ICMS-SP MATEMÁTICA/ESTATÍSTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH. Aula Demonstrativa

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1 Aula Demonstrativa 1. Apresentação Pessoal Matemática/Estatística/Raciocínio Lógico para ICMS-SP: Objetivo do Curso e Público-Alvo Programação do Curso Mensagem Final Matemática Financeira (Introdução) Juros Simples Juros Compostos Exercícios Comentados Memorex Lista das questões abordadas em aula Gabarito Prof. Karine Waldrich 1

2 1. Apresentação Pessoal Oi, tudo bem? Meu nome é Karine Waldrich. Nasci Blumenau, Santa Catarina. Sou Auditora- Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovada em 39 o no concurso de Depois comentarei um pouco mais sobre isso, mas, por hora, vamos aos detalhes do curso. 2. Matemática/Estatística/Raciocínio Lógico para ICMS-SP: Objetivo do Curso e Público-Alvo O objetivo deste curso é ensinar Matemática Financeira, Estatística e Raciocínio Lógico para os aspirantes aos cargos de Agente Fiscal de Rendas do Estado de São Paulo. Meus cursos aqui no Ponto seguem duas premissas principais: 1) Eu não sou teórica da matéria. Sou uma aprovada em concurso que estudou muito para passar e tem uma boa ideia do que as bancas cobram e como cobram. Por isso, não me aprofundo em teorias desnecessárias ao entendimento e que não caem em concursos. 2) Acho que mais explicação é melhor do que menos, portanto procuro esmiuçar o conteúdo, pois na época em que eu estudava preferia professores que fizessem isso. Nada ficará subentendido. O curso se propõe a ser desenvolvido com base em teoria e questões comentadas. O objetivo é ver tudo desde o começo. Mesmo quem não possui conhecimento algum na matéria possui condição de acompanhar as aulas. A banca deste concurso é a FCC Fundação Carlos Chagas. Nosso curso se baseará em questões da FCC. Quando necessário, vou utilizar também questões de outras bancas que eu julgue serem perfeitamente passíveis de cobrança pela FCC. As provas da FCC costumam ser traiçoeiras. Não tanto pelo nível das questões, mas pelo tempo pequeno que há para resolvê-las. Isso, na minha opinião, não deve ser um desestímulo ao estudo. Ao contrário. O conteúdo deve estar massificado na mente do concurseiro, para que, na hora da prova, ele decida quais questões devem ser feitas e quais (por serem demoradas), devem ser deixadas de lado. Ao final de cada aula, será apresentada a lista de questões abordadas na aula, bem como um esquema dos pontos mais importantes uma espécie de Memorex para que vocês revisem o assunto de forma rápida. Prof. Karine Waldrich 2

3 No último concurso, havia 35 questões de Matemática/Estatística/Raciocínio Lógico na prova do ICMS-SP. O edital do concurso dizia: D-2 - MATEMÁTICA / ESTATÍSTICA Juros simples. Montante e juros. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Juros compostos. Montante e juros. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua. Descontos: simples, composto. Desconto racional e desconto comercial. Amortizações. Sistema francês. Sistema de amortização constante. Sistema misto. Fluxo de caixa. Valor atual. Taxa interna de retorno. Estatística Descritiva: gráficos, tabelas, medidas de posição e de variabilidade. Probabilidades: conceito, axiomas e distribuições (binominal, normal, poisson, qui-quadrado). Inferência estatística. Amostragem: amostras casuais e não-casuais. Processos de amostragem, incluindo estimativas de parâmetros. Intervalos de confiança. Testes de hipóteses para médias e proporções. Correlação e Regressão. D-4 - RACIOCÍNIO LÓGICO Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio verbal; raciocínio matemático; raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos. Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. Todos esses tópicos serão vistos no nosso curso, claro. 3. Programação do Curso Estruturei o nosso curso para possuir 6 aulas, mais a aula demonstrativa (esta). Agrupei os conteúdos nas aulas de acordo com sua semelhança, para que seja mais fácil de eu explicar e vocês o assimilarem. O cronograma encontra-se na tabela abaixo: AULA DATA ASSUNTO AULA 0 MATEMÁTICA FINANCEIRA (Introdução) 1. Juros simples. Montante e juros. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. 2. Juros compostos. Montante e juros. AULA 1 30/05/2012 MATEMÁTICA FINANCEIRA (Continuação) Taxa nominal, taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua. Descontos: simples, composto. Desconto racional e desconto comercial. Amortizações: Sistema francês (Tabela Price). Sistema de amortização constante. Sistema Prof. Karine Waldrich 3

