Segunda Aula. Introdução à Astrofísica. Reinaldo R. de Carvalho

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1 Segunda Aula Introdução à Astrofísica Reinaldo R. de Carvalho pdf das aulas estará em

2 Capítulo 2 Mecânica Celeste - Órbitas elípticas - Mecânica Newtoniana - As Leis de Kepler - O Teorema do Virial

3 Tycho Brahe Contribuiu decisivamente para a melhoria das medidas em astronomia (precisão de minutos de arco). Observou a supernova de 1572 mostrando que existiam fenômenos ocorrendo no céu e que portanto este não era imutável. Não encontrou nenhuma evidência de movimento da Terra pela espaço e concluiu que a teoria de Copérnico era falsa. Argumentou que se um objeto está próximo a Terra, então observando este objeto ao longo da noite deveríamos vêlo mover-se contra o fundo de estrelas. Ao não observar tal variação concluiu que estes objetos estavam muito distantes (supernova 1572).

4 Como funciona um sextante?

5 As Leis de Kepler Primeira Lei: A órbita de um planeta em torno do Sol é uma elipse com o Sol em um dos focos. Segunda Lei: Uma linha ligando um planeta e o Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. Na medida que o planeta se aproxima do Sol, perde energia potencial. Mas energia deve ser conservada Assim deve ganhar energia cinética e o planeta aumenta sua velocidade na medida que se aproxima do Sol. Terceira Lei: O quadrado do período sideral de um planeta é diretamente proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita. P 2 = a 3 P é o período sideral em anos a é o semi-eixo maior em UA

6 O significado das Leis de Kepler 1- As leis de Kepler são fundamentais na História da astronomia. Tornou possível calcular o movimento dos planetas com maior precisão do que qualquer modelo geocêntrico e ajudou a justificar o modelo heliocêntrico de Copérnico. 2- As leis de Kepler passam pelo teste da Navalha de Occam, dada a simplicidade de formulação em relação aos esquemas de Ptolomeu e mesmo Copérnico (ambos usam complicados modelos de epicíclos). 3- Mas o significado das leis de Kepler vai além da compreensão das órbitas planetárias. Estas mesmas leis explicam o movimento de satélites artificiais orbitando a Terra, duas estrelas girando uma em torno da outra num par binário, e até mesmo duas galáxias orbitando uma em torno da outra. 4- Embora seja impressionante o legado das leis de Kepler, ele não provou que os planetas giram em torno do Sol, nem explicou por que os planetas movemse em acordo com suas 3 leis. Estes avanços foram feitos por Galileo e Newton.

7 A Geometria do Movimento Elíptico Uma elipse é definida pelo lugar geométrico dos pontos que satisfazem a relação a - semi-eixo maior b - semi-eixo menor r + r = 2a e - excentricidade: distância entre os dois focos dividida por 2a O ponto da elipse mais próximo do foco principal é denominado periélio; o ponto oposto é denominado afélio (considerando-se o Sol no coco principal). Quando r = r então b 2 = a 2 (1-e 2 ) Escrevendo em coordenadas polares temos pelo Teorema de Pitágoras: que se reduz a r 2 = r 2 sin 2 θ + (2ae + rcosθ) 2 r 2 = r 2 sin 2 θ + 4ae(ae + rcosθ)

8 Usando o fato que r + r = 2a, temos: Exemplo: Usando a equação acima, é possível determinar a variação em distância de um planeta ao foco principal de sua órbita. O semi-eixo maior da órbita de Marte é UA ( x m) e a excentricidade da órbita do planeta é Quando θ = 0 o o planeta está no periélio e a uma distância de Quando θ = 180 o planeta está no afélio, o ponto onde Marte está mais afastado do Sol, a distância é dada por A variação em distância entre o afélio e periélio é de aproximadamente 19%.

