Projeto de Pesquisa Computação Quântica e Teoria da Computação

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1 Projeto de Pesquisa Computação Quântica e Teoria da Computação Alex Bredariol Grilo (Aluno) Prof. Dr. Arnaldo Vieira Moura (Orientador) Instituto de Computação Universidade Estadual de Campinas Resumo Proposta em meados da década de 80, a Computação Quântica procura utilizar a estrutura quântica da matéria nos processos computacionais. É um tópico de pesquisas recente, com focos voltados para várias áreas correlatas, tais como Física, Matemática e Computação. O objetivo deste projeto de pesquisa é estudar a Computação Quântica, principalmente sob uma perspectiva da Teoria da Computação. Serão abordados temas tais como algoritmos quânticos, passeios quânticos, além de computabilidade e complexidade computacional quânticas, estudando-se os avanços recentes nestas áreas. Procurar-se-á também sintetizar a bibliografia pertinente, unificando notações e buscando generalizações. Ao final, uma monografia será redigida na língua portuguesa. Pretende-se, deste modo, oferecer um texto coerente e consistente para que outros pesquisadores ligados à Computação possam, futuramente, avançar em estudos sobre temas ligados à Computação Quântica. 1

2 1 Introdução Computação Quântica é um tema recente, que procura utilizar as descobertas da física quântica para o desenvolvimento de aplicações computacionais. Embora proposto teoricamente na década de 80, ainda não há nenhum computador que utilize de forma satisfatória a estrutura quântica da matéria nos processos de computação. Isso, ainda hoje, constitui-se numa importante linha de pesquisas. Para que pudessem ser estudadas aplicações que exploram as características de um computador quântico, mesmo ainda não existindo nenhum disponível para uso científico, foram desenvolvidas ferramentas teóricas que descrevem seu funcionamento geral de forma independente de uma implementação física. É com essas ferramentas que físicos, matemáticos e cientistas da computação trabalham no desenvolvimento da Computação Quântica e da Teoria da Informação Quântica. O objetivo deste trabalho é entender a importância da Computação Quântica para a Teoria da Computação, estudando inicialmente seus conceitos básicos e posteriormente alguns tópicos mais avançados que tenham relevância teórica. Pretende-se, também, contribuir com o tema escrevendo uma monografia em língua portuguesa sobre todo o conteúdo estudado. Na língua inglesa, há uma grande diversidade de livros e artigos sobre Computação Quântica. A principal referência introdutória à Computação Quântica é o livro de Nielsen [31], que possui uma abordagem mais ampla e cobre aspectos físicos, matemáticos e computacionais. Já os livros de Yanofsky [39] e Mermin [29] apresentam uma abordagem voltada para cientistas da computação. Pretende-se utilizar um enfoque semelhante ao adotado por estes dois últimos volumes, estreitando ainda mais o foco para Teoria da Computação. Na língua portuguesa, encontramos dois tipos de trabalhos. Em trabalhos como o de Vignatti [36], Cardonha [11] e Portugal [33] encontra-se uma introdução à Computação Quântica em linhas gerais, sendo que o segundo também cobre tópicos de complexidade computacional quântica. Por outro lado, há também algumas teses [1] [32] [28] e dissertações [10] [18] [25] [27] que focam alguns temas específicos da Computação 2

3 Quântica. Estes últimos, porém, requerem um conhecimento prévio mais aprofundado do tema. Pretendemos, neste trabalho, mesclar essas duas abordagens. 2 Embasamento Teórico Nesta seção, iniciamos com um breve histórico da Computação Quântica, passando, em seguida, a apresentar seus ingredientes básicos. De posse destes, abordamos os principais algoritmos quânticos conhecidos e finalizamos examinando questões de computabilidade e complexidade computacional quânticas. 2.1 História Na década de 80, Richard Feynman sugeriu que os computadores clássicos só conseguiriam simular o funcionamento de sistemas quânticos com um custo exponencial em termos de tempo computacional [16]. Foi então proposto um computador que extrairia da estrutura quântica da matéria seu poder computacional. Paralelamente à evolução do estudo sobre como implementar na prática um computador quântico, físicos, matemáticos e cientistas da computação passaram a pesquisar o ganho que computadores quânticos poderiam trazer se fossem implementados na prática. No final da década de 80, Deutsch descreveu as Máquinas de Turing Quânticas [12] e circuitos quânticos [13], duas importantes ferramentas que permitiram o desenvolvimento de algoritmos quânticos compatíveis com qualquer concretização futura para computadores quânticos. Posteriormente, Yao demonstrou que esses dois modelos são equivalentes [40]. No final da década de 90, Bernstein e Vazirani descreveram como construir uma Máquina de Turing Quântica Universal [8], uma Máquina de Turing Quântica capaz de simular qualquer Máquina de Turing Quântica. Na início da década de 90, foram desenvolvidos os algoritmos quânticos de Deutsch [12] e de Deutsch-Josza [14], os quais permitem descobrir características de funções desconhecidas de forma mais eficiente quando comparados com algoritmos determinísticos clássicos, no segundo caso com ganho exponencial na complexidade em tempo. 3

