4) Ondas Eletromagnéticas

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1 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams 4 Ondas Elmagnécas Induçã Um ds fas mas mpans d lmagnsm, an óc quan xpmnal, é a xsênca d ndas acpladas d camp léc magnéc, qu s ppagam paa lng das fns, anspand pa da nga fncda pl agn físc qu maném as dsbuçõs d caga cn n ssma. Sab-s qu ss c apnas paa fns dpndns d mp. As laçõs d ndpndênca n s camps sã pcsamn dfndas nas quaçõs das ls d Amp Faaday. Na l d Amp xs uma pacla d acnal d camp magnéc qu é ppcnal à dvada n mp d camp léc. D md análg, na l d Faaday, acnal d camp léc é ppcnal à dvada n mp d camp magnéc. A pa dssas laçõs, vfcams qu camps sács sã ndpndns n s camps vaávs n mp sã muuamn dpndns um d u. Msams, ns capíul, qu ssa dpndênca múua sula m quaçõs d nda dêncas paa ambs s camps. Os sja, s camps léc magnéc d fns vaávs n mp êm a fma mamáca d dsbuçõs qu s dslcam n spaç na mdda m qu mp passa. Ess fnômn é dnmnad d nda lmagnéca. A gm das ndas lmagnécas pd s abuída à adaçã d cagas lécas m mvmn nã unfm. Sab-s mu bm qu uma caga fxa m um c fncal ncal ga camp léc adal spcamn dsbuíd m n da psçã da caga (Fgua 4.a. Além dss, uma caga sáca nã pdu camp magnéc. É pssívl msa camn qu uma caga m mvmn unfm, u sja, cm vlcdad cnsan, ambém pdu camp léc adal, pém nã mas spcamn dsbuíd n spaç. O camp é 78

2 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams mas nns na dçã ppndcula à dçã d mvmn da caga (Fgua 4.b. Uma caga m mvmn unfm ambém pdu camp magnéc, s camp sá na dçã amual m laçã à dçã d mvmn. Fnalmn, uma caga aclada pdu camp léc qu, além da cmpnn adal, ambém apsna uma cmpnn na dçã pla m laçã à dçã d mvmn (Fgua 4.c. Esa cmpnn d camp léc pla camp magnéc amual cnsum as cmpnns d camp asscadas à nda lmagnéca gada pla caga aclada. ( a ( b + h φ q + q v c ( c θ h φ q + v a d h φ θ Fgua 4. Rpsnaçã squmáca da adaçã d uma caga aclada. O Tma d Pynng qu sá dmnsad ns capíul sablc qu xs um flux d nga lmagnéca cuja dnsdad d pnca é dada p h, nd s camps sã pvnns da msma fn. Cm bas ns sulad, pdms cnclu qu apnas a caga aclada ada nga na dçã adal, u sja, pa lng d sua pópa psçã. Es pcss sá na bas d dvss fnômns cnhcds, cm a adaçã d fnagm d 79

3 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams paículas m ala vlcdad (cm c m ubs d as x a adaçã d ccln. As ndas lmagnécas sã gadas cnnuamn pla maéa dnáa, a pa d ncssan mvmn d suas paículas lmnas. Smp qu um ám ansa d um sad d ma nga paa um d mn nga, l ada a dfnça na fma d ndas lmagnécas. Es é pncpal pcss gad d lu n unvs. Iss an acnc n n das slas a pa d açõs nuclas, quan n n d um flamn málc aqucd, dvd à xcaçã d-xcaçã d sads lôncs ns áms. Msm à mpaua ambn, qualqu amsa d maéa ada cnnuamn dvd à avaçã d sads acnas vbacnas mlculas, mba nss cas, nã s a d adaçã vsívl. Mas, ndas lmagnécas ambém pdm s gadas p qupamns pduds pl hmm. Qualqu ssma léc basad m cn alnada ada uma pa d sua nga na fma d ndas. O xmpl mas caacísc dss é a anna, uma suua málca xcada p cn alnada qu acpla fcnmn um gad d cn alnada a spaç lv, a fm d b ndas lmagnécas. As ndas lmagnécas cnsum uma das fmas mas mpans báscas d naçã ca d nga n ssmas físcs, snd spnsávs p uma sé d fnômns bm cnhcds d das as pssas, cm a vsã, as cs ds bjs, aqucmn pdud pl sl us adads, c. As ndas lmagnécas ambém cnsum a bas d funcnamn d mus ssmas qupamns mdns as cm s ssmas d lcmuncaçõs, s fns d mcndas, s qupamns ópcs assm p dan. Uma v mda, a nda lmagnéca nã dpnd mas da fn qu a pduu. As ndas lmagnécas s ppagam m ala vlcdad anspam nga na dçã d ppagaçã. Objs ncpads plas ndas lmagnécas, va d ga, absvm uma pa da nga anspada a 80

4 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams msm mp m qu spalham san da nga dspnívl m váas dçõs d spaç. Es Capíul aa d sud da gaçã ppagaçã d ndas lmagnécas n vácu m ms maas, bm cm d alguns vns cnsqüns da naçã d ndas lmagnécas cm a maéa. Uma v qu s sud xg cnhcmn básc da a ndulaóa, sug-s a lua d Apêndc 4. àquls qu nã sjam famlaads cm ma. Análs n dmín da fqüênca Os capíuls ans dsnvlvam a a lmagnéca n dmín d mp. Incams s capíul cm a dscçã da análs lmagnéca n dmín da fqüênca p s xmamn vanajsa a sua aplcaçã n sud das ndas lmagnécas. A análs n dmín da fqüênca xg a aplcaçã d pncíp da suppsçã pan, smn pd s usada m ssmas lnas. As quaçõs d Maxwll xpssam laçõs lnas n s camps as fns n vácu. Dn da maéa, ss ambém s aplca dsd qu as ppdads macscópcas cnduvdad, pmssvdad pmabldad sjam ndpndns ds camps aplcads. Suppsçã Sjam as fns dnsdad d caga dnsdad d cn m um ssma lmagnéc, dfndas cm a sma d dvsas paclas: (4. ρ v ρ n vn j j n n d al md qu cada pa d vals [ ρ vn, j n ] sasfa ndvdualmn a quaçã d cnnudad: (4. jn ρ vn nã, s camps pduds p ssas fns ambém pdm s dscs pl smaó d dvsas paclas, u sja: 8

5 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (4.3 d d b b h n n n n n n h n n d md qu cada cnjun das cmpnns cspndn dssas gandas [ ρ vn, jn,dn,n,bn, hn ] sasfa ndvdualmn as quaçõs d Maxwll, s é: d b (4.4 d b 0 h j n n n ρvn n n n + n Na dscçã macscópca ds camps m ms maas, cnud, a lnadad sá manda dsd qu a plaaçã, a magnaçã a cnduçã n m sjam ppcnas as camps aplcads, u sja, dsd qu a pmssvdad léca, a pmabldad magnéca a cnduvdad d maal sjam ndpndns das nnsdads ds camps. Assm snd, pdms scv: (4.5 dn ε n bn μ hn jn σn Análs fasal A análs fasal é uma écnca d psnaçã sluçã d quaçõs dfncas mpas aplcávl a ssmas lnas xcads p fns qu vaam n mp sgund as funçõs gnmécas snω csω u sgund as funçõs xpnncas cmplxas j ω j ω. Tdas ssas funçõs êm a caacísca cmum d sm pódcas mncmácas (fqüênca únca. Esas funçõs pdm s psnadas d mana gal plas xpssõs: (4.6 sn( ω + θ cs( ω + θ j( ω+θ j( ω+θ nd agumn ( ω + θ é dnmnad d fas, ω é a fqüênca angula θ é a fas ncal. Usand a dndad d Eul ( δ j cs δ + j snδ, pdms scv as funçõs gnmécas na fma d funçõs xpnncas: j( ω +θ j( ω+θ (4.7 sn( ω + θ [ ] j j( ω +θ j( ω+θ (4.8 cs( ω + θ [ + ] 8

6 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Um ssma dsc p quaçõs dfncas lnas xcad p uma fn mncmáca, á ncssaamn cm spsa, funçõs mncmácas n mp cm a msma fqüênca da fn. Assm qualqu ssma lmagnéc cm fns mncmácas m um m lna, pd s analsad cnsdand-s qu as spsas, an paa s pncas quan paa s camps, sã funçõs mncmácas d mp. Esa análs é mas cnvnnmn alada usand-s as funçõs xpnncas cmplxas, cnfm s vá a sgu. Dfnms fas cspndn a uma funçã mncmáca d mp cm uma quandad cmplxa cuj módul é a amplud dssa funçã cuj ângul pla é gual à fas ncal dssa funçã. Em um ssma lmagnéc xcad p fns mncmácas, s fass qu dscvm à dnsdad d caga a dnsdad d cn pdm s scs na fma: jθ j j (4.9 ρ θ Γ ρ J j nquan qu paa s camps pncas gads ms: jθ d jθ jθ D d b E B b (4.0 jθh jθ jθ H h Φ ϕ ϕ A a a Ond as ampluds as fass pdm vaa cm a psçã n spaç mas nã dpndm d mp. Usams a cnvnçã d psna um fas p las maúsculas, nquan manms a cnvnçã aé aqu adada d psna funçõs d mp p las mnúsculas. Também adams sgun pcdmn paa b uma funçã d mp a pa d su fas: mulplcads msm p ms: (4. ρ R j R J j ω xaíms a pa al d sulad. Assm, paa as fns, j [ Γ jω ] R θ ρ ρ jω ρ cs( ω + θ j j j j [ ] R θ j ω ω j cs( ω + θ d mana análga, paa s camps pncas, ms: j ρ 83

7 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (4. d R D b R B ϕ R jω jω [ ] d cs( ω + θd R[ E ] cs( ω + θ jω jω [ ] b cs( ω + θb h H ] h cs( ω + θh jω jω [ Φ ] ϕ cs( ω + θ a R[ A ] a cs( ω + θ ϕ A análs d um ssma lmagnéc xcad p fns mncmácas pd s alada p m da ansfmaçã das quaçõs d Maxwll paa a fma fasal, sluçã dssas quaçõs n dmín da fqüênca, uma v bdas as sluçõs paa s fass das gandas dsjadas, na a dmín d mp p m das ansfmaçõs ndcadas m (4.. S dvsas fns cm dfns fqüêncas sã psns, as sluçõs paa s pncas camps pdm s bdas cm a sma das spsas pacas paa cada fn, d acd cm pncíp da suppsçã. Taams aga d b a fma fasal das quaçõs d Maxwll. a L d Gauss paa a nduçã léca Subsuíms as funçõs mncmácas qu dscvm d(, ρ(, na quaçã da l d Gauss paa b: d cs( ω + θd ρ cs( ω + θρ (4.3 [ ] Subsund aga as funçõs cssn p funçõs xpnncas d acd cm (4.8, bms: d (4.4 j( ω +θd d + j( ω +θd ρ j( ω+θ ρ Cmpaand s ms qu mulplcam as funçõs quaçõs: jθ j ρ (4.5 [ d d ] ρ θ jθ ρ (4.6 [ d ] ρ d jθ ρ + j ω j( ω+θρ j ω, bms as Mas, d acd cm (4.9 (4.0 ssas quaçõs lacnam s fass d nduçã léca dnsdad d caga, u sja: (4.7 D Γ 84

8 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (4.8 Ond D D Γ Γ sã s cmplxs cnjugads ds fass D Γ spcvamn. Já qu (4.8 é xaamn cmplx cnjugad d (4.7, ssas quaçõs m a msma sluçã, pan pdms cnsda (4.7 cm a fma fasal da l d Gauss paa a nduçã léca. L d Gauss paa a nduçã magnéca Subsuíms a funçã mncmáca b(, na quaçã da l d Gauss paa b: b (4.9 [ b cs( ω + θ ] 0 Subsund a funçã cssn p funçõs xpnncas spaand s ms qu mulplcam as funçõs ω jθ (4.0 [ b b ] 0 jθ (4. [ b b ] 0 j j ω, bms as quaçõs: D acd cm (4.0 ssas quaçõs ns lvam a fma fasal da l d Gauss paa a nduçã magnéca: (4. B 0 L d Amp Subsund as funçõs mncmácas na quaçã da l d Amp, bms: (4.3 [ h cs( ω + θ ] j cs( ω + θ + [ d cs( ω + θ ] Subsund aga as funçõs cssn, bms: h j( ω +θh h j( ω+θh j + (4.4 d j( ω +θd d j( ω+θ + jω jω d h j j( ω +θ j j Spaand s ms qu mulplcam as funçõs ω j + d j( ω+θ j j ω, bms: 85

9 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams jθ jθ j jθ (4.5 [ h h ] j + jω d d h jθ (4.6 [ h ] d j jθ j jω d Assm, vms qu a l d Amp na fma fasal assum a fma: (4.7 H J + jω D jθ L d Faaday Subsund as funçõs mncmácas na quaçã da l d Faaday, bms: (4.8 [ cs( ω + θ ] [ b cs( ω + θ ] Subsund aga as funçõs cssn, bms: j( j( (4.9 j( ω +θ ω +θ b ω +θb b jω + + Spaand s ms qu mulplcam as funçõs jθ jθ jω b (4.30 [ ] b jθ (4.3 [ ] jω b b jθ b j ω jω j ω, bms: j( ω + θb Assm, vms qu a l d faaday na fma fasal assum a fma: (4.3 E jω B D mana cmplamn análga a qu f msad acma paa as quaçõs d Maxwll, pdms dmnsa qu a quaçã da cnnudad na fma fasal é sca na fma: (4.33 J jωγ E ambém as laçõs cnsuvas pdm s scas na fma fasal: (4.34 D ε E + P εe B μ (H + M μ H J σe Pdms ancpa ns pn qu as ppdads ε, μ σ pdm vaa cm a fqüênca, snd ssa caacísca spnsávl p mpans fs na ppagaçã d ndas lmagnécas nsss ms. A Tabla 4. msa um sum das quaçõs lmagnécas paa análs fasal. 86

10 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Uma xnsã da análs fasal paa cas d funçõs nã mncmácas é a análs d Fu. Pd-s msa qu qualqu funçã pódca pd s sca na fma d uma sé d funçõs mncmácas cm fqüêncas múlplas d uma fqüênca fundamnal. Uma v bda a sé d Fu d uma dsbuçã d caga u cn, é pssívl aplca s méds da análs fasal paa cada uma das cmpnns mncmácas d ssma a fm d b s camps asscads. Os camps sulans, d acd cm pncíp da suppsçã, sã bds pla sma ds camps dvd a cada cmpnn mncmáca, u sja, s camps ambém sã dscs p sés d Fu. Tabla 4. Equaçõs lmagnécas fasas L d Gauss paa a nduçã léca D Γ L d Gauss paa a nduçã magnéca B 0 L d Amp H J + jω D L d Faaday E jω B Equaçã da cnnudad J jωγ D εe + P εe B μ(h + M μ H Rlaçõs cnsuvas J σe Equaçã da nda lmagnéca A nda lmagnéca é dsca p quaçõs dfncas pacas n mp n spaç paa sus ds camps, léc magnéc. Nsa sçã m gand pa ds capíul sams nssads na dscçã d ndas n spaç lmad, u sja, sm fnas. Esa é uma smplfcaçã qu sv paa s suda as caacíscas pncpas d ppagaçã d ndas lmagnécas cm um mínm d cmplxdad mamáca. Suaçõs as quas smp 87

11 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams nvlvm nfacs n ms cm dfns ppdads lmagnécas nsss cass cm fnômns cm flxã, façã dfaçã, s quas mdfcam a dsbuçã ds camps flux da nga anspada pla nda. Além dss, m gal assum-s qu m é lna, u sja, as ppdads cnduvdad léca, pmssvdad léca pmabldad magnéca m uma ca fqüênca sã cnsdadas cnsans ndpndns das nnsdads ds camps. Uma úlma cnsdaçã smplfcada m um sud nduó das ndas lmagnécas d sp à hmgndad spa das ppdads lmagnécas d m. Em um m hmgên sópc as ppdads sã ndpndns da psçã dçã m qualqu ssma d fênca n qual sjam avaladas. Equaçã da nda lmagnéca n dmín d mp A dscçã das ndas lmagnécas pla a clássca é bda cm a aplcaçã da das quaçõs d Maxwll. Incams cm a dscçã n dmín d mp. A Fgua 4. msa squmacamn um ssma lmagnéc cnsuíd p dsbuçõs d caga cn léca m um c vlum fn d spaç s camps dcns dssas fns, cnsdadas aqu mplcamn cm vaávs n mp. Cnsdms nã a quaçã da L d Amp: d (4.35 h j + nd a dsbuçã d dnsdad d cn n spaç pd s sulad d vás pcsss físcs qu p cnvnênca d análs sã agupads d duas cagas: ( a cn das fns j s, qu sá cnsdada smp cm nd uma dsbuçã lcalada, u sja, lmada a um vlum fn ( a cn pduda pl camp léc da pópa nda lmagnéca. Esa cnbuçã pd s sca na fma j c σ s m f um cndu lna. A dsbuçã d cn j s galmn sá pduda p fns d pncal léc cncadas a um ssma d cndus, cm p xmpl, m uma 88

