Construções geométricas possíveis
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- Martim Aveiro Castelo
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1 Construções geométricas possíveis utilizando apenas compasso Delano Klinger A. de Souza UEVA Setembro 2011 Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 1 / 27
2 Construções geométricas possíveis utilizando apenas compasso Universidade Estadual Vale do Acaraú Seminário de Matemática Terceiro dia da Semana da Matemática de setembro de 2011 Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 2 / 27
3 1. Introdução Há mais de dois mil anos as construções com régua e compasso constituem tema de contínuo e renovado interesse para os estudiosos em Matemática. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 3 / 27
4 1. Introdução Há mais de dois mil anos as construções com régua e compasso constituem tema de contínuo e renovado interesse para os estudiosos em Matemática. Uma das principais razões desse prestígio é, sem dúvida, o fato de alguns problemas de construção estarem intimamente ligados a problemas de Álgebra e Teoria dos Números. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 3 / 27
5 1. Introdução Há mais de dois mil anos as construções com régua e compasso constituem tema de contínuo e renovado interesse para os estudiosos em Matemática. Uma das principais razões desse prestígio é, sem dúvida, o fato de alguns problemas de construção estarem intimamente ligados a problemas de Álgebra e Teoria dos Números. Uma outra razão muito forte do ponto de vista pedagógico, é de ser este assunto, uma fonte inesgotável de problemas de todos os níveis de di culdade. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 3 / 27
6 1. Introdução Após rápida digressão histórica, apresentaremos, de modo informal as principais idéias da demonstração do Teorema de Mohr-Mascheroni que a rma ser possível dispensar o uso da régua nas construções possíveis com régua e compasso. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 4 / 27
7 1. Introdução Após rápida digressão histórica, apresentaremos, de modo informal as principais idéias da demonstração do Teorema de Mohr-Mascheroni que a rma ser possível dispensar o uso da régua nas construções possíveis com régua e compasso. Acreditamos que esta exposição, motive o estudo de questões mais complexas como, por exemplo, a solubilidade ou não de alguns problemas com régua e compasso: Ciclotomia e Quadratura.do Círculo. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 4 / 27
8 2. A régua e o compasso A tradição de usar somente régua e compasso nas construções geométricas remonta à antiguidade grega,mais precisamente, a época da descoberta dos números irracionais pela escola de Pitágoras. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 5 / 27
9 2. A régua e o compasso A tradição de usar somente régua e compasso nas construções geométricas remonta à antiguidade grega,mais precisamente, a época da descoberta dos números irracionais pela escola de Pitágoras. Para maiores detalhes, consulte [Courant-Hobbins]. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 5 / 27
10 2. A régua e o compasso Compreendida a razão e assimilado o hábito de se fazer construções com régua e compasso, ocorre-nos naturalmente seguinte pergunta: Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 6 / 27
11 2. A régua e o compasso Compreendida a razão e assimilado o hábito de se fazer construções com régua e compasso, ocorre-nos naturalmente seguinte pergunta: Que tipos de construções podem ser efetuados utilizando apenas um desses instrumentos? Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 6 / 27
12 2. A régua e o compasso Compreendida a razão e assimilado o hábito de se fazer construções com régua e compasso, ocorre-nos naturalmente seguinte pergunta: Que tipos de construções podem ser efetuados utilizando apenas um desses instrumentos? É o que veremos a seguir: Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 6 / 27
13 2.1. Régua A ausência do compasso é uma restrição real e muito signi cativa. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 7 / 27