4 A grande notoriedade da Computação Quântica, entretanto, ocorreu em 1994, quando Shor apresentou algoritmos quânticos eficientes para os problemas de fatoração em números primos e para se encontrar o logaritmo discreto [34]. Esses dois problemas são muito importantes pois alguns dos métodos criptográficos mais utilizados atualmente assumem que não há uma forma eficiente de resolvê-los. Portanto, existindo um computador quântico, este tipo de criptografia seria facilmente quebrado. Outro algoritmo importante para computação quântica foi o algoritmo de buscas apresentado por Grover [19]. Procurar um elemento em uma base de dados não ordenada de n elementos necessita de tempo O(n) no pior caso, tanto classicamente quanto probabilisticamente. Grover apresentou um algoritmo quântico que realiza tal busca em tempo O( n). Tal ganho não é exponencial, porém a aplicabilidade do resultado é muito importante, pois pode-se conseguir uma aceleração quadrática, portanto substancial, na solução de problemas da classe NP. Nos anos 2000, novos algoritmos quânticos foram desenvolvidos, alguns utilizando os algoritmos anteriores como submódulos [15] [2] [21] [5] [38] [37], outros utilizando novas técnicas [4]. Foram descobertos também novos métodos para se encontrar limitantes quânticos para vários problemas, o que veio auxiliar no avanço dos estudos na área de teoria de complexidade computacional [6] [3]. 2.2 Circuitos quânticos Nesta subseção, apresentamos uma breve introdução aos circuitos quânticos, muito usados no desenvolvimento de algoritmos quânticos Bits quânticos Um bit clássico é unidade de informação básica de um sistema computacional clássico, e que pode assumir os valores 0 ou 1 de forma exclusiva. Alternativamente, podemos considerar que cada um desses valores é um vetor no espaço 2-dimensional em que o bit 0 corresponde ao vetor ( ) ( 1 0 e o bit 1 corresponde ao vetor 01 ). Já um bit quântico (qubit) é uma unidade de informação de um sistema quântico 4

5 2-dimensional. Um qubit pode ser descrito como um elemento do espaço de Hilbert complexo 2-dimensional sobre o qual, arbitrariamente, escolhemos uma base ortonormal: 0 ( ) ( 1 0 e 1 01 ). Os estados que um qubit pode assumir são então uma superposição normalizada dos dois elementos da base: ψ = α 0 + β 1, onde α, β C, α 2 + β 2 = 1. Uma consequência direta desta definição é que um qubit pode assumir um número infinito de estados. Porém, diferente dos bits clássicos, quando observamos o valor de um qubit ψ, efetuando uma medição, teremos 0 com probabilidade α 2 ou 1 com probabilidade β 2, e o qubit colapsa para o estado correspondente. Portanto, ainda que o número possível de estados seja infinito, não é possível diferenciá-los com um número finito de medições Registradores quânticos Podemos, assim como na versão clássica, imaginar um sistema com n qubits, que seria representado por um elemento do espaço de Hilbert 2 n -dimensional, caracterizado pelo produto tensorial dos n espaços de Hilbert de cada qubit. O sistema resultante terá uma base computacional com 2 n elementos, representadas por , ,..., , Chamaremos esse conjunto de qubits de um registrador quântico. Os estados de um registrador quântico são formados por superposições dos 2 n estados da base e, da mesma forma que no caso de um único qubit, a cada elemento da base computacional corresponderá uma amplitude complexa, sendo que a soma dos quadrados das normas das amplitudes deve ser unitário. Podemos resumir essas informações em ψ = i {0,1} n a i i, onde a i C, i {0, 1} n, e i {0,1} n a i 2 = 1. Podemos observar que numa abordagem mais direta para simular um sistema quân- 5

