DEN-2, DEN-3 e DEN-4. Após a infecção por um destes sorotipos, o indivíduo desenvolve imunidade somente a esse sorotipo podendo ser contaminado por um outro. Um quinto sorotipo do vírus da dengue está sob investigação, o DEN-5 [14]. O ciclo do Aedes aegypti é composto por: ovo, larva, pupa e adulto. Este ciclo é dividido em dois estágios: fase aquática (ovos, larvas e pupas) e fase alada (mosquitos adultos). A fase aquática é um período crítico, pois as fêmeas são muito versáteis na escolha dos locais para deposição dos seus ovos e por sua vez, os ovos são extremamente resistentes, podendo sobreviver até um ano. Uma vez imersos, os ovos desenvolvem-se rapidamente em larvas, que dão origem às pupas, das quais surge o adulto [5]. Para descrever a dinâmica de controle do mosquito transmissor da dengue, considera-se o ciclo de vida dos mosquitos nas duas citadas fases: aquática e alada. Os mosquitos adultos são divididos em machos, fêmeas imaturas (antes de acasalar) e as fêmeas fertilizadas. O modelo matemático não linear que descreve a dinâmica dos mosquitos adotado neste capítulo é baseado em [4] e tem a seguinte notação: 1. Fase aquática: x 1 = x 1 (t) = densidade de indivíduos da população na fase aquática

7 Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata 7 (ovos, larvas e pupas); 2. Fase alada: x 2 = x 2 (t) = densidade de indivíduos da população de mosquitos fḙmeas imaturas (antes de acasalar); x 3 = x 3 (t) = densidade de indivíduos da população de mosquitos fḙmeas fertilizadas (depois de acasalar); x 4 = x 4 (t) = densidade de indivíduos da população de mosquitos machos (macho natural). São consideradas no modelo taxas de mortalidade associadas com cada segmento da população (aquática, fêmeas imaturas, fêmeas fertilizadas e machos), sendo denotadas respectivamente por: µ 1, µ 2, µ 3, µ 4. A taxa de oviposição da fêmea fertilizada é proporcional a sua densidade, mas também dependerá do número de criadouros e disponibilidade de alimento e é dada por: ( φ 1 x ) 1 C sendo φ a taxa de oviposição intrínseca e C a capacidade do meio relacionada com o número de nutrientes, espaço, etc. Ainda são assumidos os seguintes parâmetros: 1. γ: taxa per capita com que os mosquitos na fase aquática passam para a fase alada, sendo que uma proporção r são de fêmeas e (1 r) são de machos. 2. β: taxa de acasalamento das fêmeas imaturas com mosquitos machos naturais. Sob tais considerações, o modelo matemático que descreve a dinâmica da

8 8 C. Reis, D. Colón, H. Florentino, D. Cantane, S. Rosa, J. Balthazar, F. Costa e A. da Rocha população de mosquito, sem a presença de controle, é dado por: ( ẋ 1 = φ 1 x 1 C ẋ 2 = rγx 1 (β + µ 2 )x 2 ẋ 3 = βx 2 µ 3 x 3 ẋ 4 = (1 r)γx 1 µ 4 x 4 ) x 3 (γ µ 1 )x 1 (1) sendo x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) o vetor de estados. Objetiva-se o estudo do controle mecânico que consiste na redução da população de mosquitos na fase aquática. Neste caso, introduz-se a variável de controle u(t) na primeira equação do sistema (1), afetando diretamente a taxa de mortalidade da fase aquática, como que representando a adição de um veneno nos criadouros, resultando na seguinte dinâmica: ( ẋ 1 = (γ + µ 1 )x 1 + φx 3 + φ ) x 1 x 3 x 1 u(t) C ẋ 2 = rγx 1 (β + µ 2 )x 2 ẋ 3 = βx 2 µ 3 x 3 ẋ 4 = (1 r)γx 1 µ 4 x 4. (2) Em (2), fazendo A 1 = (γ + µ 1 ), A 2 = φ C, A 3 = rγ, A 4 = (β + µ 2 ), A 5 = (1 r)γ, esta dinâmica pode ser reescrita como: ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 ẋ 4 sendo os campos vetoriais: A 1 x 1 + φx 3 + A 2 x 1 x 3 x 1 = A 3 x 1 + A 4 x 2 βx 2 µ 3 x 3 + u(t), (3) A 5 x 1 µ 4 x 4

