PROFESSORA: KARINE WALDRICH

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1 ICMS MA LÓGICA E MATEMÁTICA RESUMO 3 DE 4 PROFESSORA KARINE WALDRICH ASSUNTO 3: Matemática Comercial e Financeira: Capital e Montante, Juros simples e Compostos, Taxa de Juros, Desconto. Bom dia, colegas. Posso estar muito enganada, mas a matéria que veremos hoje é uma das que considero fatais para o cargo de Fiscal. Lógica e Matemática é uma matéria cujo conteúdo, no concurso para fiscal, pode variar muito. Não sabemos exatamente o que pode cair. Mas Matemática Financeira eu posso quase que garantir que será cobrado. É impossível imaginar um Fiscal que não saiba como funciona o sistema de juros compostos! Vamos ao resumo! 1.1 Juros Simples Juros são, em grossas palavras, o preço do dinheiro. Juros simples, hoje em dia, são pouco utilizados na prática. Isso porque a maioria da capitalização é feita com juros compostos. Mas os juros simples são muito úteis para entendermos a lógica da matemática financeira, e funcionam muito bem quando temos apenas 1 período de análise. Além de serem bem cobrados em concurso. Por exemplo: Imaginem que vocês cheguem a uma loja para comprar um carro. O vendedor diga assim: Olha, o carro que você quer custa à vista, ou se você pagar em 30 dias. Percebam que, para sair com o carro e pagar só no mês seguinte, o sujeito irá desembolsar reais. Ou seja, esse é o preço do dinheiro, para o cliente, durante 1 mês. Para saber o a taxa de juros simples, temos que dividir esse valor pelo valor inicial que temos, e que deu origem aos juros. No nosso exemplo: 1.000/ = 0,1 ao mês. Normalmente, as taxas de juros são apresentados em termos percentuais, ou seja, tantos % ao mês. Basta multiplicar o valor acima por 100, o que resultaria em 10% ao mês. 1

2 Assim, temos: taxa de juros simples = i simples = valor dos juros em um período x 100 valor inicial E se tivéssemos mais de 1 mês? Se o vendedor chegasse para você e falasse: Fulano, o preço à vista é , mas se você quiser pagar daqui à 2 meses o valor será de ? Para saber a taxa de juros, você teria que dividir o valor dos juros por 2 meses. Aí saberíamos quanto de juros tivemos por mês. Teríamos o seguinte: i simples = (valor dos juros em dois períodos)/2 x 100 valor inicial Reorganizando a equação, e generalizando para n períodos, temos: i simples = valor dos juros em n períodos x 100 valor inicial.n Em Matemática Financeira, o valor inicial é normalmente chamado de valor presente ou capital. No nosso curso, chamaremos de valor presente (VP). O valor dos juros é chamado J. Assim, temos nossa primeira equação: i simples = VP.n J O valor final pago é o valor inicial (VP) mais os juros pagos (J). Ou seja: Valor total = VP + J Este valor total é chamado de valor futuro ou montante. Chamaremos de valor futuro (VF). Assim: VF = VP + J Podemos substituir o J por VP.n.i simples, derivada da equação anterior. Assim: VF = VP + VP.n.i simples VF = VP.(1 + n.i simples ) 2

3 1.2 Juros Compostos A diferença dos juros simples para os juros compostos está no fato de quê, quando o sistema é de juros compostos, a taxa de juros do período seguinte incide também sobre os juros do período anterior. Relembrando o exemplo da loja de carros, imagine que você chegue à loja e o vendedor diga: Beltrano, para você comprar esse carro, terá de dar à vista, ou poderá pagar em 2 meses, com juros de 10% ao mês. Observação número 1: quando dizemos simplesmente juros, estamos, normalmente, nos referindo aos juros compostos. Isso vale também para as questões: quando elas dizem simplesmente juros (sem especificar se são compostos ou simples) isso indica que os juros são compostos. Se fossem juros simples, pagaríamos ( ,1) = Mas agora temos juros compostos. O que muda? No caso dos juros compostos, incide juros, no 2º mês, também sobre o montante de juros capitalizado no primeiro mês. Ou seja, no segundo mês, os juros incidentes não seriam de x 0,1 (que é VP x taxa), e sim de x 0,1 (que é (VP + J) x taxa). Ou seja, enquanto nos juros simples temos: VP J 1 = 1000 J 2 = 1000 Período 1 Período 2 No segundo mês, a taxa de juros incide apenas em VP, ou seja, J 2 = VP.i. Nos juros compostos temos: J 1 = 1000 Período 1 J 2 = 1100 Período 2 No segundo mês, a taxa de juros incide em VP + J, ou seja, J 2 = (VP + J).i. VP