6 tico classicamente, seria necessário armazenar o valor da amplitude de cada elemento da base. Com isso, a quantidade de memória necessária cresce exponencialmente em relação ao número de qubits no sistema. Sem mencionar o fato de que um número complexo a i é representado por um par de números reais, e números reais não podem ser todos completamente especificados em um computador digital (ou em uma Máquina de Turing). Por esse motivo, suspeita-se que sistemas quânticos não podem ser representados em computadores clássicos sem incorrer em um custo computacional exponencial Circuitos quânticos Uma vez que qubits e registradores quânticos armazenam informação, veremos agora como estes podem ser utilizados para realizar computações. Na computação clássica utilizamos portas lógicas para manipular n bits de entrada e computar uma saída de m bits. Na Computação Quântica, as manipulações de qubits são feitas através de portas quânticas. De acordo com as leis da mecânica quântica, os sistemas quânticos evoluem através de operadores unitários determinísticos. Portanto, uma porta quântica tem como entrada n qubits e sobre eles realiza uma transformação linear unitária, devolvendo como saída os n qubits alterados. Dado que computações quânticas são sempre unitárias, uma implicação direta é que são também reversíveis, pois toda matriz unitária é invertível. A reversibilidade das portas quânticas pode parecer, em um primeiro momento, restritiva, dado que portas lógicas usuais, como as portas lógicas AND e OR, não são reversíveis veja que se a saída de uma porta AND for 0, não é possível identificar os valores de entrada. Porém sabe-se que operações irreversíveis podem ser simuladas em portas quânticas, utilizando uma quantidade polinomial de qubits adicionais [7] [26]. Veremos agora algumas portas quânticas importantes e de uso recorrente na computação quântica. Porta de Hadamard. A porta de Hadarmard é uma porta de um qubit e pode ser representada pela seguinte matriz unitária: 6

7 H = Para registradores quânticos com mais qubits, pode-se aplicar a porta de Hadamard a cada um dos bits individualmente. Isto produz o mesmo efeito que a porta de Walsh- Hadamard, representada pela matriz W n, onde o valor da linha i e coluna j é: W n (i, j) = ( 1) i j 1 2 n. onde i j denota o produto interno das representações binárias de i e j, modulo 2: i.e. i j = i 0 j 0 i 1 j 1... i n 2 j n 2 i n 1 j n 1. Portanto, com a porta de Walsh-Hadamard, é possível gerar uma sobreposição equiprovável de todos os elementos da base computacional, ou seja, todas as amplitudes terão a mesma norma. Com essa superposição pode-se, por exemplo, computar o valor de uma função em todos os pontos da base computacional de forma balanceada. Portas controladas. Uma porta U-controlada é uma porta quântica que tem como entrada x bits controladores e y bits alvo. Se algum bit controlador for 0, os valores dos bits alvo permanecem inalterados. Caso o valor de todos os bits controladores sejam 1, a porta quântica U atua sobre os bits alvo. Vejamos um exemplo com um qubit de entrada e um qubit controlador. Seja U = a c b d a transformação desejada sobre o qubit alvo. Então a porta controlada, c(u), seria representada por c(u) = a b 0 0 c d. 7