14 2.1. Régua A ausência do compasso é uma restrição real e muito signi cativa. O estudo sistemático do que é possível fazer utilizando apenas a régua nos conduz a geometria projetiva, assunto de extrema beleza e importância, mas que nos levaria a fugir do foco dessa exposição. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 7 / 27
15 2.1. Régua A ausência do compasso é uma restrição real e muito signi cativa. O estudo sistemático do que é possível fazer utilizando apenas a régua nos conduz a geometria projetiva, assunto de extrema beleza e importância, mas que nos levaria a fugir do foco dessa exposição. Os interessados poderá consultar [Courant-Hobbins]. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 7 / 27
16 2.2. Compasso Até 1928 supunha-se que Lorenzo Mascheroni( ), geômetra italiano, tenha sido o primeiro a provar que o uso da régua é dispensável nas construções geométricas [Mascheroni]. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 8 / 27
17 2.2. Compasso Até 1928 supunha-se que Lorenzo Mascheroni( ), geômetra italiano, tenha sido o primeiro a provar que o uso da régua é dispensável nas construções geométricas [Mascheroni]. Nesse mesmo ano foi encontrado numa livraria de Copenhague um livro intitulado "Euclides Danicus", cujo autor era um dinamarquês chamado Georg Mohr. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 8 / 27
18 2.2. Compasso Com surpresa veri cou-se que o livro, publicado em 1672, continha o mesmo problema de Moscheroni, porém com demonstração diferente. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 9 / 27
19 2.2. Compasso Com surpresa veri cou-se que o livro, publicado em 1672, continha o mesmo problema de Moscheroni, porém com demonstração diferente. Por esse motivo este o resultado cou conhecido como Teorema de Mohr-Mascheroni. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 9 / 27
20 2.2. Compasso Com surpresa veri cou-se que o livro, publicado em 1672, continha o mesmo problema de Moscheroni, porém com demonstração diferente. Por esse motivo este o resultado cou conhecido como Teorema de Mohr-Mascheroni. Faremos aqui uma demonstração diferente das duas apresentadas por Mohr e Mascheroni, utilizando o método da inversão. Esta prova foi feita por Alfred Adler( ), em Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 9 / 27
21 3. Regras nas construções geométicas A utilização da régua e do compasso nas construções geométricas só é permetida para realizar as seguintes operações: R 1 (Régua) Traçar uma reta unindo dois pontos distintos; Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 10 / 27
22 3. Regras nas construções geométicas A utilização da régua e do compasso nas construções geométricas só é permetida para realizar as seguintes operações: R 1 (Régua) Traçar uma reta unindo dois pontos distintos; C 1 (Compasso) Traçar uma circunferência de centro dado e passando por um ponto dado; Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 10 / 27
23 3. Regras nas construções geométicas A utilização da régua e do compasso nas construções geométricas só é permetida para realizar as seguintes operações: R 1 (Régua) Traçar uma reta unindo dois pontos distintos; C 1 (Compasso) Traçar uma circunferência de centro dado e passando por um ponto dado; C 2 (Compasso) Traçar uma circunferência de centro dado e raio dado. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 10 / 27
24 4. Construções euclideanas Dizemos que uma construção geométrica é euclideana quando envolver um número nito de operações dos tipos: R 1, C 1 ou C 2. Obs1. Decorre imediatamente da de nição dada acima que nas construções euclideanas os pontos são obtidos como interseção: Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 11 / 27
25 4. Construções euclideanas Dizemos que uma construção geométrica é euclideana quando envolver um número nito de operações dos tipos: R 1, C 1 ou C 2. Obs1. Decorre imediatamente da de nição dada acima que nas construções euclideanas os pontos são obtidos como interseção: de duas retas; Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 11 / 27
26 4. Construções euclideanas Dizemos que uma construção geométrica é euclideana quando envolver um número nito de operações dos tipos: R 1, C 1 ou C 2. Obs1. Decorre imediatamente da de nição dada acima que nas construções euclideanas os pontos são obtidos como interseção: de duas retas; de duas circunferências, ou Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 11 / 27