4 Entenderam por que os juros são compostos? Porque eles incidem sobre os juros do período anterior... O nosso VF, com juros compostos, fica: VF = VP + J 1 + J 2 VF = VP + VP.i + (VP + J).i VF = VP + VP.i + (VP + VP.i).i VF = VP + VP.i + VP.i + VP.i.i VF = VP.(1 + 2.i + i.i) = VP.(1 + i) 2 = 1000.(1 + 0,1) 2 = Acima desenvolvemos a equação para 2 meses, que foi o tempo que o nosso vendedor deu para que paguemos o carro. A equação geral, para n períodos, é: VF = VP.(1 + i composto ) n Assim como no caso dos juros simples, na equação devemos ter taxa e tempo na mesma unidade. 1.3 Descontos Existem muitas fórmulas para o cálculo de descontos que vocês podem encontrar por aí. Eu prefiro ensinar para vocês o raciocínio envolvido no caso dos descontos, pois, dessa forma, vocês não precisam decorar nada, basta saber a equação dos juros simples Desconto por dentro Desconto Racional No desconto por dentro (também chamado de desconto racional), temos dois valores importantes: N = Valor Nominal do título (ou valor de face. Pense que você possui um boleto de uma conta na mão e vai pagar antes, e quer desconto por isso. O valor nominal é o valor que está escrito no boleto, sem o desconto). A = Valor Atual do Título 4

5 No desconto racional, basta você pensar que N é o VF que já aprendemos e que A é o VP. Assim, utilizando os conhecimentos de juros simples que aprendemos, sabemos que existe uma relação entre N e A, ok? VF = VP.(1 + i simples.n) Da mesma forma: N = A.(1 + i simples.n) Assim, o valor do desconto será: D racional = N A Esse é o desconto simples por dentro, ou desconto racional simples, que usa uma taxa de juros simples. A mesma lógica pode ser utilizada no desconto composto por dentro, ou desconto racional composto, utilizando, por conseguinte, uma taxa de juros compostos: VF = VP.(1 + i compostos ) n Da mesma forma: N = A.(1 + i compostos ) n O valor do desconto é calculado da mesma maneira: D racional = N A Assim, temos: Desconto Racional Simples D racional = N A N = A.(1 + i simples.n) Desconto Racional Composto D racional = N A N = A.(1 + i compostos ) n Desconto por fora Desconto Comercial O desconto comercial foi criado porque as pessoas tinham preguiça de calcular o desconto racional. Essa é uma teoria minha, não sei se possui embasamento científico. No desconto comercial simples, o desconto (D) é simplesmente: 5

6 D comercial = N.i.n Ou seja: A = N N.i.n = N.(1 i.n) Entenderam porque o desconto comercial é chamado de desconto por fora? Porque ele não capitaliza o valor atual, para que se chegue no valor futuro N. Ele simplesmente multiplica N pela taxa e pelo período, como se o próprio N fosse o valor atual. Mais simples de ser calculado, mas não muito lógico. Já o desconto comercial composto é calculado pela seguinte equação: A = N(1 i) n Assim, temos: Desconto Comercial Simples D comercial = N.i.n A = N.(1 i.n) Desconto Comercial Composto D comercial = N N(1 i) n A = N(1 i) n Enfim, duas conclusões importantes: 1) O desconto comercial é sempre maior do que o desconto racional, nas mesmas circunstâncias. Isso porque, enquanto no desconto racional capitalizamos o valor atual para chegar no futuro, no desconto comercial pegamos o próprio valor futuro, que é maior, e calculamos o desconto por fora, diretamente. 2) Pode ser feita uma relação entre os descontos a juros simples, em função de N. A relação é: DRacional. D N = D D Comercial Comercial Racional Outra maneira de relacionar os dois descontos é através das taxas. 1 1 n = i i comercial racional 6

7 Onde n é o número de períodos. 2.1 Taxas PROFESSORA: KARINE WALDRICH O assunto Taxas não exige muito raciocínio. Minha intenção aqui é esclarecer os termos diferentes que o examinador usa, para que vocês não errem coisas bobas na hora da prova. É um assunto muito cobrado. Primeiro vou esclarecer o que é a Taxa Efetiva. Bem, taxa efetiva é a taxa que a gente quer sempre saber, aquela que iremos chamar de i, colocar na equação e utilizar para resolver a questão. Bem, essa é a taxa efetiva. Acontece que, em algumas questões, o examinador diz assim: A taxa é de 24% ao ano com capitalização mensal. O que é isso? Essa taxa fornecida pelo examinador (24% ao ano) é o que chamamos de Taxa Nominal. Ela é chamada assim porque só tem nome mesmo. O que quero dizer é que ela tem nome de taxa anual, mas, como é capitalizada mensalmente, sua taxa efetiva é uma taxa mensal. E a taxa efetiva é resultante da taxa nominal dividida pelo período compreendido. Por exemplo, nesse caso, a taxa efetiva é de 24/12 = 2% ao mês. Ou seja: Taxa Efetiva = Taxa Nominal/Período. Existem também as Taxas Equivalentes. Por exemplo, sabemos que a maioria dos bancos cobra juros do cheque especial de 10% ao mês. E se quisermos saber quanto isso significa em um ano? Será que basta multiplicar por 12? Não. Isso já sabemos... como, nesse caso, estamos falando de juros compostos, não adianta multiplicar 10 x 12 e achar que os juros serão de 120% ao ano. Eles serão maiores, porque os 10% de cada mês incide sobre os juros do mês anterior, resultando numa taxa anual maior... E agora? Se não basta multiplicar, como calculamos? Bem, existe uma equação simples para isso: (1 + I) = (1 + i) K Explicando o que significa cada incógnita: I = é a taxa do período maior (por exemplo, ano) i = é a taxa do período menor (por exemplo, mês) K = é o número de períodos menores incluídos em cada período maior (por exemplo, 1 ano possui 12 meses, então, nesse caso, K = 12). 7

