Resolução feita pelo Intergraus! Matemática Aplicada FGV 2010/

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1 FGV MATEMÁTICA APLICADA DEZEMBRO/ Uma pes qui sa fe i ta em 46 pa í ses e pu bli ca da pela re vis ta The Eco no mist mos tra que, se trans for ma mos a mo e da de cada país para dó lar e cal cu la mos o pre ço do Big Mac (o conhe ci do san du í che do McDo nald s), o Bra sil tem o 6º Big Mac mais caro do mun do, de vi do à alta do real. MAIS CAROS Preço, em US$ MAIS BARATOS Preço, em US$ 1º Noruega 6,15 41º Tailândia 1,89 2º Suíça 5,98 42º Malásia 1,88 3º Dinamarca 5,53 43º China 1,83 4º Islândia 4,99 Sri Lanka 1,83 5º Suécia 4,93 Ucrânia 1,83 6º Brasil 4,02 46º Hong Kong 1,72 Fon te: The Eco no mist. a) Quan do a pes qui sa foi pu bli ca da, o dó lar es ta va co ta do a R$ 2,00. Su po nha que um jo vem ca sal en trou em uma lan cho ne te si tu a da no ba ir ro da Li ber da de e com prou do is Big Macs e do is su cos de la ran ja. Ca da su co de la ranja cus ta va R$ 3,40. Pa ga ram com uma no ta de R$ 20,00 e uma de R$ 5,00. Re ce be ram o tro co so men te em mo e das e no me nor nú me ro pos sí vel de mo e das. Qu an tas mo e das re ce be ram de tro co? b) Em ja ne i ro de 2009, quan do foi pu bli ca da a edi ção an te ri or da pes qui sa, a mo e da ame ri ca na va lia R$ 2,32 e o san du í che, no Bra sil, era cer ca de 4% ma is ba ra to que o ame ri ca no, cu jo pre ço era de US$ 3,50. Se o pre ço do suco fos se o mes mo do item A, o ca sal con se gui ria com prar os do is BigMacs e os do is su cos de la ran ja com R$ 25,00? Se pre ci sar, po de usar o se guin te da do: o pro du to é apro xi ma da men te igual a a) Do is Big Macs cus tam, em re a is, 2 4,02 2,00 = 16,08. Somando-se aos R$ 6,80 dos do is su cos de la ran ja, o casal gas tou R$ 22,88 e re ce beu de tro co R$ 2,12. O me nor nú me ro de mo e das que to ta li zam es sa quan tia é cin co (du as moe das de 1 re al, uma mo e da de 10 cen ta vos e du as de 1 cen ta vo). b) Em ja ne i ro de 2009, o pre ço em re a is de um Big Mac no Bra sil era de 0,96 3,50 2,32 = 3,36 2, = 7,80. O gas to do ca sal foi 2 7,80 + 6,80 = 22,40 re a is Assim, com R$ 25,00, o ca sal con se gue fa zer a com pra. Res pos tas: a) 5 b) Sim.

2 02. Bem no topo de uma ár vo re de 10,2 me tros de al tu ra, um ga vião ca sa ca-de-cou ro, no pon to A da fi gu ra, ob ser va atenta men te um pe que no ro e dor que su biu na mes ma ár vo re e parou pre o cu pa do no pon to B, bem aba i xo do ga vião, na mes ma reta ver ti cal em re la ção ao chão. Jun to à ár vo re, um ga ro to fixa ver ti cal - men te no chão uma va re ta de 14,4 cen tí me tros de com pri men to e, usan do uma ré gua, des co bre que a som bra da va re ta mede 36 cen tí me tros de com pri men to. Exa ta men te nes se ins tan te ele vê, no chão, a som bra do ga vião per cor rer 16 me tros em li nha reta e fi car so bre a som bra do ro e dor, que não se ha via mo vi do de sus to. Cal cu le e res pon da: Qu an tos me tros o ga vião teve de voar para cap tu rar o ro e dor, se ele voa ver ti cal men te de A para B? A B A si tu a ção des cri ta no enun ci a do está re pre sen ta da aba i xo, com as me di das em cm. A 1020 B V 14,4 P 36 S R 1600 G PR PSV ~ PGA PR , 4 PSV ~ PRB 950 PB PB , 4 Logo, AB = = 640 cm Res pos ta: O gavião voou verticalmente 6,4 m.