9 Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata 9 A 1 x 1 + φx 3 + A 2 x 1 x 3 x 1 f(x) = A 3 x 1 + A 4 x 2 βx 2 µ 3 x 3 e g(x) = A 5 x 1 µ 4 x 4 (3 a) 3 A linearização entrada-saída da dinâmica não linear e a dinâmica interna Nas equações (3), (3-a), assumindo saída y como uma combinação linear dos estados x 2 e x 3, o que significa que existe um método de se medir a densidade de fêmeas, essa dinâmica se escreve como: ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 ẋ 4 A 1 x 1 + φx 3 + A 2 x 1 x 3 x 1 = A 3 x 1 + A 4 x 2 βx 2 µ 3 x 3 + u(t) (4) A 5 x 1 µ 4 x 4 y = ax 2 + bx 3. Segundo [7, 9], prova-se que a dinâmica (4) possui grau relativo r = 2. Além disso, um difeomorfismo que transforma essa dinâmica na forma normal tem expressão: φ(x) = [z 1, z 2, ψ 1, ψ 2 ] (5) sendo que z 1 = y, z 2 = ẏ e ψ j, j = 1, 2 são soluções da equação diferencial parcial ψ.g =, j = 1, 2. De (5), portanto, tem-se que: z 1 = ax 2 + bx 3 z 2 = aa 3 x 1 + (aa 4 + bβ)x 2 bµ 3 x 3 = B 1 x 1 + B 2 x 2 + B 3 x 3 (6)

10 1C. Reis, D. Colón, H. Florentino, D. Cantane, S. Rosa, J. Balthazar, F. Costa e A. da Rocha sendo: B 1 = aa 3, B 2 = (aa 4 + bβ)eb 3 = bµ 3. (7) Da equação ψ.g =, j = 1, 2, tem-se que uma solução para esta EDP é: ψ 1 = x 3 ψ 2 = x 4. (8) Assim, φ(x) = [z 1, z 2, ψ 1, ψ 2 ] = (ax 2 + bx 3, B 1 x 1 + B 2 x 2 + B 3 x 3, x 3, x 3, x 4 ) (9) e B 1, B 2, B 3 são como na Eq. (7). Da Expressão (9), prova-se que φ é um difeomorfismo global se e somente se a, x 1, x 2, x 3, x 4. Além disso, x 4 = ψ 2 é o difeomorfismo inverso. x 3 = ψ 1 x 2 = 1 a z 1 b a ψ (1) 1 ( x 1 = B2 ab 1 z B 1 z bb2 B 1 a B ) 3 ψ1 Das Expressoes (9) e (1), a dinâmica não linear de equação (4) tem a forma normal: [ ż 1 ż 2 ] [ ] z 2 = Γ(z 1, z 2, ψ 1, ψ 2 ) + Υ(z 1, z 2, ψ 1, ψ 2 )u(t) (11) [ ] [ ψ 1 = ψ 2 ( ) β a z 1 + bβ a + µ 3 ψ 1 ( A5B2 ab 1 z 1 + A5 B 1 z 2 + A5 bb2 B 1 a B 3 ) ψ1 µ 4 ψ 2 ] (11 a)