8 Pessoal, eu citei anos e meses mas essa equação pode ser utilizada com qualquer relação entre períodos, ok? Vamos resolver para o nosso exemplo? Saber de quanto é a taxa de juros do cheque especial em 1 ano... (1 + I) = (1 + 0,1) I = 1,1 12 = 3,1384 I = 3, = 2,1384 = 213,84% Ou seja, muito maior do que os 120% se o método utilizado fosse o de juros simples... Outras duas taxas que estão na moda são as taxas aparente e real. A taxa aparente e a taxa real são iguais quando não é levada em conta a inflação. É o que ocorre na maioria das questões. A taxa é chamada aparente porque não considera a inflação do período. Vejamos um exemplo. O salário de um servidor público, que era de R$ , aumentou 15% de um ano para outro. Ou seja, foi para R$ ,00. Ocorre que a inflação do período foi de 5%. Ou seja, se não houvesse aumento, apenas uma correção devido à inflação, o salário ficaria R$ ,00. Portanto, o aumento real do salário não foi de R$ para R$ Foi de R$ para R$ , pois houve inflação no período. Assim, a taxa real de aumento foi ( )/10500 = aproximadamente 9,5%. Percebam que a taxa real NÃO é obtida simplesmente descontando o aumento aparente da inflação (nesse caso seria 15 5 = 10%). Há uma equação que relaciona as taxas aparente e real: 1 + i a = (1 + i r ).(1 + inf) Ela pode ser usada ou não. Se não for lembrada na hora da prova, basta usar o conceito de taxa aparente x taxa real. 8

9 2. Exercícios comentados 2011/FCC/BB/Escriturário Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juros simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 42% ao ano, então, não tendo sido feito qualquer depósito ou retirada, o montante de R$ ,00 estará disponível a partir de quanto tempo da data de aplicação? (A) 4 meses. (B) 3 meses e 20 dias. (C) 3 meses e 10 dias. (D) 3 meses. (E) 2 meses e 20 dias. Uma questão sobre juros simples. É fornecido um capital (é outra maneira de chamar o VP, de $10.500) e informa que o montante (outra maneira de chamar o FV, de $11.725) foi obtido após um período n (que a questão quer saber) a uma taxa de 42% ao ano. Com esses dados, basta colocar na equação que já vimos: = (1 + 0,42.n) /10500 = (1 + 0,42n) 1,1167 = 1 + 0,42.n 0,1167 = 0,42n n = 0, ano... Esse n encontrado está expresso em anos. Mas percebam que as respostas falam em meses e dias. Portanto (como 1 ano possui 12 meses), multiplicamos esse valor encontrado por 12 para saber o equivalente em meses. n = 0,2777 ano x 12 (meses/ano) = 3,3333 meses 3,3333 meses corresponde a 3 meses e mais 0,333 mês. Esse 0,333, portanto, está expresso em dias na resposta. Como um mês possui 30 dias: n = 0,333 mês x 30 (dias/mês) = 10 dias. Portanto, a resposta correta é letra C 3 meses e 10 dias. 9

10 Resposta: Letra C. 2011/FCC/TRT 4 a Região/Técnico Judiciário Na compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar por duas formas de pagamento: - à vista, por R$ 225,00; - R$ 125,00 no ato da compra mais uma parcela de R$ 125,00, um mês após a compra. Se Lucimara optar por fazer o pagamento parcelado, a taxa mensal de juros simples cobrada nesse financiamento é de (A) 10%. (B) 20%. (C) 25%. (D) 27%. (E) 30%. Agora, temos uma questão em que é pedida a taxa de um sistema de pagamentos de juros simples. O enunciado propõe um pagamento total à vista ou o pagamento de uma parte à vista e outra parte para um mês após a compra, e quer saber os juros inclusos. Esquematizando: Pagamento 1 = 225 Pagamento 2 (parte1) = 125 Pagamento 2 (parte 2) = 125 Assim, o que temos de fazer é trazer o pagamento 2 (parte 2) para o início do mês, sabendo, assim o quanto de juros estão sendo pagos. O pagamento 1 é de 225. O pagamento 2 é de = 250. Ou seja, Lucimara pode pagar 125 e deixar os outros 100 (ao invés de pagar os 225) para pagar no final do mês. 10