12 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams x ρ s V s j s H E y Fgua 4. Rpsnaçã squmáca d um ssma lmagnéc cnsuíd p uma dsbuçã lcalada d caga cn sus camps asscads. anna. Fand a subsuçã j j s + jc m (4.35 aplcand acnal m ambs s lads dssa quaçã, sula: ( d (4.36 h js + jc + Paa um m lna, hmgên sópc pdms subsu a dnsdad d cn d cnduçã a nduçã léca plas cnhcdas laçõs m funçã d camp léc, cnsdand a cnduvdad a pmssvdad léca cm cnsans ndpndns da psçã dçã n spaç. Além dss, pdms ula uma ansfmaçã val paa scv pm mmb da quaçã (4.36. Cm ss, bms: (4.37 ( h h js + σ + ε Pdms aga ula a l d Gauss paa lmna pm m m (4.37 a l d Faaday paa subsu m funçã d camp magnéc. Além dss, s sams nssads na dsbuçã ds camps apnas n vlum xn 89

13 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams àqul cupad pla fns, nã m j s é nul nss spaç. Cm as subsuçõs cadas pdms scv (4.37 na fma: h h (4.38 h σμ + εμ Esa é a quaçã d nda paa camp magnéc m um m lna, hmgên sópc. Pdms b uma quaçã quvaln paa camp léc p um pcss smlhan. Incams pla l d Faaday cnsdms qu a lnadad, hmgndad spa s aplcam ambém às ppdads magnécas d m. Aplcams acnal m ambs s lads da quaçã da l d Faaday: ( h (.39 μ Usand a l d Amp paa subsu acnal d camp magnéc, bms: (4.40 js μ μσ με d d D acd cm a L d Gauss, pm mmb d lad squd s anula ns ms nd a dnsdad d caga macscópca é nula. Assm, fa d vlum cupad plas fns, m um m lcamn nu, ms a quaçã d nda paa camp léc dênca àqula paa camp magnéc: (4.4 σμ + με d Esas quaçõs, (4.38 (4.4, dscvm as laçõs n as dvadas spacas a dvada mpal ds camps m uma nda lmagnéca. Suas sluçõs paa as cndçõs ncas d cnn pculas a cada ssma físc dvm, a pncíp, dscv cmplamn a ppagaçã d ndas lmagnécas a pa d fns dpndns d mp m ms lmads, hmgêns, sópcs lnas. Em um m nã cndu m dpndn da cnduvdad é nul sas quaçõs assumm a fma mas smpls: 90

14 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (4.4 (4.43 h h h με v με v Ond a cnsan v ( με é cnhcda cm vlcdad da lu n m. N vácu ssa cnsan assum um val bm cnhcd m n d c 3x0 8 ms p sgund, snd uma ganda fundamnal m váas as da físca. As quaçõs (4.4 (4.43 sã na fma cnhcda cm quaçã d D Almb. Equaçã da nda lmagnéca n dmín da fqüênca É cnsdavlmn mas smpls analsa a ppagaçã d ndas lmagnécas mncmácas, u sja, d uma únca fqüênca, d qu d uma fn qualqu. As fqüêncas d uma nda lmagnéca sã àqulas das fns qu pdum s camps. Assm, ndas mncmácas sã gadas a pa d fns mncmácas. Ns cas pdms usa cus da análs fasal paa b uma smplfcaçã mpan nas quaçõs d nda. Pdms sgu pass a pass aqu msm méd aplcad anmn paa ddu as quaçõs d nda n dmín d mp, apnas subsund as quaçõs d Maxwll as laçõs cnsuvas p suas quvalns na fma fasal. A aplcaçã d acnal na quaçã da l d Amp ns lva a sgun sulad: (4.44 H J + J + jω D s c Cm a subsuçã das laçõs cnsuvas cm as msmas cnsdaçõs a sp da lcalaçã das fns, bms quvaln fasal da quaçã d nda paa camp magnéc m um m lna, hmgên sópc na fma: (4.45 H jωμσ H ω μεh H γ H 9

15 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams D msm md, ncand cm acnal da quaçã da l d Faaday subsund as laçõs cnsuvas, pdms b a quaçã d nda paa camp léc m um m lcamn nu: (4.46 E jωμσ E ω μεe E γ E As quaçõs dfncas (4.45 (4.46 dscvm as dsbuçõs spacas ds fass ds camps gads p uma fn mncmáca. Cm a spcfcaçã ca das cndçõs d cnn appadas a cada ssma físc, pdms, a pncíp, b uma dscçã cmpla da ppagaçã d ndas lmagnécas mncmácas m um m lmad a pa das sluçõs dssas quaçõs. A cnsan γ nssas quaçõs é dnmnada d cnsan d ppagaçã pd s sca na fma: (4.47 γ j ωμ( σ + jωε α + jβ nd α é a cnsan d anuaçã β a cnsan d fas da nda. Em um m d cnduvdad nula, (4.45 (4.46 pdm s scas na fma mas smpls: (4.48 H ω μεh H β H (4.49 E ω μεe E β E ω Ond β ω με. Esa fma das quaçõs da nda lmagnéca é v dnmnada d quaçã d Hlmhl. A Tabla 4. sum as fmas da quaçã d nda lmagnéca n dmín d mp n dmín da fqüênca. Equaçã da nda lmagnéca m cdnadas angulas N ssma angula s camps sã dscs plas xpssõs (v Fgua 4.3: (4.50 E(x,y, E (x,y, x + E (x,y, y + E (x,y, x (4.5 H(x,y, H (x,y, x + H (x,y, y + H (x,y, x y y 9

16 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams 93 Cada cmpnn ds camps é uma funçã das ês cdnadas spacas. Subsund ssas xpssõs nas quaçõs d nda (4.45 (4.46 spaand as cmpnns angulas, bms ss quaçõs d nda: (4.5 x x E E γ (4.53 y y E E γ (4.54 E E γ (4.55 x x H H γ (4.56 y y H H γ (4.57 H H γ Tabla 4. Fmas da quaçã d nda lmagnéca Equaçã d nda gal m nã dsspav Dmín d mp d + με σμ h h h + εμ σμ με h h με Dmín da fqüênca E E γ H H γ j ( j ωε σ + ωμ γ E E β H H β με ω β

17 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams x E x x E E E y y y Fgua 4.3 Rpsnaçã d um camp val n ssma d cdnadas angulas. Cada uma dssas quaçõs pd s slvda pl méd d spaaçã d vaávs. Supms qu a sluçã gal paa a cmpnn x d camp léc, p xmpl, pd s sca na fma d um pdu d ês funçõs, cada uma dpndn apnas d uma das cdnadas d psçã: (4.58 E x X(x Y(y Z( Subsund m (4.5 abnd pad laplacan nas ês cmpnns angulas, bms a xpssã: d X d Y d Z (4.59 Y Z + XZ + XY γ XYZ dx dy d N qu a scv sa quaçã usams dvadas as, ps as funçõs X, Y Z dpndm apnas d uma vaávl. Dvdnd ambs s lads dssa quaçã p XYZ, sula: (4.60 X X d dx + Y Y d dy + Z Z d d γ 94

18 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Cada m d lad squd é uma funçã apnas d uma das ês vaávs a sma dsss ms sula m um val cnsan m qualqu psçã d spaç, u sja, paa quasqu vals dssas cdnadas. Enã, a únca sluçã pssívl é adm qu cada m ndpndnmn sja gual a uma cnsan, u sja: d X (4.6 γ x X dx d Y (4.6 γ y Y dy d Z (4.63 γ Z d Ond as cnsans γ x sgun laçã:, γ y γ dvm s sclhdas d md qu sasfaçam a (4.64 γ x + γ y + γ γ Aga, cada uma das quaçõs (4.6 a (4.63 m uma sluçã bm cnhcda na fma d xpnncas cmplxas. Enã pdms scv: (4.65 (4.66 (4.67 X(x X γ x x γ x + X x γ y y γ y y Y(y Y + Y Z( Z γ γ + Z Ond s cfcns X, X, Y, Y, Z Z sã cnsans qu dvm s dmnadas a pa d cndçõs d cnn cnhcdas paa ssma sb análs. Assm, a sluçã gal paa a cmpnn x d camp léc na nda lmagnéca dsca m cdnadas angulas pd s sca na fma: (4.68 E x (x,y, γ ( x x γ X x + X x Y γ y y + Y γ y y E msm s aplca a cada uma das dmas cmpnns. γ ( γ Z + Z 95

19 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Em us ssmas d cdnadas, cm ssma clíndc u ssma sféc, nã é pssívl b quaçõs dsacpladas paa das as cmpnns ds camps, qu na a análs da ppagaçã d ndas lmagnécas nsss ssmas um pblma bm mas cmplx. P nquan usams apnas ssma angula, já qu msm s psa mu bm à dscçã d ndas n spaç lmad. Rsvams paa fnal d capíul alguns xmpls da ulaçã d us ssmas d cdnadas. Onda plana m um spaç lmad Analsams aga as caacíscas gas d ndas lmagnécas s ppagand m um spaç lmad cm ppdads lmagnécas ndpndns da psçã dçã n spaç. Paa ss, usams uma apxmaçã mu úl. Cnsdams qu a fn da adaçã lcala-s mu dsan d lcal nd sams calculand s camps da nda. Snd um m hmgên sópc, sand mu dsan da fn, é aávl sup qu, m uma ca áa aavssada pla nda lmagnéca, s camps nã vaam nas dçõs paallas a plan dssa supfíc. Is é plnamn jusfcávl aavés d cnc d flux d pênca n camp lmagnéc, d acd cm Tma d Pynng (Apêndc 4.. Dmnsa-s qu xs um flux d pênca na dçã ppndcula a plan dfnd pls vs d camp léc magnéc. S ss flux d pênca é unfm m uma ca áa aavssada pla nda, nã s camps dvm s dsbu unfmmn nssa supfíc plana. Abaamn, fxams s xs x y d ssma d fênca paallamn a sa supfíc plana dmnams qu das as cmpnns d camp m amplud cnsan sb la. Esa gma é apsnada na Fgua 4.4 dscv qu s dnmna d nda plana unfm. Dmnsams qu na nda plana unfm, s camps léc magnéc sã cnds n plan ppndcula a flux d pênca. Sá dmnsad ambém qu, a fm d sasfam as quaçõs d Maxwll, s camps léc magnéc dvm s ppndculas n s a aã n suas ampluds dv s uma cnsan ndpndn da psçã n spaç. 96

20 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams E H E E H E E H E E H E E H E E H E E H E E H E E H E E H E E H E E H E x y k γ Fgua 4.4 Mdl d nda plana unfm. Os camps sã cnds m plans paalls s dsbum unfmmn nssas supfícs. A nda s ppaga na dçã ppndcula as plans. k é dnmnad d v d nda. Caacíscas gas d ppagaçã d ndas planas Analsand a quaçã (4.68, cncluíms qu, s s camps sã cnsans n plan x-y d ssma d cdnadas, as cnsans γ x γ y dvm s nulas paa a nda plana unfm. S das as cmpnns d camp êm sluçã gal dada p (4.68, nã, paa a nda plana unfm n ssma d fênca msad na Fgua 4.4, pdms scv s camps na fma: + γ γ (4.69 E Em + Em + γ γ (4.70 H H + H m m + nd d acd cm (4.64, γ γ, ps γ x γ y 0. As ampluds E m, E + m, H m, H m sã cnsans qu dvm s dmnadas a pa das cndçõs d cnn m laçã à dçã d ssma d cdnadas. Esas cndçõs pdm sa lacnadas, p xmpl, a nnsdad da nda m uma ca psçã spcfcada u a pssívl cênca d flxõs n m. Msams qu s ms qu s smam nas quaçõs (4.69 (

21 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams psnam ndas qu s ppagam m snds pss na dçã. O + γ pm m n sgund mmb d (4.69, E m, p xmpl, cspnd a uma nda d camp léc ppagand-s n snd > 0 sgund γ m, E m, cspnd a uma nda d camp léc ppagand-s n snd < 0. Esss ms xsm smulanamn apnas s huv adaçã a pa d mas d uma fn m snds pss u n cas d um m nã hmgên nd ca flxã m uma nfac pdund uma nda flda qu s ppaga m snd ps a da nda ncdn. Essas mpans cêncas sã aadas punamn. N mmn dsjams cnsda apnas a ppagaçã n snd > 0 paa uma únca fn lcalada m um m hmgên sópc (naualmn, pdíams cnsda apnas a ppagaçã n snd ngav, mas as cnclusõs sam dêncas. Assm snd, ms: (4.7 E γ E m (4.7 H γ H m Esas quaçõs dscvm a dsbuçã spacal ds camps m uma nda plana unfm s ppagand n snd > 0, snd qu E m H m sã s vals máxms dsss camps. Já qu s aa d uma análs fasal, s sulads (4.7 (4.7 dscvm s fass d camp. A dpndênca mpal ds camps, cm s sab, é d p mncmáca, u sja, cm uma fqüênca únca, snd sa dfnda pla fn. Subsund (4.7 (4.7 nas quaçõs d Maxwll, pdms b mpans laçõs n s camps da nda plana. P xmpl, subsund na quaçã da L d Amp dada m (4.7, ms: γ γ (4.73 ( Hm ( σ + jωε Em Aplcand a ppdad fasal (C.0 cnsdand qu H m é cnsan, m d lad d d (4.73 pd s sc na fma: γ γ H H (4.74 ( ( γ m Lvand ss m (4.73, bms mpan sulad: m 98

22 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams σ + jωε (4.75 Hm Em γ qu msa qu v d camp léc é ppndcula a camp magnéc à dçã d ppagaçã da nda. Façams aga msm cm a L d Faaday dada m (4.3: γ γ γ (4.76 ( E ( E γ jωμh m qu ns lva a sgun laçã: jωμ (4.77 Em Hm γ m qu ns msa qu camp magnéc é ppndcula a camp léc à dçã d ppagaçã. A Fgua 4.4 msa um squma pssívl n qual s camps sasfam as xgêncas gmécas mplícas nas quaçõs (4.75 (4.77, u sja, camp léc smp na dçã x camp magnéc smp na dçã y. O V K nsa fgua é dnmnad d v d nda, snd dfnd pla xpssã: (4.78 K γ Assm, cncluíms qu m uma nda plana, s vs d camp sã ppndculas n s suam-s n plan ansvsal à dçã d ppagaçã da nda. Essas ndas sã chamadas d ndas ansvsas lmagnécas cbm a sgla TEM. Uma ua mpan cnclusã a sp das quaçõs (4.75 (4.77 é qu las lvam a uma laçã d ppcnaldad n as nnsdads ds camps da nda lmagnéca ndpndn da psçã n spaç. As laçõs n as nnsdads ds camps bdas a pa dssas quaçõs pdm s scas na fma: jωμ (4.79 Em Hm γ σ + jωε (4.80 Hm Em γ m 99

23 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Dfn-s a mpdânca caacísca d m, smblada p Z, cm snd qucn n as ampluds cmplxas d camp léc d camp magnéc ppndcula. A pa d (4.7 (4.7, ms: (4.8 E Z m Hm Usand as laçõs (4.79 (4.80 é fácl msa qu: (4.8 Z jωμ σ + jωε Esa é a xpssã gal da mpdânca caacísca d um m lmad nd as ppdads σ, μ ε sã guas m ds as psçõs dçõs d spaç. N qu a mpdânca caacísca d um m pd s uma quandad cmplxa pd dpnd da fqüênca da nda. Em um m nã cndu, nan, a mpdânca caacísca é al ndpndn da fqüênca, pdnd s sca na fma mas smpls: μ μ μ μ (4.83 Z 376, 8 Ω ε ε ε ε Pan, n vácu ms Z 376, 8 Ω. O msm val apxmad é aplcávl paa a ppagaçã d ndas na amsfa us ambns cnnd gass afs. D fa da mpdânca caacísca s uma quandad cmplxa m um m cndu dvd à laçã (4.8, cncluíms qu as ampluds E m H m dvm s psnadas p núms cmplxs. Assm, usand as fêncas ndcadas na Fgua 4.4 a naçã fasal ndcada m (4.0, pdms scv E m H m na fma: jθ (4.84 E m x jθ (4.85 H h h y m Pdms ambém psna a mpdânca caacísca na fma pla: (4.86 Z Z jφ 00