4 misto. Fluxo de caixa. Valor atual. Taxa interna de retorno. AULA 2 06/06/2012 ESTATÍSTICA BÁSICA Estatística Descritiva: Gráficos, tabelas, medidas de posição e de variabilidade. AULA 3 13/06/2012 PROBABILIDADE Probabilidades: conceito, axiomas e distribuições (binominal, normal, poisson, qui-quadrado). AULA 4 20/06/2012 ESTATÍSTICA AVANÇADA Inferência estatística. Amostragem: amostras casuais e não-casuais. Processos de amostragem, incluindo estimativas de parâmetros. Intervalos de confiança. Testes de hipóteses para médias e proporções. Correlação e Regressão. AULA 5 27/06/2012 LÓGICA (PARTE 1) Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. AULA 6 04/07/2012 LÓGICA (PARTE 2) Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio verbal; raciocínio matemático; raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos. Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. Além disso, temos o Fórum de Dúvidas, tradicional nos cursos do Ponto. Estou, além disso, sempre disponível no karinewaldrich@pontodosconcursos.com.br. Antes do curso (mesmo que você não se inscreva), durante o curso (para algum assunto que queira tratar de forma pessoal comigo, sem utilizar o fórum) e depois do curso (para alguma dúvida posterior). 4. Mensagem Final Pessoal, como falei no começo desta apresentação, sou de Blumenau, Santa Catarina. Me formei em Engenharia Química pela Universidade Federal de Santa Catarina (2008) e em Administração de Empresas pela Escola Superior de Administração e Gerência da Universidade do Estado de Santa Catarina (2007). Prof. Karine Waldrich 4

5 Quando saí da faculdade pensei nas coisas que poderia fazer, no que queria trabalhar. Depois de muito refletir, vi que, acima de qualquer aspiração profissional, minha maior vontade era simplesmente ser feliz, com qualidade de vida. Em 2009, quando saiu a autorização para o concurso da Receita Federal (mais precisamente, no dia 24 de abril de 2009), comecei a estudar para este concurso, para o cargo de Auditor-Fiscal. Fui aprovada em 39 o lugar, dentre os candidatos. Atualmente, exerço este cargo na Inspetoria da Receita Federal de São Paulo. Quase gabaritei a prova de Raciocínio Lógico deste concurso, acertando 19 das 20 questões. A única questão que errei defendo que deveria ter sido anulada (inclusive já debati esse assunto em uma coluna no site do Ponto). Gosto muito da matéria e, por isso, hoje em dia dou aula dela no Ponto. Falando sobre meu estudo, Blumenau é uma cidade de habitantes, sem muita opção de estudo para concursos. Estudei basicamente em casa, numa escrivaninha velha do lado da minha cama. Utilizei alguns cursos do Ponto, especialmente depois do edital, e foi o que salvou, por serem específicos para o concurso que eu estava pretendendo (naquele caso, o da Receita). Independente disso, o que foi determinante para a minha aprovação, sem dúvidas, foi a força de vontade. Foi estudar muito. Eu queria muito passar, queria muito sair daquela escrivaninha. Concurso público não pede foto para inscrição. Não importa se você é bonito ou feio, preto ou branco, rico ou pobre, gordo ou magro. O que importa é se você: 1) Quer passar; 2) Estudar muito para passar. Se você quer passar, e estudar muito para passar, já tem 90% das chances de ser aprovado. Meu objetivo aqui é ajudar você nisso, mas tenha a certeza de que o principal você terá que fazer sozinho, estudando. Espero que possamos ter um excelente curso, e conto com vocês para isso. Agora vamos ao conteúdo desta aula demonstrativa, propriamente dito. Prof. Karine Waldrich 5