8 Portas controladas aparecem em vários algoritmos quânticos. Veremos a seguir uma porta controlada especial. Porta de Tofolli. A Porta de Tofolli ou a porta CCNOT é uma porta quântica de 3 qubits que utiliza os 2 primeiros como controladores. Quando ambos tiverem o valor 1, o valor do terceiro qubit é invertido. A Porta de Toffoli pode ser representada pelo mapeamento a b c a b c ab. A Porta de Toffoli é universal na computação clássica, ou seja, qualquer circuito clássico pode ser implementado utilizando somente portas de Toffoli [17]. Como a porta de Tofolli também é quântica, sabemos que todos os circuitos clássicos podem ser simulados em computadores quânticos. Oráculos. Também conhecidos por "caixa-preta", oráculos calculam uma função característica desconhecida. Seja uma função f(x) : {0, 1} n {0, 1}. Um oráculo U f terá o seguinte comportamento: U f : x y x y f(x), onde x é um registrador de n qubits e y é um único qubit. Oráculos são amplamente utilizados em algoritmos quânticos voltados para problemas de busca ou problemas de se extrair informações de funções desconhecidas. 2.3 Algoritmos quânticos Algoritmos quânticos estão baseados no modelo computacional que utiliza a estrutura quântica da matéria no processo de computação. Como já citado anteriormente, circuitos quânticos e Máquinas de Turing Quânticas são formas equivalentes para se descrever um algoritmo quântico, ficando a critério do autor utilizar a notação que achar mais adequada. Um conceito importante para o desenvolvimento de algoritmos quânticos é o para- 8

9 lelismo quântico. Como o estado de um registrador quântico reflete a superposição das amplitudes dos elementos da base computacional do sistema, é possível aplicar uma operação sobre todos esses elementos ao mesmo tempo e, assim, obter uma superposição dos resultados da operação sobre os elementos da base computacional. Como o algoritmo irá tratar essa superposição de resultados para extrair a informação desejada varia de caso para caso. Porém, fica claro que esse é um grande diferencial da computação quântica perante a computação clássica. Vários algoritmos quânticos e técnicas para desenvolvimento de algoritmos quânticos foram desenvolvidos até hoje, e a explicação detalhada de todos estes é inviável dada a limitação de espaço desta proposta. Vamos, então, comentar brevemente sobre os mais importantes. Algoritmos de Shor. O grande salto da Computação Quântica se deu quando Shor propôs algoritmos quânticos que computam fatores primos de grandes números e que calculam o logaritmo discreto de um número, ambos com complexidade polinomial [34]. Os melhores algoritmos clássicos conhecidos até o momento para resolver esses problemas apresentam complexidade exponencial em tempo. Portanto, um computador quântico faria com que problemas hoje considerados intratáveis pudessem ser resolvidos de forma eficaz. Estes problemas são importantes pois são o cerne dos principais métodos criptográficos em uso hoje em dia. Algoritmo de Grover. O Algoritmo de Grover resolve o problema de buscas em um banco de dados desordenado, apresentando um ganho quadrático em relação aos algoritmos clássicos. O ganho não é exponencial, como no caso dos algoritmos de Shor, porém é possível aplicar seu resultado em muitos problemas importantes, inclusive a todos os problemas da classe NP. Passeios quânticos. Análogo quântico aos passeios aleatórios, os passeios quânticos descrevem o movimento de um caminhante condicionado a uma moeda quântica, e tendo sua posição definida por uma sobreposição de estados. Um grande diferencial dos passeios quânticos é que permitem trabalhar sobre estruturas muito conhecidas como uma linha ou, mais genericamente, sobre um grafo qualquer. Diversos algorit- 9

10 mos quânticos foram desenvolvidos utilizando o conceito de passeios quânticos [28] [27] [4] [23]. Alguns deles apresentam um ganho exponencial em complexidade de tempo em relação aos algoritmos clássicos. 2.4 Computabilidade Na computação clássica, o estudo da computabilidade nos permitiu classificar os problemas quanto ao modelo computacional necessário para resolvê-lo, caso isso seja possível. Esse estudo foi estendido à Computação Quântica, definindo-se modelos quânticos análogos para autômatos finitos determinísticos (AFDs), autômatos de pilha (APs) e Máquinas de Turing determinísticas (MTs). Verificou-se, porém, que varia o modo como cada modelo computacional quântico se relaciona com sua contrapartida determinística. É sabido que o conjunto das linguagens aceitas por 1-QFAs (autômatos finitos quânticos que só se movem em uma direção) é um subconjunto próprio daquelas aceitas por AFDs [24] [30]. Já no modelo em que é permitido mover-se nos 2 sentidos da fita de entrada (os 2-QFAs), estes aceitam um superconjunto próprio das linguagens aceitas por AFDs [24]. Quando partimos para o estudo das linguagens livres de contexto (LLC), que são aceitas por APs, ainda não foi encontrada uma relação entre estas e aquelas aceitas por autômatos de pilha quânticos (QAPs), as QLLC. Sabe-se, por exemplo, que toda LLC não-ambígua é também uma QLLC e que há QLLCs que não são LLC [30]. Porém ainda não se sabe se o conjunto das LLC é um subconjunto próprio das QLLC, ou se há linguagens LLC que não são QLLC. No quesito computabilidade, Máquinas de Turing determinísticas são equivalentes às Máquinas de Turing Quânticas 1, dado que é possível obter uma que simule a outra, e vice-versa [8]. 1 Assume-se aqui que as amplitudes de transição da Máquina de Turing Quântica podem ser computadas exatamente e em tempo polinomial. 10