24 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams D acd cm a quaçã (4.8 as ampluds s ânguls d fas ncal ds camps s lacnam n s aavés da mpdânca caacísca p m das quaçõs: (4.87 Z h (4.88 θ θ φ h A mpdânca caacísca pd ambém s xpssa na fma angula: (4.89 Z R + jx nd nã Ré a ssênca caacísca X é a aânca caacísca d m. Pdms aga b xpssõs mas nfmavas sb a fma ds camps da nda plana fand as subsuçõs das quaçõs (4.84 (4.85 paa as ampluds ds camps nas quaçõs (4.7 (4.7. Além dss, lmband qu a cnsan d ppagaçã é um núm cmplx, fams a sua subsuçã pla xpssã dada m (4.47. Cm ss, bms: (4.90 E α j( β θ x (4.9 H h α j( β θh y Esas xpssõs msam qu an as fass quan as ampluds ds camps vaam cm a dsânca pcda pla nda lmagnéca. As ampluds dcam xpnncalmn cm a ppagaçã da nda, p ss, a cnsan α é dnmnada d cnsan d anuaçã. A fas da nda vaa lnamn cm a dsânca pcda, p ss a cnsan β é dnmnada d cnsan d fas. Pdms passa aga a dmín d mp aplcand a ansfmaçã ndcada nas quaçõs (4. (4.: j ω α (4.9 R[ E ] cs( ω β + θ x j ω α (4.93 h R[ H ] h cs( ω β + θ y Na sqüênca analsams cass paculas d gand mpânca. h 0

25 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Ondas m ms nã dsspavs Um maal é nã dsspav s nã absv nga da nda lmagnéca. Pdms adana qu ds s maas absvm nga lmagnéca m algum nívl, pl mns m algumas faxas d fqüênca. A análs spcal da absçã d nga uas ppdads dpndns da fqüênca sá bj d sud m us capíuls. P a qums sablc as caacíscas d ppagaçã d ndas lmagnécas quand maal nã absv quandad sgnfcava d nga a pa da naçã d suas paículas cm s camps. Nsa cndçã pdms d d mana basan gal qu m é nã cndu, u sja, qu sua cnduvdad é nula u dspívl (ns cas sams ns fnd nã smn a cnduvdad paa camps sács, mas sm a cnduvdad al paa camps vaávs n mp. Pan, paa s bjvs dsa análs, d maal nã cndu cnsu um m nã dsspav. Paa um maal m qu σ 0, a cnsan ppagaçã dada m (4.47 assum val: (4.94 γ j ω με, pan, a cnsan d anuaçã é nula. A cnsan d fas, p sua v, é dada p: (4.95 β ω με ω μ ε μ ε ωn μ ε A cnsan caacísca d m n μ ε é dnmnada d índc d façã d maal. Cnfm d na sçã 3., a cnsan unvsal c 8 ( μ 3x0 m ε s é dnmnada d vlcdad da lu n vácu. Enã, (4.95 pd s sca na fma alnava: n (4.96 β ω c Em um m nã dsspav, s camps da nda lmagnéca plana sã scs na fma smpls: (4.97 cs( ω β x 0

26 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (4.98 h h cs( ω β y Obsv qu scvms s camps cm msm ângul d fas ncal nul. Iss é pssívl pqu a mpdânca d m é al, pan, s camps sã m fas. Assm snd, nã há sçã alguma m cnsda ambs s ânguls nuls. A Fgua 4.5 msa uma psnaçã squmáca ds camps dsbuíds m uma nda lmagnéca plana m um m nã dsspav. Cada psçã n x dfn um plan qu cném s vs d camp léc magnéc. Em cada plan, as nnsdads fass dsss camps sã unfms s vs êm smp a msma dçã snd. Cada um dsss plans é dnmnad d fn d nda. Cada fn d nda é caacada p uma fas cnsan. Nas quaçõs (4.97 (4.98 vms qu as fass ds camps dpndm d mp da cdnada d psçã, p ss, m cada nval nfnsmal d a fn d nda s dslca uma dsânca nfnsmal d d md qu a vaaçã al d fas ds camps sja nula. Assm, ms: (4.99 d ( ω β ωd βd 0 Chamams d vlcdad d fas da nda qucn n d d. A Fgua 4.6 msa a dsbuçã d camp léc na nda lmagnéca m vás nsans d mp. Pdms d qu a nda sá s dslcand na dçã snd > 0 cm a vlcdad d fas. D acd cm a quaçã an, a vlcdad d fas d uma nda plana m um m nã dsspav é dada p: (4.00 v d d ω β n μ ε c n Ond úlm m f bd d (4.95. Cm índc d façã é n vácu ma d qu ss val paa qualqu m maal, cncluíms qu a vlcdad d dslcamn da nda lmagnéca é n máxm gual a c s m f vácu, sá smp mn paa qualqu u m. Um ccl cmpl ds camps mncmács c m um nval d mp T, chamad d píd da nda, al qu a vaaçã d fas cspndn sja π, u sja: 03

27 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams h h h h k Fgua 4.5 Rpsnaçã ds camps da nda plana dsbuíds m uma lnha paalla à dçã d ppagaçã. Smn s camps máxms fam ndcads. ( 3 3, (, (, 3 Fn d nda fas π ad ω β π Fgua 4.6 Dslcamn da nda na dçã d ppagaçã. Uma fn d nda s dslca assumnd dfns psçõs m dfns nsans d mp. A fas na fn d nda, cnud, nã vaa. 04

28 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (4.0 π T ω f Ond f é a fqüênca xpssa m ccls p sgund, u sja, H. Nss nval d mp, a nda s dslca uma dsânca λ dnmnada d cmpmn d nda. As laçõs d cmpmn d nda as dmas gandas já dfndas sã: π (4.0 λ vt β Cm as dfnçõs d T λ, pdms scv (4.97 (4.98 m uma fma alnava: (4.03 cs π( x T λ (4.04 h h cs π( y T λ Esas xpssõs vdncam caá pódc n mp n spaç ds camps da nda lmagnéca. Em qualqu psçã spcífca, a cada nval d mp gual a T, a fas da nda é acscda d π adans, u sja, ala um ccl cmpl d vaaçã ds camps. P u lad, m qualqu nsan d mp, duas fns d nda spaadas pla dsânca λ m sus camps xaamn m fas. Fnalmn, m um m nã dsspav s camps êm amplud unfm a lng d d cmpmn d ppagaçã da nda ssas ampluds sã lacnadas pla mpdânca d maal, qu m apnas pa al nula, sgund a xpssã: R nã (4.05 h R μ ε Exmpl 4. Uma anna na supfíc da Ta ada spcamn na amsfa cm uma pênca máxma p 00 W fqüênca 00MH. Cnsdand a supfíc da Ta cm snd pfamn fla, cncluíms qu da a pênca aplcada na anna pla fn é acplada à nda 05

29 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams lmagnéca gada na amsfa. S a pênca s ppaga spcamn aavés da áa π da sm-sfa d a acma da supfíc (v Fgua 4.7, a dnsdad d pênca adada é: p (Ex. s π S usams mdl d nda plana ansvsal paa dscv a ppagaçã aavés d uma pquna áa na fn d nda, pdms ula a laçã (4.05 na xpssã d v d Pynng paa b a pa d (Ex.: p (Ex. h Rh R π Cm ss, a uma dsânca da anna, a nnsdad ds camps é dada p: (Ex.3 R p π p (Ex.4 h πr A nda s ppaga na dçã adal cm amplud dcscn. A pa d uma gand dsânca, uma áa lmada na fn d nda pd s apxmada p um plan ppndcula à dçã d ppagaçã. Pdms subsu nas quaçõs ans paa b as ampluds da nda plana cspndn nsa áa. Cm val p 00 W Ω, na dsânca d 000 m R da anna, d acd cm (Ex.3 (Ex.4, as ampluds ds camps sã 7,74x0 - V/m h,06x0-4 A/m. Os dmas paâms da nda sã: _vc3x0 8 m/s 8 _ ω πf πx0 ad/s πf _ β, 09 ad/m c 8 _ T 0 s 0 ns f c _ λ 3 m f 06

30 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams ( a x ( b y Fgua 4.7 (a Rpsnaçã squmáca da adaçã d uma fn sópca aavés d uma supfíc sm-sféca. (b Mdl d nda plana ansvsal aplcad a uma pquna áa da fn d nda. Dfnnd a dçã d ppagaçã ppndcula a plan cm snd a d x, pdms scv as xpssõs ds camps paa + na fma: (Ex.5-8 7,74x0 cs(πx0,09 x ( V/m (Ex h,06x0 cs(πx0,09 y ( A/m nd é a dsânca ppndcula mdda a pa d plan as dçõs x y sã paallas a ss plan (Fgua 4.7. Ondas m ms dsspavs Um maal dsspav absv nga da nda na mdda m qu la s ppaga. Em qualqu fn d nda cnsdada, flux d pênca anspada pla nda, dada pl v d Pynng, dmnu na mdda m ssa fn d nda s afasa da fn. Incams bnd xpssõs paa a 07

31 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams mpdânca caacísca paa a cnsan d ppagaçã n m. A pa d (4.47, ms: (4.06 γ jωμσ ω με α β + jαβ Pdms spaa sa xpssã m duas quaçõs smulânas paa α β: β α ω με (4.07 αβ ωμσ Cuja sluçã ns lva as vals da cnsan d anuaçã da cnsan d fas: ωμ (4.08 α σ + ω ε ωε (4.09 σ + ω ε β ω με + ωε A pma bsvaçã a fa é qu a cnsan d anuaçã é nã nula, u sja, s camps léc magnéc da nda sã anuads pl m xpnncal qu apac nas quaçõs (4.9 (4.93. Em sgund luga, a cnsan d anuaçã dpnd da fqüênca, u sja, ndas d dfns fqüêncas sfm anuaçõs dfns m um msm maal dsspav. Fnalmn, bsvams qu a cnsan d fas apsna uma dpndênca bm mas cmplxa cm a fqüênca d qu n cas d m nã dsspav. Cm vms na sçã an, a vlcdad d fas m um m nã dsspav é uma cnsan caacísca d maal ndpndn da fqüênca. Is c pqu β é damn ppcnal a ω. Em um m dsspav, p u lad, β nã é ppcnal a ω a vlcdad d fas (dada m.00 dpnd da fqüênca da nda, s é, ndas d dfns fqüêncas s ppagam cm vlcdads dfns. A dpndênca d α cm ω a dpndênca anômala d β cm ω causam um mpan f d dsçã spcal m snas lmagnécs cmpss d muas fqüêncas. Is sá sudad mas ad ns capíul. As quaçõs (4.08 (4.09 sã xpssõs mu cmplxas paa usa m das as suaçõs, pncpalmn quand lvams m cna a vaaçã das 08

32 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams ppdads σ, μ ε cm a fqüênca. Em algumas suaçõs d nss pác pdms b xpssõs apxmadas paa α β. P xmpl, s σ << ωε, a cnsan d ppagaçã pd s apxmada p: σ σ σ μ (4.0 γ jω με j jω με j + jω με ωε ωε ε d md qu as cnsans d anuaçã fas pdm s apxmadas p: (4. σ α μ ε (4. β ω με Ns cas, α nã dpnd da fqüênca β é ppcnal a ω. Esa suaçã c pncpalmn m cndus pbs (água d ma p xmpl na faxa d mcndas fqüêncas sups. P u lad, s apxmaçã pssívl paa γ sá: (4.3 γ jωμσ ωμσ + j ωμσ as cnsans d anuaçã fas pdm, nã, s apxmadas p: σ >> ωε, a (4.4 α ωμσ (4.5 β ωμσ Esa suaçã é ípca d mas m pacamn da a faxa d fqüêncas d nss pác, nclund lu vsívl. A vlcdad d fas d uma nda lmagnéca m um m dsspav, cnfm já xplcad acma, dpnd da fqüênca da nda. D acd cm (4.00 (4.09, a xpssã gal da vlcdad d fas é: (4.6 v + σ c n + ω ε ωε 09

33 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams nd, cm ans, usams a dfnçã d índc d façã n μ ε d maal. Esa xpssã ambém é mu cmplxa smp qu pssívl pfms ula apxmaçõs. Paa σ << ωε, a quaçã (4. ns pm cnclu qu a vlcdad d fas é ndpndn da fqüênca é dada pla msma xpssã aplcávl a maas nã dsspavs. Cnud, paa a quaçã (4.5 ns pm scv a vlcdad d fas na fma: σ >> ωε, (4.7 v ω μσ qu ns msa qu a vlcdad aumna cm a a quadada da fqüênca. Obvamn sa cnclusã sá subdnada a cndçã ω << σ. ε A mpdânca caacísca d um maal dsspav ambém dpnd da fqüênca da nda. A xpssã gal dada m (4.8 ambém pd s dsnvlvda paa as duas cndçõs d apxmaçã já usadas anmn. N pm cas, s a cnduvdad é pquna u a fqüênca é sufcnmn ala paa qu a cndçã apxmada p: (4.8 Z μ j ε σ ωε σ << ωε sja válda, nã a mpdânca pd s μ + j ε σ ωε μ ε + j σ ωε Ns cas, a ssênca a aânca caacísca d maal pdm s apxmadas p: μ ε (4.9 R μ ε (4.0 X σ ωε μ ε A ssênca m a msm val qu a s m fss nã dsspav. A aânca dmnu cm aumn da fqüênca, d md qu a pa d algum val lm, m s cmpa cm nd mpdânca al. N u cas, paa σ >> ωε, a mpdânca caacísca pd s apxmada p: (4. Z jωμ σ ωμ σ + j ωμ σ 0

34 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams qu ns pm scv as xpssõs apxmadas: (4. (4.3 R X ωμ σ ωμ σ (4.4 Z ωμ σ (4.5 π φ 4 Vms nã qu a ssênca a aânca sã guas, d pqun val qu aumnam cm a fqüênca. Além dss, bsvams qu ângul pla da mpdânca é um val fx, qu ndca qu a dfasagm n camp léc magnéc é ndpndn da fqüênca paa ω << σ ε. Cm φ é psv, camp magnéc sá aasad d 45 m laçã a camp léc. Quand uma nda lmagnéca plana pna m um m dsspav, as ampluds ds camps passam a dmnu xpnncalmn cm a dsânca pcda. A Fgua 4.8 msa a dsbuçã d camp léc m uma nda anuada a pa da gm d ssma d cdnadas. D acd cm (4.9 a amplud d camp léc é dada p: (4.6 m α nd é a dsânca pcda dn d m dsspav é a amplud na gm. Dfn-s a pfunddad d pnaçã δ n m cm snd a dsânca pcda p qualqu fn d nda aé a psçã nd a amplud é gual a m ( δ, qu sgnfca uma anuaçã d cca d 63% m laçã a gm. Pla quaçã (4.6 vms qu a pfunddad d pnaçã é gual a nvs da cnsan d anuaçã. (4.7 δ α Pan, δ dpnd da cnduvdad d m da fqüênca da nda. Na cndçã σ << ωε, usand (4., pdms scv δ na fma:

35 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (4.8 δ σ ε μ paa σ >> ωε, usand (4.4, ms: (4.9 δ ωμσ As Tablas a sgu summ as quaçõs qu dfnm as caacíscas d ppagaçã d ndas planas m ms lmads msa a dpndênca d alguns paâms cm a fqüênca. 0.8 (, δ cs 0 T 0.5 0, , ,75 π ( T λ Fgua 4.8 Dsbuçã d camp léc m uma nda qu pna m um m dsspav m qua nsans d mp. A gm 0 cspnd à supfíc d nada n m. A amplud d camp nsa psçã é unáa. δ é a pfunddad d pnaçã. δ Exmpl 4. Vams calcula s paâms d ppagaçã paa uma nda lmagnéca na água salgada m ês fqüêncas: KH, MH 00MH cmpaa cm s vals cspndns paa vácu. Cnsdams σ S / m, ε 8 μ, ndpndnmn da fqüênca. O cálcul d

36 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams cada paâm é uma aplcaçã da das fómulas dsnvlvdas nas duas úlmas sçõs. A Tabla 4.5 msa s sulads bds. As pncpas dfnças qu s bsva sã: N vácu, a cnsan d anuaçã é nula m qualqu fqüênca. Na água salgada, α é nã nula aumna cm a fqüênca. A vlcdad d fas n vácu é ndpndn da fqüênca. Na água salgada a vlcdad d fas é mu mn qu n vácu, mas aumna cm a fqüênca. 3 A mpdânca d vácu é al ndpndn da fqüênca. A mpdânca da água é cmplxa, mu baxa m laçã a vácu mas aumna cm a fqüênca. 4 O cmpmn d nda na água é bm mn qu n vácu paa as fqüêncas analsadas. 5 N vácu, a nda pc qualqu dsânca sm anuaçã. Na água, a pfunddad d pnaçã é fna dmnu cm aumn da fqüênca. A pfunddad δ % é a dsânca pcda pla nda aé a psçã nd sua amplud é % d val na supfíc nd supsamn f dfnda a gm d psçã. Enga Tanspada pla Onda Elmagnéca Vms n Capíul 3 qu a nga fncda plas fns na caçã d dsbuçõs d caga, cns camps asscads é amanada n spaç cm dnsdad dpndn d quadad da amplud ds camps. P u lad, n Apêndc 4. vms qu a nga é anspada m um ssma lmagnéc cm um flux d pênca cm uma dnsdad supfcal dada pl v d Pynng. Em uma nda lmagnéca, flux d pênca c na dçã snd d ppagaçã da nda. Pdms d nã qu a nnsdad da nda, u sja, a pênca anspada p undad d áa na fn d nda, é dada p: (4.30 s h 3