9 Seções Cônicas A elipse é na verdade uma classe de curvas conhecidas como seções cônicas. Uma cônica é o conjunto de pontos que satisfaz a equação onde A ou B ou C 0 Parábola Hipérbole onde p é a distância de maior proximidade na parábola onde a é a distância de maior proximidade na parábola

10 O Universo Galileano Enquanto Kepler desenvolvia suas três leis do movimento planetário, Galileo estudava o movimento dos objetos na superfície da Terra. Galileo foi o primeiro a formular o conceito de inércia. Galileo percebeu que os objetos na superfície da Terra caem com a mesma aceleração, independente do seu peso. Galileo é considerado o pai da astronomia observacional moderna. Foi o primeiro a utilizar um telescópio para observar o céu e fez importantes observações que corroboraram as idéias de Copérnico. Galileo foi o primeiro a observar a Milk Way e a propor que esta era formada de um número enorme de estrelas não-resolvidas pela observação visual.

11 Mecânica Newtoniana A mecânica clássica é descrita pelas 3 leis de Newton do movimento, além da lei da gravitação universal. Fora do reino das dimensões atômicas, velocidades próximas à da luz, ou forças gravitacionais extremas, a física Newtoniana tem se mostrado satisfatória em explicar observações e experimentos. Primeira lei (Lei da Inércia): um objeto em repouso permanecerá em repouso e um objeto em movimento permanecerá em movimento em linha reta com velocidade constante a menos que sobre ele atue uma força externa. A primeira lei pode ser reescrita como o momentum de um objeto permanece constante a menos que o mesmo experimente uma força externa (p = mv) Segunda lei: a soma de todas as forças que atuam sobre um objeto é proporcional à sua massa e à aceleração resultante. Terceira lei : a toda ação corresponde uma reação de mesmo módulo e sentido oposto. F12 = -F21

12 A Lei de Newton da Gravitação Universal Usando suas 3 leis do movimento mais a terceira lei de Kepler, Newton foi capaz de encontrar a expressão que descreve a força que mantém os planetas em órbita. Considere o movimento circular de um corpo de massa m em torno de um objeto de massa muito maior M. A terceira lei de Kepler pode ser escrita como P 2 = kr 3, onde k é uma constante de proporcionalidade. O período da órbita pode ser escrito em função da circunferência da órbita e da velocidade, constante, P = 2πr/v. Assim, temos Notamos que o primeiro termo, mv 2 /r é a força centrípeta para o movimento circular. Assim, temos que a força gravitacional que mantém o objeto de massa m orbitando em torno do de massa M será: A terceira lei de Newton diz que a força exercida sobre M por m deve ser de mesma magnitude que a força exercida sobre m por M, logo temos que

13 (a) Para fazer com que a bolinha presa a corda circule em alta velocidade sobre um pequeno círculo, devemos fazer uma força substancial sobre a corda. (b) Se vc usa uma corda de maior comprimento e faz a bolinha mover-se a uma velocidade muito menor, uma força menor é requerida. Similarmente, um planeta que gira numa órbita próxima ao Sol move-se mais rapidamente e requer uma força gravitacional substancial do Sol, enquanto um planeta numa órbita distante do Sol gira a baixa velocidade e requer uma força gravitacional menor para manter-se em órbita.

14 A aceleração gravitacional A famosa história de Newton e a maçã pode não ser verdadeira. Contudo, ele demonstrou que, junto com a aceleração da maçã que cai, a gravidade é responsável pelo movimento da Lua em torno da Terra. Consideremos que a órbita da Lua é circular. A aceleração centrípeta será então: Neste caso r é a distância do centro da Terra ao centro da Lua, x m e v é a velocidade orbital da Lua, dada por onde P = 27.3 dias = 2.36 x 10 6 seg é o período sideral da Lua. Assim v = 1.02 km s -1 o que nos dá um valor da aceleração centrípeta de A aceleração da Lua causada pela força gravitacional da Terra pode ser calculada como

15 Órbitas Se soltamos um objeto de uma certa altura acima da superfície da Terra, este cai em linha reta em direção ao solo (A). Se o objeto é arremessado com uma certa velocidade horizontal ele seguirá uma trajetória curva até chegar ao chão (B,C). Se o arremesso tem a velocidade certa, o objeto entra em órbita circular (E) - a trajetória curva mas não se aproxima mais da superfície da Terra. Se o objeto é arremessado com uma velocidade um pouco menor (D) ou um pouco maior (F) do que a velocidade relativa a órbita circular a órbita será uma elipse.

