Física I. Medições Lançamento de projécteis. Trabalho Experimental n o 1. Física I Semestre ímpar 20010/2011 1/18

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1 Física I Trabalho Experimental n o 1 Medições Lançamento de projécteis Física I Semestre ímpar 20010/2011 1/18

2 Trabalho Experimental n o 1 Medições Lançamento de projécteis A preparação do trabalho requer a leitura do manual para os trabalhos práticos, A medida em Física e a leitura deste guião, ambos disponíveis em formato pdf na página da disciplina Para uma melhor compreensão do trabalho experimental, as questões colocadas na secção de análise de dados assinaladas com devem ser preparadas antes da aula prática. 1. Objectivo O objectivo do trabalho é a familiarização com vários processos de medida, tratamento de dados experimentais e apresentação de resultados. A experiência de suporte ao trabalho consiste no lançamento de projécteis, pretendendo estudar-se a relação entre o ângulo de lançamento e o alcance do projéctil. 2. Introdução As quantidades lidas directamente em aparelhos de medida durante a realização de uma experiência denominam-se medidas directas. Às medidas directas está associada uma incerteza de leitura dependente do aparelho utilizado. A generalidade das grandezas físicas não pode ser medida directamente numa experiência. De facto, é com base noutras grandezas de medição directa que é possível medir, indirectamente, as quantidades pretendidas. A estas últimas chamamos medidas indirectas. Todos os valores experimentais têm uma incerteza associada que se designa por incerteza de medição e que reflecte o facto de se desconhecer o valor verdadeiro da grandeza. Os aparelhos de medida podem dividir-se, quanto à forma de apresentação do resultado da medição, em aparelhos analógicos e aparelhos digitais. Num aparelho analógico a indicação dada é uma função contínua da grandeza medida, como numa régua ou num termómetro de mercúrio. Num aparelho digital, a indicação é fornecida sob a forma numérica e varia por saltos discretos, como num cronómetro digital ou numa balança electrónica. 2/18

3 Uma característica importante de um aparelho de medida é a resolução. A resolução consiste na menor diferença entre as indicações do aparelho que se podem distinguir. Num aparelho digital, a resolução é a diferença de indicação que corresponde à alteração de uma unidade do algarismo menos significativo, ou seja, é a menor divisão da escala de leitura. Num instrumento analógico, toma-se como resolução do instrumento a menor divisão da escala em que a leitura é efectuada. Esta escala tanto pode ser a escala própria do aparelho como uma escala com divisões menores que é visualmente sobreposta à do aparelho. A craveira A craveira (Fig. 1) é constituída por uma régua, R, onde se encontra gravada uma escala, dita principal, cuja menor divisão vale 1 mm. 1 Numa das extremidades da régua existem duas esperas fixas, a e b. Ao longo da régua desliza um cursor com duas esperas móveis, a e b, e um botão de pressão, P, que permite a fixação do cursor. No cursor existe uma segunda escala, o nónio, 2 que permite efectuar medidas com resolução inferior ao milímetro (tipicamente de 0,05 mm, nas craveiras mecânicas). Fixa ao cursor existe uma haste ou lingueta L, de igual comprimento ao da régua R. A craveira pode ser utilizada na medição de comprimentos, espessuras, dimensões internas e externas, altura e profundidade. Figura 1- Esquema de uma craveira, evidenciando as suas partes constituintes, e exemplificação da sua utilização na medição de um diâmetro. Quando as esperas fixas e móveis estão em contacto, a linha de fé (zero da escala) do nónio deve coincidir com o traço correspondente à divisão zero da escala da régua R, o última traço da escala do nónio deve coincidir com um dos traços da escala da régua R e nenhum dos outros traços da escala do nónio está alinhado com qualquer traço da escala de régua R (Figura 2). 1 Normalmente as craveiras também possuem uma escala em polegadas, como no caso da Figura 1. 2 A palavra nónio recorda o nome do matemático e cosmógrafo português do séc. XVI, Pedro Nunes, cujo nome, em latim, se dizia Petrus Nonius. Pedro Nunes inventou um dispositivo que tinha a mesma finalidade do nónio, isto é, permitir avaliar fracções da menor divisão da escala a que fosse aplicado. 3/18

