Correção da Unicamp ª fase - Matemática feita pelo Intergraus

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1 da Unicamp 010 ª fase - Matemática UNIAMP MATEMÁTIA 1. Uma confeitaria produz dois tipos de bo los de fes ta. ada quilograma do bolo do tipo A consome 0, kg de açúcar e 0, kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0, kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha, responda às questões abaixo. a) Se rá que é pos sí vel pro du zir 7 kg de bo lo do ti po A e 18 kg de bo lo do ti po B? Jus ti fi que sua res pos ta. b) Qu an tos qui lo gra mas de bo lo do ti po A e de bo lo do ti po B de vem ser pro du zi dos se a con fe i ta ria pre ten - de gas tar to da a fa ri nha e to do o açú car de que dis põe? a) Pa ra a pro du ção pe di da se rão con su mi dos 7 0, , = 6, kg de açú car e 7 0, ,3 = 6,8 kg de fa ri nha. o mo a con fe i ta ria só dis põe de 6 kg de fa ri nha, não se rá pos sí vel re a li zar tal pro du ção. b) Pro du zin do x qui lo gra mas de bo lo do ti po A e y qui lo gra mas de bo lo do ti po B, te mos: + 0,x + 0,y = 10 0,y = 0,x + 0,3y = 6 ( ) 0,x + 0,3y = 6 Assim, y = 5 e x =,5. a) Não, a quan ti da de de fa ri nha não é su fi ci en te. b),5 kg do ti po A e 5 kg do ti po B.

2 da Unicamp 010 ª fase - Matemática Uma peça esférica de ma deira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura ao lado. Ob serve que, na escavação, retirou-se um cilindro de ma deira com duas tampas em formato de calota esférica. Sabe-se que uma calota esférica tem h vol ume Vcal (3R h), em que h é a altura da calota e R é o raio 3 da esfera. Além dis so, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por A Rh. Aten ção: não use um va lor apro xi ma do pa ra. cal a) Su pon do que h = R/, de ter mi ne o vo lu me do anel de ma de i ra, em fun ção de R. b) De po is de es ca va da, a pe ça de ma de i ra re ce be rá uma ca ma da de ver niz, tan to na par te ex ter na, como na in ter na. Su pon do, no va men te, que h = R/, de ter mi ne a área so - bre a qual o ver niz será apli ca do. O ci lin dro re ti ra do tem raio da base r e al tu ra R. R h r h = R R/ R R/ R a) No triân gu lo des ta ca do, te mos: R R 3 r R r R V 3 R 3 R 3 R 3R R anel R Vanel 3 6 b) S R 3 R R R R anel S anel ( 3) R a) R 6 3 b) ( 3) R 3

3 da Unicamp 010 ª fase - Matemática Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm,5 cm. Os dois retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras abaixo. a) O re ta lho se mi cir cu lar po de ser usa do pa ra a ob ten ção da ti ra? Jus ti fi que. b) O re ta lho tri an gu lar po de ser usa do pa ra a ob ten ção da ti ra? Jus ti fi que. 6 cm 1 cm 16 cm a) A 6 b) B 5 10 No triân gu lo AB te mos que (AB) = (A) + (B) B 6 5 B 11 cm. Por tan to, o ma i or re tân gu lo que po de mos ins cre ver no se tor circular tem me di das 10 cm 11 cm. o - mo 11 cm,5 cm, o re ta lho se mi cir cu lar po de ser usa do pa ra ob ten ção da ti ra. A D B 10 cm 16 cm ADE ~ AB: 6 x 6 x E x x 6 cm 9 cm Por tan to, o ma i or re tân gu lo que po de mos ins cre ver no triân gu lo tem me di das 10 cm 9 cm,5 cm, o re ta lho trian gu lar não po de ser usa do pa ra a ob ten ção da ti ra. a) Sim. b) Não. 9 cm. o mo

4 da Unicamp 010 ª fase - Matemática Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura. a) Su po nha que a ram pa que La u ra de ve su bir te nha ân gu lo de in cli na ção, tal que cos( ) 0,99. Su po - nha, tam bém, que ca da pe da la da fa ça a bi ci cle ta per cor rer 3,15 m. al cu le a al tu ra h (me di da com re la - ção ao pon to de par ti da) que se rá atin gi da por La u ra após dar 100 pe da la das. b) O qua dro da bi ci cle ta de La u ra es tá des ta ca do na fi gu ra à di re i ta. om ba se nos da dos da fi gu ra, e sa - ben do que a me de cm, cal cu le o com pri men to b da bar ra que li ga o ei xo da ro da ao ei xo dos pe da is. 6 h 30 b a 77 a) De sen cos 1, vem que sen ( 0,99) 1; lo go, sen 0,1. No triân gu lo AB, te mos que: B h A AB = 100 3,15 = 315 m h h sen 0,1 h 31,5 m AB 315 b) al cu lan do os ân gu los do qua dro da bi ci cle ta, temos a fi gu ra aba i xo: a = cm 30 b 77 sen 75 = sen ( ) = sen 30 cos 5 + sen 5 cos 30 = 1 3 sen 75 Apli can do a lei dos se nos: ( 6) a b sen 75 a b b 11( sen 30 6) cm sen 75 sen 30 1 a) 31,5 m. b) 11( 6) cm. 6