16 A origem das forças de maré: (a) imagine 3 bolas idênticas colocadas a uma certa distância de um planeta e livres. (b) a bola mais próxima do planeta sente maior atração gravitacional do que a mais distante. Após um pequeno intervalo de tempo depois que as bolas são soltas a bola vermelha é a que mais se aproxima do planeta, depois a azul e depois a amarela. Da perspectiva da bola azul, no centro, parece que a bola amarela se afastou para mais longe do planeta e que a bola vermelha foi mais atraída pelo planeta. Estas forças relativas são chamadas forças de maré. Forças de maré sobre a Terra: A Lua exerce uma atração gravitacional diferente sobre diferentes localizações sobre a Terra. (b) em qualquer ponto a forca de maré é igual a força gravitacional da Lua naquele ponto menos a força gravitacional da Lua no centro da Terra. Estas forcas de maré tendem a deformar a Terra em uma forma não-esférica.

17 Trabalho e Energia Em astrofísica, como em várias áreas da física, é frequentemente útil compreender a energética de um problema específico, para determinar se esses processos são importantes em certos sistemas. Alguns modelos podem ser rejeitados imediatamente se são incapazes de produzir a quantidade de energia observada. Por exemplo, na evolução de uma atmosfera planetária, a possibilidade de uma particular componente da atmosfera escapar do sistema deve ser considerada. Tal consideração é baseada no cálculo da velocidade de escape das partículas do gás. A quantidade de energia (trabalho) necessária para alçar um objeto de massa m a uma altura h contra uma força gravitacional é igual a variação na energia potencial do sistema. Se a força gravitacional sobre m é devido a uma massa M localizada na origem, então F é direcionada para M, então F. dr = - F dr e a variação na energia potencial escreve-se como: avaliando a integral temos

18 Uma vez que somente variações relativas na energia potencial possuem significado físico, definimos o infinito como uma posição arbitrária onde a mesma é zero. Fazendo então que rf se aproxime de infinito temos: Podemos também determinar a força pela derivação da energia potencial gravitacional, da seguinte forma: Para modificar a velocidade v de um corpo de massa m, devemos realizar trabalho sobre ele, e este pode ser expresso da seguinte forma:

19 Identificamos então a quantidade K como a energia cinética do objeto. Assim, o trabalho realizado sobre a partícula resulta numa variação da energia cinética da partícula. Este resultado é simplesmente uma manifestação do princípio da conservação de energia. Consideremos uma partícula de massa m e velocidade inicial v a uma distância r do centro de um corpo de massa M, como a Terra por exemplo. Quão rápido deve um corpo mover-se para cima para escapar do campo gravitacional (velocidade de escape). Assumimos que, no caso crítico, a velocidade final da partícula será zero numa posição infinitamente distante do corpo de massa M, desta forma tanto a energia potencial como a energia cinética serão nulas, ou seja a energia total da partícula deve ser zero em todos os tempos. Logo Note que a massa do objeto que escapa não aparece na expressão final da velocidade de escape. Na superfície da Terra vesc = 11.2 km s -1.

20 Obtendo as Leis de Kepler Para o sistema de duas partículas de massas m1 e m2 localizadas nas posições r1ʹ e r2ʹ definimos o vetor R como: Se M é a soma de todas as massas do sistema e se assumimos que todas as forças atuando sobre as partículas individuais do sistema são devidas às outras partículas contidas no sistema, então pela terceira lei de Newton temos que a força total deve ser zero. Logo Se escolhemos o centro de massa como o centro de referência então Definimos a massa reduzida como:

21 Lembremos que assim a energia total do sistema pode ser escrita como: podendo ainda ser re-escrita como: onde v = v e v = dr/dt A energia total do sistema é igual a energia cinética da massa reduzida mais a energia potencial da massa reduzida que move-se em torno da massa M, que é assumida estar localizada na origem. A distância entre μ e M é igual a separação entre m1 e m2.