6 5. Matemática Financeira (Introdução) 5.1 Juros Simples Juros são, em grossas palavras, o preço do dinheiro. Juros simples, hoje em dia, são pouco utilizados na prática. Isso porque a maioria da capitalização é feita com juros compostos. Mas os juros simples são muito úteis para entendermos a lógica da matemática financeira, e funcionam muito bem quando temos apenas 1 período de análise. Além de serem bem cobrados em concurso. Por exemplo: Imaginem que vocês cheguem a uma loja para comprar um carro. O vendedor diga assim: Olha, o carro que você quer custa à vista, ou se você pagar em 30 dias. Percebam que, para sair com o carro e pagar só no mês seguinte, o sujeito irá desembolsar reais. Ou seja, esse é o preço do dinheiro, para o cliente, durante 1 mês. Para saber o a taxa de juros simples, temos que dividir esse valor pelo valor inicial que temos, e que deu origem aos juros. No nosso exemplo: 1.000/ = 0,1 ao mês. Normalmente, as taxas de juros são apresentados em termos percentuais, ou seja, tantos % ao mês. Basta multiplicar o valor acima por 100, o que resultaria em 10% ao mês. Assim, temos: taxa de juros simples = i simples = valor dos juros em um período x 100 valor inicial E se tivéssemos mais de 1 mês? Se o vendedor chegasse para você e falasse: Fulano, o preço à vista é , mas se você quiser pagar daqui à 2 meses o valor será de ? Para saber a taxa de juros, você teria que dividir o valor dos juros por 2 meses. Aí saberíamos quanto de juros tivemos por mês. Teríamos o seguinte: i simples = (valor dos juros em dois períodos)/2 x 100 valor inicial Prof. Karine Waldrich 6

7 Reorganizando a equação, e generalizando para n períodos, temos: i simples = valor dos juros em n períodos x 100 valor inicial.n Em Matemática Financeira, o valor inicial é normalmente chamado de valor presente ou capital. No nosso curso, chamaremos de valor presente (VP). O valor dos juros é chamado J. Assim, temos nossa primeira equação: i simples = J VP.n O valor final pago é o valor inicial (VP) mais os juros pagos (J). Ou seja: Valor total = VP + J Este valor total é chamado de valor futuro ou montante. Chamaremos de valor futuro (VF). Assim: VF = VP + J Podemos substituir o J por VP.n.i simples, derivada da equação anterior. Assim: VF = VP + VP.n.i simples VF = VP.(1 + n.i simples ) 5.2 Juros Compostos A diferença dos juros simples para os juros compostos está no fato de quê, quando o sistema é de juros compostos, a taxa de juros do período seguinte incide também sobre os juros do período anterior. Relembrando o exemplo da loja de carros, imagine que você chegue à loja e o vendedor diga: Beltrano, para você comprar esse carro, terá de dar à vista, ou poderá pagar em 2 meses, com juros de 10% ao mês. Observação número 1: quando dizemos simplesmente juros, estamos, normalmente, nos referindo aos juros compostos. Isso vale Prof. Karine Waldrich 7

8 também para as questões: quando elas dizem simplesmente juros (sem especificar se são compostos ou simples) isso indica que os juros são compostos. Se fossem juros simples, pagaríamos ( ,1) = Mas agora temos juros compostos. O que muda? No caso dos juros compostos, incide juros, no 2º mês, também sobre o montante de juros capitalizado no primeiro mês. Ou seja, no segundo mês, os juros incidentes não seriam de x 0,1 (que é VP x taxa), e sim de x 0,1 (que é (VP + J) x taxa). Ou seja, enquanto nos juros simples temos: VP J 1 = 1000 J 2 = 1000 Período 1 Período 2 No segundo mês, a taxa de juros incide apenas em VP, ou seja, J 2 = VP.i. Nos juros compostos temos: J 1 = 1000 Período 1 J 2 = 1100 Período 2 No segundo mês, a taxa de juros incide em VP + J, ou seja, J 2 = (VP + J).i. VP Entenderam por que os juros são compostos? Porque eles incidem sobre os juros do período anterior... O nosso VF, com juros compostos, fica: VF = VP + J 1 + J 2 VF = VP + VP.i + (VP + J).i VF = VP + VP.i + (VP + VP.i).i VF = VP + VP.i + VP.i + VP.i.i Prof. Karine Waldrich 8

9 VF = VP.(1 + 2.i + i.i) = VP.(1 + i) 2 = 1000.(1 + 0,1) 2 = Acima desenvolvemos a equação para 2 meses, que foi o tempo que o nosso vendedor deu para que paguemos o carro. A equação geral, para n períodos, é: VF = VP.(1 + i composto ) n Assim como no caso dos juros simples, na equação devemos ter taxa e tempo na mesma unidade. Prof. Karine Waldrich 9

