Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática. Érika Cristina de Freitas

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1 Ornamentos: uma aplicação da modelagem matemática para o ensino Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Edinei Leandro dos Reis edineileandro@yahoo.com.br Érika Cristina de Freitas erikacfreitas_22@yahoo.com.br Rosana S. da M. Jafelice rmotta@ufu.br Introdução Desde a antiguidade vários povos com culturas das mais diversas, utilizavam figuras geométricas como elementos decorativos, nas construções arquitetônicas, nas manifestações artísticas e até mesmo nos seus utensílios domésticos [1]. Com o desenvolvimento das culturas verifica-se que a disposição destas figuras geométricas torna-se mais trabalhada e complexa. Podemos observar mais tarde que algumas civilizações desenvolveram um tipo diferente de ornamentos 1, utilizando para isso repetições em um plano de uma mesma figura geométrica, de forma que estas repetições preenchessem todo o plano. Se tentarmos cobrir totalmente um plano com figuras que não se sobrepõem, o resultado é um mosaico. Existem somente três formas de se obter mosaico com polígonos regulares de um mesmo tipo (triângulos eqüiláteros, quadriláteros e hexágonos regulares), mas se admitirmos outras condições (a combinação de polígonos, por exemplo), surge novas possibilidades. Ao longo dos tempos, diferentes culturas têm estudado os mosaicos por motivos do tipo intelectual (na Grécia), decorativos (em Roma) e religioso-filosóficos (no Islão) [2]. Mosaico artístico (Figura 1) é um embutido de pequenas pedras ou de outras peças (pequenos pedaços de vidro, mármore ou cerâmica) formando determinado desenho [3]. Neste trabalho vamos dar ênfase no estudo dos mosaicos com padrões geométricos. Figura 1 Calçadão de Copacabana [4]. Figura 2 Pão de Açúcar (Rio Mosaico 2006, 2 ed.) [5]. Uma referência mundial de utilização dos mosaicos é o palácio de Alhambra. A Alhambra (Castelo Vermelho) (em Árabe, (ءارمحلا é um antigo palácio e complexo de 1 O ornamento é um elemento acessório, não fundamental, em uma composição artística, em especial na composição arquitetônica e no design.

2 fortificações dos monarcas islâmicos de Granada, no sul de Espanha, ocupando o alto de uma colina arborizada, a sudeste da cidade. O nome Alhambra deriva provavelmente da cor dos tijolos do muro, secos ao sol e feitos de argila e gravilha de que são feitas as muralhas exteriores. Segundo outros autores, o adjetivo relembra o clarão avermelhado das tochas que iluminaram os trabalhos de construção que se prolongavam ininterruptamente, noite adentro, durante anos; outros associam o nome ao fundador, Mahomed Ibn-al-Ahmar; outros, ainda derivam-no da palavra árabe Dar al Amra, Casa do Senhor. O palácio foi construído principalmente entre 1248 e 1354, nos reinados de Ibn-al-Ahmar e seus sucessores; os nomes dos principais artistas e arquitetos são desconhecidos ou de conhecimento duvidoso [6]. Metodologia Figura 3 Vista externa do Palácio de Alhambra [7]. Para realizar esta pesquisa sobre Ornamentos buscamos informações sobre mosaicos, rosetas e faixas em diversos sites, artigos e em vídeos educacionais. Utilizamos também um vídeo educacional do MEC para elaborar uma atividade pedagógica para utilização em sala de aula. Objetivos Mostrar os grupos de simetria no plano (faixa, roseta e mosaico) e algumas aplicações, analisar estruturas geométricas dos grupos de simetria e desenvolver uma atividade pedagógica para utilização na sala de aula. Referencial Teórico Para analisarmos os ornamentos, necessitamos de algumas definições de movimentos que podem ser realizados no plano: Translações: movimento de certa distância, em uma direção e sentido determinados. A direção é determinada por um vetor [8]. Ver Figura 4.