3 03. Um fa bri can te re ce beu um es tu do fe i to por uma em pre sa de con sul to ria se gun do o qual, se x uni da des de cer ta mer ca do ria fo rem pro du zi das e co mer ci a li za das, o lu cro a ser ob ti do pelo fa bri can te pode ser es ti ma do, den - tro de certa fa i xa de va lo res, pela fun ção: f(x) = 100 e 4 x x re a is, em que e = 2, é o nú me ro de Eu - ler. O es tudo indi ca tam bém, me di an te o grá fi co da fun ção lu cro, que, se to das as uni da des fo rem ven di - das, o lu cro má xi mo es pe ra do é de apro xi ma da men te R$ 5.460,00. f(x) R$ 5.460,00 a) Qu an tas uni da des de vem ser ven di das pa ra o fa bri can te ob ter o ma i or lu cro pos sí vel? Se pre ci sar, uti li - ze as apro xi ma ções: n546 = 6,3; n10 = 2,3. b) Em de ter mi na do mês, o de par ta men to de ven das da fá bri ca de ci diu, por ra zões co mer ci a is, que de ve ri am ser pro du zi das 7 x 15 uni da des do pro du to. Qu an tas uni da des, en tão, de ve ri am ser pro du zi das? Por quê? a) De se ja-se re sol ver a equa ção f(x) = Assim, 100 e 4 x x = e 4 x x = x x n x x n 546 n x = x 4 x = 4 b) Pa ra ma xi mi zar o lu cro, de ve-se pro du zir 7 uni da des na me di da em que a fun ção f ilus tra da no grá fi co é de cres cen te no in ter va lo 7 x 15. Res pos tas: a) 4 b) Um su per mer ca do fez a se guin te ofer ta para a com pra de de ter mi na da mar ca de suco de la ran ja em ca i - xa de 1 li tro: R$3,60 Compre Expres se, em por cen ta gem, o des con to ob ti do por uni da de em re la ção ao pre ço ori gi nal, para quem com prar 8 su cos de la ranja. Na pro mo ção, com pran do 8 su cos pa gam-se por 6; as sim, o cus to por uni da de é 6 do pre ço ori gi nal. 8 Como 6 3 0,75 75%, o desconto é de 25%. 8 4 Res pos ta: 25%

4 05. Qu an do re pre sen ta mos um apar ta men to, uma casa ou a dis tân cia en tre duas ci da des em um mapa, as me di das são re du zidas de modo pro por ci o nal. As ra zões en tre as dis tân ci as em uma re pre sen ta ção pla na e as cor res pon den tes me di das re a is cha mam-se es ca la. A Vol ta da Fran ça (Tour de Fran ce) é a vol ta ci clís ti ca mais im por tan te do mun do e tem o mes mo sig ni fi - ca do, para os ci clis tas, que a Copa do Mun do para os fãs do fu te bol. O Tour de Fran ce, com suas 21 eta pas de pla ní ci es e mon ta nhas, per cor reu pa í ses além da Fran ça, como Espa nha, Mô na co e Su í ça. A 18ª eta pa, que ocor reu em 23/07/2009, não teve pra ti ca men te ne nhu ma es ca la da de mon ta nha. Por isso, conside re o per cur so do iní cio ao fim exa ta men te como uma li nha reta. A es ca la da re pre sen ta ção pla na é 1 : , isto é, 1 cen tí me tro na re pre sen ta ção pla na cor res pon de a cen tí me tros na dis tân cia real. Doussard 529 m Côte de Bluffy 734 m 3 início fim O ci clis ta que ga nhou a eta pa man te ve uma ve lo ci da de mé dia de 48 km/h. Se ele par tiu às 10 ho ras da ma nhã, a que ho ras ter mi nou a cor ri da? A distância percorrida foi de cm = cm = 40 km. O tempo gasto para percorrer essa distância é 40 5 horas, isto é, 50 minutos. Partindo às 10 horas da 48 6 manhã, ter minará a corrida às 10h50min. Res pos ta: 10h50min 10 cm