37 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Além dss, ma d Pynng sablc uma laçã n a axa d vaaçã da dnsdad d nga amanada w w + w, a dnsdad d pênca dsspada p dss dvgn d v d Pynng qu pd s sca na fma (Fgua 4.9: w (4.3 s pdss nd: d (4.3 w δd ε 0 b (4.33 wm h δb μ h 0 (4.34 pdss j σ Nsas ês úlmas quaçõs, s ms após a pma gualdad sã as xpssõs gas s ms após a sgunda gualdad sã as xpssõs váldas paa maas lnas. Cnud, as quaçõs (4.30 a (4.34 sã laçõs nsanânas fqünmn sams mas nssads ns vals méds da pênca anspada, dsspada amanada. Iss c pqu, m alas fqüêncas, a mdçã d vals nsanâns d nga u pênca é dfícl d puc val pác, já qu s fs da absçã d nga lmagnéca pls maas (cm aumn da mpaua, aclaçã d açõs químcas, c. sã pcsss mu mas lns qu spndm a val méd da pênca absvda. O val méd d v d Pynng é calculad a sgu. Cm s camps h sã pódcs, pdms calcula s vals méds n nval d mp cspndn a um píd T. Usand as quaçõs (4.9 (4.93 paa s camps da nda plana, bms v d Pynng méd s pla xpssã: T T α (4.35 s h d h cs( ω β + θ cs( ω β + θh d T 0 0 m 4

38 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams S ( + w w m S S S p dss S Fgua 4.9 Rpsnaçã d ma d Pynng. A pênca dn d vlum. A pênca S S p undad d áa flu paa flu paa fa d vlum. A dfnça n s fluxs d pênca cspnd à pênca dsspada mas a axa d vaaçã da nga lmagnéca amanada n vlum. Usand a dndad gnméca: cs( acs(b cs(a + b + cs(a b, pdms scv (4.35 na fma: T T α (4.36 s h cs(ω β + θ + θh d + cs( θ θh d T 0 0 A pma ngal é nula a sgunda é gual a d Pynng méd na fma: α (4.37 s h csφ T cs φ. Assm, bms v 5

39 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams O v d Pynng méd xpssa val méd mpal da dnsdad supfcal d pênca anspada pla nda aavés d uma fn d nda na dçã snd d ppagaçã. Calculms aga a dnsdad méda mpal d nga amanada ns camps léc magnéc da nda. Paa a nga léca, usand a quaçã (4.9 paa camp, ms: T ε α (4.38 w ε d cs ( ω β + θ T T Usand a dndad gnméca 0 T 0 d cs a + cs a, cnhcnd qu a ngal n píd T d cs( ω + ξ é nula paa qualqu ξ cnsan, bms a dnsdad méda mpal d nga léca na fma: (4.39 w 4 ε α d md análg pd-s msa qu a dnsdad méda mpal d nga magnéca numa nda mncmáca é dada p: α (4.40 wm μh 4 Fma fasal ds camps Fma mpal ds camps Tabla 4.3 Caacíscas das ndas planas m ms lmads gal E α j( β θ x H h α j( β θh y α cs( ω β + θ x α h h cs( ω β + θ y h m nã dsspav jβ E x jβ H h y cs( ω β x h h cs( ω β y Impdânca caacísca Z jωμ σ + jωε Z μ ε Cnsan d ppagaçã γ jωμ( σ + jωε γ j ω με 6

40 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Cnsan d anuaçã α ωμ σ + ω ε ωε α 0 Cnsan d fas σ + ω ε β ω με + ωε β ω με Vlcdad d fas ω v β v μ ε μ ε c n Cmpmn d nda π λ β λ c nf Cnsan d anuaçã Tabla 4.4 dpndênca das caacíscas d ppagaçã cm a fqüênca gal σ << ωε σ >> ωε ωμ σ μ ωμσ α σ + ω ε ωε α α ε Cnsan d fas σ + ω ε β ω με + ωε β ω με β ωμσ Vlcdad d fas v + σ c n + ω ε ωε v c n v ω μσ Impdânca caacísca jωμ Z R + jx σ + jωε R X μ ε σ ωε μ ε R X ωμ σ ωμ σ Pfunddad d pnaçã δ α δ σ ε μ δ ωμσ 7

41 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Fnalmn dvms b a pênca méda dsspada p undad d vlum: (4.4 pdss T α σ d σ T 0 O ma d cnsvaçã d nga xpss m (4.3 vdnmn nã s aplca as vals méds da nga pêncas calculadas acma. A fm d b uma dscçã quvaln a ma d Pynng válda paa s vals méds, dvms fa um dsnvlvmn smlhan a qu f f n Apêndc 4. paa ma d Pynng, mas aga usand as quaçõs fasas d Maxwll. Incams cm a l d faaday cm cnjugad cmplx da quaçã da l d Amp: (4.4 E jωμ H (4.43 H ( σ jωε E Aga, mulplcams scalamn (4.4 p H (4.43 p E, bnd: E H jωμ H H jωμ H (4.44 ( (4.45 ( H E ( σ jωε E E ( σ jωε nd H h α E α E. Smams (4.44 (4.45 paa b: (4.46 ( E H ( H E σ E + jωε E jωμ H Usand aga a dndad val ( f g ( f g ( g f scv sa quaçã na fma: (4.47 ( E H σ E jω μ H ε E, pdms Mulplcand ambs s ms p, dfnnd v d Pynng cmplx pla xpssã: (4.48 S E H 8

42 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Tabla 4.5 Cmpaaçã n as caacíscas d ppagaçã n vácu na água salgada σ S / m, ε 8 μ. KH MH 00MH Ppdad vácu água vácu água vácu água α (Np/m 0 0,068 0,98 0 5,97 β (ad/m,096x0-5 0,068 0,0,99,096 4,7 v (m/s 3x0 8 x0 5 3x0 8 3,6x0 6 3x0 8,54x0 7 λ (m 3x ,6 3 0,54 δ (m 5,9 0,50 0,063 δ % (m 73,3,3 0,88 R (Ω 376,8 0, ,8,99 376,8,53 X (Ω 0 0,068 0,98 0 4,56 Z (Ω 376,8 0, ,8,8 376,8 6,83 φ (ad 0 0, , ,574 φ ( ,87 0 3,88 Obms a quaçã quvaln d ma d Pynng na fma fasal nvlvnd s vals méds da nga das pêncas: S p j ω w w (4.49 ( dss m Esa quaçã é quvaln a (4.3. Cnud, xsm cncs nvs m (4.49, s quas nã fam anda dvdamn xplads. O v d Pynng cmplx, p xmpl, é uma quandad cmplxa, u sja, m pa al pa magnáa. Em (4.49 pdms, nã, subsu S S + js. D acd cm (4.49, as pas al ( S a magnáa ( S d v d Pynng cmplx sã asscadas as ms d lad d p m das quaçõs: (4.50 S a pdss (4.5 S ω ( wm w Vms nã qu S a sá asscad a dsspaçã d pênca n spaç. Es m, nã, psna a dnsdad d flux d pênca ava anspada pla nda. A quaçã (4.50 ns msa qu s m é dsspav, a nda pd a 9

43 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams pênca ava na fma d abalh alad sb as paículas móvs cagadas, qu mplca m aqucmn d maal us pssívs fs. P u lad, S sá asscad à nga méda amanada n m. Os ms qu apacm n lad d d (4.5 êm undad d dnsdad vluméca d pênca. Dfnms a dnsdad d pênca ava pla xpssã: (4.5 p ω ( w w m A pênca ava é val méd da axa d vaaçã da nga amanada n m. Ela m duas cnbuçõs, a pênca ava léca a pênca ava magnéca, cujas dnsdads vlumécas sã dadas p: (4.53 p ω w (4.54 p m ω wm A pênca ava pd s ngava, s pvalc a nga léca, pd s psva, s pvalc a nga magnéca, u pd s nula, s ambas sã guas. A cndçã d pênca ava nula smp c paa ndas planas s ppagand m ms sm pdas, ps nss cas w, cm s pd ddu faclmn subsund-s (4.05 m (4.39 (4.40. Fnalmn, pdms dmnsa qu a pa al d v d Pynng cmplx é gual a val méd mpal d v d Pynng n dmín d mp. Esa vfcaçã é faclmn bda, subsund-s s fass d camp dads p (4.90 (4.9 m (4.48: (4.55 S h α j α ( β θ α j x h ( β θh y m [ ] w ( θ θh α jφ ( x y h j As pas al magnáa d v d Pynng cmplx sã, nã: α (4.56 Sa h cs φ α (4.57 S h snφ 0

44 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Enã, ma d Pynng paa ndas mncmácas n dmín da fqüênca pd s xpss plas sguns ls d cnsvaçã: (4.58 S p pdss j ω ( wm w (4.59 a S pa pdss S p ω w w (4.60 ( nd a m p p + j p é a dnsdad vluméca d pênca méda al, qu m cm pa al, a dnsdad d pênca ava (pênca dsspada cm pa magnáa a dnsdad d pênca ava (vaaçã n mp da nga amanada. As xpssõs acma s fm a ms passvs, u sja, nd nã xsm fns. S vlum analsad cném fns d nga lmagnéca, nã as paclas cspndns d pênca dvm s adcnadas as sgunds ms nssas quaçõs, u sja: (4.6 S ps p (4.6 Sa psa pa (4.63 S ps p nd p p + j p é a dnsdad d pênca fncda plas fns. A Tabla s sa s 4.6 sum as laçõs d nga sudadas nsa sçã. Obsv qu m um m nã dsspav, an a dnsdad d pênca ava quan ava sã nulas (ps σ 0 w m w, pan, ma d Pynng sula m S 0. Tabla 4.6 Rlaçõs d nga paa a nda lmagnéca Tma d Pynng w s p n dmín d mp d V d Pynng α s h cs méd φ Dnsdad méda d nga léca Dnsdad méda d nga magnéca w wm α ε 4 α μh 4

45 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Dnsdad méda d pênca dsspada V d Pynng Cmplx Tma d Pynng fasal Dnsdad d Pênca ava Dnsdad d Pênca ava Dnsdad d Pênca al Pncíp d cnsvaçã d nga lmagnéca S p α pdss σ S E H S + j pa dss pdss p p p m j ω a S ( w w m α σ p + p ω w ω w p p + j S p Sa S m m a p s p p p sa s p p a Exmpl 4.3 A amplud d camp léc na supfíc plana d um vlum cndu sm-nfn f mdda cm snd V/m sua fqüênca a 30 MH. Vams calcula a pênca al ava ava absvda pl maal p undad d áa da supfíc plana. Cnsdams qu m m s sguns vals das cnsans lmagnécas: σx0 7 S/m, ε μ. Uma v qu σ >> ωε pdms aplca a apxmaçã paa bns cndus: (Ex.7 α ωμσ Np / m ωμ 3 (Ex.8 Z 4,87 x0 Ω σ π (4.5 φ 4 A amplud d camp magnéc na supfíc é: (Ex.9 h 05 A / m Z

46 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams A pênca ava p undad d áa é dada pla ngal da dnsdad d pênca p a α pdss σ m um vlum n qual a áa da supfíc é unáa cmpmn é nfn na dçã. lmn d vlum ns cas é dv d. ms nã: (Ex.0 Pa α pdss d σ d m σ 7,6 W / m α D md análg vams calcula pênca ava p undad d áa pla ngal da dnsdad d pênca p ω ( w w unáa. (Ex. n vlum d áa α ω wm d ω w d ω μh d ω ( μh ε 7,3 W / m P m ω 4α m ε 4 α Evdnmn, nã é p cncdênca qu as pêncas ava ava n m sjam pacamn guas. Acnc qu flux d pênca paa n d vlum cndu m pas al magnáa pacamn guas, m vud d ângul pla da mpdânca caacísca d m s apxmadamn 45. Pdíams bd s msms sulads smplsmn calculand as cmpnns al magnáa d v d Pynng cmplx na supfíc. D acd cm (4.56 (4.57, bíams: (Ex. Sa( 0 h cs φ 7,5W / m (Ex.3 S ( 0 h snφ 7,5W / m Os vals nã cncdm xaamn cm s calculads anmn m vud das apxmaçõs n cálcul d h φ. Ess sulads lusam mu bm pncíp d cnsvaçã d nga xpss n ma d Pynng. A pênca ava dsspada n vlum é xaamn a msma pênca qu sá d 3

47 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams flund paa dn d vlum aavés d sua supfíc. O msm acnc cm a pênca ava. Exmpl 4.4 A Fgua 4.0 msa uma fn submsa n ma a uma pfunddad R qu sá adand spcamn cm pênca ava P sa na fqüênca f. Vams calcula a nnsdad d snal na supfíc. Ns cas, a fn d nda nã é plana, sm sféca. A pênca gada s spalha aavés d uma supfíc sféca cnada na fn cm dnsdad unfm. S m fss nã dsspav, v d Pynng a apnas pa al su módul sa dad p: Psa (Ex.4 Sa 4π Enã, dscnsdand ncalmn a dsspaçã d pênca na água, pdms ula (4.56 cm α 0 paa calcula a nnsdad d camp léc gad: (Ex.5 a S Z P cs φ 4π sa Z Psa πcs φ Ou sja, dvd a spalhamn da nga, camp léc nd a dmnu cm nvs da dsânca aé a fn. Cnud, cm a nda s ppaga m um m cndu, s camps sfm uma anuaçã adcnal dvd à dsspaçã d pênca. A dnsdad d pênca dsspada é dada p (4.4. Assm, ms: α α σ Z (Ex.6 pdss σ Psa 4πcs φ A nnsdad d snal adad na supfíc s lacna cm a pênca gada pla fn P sa cm a pênca dsspada n vlum sféc cspndn à pfunddad R, aavés d ma d Pynng. Em vud d ma d Gauss, flux d pênca ava paa fa da supfíc sféca d a R cnada na fn pd s calculad p: (Ex.7 S n ds S dv S a V a 4

48 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams supfíc S sup R P sa Fgua 4.0 Uma fn submsa ada spcamn a pênca P sa. N xmpl 4.4 calculas a nnsdad d snal qu alcança a supfíc. A nnsdad é calculada mdaamn abax da supfíc. Subsund S a d acd cm (4.6, bms: (Ex.8 S n ds p dv p dv S a V sa V dss Mas, supnd qu a adaçã é sópca, v d Pynng é adal unfm na supfíc sféca. Assm, ms: (Ex.9 S n ds 4πR S S a a A pma ngal n lad d d (Ex.8 é smplsmn a pênca al fncda pla fn, P sa. A sgunda ngal pd s calculada, subsund-s (Ex.6 usand lmn d vlum dv 4π d. Assm fand, bms: 5

49 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (Ex.0 V pdss dv R 0 pdss Z R σ α 4π d Psa d cs φ 0 σ Z αr Psa( α cs φ Pd-s msa qu cfcn uná. Assm, ms: σ Z α cs φ nsa quaçã é dncamn αr (Ex. p dv P ( V dss sa Lvand s sulads ans na quaçã (Ex.8, bms: (Ex. 4π R S a P sa αr u sja, a nnsdad d snal na supfíc é dada p: (Ex.3 Psa αr Ssup 4πR Paa a água d ma, σ 4 S / m ε 8. Cm ss vals, m MH p xmpl, ms α 4 Np / m. Paa uma fn submsa a 0 m d pfunddad gand KW d pênca, a dnsdad d pênca na supfíc é ínfma, sgnfcand qu da a pênca gada pla fn é dsspada na água. A fm d b alguma nnsdad pcpívl na supfíc, é ncssá usa fqüêncas bm mas baxas. P xmpl, m KH cfcn d Anuaçã é ~ 0.6 Np/m a nnsdad dada p (Ex.3 é ~ 64 mw/m. Ns cálcul cnsdams qu a nda s ppaga cm uma nda ansvsal sópca msm nas pxmdads da fn. Esas sã cndçõs qu nã cm cm adads as. Msm assm, xmpl é uma ba lusaçã d pncíp d cnsvaçã d nga xpss n ma d Pynng. Plaaçã da nda lmagnéca Plaaçã d uma nda lmagnéca é um m usad paa dfn a naçã spacal ds vs d camp. Uma nda plana, cm s sab, m sus vs lcalads smp m plans ppndculas à dçã d 6