11 Ocorre que, como incidiram juros, ao invés de pagar os mesmos 100, ela vai pagar 125, pagando 25 reais unicamente de juros. Colocando isso na equação para saber a taxa: VF = VP.(1 + i.n) 125 = 100.(1 + i.1) 1,25 = 1 + i i = 0,25 = 25% ao mês. Assim, a taxa é de 25% ao mês. Resposta: Letra C. 2007/FCC/MPU/Analista A Empresa Beta S.A. precisa gerar uma receita de R$ ,00, aplicando R$ ,00 a uma taxa de juros de 2,5% a.m.. Considerando que o captador remunera a juros simples, o dinheiro deverá ficar aplicado por (A) (B) (C) (D) (E) 3 meses. 6 meses. 7 meses. 9 meses. 12 meses. Mais uma questão de juros simples. O enunciado diz que é necessário gerar uma receita, a base de juros, aplicando um PV de a uma taxa de 2,5% ao mês (0,025). Portanto, temos que o VF, após o período de n meses, deve ser de ( ). Colocando na equação: VF = VP.(1 + i.n) = (1 + 0,025n) 1,225 = 1 + 0,025n 0,225 = 0,025n n = 9. Portanto, o dinheiro deverá ficar aplicado por 9 meses. Resposta: Letra D. 2010/FCC/BB/Escriturário 11

12 Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentando um montante igual a R$ ,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a (A) R$ ,50. (B) R$ ,00. (C) R$ ,25. (D) R$ ,50. (E) R$ ,75. Essa questão mistura juros simples e juros compostos. Temos duas aplicações. A primeira aplicação se refere a juros simples. Colocando na equação que já sabemos, podemos saber o capital aplicado. Como o prazo dado é de 8 meses e a taxa é expressa em anos, transformamos a taxa em taxa mensal. Basta dividi-la por 12 (afinal 1 ano possui 12 meses): i = 0,15 ao ano = 0,15/12 ao mês = 0,0125 ao mês. VF = VP.(1 + i.n) = PV.(1 + 0,0125.8) = PV.(1 + 0,1) PV = /1,1 = Esse PV, agora, será aplicado por 2 anos a uma taxa de juros compostos (a segunda aplicação). Portanto, nesta segunda aplicação, temos um VP de , a ser aplicado a uma taxa de 15% ao ano durante 2 anos: Assim: VF = VP.(1 + i) n VF = (1 + 0,15) 2 VF = (1,15) 2 VF = (1,3225) = Resposta: Letra D. 2008/FCC/TRT 18 a Região/Técnico Judiciário 12

13 Para que ao final de 2 anos de aplicação num regime de capitalização composta, um capital de R$ ,00 produza o montante de R$ ,50, a taxa anual da aplicação deverá ser de (A) 25% (B) 22,5% (C) 22% (D) 20% (E) 18,5% Essa questão pede a taxa de uma aplicação em juros compostos. A questão em si é simples, mas tem um pequeno detalhe que complica um pouco. Vamos ver: Colocando os dados na equação, temos: VF = VP.(1 + i) n 24687,50 = (1 + i) 2 (1 + i) 2 = 1,5625 E agora? Algumas provas fornecem uma tabela com valores de taxas e do valor resultante da operação acima. Mas eu fui atrás para olhar, e a FCC não fornece nada disso. Então, o jeito é substituir taxa por taxa na equação e ver qual taxa satisfaz a igualdade acima. Começando pela letra A, 25% = 0,25: (1 + 0,25) 2 = 1,5625 1,5625 = 1,5625. Portanto, a letra A (25%) é a resposta correta. Pessoal, em prova, sugiro deixar essa questão para o final, só se der tempo de resolver mesmo. Porque aqui tivemos sorte de a resposta ser a letra A, mas se fosse a letra E teríamos perdido um tempo precioso... Resposta: Letra A. 2011/FCC/TRE-RN/Analista O valor atual de um título, descontado 3 meses antes de seu vencimento, é igual a R$ ,30. A taxa de desconto utilizada foi de 1,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples. Caso a operação tivesse sido a de desconto racional simples, também a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, o valor atual do título seria igual a, em R$, 13

14 (A) ,00. (B) ,00. (C) ,00. (D) ,00. (E) ,00. Essa questão exige os conhecimentos de Desconto Racional e Comercial Simples. Vamos, primeiramente, analisar o desconto comercial: A = ,30 n = 3 i = 1,5. Valor de face do título: A = N Nin = N(1 in) ,30 = N(1 0,015.3) 0,955N = ,30 N = Com esse valor de face, calculamos o valor atual do título, seguindo um regime de desconto racional simples: N = A =? N = A.(1 + i simples.n) = A(1 + 0,015.3) A = Assim, a resposta é a letra A. Resposta: letra A. 2010/FCC/DNOCS/Administrador Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados, em um banco, da seguinte maneira: 14

15 Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos descontos correspondentes é igual a (A) R$ 1.260,00. (B) R$ 1.268,80. (C) R$ 1.272,60. (D) R$ 1.276,40. (E) R$ 1.278,90. Essa questão mistura os conhecimentos de desconto racional simples e desconto comercial simples, que já vimos. A questão quer saber o valor da soma dos descontos de títulos com valores nominais iguais. Vamos resolvê-la por partes. Inicialmente, cabe lembrar que a convenção do mês comercial nada mais é do que dizer que o mês possui 30 dias, independentemente de ser janeiro (que possui 31 dias), fevereiro (que possui 28 ou 29 dias), etc. Guardem apenas isso: na convenção do mês comercial, todo mês possui 30 dias. O primeiro título: Desconto racional simples; Taxa = i = 2% ao mês; Valor atual = ,00; Período = n = 45 dias = 1,5 mês. Em um sistema de desconto racional simples, o desconto é a diferença entre o valor atual e o valor nominal, calculado segundo o método de capitalização com juros simples: VF = VP.(1 + i.n), ou então: N = V hoje.(1 + i.n). N = (1 + 0,02.1,5) N =