10 6. Exercícios Comentados Questão 1 FCC/BB/Escriturário/2011 Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juros simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 42% ao ano, então, não tendo sido feito qualquer depósito ou retirada, o montante de R$ ,00 estará disponível a partir de quanto tempo da data de aplicação? (A) 4 meses. (B) 3 meses e 20 dias. (C) 3 meses e 10 dias. (D) 3 meses. (E) 2 meses e 20 dias. Uma questão sobre juros simples. É fornecido um capital (é outra maneira de chamar o VP, de $10.500) e informa que o montante (outra maneira de chamar o FV, de $11.725) foi obtido após um período n (que a questão quer saber) a uma taxa de 42% ao ano. Com esses dados, basta colocar na equação que já vimos: = (1 + 0,42.n) /10500 = (1 + 0,42n) 1,1167 = 1 + 0,42.n 0,1167 = 0,42n n = 0, ano... Esse n encontrado está expresso em anos. Mas percebam que as respostas falam em meses e dias. Portanto (como 1 ano possui 12 meses), multiplicamos esse valor encontrado por 12 para saber o equivalente em meses. n = 0,2777 ano x 12 (meses/ano) = 3,3333 meses 3,3333 meses corresponde a 3 meses e mais 0,333 mês. Esse 0,333, portanto, está expresso em dias na resposta. Como um mês possui 30 dias: n = 0,333 mês x 30 (dias/mês) = 10 dias. Portanto, a resposta correta é letra C 3 meses e 10 dias. Resposta: Letra C. Prof. Karine Waldrich 10

11 Questão 2 FCC/TRT 4 a Região/Técnico Judiciário/2011 Na compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar por duas formas de pagamento: - à vista, por R$ 225,00; - R$ 125,00 no ato da compra mais uma parcela de R$ 125,00, um mês após a compra. Se Lucimara optar por fazer o pagamento parcelado, a taxa mensal de juros simples cobrada nesse financiamento é de (A) 10%. (B) 20%. (C) 25%. (D) 27%. (E) 30%. Agora, temos uma questão em que é pedida a taxa de um sistema de pagamentos de juros simples. O enunciado propõe um pagamento total à vista ou o pagamento de uma parte à vista e outra parte para um mês após a compra, e quer saber os juros inclusos. Esquematizando: Pagamento 1 = 225 Pagamento 2 (parte1) = 125 Pagamento 2 (parte 2) = 125 Assim, o que temos de fazer é trazer o pagamento 2 (parte 2) para o início do mês, sabendo, assim o quanto de juros estão sendo pagos. O pagamento 1 é de 225. O pagamento 2 é de = 250. Ou seja, Lucimara pode pagar 125 e deixar os outros 100 (ao invés de pagar os 225) para pagar no final do mês. Prof. Karine Waldrich 11

12 Ocorre que, como incidiram juros, ao invés de pagar os mesmos 100, ela vai pagar 125, pagando 25 reais unicamente de juros. Colocando isso na equação para saber a taxa: VF = VP.(1 + i.n) 125 = 100.(1 + i.1) 1,25 = 1 + i i = 0,25 = 25% ao mês. Assim, a taxa é de 25% ao mês. Resposta: Letra C. Questão 3 FCC/MPU/Analista/2007 A Empresa Beta S.A. precisa gerar uma receita de R$ ,00, aplicando R$ ,00 a uma taxa de juros de 2,5% a.m.. Considerando que o captador remunera a juros simples, o dinheiro deverá ficar aplicado por (A) (B) (C) (D) (E) 3 meses. 6 meses. 7 meses. 9 meses. 12 meses. Mais uma questão de juros simples. O enunciado diz que é necessário gerar uma receita, a base de juros, aplicando um PV de a uma taxa de 2,5% ao mês (0,025). Portanto, temos que o VF, após o período de n meses, deve ser de ( ). Colocando na equação: VF = VP.(1 + i.n) = (1 + 0,025n) 1,225 = 1 + 0,025n 0,225 = 0,025n n = 9. Portanto, o dinheiro deverá ficar aplicado por 9 meses. Resposta: Letra D. Prof. Karine Waldrich 12