50 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams ppagaçã, chamads d fns d nda. Mas, a dçã ds vs d camp na fn d nda nã é únca, assm, xsm algumas pssbldads d plaaçã dfns, cnfm msa a Fgua 4.. A plaaçã d uma nda lmagnéca é spcfcada pla dçã d su v d camp léc. Quand s camps sã nads d mp m uma únca dçã, chamams d plaaçã lna. Em vud das fêncas usuas cm as dçõs vcal hnal m ssmas d ansmssã p ndas d ád, é mu cmum ncnams as spcfcaçõs d nda cm plaaçã vcal, quand camp léc sá smp nad na dçã vcal u, nda cm plaaçã hnal, s camp léc sá nad smp na dçã hnal. Ambs s cass fm-s à plaaçã lna. Quand s vs d camp mudam cclcamn d dçã na fn d nda, ms cas gal d plaaçã lípca. Um cas pacula mu mpan da plaaçã lípca é a plaaçã ccula, n qual v d camp léc m smp msm módul, mas sua dçã ga cm vlcdad angula gual à fqüênca angula da nda cm snd há u an-há n plan da fn d nda. Um cas gal d plaaçã lna é dsc quand duas ndas d msma fqüênca msma fas s suppõm m quadaua, u sja, sus vs d camp léc sã ppndculas n s. Sjam nã, as duas ndas s ppagand na dçã, dscas p sus vs d camp léc na fma: (4.64 x x cs( ω β x (4.65 y y cs( ω β y A nda sulan é nã dsca p: (4.66 ( x + ycs( ω β x y O v camp léc sá nad smp na dçã qu fa um ângul θ cm x x, dad p: 7

51 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams y y y y x x x x Plaaçã lna y y Plaaçã ccula x x Plaaçã lípca Fgua 4. Tps d plaaçã da nda lmagnéca. y (4.67 θ ac g x S as ndas qu s suppõm m quadaua svm dfasadas, v sulan nã á uma dçã únca a plaaçã nã sá mas lna. N cas gal a plaaçã sá lípca. Pdms dscv a ajóa d v camp léc pl luga gméc da sua xmdad m laçã à gm m um ssma d cdnadas n plan da fn d nda. Cnsdand qu camp na dçã y sá adanad δ adans m laçã a camp na dçã x, ms: (4.68 cs( ω β + δ y y y Expandnd a funçã mncmáca usand uma dndad gnméca, ms: 8

52 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams y (4.69 cs( ω βcs δ sn( ω β snδ y Pdms scv cs( ω β sn( ω β cm funçõs d camp na dçã x: (4.70 cs( ω β x x sn( ω β x x Subsund ssas laçõs m (4.69 manpuland algbcamn a fm d lmna adcal qu apac m (4.70, bms: x y x y (4.7 a + b c Ond s cfcns a, b c sã dads p: (4.7 a b c x y x sn sn δ δ cs δ y sn δ A quaçã (4.7 é uma psnaçã gal d uma lps n plan ds vs gnas x y. N cas spcífc m qu π δ ± ms: a, b x c 0. Nss cas, a quaçã (4.7 pd s sca na sgun fma: x y x y ( Qu é uma lps cm sus xs cncdnd cm as dçõs x y. S x > y, x ma da lps sá x y saá nad na dçã x, nquan x mn sá y saá nad na dçã y. S x y, s ds xs sã guas ms cas pacula da plaaçã ccula. O snal d ângul d dfasagm dmna snd d açã d v camp 9

53 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams léc al da nda (Fgua 4.. Paa δ > 0 camp ga n snd há (plaaçã ccula squda paa um bsvad qu vê a fn d nda s apxma. Paa δ < 0 camp ga n snd an-há (plaaçã ccula da. y y x y x x y y δ π Plaaçã ccula da y x x x δ π Plaaçã ccula squda Fgua 4. Camps d msma amplud dfasads d ±90 sulam na plaaçã ccula. S a dfasagm n s camps gnas é dfn d ±90, a lps á sus xs nã cncdnd cm as dçõs ds camps x y. Alguns xmpls sã dads na Fgua 4.3. Exmpl 4.5 A nnsdad d uma nda plaada cculamn é db da nnsdad d uma nda plaada lnamn d msma amplud. Vjams pqu. Ns ds cass, camp léc pd s dsc cm snd 30

54 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams sulad da suppsçã ds camps gnas d duas ndas planas. A nnsdad da nda sulan é gual a sma das nnsdads das cmpnns. Em um m nã dsspav, ms: (Ex.4 s x + Z y Z y δ π 6 δ π 3 δ π x δ π 3 δ 5π 6 Fgua 4.3 Cass d plaaçã lípca cm camps d msma amplud. Paa uma nda cculamn plaada, x y, nd é módul d camp léc sulan. Assm, a nnsdad da nda cculamn plaada é dada p: (Ex.5 s Z 3

55 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Cnud, paa uma nda lnamn plaada, ms x y +, nd é a amplud d camp sulan. Lvand ss m (Ex.4, bms: (Ex.6 x + y s Z Z Essa dfnça sug d fa d camp léc sulan na nda cculamn plaada nã vaa m módul, mas apnas m dçã snd. Cm ss a pênca nsanâna adada é cnsan. N cas d plaaçã lna, camp léc sulan m su módul vaand hamncamn, p ss, val méd da pênca adada m fa ½ qu cspnd a val méd d cs ( ω m um píd da nda. Exmpl 4.6 Uma nda lnamn plaada pna m um m dsspav ansópc n qual a cnsan d anuaçã, a cnsan d fas u ambas m vals dfns dpndnd da dçã d camp léc. Vams analsa f da anspa na plaaçã da nda. Cnsdms ncalmn ds vals da cnsan d anuaçã, α x α y paa s camps nas dçõs x y, spcvamn. Cada cmpnn é anuada d uma mana dfn. S a amplud da nda ncdn é su plan d plaaçã fma um ângul θ cm a dçã x, ms: (Ex.7 (Ex.8 x y cs( θ α α sn( θ x y Assm, após um dslcamn nss m, plan d plaaçã á acnad paa uma nva psçã dada p: y (Ex.9 ( α x θ ac g ac g g( θ x Assm, s α x > αy α y, plan d plaaçã ga paa a psçã d plan y. P u lad, s α x < α y, plan d plaaçã ga paa a psçã d plan x. 3

56 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Cm ss, é pssívl b uma ca plaaçã cnhcda paa uma nda cuja plaaçã nã sja cnhcda, a pncíp. Além dss, cm a análs s aplca ambém a ndas cculamn plaadas, cncluíms qu é pssívl cnv a plaaçã d ccula paa lna s a dsânca pcda é sufcn paa anua cmplamn uma das cmpnns. Cnsdms aga f na plaaçã s a anspa afa a cnsan d fas. Chamand as cnsans d fas d β x β y nas dçõs x y, spcvamn, as cmpnns da nda pdm s scas na fma: (Ex.30 x x cs( ω βx x cs ω β + β β (Ex.3 [ ( ] y y y x x y vms qu a cmpnn y d camp léc sf um dfasamn ppcnal a dslcamn da nda, dad p: δ ( βx β y. Cm cnsqüênca, a nda lnamn plaada é cnvda m lpcamn plaada. Rflxã Tansmssã m Infacs Aé aqu ulams cnc d m lmad hmgên paa suda a ppagaçã d ndas lmagnécas planas. Cnud, ssa suaçã é al, ps qualqu m é ncssaamn lmad m xnsã u apsna, dn d algum vlum sufcnmn gand, vaaçõs das ppdads cnduvdad, pmssvdad pmabldad m uma u mas dçõs. Nsa sçã, vams dxa a dalaçã d m lmad hmgên paa suda s fs da vaaçã abupa da mpdânca caacísca m uma ca gã d spaç. Dvd à vaaçã abupa, pdms caaca cm pcsã a xsênca d uma nfac n ds maas cm ppdads lmagnécas dsnas. A fm d smplfca a análs mamáca, cnsdams smn nfacs planas. Cnsdms squma msad na Fgua 4.4. Uma nda lmagnéca gada n m ppaga-s aé a nfac cm m. A ncd na nfac, ds pcsss cm: uma pa da nda ncdn na a m ua pa s ansm paa m. Sug nã uma nda flda uma nda ansmda. É nss bjv nsa 33

57 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams sçã calcula as nnsdads dçõs d ppagaçã dssas ndas lacna ss cm as caacíscas da nda ncdn. m ( σ, ε, μ m ( σ, ε, μ Onda flda Onda ansmda Onda ncdn Fgua 4.4 A ncdênca d uma nda lmagnéca m uma nfac n ds ms cm ppdads dfns ga uma nda flda uma nda ansmda. Dfnms plan d ncdênca cm snd plan qu cném v d nda ncdn v nmal á nfac. Cm msam as Fguas , xsm duas suaçõs spcas d plaaçã da nda ncdn m laçã a plan d ncdênca. Chamams d plaaçã paalla, s camp léc ncdn sá cnd n plan d ncdênca plaaçã ppndcula s camp léc é ppndcula a plan d ncdênca. Qualqu ua plaaçã da nda ncdn pd s dsca p uma cmbnaçã adquada d uma nda plaada paallamn cm ua nda plaada ppndculamn. Cm 34

58 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams as nnsdads das ndas flda ansmda dpndm da plaaçã da nda ncdn, cnsdams sss ds cass spcas spaadamn. m ( σ, ε, μ m ( σ, ε, μ θ K n h K θ θ h K h Fgua 4.5 ncdênca cm plaaçã ppndcula. Os vs d camp léc sã ppndculas a plan dfnd p K n sã dnfcads p (. Incdênca cm plaaçã ppndcula Cnsdms ncalmn a suaçã m qu a nda ncdn ( cnsqünmn as ndas flda ansmda ambém m su v camp léc ppndcula a plan d ncdênca (Fgua 4.5. Iss sgnfca qu camp léc é paall à nfac. N Apêndc 3.5 dmnsa-s qu as cmpnns paallas ds camps léc magnéc sã cnínuas aavés d qualqu nfac n ds ms cm dfns ppdads lmagnécas dspvdas d cns supfcas. Pdms nã aplca ssa cndçã d 35

59 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams cnnudad a fm d b laçõs n s camps m ambs s lads da nfac. m ( σ, ε, μ m ( σ, ε, μ θ θ K n K h h h K θ Fgua 4.6 Incdênca cm plaaçã paalla. Os vs d camp léc sã cnds n plan dfnd p K n. Os vs d camp magnéc sã dnfcads p nas ndas ncdn ansmda p ( na nda flda. N cas da plaaçã ppndcula, d acd cm ssa cndçã d cnn, s fass d camp cspndns das ês ndas s lacnam p m das sguns quaçõs: (4.74 E + E H csθ E H csθ H csθ nd s índcs dnfcam s camps das ndas ncdn, flda ansmda s ânguls d ncdênca (θ, d flxã (θ d ansmssã (θ 36

60 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams sã mdds m laçã à dçã nmal à nfac. Os camps sã dscs p quaçõs smlhans a (4.7 (4.7, pém cm as dçõs d ppagaçã sã dfns paa cada nda mas a fênca d psçã dv s a msma, é adquad usa uma dscçã mas gal aavés d v d nda. Assm, ms: (4.75 E E (4.76 (4.77 (4.78 (4.79 (4.80 H H E E H E H H E H K K K K K K Cnud, as cndçõs d cnn spcfcadas m (4.74 dvm s váldas m qualqu pn da nfac m ds s nsans d mp. P xmpl, s v d psçã paa um pn na nfac sf um dslcamn paall à nfac, a quaçã (4.75 muda da sgun mana: K ( K (4.8 E ( E +Δ E ( Δ + Δ assm ambém s us camps s ansfmam. Paa qu as quaçõs (4.74 cnnum váldas paa ssa nva psçã, é ncssá qu fa K Δ gual paa das as ndas, ss mplca m qu as pjçõs ds ês vs d nda n plan da nfac sjam guas. Is ns lva a sgun laçã: (4.8 K snθ K snθ K snθ Cm vms anmn, módul d v d nda é gual à cnsan d ppagaçã n m. Assm, ms K K a pma gualdad m (4.8 ns lva a cnclu qu: (4.83 θ θ sja 37

61 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams u sja, ângul d flxã é gual a ângul d ncdênca. Esa cnclusã é cnhcda cm l d Snll paa a flxã. Pdms scv a sgunda gualdad na fma: (4.84 γ snθ γ snθ Snd γ uma quandad cmplxa, sa quaçã m uma npaçã smpls apnas s s maas nvlvds fm nã dsspavs. Ns cas, usand a quaçã (4.94 m (4.84, bms: (4.85 μ ε snθ με snθ u, na fma mas cmum, usand s índcs d façã ds maas nvlvds: (4.86 n snθ n snθ Esa quaçã é dnmnada d l d Snll paa a façã. A façã é pcss d mudança d dçã d ppagaçã da nda quand la passa d um m paa u cm ppdads dfns. D acd cm sa quaçã, s n > n ms θ < θ, a nda s ansm m uma dçã mas póxma da nmal à nfac. Esa é a suaçã qu c na nfac n a ( n a água ( n 9 s a nda ncd a pa d a. S a nda ncd a pa da água, p u lad, ms a suaçã nvsa a nda s ansm numa dçã mas afasada da nmal. S um ds ms nvlvds na nfac é dsspav (u ambs, a quaçã (4.86 nã é válda, mas (4.84 cnnua válda. Enan, a análs ns cas nã é mas ã smpls sá dxada paa fnal dsa sçã. Cnnuams cnsdand ambs s ms cm dlécs pfs. Pdms slv aga as quaçõs (4.74 paa b laçõs n as ampluds das ndas. Uland a mpdânca d cada m, pdms subsu s camps magnécs p xpssõs dpndns d camp léc m cada nda, u sja: (4.87 H E Z, H E Z, H E Z Assm, bms sgun ssma d quaçõs cm duas vaávs a dmna: 38

62 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (4.88 E (E + E E E csθ Z E cujas sluçõs paa as ampluds (4.89 (4.90 csθ Z csθ Z csθ E E Z csθ + Z csθ Z csθ E E Z csθ + Z csθ Z E E sã: Dfnm-s s cfcns d flxã d ansmssã da nfac sgunda as quaçõs: (4.9 E E (4.9 E E D acd cm as quaçõs (4.89 (4.90, na plaaçã ppndcula, sss cfcns sã dads p: Z csθ Z csθ (4.93 Z csθ + Z csθ (4.94 Z csθ Z csθ + Z csθ N cas d ncdênca nmal, θ θ 0, sss cfcns s smplfcam paa: (4.95 (4.96 Z Z Z + Z Z Z + Z Paa nfacs nvlvnd ms dlécs pfs, s cfcns d flxã d ansmssã sã núms as ndpndns da fqüênca, dsd qu nã ca flxã al, qu sá aad n fnal dsa sçã. N qu cfcn d flxã pd s ngav, ndcand uma dfnça d fas d π adans da nda flda m laçã à nda ncdn. N ambém qu na plaaçã ppndcula val a sgun laçã n s cfcns: (

63 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Quand aplcads m pblmas da ópca é mas cnvnn xpssa cm funçõs ds índcs d façã ds ms nvlvds. Subsund μ Z μ ε paa as mpdâncas ds ds ms s fm maas nã n ε magnécs, usand a l d Snll (4.86 paa a subsu (4.94, bms: (4.98 csθ csθ + ( n n sn θ ( n n sn θ cs θ m (4.93 (4.99 csθ + csθ ( n n sn θ Incdênca cm plaaçã paalla Cnsdms aga cas d plaaçã paalla a plan d ncdênca (Fgua 4.6. Nsa suaçã s camps lécs das ndas sã cnds n plan d ncdênca s camps magnécs sã paalls à nfac. As cndçõs d cnn aga sã scas na sgun fma: (4.00 E H cs θ H + E H csθ E csθ Nvamn subsund camp magnéc m funçã d camp léc paa cada nda slvnd ssma d quaçõs, bms as ampluds ds camps lécs das ndas flda ansmda na fma a sgu: (4.0 (4.0 Z cs θ Z cs θ E E Z cs θ + Z csθ Z cs θ E E Z cs θ + Z cs θ Vms nã, qu s cfcns d flxã d ansmssã paa plaaçã paalla sã dads p: (4.03 Z cs θ Z cs θ Z cs θ + Z cs θ 40

64 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (4.04 Z cs θ Z cs θ + Z cs θ N cas d ncdênca nmal, sss cfcns s smplfcam paa: (4.05 (4.06 Z Z Z + Z Z Z + Z Cmpaand (4.95 (4.96 cm (4.05 (4.06 vms qu paa ncdênca nmal. Cm funçõs xplícas ds índcs d façã, s cfcns d ansmssã flxã paa plaaçã paalla na nfac n ds dlécs nã magnécs, sã dads p: (4.07 (4.08 ( n n sn θ ( n n csθ ( n n sn θ + ( n n csθ ( n n ( n n sn θ + ( n n csθ csθ As Fguas msam a dpndênca d cfcn d flxã cm índc d façã cm ângul d ncdênca paa uma nfac nvlvnd ms dlécs nas plaaçõs ppndcula paalla. Exmpl 4.7 Quand uma nda ncd m uma nfac, a pênca qu la anspa s dsbu nas ndas flda ansmda. N cas d ncdênca ppndcula, é pssívl sablc laçõs n s cfcns d flxã ansmssã paa qu pncíp d cnsvaçã d nga xpss n ma d Pynng sja sasf. Cnsdams nsa análs, apnas cas spcífc, mas mpan, d uma nfac n um dléc pf um Cndu. Uma v qu sams cnsdand apnas a ncdênca ppndcula, sclhms x nsa dçã, nd sua gm na nfac n msm snd d ppagaçã da nda ncdn. Dss md, s camps lécs 4