27 4. Construções euclideanas Dizemos que uma construção geométrica é euclideana quando envolver um número nito de operações dos tipos: R 1, C 1 ou C 2. Obs1. Decorre imediatamente da de nição dada acima que nas construções euclideanas os pontos são obtidos como interseção: de duas retas; de duas circunferências, ou de uma reta e uma circunferêcia. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 11 / 27
28 5. Exemplos de construções euclideanas utilizando apenas compasso 1 Dividir uma circunferência C dada em 6 partes iguais. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 12 / 27
29 5. Exemplos de construções euclideanas utilizando apenas compasso 1 Dividir uma circunferência C dada em 6 partes iguais. 2 Dados os pontos A e B achar um ponto C na reta AB,! tal que B seja o ponto médio do segmento AC. Generalizar o problema para obter um ponto C tal que AC = m AB, m 2 N. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 12 / 27
30 5. Exemplos de construções euclideanas utilizando apenas compasso 1 Dividir uma circunferência C dada em 6 partes iguais. 2 Dados os pontos A e B achar um ponto C na reta AB,! tal que B seja o ponto médio do segmento AC. Generalizar o problema para obter um ponto C tal que AC = m AB, m 2 N. 3 Dados três pontos A, B e C não alinhados, achar o simétrico de C em relação à reta! AB. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 12 / 27
31 6. Inversão geométrica A inversão geométrica é uma transformação geométrica que nos permite atacar, de forma metódica e uni cada, determinados tipos de problemas. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 13 / 27
32 6.1. De nição de Inverso relativo a um ponto Seja C uma circunferência de centro O e raio r. Dado um ponto P 6= O no plano de nimos como seu inverso relativo ao ponto C, como o ponto P da semi-reta OP,! satisfazendo a igualdade OPOP =r 2 Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 14 / 27
33 6.2. onstrução do inverso relativo a um ponto usando apenas o compasso Há dois casos a distinguir: 1 P está no exterior de C Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 15 / 27
34 6.2. onstrução do inverso relativo a um ponto usando apenas o compasso Há dois casos a distinguir: 1 P está no exterior de C 2 P está no interior de C. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 15 / 27
35 1 o Caso P está no exterior de C Determina-se os pontos R e S de intersecção da circunferência C com a circunferência de centro P e passando por O. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 16 / 27
36 1 o Caso P está no exterior de C Determina-se os pontos R e S de intersecção da circunferência C com a circunferência de centro P e passando por O. O inv(p)= P é obtido como a intersecção das circunferências de centros R e S respectivamente e que passam por O. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 16 / 27
37 1 o Caso P está no exterior de C Determina-se os pontos R e S de intersecção da circunferência C com a circunferência de centro P e passando por O. O inv(p)= P é obtido como a intersecção das circunferências de centros R e S respectivamente e que passam por O. A prova de que P é o inverso de P, utiliza a semelhança dos triângulos ORP e ORP. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 16 / 27
38 1 o Caso P está no exterior de C Determina-se os pontos R e S de intersecção da circunferência C com a circunferência de centro P e passando por O. O inv(p)= P é obtido como a intersecção das circunferências de centros R e S respectivamente e que passam por O. A prova de que P é o inverso de P, utiliza a semelhança dos triângulos ORP e ORP. Neste caso OR OP =OP ) OPOP = r2 OR Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 16 / 27
39 2 o Caso P está no interior de C Utilizando-se do Exemplo 2 da seção 5, determina-se um ponto T da semi-reta OP! tal que T esteja no exterior de C, de modo que OT = n OP para algum n 2 N. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 17 / 27
40 2 o Caso P está no interior de C Utilizando-se do Exemplo 2 da seção 5, determina-se um ponto T da semi-reta OP! tal que T esteja no exterior de C, de modo que OT = n OP para algum n 2 N. Constrói-se o inv (T) = T e usando-se o fato de que n OT = OP! determina-se P. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 17 / 27