16 Assim, sabemos que o desconto foi de 630 reais, já que o valor nominal do título é de e o valor atual é de O segundo título: Desconto comercial simples; Taxa = i = 1,5% ao mês; Período = n = 60 dias = 2 meses. Primeiramente, temos que ter claro que o valor nominal deste segundo título é aquele que encontramos para o primeiro título, pois a própria questão diz que os valores são iguais. Assim: N = Agora, voltamos ao cálculo do desconto comercial: D comercial = N.i.n D comercial = ,015.2 D comercial = 648,90 A questão pede a soma dos descontos. Então: ,90 = 1278,90. Resposta: Letra E. 2007/FCC/MPU/Analista A taxa mensal de Desconto por Fora, a juros simples, que a empresa Insolvente Ltda. realizou em uma operação de desconto de 80 dias, de um título de R$ 2.400,00, na qual a empresa obteve R$ 1.800,00, foi de Dado: Considere somente até a quarta casa decimal (A) 12,5000% (B) 25,0000% (C) 28,1250% (D) 32,3050% (E) 33,3333% Aqui o desconto foi Por Fora a juros simples, ou seja, Desconto Comercial Simples. Como é pedida a taxa mensal e o período está em dias, vamos transformar dias em meses: 80 dias ---- X meses 16

17 30 dias mês X = 80 = Essa questão é confusa, pois não dá para saber se o 1800 é desconto ou o valor atual. A opção que dá o gabarito é utilizando como desconto. D = N.i.n 1800 = 2400.i. 8 3 i = = 225 = 0, ,28125 * 100 = 28,1250%. Aposto que a maior parte das pessoas que chutou essa questão apostou na letra E (já que o enunciado diz para considerar até a 4 a casa decimal). Resposta: Letra C. 2010/FCC/SEFAZ-SP/APOFP Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ ,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Vamos encontrar o valor de face do título utilizando a operação de desconto racional composto dita no enunciado. N = A.(1 + i) n N = (1 + 0,1) 2 N = (1,21) = Sabendo que o valor de face do título é de 24200, podemos colocar na equação de desconto comercial composto: 17

18 A = N.(1 - i) n Percebam que é muito fácil lembrar da equação acima, pois basta lembrar da equação do desconto racional, inverter a posição do A e do N e trocar o + (de dentro do parênteses) por -. A = N.(1 - i) n A = (1 0,1) 2 A = ,9 2 = ,81 = Portanto, a resposta é a letra E. Resposta: letra E. 2010/FCC/SEFIN-RO/Auditor Fiscal Um título é descontado em um banco 45 dias antes de seu vencimento, considerando a convenção do mês comercial. A taxa de desconto utilizada pelo banco é de 3% ao mês. Caso a operação seja a do desconto racional simples, o valor presente do título é igual a R$ ,00. Utilizando a operação do desconto comercial simples, o valor presente do título é (A) R$ ,50 (B) R$ ,00 (C) R$ ,50 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Já sabemos que a convenção do mês comercial diz que um mês possui exatos 30 dias. Da mesma forma como na questão anterior, vamos utilizar a primeira operação de desconto racional simples para encontrar o valor de face do título. Como 1 mês = 30 dias, os 45 dias da questão representam 1,5 = 3/2 mês. N = A.(1 + i.n) N = 40000(1 + 0,03.1,5) N = (1 + 0,045) = (1,045) = Portanto, o valor de face do título é Agora, basta utilizar a equação do desconto comercial simples: D = N.i.n 18

19 D = ,03.1,5 D = 1881 Se o desconto foi de 1881, o valor atual é A = N D = = Resposta: Letra B. 2006/FCC/SEFAZ-PB/Auditor Fiscal Um título é resgatado 2 anos antes do vencimento, segundo o critério do desconto racional composto. Se a taxa utilizada foi de 10% ao ano e o valor do desconto resultou em R$ 4.620,00, o valor nominal do título é (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 O desconto utilizado é o desconto racional composto. Vamos utilizar a equação padrão do desconto racional composto: N = A.(1 + i) n Sabemos que D = N A, ou seja N = A + D, basta substituir na equação: A + D = A.(1 + i) n D = 4620 A = A(1 + 0,1) 2 A = A.(1,1) 2 A = 1,21A 0,21A = 4620 A = A é o valor atual do título. Já N é: N = A + D = = Portanto, a resposta é a letra A. 19

20 Resposta: Letra A. 2006/FCC/SEFAZ-PB/Auditor Fiscal Dois títulos cujos valores nominais são R$ ,00 e R$ ,00, vencíveis no fim de 1 ano e 3 anos, respectivamente, serão substituídos por um único título equivalente, vencendo no final de 2 anos. Adotando a operação do desconto racional composto à taxa de juros compostos de 10% ao ano, o valor nominal deste único título é (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Essa questão mistura o desconto e a própria capitalização de um dos títulos. Temos o seguinte fluxo de caixa: $16500 $ ano 2 3 anos Título valendo T Portanto, o título que vence no fim de um ano será capitalizado a juros compostos por mais um ano. E o título que vence em 3 anos será descontado por um ano. O valor dos títulos, no ano 2, será somado e dará origem ao título T. Primeiramente, vamos capitalizar o primeiro título por mais um ano, seguindo a operação de juros compostos que vimos na aula 0: 20