13 Questão 4 FCC/BB/Escriturário/2010 Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentando um montante igual a R$ ,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a (A) R$ ,50. (B) R$ ,00. (C) R$ ,25. (D) R$ ,50. (E) R$ ,75. Essa questão mistura juros simples e juros compostos. Temos duas aplicações. A primeira aplicação se refere a juros simples. Colocando na equação que já sabemos, podemos saber o capital aplicado. Como o prazo dado é de 8 meses e a taxa é expressa em anos, transformamos a taxa em taxa mensal. Basta dividi-la por 12 (afinal 1 ano possui 12 meses): i = 0,15 ao ano = 0,15/12 ao mês = 0,0125 ao mês. VF = VP.(1 + i.n) = PV.(1 + 0,0125.8) = PV.(1 + 0,1) PV = /1,1 = Esse PV, agora, será aplicado por 2 anos a uma taxa de juros compostos (a segunda aplicação). Portanto, nesta segunda aplicação, temos um VP de , a ser aplicado a uma taxa de 15% ao ano durante 2 anos: Assim: VF = VP.(1 + i) n VF = (1 + 0,15) 2 VF = (1,15) 2 Prof. Karine Waldrich 13

14 VF = (1,3225) = Resposta: Letra D. Questão 5 FCC/TRT 18 a Região/Técnico Judiciário/2008 Para que ao final de 2 anos de aplicação num regime de capitalização composta, um capital de R$ ,00 produza o montante de R$ ,50, a taxa anual da aplicação deverá ser de (A) 25% (B) 22,5% (C) 22% (D) 20% (E) 18,5% Essa questão pede a taxa de uma aplicação em juros compostos. A questão em si é simples, mas tem um pequeno detalhe que complica um pouco. Vamos ver: Colocando os dados na equação, temos: VF = VP.(1 + i) n 24687,50 = (1 + i) 2 (1 + i) 2 = 1,5625 E agora? Algumas provas fornecem uma tabela com valores de taxas e do valor resultante da operação acima. Mas eu fui atrás para olhar, e essa prova não fornece nada disso. Então, o jeito é substituir taxa por taxa na equação e ver qual taxa satisfaz a igualdade acima. Começando pela letra A, 25% = 0,25: (1 + 0,25) 2 = 1,5625 1,5625 = 1,5625. Portanto, a letra A (25%) é a resposta correta. Pessoal, em prova, sugiro deixar essa questão para o final, só se der tempo de resolver mesmo. Porque aqui tivemos sorte de a resposta ser a letra A, mas se fosse a letra E teríamos perdido um tempo precioso... Resposta: Letra A. Prof. Karine Waldrich 14

15 Na próxima aula continuamos o assunto de Matemática Financeira. Abraços, Karine Prof. Karine Waldrich 15

16 7. Memorex VF = VP.(1 + n.i simples ) VF = VP.(1 + i compostos ) n Prof. Karine Waldrich 16

17 8. Lista das questões abordadas em aula Questão 1 FCC/BB/Escriturário/2011 Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juros simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 42% ao ano, então, não tendo sido feito qualquer depósito ou retirada, o montante de R$ ,00 estará disponível a partir de quanto tempo da data de aplicação? (A) 4 meses. (B) 3 meses e 20 dias. (C) 3 meses e 10 dias. (D) 3 meses. (E) 2 meses e 20 dias. Questão 2 FCC/TRT 4 a Região/Técnico Judiciário/2011 Na compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar por duas formas de pagamento: - à vista, por R$ 225,00; - R$ 125,00 no ato da compra mais uma parcela de R$ 125,00, um mês após a compra. Se Lucimara optar por fazer o pagamento parcelado, a taxa mensal de juros simples cobrada nesse financiamento é de (A) 10%. (B) 20%. (C) 25%. (D) 27%. (E) 30%. Questão 3 FCC/MPU/Analista/2007 A Empresa Beta S.A. precisa gerar uma receita de R$ ,00, aplicando R$ ,00 a uma taxa de juros de 2,5% a.m.. Considerando que o captador remunera a juros simples, o dinheiro deverá ficar aplicado por (A) (B) (C) (D) (E) 3 meses. 6 meses. 7 meses. 9 meses. 12 meses. Questão 4 FCC/BB/Escriturário/2010 Prof. Karine Waldrich 17

18 Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentando um montante igual a R$ ,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a (A) R$ ,50. (B) R$ ,00. (C) R$ ,25. (D) R$ ,50. (E) R$ ,75. Questão 5 FCC/TRT 18 a Região/Técnico Judiciário/2008 Para que ao final de 2 anos de aplicação num regime de capitalização composta, um capital de R$ ,00 produza o montante de R$ ,50, a taxa anual da aplicação deverá ser de (A) 25% (B) 22,5% (C) 22% (D) 20% (E) 18,5% Prof. Karine Waldrich 18

19 9. Gabarito 1 C 2 C 3 D 4 D 5 A Prof. Karine Waldrich 19