41 6.3. De nição de inversão geométrica A transformação do plano menos o ponto O em si mesmo de nida pela correspondência que associa a cada ponto o seu inverso chama-se inversão de centro O e raio r. A circunferência C é denominada circunferência de inversão. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 18 / 27
42 6.3. De nição de inversão geométrica A transformação do plano menos o ponto O em si mesmo de nida pela correspondência que associa a cada ponto o seu inverso chama-se inversão de centro O e raio r. A circunferência C é denominada circunferência de inversão. Dizemos que duas gura F e F 0 são inversas uma da outra, quando podemos obter uma da outra por meio de uma inversão. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 18 / 27
43 6.4. Propriedades da Inversão 1 Toda inversão é uma involução, isto é: se, inv(p)= P e inv(p )= P, então P = P. Portanto é uma aplicação bijetiva. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 19 / 27
44 6.4. Propriedades da Inversão 1 Toda inversão é uma involução, isto é: se, inv(p)= P e inv(p )= P, então P = P. Portanto é uma aplicação bijetiva. 2 Se P é um ponto da circunferência C de inversão, então inv(p)= P, ou seja, a inversão restrita a C é a aplicação identidade. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 19 / 27
45 6.4. Propriedades da Inversão 1 Toda inversão é uma involução, isto é: se, inv(p)= P e inv(p )= P, então P = P. Portanto é uma aplicação bijetiva. 2 Se P é um ponto da circunferência C de inversão, então inv(p)= P, ou seja, a inversão restrita a C é a aplicação identidade. 3 A inversa de uma reta r passando pelo ponto O é a própria reta r. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 19 / 27
46 6.4. Propriedades da Inversão 1 Toda inversão é uma involução, isto é: se, inv(p)= P e inv(p )= P, então P = P. Portanto é uma aplicação bijetiva. 2 Se P é um ponto da circunferência C de inversão, então inv(p)= P, ou seja, a inversão restrita a C é a aplicação identidade. 3 A inversa de uma reta r passando pelo ponto O é a própria reta r. 4 A inversa de uma reta r que não passa pelo ponto O, é uma circunferência C passando pelo ponto O. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 19 / 27
47 6.4. Propriedades da Inversão 1 Toda inversão é uma involução, isto é: se, inv(p)= P e inv(p )= P, então P = P. Portanto é uma aplicação bijetiva. 2 Se P é um ponto da circunferência C de inversão, então inv(p)= P, ou seja, a inversão restrita a C é a aplicação identidade. 3 A inversa de uma reta r passando pelo ponto O é a própria reta r. 4 A inversa de uma reta r que não passa pelo ponto O, é uma circunferência C passando pelo ponto O. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 19 / 27
48 6.4. Propriedades da Inversão 5. A inversa de uma circunferência passando pelo ponto O é uma reta que não passa pelo ponto O. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 20 / 27
49 6.4. Propriedades da Inversão 5. A inversa de uma circunferência passando pelo ponto O é uma reta que não passa pelo ponto O. 6. A inversa de uma circunferência C 1 que não passa pelo ponto O é uma circunferência C 1 que não passa pelo ponto O. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 20 / 27
50 6.4. Propriedades da Inversão 5. A inversa de uma circunferência passando pelo ponto O é uma reta que não passa pelo ponto O. 6. A inversa de uma circunferência C 1 que não passa pelo ponto O é uma circunferência C 1 que não passa pelo ponto O. Vejamos no Cabri II, os desenhos das propriedades 5 e 6. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 20 / 27
51 7. Teorema de Mohr-Mascheroni Todo ponto do plano obtido através de uma construção euclidiana pode ser obtido por uma construção utilizando apenas o compasso. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 21 / 27
52 7. Teorema de Mohr-Mascheroni Todo ponto do plano obtido através de uma construção euclidiana pode ser obtido por uma construção utilizando apenas o compasso. É uma consequência imediata da Obs1. feita na seção 4, que a demonstração deste teorema se reduz aos dois Lemas, a seguir: Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 21 / 27
53 Lema 1 Sejam A, B, C e D pontos distintos do plano tais que as retas AB! e CD! são concorrentes em X. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 22 / 27