3 Figura 4 Translação de um objeto [8]. Rotações: giros em volta de um determinado ponto e de certa amplitude angular. A rotação de 180º é conhecido também como simetria central [8]. Ver Figura 5. Figura 5 Rotação de um objeto [8]. Reflexões: caracteriza-se por ter um eixo que atua como se fosse um espelho, onde a parte considerada é refletida, mantendo-se a mesma distância em relação ao eixo [8]. Ver Figura 6. Figura 6 Reflexão de um objeto [8]. Translações refletidas ou glissoreflexões: resulta da composição de uma reflexão e uma translação na direção da reflexão [8]. Ver Figura 7. Figura 7 Translação refletida de um objeto [8].

4 Quando o mosaico é gerado por rotações e translações refletidas, podemos dizer que ele foi gerado por uma isometria inversa. Para obtermos um motivo ou ornamento, aplicamos uma ou mais propriedades de isometria em uma figura ou elemento gerador (menor parte de uma forma). Na Matemática consideramos três tipos de ornamentos: faixa, roseta e mosaico [9]. A faixa é um ornamento ilimitado, composto entre duas retas paralelas. A simetria fundamental para sua composição é a translação. A combinação com as demais simetrias permite criar sete tipos de faixas [9]. Segue a listagem dos tipos de faixas: G1: translações; G2: rotações de 180 ; G3: reflexões horizontais; G4: reflexões verticais; G5: rotações de 180 e reflexões horizontais; G6: rotações de 180 e translações refletidas horizontais; e G7: translações refletidas horizontais. Figura 8 Os sete tipos de faixas [10]. No Anexo I apresentamos o Fluxograma de Washburn e Crowe para a classificação das faixas monocromáticos [10]. A roseta é um ornamento limitado, composto em um círculo. A simetria fundamental para sua composição é a rotação. Entretanto, é possível fazer um outro tipo de roseta combinando a rotação e a reflexão [9]. A seguir temos um exemplo de roseta: Figura 9 Exemplo de roseta [11]. Em relação aos grupos de simetria para gerar mosaico, temos 17 possibilidades. Estes 17 grupos de simetria no plano podem ser classificados a partir do número de rotações que são realizadas para gerar o mosaico (Ordem 1, 2, 3, 4 ou 6). A seguir separamos os grupos de simetria em relação à sua ordem e mostramos como são gerados os 17 tipos de mosaicos no plano.

5 Ordem 1: não são gerados por rotações (p1, cm, pm, pg) Ordem 2: rotações de 180º (p2, cmm, pmm, pgg, pmg). Ordem 3: rotações de 120º (p3m1, p31m, p3). Ordem 4: rotações de 90º (p4, p4m, p4g) Ordem 6: rotações de 60º (p6, p6m) [12]. A Notação Cristalográfica para os grupos de simetria utilizam símbolos para fazer a distinção entre grupos de mosaicos. As letras p ou c significam a célula primitiva ou central. O número depois de p é a maior ordem de rotação, por exemplo, se for 6, então é uma rotação que representa 1/6 de uma volta. A letra m é a reflexão perpendicular (espelho) do eixo x. A letra g é uma glissoreflexão. O eixo x é na verdade a borda vertical esquerda de uma célula. O número 1 não representa simetria perpendicular em relação ao eixo x, mas em relação a determinado ângulo [13]. No Anexo II apresentamos o Fluxograma para classificação dos padrões planos monocromáticos [14]. P1: é o grupo mais simples. Ele é gerado apenas a partir de translações, não tendo isometrias inversas. A base geradora desse mosaico é um paralelogramo. Ver Figuras 10 e 11. Figura 10 Base geradora do mosaico tipo p1 [8]. Figura 11 Exemplo de mosaico do tipo p1 [15]. Cm: é gerado a partir de isometrias inversas. É um dos dois grupos com base geradora sendo um losango. Ver Figuras 12 e 13. Figura 12 - Base geradora do mosaico tipo cm [8]. Figura 13 Exemplo de mosaico do tipo cm [15]. Pm: é gerado por translações e reflexões. Sua base geradora é o retângulo. Ver Figuras 14 e 15. Figura 14 Base geradora do mosaico tipo pm [8]. Figura 15 Exemplo de mosaico do tipo pm [15].

