UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CCT. Departamento de Ciências da Computação

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CCT Departamento de Ciências da Computação

2 Nota importante: Existem materiais incluídos neste texto de outros autores e fontes bibliográficas devidamente identificadas. O texto deve ser utilizado como referência. Para informações mais completas, deve-se recorrer aos livros ou sites Web citados na bibliografia. Capítulo II - Álgebra de Boole e Circuitos Lógicos Básicos 2.1 Formatos binários Assim como nos números decimais, os zeros colocados à esquerda de dígitos binários não são significantes. Podemos colocar infinitos zeros à esquerda de um número binário e, nem assim, seu valor se modifica. Veja o número binário 101, que corresponde a 5 decimal: 101 = = Na matemática pura, qualquer valor pode ter um número infinito de dígitos (lembrando que os zeros colocados à esquerda não alteram o valor do número). Com os computadores a coisa é um pouco diferente, pois trabalham com um número específico de bits(derivado de binary digit). Os grupos de dígitos binários mais comumente utilizados pelos computadores são: bits únicos, grupos de 4 bits - chamados de nibble, grupos de 8 - chamados de byte, grupos de 16 - chamados de word (word = palavra), etc. A razão da existência destes grupos é funcional, característica dos chips 80x86. Vamos convencionar que oito bits agrupados são chamados de 1 byte, e um bit representa um dígito binário e adotar a convenção de grafá-los sempre em múltiplos de quatro casas. Por exemplo, o decimal 5 poderá ser grafado como 0101, , ou mesmo No sistema decimal costumamos separar os dígitos em grupos de três: é mais legível que No sistema binário agruparemos os dígitos em grupos de quatro, que chamaremos nibble, também para melhorar a legibilidade. Por exemplo, será grafado Um único bit consegue representar unicamente dois valores diferentes (tipicamente zero ou um). O que precisa ficar claro é a dualidade do bit. Esta dualidade pode se referir a itens de um mesmo tipo ou a itens de natureza completamente diferente. Um bit pode representar 0 ou 1, verdadeiro ou falso, ligado ou desligado, masculino ou feminino, certo ou errado. Um bit também pode representar quaisquer dois valores (como 589 ou 1325) ou duas cores (como azul ou vermelho). Nada impede de que um bit represente dois itens de natureza distinta, como 589 ou vermelho. Podemos representar qualquer par de itens com um bit, mas apenas um único par de itens. A coisa pode ficar ainda mais complexa quando bits diferentes representarem itens diferentes. Por exemplo, um bit pode representar os valores 0 ou 1, enquanto outro bit adjacente pode representar os valores falso ou verdadeiro. Olhando apenas para os bits, não é possível reconhecer a natureza do que estejam representando. Isto mostra a idéia que está por trás das estruturas de dados num computador: dados são o que você definiu. Se você usar um bit para representar um valor booleano (falso/verdadeiro), então este bit, de acordo com a definição que você deu, representa falso ou verdadeiro. Para que o bit tenha significado, é preciso manter a consistência: se você estiver usando um bit para representar falso ou verdadeiro, este bit, em todos os pontos do seu programa, 30

3 deve apenas conter a informação falso ou verdadeiro; não pode ser usado para representar cores, valores, ou qualquer outro tipo de item. Como a maioria dos itens que precisam ser representados possuem mais do que dois valores, bits únicos não são o tipo de dado mais usado. Conjuntos de bits são os tipos mais utilizados em programas e valem uma análise mais detalhada. O nibble Um nibble é um conjunto de quatro bits. Não seria um tipo de dado muito interessante não fosse a existência de dois itens especiais: números BCD (binary coded decimal) e números hexadecimais. Um dígito BCD ou um dígito hexadecimal precisa exatamente de quatro bits para ser representado. Com um nibble podemos representar até 16 valores distintos. No caso dos números hexadecimais, cada um dos valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F é representado por quatro bits. Quaisquer 16 valores distintos podem ser representados por um nibble, mas os mais importantes e conhecidos são os dígitos BCD e hexadecimais. O byte Sem dúvida alguma, a estrutura de dados mais importante usada pelos microprocessadores 80x86 é o byte. Um byte é um conjunto de oito bits, o menor item de dado endereçável no 80x86. Isto significa que o menor item que pode ser acessado individualmente por um programa 80x86 é um valor de oito bits. Para acessar qualquer coisa menor, é preciso ler o byte que contenha os dados e usar uma máscara para filtrar os bits desejados. Os bits de um byte também são numerados da direita para a esquerda, de 0 a 7. O bit 0 é o bit de ordem baixa (LSB Less Significant Bit)) ou bit menos significativo e o bit 7 é o bit de ordem alta (MSB Most Significant Bit)) ou bit mais significativo. Os outros bits são referenciados pelos seus números. Observe que um byte possui dois nibbles. O nibble com os bits de 0 a 3 é o nibble LSB e o nibble com os bits de 4 a 7 é o nibble MSB. Como o byte possui dois nibbles e cada nibble corresponde a um dígito hexadecimal, valores byte são expressos através de dois dígitos hexadecimais. Como um byte possui 8 bits, ele pode representar 2 8 = 256 valores diferentes. Geralmente um byte é utilizado para representar valores numéricos positivos de 0 a 255, valores numéricos com sinal de -128 a 127, os códigos dos caracteres ASCII e outros tipos especiais de dados não necessitem de mais do que 256 valores diferentes. Muitos tipos de dados possuem menos do que 256 itens, de modo que oito bits são suficientes para representá-los. Uma vez que o 80x86 é uma máquina de bytes endereçáveis, é mais eficiente manipular um byte completo do que um bit individual ou um nibble. Por esta razão, a maioria dos programadores usam o byte completo para representar tipos de dados, mesmo quando possuam menos do que 256 itens. Por exemplo, é comum representar os valores booleanos falso e verdadeiro com e