11 2.5 Complexidade computacional Nesta subseção, trataremos da eficiência computacional dos algoritmos quânticos. Com o Algoritmo de Shor, surgiu a questão da existência de algoritmos quânticos capazes de resolver de maneira eficiente algum problema que só pode ser resolvido de maneira ineficiente no modelo clássico. O estudo da complexidade computacional quântica se desenvolveu, definindo classes de complexidade análogas àquelas associadas ao modelo computacional probabilístico. Apesar desta evolução, ainda hoje restam muitas questões em aberto sobre como essas novas classes se relacionam com a classes de complexidade clássicas. Denomina-se BQP a classe dos problemas que são resolvíveis de maneira eficiente no modelo computacional quântico. Consegue-se, de maneira direta, provar a seguinte estrutura entre certas classes de complexidade [35]: P BPP BQP PSPACE, onde P e BPP são as classes de problemas que podem ser resolvidos de forma eficiente nos modelos computacionais determinísticos e probabilísticos, respectivamente, e PS- PACE é a classe de problemas que podem ser resolvidos utilizado-se uma quantidade de memória de tamanho polinomial em relação ao tamanho da entrada do problema, no modelo computacional clássico. Um importante problema em aberto em teoria da computação é a relação exata entre as classes P e PSPACE. O estudo da complexidade quântica ganha relevância, pois BQP BPP implicaria em P PSPACE. Ou seja, se for encontrado um problema que pode ser resolvido de maneira eficiente em computadores quânticos, mas não em modelos probabilísticos (ou determinísticos), o problema P =? PSPACE, em aberto há décadas, estaria resolvido. Outro problema em aberto de grande importância é a relação entre as classes BQP e NP. Esta última pode ser entendida como a classe de problemas para os quais pode-se verificar certificados de soluções no modelo determinístico e de maneira eficiente. A 11

12 importância deste problema reside no fato de que há muitos problemas importantes em NP os quais não se sabe se podem ser resolvidos de maneira eficiente classicamente. Então, descobrir a relação entre essas duas classes de complexidade é equivalente a descobrir se um computador quântico pode ou não resolver tais problemas de maneira eficiente. 3 Proposta Nesta seção apresentamos os objetivos desta proposta e a abordagem que será utilizada para alcançá-los. Finalizamos com uma relação comentada da bibliografia pertinente, seguida de um cronograma de execução. 3.1 Objetivo Podemos, conceitualmente, dividir este trabalho em duas partes. Primeiramente serão estudados os conceitos básicos da Computação Quântica. Este estudo servirá para entender o contexto em que a Computação Quântica está inserida e possibilitará o aprofundamento dos estudos seguintes. Após essa etapa inicial, serão estudados a fundo alguns tópicos da Computação Quântica especialmente relevantes para a Teoria da Computação. Para se chegar ao estado da arte nas pesquisas sobre o tema proposto será necessário estudar alguns conceitos mais avançados em algumas áreas tais como álgebra linear, computabilidade e complexidade computacional. Logo, esta primeira etapa é importante, pois dará ao candidato familiaridade suficiente com temas tais como circuitos quânticos e algoritmos quânticos, fundamentais para prosseguir nos estudos. Ainda durante a fase inicial, serão estudados de maneira introdutórias temas mais avançados da Computação Quântica. Para efeitos de uma lista inicial, pretende-se estudar (i) aplicações algorítmicas dos passeios quânticos, (ii) as classes de complexidade computacional quânticas e autômatos finitos quânticos, junto com as linguagens regulares quânticas reconhecidas por estes. As técnicas e algoritmos englobados pelo 12