4 Figura 2- Imagem das escalas principal e do nónio de uma craveira, com os traços de zero alinhados, o último traço da escala do nónio coincidente com um dos traços da escala da régua R e nenhum dos outros traços da escala do nónio alinhado com qualquer traço da escala de régua R. Para se medir um comprimento, espessura ou dimensão externa com uma craveira, encosta-se uma das extremidades do corpo à face da espera fixa b, desloca-se a espera móvel até ficar em contacto com a outra extremidade e fixa-se o cursor nessa posição libertando o botão P (Fig. 1 e 3). A leitura da indicação da craveira efectua-se do seguinte modo: na escala principal lê-se um número inteiro de milímetros dado pelo traço da escala principal que se encontra à esquerda da linha de zero do nónio. O nónio permite efectuar leituras com uma resolução igual a 1/n mm, em que n é o número de divisões da escala do nónio (normalmente, n = 20 pelo que a resolução é igual a 0,05 mm). a b Figura 3. (a) Uma craveira é usada para determinar o diâmetro da moeda de 5 cêntimos de euro. (b) Ampliação da escala principal e do nónio. A indicação da escala principal corresponde a 21 mm e a do nónio a 20 centésimas de milímetro. O diâmetro vale, portanto, 21,20 mm. Para tal, procura-se o único traço da escala do nónio que está alinhado com um traço da escala principal e efectua-se a leitura na escala marcada no nónio (a unidade desta escala é a décima de milímetro). O resultado da medição é a soma dos valores lidos nas escalas principal e do nónio (Fig. 3). 4/18

5 Para se medir o diâmetro interno de um tubo (Fig. 4), ajustam-se os bordos das pontas a e a às suas paredes internas e faz-se então a leitura. Figura 4 Esquema da utilização de uma craveira para a medição do diâmetro interno, d. Para se fazer uma medição de profundidade, encosta-se a haste L à parede interna da cavidade, de forma que toque no fundo, e fixa-se o cursor nessa posição (Fig. 5). A leitura da régua R dá o número de milímetros, e a leitura do nónio as fracções de milímetro. Figura 5- Esquema da utilização de uma craveira para a medição de profundidade, h. O micrómetro O micrómetro (Fig. 6), é constituído por um corpo em forma de U, chamado estribo, com uma espera fixa; por um parafuso micrométrico com uma espera móvel e um tambor com uma escala, usualmente dividida em 50 partes iguais; e por uma escala rectilínea dividida em intervalos de 0,5 mm, designada por escala principal. 5/18

6 Figura 6- Esquematização dum micrómetro, evidenciando as suas partes constituintes. De um modo geral o micrómetro só tem esperas para medidas externas. Numa volta completa do parafuso a espera móvel desloca-se de 0,5 mm e quando se roda de uma divisão da escala do tambor o deslocamento é de 0,01 mm. Para usar o micrómetro coloca-se o objecto a ser medido entre esperas afastadas e fecham-se as mesmas sobre o objecto, rodando cuidadosamente o tambor com o auxílio do ajuste fino de forma a não forçar o parafuso micrométrico. Quando as esperas estão sobre o objecto pode então fazer-se a leitura da medida (Fig. 7). Esta consiste na leitura da escala principal, em 0,5 mm, e das fracções, em 0,01 mm, na escala do tambor. Quando o traço da escala do tambor não coincide com a linha horizontal consideramos que a resolução da escala do tambor é de 0,005 mm. (a) 17,00 mm (b) 17,50 mm (c) 17,75 mm (d) 18,00 mm Figura 7 - Detalhe da escala principal e escala do tambor num micrómetro. Quando o traço da escala do tambor não coincide com a linha horizontal consideramos que a resolução da escala do tambor é de 0,005 mm. 6/18