11 Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata11 sendo: [ + 1 B 1 ( bb2 1 a y = z 1 Γ(z [ 1, z 2, ψ 1, ψ 2 ) + Υ(z 1, z 2, ψ 1, ψ 2 )u(t) ] = (A 4 B 2 + βb 3 ) B2 B 1 (A 1 B 1 + A 3 B 2 ) + A1B1+A3B2 B 1 z 2 ] a B 3) (A1 B 1 + A 3 B 2 ) b a (A 4B 2 + βb 3 )(B 1 φ µ 3 B 3 ) + A2 a [ B 2z 1 + az 2 (ab 3 bb 2 )ψ 1 ]ψ a [B 2z 1 az 2 + (ab 3 bb 2 )ψ 1 ]u(t). z 1 ψ 1 (11 b) A dinâmica não linear de Equação (11) representa a parte observável da dinâmica de Equação (4), isto é, a parte que relaciona entrada-saída. dinâmica linear de Equação (11-a) representa a dinâmica interna do sistema (4), ou seja, é a parte não observável desta dinâmica. Nota-se que a dinâmica interna não depende da entrada u(t). Segundo [7, 9], o conhecimento da dinâmica interna é importante, pois, a partir de seu equacionamento, torna-se possível a análise de uma dinâmica, a dinâmica zero, a qual pode ser utilizada para análise de estabilidade assintótica da dinâmica não linear de Equação (4). A 4 A análise da estabilidade assintótica via a dinâmica zero Para a análise da dinâmica interna e da dinâmica zero, torna-se necessária a determinação dos pontos críticos de (4) ou (11) - (11-b). Da Equação (4) temse que esta dinâmica tem dois pontos críticos, a saber: P 1 = (,,, ) e P 2 = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (12)

12 12C. Reis, D. Colón, H. Florentino, D. Cantane, S. Rosa, J. Balthazar, F. Costa e A. da Rocha sendo os valores de x 1, x 2, x 3, x 4 na Equação (12) dados por: x 1 = A4 A 3 x 2 x 2 = A3βφ A 2A 4 µ3 A 2 (A 1 u(t)) x 3 = β µ 3 x 2 (13) x 4 = A4A5 A 3µ 4 x 2. Para análise da estabilidade assintótica na vizinhança dos pontos críticos P 1 e P 2, o método de linearização de Liapunov pode ser utilizado [7]. Neste capítulo, esta análise será efetuada a partir da análise da estabilidade da dinâmica zero, quando possível. Inicialmente será efetuada a análise da estabilidade assintótica em torno do ponto P Análise da Estabilidade Assintótica em Torno de P 1 Segundo [7, 9] a dinâmica zero é obtida da Eq. (11-a) quando y(t) para todo t >, o que implica z 1 z 2 t. Isto significa que existe uma subvariedade M o no espaço de estados na qual a saída e suas derivadas são todas nulas, isto é, y (n) (t) = t, e então os estados que se iniciam em M o permanecem em M o, daí, ż = e ψ = W (, ψ), gerando a dinâmica dada pela equação: [ ] [ ( ψ bβ 1 a = + µ ] 3) ψ 1 ψ A 2 5 ( bb2 B 1 a B ) 3 ψ1 µ 4 ψ 2 y = (14) A importância da dinâmica de Equação (14), que é a dinâmica zero do sistema, está no fato de que esta deve ser assintoticamente estável para que a linearização por realimentação conduza a um sistema estável em malha fechada, isto é, para que a estratégia de controle do mosquito conduza à eliminação de todos os indivíduos. Em (14), fazendo-se:

13 Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata13 esta dinâmica se escreve como: ( ) C 1 = bβ a + µ 3 ( C 2 = A5 bb2 B 1 a B ) (14 a) 3 [ ] [ ] ψ 1 C 1 ψ 1 = ψ 2 C 2 ψ 1 µ 4 ψ 2. (15) y = De (15), nota-se que P = (, ) é o único ponto crítico da dinâmica zero. Além disso, sua equação característica é dada por: (C 1 λ)( µ 4 λ) = (16) cujos autovalores são: ( ) λ 1 = bβ a + µ 3 λ 2 = µ 4. (17) Nota-se que λ 2 = µ 4 <. Agora, ( ) bβ λ 1 = a + µ 3 < b a > µ 3. (17 a) β Assim, de (17-a), P = (, ) é um nó assintoticamente estável se e somente se b a > µ3 β. Daí, a dinâmica (4) é assintoticamente estável em torno de P 1 = (,,, ) se e somente se b a > µ3 β. Nota-se que para a análise da estabilidade do ponto crítico P = (, ) da dinâmica zero (15) usamos o método de Lyapunov, no entanto esta informação será utilizada para a análise da estabilidade assintótica da dinâmica de malha fechada (4) ou (11), (11-b) de acordo com [7]. De fato, considerando-se a estratégia de controle não linear da população