21 VF = VP.(1 + i) n VF = (1 + 0,1) 1 = ,1 = Já o título que vence em 3 anos sofrerá uma operação de desconto racional composto. Ou seja: N = A.(1 + i) n = A.(1 + 0,1) 1 A = ,1 = Portanto, o título T será a soma dos dois títulos no ano 2 = = Resposta: Letra D. 2010/ESAF/CVM/Inspetor/2010 Qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal? a) 12,616% ao semestre. b) 24% ao ano. c) 12% ao semestre. d) 4,803% ao bimestre. e) 5,75% ao trimestre. Essa questão é até simples, mas com ela vou falar um pouco para vocês de estratégia na hora da prova. Vejam só. A taxa é de 24% ao ano com capitalização mensal. Essa é a taxa nominal, para saber a taxa efetiva basta dividir pelo período (12 meses). Chegase a uma taxa efetiva de 2% ao mês. Agora vamos às alternativas. Existem opções com taxas bimestrais, trimestrais, semestrais e anuais. Temos que ter em mente que a taxa é de 2% ao mês em sistema de juros compostos (juros sobre juros). Ou seja, temos (as multiplicações abaixo vocês fariam de cabeça na hora da prova, olhando para as alternativas): Taxa bimestral: 2 meses * 2% ao mês = 4% ao bimestre. Essa SERIA a taxa em um sistema de juros simples. Como os juros são compostos, a taxa no bimestre deve, com certeza, ser maior do que 4% ao bimestre. Por isso, a alternativa d é uma opção de resposta (vamos analisar depois). 21

22 Taxa trimestral: 3 meses * 2% ao mês = 6% ao trimestre. Novamente, esta SERIA a taxa em um sistema de juros simples. A taxa em sistema de juros compostos é maior. Por isso, a opção e com certeza não é resposta. Taxa semestral: 6 meses * 2% ao mês = 12% ao semestre. Portanto, a taxa em sistema de juros compostos é maior do que 12% ao semestre. A opção c com certeza não é resposta. Taxa anual: 12 meses * 2% ao mês = 24% ao ano. A taxa anual é maior do que 24% ao ano. A opção b não é resposta. Portanto, por lógica, as únicas opções de resposta possíveis são as opções a e d. Partimos, portanto, ao cálculo, primeiramente da taxa bimestral: (1 + I) = (1 + i) K (1 + I) = (1 + 0,02) 2 I = 1,02*1,02 1 = 1, = 0,0404 = 4,04% ao bimestre. A opção diz 4,803% ao bimestre. Está errado. Portanto, a resposta é a letra A. Viram como se resolve uma questão dessa? Se fôssemos sem nenhuma estratégia, estaríamos até agora resolvendo as milhões de multiplicações que a equação de taxas equivalentes envolve. Com um pouco de atenção, resolvemos a questão com apenas uma conta, sem perder muito tempo. Resposta: Letra A. Questão 24 FCC/MPU/Analista - Atuarial/2007 A taxa de um empréstimo tomado por 2 (dois) anos no Banco Esperança S.A. é de 36% a.a.. Considerando que o banco capitalizará a taxa bimestralmente, a taxa efetiva do contrato será de Dado: Considere somente até a quarta casa decimal (A) 51,2196% (B) 101,2196% (C) 151,5456% (D) 201,2196% (E) 251,5456% Tem-se que a taxa é de 6% ao bimestre. Precisamos saber sua equivalente em um período de 2 anos. 22

23 Se um ano possui 6 bimestres, 2 anos possuem 12 bimestres. Colocando na equação: (1 + I) = (1 + i) K (1 + I) = (1 + 0,06) 12 As bancas costumam fornecer em provas fiscais uma tabela de (1 + i) n, para diversas combinações de i e n. No caso desta questão, por exemplo, bastaria consultar a tabela, cruzando a linha de i = 6% e a coluna de n = 12. Na prova em análise (de analista atuarial do MPU), ela não forneceu a tabela. Acredito que tenha sido porque Matemática Financeira constava dos conhecimentos específicos da prova (a exigência era maior). Acredito que na prova do ISS ela forneça a tabela. (1 + I) = 2, I = 2, = 1, = 101,2196% Portanto, a taxa a ser colocada no contrato é de 101,2196%. Resposta: Letra B. 2007/FCC/MPU/Analista A taxa efetiva anual de uma aplicação financeira com taxa de juros de 36% a.a. capitalizada semestralmente e capitalizada mensalmente são, respectivamente, de Dado: Considere até a quarta casa decimal (A) 42,5760% e 39,2400% (B) 31,1458% e 33,2118% (C) 36,0000% e 26,2477% (D) 39,2400% e 42,5760% (E) 33,2118% e 31,1458% Nessa questão, novamente, o examinador fornece a taxa anual nominal e pede a taxa anual efetiva. No primeiro caso, a taxa é capitalizada semestralmente. Um ano possui 2 semestres. Temos: 23