7 3. A experiência lançamento de um projéctil Um objecto é lançado com determinada velocidade inicial, v 0, sobre uma base horizontal. O seu movimento decorre num plano vertical sob a acção da gravidade (desprezando a resistência do ar) é habitualmente designado por projéctil como se mostra na Fig 8. A aceleração do projéctil tem assim a direcção vertical, é dirigida para baixo e o seu módulo é g. O espaço percorrido por um projéctil na direcção horizontal é o seu alcance, A. O alcance de um projéctil depende do valor de v 0 (o módulo de v 0 pode também ser escrito como v 0 ), do ângulo de lançamentoθ - ângulo que o vector v 0 faz com o eixo horizontal - e da altura a que o projéctil é lançado relativamente ao plano horizontal. Neste modelo simplificado de um projéctil lançado ao nível do plano horizontal, a equação que determina o alcance é: A = v 2 0 sen( 2θ) (1) g Desta relação podemos concluir que, para uma velocidade inicial fixa, o alcance de um projéctil depende linearmente de sen( 2θ). v 0 Figura 8 Esquema de um projéctil lançado com um ângulo θ e velocidade v 0. A linha com dupla seta indica o alcance, A. θ A 7/18

8 4. Actividade experimental Destaque a folha de registos que se encontra no fim deste guião Material Lançador de esferas com medidor de ângulo de lançamento, esfera, balança digital, micrómetro, craveira, régua metálica, rolo de papel, fita-cola, papel químico Caracterização da esfera usada como projéctil Meça o diâmetro da esfera usando a craveira. Na folha de registos, registe o valor medido, D c, bem como a resolução, δ(d c ), da craveira Meça o diâmetro da esfera usando o micrómetro. Na folha de registos, registe o valor medido, D m, bem como a resolução, δ(d m ), do micrómetro Meça a massa da esfera usando a balança digital. Registe o valor medido, m, bem como a resolução, δ(m), da balança Determinação do alcance de um projéctil lançado a 45º Com o auxílio do fio-de-prumo ligado ao lançador e a escala angular nele marcada ajuste a posição do lançador de projécteis para um ângulo de lançamento de 45º, tendo o cuidado que o lançamento seja efectuado a partir do nível do plano horizontal (Fig. 9). Registe o valor do ângulo de lançamento, θ, e da resolução, δ(θ), da escala onde foi medido. Plano horizontal (base de madeira) Fio-de-prumo e escala angular Lançador de projécteis Figura 9 Esquema do lançador de projécteis ajustado para que o lançamento seja efectuado ao nível do plano horizontal Insira a esfera dentro do lançador na posição short range (até ouvir o primeiro click ). Esta posição determina o módulo da velocidade, v 0. Faça um disparo para testar o alcance do projéctil. 8/18

9 Coloque uma tira de papel sobre o plano horizontal de forma a cobrir por excesso o espaço entre a boca do lançador e o ponto de embate do projéctil observado anteriormente. Certifique-se também que a esfera sobrevoa toda a tira de papel. Fixe a tira de papel com fita-cola Coloque sobre a tira de papel (Não fixe com fita-cola!) um papel químico na zona onde a esfera projectada irá embater Dispare a esfera e verifique se sobre a tira de papel ficou marcado o ponto de embate da esfera. Marque o centro do ponto de embate com uma cruz Repita mais 5 vezes o procedimento descrito no ponto anterior, sempre nas condições estabelecidas em e Considere a marca no lançador. Esta indica o ponto do plano horizontal correspondente à posição do centro geométrico da esfera no instante do disparo. Com uma régua metálica, meça as distâncias, A (alcance do projéctil), entre este ponto e os centros das marcas obtidas no ponto anterior do procedimento. Registe esses valores na Tabela 1 da folha de registos. Registe ainda a resolução das medidas das distâncias, δ(a), e as unidades em que efectuar os registos Variação do alcance com o ângulo de lançamento Posicione o lançador de projécteis para um ângulo de lançamento de 35º e para que o lançamento seja ainda efectuado a partir do nível do plano horizontal. Na Tabela 2 registe o valor do ângulo de lançamento, θ Insira a esfera no lançador na posição short range e faça um disparo de teste. Repita os procedimentos e Identifique a marca da esfera no papel como M Proceda como anteriormente (de a 4.3.2) para mais cinco ângulos de lançamento: 30º, 25º, 20º, 15º e 10º. Identifique as marcas da esfera no papel por M 3, M 4, M 5, M 6 e M 7, respectivamente Meça com a régua metálica, e de forma semelhante ao indicado em 4.2.7, as distâncias, A i, correspondentes às várias marcas M i (i = 2 a 7). Registe essas medições na Tabela 2 fazendo a correspondência com os respectivos ângulos de lançamento. Indique ainda na Tabela 2 a resolução da medida das distâncias, δ(a), e das medições dos ângulos, δ(θ). 9/18