5 06. Uma fá bri ca de ci de dis tri bu ir os ex ce den tes de três pro du tos ali men tí ci os A, B e C a dois pa í ses da Amé ri ca Cen tral, P 1 e P 2. As quan ti da des, em to ne la das, são des cri tas me di an te a ma triz Q: A B C Q = P P2 Para o trans por te aos pa í ses de des ti no, a fá bri ca re ce beu or ça men tos de duas em pre sas, em re a is por to ne la da, como in di ca a ma triz P: P = 1ª empresa ª empresa a) Efe tue o pro du to das du as ma tri zes, na or dem que for pos sí vel. Que re pre sen ta o ele men to a 13 da ma triz pro du to? b) Que ele men to da ma triz pro du to in di ca o cus to de trans por tar o pro du to A, com a se gun da em pre sa, aos do is pa í ses? c) Pa ra trans por tar os três pro du tos aos do is pa í ses, qual em pre sa de ve ria ser es co lhi da, con si de ran do que as du as apre sen tam exa ta men te as mes mas con di ções téc ni cas? Por quê? a) Co mo P é ma triz 2 2 e Q é 2 3, o pro du to PQ é ma triz 2 3 e não exis te o pro du to QP. Te mos: P Q = P Q = P Q = a 13 = re pre sen ta o va lor em re a is que a 1ª em pre sa co bra pa ra trans por tar o pro du to C aos do is países. b) O cus to pa ra trans por tar com a 2ª em pre sa o pro du to A aos do is pa í ses é o ele men to a 21 da ma triz pro - du to (por tan to, re a is). c) O cus to to tal com ca da em pre sa é: Com a 1ª: = re a is Com a 2ª: = re a is Se as duas apre sen tam as mes mas con di ções téc ni cas, deve ser es co lhi da a 2ª em pre sa, com a qual o cus - to é me nor. Res pos tas: Veja tex to aci ma.

6 07. Pre pa ran do-se para a sua fes ta de ani ver sá rio de ses sen ta anos, uma se nho ra quer usar três anéis de co res di fe ren tes nos de dos das mãos, um anel em cada dedo. De quan tos mo dos di fe ren tes pode co lo - cá-los, se não vai pôr ne nhum anel nos po le ga res? Para um dos anéis exis tem oito de dos pos sí ve is, para o pró xi mo anel te re mos sete de dos pos sí ve is e para o úl ti mo anel seis de dos pos sí ve is. Assim exis tem = 336 mo dos di fe ren tes de co lo car os anéis nos de dos das mãos ex clu in do-se os po le ga res. Res pos ta: Di o fan te de Ale xan dria, que vi veu cer ca do ano 250, pu bli cou na sua obra Arit mé ti ca ex ten sos es tu dos so bre equa ções in de ter mi na das, em que as so lu ções eram pa res or de na dos de nú me ros na tu ra is. a) Uma das equa ções era es ta: xy 5x + 4y = 0, em que as va riá ve is x e y são nú me ros na tu ra is. Expres se a va riá vel x em ter mos da va riá vel y e ten te, por subs ti tu i ção, en con trar to dos os pa res or de na dos (x, y) que são so lu ções da equa ção. b) Re sol va o pro ble ma: As ir mãs Ana e Mar ta re ce be ram de seu avô cer ta quan tia ca da uma, so men te em no tas, sem ne nhu ma mo e da. Tam bém não re ce be ram ne nhu ma no ta de R$ 1,00. A so ma das quan ti as ma is a di fe ren ça en tre a quan tia de Ana e a de Mar ta, ma is o pro du to de las, é igual a 100. Se Ana, que é ma is ve lha, re ce beu uma quan tia ma i or que a de Mar ta, quan tos re a is po de ter re ce bi do ca da uma? Resolução: a) xy 5x + 4y = 0 4y = 5x xy 4y = x(5 y). Pa ra y = 5 fi ca 4 5 = x 0, que é im pos sí vel. Então, sen - 4y do y 5, temos x = 5 y. Co mo x N e y N, te mos: y = 0 x = 0 y = 1 x = 1 y = 2 x = 8 3 N y = 3 x = 6 y = 4 x = 16 y 6 x < 0 x N Os pa res (x, y) são (0,0), (1, 1), (6, 3) e (16, 4). b) A = quan tia de Ana; M = quan tia de Mar ta A e M são na tu ra is ma i o res que 1; A > M e: A + M + (A M) + AM = 100 2A + AM = 100 AM = 100 2A M = A. Co mo M N, A de ve ser di vi sor de 100. Com as con di ções A > M > 1, se gue que po de mos ter: (A = 25, M = 2) ou (A = 20, M = 3) ou (A = 10, M = 8) A pos si bi li da de A = 20, M = 3 de ve ser des car ta da por que não há no ta de R$ 1,00. Res pos ta: a) x = 4y ; pa res: (0, 0), (1, 1), (6, 3) e (16, 4) 5 y b) Ana e Mar ta po dem ter re ce bi do R$ 10,00 e R$ 8,00 ou, en tão, R$ 25,00 e R$ 2,00, res pec ti va men te.