6 Pg: é gerado a partir de translações e translações refletidas. Não possui reflexão e sua base geradora é um retângulo. Ver Figuras 16 e 17. Figura 16 Base geradora do mosaico tipo pg [8]. Figura 17 Exemplo de mosaico do tipo pg [15]. P2: é gerado a partir de translações e rotações de 180º. A base geradora é um paralelogramo. Ver Figuras 18 e 19. Figura 18 Base geradora do mosaico tipo p2 [8]. Figura 19 Exemplo de mosaico do tipo p2 [15]. Cmm: é gerado a partir de isometrias inversas e rotações de 180º. É o outro grupo com base geradora sendo um losango. Ver Figuras 20 e 21. Figura 20 Base geradora do mosaico tipo cmm [8]. Figura 21 Exemplo de mosaico do tipo cmm [15]. Pmm: é gerado a partir de reflexões e rotações de 180º. Sua base geradora é um retângulo Ver Figuras 22 e 23. Figura 22 Base geradora do mosaico tipo pmm [8]. Figura 23 Exemplo de mosaico do tipo pmm [15]. Pmg: é gerado a partir de isometrias inversas e rotações de 180º. Sua base geradora é um retângulo. Ver Figuras 24 e 25. Figura 24 Base geradora do mosaico tipo pmg [8]. Figura 25 Exemplo de mosaico do tipo pmg [15].

7 Pgg: é gerado a partir de translações refletidas e rotações de 180º. Sua base é um retângulo. Ver Figuras 26 e 27. Figura 26 Base geradora do mosaico tipo pgg [8]. Figura 27 Exemplo de mosaico do tipo pgg [15]. P3: é o grupo gerado com rotações de 120º. A base geradora é um paralelogramo. Ver Figuras 28 e 29. Figura 28 Base geradora do mosaico tipo p3 [8]. Figura 29 Exemplo de mosaico do tipo p3 [15]. P3m1: é gerado por isometrias inversas e rotações de 120º. Possui simetrias em relação aos eixos que formam 60º passando pelos centros de rotação. Sua base geradora é um paralelogramo. Ver Figuras 30 e 31. Figura 30 Base geradora do mosaico tipo p3m1 [8]. Figura 31 Exemplo de mosaico do tipo p3m1 [15]. P31m: é gerado por isometrias inversas e rotações de 120º. Possui simetrias em relação aos eixos que formam 60º, uns passam pelos centros de rotação e outros não. Sua base geradora é um paralelogramo. Ver Figuras 32 e 33.

8 Figura 32 Base geradora do mosaico tipo p31m [8]. Figura 33 Exemplo de mosaico do tipo p31m [15]. P4: é gerado por translações e rotações de 90º. A base geradora é um quadrado. Ver Figuras 34 e 35. Figura 34 Base geradora do mosaico tipo p4 [8]. Figura 35 Exemplo de mosaico do tipo p4 [15]. P4m: é gerado por isometrias inversas e rotações de 90º. Os eixos de simetria formam ângulos de 45º entre si e cortam o centro da rotação de 90º. A base geradora é um quadrado. Ver Figuras 36 e 37. Figura 36 Base geradora do mosaico tipo p4m [8]. Figura 37 Exemplo de mosaico do tipo p4m [15]. P4g: é gerado por isometrias inversas rotações de 90º. Seus eixos de simetria são perpendiculares e não passam pelos centros de rotação. A base geradora é um quadrado. Ver Figuras 38 e 39. Figura 38 Base geradora do mosaico tipo p4g [8]. Figura 39 Exemplo de mosaico do tipo p4g [15].