10 FÍSICA I Análise de dados Trabalho Experimental n o 1 Medições - Lançamento de Projécteis Turma Grupo Data / / Nome n o Curso Nome n o Curso 5. Análise de dados Quando terminar a análise dos resultados, junte estas últimas folhas com a(s) folha(s) de registo que destacou antes de realizar a experiência e com o gráfico em papel milimétrico, e entregue o conjunto ao docente das aulas práticas Caracterização da esfera usada como projéctil Compare os valores medidos para o diâmetro da esfera. Tendo em conta as características dos aparelhos utilizados qual a melhor estimativa que faz para o diâmetro da esfera? Explique. 10/18

11 5.2 Determinação do alcance e da velocidade inicial do projéctil disparado com um ângulo de lançamento de 45º Calcule, indicando todas as operações que efectuar e apresentando os resultados com sete (7) significativos: - o valor médio do alcance, A A = - os desvios em relação à média, d i, de cada medição com quatro (4) significativos Lançamento nº d i / - o módulo do desvio máximo em relação à média d Máx = - o alcance será (tenha em atenção a RM6 e que as incertezas são apresentadas com um único algarismo significativo) A = ± Tomando para módulo da aceleração da gravidade, g = 9,8m/s 2 (considere desprezável a incerteza neste valor) e tendo em conta a expressão (1), use o resultado obtido para o alcance e calcule a velocidade inicial da esfera lançada a partir da posição short range. A expressão para calcular o módulo da velocidade será (não use valores numéricos) v 0 = Calcule o valor da velocidade e apresente o resultado seguindo a RM6b. Apresente os cálculos efectuados. v 0 = 11/18

12 Tendo em consideração a forma como apresentou o último resultado, qual a incerteza mínima que poderá estar associada a v 0? (NOTA: Não esquecer que uma incerteza deve ser escrita apenas com um algarismo significativo) [δ(v 0 )] min = 5.3. Determinação da relação de proporcionalidade entre o alcance e o seno do dobro do ângulo de lançamento para um determinado módulo da velocidade inicial do projéctil Para efeitos didácticos, considere que a incerteza dos alcances, δ(a), para todos os ângulos de disparo é igual à obtida para o alcance no disparo a 45. Considere os dados experimentais da Tabela 2 e o resultado obtido em para o alcance correspondente ao ângulo de lançamento de 45º e preencha a tabela seguinte. ATENÇÃO: os valores da tabela seguinte devem ter precisão compatível com as escalas do gráfico que se pede em θ / sen (2θ) A / δ(a) / Em papel milimétrico represente graficamente o alcance em função do sen(2θ ). Tenha em atenção que deve escolher as escalas vertical (onde vai representar A) e horizontal (onde vai representar sen(2θ )) adequadas aos valores que vai marcar no gráfico. Siga as regras indicadas em A medida em Física Marque no gráfico as barras de erro correspondentes às incertezas associadas aos alcances Trace a olho e usando uma régua, a linha que melhor descreve o conjunto de pontos do gráfico Escolha dois pontos da recta que traçou (e nunca dois pontos experimentais) e determine o seu declive, m r. Pontos da recta escolhidos: (, ) e (, ) [ATENÇÃO: Indique as unidades do valor da abcissa e da ordenada] 12/18