54 Lema 1 Sejam A, B, C e D pontos distintos do plano tais que as retas AB! e CD! são concorrentes em X. Então é possível obter o ponto X, por uma construção utilizando apenas o compasso. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 22 / 27
55 Demonstração do Lema 1 Sejam duas retas concorrente! certo ponto X; AB e CD,! num Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 23 / 27
56 Demonstração do Lema 1 Sejam duas retas concorrente AB! e! certo ponto X; Devemos então determinar o ponto X; CD, num Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 23 / 27
57 Demonstração do Lema 1 Sejam duas retas concorrente AB! e CD,! num certo ponto X; Devemos então determinar o ponto X; Construa uma circunferência C 0 de raio arbitrário e a seguir obtenha duas circunferências C 1 e C 2 inversas das duas retas em questão em relação a C 0. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 23 / 27
58 Demonstração do Lema 1 Sejam duas retas concorrente AB! e CD,! num certo ponto X; Devemos então determinar o ponto X; Construa uma circunferência C 0 de raio arbitrário e a seguir obtenha duas circunferências C 1 e C 2 inversas das duas retas em questão em relação a C 0. C 1 e C 2 se cortam em dois pontos. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 23 / 27
59 Demonstração do Lema 1 Sejam duas retas concorrente AB! e CD,! num certo ponto X; Devemos então determinar o ponto X; Construa uma circunferência C 0 de raio arbitrário e a seguir obtenha duas circunferências C 1 e C 2 inversas das duas retas em questão em relação a C 0. C 1 e C 2 se cortam em dois pontos. Um deles é o ponto O e em virtude das duas retas AB! e CD! serem concorrentes num ponto X, o outro ponto será um ponto Y inverso do ponto X. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 23 / 27
60 Lema 2 Sejam C uma circunferência de centro O e raio r e dois pontos A e B do plano tais que a reta AB! intersecte a circunferência C. Então é possível determinar os pontos M e N de intersecção de C com a reta AB,! utilizando apenas o compasso. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 24 / 27
61 Demonstração do Lema 2 Por um ponto U fora de C e da reta que passa por AB constrói-se uma circunferência H de raio arbitrário. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 25 / 27
62 Demonstração do Lema 2 Por um ponto U fora de C e da reta que passa por AB constrói-se uma circunferência H de raio arbitrário. Constrói-se as circunferência C 1 e C 2 inversas (com relação a H), respectivamente, da reta que passa por AB e da circunferência C. Para construir C 1 primeiro obtemos um ponto O simétrico de U em relação a reta que passa por AB. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 25 / 27
63 Demonstração do Lema 2 Por um ponto U fora de C e da reta que passa por AB constrói-se uma circunferência H de raio arbitrário. Constrói-se as circunferência C 1 e C 2 inversas (com relação a H), respectivamente, da reta que passa por AB e da circunferência C. Para construir C 1 primeiro obtemos um ponto O simétrico de U em relação a reta que passa por AB. Depois determina o inverso de O em relação a circunferência T que é exatamente o centro de C 1.ni. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 25 / 27
64 Demonstração do Lema 2 Para determinar C 2 achamos três inversos de C em relação a T e por esses três pontos obtemos C 2 sem o auxílio do compasso. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 26 / 27
65 Demonstração do Lema 2 Para determinar C 2 achamos três inversos de C em relação a T e por esses três pontos obtemos C 2 sem o auxílio do compasso. Fica assim demonstrado o Lema 2 e portanto o Teorema de Mohr-Maschero Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 26 / 27
66 Referências bibliográ cas [Courant-Hobbins] R. Courant, H. Robbins. What is Mathematis. Oxford University Press, [Mascheroni] L. Mascheroni. Geometria del compasso [Lebesgue] H. Lebesgue. Leçons sur les constructions geometriques. Gauthier-Villars. Paris, [Kostovsky] A.H. Kostovsky. Construcciones geométricas mediante un compãs. Delano Klinger A. de Souza (UEVA) Construções geométricas utilizando compasso 09/11 27 / 27
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