24 Taxa efetiva semestral = Taxa nominal anual capitalizada semestralmente/2 Taxa efetiva semestral = 36/2 = 18% ao semestre. Para transformar de taxa efetiva semestral para taxa efetiva anual, utilizamos a equação das taxas equivalentes: (1 + I) = (1 + i) K (1 + I) = (1 + 0,18) 2 (1 + I) = 1,3924 I = 1, = 0,3924 = 39,24% Com isso, já conseguimos responder à questão. Letra D. Mas, como é aula, vamos continuar para ver como é o cálculo da taxa nominal anual capitalizada mensalmente. Primeiramente, um ano possui 12 meses, assim: Taxa efetiva mensal = Taxa nominal anual capitalizada mensalmente/12 Taxa efetiva mensal = 36/12 = 3% ao mês. Novamente, utilizamos a equação das taxas equivalentes para encontrar a taxa efetiva anual: (1 + I) = (1 + i) K (1 + I) = (1 + 0,03) 2 (1 + I) = 1, I = 0, = 42,5761% Resposta: Letra D. 2007/FCC/MPU/Analista Antônio Tomador vai fazer empréstimo por 2 (dois) anos, tendo a opção de pagar juros mensais ou juros semestrais equivalentes. Considerando que o juro mensal é de 2%, o juro semestral equivalente é (A) 12, % (B) 12, % (C) 12, % (D) 12, % 24

25 (E) 12, % PROFESSORA: KARINE WALDRICH Questão em que usamos a equação das taxas equivalentes. A taxa mensal é de 2%, um semestre tem 6 meses, a taxa semestral é: (1 + I) = (1 + i) K (1 + I) = (1 + 0,02) I = 1, I = 0, = 12,6162% ao semestre. Resposta: Letra E. 2007/FCC/MPU/Analista A taxa equivalente trimestral, para uma taxa de empréstimo mensal de 6,5%, é de (A) 20,794963% (B) 19,500000% (C) 2,166667% (D) 2,121347% (E) 1,166667% Questão igual à anterior. O examinador pede a taxa equivalente trimestral à taxa mensal dada. Lembrando que 1 trimestre = 3 meses: (1 + I) = (1 + i) K (1 + I) = (1 + 0,065) I = 1,20795 I = 0,20795 = 20,795% ao trimestre. Resposta: Letra A. 2010/FCC/DNOCS/Administrador Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ ,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao 25

26 ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ ,00 por: (A) (B) (C) (D) (E) Essa é a questão que o cara olha e fala: RAPAIZZZZZZ... IMPOSSÍVEL). Mas ela é bem fácil rsrs Um empréstimo de R$ deverá ser pago após 18 meses. Até aí, simples. Basta colocar na equação de juros compostos que vimos na aula 0 (VF = VP.(1+i) n ) No entanto, a taxa dada é de 24% ao ano, com capitalização mensal. Portanto, a taxa efetiva mensal é (lembrando que 1 ano = 12 meses): Taxa efetiva mensal = Taxa anual capitalizada mensalmente/12 Taxa efetiva mensal = 24/12 = 2% ao mês. Com a taxa correta, colocamos na equação de juros compostos: VF = VP.(1 + i) n VF = (1 + 0,02) 18 VF = (1,02) 18 A questão pede os juros pagos, em uma equação em que está multiplicada por algo, que é a resposta. Os juros são a diferença entre VF e VP: VF VP = (1,02) = 25000[(1,02) 18 1] Portanto, a resposta é a letra A. Resposta: Letra A. 26

27 2010/FCC/DNOCS/Administrador PROFESSORA: KARINE WALDRICH A taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva de (A) (B) (C) (D) (E) 9% ao trimestre. [(1,03) 2-1] ao bimestre. 12. [(1,36) 1/12-1] ao ano. ao semestre. Uma taxa de juros nominal de 36% ao ano, capitalizada mensalmente, corresponde a seguinte taxa efetiva mensal: Taxa efetiva mensal = Taxa nominal anual capitalizada mensalmente/12 Taxa efetiva mensal = 36/12 = 3% ao mês. Já podemos descartar a letra A, pois, se estamos em regime de juros compostos, é claro que a taxa trimestral será maior do que simplesmente 3 x 3 = 9% ao trimestre. Vamos começar do mais fácil. Fazemos a alternativa que fala sobre a taxa bimestral, depois usamos a taxa bimestral para calcular a semestral, e assim por diante. Taxa equivalente bimestral: (1 + I) = (1 + i) K (1 + I) = (1 + 0,03) 2 I = 1, É exatamente o que diz a alternativa B. Resposta: letra B. 2008/CESPE/TJ-DF/Analista Judiciário Pedro Santos entrou na justiça contra uma empresa construtora por quebra de contrato, pois, mesmo tendo pago o serviço contratado, este sequer havia sido começado. Após o julgamento, foi decidido que a empresa construtora pagaria a Pedro Santos uma indenização de R$ ,00, além de multa contratual e mais um valor a título de dano 27