13 Calcule o declive indicando os cálculos realizados e apresentando os resultados com mais dois algarismos do que os indicados pelas RM 6a e 6b: m r = Para a melhor recta traçada qual a ordenada na origem? b = A traço interrompido desenhe, usando uma régua, uma linha que no limite pior descreve o conjunto de pontos do gráfico. Tenha em atenção as barras de erro De forma análoga à seguida em e , determine o declive, m pior, e a ordenada na origem, b pior, da linha traçada no ponto anterior. m pior = b pior = Estime as incertezas dos parâmetros da linha que melhor descreve os pontos experimentais e apresente os cálculos efectuados. (NOTA: Não esquecer que uma incerteza deve ser escrita apenas com um algarismo significativo). δ(m r ) = δ(b) = 13/18

14 Ecscreva a recta obtida seguindo o formato y = (b ± δ(b)) + (m r ± δ(m r ))x, onde b é a ordenada na origem e m r é o declive, sendo δ(b) e δ(m r ) as respectivas incertezas. y = ( ± ) + ( ± ) x Tendo em consideração o modelo usado, seria de esperar que a recta passasse pela origem do gráfico? Tendo em conta a expressão 1 o que representa o declive da recta? A partir dos resultados obtidos em e e tendo em conta a expressão 1, que valor obtém para a constante g apresentando o resultado seguindo RM 6a e 6b. g = Tendo em consideração a forma como apresentou o último resultado, qual a incerteza mínima que poderá estar associada a g? (NOTA: Não esquecer que uma incerteza deve ser escrita apenas com um algarismo significativo) [δ(g)] min = 14/18

15 Compare o valor obtido em com o valor (9.8 ± 0.1) ms -2 obtido numa outra experiência Em estimou de uma forma simples e rudimentar o valor mínimo da incerteza associada ao módulo da velocidade de disparo. No entanto, pode-se estimar a incerteza desta medida indirecta usando a lei de propagação de incertezas. Determine a incerteza no valor experimental do módulo da velocidade inicial da esfera lançada a partir da posição short range. v0 1 g NOTA: = A 2 A sen(2 θ ) v0 cos(2 θ ) ga = θ sen(2 θ) sen(2 θ) (2) (3) Escreva a expressão que permite calcular a incerteza propagada no valor experimental da velocidade. δ( v 0 ) completa = Para as condições em que se dá o lançamento da esfera a expressão completa que escreveu simplifica-se δ( v 0 ) simplificada Calcule esse valor apresentado os cálculos efectuados. = δ( v 0 ) = 15/18

16 Logo, o módulo da velocidade de disparo é v 0 = ± A partir dos resultados obtidos em e e tendo em conta a expressão 1, que valor obtém para a constante g. Para estimar a incerteza de g use a lei de propagação de incertezas. Nos resultados intermédios utilize mais dois algarismos do que os indicados pelas RM6a e 6b. g = ± experiência Compare o valor obtido em com o valor (9.8 ± 0.1) ms -2 obtido numa outra 16/18

17 FÍSICA I Folha de Registos Trabalho Experimental n o 1 Medições - Lançamento de Projécteis Turma Grupo Data / / Nome n o Curso Nome n o Curso Caracterização da esfera usada como projéctil Registo dos dados correspondentes ao ponto 4.1 da actividade experimental: Diâmetro da esfera medido usando a craveira: D c = ± Diâmetro da esfera medido usando o micrómetro: D m = ± Massa da esfera medida na balança electrónica: m = ± Determinação do alcance e da velocidade inicial do projéctil disparado com um ângulo de lançamento de 45º Registos correspondentes ao ponto 4.2 da actividade experimental Ângulo de lançamento: θ = ± Tabela 1 Registo dos alcances obtidos nos vários ensaios para um ângulo de lançamento de 45º Lançamento nº A/mm δ(a) = mm 17/18

18 Determinação da relação de proporcionalidade entre o alcance e o seno do ângulo de lançamento para uma velocidade inicial do projéctil fixa. Registos correspondentes ao ponto 4.3 da actividade experimental θ / δ(θ) = Tabela 2 Registo dos alcances obtidos para vários ângulos de lançamento. A i /mm δ(a) = mm 18/18