65 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams , 0,3 n n ,6 0,9, θ (gaus Fgua 4.7 Cfcn d flxã na ncdênca cm plaaçã lna ppndcula m funçã d ângul d ncdênca paa dvss vals d qucn n n n , n n 0, ,6 0,9, θ ( gaus Fgua 4.8 Cfcn d flxã na ncdênca cm plaaçã lna paalla m funçã d ângul d ncdênca paa dvss vals d qucn n n n. 4

66 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams 43 magnécs das ndas ncdn, flda ansmda sã dscs pls fass: (Ex.3 y Z E H y Z E H y Z E H x E E x E E x E E j c j j j j j c c β α β β β α β β Ond Z é mpdânca d dléc Z c d cndu. D md análg, β β c sã as cnsans d fas n dléc n cndu, spcvamn. Cnsdams qu a nda ncd pl dléc. N qu ncluíms um snal ngav n camp magnéc fld paa lva m cna fa d v d Pynng fld apna n snd. N lad d ncdênca, c suppsçã ds camps das ndas ncdn flda. Os camps sulans sã dads p: (Ex.33 ( ( y Z E H x E E j j j j β β β β + O v d Pynng sulan asscad a sss camps é, pan: (Ex.34 ( ( Z E H E S j * j j j * β β β β + Efuand as mulplcaçõs smplfcand a xpssã, ms: (Ex.35 ( [ ] ( Z E S j * j β β + Subsund δ j usand a dndad ( θ θ θ j j j sn, bms: (Ex.36 [ ] sn( j ( Z E S + δ β +

67 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Cm ss, vms qu d lad d ncdênca, xs pênca ava ava alcançand a nfac. Essas paclas sã bdas d (Ex.36 fand 0 nsa quaçã: (Ex.37 S S a E Z E Z ( sn( δ P sua v, a pênca ansmda paa m cndu é dada p: (Ex.38 S E H * E * Zc α Spaand as pas al magnáa da pênca ansmda bms a pênca ava a pênca ava ansmdas. Exaamn na nfac, m 0, ms: (Ex.39 Sa S E Zc E Zc cs φ snφ A laçã n s vs d Pynng n lad d dléc n lad cndu sã bdas pla aplcaçã d ma d Pynng a um vlum qu nd a m n da nfac (v Fgua Apêndc 3.5. Uma v qu vlum nd a, as ngas d vlum s anulam ma d Pynng, n cas d ncdênca ppndcula, nfma qu v d Pynng é cnínu na nfac. Assm, cmpaand as xpssõs (Ex.37 cm (Ex.39, bms as sguns laçõs: (Ex.40 Z ( Z c cs φ (Ex.4 Z sn( δ Z c snφ 44

68 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Paa uma nfac n dlécs, snφ snδ sã nuls apnas a quaçã (Ex.40 é sgnfcava. Cm as mpdâncas sã as nss cas, pdms subsu μ Z s n ε μ. Cm ss, pdms scv (Ex.40 na fma: n (Ex.4 + n Exmpl 4.8 Cnsdms uma suua fmada p ês maas dfns sgund a Fgua 4.9. A camada cnal m spssua d s ds ms laas sã sm-nfns. Vams b s cfcns d flxã ansmssã dssa suua paa ncdênca ppndcula supnd qu as ppdads lmagnécas ds maas nã vaam cm a fqüênca. D acd cm squma msad na Fgua 4.9, a nda ncdn sf uma flxã pncpal na nfac - váas flxõs scundáas nas nfacs Assm, a nda flda al sá cmpsa d núms ms dcns da ansmssã na nfac - smads à nda flda pncpal. Pdms xpssa ss na fma: (Ex.43 γd γd 4γd 3 3 6γd ( E E + 3 E 3 + Usand a fómula da sma da sé d pêncas, bms: (Ex.44 γd 3 E E + E γd 3 Cm ss, cfcn d flxã fv da mnagm é dad p: (Ex.45 f + γd 3 γd 3 D md análg, a ansmssã al pd s bda smand-s das as cmpnns ansmdas m cada ncdênca na nfac -3. Assm, ms:

69 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams M M M 3 E ( γd ( 3 ( ( ( ( ( γd γd γd γd d ( 3 ( 3 ( 3 Fgua 4.9 Esuua cm ds ms sm-nfns spaads p uma camada d spssua d. Em cada nfac as ndas ncdns sfm flxã ansmssã. Os cfcns d flxã ansmssã paa cada ncdênca sã ndcads n paênss. γd 4γd 3 3 6γd ( γd E 3 E 3 3 (Ex.46 γd 3 E γd 3 O cfcn d ansmssã fv é, nã, dada p: (Ex.47 f γd 3 γd

70 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams A fm d vsuala mas faclmn f das flxõs sucssvas na flxã ansmssã fvas da camada nmdáa, vams cnsda um xmpl smpls d uma placa dléca n a. Uma v qu a ncdênca é ppndcula s ms nvlvds sã dlécs cm pmabldad lava unáa, as Z mpdâncas sã faclmn bdas cm Z Z3 Z 376, 8Ω Z, n nd n é índc d façã da placa. Os cfcns d flxã ansmssã m cada nfac sã quandads as qu s lacnam da sgun mana: 3 (Ex.48 Z 3 n Z A cnsan d ppagaçã é puamn magnáa γ j π. Cm ss, a λ flxã ansmssã fvas na placa dpndm da laçã n a sua spssua cmpmn d nda nss maal. Exsm duas cndçõs xma quand jm π γd 4πd é um múlpl d π adans. Subsund λ cs( mπ jun cm (Ex.48 m (Ex.45, bms: n cs(mπ (Ex.49 f cs(mπ Lvand m cna a laçã (Ex.4, ms: cs( mπ (Ex.50 f cs( mπ ( + n cs(mπ cs(mπ A cndçã 4 πd mπ c nas fqüêncas múlplas da fqüênca λ fundamnal: c (Ex.5 f 4nd Nas fqüêncas pas (f, 4f, 6f,..., cm m pa m (Ex.50, sula m flxã nula. Nas fquêncas ímpas (f, 3f, 5f,..., cm m ímpa m (Ex.50, sula n cfcn d flxã máxm dad p: 47

71 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (Ex.5 f max + jm π D md smlhan, Subsund cs(mπ jun cm (Ex.48 m (Ex.47, bms: n cs( m (Ex.53 π f cs( mπ ( cs( mπ cs( mπ nd usams (Ex.4 paa subsu n. Nas fqüêncas pas cfcn d ansmssã é uná. Nas fqüêncas ímpas cfcn d ansmssã é mínm, snd dad p: (Ex.54 f mn + As cêncas d mínms máxms na flxã ansmssã na placa s jusfcam pla suppsçã m fas (máxms m psçã d fas (mínms das cmpnns d nda qu s suppõm m cada fac da placa. A Fgua 4.0 msa cm s móduls ds cfcns d flxã ansmssã paa uma placa d vd cm ε 6 spssua 0 cm vaam cm a fqüênca da nda ncdn. Ns cas, a fqüênca fundamnal é apxmadamn 306MH. Rflxã nula flxã al Cm msa a Fgua 4.8 xs um ângul d ncdênca na plaaçã paalla paa qual cfcn d flxã é nul. Es ângul é chamad d ângul d Bws. Quand uma nda plana ncd sb ângul d Bws m uma nfac dléca, a cmpnn paallamn plaada da nda nã s fl. S a nda ncdn pssu ambém uma cmpnn ppndculamn plaada, sa cmpnn sfá flxã a nda flda sá, nã, lnamn plaada na dçã ppndcula a plan d ncdênca. Es é um méd pssívl paa b uma nda lnamn plaada a pa d uma nda cm plaaçã lípca u cm plaaçã nã cnhcda. O ângul d Bws 48

72 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams é bd algbcamn, slvnd-s a quaçã 0. Paa ms dlécs nã magnécs, bém-s a pa d (4.07 qu ângul d Bws é dad p: n (4.09 θ acan B n f (H f (H Fgua 4.0 Espc d cfcn d flxã d ansmssã paa uma placa d vd cm spssua d 0 cm cnsan dléca 6. Ou vn mpan qu pd c m uma nfac dléca paa a qual n < n é a flxã al. D acd cm a l d Snll paa a façã, s n n <, ângul d ansmssã é ma qu ângul d ncdênca. Enã, ns cas, xs um ângul d ncdênca mn qu 90 paa qual ângul d façã é xaamn 90. Ess ângul é chamad d ângul cíc paa flxã al, d acd cm (4.86, é dad p: 49

73 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams n (4.0 θc acsn n Quand uma nda ncd sb ss ângul m uma nfac dléca, a nda ansmda nã s dslca paa n d m mas s ppaga paallamn à nfac. S a ncdênca c cm ângul ma qu θ c, a nda é almn flda paa m. A fm d b ss sulads algbcamn, assumms qu da l d Snll pdms ncna um ângul d ansmssã qu sasfaça a quaçã (4.86 paa n (4. snθ snθ > n θ > θ c, u sja: mba sa quaçã nã pssa s sasfa p qualqu ângul al, la pd s sasfa p um ângul cmplx. Dsd qu snθ >, usand a dndad gnméca sn θ + cs θ, bms csθ cm um núm magná: (4. cs θ ± j sn θ snθ cs θ dfnm as cmpnns d v d nda da nda ansmda n m nas dçõs paalla ppndcula à nfac, spcvamn. Vja a Fgua 4. paa s dalhs. Sabms qu módul d v d nda é gual à cnsan d ppagaçã, qu paa um dléc pf é gual a v d nda pd s sc na fma: (4.3 nω K j c nω sn c ( snθ x + csθ nω j snθ c nω θ + j snθ x c nd assumms snal adquad d x j sn θ jnω. Enã, c cs θ paa sasfa a cndçã d cnn E 0 paa. Pdms ddu vals fvs das cnsans d anuaçã d fas n m, d md qu pssams scv K α + jβ x. Ess vals sã: nω (4.4 α sn θ c 50

74 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams θ x K sn θ K θ K cs θ K Fgua 4. V d nda ansmd na ncdênca cm ângul ma qu ângul cíc paa flxã al. nω (4.5 β snθ c Cm a gm d ssma d cdnadas fxada na pópa nfac, v d psçã n m é dad p x x +. Usand a xpssã gal dada m (4.79, camp léc da nda ansmda pd nã s sc na fma: K j (4.6 α β x E E E Cncluíms qu a nda nã s ansm paa n d m mas s dslca paallamn a nfac. Os camps sã anuads na dçã pd-s d qu a pfunddad d pnaçã é gual a. α Paa fnala, pdms msa qu a flxã é al paa val d θ > θ c, subsund cs θ dad m (4. nas quaçõs d cfcn d flxã 5

75 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams ndpndnmn da plaaçã. P xmpl, s subsums m (4.03, bms: (4.7 j Z j Z sn sn θ θ + Z csθ Z csθ nd nvamn usams snal ngav d p: (4.8 ( sn θ ( sn θ Z + Z cs θ Z + Z cs θ cs θ. O módul d é nã dada qu msa qu módul d camp fld é gual a camp ncdn. Havá nan uma dfnça d fas n as duas ndas. Infac cndua A análs d uma nfac cndua é um puc mas cmplcada. Cnsdms uma nfac n um dléc um cndu, cm p xmpl, a supfíc d uma placa málca n a. S uma nda plana ncd a pa d dléc na supfíc d cndu, a l d Snll paa a façã, quaçã (4.84, ns pm scv a sgun xpssã paa ângul d ansmssã: (4.9 snθ nd usams ( α + jβ ( ( jβ snθ β β α + β γ jβ α + jβ βα + j α + β snθ γ. Vms nã qu snθ é um núm cmplx, pan, nã xs uma npaçã gméca paa θ. Cnud, cm fms n cas da flxã al, um val cmplx paa snθ u cs θ pd s npad camn na cmpsçã d v d nda da nda ansmda. Paa smplfca a álgba, scvms (4.9 na fma: snθ u + jw. Assm, ms ambém: (4.0 csθ sn θ + w u j uw 5

76 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams E nvamn, paa na mas smpls as xpssõs, scvms csθ f + jg. Cm ss vals, pdms b agumn paa um fncal cm gm na nfac, na fma: K ( ( [( ( ] (4. α + jβ (snθ x + csθ α + jβ u + jw x + f + jg [( uα wβ + j( uβ + wα ] x + [( fα gβ + j( fβ + gα ] Pdms d nã, qu as cnsans d anuaçã d fas sã dfns nas dçõs ppndcula paalla. As cnsans fvas nas duas dçõs sã dadas p: αx uα wβ 0 α fα gβ (4. β uβ + wα β snθ β fβ + gα x Os sulads paa α x β x ndcads m (4. sã faclmn bds cm a subsuçã d u w a pa d (4.9. Assm, camp léc da nda ansmda pd s sc na fma: K j (4.3 α E E E ( βx x +β Vms qu a nda ansmda n cndu, n cas d ncdênca blíqua, nã é uma nda plana unfm, ps plan d fas cnsan β xx + β c m gal nã cncdá cm plan d amplud cnsan α c. A dçã fva d ppagaçã da nda n cndu é ppndcula a plan d fas cnsan ângul fv d ppagaçã pd s calculad p: β (4.4 θ x acan β nquan qu a vlcdad d fas fva é dada p: ω (4.5 v β + β x Obvamn, paa θ 0, ms uma suaçã pacula na qual sn θ 0 csθ, d md qu K ( α + jβ a nda ansmda é uma nda plana unfm s dslcand ppndculamn à nfac cm vlcdad K v ω. β 53

77 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Os cfcns d flxã ansmssã bds paa a nfac dléca anda sã aplcads n cas d nfac cndua, dsd qu s us val c da mpdânca caacísca d cndu cs θ dad p (4.0. Vjams n cas d uma supfíc málca m uma fqüênca paa qual σ >> ωε quas sam as apxmaçõs váldas paa as xpssõs bdas anmn. (4.6 α β α β na cndçã ωμ σ Usand s m (4.9 (4.0, bms: β (4.7 snθ (+ j snθ β β (4.8 csθ j sn θ β σ >> ωε, sã dads p (4.4 (4.5: O fa β β nssas xpssõs m val m funçã da fqüênca dad p: (4.9 Na cndçã β ωε β σ β σ >> ωε ms <<, d md qu pdms apxma csθ. β Paa s mas, sa apxmaçã é válda aé msm paa fqüêncas ã alas quan aqulas d níc da gã ulavla ( 0 5 H d spc lmagnéc. Os sulads pncpas paa uma nfac málca sã, nã: (4.30 α α βx βsnθ β β ωε ωε (4.3 θ acan snθ snθ 0 σ σ (4.3 v ω β + β sn θ ω β ωε + sn θ σ ω β ω μσ 54

78 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams 55 Esas xpssõs msam qu paa ωε >> σ, a nda ansmda n cndu m vlcdad dçã ndpndns d ângul d ncdênca. A nda ansmda pacamn s dslca ppndculamn à nfac. Os cfcns d flxã ansmssã na nfac a-mal, bds a pa d (4.93, (4.94, (4.03 (4.04 pdm s apxmads p: (4.33 cs Z Z cs Z Z + θ θ (4.34 cs Z Z cs Z Z cs Z Z θ + θ θ (4.35 cs Z Z cs Z Z θ + θ (4.36 cs Z Z cs Z Z θ + θ nd j ( j ( Z Z + σ ωε ε μ + σ ωμ Exmpl 4.9 Uma nda ncdn m um cndu pdu cn na sua supfíc. N cas d um bm cndu, a análs pcdn dmnsu qu a nda ansmda s ppaga ppndculamn à nfac. Vams calcula a dnsdad d cn supfcal nduda n cndu. Subsund as laçõs (4.30 (4.34 (paa plaaçã ppndcula m (4.3, bms a xpssã d camp léc da nda ansmda: (Ex.55 x E cs Z Z E j x sn j c c c β θ β α θ

79 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Cm a ppagaçã da nda paa su n, sug uma dsbuçã d cn n vlum d cndu. Cnud, uma v qu a nda é anuada, ssa cn é mu mas cncnada na supfíc. Cm a cn ccula na dçã d camp léc s dsbu unfmmn na nfac, vams calcula a dnsdad lna d cn na supfíc: ( Ex.56 k 0 σe Z σ Z c Z σ Z c d cs θ E cs θ αc + j β c E j β snθ j β ωμ Pdms subsu Z c ( + j σ (Ex.57 k Z cs θ E j β snθ x x x snθ 0 x x ( α + j β c c d ωμσ α c βc paa b: x O m d fas nsa quaçã nfma qu a cn supfcal ccula cm uma nda na dçã x cm cmpmn d nda λ snθ. Cm ncdênca ppndcula, ms: (Ex.58 k E x Z É nssan bsva qu a cn nduda m bns cndus nã dpnd damn da cnduvdad d maal nm da fqüênca (bvamn a cndçã σ >> ωε dv s andda paa ss sulad s váld. Paa plaaçã paalla, dv-s usa a xpssã (4.36 paa cfcn d Z ansmssã. Uma v qu cs θ >> paa θ Z < π, pacamn a únca dfnça m laçã as sulads ans é qu m csθ nã apac na xpssã da dnsdad d cn. 56

