Capítulo 1 - Hidrostática

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1 Capítulo 1 - Hidrostática Em geral, podemos dizer que um sólido tem volume e forma bem definidos, um líquido tem volume mas não forma bem definida e um gás não tem nem volume nem forma bem definidos. Outra distinção importante é que um líquido e um sólido são muito pouco compressíveis, ao contrário de um gás que é altamente compressível. Dividimos as forças em superficiais e volumétricas. As forças superficiais podem ser: normais - de tração (tensão) ou compressão (que chamaremos simplesmente de pressão) ou tangenciais também chamadas tensões de cisalhamento. A diferença fundamental entre um sólido e um fluido está na sua resposta às forças tangenciais. Um sólido sob a ação de uma força tangencial deforma-se até que surjam tensões internas que equilibrem o sistema. Existem 3 regimes dos sólidos sob ação de forças tangenciais: elástico, plástico e ruptura. Já um fluido não consegue contrabalançar a força tangencial e escoa. Logo, num fluido em equilíbrio não podem haver tensões tangenciais. Existem inúmeras substâncias que ficam numa situação intermediária entre o sólido e o fluido: o vidro, o piche, a gelatina, a massa de pão. Definimos a densidade local de um fluido Uma força volumétrica típica é a força da gravitação. Sobre um infinitésimo de massa a força infinitesimal será 1

2 Na figura acima, vemos um fluido de volume V e superfície S. Como, em equilíbrio, não podem existir forças tangenciais, só nos interressam vetores normais, isto é, perpendiculares ao elemento infinitesimal. Convecionamos definir o versor como sendo perpendicular ao elemento infinitesimal e apontando para fora. Neste ponto do elemento infinitesimal, definimos a pressão p ou seja, note que a grandeza pressão p é um escalar. Num fluido em equilíbrio, a pressão p num ponto não depende do versor (caso contrário a diferença de pressão vezes área levaria a um deslocamento naquela direção, violando a hipótese de equilíbrio). Unidades: 1 pascal = 1 Pa = 1 N / m 2 1 bar = Pa = milibares 1 atm = Pa = 76 cm de Hg (mercúrio) Equilíbro num Campo de Forças Voltando ao conceito de força volumétrica temos Vamos analisar o equilíbrio de forças volumétricas. Escolhemos a direção z, mas o argumento se repete para as direções x e y. 2

3 Na direção z a força será Por outro lado, a diferença de pressão entre os pontos z e z+dz vale Para não haver resultante Incorporando as outras direções teremos No caso da força gravitacional De (1) e (2) No caso da atmosfera, se fizermos a hipótese dela ser um gás ideal que satisfaz à equação de Clapeyron onde é o número de moles, a massa, o mol do gás e a temperatura na escala Kelvin. Donde 3

4 Substituindo em (3), teremos Se fizermos a hipótese de a atmosfera ser isotérmica (T constante), que é boa apenas para baixas altitudes (, então Integrando onde é a pressão ao nível do mar. Fluido Incompressível no Campo Gravitacional A densidade de um líquido varia muito pouco com a pressão. Por exemplo, a densidade da água só varia de 0,5% quando aumentamos a pressão de 1 atm para 100 atm. pela fórmula que relaciona a força volumétrica temos Logo, é uma força conservativa pois pois o rotacional do gradiente, Em consequência disso, existe energia potencial U tal que 4

5 para a força por unidade de volume vale onde é a densidade de energia (energia por unidade de volume). Logo, Toda superfície isobárica (p=constante) é também uma superfície equipotencial (u=constante). Portanto, a superfície livre de um líquido em equilíbrio e em contacto com a atmosfera é uma superfície isobárica pois todos os seus pontos estão à mesma pressão. Se nos limitarmos à vizinhança da superfície da Terra, altitude, teremos é constante, e numa e Abaixo vemos a figura de um líquido em equilíbrio com a pressão atmosférica ou A equação (4) é a chamada Lei de Stevin. Essa Lei leva imediatamente ao Princípio de Pascal : uma variação de pressão sobre um fluido incompressível se distribui igualmente em todas as direções. Assim, se numa profundidade h a pressão aumenta, em qualquer outra profundidade o aumento será exatamente igual. Uma aplicação importante é a Prensa Hidráulica 5