9 P6: é gerado por translações e rotações de 60º. Sua base geradora é um paralelogramo. Ver Figuras 40 e 41. Figura 40 Base geradora do mosaico tipo p6 [8]. Figura 41 Exemplo de mosaico do tipo p6 [15]. P6m: é gerado por isometrias inversas e rotações de 60º. Os centros das rotações de 60º são cortados por 6 eixos de simetria, formando ângulos de 30º. Ver Figuras 42 e 43. Figura 42 Base geradora do mosaico tipo p6m [8]. Figura 43 Exemplo de mosaico do tipo p6m [15]. Curiosidades Escher, arquiteto de outros mundos Mauritus Cornelis Escher, nasceu em Leeuwarden na Holanda em 1898, faleceu em 1970 e dedicou toda a sua vida às artes gráficas. Na sua juventude não foi um aluno brilhante, nem sequer manifestava grande interesse pelos estudos, mas os seus pais conseguiram convencê-lo a ingressar na Escola de Belas Artes de Haarlem para estudar arquitetura. Foi lá que conheceu o seu mestre, um professor de Artes Gráficas judeu de origem portuguesa, chamado Jesserum de Mesquita. Com o professor Mesquita, Escher aprendeu muito, conheceu as técnicas de desenho e deixou-se fascinar pela arte da gravura. Este fascínio foi tão forte que levou Mauritus a abandonar a Arquitetura e a seguir as Artes Gráficas. Quando terminou os seus estudos, Escher decide viajar, conhecer o mundo! Passou por Espanha, Itália e fixou-se em Roma, onde se dedicou ao trabalho Gráfico. Mais tarde, por razões políticas muda-se para a Suíça, posteriormente para a Bélgica e em 1941 regressa ao seu país natal. Estas passagens por diferentes países, por diferentes culturas, inspiraram a mente de Escher, nomeadamente a passagem por Alhambra, em Granada, onde conheceu os azulejos mouros. Este contato com a arte árabe está na base do interesse e da paixão de Escher pela divisão regular do plano em figuras geométricas que se transfiguram, se repetem e refletem, pelas pavimentações. Porém, no preenchimento de superfícies, Escher substituía as figuras abstrato-geométricas, usadas pelos árabes, por figuras concretas, perceptíveis e existentes na

10 natureza, como pássaros, peixes, pessoas, répteis, etc. Podemos observar isso nas Figuras 44 e 45. Figura 44 Ornamentos de Escher [16]. Figura 45 Ornamentos de Escher [16]. Escher, sem conhecimento matemático prévio, mas através do estudo sistemático e da experimentação, descobre todos os diferentes grupos de combinações isométricas que deixam um determinado ornamento invariante. A reflexão é brilhantemente utilizada na xilografia "Day and Night", uma das gravuras mais emblemáticas da carreira de Escher (Figura 46). Figura 46 - Day and Night - Xilogravura de 1938 [16]. Se nos fixarmos no losango branco central a baixo, automaticamente somos levados até ao céu, e o que de início era uma simples figura geométrica rapidamente se transforma num pássaro. Os pássaros brancos voam para a direita em direção à noite que recobre uma pequena aldeia holandesa à beira de um rio. Os pássaros negros, por sua vez, sobrevoam uma imagem iluminada pelo sol, que é exatamente a imagem refletida da paisagem noturna. Aos poucos, Escher, vai sendo cada vez mais ousado e além da dança com a geometria, vai também ao encontro do infinito. A divisão regular da superfície aparece misturada a formas tridimensionais, geralmente num ciclo sem fim, onde uma fase se dilui na outra. A litografia "Reptiles" é um bom exemplo disso (Figura 47).