28 moral. Na decisão judicial constou que, na data do pagamento, o valor de R$ ,00 correspondente à indenização deveria ser corrigido a uma taxa nominal de juros compostos de 24% ao ano, com capitalização mensal, contados a partir de 1.º de janeiro de Considerando essa situação hipotética e tomando 1,13 como valor aproximado para (1,02) 6, julgue o item seguinte. As taxas de juros compostos de 24% ao ano e de 2% ao mês são taxas proporcionais. (A) Certo (B) Errado Adoro esse questãozinha do CEIXPE. Taxas proporcionais são taxas que apresentam a mesma proporção entre si do que os tempos a que se referem. No nosso caso, temos uma taxa de 24% ao ano e uma de 2% ao mês. Um ano possui 12 meses, certo? E quanto é 24/12? 2! Ou seja, elas são taxas proporcionais. A resposta está correta. Que fique claro que, em sistema de juros compostos, taxas proporcionais NÃO SÃO taxas equivalentes. Já em sistema de juros simples sim, pois não há capitalização dos juros, ou seja, não há juros sobre juros. Resposta: Certo. 2008/CESPE/TJ-DF/Analista Judiciário Ainda considerando a situação hipotética anterior e o valor numérico de aproximação mencionado, julgue o item seguinte. Uma taxa de juros compostos de 24% ao ano, com capitalização anual, é equivalente a uma taxa de juros compostos de 4% ao bimestre, com capitalização bimestral. (A) Certo (B) Errado Mais uma questão sobre taxas, que são exaustivamente cobradas em concurso. Ela fala sobre taxas equivalentes. Então, temos de ver se as taxas indicadas são a mesma coisa. 28

29 Quero que vocês percebam que não é necessário fazer contas numa questão como essa. A primeira taxa é de 24% ao ano com capitalização anual. Ou seja, percebam que a taxa, por bimestre (lembrando que um ano possui 6 bimestres), é menor do que 4%. Estou dizendo isso porque, como estamos falando de juros compostos, se a taxa fosse de 4% ao bimestre, sua equivalente anual seria de mais de 24%. Afinal, em juros compostos incide juros sobre juros... E a questão afirma que essa taxa é equivalente a uma taxa bimestral de 4%, com capitalização bimestral. Errado. Como já vimos, a taxa é, com certeza, menor do que 4% ao bimestre. Então, não pode ser de 4% ao bimestre. Resposta: Errado. 2008/CESPE/TJ-DF/Analista Judiciário Ainda considerando a situação hipotética anterior e o valor numérico de aproximação mencionado, julgue o item seguinte. A taxa de 24% apresentada na sentença judicial corresponde também à taxa efetiva de juros que será praticada no pagamento da indenização citada. (A) Certo (B) Errado Já sabemos que taxa efetiva é a taxa que realmente utilizamos no cálculo da matemática financeira. É o i, presente em todas as equações de MatFin. E a taxa de 24% ao ano, dita no enunciado, é a taxa efetiva? Não. Tal enunciado diz: taxa nominal de juros compostos de 24% ao ano, com capitalização mensal. Pessoal, uma dica: a taxa só é efetiva se seu período e capitalização forem os mesmos. Por exemplo, se a taxa fosse 24% ao ano com capitalização anual, a taxa seria efetiva. No nosso caso, a taxa é de 24% ao ano com capitalização mensal. Ou seja, essa taxa é nominal. Para sabermos a taxa mensal, basta dividir a referida taxa pelo número de vezes que o período menor está contido no período maior (o K, lembram?). 29

30 Dessa forma, a taxa de 24% ao ano com capitalização mensal é equivalente à taxa de 24/12=2% ao mês com capitalização mensal. E é essa a taxa efetiva, e não a taxa de 24% ao ano apresentada no enunciado. Assim, a afirmação está incorreta. Resposta: Errado. 2006/FCC/SEFAZ-PB/Auditor-fiscal Um capital no valor de R$ ,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,05 (E) R$ ,00 APENAS PARA DEIXAR CLARO, PARA A FCC: CAPITAL = VALOR INICIAL = VP MONTANTE = VALOR AO FINAL DO PERÍODO (ADICIONADO DE JUROS) = VF A taxa é anual e o período é de 2 anos e 3 meses. O primeiro n irá se referir ao período inteiro, ou seja, 2 anos. Já o segundo n irá se referir ao período que é uma fração de ano, ou seja, os 3 meses. 3 meses, como um ano possui 12 meses, representam 3/12 = 0,25 ano. Colocando na equação: VF = (1 + 0,1) 2.(1 + 0,1.0,25) VF = ,21.(1 + 0,025) = A convenção linear, por capitalizar o período fracionário em regime de juros simples, sempre resulta num VF menor do que a convenção exponencial. Resposta: Letra C. MEMOREX DO RESUMO DE HOJE 30

31 Desconto Racional Simples D racional = N A N = A.(1 + i simples.n) Desconto Racional Composto D racional = N A N = A.(1 + i compostos ) n Desconto Comercial Simples D comercial = N.i.n A = N.(1 i.n) Desconto Comercial Composto D comercial = N N(1 i) n A = N(1 i) n Taxa Efetiva = Taxa Nominal/Período. (1 + I) = (1 + i) K 1 + i a = (1 + i r ).(1 + inf) 31