6 Outra aplicação é o chamado princípio dos Vasos Comunicantes Barômetros Na época de Galileu, o duque de Toscana tentou, sem sucesso, levar água por aspiração (processo idêntico ao de puxar o êmbolo de uma seringa, conhecida desde a Antiguidade) para um jardim suspenso a mais de 10m de altura. Torricelli, estudante de Galileu, entendeu a razão o ar tem peso. Propôs a experiência (realizada por seu colega Vicenzo) em que um tubo, cheio de mercúrio, de cerca de 1 m de comprimento, com uma extremidade fechada, é emborcado sobre uma cuba também cheia de mercúrio. A altura medida de Hg é de 76 cm que corresponde a 1 atm. Repetindo-se a experiência em uma montanha de 1000m de altura, verificou-se que a coluna agora media 68cm. O equipamento era uma medida direta da pressão atmosférica. Estava inventado o barômetro. 6

7 Manômetros O manômetro de tubo aberto é um tubo em U contendo um líquido, com uma extremidade aberta para a atmosfera e a outra ligada ao recipiente que se quer medir a pressão. Chamamos de pressão manométrica Portanto, ela mede a diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica e pode ser positiva ou negativa. A pressão nos pneus e a pressão arterial são pressões manométricas. Quando dizemos que a pressão sistólica e diastólica é 12 x 8 é pressão manométrica em cm de Hg. Quando tomamos refrigerante num canudinho, a pressão nos nossos pulmões é menor do que a atmosférica. Princípio de Arquimedes Na figura abaixo eliminamos o fluido contido num cilindro de área A e altura h. As únicas forças resultantes (as laterais se cancelam) sustentam o peso da coluna de fluido deslocada. Essa força atuará sobre um corpo (com outra densidade) para cima e chama-se Empuxo Esse resultado não depende da forma do fluido deslocado. O ponto de aplicação do Empuxo, chamado de Centro de Empuxo E, corresponde ao centro de gravidade do fluido deslocado. 7

8 Quando colocamos um sólido neste fluido, ele estará submetido ao peso no centro de gravidade G e ao empuxo do fluido no seu centro de empuxo E. Se G e C estiverem alinhados (veja figura) o corpo estará em equilíbrio. O corpo deslocará um volume de fluido cujo peso é igual ao peso do próprio corpo. Este é o chamado Princípio de Arquimedes. na figura analisamos a estabilidade do equilíbrio: Ao girar o barco o centro de empuxo passa para o ponto C e não está mais alinhado com G; o peso e o empuxo geram agora um torque. A vertical por C cruza com a linha CG num ponto M, chamado de Metacentro. Se M está acima de G, o novo empuxo tenta restaurar o equilíbrio girando o corpo de volta em torno de G o equilíbrio é estável. Se M está abaixo de G, o novo empuxo tenta girar ainda mais o corpo em torno de G o equilíbrio é instável. É o que pode acontecer quando pessoas num barco se levantam isso aumenta a altura de G e pode levar a virar o barco. Paradoxo Hidrostático Na figura abaixo todos os vasos têm mesma área na base e mesma altura do mesmo fluido. Então a força que a base faz sobre o plano de apoio dos vasos é exatamente igual. 8

9 mas vemos que os vasos contém quantidades (massas) diferentes do mesmo fluido. Se colocarmos dois desses vasos numa balança com 2 pratos, eles se equilibrariam, mesmo com massas diferentes? Este é o chamado paradoxo hidrostático. A resposta óbvia é que os 2 pratos da balança só se equilibrarão se os 2 vasos tiverem a mesma massa. O motivo é que se deve acrescentar à força exercida pela base dos vasos (que é igual) às forças (normais às paredes dos vasos), mas não compensadas. Na figura abaixo, vemos que o fluido exerce, sobre a parede do vaso, uma força horizontal nula, mas vertical não nula nos casos (a) e (b). Somente no caso (c), a força sobre a base do vaso é igual ao seu peso. Líquido em rotação Considere um vaso com um líquido que gira na vertical (eixo z) com velocidade angular constante ω. Num referencial inercial este líquido não está em equilíbrio, mas num referencial não inercial que gira junto com o vaso o sistema está em equilíbrio. Neste referencial não inercial a força presente é a força centrífuga. Teremos então 2 forças: a centrífuga e a força peso. 9

10 Para um elemento infinitesimal de massa a uma distância do eixo de rotação teremos a força centrífuga donde a força volumétrica centrífuga onde é a energia potencial centrífuga por unidade de volume. Integrando A energia potencial total por unidade de volume será a soma da centrífuga com a gravitacional Logo, como a pressão é igual a Na figura acima, tomando a origem do sistema de coordenadas no ponto O, teremos a condição Finalmente, A equação da superfície livre é uma isobárica donde que é a equação de uma parábola. 10