80 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Onda sacnáa Cnsdms uma nda plana ncdnd ppndculamn m uma nfac n ds ms. Sabms pla análs da sçã an qu cfcn d flxã é, m gal, um num cmplx, pan, a nda flda pd amplud fas dfn da nda ncdn. Esas ndas s suppõm n m d ncdênca sulad é uma nda qu m algumas caacíscas dfns da nda gnal. Cnsdms ncalmn m d ncdênca cm snd nã dsspav. S a nfac sua-s na gm d ssma d cdnadas a nda ncdn gna-s n lad d da gm camnha n snd < 0, as xpssõs ds camps lécs ncdn fld sã: jβ (4.37 E E x jβ (4.38 E E x nd é cfcn d flxã na nfac. Pdms xpssá-l na fma gal: (4.39 jδ O camp sulan é bd cm a sma ds camps ncdn fld. Assm, ms: j j (4.40 E β E ( + β x Vjams ncalmn ds cass lms: Cas S m d ncdênca é um dléc pf fand nfac cm um cndu pf, cfcn d flxã, d acd cm a sçã an, val. Nss cas, módul d camp léc al n m d ncdênca é dad p: jβ jβ (4.4 E E ( E snβ camp n dmín d mp é: (4.4 E snβ cs( ω + π Esa quaçã psna uma nda sacnáa. Obsv qu a amplud d camp dpnd da psçã n spaç. Is é msad na Fgua 4.. Exsm jπ 57

81 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams psçõs d amplud máxma E psçõs d amplud nula. Is é cmplamn dfn d qu c m uma nda plana unfm s ppagand m um m lmad, ps s m é nã dsspav, a amplud d camp m da pa é smp a msma. Além dss, vms m (4.4 qu fa d fas β nã apac jun cm ω na funçã mncmáca. Em vsa dss, camp dsc nsa quaçã nã cnsu uma nda camnhan..5 E E Fgua 4. Dsbuçã d ampluds d camp léc m uma nda sacnáa fmada λ pla suppsçã ds camps ncdn fld cm cfcns d flxã. Cas S ambs s ms sã dlécs, mas m d ncdênca m mpdânca mu pquna cmpaada cm m ansmss, pdms apxma cfcn d flxã p. Ns cas, ms: jβ jβ (4.43 E E ( + E csβ camp n dmín d mp é: (4.44 E csβ cs ω Esa dsbuçã d camp ambém é msada na Fgua 4.. Também ns cas ms uma nda sacnáa d amplud psçõs ds mínms máxms sã dfns nas duas ndas. E. Obsv cnud qu as 58

82 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Vams analsa aga cas gal, n qual cfcn d flxã m um val qualqu. Pdms manpula algbcamn a quaçã (4.40 da sgun fma: (4.45 E E E Mulplcand p mp: (4.46 Subsund E E jδ j( β δ j ω + j( β δ [( + cs( β δ + j( sn( β δ ] jδ mand a pa al, bms camp n dmín d ( + cs( β δ cs( ω + δ ( sn( β δ sn( ω + δ ( + ( + usand a dndad gnméca cs( a + b csa cs b+ sn asnb, pdms scv (4.46 na fma: (4.47 E ( cs( ω + β + E cs( β δ cs( ω + δ O pm m nsa quaçã dscv uma nda qu s ppaga n snd < 0 cm amplud E ( nquan sgund m é uma nda sacnáa cm amplud. A Fgua 4.3 msa a dsbuçã d E amplud d camp léc m uma nda sacnáa cm <. O ângul pla d cfcn d flxã dmna a psçã d máxms mínms na dsbuçã d camp. Os máxms cm nas psçõs m qu cs( β M δ, u sja, pm máxm c m: δ δ (4.48 M λ β 4π s dmas cm xaamn a cada nval d (4.46 nas psçõs d máxm, valm: (4.49 E E ( max + λ. O camp máxm é bd 59

83 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams j45 α 0 ( a E E j α 0. Np/m λ.5 E E 0.5 ( b Fgua 4.3 Dsbuçã d ampluds d camp léc na suppsçã d uma nda λ ncdn cm amplud unáa cm a nda flda cm cfcn d flxã (a m sm pdas; (b m cm cfcn d anuaçã d 0. Np/m. j D md análg bms as psçõs d mínm na dsbuçã d camp slvnd a quaçã cs( β m δ 0, u sja, pm mínm c m: δ + π δ + π (4.50 m λ β 4π um nv mínm c a cada nval λ. A dsânca n mínms máxms cnscuvs é d (4.46 na fma: (4.5 E E ( mn λ. O val d camp nas psçõs d mínm é bd 4 60

84 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Dfn-s a aã d nda sacnáa ROE (d Inglês SWR cm snd qucn n camp máxm camp mínm na dsbuçã d camp. (4.5 Emax ROE Emn + A ROE é um paâm qu quanfca a psnça d nda sacnáa m um m. A ROE mínma é acnc quand nã xs nda sacnáa, ps nss cas a amplud d camp é gual m das as psçõs d spaç. Um val d ROE ma qu ndca a psnça d nda sacnáa. N cas lm d uma nda sacnáa pua, cm acnc ns xmpls cads acma m qu ±, a ROE é nfna. N cas m qu m d ncdênca é dsspav, a amplud das ndas ncdn flda dmnu xpnncalmn n snd d ppagaçã cspndn a cada nda. Enã, a ma suppsçã c nas mdaçõs da nfac. Nssa gã, a nda sacnáa á amplud máxma a ROE ambém sá máxma. Mas paa pns mas afasads, a ndênca é pvalc a nda ncdn, ps sa á smp ma amplud qu a nda flda. A Fgua 4.3 msa a dsbuçã d camp nss cas. Cncluíms nã qu a amplud da nda sacnáa a ROE dmnum na mdda m qu cnsdams pns mas afasads da nfac. Exmpl 4.0 Em uma nda sacnáa, s máxms d camp léc nã cncdm cm s máxms d camp magnéc. Além dss, nã xs nga anspada. Pdms vfca na quaçã (Ex.36 qu s cfcn d flxã f uná, a pa al d v d Pynng cmplx é nula. Assm, m uma nda sacnáa xs apnas nga ava amanada n spaç, cm gõs d máxma nga léca máxma nga magnéca m dfns psçõs. Cm ±, a pa magnáa d v d Pynng é dada p: (Ex.59 S E sn(β Z (Ex.60 S E sn(β Z 6

85 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Das quaçõs (4.4 (4.43 ms camp léc na dçã x na nda sacnáa. jβ jβ (Ex.6 E E ( j E sn β jβ jβ (Ex.6 E E ( E cs + β Cnud, camp magnéc m uma dsbuçã dfn. Uma v qu pdu val d camp léc cm camp magnéc dv sa dgd na dçã snd d ppagaçã da nda, dvms ajusa snal da nda flda d camp magnéc paa qu ss acnça. Pan, sgund as quaçõs (Ex.6 (Ex.6, ms as sguns xpssõs d camp magnéc na dçã y na nda sacnáa: E jβ jβ E H + Z Z (Ex.63 ( cs (Ex.64 H ( snβ β E jβ jβ E Z Z A Fgua 4.4 msa cm s camps a pênca ava s dsbum na nda sacnáa paa. (a P P E Z P m (b H E λ Fgua 4.4 (a Dsbuçã d pênca ava na nda sacnáa. (b dsbuçã d camp léc camp magnéc na nda sacnáa. Cfcn d flxã. 6

86 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Espc Elmagnéc Nã xsm lms paa a fqüênca d um snal lmagnéc. Ondas lmagnécas cm fqüênca d alguns H a mas d 0 4 H pdm s gadas. Cnud, dfns caacíscas d ppagaçã fnômns d naçã cm a maéa dmnam dfns aplcaçõs paa s snas lmagnécs, dpndnd d sua fqüênca. A Tabla 4.7 msa spc lmagnéc cnhcd, dvdd classfcad d acd cm us pncpal d cada nval d fqüêncas. Aé cca d 300 GH, é mas usual a spcfcaçã da nda lmagnéca pla sua fqüênca. A pa daí aé fnal da faxa d lu vsívl, é mas cmum spcfca cmpmn d nda. D ulavla m dan é mas usual spcfca snal lmagnéc pla nga d fón. As ndas na faxa qu s snd d alguns h aé GH sã dnmnadas gncamn d ndas d ad, ps é spcalmn nsa faxa qu a maa ds ssmas d cmuncaçã d massa pam. Exmpls ípcs dsss svçs sã ád cmcal, a lvsã ad amad. A absçã d nga pla maéa, nsa faxa d fqüêncas, c quas qu xclusvamn pla cnduçã d cagas lvs. Acma d GH aé 300GH usa-s a dsgnaçã gal d mcndas. Aplcaçõs spcas m cmuncaçã va saél ada sã cmuns nsa faxa. A gã d fqüêncas mas baxas nsa faxa é ulada aualmn paa lfna móvl. As mléculas plas absvm nga na faxa d mcndas spcalmn aavés d ssnâncas cm sads acnas. O fn d mcndas pa m.45gh pqu nsa fqüênca as mléculas d água absvm fcnmn a nga da nda. Acma d 300GH aé cca d 400TH xs a faxa dnmnada d nfavmlh, qu csuma s dvdda m nfavmlh póxm (cmpmn d nda n 0.78μm a 3μm n vácu, nfavmlh nmdá (3μm a 6μm nfavmlh dsan (6μm a 5μm. A adaçã n spc nfavmlh pd s absvda na maéa gand ansçõs n sads vbacnas mlculas. Qualqu cp aqucd m adaçã n nfavmlh aavés d 63

87 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams msm mcansm d ansçõs vbacnas. O cp human, p xmpl, m adaçã numa ampla faxa d nfavmlh cm nnsdad máxma m n d 0μm. A lu vsívl cspnd a um s nval d cmpmns d nda d 0.38μm a 0.7μm n vácu. A adaçã nsa faxa d fqüêncas é galmn pduda p alaçõs ns sads lôncs m áms mléculas. Mléculas d gass xcads p cal u cn léca áms m mas aqucds a alas mpauas sã as fns mas cmuns d lu vsívl. As cs sã sulad da pcpçã humana da adaçã n spc vsívl capad pl ssma vsual. O spc vsívl pd s dvdd nas sguns cs: vmlh d 6 a 70 nm, laanja d 597 a 6 nm, amal d 577 a 597 nm, vd d 49 a 577 nm, aul d 455 a 49 nm vla d 380 a 455 nm. Abax d mn cmpmn d nda da lu vla, cmça a faxa dnmnada d ulavla, caacada p ngas d fóns d 3.3 V a 4 V. A adaçã ulavla m uma gand capacdad d na áms mléculas. A adaçã sla, qu cném uma gand pacla d adaçã ulavla, pda s lal à vda m nss plana, s nã huvss a camada pa d ôn na amsfa, absvnd nnsamn a nga sla nssa faxa spcal. A adaçã ulavla é pduda m ansçõs lôncas ns áms nvlvnd gand vaaçã d nga, p xmpl, quand um lén fmn lgad é xcad paa nívs d nga mas dps na a nívl gnal u quand c cmbnaçã n íns léns. Os as X apsnam ngas d fón mu alas, dsd 4 V aé cca d 00 KV pdm s pduds p bmbadamn d um alv málc p um fx d léns ngécs (adaçã d fnagm, cm c m ubs d as X. Emssã d as X ambém c na cmbnaçã d áms nads nvlvnd léns nns fmn lgads a núcl. N p d spc sã s as gama, s quas pssum ngas d fón xmas sã mds duan açõs nuclas nd c ansçõs n dfns sads d nga das paículas cnsuns d núcl aômc. 64

88 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Tabla 4.7 Classfcaçã d Espc Elmagnéc Classfcaçã Faxa d fqüêncas f (H Inval d Cmpmn d nda λ Inval d Enga d fón E h f hc λ as γ 5x pm 3x0-6 m 00 KV 4 GV as X 3x0 6 5x0 9 0nm 6 pm KV ulavla 7.9x0 4 3x nm 0 nm 3.6 V 4 V Lu Vsívl 4.x x μm V Infavmlh 0-4.x μm V ndas mlmécas 300 G mm EHF G 0. cm SHF 3 30 G 0 - cm UHF G 0. m VHF M 0 m HF 3 30 M 00 0 m MF M 0. Km LF K 0 Km VLF 3 30 K 00 0 Km ULF K 0. Mm.4x0-4.4x0 - V SLF Mm ELF Mm 65

89 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Apêndc 4. Induçã à a ndulaóa Uma nda é uma fma gal d ansp d nga aavés d uma u mas gandas físcas qu sã sujas a um pcss sclaó. Ondas cm m mus ssmas físcs dfns, as cm: ndas d dslcamn mcânc m suuas sóldas, ndas d pssã m fluds, ndas d lvaçã na supfíc da água, ndas lmagnécas, c. Emba nvlvam dfns pcsss físcs, das as ndas pdm s dscas bascamn pls msms mdls mamács. Cnsdams ncalmn a dscçã d uma nda undmnsnal smpls. Taa-s d uma nda qu dscv a ppagaçã d uma ganda scala m uma únca dçã. Sja sa dçã cncdn cm x d ssma d cdnadas. A fma gal d psnaçã da nda é dada p: (A.6 ϕ, ϕ f( β ω + ϕ f( β + ( ω nd f é uma funçã qualqu s paâms ω β sã cnsans. Os cfcns ϕ ϕ sã as ampluds da nda. Na vdad, cada m n sgund mmb dscv uma nda spaadamn. O pm m dscv uma nda qu s ppaga n snd > 0 sgund m dscv uma nda qu s ppaga n snd < 0. Iss é lusad na Fgua 4.5 qu msa a dsbuçã spacal da ganda ϕ m dfns nsans d mp. A fm d avala a vlcdad d dslcamn da nda, basa ma um pn qualqu da dsbuçã ( β ω c calcula a axa d vaaçã da psçã daqul pn. Enã, a dvada d ω c + n mp sula m: β β (A.6 ω v β Evdnmn, paa a nda cm agumn β + ω, a vlcdad é ngav d (A.6. Enã, m uma dscçã basada na vlcdad da nda, a quaçã (A.6 pd s sca na fma: (A.63 ϕ, ϕ f( v + ϕ f( v ( + 66

90 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams ϕ (, f( β θ θ ω ϕ (, f( β θ θ ω ϕ (, f( β θ θ 3 ω 3 3 Fgua 4.5 Rpsnaçã d dslcamn d uma nda cm fma abáa f( β ω m ês nsans d mp. A funçã qu dscv a nda é smp a sluçã d uma quaçã dfncal qu dscv a dnâmca d ssma físc n qual a nda é gada s ppaga. Essa quaçã, p sua v, dv s bda paculamn paa cada ssma, sgund s pncíps físcs caacíscs d ssma. Cnud, a fma gal da quaçã dfncal, chamada quaçã d nda, pd s bda a pa da sluçã gal ppsa m (A.6 cm sgu. Dfnnd η β ω η β +, as sgundas dvadas n mp n spaç da funçã ϕ (, sã ω dadas p (dmnsaçã a cag d l: 67

91 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (A.64 ϕ β ϕ d f dη + ϕ d f dη (A.65 ϕ ω ϕ d f dη + ϕ d f dη Assm, pdms cmbna s sulads acma paa b: ϕ ϕ (A.66 β ω ϕ β ϕ 0 ω ϕ ϕ 0 v Esa é a fma básca da quaçã d nda undmnsnal. Um cas pacula d gand nss é a nda mncmáca u nda hamônca: (A.67 ϕ (, ϕ sn( β ω u, (A.68 ϕ (, ϕ cs( β ω Sgund s méds da análs d Fu, é pssívl dscv uma nda pódca qualqu p uma sé nfna d ms dscs d ndas hamôncas cm fqüêncas múlplas d uma fqüênca fundamnal m a fma: (A.69 ϕ(, [ ϕ cs( β ω + ϕ sn( β ω ] nd ω n nω β n n ω v n n n n n n n n ω n v n ω. A xpssã gal. N qu a vlcdad d ppagaçã pd s dfn paa cada cmpnn, s ss c, as cmpnns sfm dslcamns lavs umas às uas. Is, p sua v, mplca m qu a fma da nda sulan pd s mdfca cm passa d mp. Cnsdms xmpl msad na Fgua 4.6a. A nda quadada m a fqüênca fundamnal ω ad 000. Dcmpnd sa nda nas s cmpnns d Fu sgund méd msad n Apêndc 3., cncluíms qu s cfcns cm n ímpa sã nã nuls. Supnd ϕ n sã ds nuls apnas s cfcns ϕ n v 000 m s ndpndn da fqüênca, 68