4 O uso mais importante do byte é, provavelmente, para representar um código de caracter. Todos os caracteres digitados no teclado, mostrados na tela ou impressos numa impressora, possuem um valor numérico. Para padronizar estes valores, criou-se o conjunto de caracteres ASCII. O conjunto ASCII básico possui 128 códigos. Os 128 restantes são utilizados com valores para caracteres adicionais como caracteres europeus, símbolos gráficos, letras gregas e símbolos matemáticos. Pesquise sobre a tabela ASCII de caracteres/códigos. Armazenar! O word O word (palavra) é um grupo de 16 bits, numerados da direita para a esquerda de 0 a 15. O bit 0 é o LSB e o bit 15 o MSB. Os restantes são referenciados pelos seus números. Observe que o word é composto por dois bytes. O byte com os bits de 0 a 7 é o byte menos significativo ou de ordem baixa (O.B.) e o byte com os bits de 8 a 15 é o byte mais significativo ou de ordem alta (O.A.) É claro que um word também pode ser dividido em quatro nibbles. O nibble menos significativo no word, de O.B., é o nibble 0 e o nibble mais significativo no word, de O.A., é o nibble 3. Com 16 bits é possível obter 2 16 = valores diferentes. Estes podem ser valores numéricos positivos de 0 a , numéricos com sinal de a ou qualquer outro tipo de dado que possua até valores. Words são usados principalmente para três tipos de dados: valores inteiros, deslocamentos (offsets) e valores de segmento. Words podem representar valores inteiros de 0 a ou de a Valores numéricos sem sinal são representados pelo valor binário que corresponde aos bits no word. Valores numéricos com sinal usam a forma de complemento de dois. 32

5 Valores de segmento, que sempre têm comprimento de 16 bits, constituem o endereço de memória de parágrafos do código, de dados, do segmento extra ou do segmento da pilha. O double word O double word (palavra dupla) é o que o nome indica: um par de words. Portanto, um double word é um conjunto de 32 bits. Naturalmente, um double word pode ser quebrado em 2 words, 4 bytes ou 8 nibbles. Double words podem representar todo tipo de coisa. Em primeiro lugar estão os endereços segmentados. Outro item comumente representado por um double word são os valores inteiros de 32 bits, que podem ir de 0 a , ou números com sinal, que podem ir de a Valores de ponto flutuante de 32 bits também cabem num double word. Na maioria das vezes, os double words são usados para armazenarem endereços segmentados. 2.2 Álgebra Booleana ou Álgebra de Boole O nome Álgebra Booleana é em homenagem ao matemático inglês George Boole que em 1854, publicou um livro clássico. Uma investigação das leis do pensamento sobre as quais são baseadas as teorias matemáticas da lógica e das probabilidades. O propósito estabelecido por Boole era o de realizar uma análise matemática da lógica. A Álgebra de Boole surgiu inicialmente por ter relações com os problemas que apareceram no projeto de circuitos de chaveamento com relês em 1938, Claude E. Shannon que era assistente de pesquisa no departamento de engenharia elétrica no MIT, em uma versão de sua tese para o grau de mestre de ciências que foi publicada sob o título A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits. Este artigo apresentava um método para representação de qualquer circuito consistindo de combinações de chaves e réles por um conjunto de expressões combinações matemáticas, e foi desenvolvido um cálculo para manipular estas expressões. O cálculo usado baseava-se comprovadamente na álgebra booleana. 33