7 09. Uma lata de tin ta está che ia em 5 de sua ca pa ci da de. Den tro da lata caiu um pin cel de 45 cm de com - 6 pri men to. É cer to que o pin cel fi ca rá com ple ta men te sub mer so na tin ta? Por quê? 36 cm 40 cm Se h t é a al tu ra da tin ta na lata (ci lín dri ca), vem que: 20 2 h t = h t = 30 cm. A 30 AC = comprimento máximo de um pincel completamente submerso na tinta. B 40 C ABC: Pelo te o re ma de Pi tá go ras, te mos AC = 50 cm. Res pos ta: Sim, é cer to que o pin cel fi ca rá com ple ta men te sub mer so na tin ta, por que seu com pri men to (45 cm) é me nor que 50 cm.

8 10. Em 1545, o ita li a no Gi ro la mo Car da no ( ) publicou o seu mais im por tan te li vro A Gran de Arte, e tão or gu lho so fi cou que, no fi nal, es cre veu a fra se: Escri to em cin co anos, pode du rar mu i tos mi lha res. No li vro, um pro ble ma apa ren te men te sim ples co me çou a apro fun dar a dis cus são so bre um novo tipo de nú me ro, ain da des co nhe ci do na Ma te má ti ca: Di vi dir 10 em du as par ce las ta is que o seu pro du to se ja 40. a) De ter mi ne as du as par ce las e ex pres se-as na for ma a + bi, em que a, b são nú me ros re a is e i 2 = 1. b) Expres se as du as par ce las do item A na for ma de pa res or de na dos (a, b) e re pre sen te-os gra fi ca men te no pla no car te si a no. c) Cal cu le, na for ma de ci mal apro xi ma da, a área do triân gu lo cu jos vér ti ces são os do is pa res or de na dos do item B e a ori gem. Se pre ci sar, use as apro xi ma ções: 3 = 1,7; 5 = 2,2. d) Encon tre uma equa ção po li no mi al de co e fi ci en tes in te i ros com o me nor grau pos sí vel, sen do da das três de suas ra í zes: as du as par ce las do item A e o nú me ro com ple xo i. a) Sen do x uma das par ce las, a ou tra se rá (10 x). Assim, x (10 x) = 40 x 2 10x + 40 = 0 x = 5 15i ou x = i. y 15 B b) Escre ven do (5 15i) e (5 + 15i) na for ma de pa res or de na dos, te mos A(5, 15) e B(5, 15). 0 5 x 15 A c) A área do triân gu lo OAB é = 5 15 = =5 1,7 2,2 = 18,7. 2 d) Co mo a equa ção po li no mi al pos sui co e fi ci en tes in te i ros e ( i) é ra iz, en tão i tam bém é ra iz. Assim, a equa ção te rá co mo ra í zes i e 5 15i e seu me nor grau pos sí vel é 4. Uma equa ção po li no mi al de 4º grau com es sas ra í zes po de ser: (x i) (x + i) (x (5 + 15i)) (x (5 15i)) = 0 (x 2 + 1) (x 2 10 x + 40) = 0 x 4 10x x 2 10x + 40 = 0 Res pos tas: a) 5 15i b) (5, 15); (5, 15) e grá fi co c) 18,7 d) x 4 10x x 2 10x + 40 = 0