92 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams ms β ad. Cm ss, bms a xpansã da nda quadada m sé m d ndas hamôncas na fma: 4 ϕ(, sn n( 000 π n ímpa n (A.70 [ ] ϕ(, Z (m - Fgua 4.6a - Onda quadada d amplud unáa, fqüênca angula 000 ad/s cnsan β unáa m Sma ( Fgua 4.6b Qua pmas hamôncas ímpas da nda quadada a sma das hamôncas d a 5. 69

93 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Ou sja, a nda quadada d amplud unáa fqüênca ω pd s psnada cm a sma d um núm nfn d ndas sndas cm fqüêncas ω, 3ω, 5ω, 4 7ω..., cm ampluds dcscns, π 4,, 34 π 5π 4,..., spcvamn. A Fgua 4.6b msa s gáfcs das pmas 7π hamôncas a sma das hamôncas d a 5. Evdnmn, quan mas ms fm ncluíds na sma, mas pcsa sá a psnaçã da nda gnal. N ambém qu as hamôncas d ma fqüênca êm mn amplud. Iss smp acnc cm funçõs qu psnam ndas as, u sja, ndas d gandas físcas. As ndas lmagnécas sã ndas d camp léc magnéc qu s ppagam cm a msma vlcdad a pa d uma fn cmum vaávl n mp. Cm s camps sã vs, a dscçã cmpla d ndas lmagnécas xg quaçõs d nda nas ês cdnadas spacas nvlvnd as ês cmpnns d camp léc as ês cmpnns d camp magnéc. Is é, a dscçã d ndas lmagnécas é cnsdavlmn mas cmplxa qu as ndas undmnsnas apsnadas ns apêndc. Cnud, ês cass cm gmas smpls s dsacam pla mpânca cncual m laçã à ppagaçã d ndas lmagnécas n spaç lv: A nda plana unfm (Fgua 4.7a é uma nda qu s ppaga m uma dçã dfnda êm s camps ppndculas n s à dçã d ppagaçã. Em cada plan ppndcula a sa dçã, s camps êm a msma amplud, dçã snd. Esss plans sã chamads d fns d nda. As quaçõs d nda paa s camps assumm a fma já dsca m (A.66 n cas d uma nda s ppagand na dçã. S camp léc sá nad na dçã x camp magnéc sá nad na dçã y, ms: 70

94 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams x x 0 v (A.7 hy hy 0 v As sluçõs paa sss camps n cas d uma fn mncmáca pdm s scas na fma: x x cs( ω β (A.7 hy hy cs( ω β O v d Pynng s h, apsnad n Apêndc 4., ndca qu flux d pênca da nda lmagnéca s dá na dçã ppndcula as vs d camp. N cas da nda plana flux d pênca é undcnal (dçã x y. A nda clíndca unfm (Fgua 4.7b é uma nda qu s ppaga a pa d uma fn nfna unfm a lng d x. Cm ss, a fn d nda é uma supfíc clíndca cnada na fn a nda s ppaga na dçã adal. Em ds s pns da fn d nda s camps êm a msma amplud. O camp léc sá nad na dçã axal camp magnéc na dçã amual. A quaçã d nda nss cas é dfn da fma smpls undmnsnal da quaçã (A.66. É msad n capíul 4 qu a fma gal da quaçã d nda nvlv laplacan ds camps, n luga da sgunda dvada na cdnada m (A.66. N cas da nda clíndca unfm, a sma clíndca da fn d nda ns pm smplfca a quaçã d nda usand apnas a pa adal d laplacan m cdnadas clíndcas. Assm, sgund Apêndc., ms: (A.73 s s s s s v hφ h s s s v φ 0 0 As sluçõs dsas quaçõs nvlvm us das funçõs d Bssl. Paa gands dsâncas da fn, cnud, ssas sluçõs ndm paa a sgun fma gnméca, n cas d fns hamôncas: 7

95 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (A.74 h φ C cs( ω βs s C cs( ω βs s Ond C C sã cnsans. Na nda clíndca unfm flux d pênca c na dçã adal (dçã s φ. Os camps sã anuads na mdda m qu a áa da fn d nda s xpand, mas a nga al anspada aavés dssa áa é cnsan. A Onda sféca unfm (Fgua 4.7c é uma nda qu s ppaga a pa d uma fn pnual adand spcamn (msma nnsdad m das as dçõs. Assm, a fn d nda é uma supfíc sféca s ppagand na dçã adal. Nss cas, s assumms qu camp léc sá nad na dçã pla camp magnéc na dçã amual, pdms b uma xpssã da quaçã d nda, cnsdand apnas a pa adal d laplacan m cdnadas sfécas (Apêndc.: (A.75 ( θ v h φ ( h 0 φ v θ 0 Paa fns hamôncas, as sluçõs dssas quaçõs sã dadas p: (A.76 h θ φ C C cs( ω β cs( ω β Na nda sféca unfm flux d pênca c na dçã adal (dçã θ φ. Os camps sã anuads na mdda m qu a áa da fn d nda s xpand, mas a nga al anspada aavés dssa áa é cnsan. Esss ês xmpls d nda lmagnéca unfm (plana, clíndca sféca sã ndas cncuas. Elas nã xsm d fa, mas, as ndas as muas vs pdm s apxmadas p uma dssas fmas daladas, pncpalmn m psçõs sufcnmn dsans das fns. Essas ndas 7

96 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams sã dnmnadas d ndas ansvsas, ps s camps sã ppndculas à dçã d ppagaçã. x y h Fgua 4.7a Rpsnaçã da nda plana unfm. A fn d nda é uma supfíc plana. φ s h Fgua 4.7b Rpsnaçã da nda clíndca unfm. A fn d nda é uma supfíc clíndca. 73

97 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams θ φ h Fgua 4.7c Rpsnaçã da nda sféca unfm. A fn d nda é uma supfíc sféca. Apêndc 4. Tma d Pynng Enga dsspada - Enga d plaaçã - Enga d magnaçã A nga ncssáa paa sablc as dsbuçõs d caga cn é xaamn a msma nga ncssáa paa ca s camps léc magnéc asscads a ssas fns. N vácu ssa nga é smplsmn amanada n spaç. Enan, m qualqu m cnsuíd d mléculas, a nga ncssáa paa sablc s camps n spaç nvlv alguns ms adcnas lacnads à naçã ds camps cm as paículas cagadas nssas mléculas. Pdm-s dsngu ês ms adcnas: 74

98 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Tabalh alad pl camp n mvmn d anslaçã d paículas móvs. O mvmn clv d cagas é dsc pla dnsdad d cn n m. A nga ansfda paa as cagas cndas n vlum dv m um nval d mp δ é: (A.77 dw F d ρ vδ j. δ Enã, abalh d anslaçã alad p undad d mp p undad d vlum, chamad d dnsdad d pênca dsspada n m, é dada p: (A.78 p dss dw d j. Enga d plaaçã d m. Os dpls lécs mlculas ndm a s alnha cm camp aplcad, mas dvd à agaçã émca, xs um spalhamn andômc nas naçõs ds mmns d dpl m laçã a camp. Cnud, m uma gand class d maas, a plaaçã, dfnda cm mmn al d dpl p undad d vlum (p, é ppcnal a camp aplcad (. A dnsdad d nga d plaaçã é dada p: (A.79 w pl p Uma v qu s dpls lécs d maal ambém cam camp léc n m, camp al é dfn d camp aplcad. Esa dpndênca d camp léc al cm a plaaçã das mléculas d maal é dsca pla cnsan dléca d m ( ε. Paa um m plaávl d xnsã nfna, a laçã n camp gad n vácu ( camp al nss m paa uma msma dsbuçã d cagas, é dada p: (A.80 ε Enã, a nga p undad d vlum paa ca uma dsbuçã d cagas m um m plaávl é dfn daqula calculada paa vácu bda na xpssã (3.75. A dfnça sá n fa d qu além d abalh alad na mvmnaçã das cagas aé a cnfguaçã fnal, a fn ncssa ala abalh adcnal paa alnha s dpls lécs d maal. Assm a dnsdad d nga al n m plaávl é dada p: 75

99 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams (A.8 w w + w pl ε p Pd-s msa qu subsund ε p ε ε m (3.75, bém-s xaamn sulad (A.8, u sja, a dnsdad d nga léca m um m plaávl ambém pd s calculada p: d (A.8 w d εε ε ε nd a laçã cnsuva ca aga é d ε ε. 3 Enga d magnaçã d m. D md análg a pcss d plaaçã dsc acma, a magnaçã d m c pla ndênca d alnhamn ds mmns d dpl magnéc mlculas cm camp magnéc aplcad. O v d magnaçã (m d m é dfnd cm mmn al d dpl magnéc p undad d vlum d maal. Os maas dnmnads paamagnécs damagnécs s magnam d mana ppcnal a camp aplcad. Paa sss maas, a dnsdad d nga d magnaçã é dada p: (A.83 w mag m b nd b é a nduçã magnéca aplcada, u sja, a nduçã magnéca n vácu paa a msma dsbuçã d cn. Cnud, cm s dpls ambém pdum nduçã magnéca, a nduçã sulan da aplcaçã d camp m um m magnávl é dfn d b, snd dada p: (A.84 b b + bm nd b é a nduçã sulan da magnaçã d m. Ns ms qu s m magnam ppcnalmn a camp aplcad, a nduçã sulan anda pd s dada p: (A.85 b μ b nd μ é a pmabldad magnéca lava d m. Dvd a abalh adcnal paa alnhamn ds dpls magnécs d m, abalh al paa 76

100 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams ca uma dsbuçã d cn m um m magnávl é dfn daqul calculad paa vácu xpss pla quaçã (3.85. Assm, a dnsdad d nga magnéca m um m lna é dada p: b (A.86 w m w + w mag + m b μ Pd-s msa qu a quaçã (3.85 fnc val c da nga al dada m (A.3 s μ f subsuíd p (A.87 w m b h b μ μ μμ nd aga a laçã cnsuva ca é h μ μ. Assm, ms: b μ μ h. V d Pynng flux d pênca Vms acma qu a nga dspnsada plas fns paa sablc as dsbuçõs d caga cn n spaç fca amanada ns camps uma pa dssa nga é ulada paa plaa magna as mléculas d m. Em ms dsspavs, uma pa da nga fncda plas fns ambém é cnsumda cm abalh sb as cagas móvs d maal. Dsjams b aga uma laçã qu dmns a ansfmaçã cnsvaçã d nga m ssmas lmagnécs. Cnsdms uma amsa d maéa suja a camps lmagnécs. Em cada nsan d mp pdms calcula a nga amanada m su vlum cm a ngal da dnsdad d nga lmagnéca: d b (A.88 w δd + h δb 0 0 N qu ssa nga amanada já cnsda a pacla d nga dspnsada paa a plaaçã magnaçã da amsa, ps s camps m (A.88 sã s camps as, nclund s camps cads pls dpls lécs magnécs d maal. S maal cnsm nga lmagnéca qu s cnv m abalh sb suas cagas lvs, a nga amanada dv, a pncíp, vaa 77

101 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams n mp d acd cm a quandad d abalh alad. Calculms, nã, a axa d vaaçã mpal da dnsdad d nga w : w d b (A.89 + h Subsund aga as axas d vaaçã mpal ds camps d acd cm as ls d Amp Faaday, bms: w (A.90 ( h j h ( j [ h ( ( h ] D acd cm a dndad val ( f g ( f g ( g f subsu m n clch nsa quaçã p ( h w (A.9 j ( h. Enã, ms:, pdms Es sulad é cnhcd cm ma d Pynng. O pm m n lad d dsa quaçã é a pênca dsspada p undad d vlum da amsa. O sgund m ns lva a cnc d flux d pênca aavés da supfíc da amsa à dfnçã d v d Pynng, dad p: (A.9 s h Enã, pncíp d cnsvaçã d nga lmagnéca pd s dsc pla quaçã: w (A.93 p dss s O sgnfcad físc dsa quaçã é mas bm cmpndd quand cnsdams a nga al nvlvd n vlum da amsa: dw (A.94 pdss dv s dv Pdss s ds d V V S a a A nga lmagnéca é cnsumda n abalh sb as cagas lvs d maal n flux d pênca paa fa da amsa, cuja dnsdad supfcal é dada pl v d Pynng. P u lad, s a nga lmagnéca al n vlum d um cp maal nã vaa n mp, (A.94 ns lva a cnclu qu: (A.95 s ds P Sa dss a 78

102 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams u sja, a dsspaçã d nga na amsa é cmpnsada pl flux d pênca lmagnéca paa dn d maal. Fnalmn, s vlum cnsdad nvlv uma fn d nga lmagnéca, nã (A.94 dv nclu a pênca P s fncda p ssa fn: dw (A.96 Ps Pdss s ds d S a 79

103 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Excícs Ppss Pand das quaçõs d Maxwll paa um m lna sópc, ncn as quaçõs d nda paa s camps léc magnéc, n dmín d mp da fqüênca. Dmns qu: xp( mα cs( ω m β + θ h h xp( mα cs( ω m β + θh sã sluçõs das quaçõs d nda lmagnéca ncn as laçõs n as ampluds h as fass ncas θ θ h. Qual sgnfcad ds snas ± nsas xpssõs? 3 Ddua as xpssõs d α β m funçã d σ, ε, μ ω paa um m qualqu. 4 Encn as apxmaçõs d α β paa: (a dléc pf; (b cndu cm σ>>ωε; 5 Dmns qu m uma nda plana s vs camp léc, camp magnéc v d nda sã muuamn ppndculas. 6 Ddua a xpssã gal da mpdânca caacísca d um m dmn val dssa mpdânca paa dlécs pfs cndus cm σ>>ωε. 7 Pqu a vlcdad d fas n vácu é ma d qu m qualqu u m? Em qu ccunsânca a vlcdad d fas vaa cm a fqüênca? 8 O qu é pfunddad d pnaçã m cndus? Cm ss dpnd da fqüênca? 9 Pv qu m um m cndu as ndas cm fqüênca ω<<σ/ε êm sus camps dfasads d 45. w 0 Explqu sgnfcad da quaçã pd s. Ms qu a pa al d v d Pynng cmplx é a pênca méda p undad d áa flund na dçã d ppagaçã da nda. Explqu quas sã as cndçõs paa hav: (a Plaaçã lna; (b Plaaçã lípca squda; (c Plaaçã lípca da; (d Plaaçã ccula squda; ( Plaaçã ccula da. 80

104 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams 3 Explqu cm s fmam ndas sacnáas qual a nfluênca d cfcn d flxã na ROE ns vals máxm mínm d camp? 4 Pv qu paa ângul d ncdênca gual a ângul d Bws a nda paallamn plaada nã s fl na nfac n ds ms. 5 O qu é flxã nna al? Encn ângul cíc paa flxã al m funçã ds índcs d façã ds ms nvlvds. 6 Calcul s vals d γ α + j β Z R + jx, paa: a a ε, μ σ 0 b água dslada ε 8, μ σ 0 c água d ma ε 8, μ σ 4S / m d cb ε, μ 5,8x0 7 σ S / m nas fqüêncas MH, 00MH GH. 7 Uma nda ncd ppndculamn na nfac n ds ms. O m nd c a ncdênca é um dléc cm ε μ m nd c a ansmssã é um cndu cm σ, ε μ. Calcul s cfcns d flxã d ansmssã paa: (a σ >>ωε (b σ <<ωε. 8 S m d ncdênca n xcíc an é a u m é a água d ma s a amplud d camp ncdn é 00V/m a fqüênca é 00MH, calcul a amplud fas das ndas flda ansmda scva as xpssõs cmplas ds vs d camp léc magnéc dssas ndas. 9 Em laçã a xcíc an, calcul anda: a A ROE paa a nfênca n as ndas ncdn flda. b A pênca méda p undad d áa ncdn na água; c A pênca ava p undad d áa n m d ncdênca; d A pênca ava ava p undad d áa na água ; 0 Uma nda plana ncd ppndculamn numa nfac n a uma supfíc pacalmn fla. Vfca-s qu a nda sacnáa apsna uma ROE d qu na dsânca d λ da nfac c um mínm na 3 dsbuçã d ampluds d camp léc. Cm ssas nfmaçõs, calcul a mpdânca d maal da supfíc. Qual dv s ângul d ncdênca d uma nda cculamn plaada paa qu a nda flda sja plaada ppndculamn a plan d ncdênca n cas d uma nfac: (a a-água; (b a-vd; (c água-vd. Cnsd m d ncdênca cm snd pm cad, μ paa ds s maas ε paa a, ε 8 paa água ε 6 paa vd. 8

105 ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA Pf. D. An Rams Em cada uma das nfacs cadas n xcíc an vfqu m qual m a ncdênca dv s da qual dv s ângul d ncdênca paa c flxã al. 3 Uma nda plana s ppaga a pa d uma fn m um m cm cnsans σ0s/m, ε 40 μ. S m x0 a pênca méda adada p undad d áa é P, calcul a nnsdad ds camps léc magnéc m uma dsânca d x0m paa as fqüêncas: (a Mh; (b00mh (cgh. 8