6 A lógica booleana é a base dos sistemas binários. Usando um sistema de equações booleanas é possível representar qualquer algoritmo ou qualquer circuito eletrônico do computador. A álgebra booleana é um sistema de dedução matemática restrito aos valores zero e um (falso e verdadeiro). Operadores binários definidos para este conjunto de valores aceitam um par de entradas booleanas e produzem um valor booleano único. Por exemplo, o operador booleano AND aceita duas entradas booleanas e produz uma única saída booleana (o AND lógico das duas entradas). 2.3 Postulados da Álgebra de Boole A Álgebra de Boole é um sistema constituído por um conjunto S, duas operações fechadas ( +, ou, e., e) definidas sobre S, e por um conjunto de postulados. A operação simbolizada por + é chamada operação OU (ou OR). A operação simbolizada por. é chamada operação E (ou AND). Os símbolos + e. não tem o mesmo significado dos símbolos aritméticos usados para as operações aritméticas de adição e multiplicação. Uma operação é dita fechada sobre um conjunto se, quando aplicadas a dois ou mais elementos pertencentes ao conjunto, origina um outro elemento também pertencente ao conjunto. Por exemplo: Se a Є S e b Є S, então (a + b) Є S (a. b) Є S Є = pertence P.1 Associatividade de + e. (a + b) + c = a + (b + c) (a. b). c = a. (b. c) P.2 Comutatividade de + e. (a + b) = (b + a) (a. b) = (b. a) P.3! (Existência) de um único elemento unitário em relação à operação a = a + 0 = a elemento unitário P.4! (Existência) de um único elemento unitário em relação à operação. 1. a = a. 1 = a elemento unitário 34

7 P.5 Distributividade de + sobre. a + (b. c) = (a + b). (a + c) P.6 Distributividade de. sobre + a. (b + c) = (a. b) + (a. c) P.7 Existência de um complemento ( a) ( ā) tal que, = qualquer que seja a. ā = 0 a + ā= 1 Aplicação: Qual o complemento de O? Por P.3, O + Ō = 1 Ō = 1 e O. Ō = O, donde O. 1 = O Ō = Teoremas Fundamentais eorema de De Morgan Axiomas: As variáveis podem tomar um dos valores {0,1} Se X = 0 então X 1 Se X = 1 então X 0 Obs.: Um computador clássico tem uma memória feita de bits. Cada bit contém um um ou um zero. Um computador quântico mantém um conjunto de qubits. Um qubit pode conter um um, um zero ou uma sobreposição de um e zero. Em outras palavras, pode conter tanto um um como um zero ao mesmo tempo. O computador quântico funciona pela manipulação destes qubits. 35

8 Teoremas 2.5 Funções Booleanas Chama-se função booleana a uma dada expressão envolvendo elementos e operações da álgebra de Boole. Exemplos: f 1 (a,b,c) = a. b + ā. b. c + b. c f 2 (A, B, C, D) = Ā. B + Ā.B. C. D + Ā Obs.: A notação E, simbolizada pelo. pode ser omitida, podendo-se representar a operação a. b simplesmente por ab. TABELA VERDADE (TV) São tabelas que representam todas as possíveis combinações das variáveis de entrada de uma função, e os seus respectivos valores de saída. A determinação da tabela verdade de uma função envolve os seguintes procedimentos: 1) Preenchimento das colunas referentes às variáveis da função, registrando-se todas as combinações de 0 s e 1 s que as variáveis podem assumir. Se a função possuir N variáveis, então o número de combinações é igual a 2 N. Esse número é igual ao número de linhas da tabela verdade. 2) Preenchimento de colunas envolvendo expressões intermediárias. Aqui o número de colunas depende d complexidade da função. 3) Preenchimento da coluna de saída, que é uma manipulação lógica das colunas que envolvem expressões intermediárias e da função em si. 36

9 Exemplo: Representar numa TV a função: f (a,b,c,d) = a. (a + b. d. c) a b c d d c b d c a + b. d. c f (a,b,c,d) Expressões intermediárias Quando uma função é igual a 1, diz-se que ela existe, ou que é verdadeira, ou que assume o nível lógico alto. Quando uma função é igual a 0, diz-se que ela não existe, ou é falsa, ou que assume o nível lógico baixo. Passagem da Tabela Verdade para a expressão algébrica. Seja a Tabela Verdade: a b f Pode-se obter f como uma somatória de termos onde aparecem todas as variáveis observandose as regras a seguir: 1. O número de termos é igual ao número de 1 s (huns)da função. No caso o número de termo é Cada termo possui todas as variáveis interligadas pele operação. (E), considerando-se a variável barrada se, para uma dada linha onde f é igual a 1(hum), a mesma for 0 (zero). 3. Agrupe os termos na função interligando-os pela operação + ou. 37

10 Portanto: Bibliografia: LOURENÇO, Antônio Carlos de.. Sistemas Numéricos e Álgebra Booleana. Editora Érica. MENDELSON, Elliot.. Álgebra Booleana e Circuitos de Clareamento. Makron Books. MELO, M. Eletrônica Digital. Makron Books. 38