14 14C. Reis, D. Colón, H. Florentino, D. Cantane, S. Rosa, J. Balthazar, F. Costa e A. da Rocha de mosquitos dada por [7]: u(x) = 1 L g L f y ( L2 f y + v) (18) sendo L f y a derivada de Lie e do campo h com respeito ao campo f, tem-se que: u(x) = 1 aa 3 x 1 [ (aa 1 A 3 +(aa 4 +bβ)a 3 )x 1 ((aa 4 +bβ)a 4 bβµ 3 )x 2 (aa 3 φ + bµ 2 3 )x 3 aa 2 A 3 x 1 x 3 + v] (18 a) sendo v(x) = ak 1 A 3 x 1 (ak 1 A 4 + bk 1 β + ak )x 2 (bk bk 1 µ 3 )x 3 e k 1, k escolhidos de forma conveniente tal que p(λ) = λ 2 + k 1 λ + k tenha raízes negativas [7], torna a malha fechada da dinâmica (4) assintoticamente estável em torno de P 1. Sabendo-se que a variável u(t) está relacionada ao controle da população de mosquitos na fase aquática, pode-se observar que a Equação (18-a) sempre conduzirá à eliminação dos mosquitos, sejam quais forem as densidades iniciais de cada fase (ou seja, x 1 (), x 2 (), x 3 (), x 4 ()). Nota-se que p(λ) = λ 2 + k 1 λ + k tem raízes negativas se e somente se k > e: k 1 = 2 k, se o discriminante = ; k 1 (, 2, k ) (2 k, + )se > ; k 1 ( 2 k, 2 k )se < ; (18 b) de modo que estas relações devem ser observadas na hora de escolher k, k 1.

15 Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata Análise da estabilidade assintótica em torno de P 2 Nesta seção faz-se a análise para o caso no qual se deseja controlar a população de mosquitos em torno de uma situação de equilíbrio não necessariamente nula. Tal estratégia pode ter interesse quando o controle de todos os locais de criação não é viável, e deve-se aceitar que pelo menos uma população reduzida de mosquitos irá permanecer. Da expressão do ponto de equilíbrio P 2 em (12) e (13), tem-se que: P 2 = ( A 4 x 2, x 2, β x 2, A ) 4A 5 x 2, (19) A 3 µ 3 A 3 µ 4 sendo x 2 = A3βφ A 2A 4 µ3 A 2 (A 1 u(t)) real, é um ponto crítico fora da origem. Além disso, a substituição de x 2 gera: P 2 = ( βφ A 2 + A 4µ 3 A 2 A 3 (A 1 u(t)), A 3βφ A 2 A 4 µ 3 A 2 (A 1 u(t)), A 3 β 2 φ β (A 1 u(t)), A 5βφ A 2 A 4 µ 3 A 2 A 2 µ 4 + A 4A 5 µ 3 (A 1 u(t))) = (x 1 A 2 A 3 µ, x2, x3, x4 ). (2) 4 Para realizar esta análise, é necessário transformar P 2 na origem de um novo sistema de coordenadas, o que se consegue efetuando-se a translação: y 1 = x 1 x 1 y 2 = x 2 x 2 y 3 = x 3 x 3 y 4 = x 4 x 4. (21) Além disso, de (1), em termos de coordenadas normais, tem-se que:

16 16C. Reis, D. Colón, H. Florentino, D. Cantane, S. Rosa, J. Balthazar, F. Costa e A. da Rocha x 4 = ψ 2 x 3 = ψ 1 x 2 = 1 a z 1 b a ψ 1 ( x 1 = B2 ab 1 z B 1 z bb2 B 1 a B 3) ψ1. (21 a) O objetivo é a determinação do sistema transladado em termos de coordenadas normais. Assim, a translação (21) se escreve como: y 1 = B2 ab 1 z B 1 z B 1 ( bb2 a B 3) ψ1 x 1 y 2 = 1 a z 1 b a ψ 1 x 2 y 3 = ψ 1 x 3 y 4 = ψ 2 x 4. (22) De (22), a translação inversa se escreve como: ψ 1 = y 3 + x 3 ψ 2 = y 4 + x 4 z 1 = ay 2 + by 3 + ax 2 + bx3 z 2 = B 1 y 1 + B 2 y 2 + B 3 y 3 + B 2 x 2 + B 3 x 3. (23) Para se calcular a relação entre as derivadas temporais das coordenadas (jacobiana), de (22), tem-se que: ẏ 1 = B2 ab 1 ż B 1 ż B 1 ( bb2 a B 3) ψ 1 ẏ 2 = 1 aż1 b a ψ 1 ẏ 3 = ψ 1 ẏ 4 = ψ 2. (24) Definindo-se as constantes:

17 Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata17 pode-se reescrever (24) como: D 1 = B2 ab 1, ( D 2 = 1 bb2 B 1 a B ) (24 a) 3 ẏ 1 = D 1 ż B 1 ż 2 + D 2 ψ 1 ẏ 2 = 1 aż1 b ψ a 1 ẏ 3 = ψ 1 ẏ 4 = ψ 2. (24 b) De (11) - (11-a) o sistema dinâmico (24) é dado por: [ ( ẏ 1 = D 1 ż 2 D β 2 a a 1 + bβ ẏ 2 = bβ a z a z 2 b ( ) a ẏ 3 = β a z 1 + bβ a + µ 3 )] a + µ B 1 (Γ(z 1, z 2, ψ 1, ψ 2 ) + Y (z 1, z 2, ψ 1, ψ 2 )u(t)) ( ) bβ a + µ 3 ψ 1 ψ 1 ( ẏ 4 = A5B2 ab 1 z 1 + A5 B 1 z 2 + A5 bb2 B 1 a B 3) ψ1 µ 4 ψ 2 y = z 1. De (14-a), tem-se que: (25) ẏ 1 = D2β a z 1 + D 1 z 2 C 1 D 2 ψ B 1 (Γ(z 1, z 2, ψ 1, ψ 2 ) + Y (z 1, z 2, ψ 1, ψ 2 )u(t)) ẏ 2 = bβ a z a z 2 + bc1 a ψ 1 ẏ 3 = β a z 1 C 1 ψ 1 ẏ 4 = A5B2 ab 1 z 1 + A5 B 1 z 2 + C 2 ψ 1 µ 4 ψ 2 y = z 1. (25 b) sendo Γ(z 1, z 2, ψ 1, ψ 2 ) e Y (z 1, z 2, ψ 1, ψ 2 )u(t) como em (11 - b). Em (25 - b) fazendo:

18 18C. Reis, D. Colón, H. Florentino, D. Cantane, S. Rosa, J. Balthazar, F. Costa e A. da Rocha obtém-se: E 1 = D2β a, E 2 = bβ a, E 2 3 = bc1 a, E 4 = A5B2 ab 1, E 5 = A5 B 1 (25 c) ẏ 1 = E 1 z 1 + D 1 z 2 C 1 D 2 ψ B 1 (Γ(z 1, z 2, ψ 1, ψ 2 ) + Y (z 1, z 2, ψ 1, ψ 2 )u(t)) ẏ 2 = E 2 z a z 2 + E 3 ψ 1 ẏ 3 = β a z 1 C 1 ψ 1 ẏ 4 = E 4 z 1 + E 5 z 2 + C 2 ψ 1 µ 4 ψ 2 y = z 1. (25 d) Dessa forma, de (23), nas novas coordenadas normais da translação (21), a dinâmica (11) - (11 - a) se escreve como em (25 - d). Assim, a dinâmica interna no sistema transladado tem equação: ẏ 2 = E 2 z a z 2 + E 3 ψ 1 ẏ 3 = β a z 1 C 1 ψ 1 ẏ 4 = E 4 z 1 + E 5 z 2 + C 2 ψ 1 µ 4 ψ 2 (26) y = z 1 e a dinâmica zero é dada por: ẏ 2 = E 3 ψ 1 ẏ 3 = C 1 ψ 1 ẏ 4 = C 2 ψ 1 µ 4 ψ 2 y =. (27) De (24 - b), nas condições da dinâmica zero, nota-se que:

19 Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata19 ẏ 1 = D 2 ψ 1 ẏ 2 = b aψ 1 ẏ 3 = ψ 1 ẏ 4 = ψ 2. (28) Então de (28), a dinâmica (27) se escreve como: b ψ a 1 = E 3 ψ 1 ψ 1 = C 1 ψ 1 ψ 2 = C 2 ψ 1 µ 4 ψ 2 y = (29) De (25 - c) tem-se que a primeira e a segunda equação de (29) são iguais e então a dinâmica zero é dada pela dinâmica: [ ] [ ] ψ 1 C 1 ψ 1 = ψ 2 C 2 ψ 1 µ 4 ψ 2 (3) y =. Assim, a análise da estabilidade assintótica desta dinâmica é análoga ao que foi efetuado para o ponto P 1. Desta forma, de (16) e (17-a) a dinâmica (4) é assintoticamente estável em torno de P 2 se e somente se b a > µ3 β. Além disso, a lei de controle (18) torna a malha fechada da dinâmica (4) assintoticamente estável em torno de P 2. Para a determinação desse controle, observa-se inicialmente que da translação (21) tem-se que a dinâmica

20 2C. Reis, D. Colón, H. Florentino, D. Cantane, S. Rosa, J. Balthazar, F. Costa e A. da Rocha (4) escreve-se como: ẏ 1 ẏ 2 ẏ 3 ẏ 4 A 1 y 1 + φy 3 + A 2 y 1 y 3 + B 1 (y 1 + x 1 ) = A 3 y 1 + A 4 y 2 + B 2 βy 2 µ 3 y 3 + B 3 + u(t) (31) A 5 y 1 µ 4 y 4 + B 4 y = ay 2 + by 3 + ax 2 + bx 3. Deste modo, de (18) tem-se que u(y) = 1 L gl yy ( L2 f y + v), onde: L g L f y = aa 3 (y 1 + x 1 ) (32) L 2 f y = [aa 3(A 1 + A 2 x 2 ) + (aa 4 + bβ)a 3 ]y 1 +[(aa 4 + bβ)a 4 bβµ 3 ]y 2 +[aa 3 (φ + A 2 x 1 ) + bµ 2 ]y 3 +aa 3 [A 2 y 1 y 3 + A 1 x 1 + φx3 + A 2x 1 x3 ] +(aa 4 + bβ)[a 3 x 1 + A 4 x 2 ] bµ 3 [βx 2 µ 3 x 3 ] (33) v(y) = ak 1 A 3 y 1 (ak 1 A 4 + bk 1 β + ak )y 2 (bk bk 1 µ 3 )y 3 ak 1 A 3 x 1 (ak 1 A 4 + k 1 bβ + ak )x 2 (34) (bk k 1 bµ 3 )x 3 com k 1, k escolhidos de forma conveniente tal que p(λ) = λ 2 + k 1 λ + k tenha raízes negativas [7].