5 da Unicamp 010 ª fase - Matemática O valor presente, V p, de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela fórmula abaixo, em que r é o percentual men sal de juros (0 r 100) e p é o valor da parcela. p Vp n r a) Su po nha que uma mer ca do ria se ja ven di da em du as par ce las igua is de R$ 00,00, uma a ser pa ga à vis ta, e ou tra a ser pa ga em 30 di as (ou se ja, 1 mês). al cu le o va lor pre sen te da mer ca do ria, V p, su pon - do uma ta xa de ju ros de 1% ao mês. b) Ima gi ne que ou tra mer ca do ria, de pre ço p, se ja ven di da em du as par ce las igua is a p, sem en tra da, com o pri me i ro pa ga men to em 30 di as (ou se ja, 1 mês) e o se gun do em 60 di as (ou me ses). Su pon do, no - va men te, que a ta xa men sal de ju ros é igual a 1%, de ter mi ne o va lor pre sen te da mer ca do ria, V p, e o per cen tu al mí ni mo de des con to que a lo ja de ve dar pa ra que se ja van ta jo so, pa ra o cli en te, com prar à vis ta. 00 a) O va lor pre sen te da par ce la a ser pa ga da qui a 1 mês é (1 0,01) mer ca do ria é ,0 = 398,0 re a is ,0. Assim, o va lor pre sen te da p p b) O va lor pre sen te da mer ca do ria é 0,99p + 0,98p =1,97p. 1 (1 0,01) (1 0,01) Des se mo do, o per cen tu al de des con to que a lo ja de ve dar pa ra que se ja van ta jo so pa ra o cli en te com - p 1,97p 0,03 prar à vis ta de ve ser su pe ri or a 0,015 1,5%. p a) Apro xi ma da men te R$ 398,0. b) 1,97p; su pe ri or a 1,5%.

6 da Unicamp 010 ª fase - Matemática Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas no formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz. Um resumo do levantamento é apresentado na tabela ao lado. a) Em fa ce dos óti mos re sul ta dos ob ti dos nas ven das, a em pre sa re - sol veu sor te ar um prê mio en tre se us cli en tes. a da pro pri e tá rio de um apa re lho da em pre sa re ce be rá um cu pom pa ra ca da R$ 100,00 gastos na com pra, não sen do pos sí vel re ce ber uma fra ção de cupom. Su pon do que ca da pro pri e tá rio ad qui riu ape nas um apa re - lho e que to dos os pro pri e tá ri os res ga ta ram se us cu pons, cal cu le o B D nú me ro to tal de cu pons e a pro ba bi li da de de que o prê mio se ja en tre gue a al gu ma pes soa que te nha ad - qui ri do um apa re lho com pre ço su pe ri or a R$ 300,00. b) A em pre sa pre ten de lan çar um no vo mo de lo de apa re lho. Após uma pes qui sa de mer ca do, ela des co - briu que o nú me ro de apa re lhos a se rem ven di dos anu al men te e o pre ço do no vo mo de lo es tão re la ci o - na dos pe la fun ção n(p) = 115 0,5p, em que n é o nú me ro de apa re lhos (em mi lha res) e p é o pre ço de ca da apa re lho (em re a is). Deter mi ne o va lor de p que ma xi mi za a re ce i ta bru ta da em pre sa com o no vo mo de lo, que é da da por n p. a) a da com pra dor do mo de lo A re ce beu 1 cu pom; ca da com pra dor do mo de lo B tam bém re ce beu 1 cu pom; ca da com pra dor do mo de lo re ce beu cu pons e ca da compra dor do mo de lo D re ce beu 3 cupons. Assim, o nú me ro to tal de cu pons é = A pro ba bi li da de pe di da é b) A re ce i ta bru ta R em fun ção do pre ço p é da da por R(p) = (115 0,5p) p = 0,5 p + 115p, que atin ge 115 seu má xi mo pa ra p 30. ( 0,5) Assim, o va lor de p que ma xi mi za a re ce i ta é R$ 30,00. a) cu pons; b) R$ 30,00 Modelo Preço (R$) Aparelhos vendidos (milhares) A