13 item (i) levam a alguns dos resultados mais recentes sobre algoritmos quânticos que apresentam ganho exponencial em complexidade de tempo em relação a algoritmos clássicos. Já no item (ii), serão estudados pontos referentes aos limites do poder computacional dos modelos quânticos. Durante os estudos compreendidos na primeira fase serão levantados alguns tópicos sobre os quais será desenvolvido um estudo mais aprofundado na segunda fase. Pretende-se, em um primeiro momento, aprofundar os tópicos listados sob o item (ii). Não se espera, entretanto, a resolução de conjecturas que resistem há décadas. Porém, pretende-se um entendimento completo dos temas básicos de suporte, de forma a alcançar o estado da arte em tópicos específicos. Nesta segunda fase pretende-se, também, melhor sintetizar alguns tópicos avançados ou mesmo obter novos resultados parciais. O projeto como um todo possui um cunho eminentemente teórico, e terá como um de seus resultados a escrita de uma monografia, em língua portuguesa, abordando em detalhes os tópicos estudados. As seções referentes à primeira parte do trabalho contribuirão para uma introdução à Computação Quântica sob as lentes da Teoria da Computação. O texto referente à segunda parte do trabalho irá aprofundar alguns temas pouco explorados na literatura da área em língua portuguesa. 3.2 Materiais e Métodos Para atingir os objetivos mencionados foi elaborado um plano de estudo inicial utilizando-se a bibliografia tradicional na área de Computação Quântica. Esse plano de estudo é referente à primeira fase do projeto. Regularmente, serão feitas reuniões com o orientador para discutir o andamento do trabalho e os resultados obtidos. Durante essas reuniões, serão levantados também tópicos que poderão ser estudados na segunda fase do trabalho. Aliadas ao estudo continuado, teremos a escrita da dissertação e de artigos científicos, bem como apresentações de tópicos selecionados em seminários para a comunidade local do Instituto de Computação da Unicamp. Estas atividades ajudarão a 13

14 consolidar os conhecimentos adquiridos. Pretende-se também realizar um estágio de pesquisa no exterior em algum centro de excelência na área dos tópicos sobre os quais será feito um estudo aprofundado. O suporte computacional necessário ao projeto será suprido satisfatoriamente pelos laboratórios do Instituto de Computação da Unicamp. A literatura indicada poderá ser obtida nas bibliotecas da Unicamp, da USP, no portal de periódicos da Capes e na internet. 3.3 Bibliografia comentada Esta subseção descreve a bibliografia selecionada para a primeira etapa do projeto. O livro de Yanofsky [39] é um texto introdutório que apresenta as bases da Computação Quântica, usando uma linguagem voltada para cientistas da computação. Entretanto, o texto aborda os temas de uma maneira um tanto superficial. Servirá como uma primeira leitura para assimilação de conceitos importantes acerca de cada tópico, relevando-se, neste primeiro momento, maiores detalhes. Em seguida, serão utilizadas as referências descritas a seguir, que aprofundam os temas de interesse. Para um desenvolvimento mais detalhado dos temas iniciais serão utilizados os livros de Kaye [22] e Hiversalo [20]. O primeiro associa os qubits, suas propriedades e comportamentos à teoria da mecância quântica. O segundo parte dos conceitos de bits clássicos e os conduz até qubits passando por bits probabilísticos. Já a literatura sobre algoritmos quânticos é mais extensa e espalhada, dado que é um tema ainda hoje em evolução. Serão utilizados os livros de Kaye [22] e Mermin [29] como base para os algoritmos tradicionais. Posteriormente, algoritmos mais recentes e aplicações algorítmicas de passeios quânticos serão estudados através de artigos específicos [4] [5] [9] [37] [38]. Os tópicos sobre computabilidade e complexidade computacional ainda hoje são melhor cobertos por artigos científicos. Kondacs [24] e Moore [30] apresentam os resultados iniciais sobre a computabilidade de autômatos quânticos. O texto de Bernstein [8] é uma boa referência para o estudo de Máquinas de Turing Quânticas. O ensaio de Va- 14