21 Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata21 5 Análise do plano de fase e simulações Nesta seção apresentam-se simulações para os dois casos estudados nas seções 4.1 e 4.2, ou seja, para o caso de equilíbrio e estabilidade em torno dos pontos P 1 e P 2, respectivamente. No caso de P 2, o que se faz é escolher um ponto de equilíbrio não nulo. Destaca-se que os valores adotados para a, b, k e k 1 foram escolhidos mediante as condições necessárias e suficientes para estabilidade assintótica obtidas em (17-a) e (18-b). Na Tabela 1 apresentam-se os valores dos parâmetros utilizados no modelo que descreve a dinâmica populacional do vetor da dengue [15, 2, 16]. Tais valores foram adotados por terem sido obtidos em condições climáticas próximas da realidade brasileira. Na Figura 1 mostra-se o efeito na resposta da dinâmica do sistema (4), da lei de controle da Equação (18), de acordo com os valores da Tabela 1 e com as constantes a = b = 1 e k = k 1 = 1, em torno do ponto P 1. Em linha pontilhada, estão os estados x 1, x 2, x 3 e x 4 para o sistema em (4) - ou seja, sem controle - para diversas condições iniciais. Nota-se que a trajetória dos estados tende para o ponto de equilíbrio P 2. Em linha contínua, tem-se os mesmos estados para o sistema com a lei de controle (18-a), e nos dois últimos gráficos da figura, tem-se os dois sinais de controle u e v aplicados (o segundo fazendo parte do cálculo do primeiro). Nota-se que o sistema controlado é eficiente em levar a população de mosquitos, em todas as fases, assintoticamente para zero, entretanto, como o modelo (e seu controle) só fazem sentido para valores positivos das variáveis de estado, a partir do momento em que x 1 atingir o valor zero, a aplicação do controle u deve ser suspensa, dado que ocorre uma indeterminação na expressão (18-a). Na Figura 2 mostra-se o efeito na resposta dinâmica do sistema (4) para a lei de controle das equações (18) e (32) a (34), cujo objetivo é levar a população de mosquitos para um ponto de equilíbrio P 2 a ser escolhido. Neste caso, o ponto de equilíbrio escolhido tem coordenadas: x 1 =.213, x 2 =.1,

22 22C. Reis, D. Colón, H. Florentino, D. Cantane, S. Rosa, J. Balthazar, F. Costa e A. da Rocha x 2 =.296 e x 2 = Nota-se novamente que a lei de controle é capaz de levar a população de mosquitos para os valores (de densidades) desejados. Os valores escolhidos para as constantes foram k = 1 e k 1 = 5. Outros valores poderiam ter sido escolhidos, desde que respeitassem (18-b), de modo a se obter uma resposta mais rápida do sistema. Novamente é necessário suspender a aplicação do controle u quando o estado x 1 atingir o valor nulo, pelas mesmas razões do caso anterior. Evidentemente, o controle u deve ser reativado, conforme as fórmulas apresentadas, ao se notar novamente aumento da população de mosquitos. Tabela 1. Valores de parâmetros Parameters C γ r β φ µ 1 µ 2 µ 3 µ 4 Valor Conclusões Neste capítulo a análise e o controle de um modelo não linear que descreve a dinâmica populacional do mosquito transmissor da dengue via a técnica da linearização exata entrada-saída foram efetuados. Com o objetivo de um melhor entendimento do comportamento desta dinâmica, efetuou-se o estudo de seu plano de fase e leis de controle foram obtidas de forma a linearizar o referido sistema e obter a análise da estabilidade assintótica para dois pontos de equilíbrio diferentes: a origem (P 1 ) e um ponto de equilíbrio não nulo (P 2 ), este último podendo ser escolhido. Condições necessárias e suficientes também foram obtidas envolvendo parâmetros do sistema para análise de estabilidade assintótica. As análises da dinâmica interna e da dinâmica zero foram feitas de modo a verificar se as leis de controle propostas realmente estabilizam o sistema (e não somente a parte controlável/observável). Com isto, é possível estabelecer estratégias de controle da população de mosquitos, tanto levando-a a desaparecer quanto a ficar numa situação de equilíbrio escolhida pelo projetista. Este estudo também propiciou um melhor entendimento desta dinâmica,

23 Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata23 Figura 1. Simulação para P1 (malha aberta e fechada, com diferentes condições iniciais) x Densidade Populacional na Fase Aquática tempo Densidade de Fêmeas Fecundadas 6 x Densidade de Fêmeas na Fase Imatura tempo Densidade de Machos x 3 2 x 4 1 u tempo Sinal de Controle u v tempo Sinal de Controle v tempo tempo possibilitando a análise de condições de instabilidade que permitirão em trabalhos futuros o estudo de ciclos limites e comportamento caótico, se existirem. As simulações foram realizadas com e sem o controle, com o objetivo de uma melhor compreensão do comportamento dinâmico do sistema, verificando a eficácia do controle introduzido na fase aquática para estabilizar a população em densidades muito baixas, demonstrando assim a eficácia desta técnica como uma ferramenta a ser utilizada pelos gestores da saúde pública. Esta metodologia, portanto, apresenta um grande potencial no auxílio de planejamento, criação de estratégias e tomadas de decisão na resolução de problemas relacionados ao controle do mosquito transmissor da dengue e, consequentemente, na erradicação da doença. Também são linhas de pesquisa futu-