11 Figura 47 - "Reptiles" - Litografia de 1943 [16]. Entre toda a espécie de objetos está o seu próprio caderno de esboços colocado sobre uma mesa, no qual se vê um desenho: um mosaico de figuras em forma de répteis num contraste de três cores. Subitamente um dos répteis ali desenhados, sai do papel e dá vida a um ciclo tridimensional retornando depois à bidimensionalidade do caderno de esboços. Fascinado pelos paradoxos visuais, Escher chegou à criação de mundos impossíveis. Nesses trabalhos, o artista joga com as leis da perspectiva para produzir surpreendentes efeitos de ilusão de óptica. Nos seus desenhos somos levados a novos universos, a lugares verdadeiramente misteriosos! Para Escher a realidade pouco interessa, antes pelo contrário, prefere criar mundos impossíveis que apenas pareçam reais. Pó isso se tornou uma espécie de mágico das artes gráficas. Escher suscitou a atenção por parte de muitos matemáticos, cientistas e cristalógrafos. O mais curioso é que Escher não tinha uma formação específica nestas áreas, mas elas aparecem nas suas criações! Cada vez mais assediado pelos matemáticos, Escher acabou muitas vezes por se inspirar em suas novas descobertas. Por exemplo, "Waterfall" foi baseada na figura do tribar, uma construção geometricamente impossível, criada pelo matemático Penrose. O rapaz que está sentado no banco tem em suas mãos um objeto com a forma de cubo que, visto de cima, representa uma realidade diferente da de quando visto por baixo. Ele observa pensativamente o objeto impossível e não parece aperceber-se de que o belvedere (Figura 48), atrás das suas costas, é construído desta forma. No piso inferior, no interior da casa, está encostada uma escada pela qual sobem duas pessoas. Mas chegadas a um piso acima, estão de novo ao ar livre e têm de voltar a entrar no edifício [16]. Figura 48 - "Belvedere" - Litografia de 1958 [16].

12 São todos estes condimentos matemáticos aliados à mente artística de Escher que resultam num trabalho tão original e extraordinário. Escher foi reconhecido pelo mundo, pelos seus desenhos de ilusões espaciais, de construções impossíveis, onde a geometria se transforma em arte ou a arte em geometria [16]. "Apesar de não possuir qualquer conhecimento ou treino nas ciências exatas, sinto muitas vezes que tenho mais em comum com os matemáticos do que com os meus colegas artistas". M. C. Escher [16]. Aplicações em sala de aula Se observarmos os caminhos que nos levam aos mais variados lugares, perceberemos a presença de ornamentos em diversos objetos. Portões, muros, calçadas, casas entre outros. A partir dessa observação, podemos introduzir o tema Ornamentos nas aulas de Geometria para alunos de diferentes níveis de instrução. Comecemos pelo nível Fundamental de Ensino. Para alunos do Ensino Fundamental, podemos utilizar os mosaicos para ensinar vários conceitos sobre Geometria. Podemos começar mostrando os conceitos mais simples, que podem formar malhas. As figuras geométricas (triângulos, quadriláteros, hexágonos) e suas propriedades (arestas, vértices, pontos médios, diagonais, alturas, medianas, mediatrizes, ângulos, entre outras), as isometrias diretas e inversas (translação, reflexão, rotação e glissoreflexão) são conceitos geométricos importantes que podem ser trabalhados com alunos nesse nível de ensino. Para auxiliar o professor, sugerimos o vídeo educacional produzido pelo Ministério da Educação e Cultura (MEC), chamado Nas malhas da geometria [17], da série Mão na Forma. Nesse vídeo, podemos ver um exemplo da utilização das malhas na sala de aula em uma turma do Ensino Fundamental. Além disso, o professor pode aprofundar mais seus conhecimentos buscando os outros vídeos da série no site obtendo vídeos, textos, sons e figuras que vão auxiliar em sua prática docente. O professor de Matemática pode propor também um trabalho multidisciplinar na sua escola, com os professores de Artes e História, fazendo um projeto mais aprofundado sobre o estudo de Ornamentos. Cada área pode utilizar os mosaicos como ponto de partida para exploração de importantes conceitos desenvolvidos ao longo da história. No Ensino Médio, sugerimos ao professor o estudo mais aprofundado dos conceitos geométricos dos ornamentos. Utilizando este trabalho e as referências aqui citadas, o professor pode elaborar uma aula onde seus alunos irão explorar as formações de faixas, rosetas e mosaicos. Uma tarefa interessante é buscar construir juntamente com os alunos os fluxogramas de notação dos padrões de faixas e mosaicos apresentados como anexos neste trabalho. Para alunos a nível de Ensino Superior, especificamente alunos do curso de Matemática, é interessante utilizar os Ornamentos com padrões para introduzir conceitos das estruturas algébricas das isometrias realizadas para gerar cada motivo. O professor pode mostrar a relação da simetria com a teoria dos grupos (simetrias do retângulo, do quadrado, do triângulo eqüilátero, entre outras). Conclusão Através dos conceitos apresentados neste trabalho podemos perceber o quanto a Geometria está presente em nossas vidas. Precisamos resgatar o ensino de Geometria nas