15 zirani [35], sobre a complexidade computacional quântica, contém os principais pontos iniciais para um estudo sobre este tipo de complexidade computacional abstrata. O livro de Nielsen [31], apesar de bem amplo, enfoca muitos tópicos sob aspectos físicos. Será utilizado como suporte e consulta para assuntos específicos. A bibliografia básica para a segunda etapa do projeto será definida e refinada durante o desenvolvimento da primeira fase, e consistirá de artigos especializados em cada área abordada. 3.4 Plano de Trabalho e Cronograma de Execução Esta seção descreve as atividades e suas respectivas durações, nas duas fases do projeto como comentado na seção 3.1. Destaca-se também que durante a Fase II, pretendese realizar um estágio de pesquisa no exterior, como citado na seção Fase I (1) Introdução à Computação Quântica. Bits quânticos, portas e circuitos quânticos, medições de bits quânticos, principais algoritmos quânticos Duração: 1 mês. (2) Passeios quânticos e algoritmos quânticos recentes. Aplicações algorítmicas de passeios quânticos e novos algoritmos quânticos Duração: 2 meses. (3) Complexidade Computacional Quântica. Classes de complexidade computacional quânticas, relação entre classes de complexidade, limites da Computação Quântica. Duração: 2 meses. (4) Autômatos quânticos e suas linguagens. Autômatos finitos quânticos, linguagens regulares quânticas, autômatos de pilha quânticos Duração: 2 meses. 15

16 (5) Dissertação e relatórios. Escrita das seções referentes à parte estudada na primeira fase e de relatórios anuais para a Fapesp. Duração: 3 meses. (6) Artigos e seminários. Escrita de artigos científicos e preparação de seminários sobre os tópicos estudados. Duração: 1 mês Fase II (1) Complexidade Computacional Quântica. Tópicos sobre complexidade computacional quântica selecionados para estudo mais aprofundado. Duração: 4 meses. (2) Autômatos quânticos e suas linguagens. Tópicos sobre autômatos quânticos e linguagens quânticas selecionados para estudo mais aprofundado. Duração: 4 meses. (3) Dissertação e relatório final. Finalização da escrita da dissertação e escrita do relatório final para a Fapesp. Duração: 3 meses. (4) Artigos e seminários. Escrita de artigos científicos e preparação de seminários sobre os tópicos estudados. Duração: 2 meses. 4 Benefícios ao candidato Primeiramente, o projeto apresentado permitirá ao candidato se especializar em um tema recente, que agrega conceitos de diversas áreas adquiridos durante sua graduação, ampliando e solidificando seus conhecimentos em Teoria da Computação. A dificuldade envolvida nesse tipo de projeto de pesquisa também é, sem dúvida, uma enorme fonte de aprendizado para um candidato ao mestrado, permitindo um 16

17 amadurecimento acadêmico do candidato para que possa prosseguir seus estudos em programas de doutorado. Referências [1] J. F. F. Abreu. Jogos Quânticos a partir de Hamiltonianos Biofísicos um Critério de Otimização Sub-neuronal da Informação. Tese de Doutorado, LNCC/MCT, [2] A. Ambainis e R. Spalek. Quantum algorithms for matching and network flow. Em Proceedings of the 23rd International Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science, pág Springer LNCS, [3] Andris Ambainis. Quantum lower bounds by quantum arguments. Em Proceedings of the ACM Symposium on Theory of Computing, pág , [4] Andris Ambainis. Quantum walks and their algorithmic applications. International Journal of Quantum Information, 1:507, [5] Andris Ambainis e Robert Špalek. Quantum algorithms for matching and network flows. Em Proceedings of the 23rd Annual conference on Theoretical Aspects of Computer Science, STACS 06, pág , Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag. [6] Robert Beals, Harry Buhrman, Richard Cleve, Michele Mosca, e Ronald de Wolf. Quantum lower bounds by polynomials. J. ACM, 48(4): , [7] Charles H. Bennett. Time/space trade-offs for reversible computation. SIAM J. Comput., 18(4): , August [8] E. Bernstein e U. V. Vazirani. Quantum complexity theory. SIAM J. Comput., pág , [9] Harry Buhrman, Ronald de Wolf, Christoph Dürr, Mark Heiligman, Peter H"yer, Frédéric Magniez, e Miklos Santha. Quantum algorithms for element distinctness. Em Proceedings of the 16th Annual Conference on Computational Complexity, CCC 01, pág. 131, Washington, DC, USA, IEEE Computer Society. 17

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