24 24C. Reis, D. Colón, H. Florentino, D. Cantane, S. Rosa, J. Balthazar, F. Costa e A. da Rocha Figura 2. Simulação para P2 (malha aberta e fechada, com diferentes condições iniciais) x Densidade Populacional na Fase Aquática tempo Densidade de Fêmeas Fecundadas 6 x Densidade de Fêmeas na Fase Imatura tempo Densidade de Machos x 3 2 x 4 1 u tempo Sinal de Controle u tempo v tempo Sinal de Controle v tempo ras os estudos sobre qual a melhor forma de se pôr em prática estas estratégias de controle, por meio de estimadores de tempo real dos estados (observadores).

25 Análise de um modelo populacional do mosquito transmissor da dengue via linearização exata25 Referências [1] M. R. Donalísio and C. M. Glasser, Vigilância entomológica e controle de vetores da dengue, vol. 5, no. 3, 22. [2] R. C. A. Thomé, H. M. Yang, and L. Esteva, Optimal control of Aedes aegypti mosquitoes by the sterile insect technique and insecticide, Mathematical Biosciences, vol. 223, pp , 21. [3] L. Barsante, T. Cardoso, and J. Acebal, Otimização multiobjetivo no controle de gastos com inseticidas e machos estéreis no combate da dengue, Anais do XLIII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, pp , 211. [4] L. Esteva and H. M. Yang, Mathematical model to assess the control of Aedes aegypti mosquitoes by the sterile insect technique, Mathematical Biosciences, vol. 198, pp , 25. [5] H. O. Florentino, B. F. Bannwart, D. R. Cantane, and F. L. P. Santos, Multiobjective genetic algorithm applied to dengue control, Mathematical biosciences, vol. 258, pp , 214. [6] R. C. A. Thomé, Controle ótimo aplicado na estratégia de combate ao Aedes aegypti utilizando inseticida e mosquitos estéreis, Tese de Doutorado/UNICAMP, 27. [7] J. J. Slotine and W. LI, Applied nonlinear control, University of Michigan: Prentice Hall, [8] C. Liqun and L. Yanzhu, Control of the lorenz chaos by the exact linearization, Applied Mathematics and Mechanics, vol. 19, pp , [9] A. Isidori, Nonlinear control systems, ACM Transactions on Embedded Computing Systems, no. 3, 1995.

26 26C. Reis, D. Colón, H. Florentino, D. Cantane, S. Rosa, J. Balthazar, F. Costa e A. da Rocha [1] G. V. M. Silva, Controlo não linear, Escola Superior de Tecnologia Setúbal, Setúbal, 23. [11] C. A. Reis, J. M. Balthazar, and L. Barbanti, The input-state linearization of a maglev vehicle type, 22nd International Congress of Mechanical Engineering, November 213. [12] J. Alvarez-Gallegos, Nonlinear regulation of a lorenz system by feedback linearization techniques, Dynamics and Control, vol. 4, pp , [13] C. M. Bender and S. A. Orszag, Advanced mathematical methods for scientists and engineers, New York: McGraw-Hill, [14] N. Vasilakis, J. Cardosa, K. A. Hanley, E. C. Holmes, and S. C. Weaver, Fever from the forest: prospects for the continued emergence of sylvatic dengue virus and its impact on public health, Nature Reviews Microbiology, vol. 9, no. 7, pp , 211. [15] M. A. S. Koiller, M. O. Souza, C. Codeço, A. Iggidr, and G. Sallet, Aedes, wolbachia and dengue, INRIA Research Report RR8462, 214. [16] H. M. Yang, M. L. G. Macoris, K. C. Galvani, M. T. M. Andrighetti, and D. M. V. Wanderley, Assessing the effects of temperature on the population of Aedes aegypti, vector of dengue, Epidemiology & Infection, vol. 137, pp , 29.