13 escolas, melhorando o nível das disciplinas de Geometria dos cursos de Licenciatura em Matemática. Através da utilização de mosaicos podemos trabalhar diversos conceitos de Geometria em todos os níveis de ensino. Ressaltamos a importância do desenvolvimento de material pedagógico que auxilie o professor em suas aulas, como os vídeos e outros materiais que discorremos no texto deste trabalho. Além disso é necessário que existam cursos de aperfeiçoamento de professores para que estes se mantenham atualizados em relação ao que ocorre com a Educação e mais especificamente com a Matemática e a Geometria. Esperamos que este trabalho sirva como base para que professores possam planejar atividades interessantes para suas aulas de Geometria, além de servir como material pedagógico para aprofundamento no tema Ornamentos. Bibliografia [1] SANZ, Antonio Pérez. Movimientos en el plano. Serie de Matemáticas: Más por Menos. Programa da Televisión Educativa de TVE-2 "La Aventura del Saber". Madrid: vídeo (12 23 min.), color, espanhol. [2] MUZÁS, José María Sorando. Matemáticas em tu mundo. Disponível em < Acesso em: 13 jul [3] WIKIPÉDIA, A Enciclopédia livre. Mosaico. Disponível em < Acesso em 14 jul [4] YAHOO, Esportes. Pan 2007 (XV Jogos Pan-Americanos) Praias. Disponível em < Acesso em 24 jul [5] RIO MOSAICO Pão de Açúcar. 2 ed. Disponível em < >. Acesso em 25 jul [6] WIKIPÉDIA, A enciclopédia livre. Alhambra. Disponível em < Acesso em 13 jul [7] OREGON, University of. Images Alhambra. Disponível em < Acesso em 24 jul [8] NOLLA, R. e MASIP, R. Mosaics Periòdics a la Casa Castellarnau. Departament d Educació de Tarragona. Disponível em < reca_ramon_a5w.pdf> Acesso em: 14 jul [9] BIEMBENGUT, M. S. e HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino. 3 ed. São Paulo: Contexto, [10] FERREIRA, Susana. Transformações geométricas e simetrias. Coimbra: Disponível em < Acesso em 24 jul

14 [11] MOSAIC MARBLE. Mosaic Geometrical Forms. USA/Canadá: Disponível em < Acesso em 24 jul [12] LISSANEDDINE, Fátima. Mosaicos Árabes. Espanha. Disponível em < Acesso em 24 jul [13] SOUTHERN POLYTECHNIC, State University. Identifying the 17 Plane Symmetry Groups. Georgia: Disponível em < Acesso em 24 jul [14] VELOSO, Eduardo. Padrões e Frisos Ficha de Leitura. Portugal: Disponível em < Acesso em 24 jul [15] MASIP, Ramon. Resum classificació mosaics. Espanha. Disponível em < Acesso em 24 jul [16] RAPOSO, A. C. P.; DUARTE, A. L. B. e ROSÁRIO, M. I. F. Artistas Matemáticos, Matemáticos Artistas. Disponível em < Acesso em 25 jul [17] MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO - MEC. Nas malhas da geometria. Série Mão na Forma: vídeo (12 45 min.), color, português. Disponível em < Acesso em 26 jul

15 Anexo I Fluxograma de Washburn e Crowe para a classificação das faixas monocromáticos

16 Anexo II Fluxograma para classificação dos padrões planos monocromáticos (Washburn e Crowe)