7 da Unicamp 010 ª fase - Matemática UNIAMP MATEMÁTIA 7. Sejam dadas as funções f(x) = 8 / x e g(x) = x. a) Re pre sen te a cur va y = f(x) no grá fi co aba i xo, em que o ei xo ver ti cal for ne ce log (y). f(z) = g(y) b) De ter mi ne os va lo res de y e z que re sol vem o sis te ma de equa ções f(y) / g(z) = 1 Di ca: con ver ta o sis te ma aci ma em um sis te ma li ne ar equi va len te. log (y) a) y = x ( ) = 3 x. Assim, log y = log 3 x = 3 x b) 8 8 z y = = y z 8 = 8 = a) Gráfico. b) y = z = 1 y + z y + z = = 3 y + z 3 y + z y + z = 3 y = z = 1 y + z = x

8 da Unicamp 010 ª fase - Matemática O papagaio (também conhecido como pipa, pandorga ou arraia) é um brin - que do mu i to co mum no Bra sil. A fi gu ra ao lado mos tra as di men sões de um pa - pa ga io sim ples, con fec ci o na do com uma fo lha de pa pel que tem o for ma to do qua dri lá te ro ABD, duas va re tas de bambu (in di ca das em cin za) e um pe da ço de li nha. Uma das va re tas é reta e liga os vér ti ces A e da fo lha de pa pel. A ou - tra, que liga os vér ti ces B e D, tem o for ma to de um arco de cir cun fe rên cia e tan - gen cia as ares tas AB e AD nos pon tos B e D, res pec ti va men te. D 5 A B a) al cu le a área do qua dri lá te ro de pa pel que for ma o pa pa ga io. b) al cu le o com pri men to da va re ta de bam bu que li ga os pon tos B e D. 50 cm cm A 5 5 D E B a) DB é equi lá te ro de la do 50 cm e sua área é: S = 50 3 = 65 3 cm DB = 50 cm, DE = AE = 5 cm. R R ADB é re tân gu lo e isós ce les e sua área é: S = = 65 cm 50 cm O a) 65( 3 + 1) cm. b) 5 cm. 50 cm A área do qua dri lá te ro é A = = 65( 3 + 1) cm b) A va re ta de bam bu que li ga os pon tos B e D é um ar co de cir cun fe rên cia de cen tro no pon to O (ver fi gu ra), ra io R = 5 e ân gu lo cen tral de 90. Seu com pri men to é = 90 (5 ). 360 = 5 cm.

9 da Unicamp 010 ª fase - Matemática a11 a1 a13 9. onsidere a matriz A = a1 a a 3, cujos coeficientes são números reais. a31 a3 a33 a) Su po nha que exa ta men te se is ele men tos des sa ma triz são igua is a ze ro. Su pon do tam bém que não há ne nhu ma in for ma ção adi ci o nal so bre A, cal cu le a pro ba bi li da de de que o de ter mi nan te des sa ma triz não se ja nu lo. b) Su po nha, ago ra, que a ij = 0 pa ra to do ele men to em que j > i, e que a ij = i j + 1 pa ra os ele men tos em que j i. De ter mi ne a ma triz A, nes se ca so, e cal cu le sua in ver sa, A 1. a) Os 3 ele men tos di fe ren tes de ze ro po dem ocu par qua is quer 3 das 9 po si ções da ma triz e is to po de ser fe i to de 9,3 = = 8 mo dos. 3! Pa ra que te nha mos det A 0 é ne ces sá rio que to das as fi las de A se jam não nu las. o mo te mos so men - te 3 ele men tos di fe ren tes de ze ro, de ve mos dis por ca da um de les em ca da uma das li nhas da ma triz A, de mo do que ca da um fi que em uma das co lu nas. Assim, o ele men to di fe ren te de ze ro que ocu par a pri - me i ra li nha tem 3 po si ções pos sí ve is. o lo ca do o da primeira. li nha, o da se gun da li nha tem po si ções possíveis e o da ter ce i ra terá tem 1 po si ção pos sí vel. Te mos en tão 3 1 = 6 for mas de se ob ter det A 0. Lo go, a pro ba bi li da de pe di da é 6 8 = 1 1. b) Te mos a 1 = a 13 = a 3 = 0 e os de ma is ele men tos va lem: a = = 1 a = = 3 11 a = 1 + 1= 1 a = + 1= 1 31 a = 3 + 1= 3 a = = 1 a b c 1 0 Sen do A 1 = d e f, te mos A A 1 = I 1 g h i 3 a = 1, b = 0, c = 0. a + d = 0 d = b + e = 1 e = 1 c + f = 0 f = 0 3a + d + g = 0 g = 1 3b + e + h = 0 h = 3c + f + i = 1 i = 1 a) b) A = 1 0 e A 1 = a b c d e f = Daí: 1 g h i 0 0 1

10 da Unicamp 010 ª fase - Matemática Suponha que f : IR IR seja uma função ímpar (isto é, f( x) = f(x)) e periódica, com período 10 (isto é, f(x) = f(x + 10)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é apresentado abaixo. a) om ple te o grá fi co, mos tran do a fun ção no in ter va lo [ 10, 10], e cal cu le o va lor de f(99). b) Da das as fun ções g(y) = y y e h(x) = g(f(x)), cal cu le h(3) e de ter mi ne a ex pres são de h(x) pa ra,5 x 5. f(x) x 5 a) o mo f é ím par, o grá fi co em [ 5, 0] é o si mé tri co, em re la ção à ori gem, do grá fi co em [0, 5]. Por ser pe rió di ca, de pe río do 10, em [ 5, 5] te mos um pe - río do com ple to, o que per mi te cons tru ir a con ti - nu a ção do grá fi co pa ra a di re i ta ou pa ra a es quer - da. o mo o pe río do é 10, te mos tam bém: f(99) = f(89) = f(79) =... = f(9) = f( 1) omo no intervalo 5, 5 f é lin ear com f 5 = 5, temos f(x) = x. Então, f( 1) =, logo f(99) =. b) Pa ra,5 x 5, te mos f(x) = x Assim: h(3) = g(f(3)) = g() = = 0. h(x) = g(f(x)) = [f(x)] f(x) = ( x + 10) ( x + 10) = x 3x + 60 a) gráfico;. b) 0; h(x) = x 3x + 60.

11 da Unicamp 010 ª fase - Matemática No desenho abaixo, a reta y = ax (a > 0) e a reta que passa por B e são perpendiculares, interceptando-se em A. Su pon do que B é o pon to (, 0), re sol va as ques tões aba i xo. a) De ter mi ne as co or de na das do pon to em fun ção de a. b) Su pon do, ago ra, que a = 3, de ter mi ne as co or de na das do pon to A e a equa ção da cir cun fe rên cia com cen tro em A e tangente ao eixo x. a) M a OA OA B M B 1 a A equa ção de B é y 0 = 1 a (x ). Fa zen do x = 0, te mos y = a. Logo, = 0,. a b) OA 1 : y = 3x e B: y = (x ). 3 As co or de na das do pon to sa tis fa zem: y 3x 1 y ( 3 x ) x 1 5 e y Lo go, A =, A cir cun fe rên cia cen tra da em A e tan gen te ao ei xo x pos sui ra io igual a 3. Lo go, sua equa ção é 5 x 1 y y O A B y = ax x a) 0, a 1 b) A 5, 3 ; x 1 y

12 da Unicamp 010 ª fase - Matemática Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de pro pa ganda. O site A, que tem 150 par ti ci pan tes atu al men te, es pe ra con se guir 100 no vos in te gran tes em um pe río do de uma se ma na e do brar o nú me ro de no vos par ti ci pan tes a cada se ma na sub se quen te. Assim, en tra rão 100 in ter na u tas no vos na pri me i ra se ma na, 00 na se gun da, 00 na ter ce i ra, e as sim por di an te. Por sua vez, o site B, que já tem 00 mem bros, acre di ta que con se gui rá mais 100 as so ci a dos na pri - me i ra se ma na e que, a cada se ma na sub se quen te, au men ta rá o nú me ro de in ter na u tas no vos em 100 pes - so as. Ou seja, 100 no vos mem bros en tra rão no site B na pri me i ra se ma na, 00 en tra rão na se gun da, 300 na ter ce i ra, etc. a) Qu an tos mem bros no vos o si te A es pe ra atra ir da qui a 6 se ma nas? Qu an tos as so ci a dos o si te A es pe ra ter da qui a 6 se ma nas? b) Em quan tas se ma nas o si te B es pe ra che gar à mar ca dos mem bros? a) O nú me ro de no vos par ti ci pan tes do si te A, na n-ési ma se ma na, é da do por 100 n 1. Des ta for ma, na sex ta se ma na, o si te atra i rá = 3 00 mem bros. A quan ti da de de as so ci a dos da qui a 6 se ma nas se rá: = 6 50 b) A quan ti da de de as so ci a dos ao si te B da qui a n se ma nas é da da por: n Te mos: ( n) = ( n) = (1+ n) n a) 3 00; b) 1 se ma nas. = 78 (n + 1) n = 156 = 13 1 (n N) n = 1