22 Podemos escrever o momento angular total como: onde p = μ v. O momento angular orbital total é igual ao momento angular da massa reduzida. O problema de dois corpos pode ser tratado como equivalente ao movimento de um corpo com a massa reduzida μ movendo-se em torno da massa M a uma distância r.

23 Derivação da Segunda Lei de Kepler Para derivar a segunda Lei de Kepler, que relaciona a área de uma seção de uma elipse com um intervalo de tempo, consideremos um elemento infinitesimal em coordenadas polares integrando do foco principal a uma distância específica da elipse, a área varrida por uma variação infinitesimal em θ é: Assim, a variação temporal da área varrida pode ser escrita como: Desta forma a velocidade orbital, v, pode ser expressa em duas componentes como mostrado na figura ao lado e abaixo. Substituindo vθ na equação 2.31, obtemos Uma vez que r e vθ são perpendiculares Assim obtemos a segunda Lei de Kepler

24 Derivação da Terceira Lei de Kepler Esta derivação vem diretamente do resultado obtido anteriormente da segunda Lei de Kepler lembrando que b 2 = a 2 (1-e 2 ) e que a área da elipse é dada por A = πab. Integrando a equação anterior que descreve a área varrida num intervalo de tempo, sobre todo um período temos: Substituindo a equação da área e elevando ao quadrado ambos os termos temos: Lembrando que Obtemos a Terceira Lei de Kepler

25 Exemplo 1 O período orbital de Io, uma das luas de Júpiter, é de 1.77 dias, o que corresponde a 1.53 x 10 5 segundos e o semi-eixo maior de sua órbita é de 4.22 x 10 8 m. Assumindo que a massa de Io é desprezível em comparação com a massa de Júpiter, determine a massa do planeta usando a terceira lei de Kepler. G = 6.67 x N m 2 kg -2.

26 Exemplo 2 Supondo que o Sol interaja somente com Júpiter calcule o momento angular orbital total do sistema Sol-Júpiter. O semi-eixo maior da órbita de Júpiter é a = 5.2 UA, sua excentricidade orbital e = e seu período orbital T = anos. G = 6.67 x N m 2 kg -2. Da equação 2.29, que nada mais é do que a expressão para a primeira lei de Kepler e usando a equação 2.3 M = x kg, MJ = x kg, M = M + MJ = x kg μ = MJ M / (MJ + M ) = x kg e = e a = 5.2 UA = x m Substituindo temos:

27 O Teorema do Virial Para provar o teorema do virial, consideremos a seguinte quantidade: onde pi e ri são os vetores momentum linear e posição para cada partícula i em algum sistema de referência inercial. A derivada com relação ao tempo de Q é o lado esquerdo da equação pode ser expandido como onde é o momento de inércia do conjunto de partículas. Substituindo novamente na equação 2.38 o segundo termo do lado esquerdo da equação é duas vezes o negativo da energia cinética do sistema. Usando a segunda Lei de Newton, a equação 2.39 torna-se

28 Se Fij representa a força de interação entre duas partículas do sistema, então considerando todas as possíveis forças atuando sobre a partícula i Re-escrevendo os vetores posição da partícula i como ri = (ri+rj)/2 + (ri-rj)/2 Da terceira Lei de Newton, Fij = - Fji temos que o primeiro termo do lado direito da equação é nulo, por simetria. Assim, o termo do virial de Clausius é dado por Assumimos que a única contribuição para a força é o resultado da interação gravitacional entre as partículas, logo Fij é onde rij = rj - ri é a separação entre as partículas i e j. O vetor unitário escreve-se como Substituindo a força gravitacional em 2.41 temos: a quantidade é a energia potencial Uij entre as partículas i e j. Notemos também que

29 também representa o mesmo termo de energia potencial e é incluído duplamente na soma, assim o lado direito da equação 2.42 inclui o potencial de interação entre cada par duas vezes. Considerando o fator de 1/2, a equação 2.42 torna-se Finalmente, substituindo na equação 2.40 e determinando a média com relação ao tempo temos A média de d 2 I/dt 2 sobre um dado intervalo de tempo é: Se o sistema é periódico, como no caso de movimento orbital, então: e a média sobre um período será zero. Mesmo se o sistema sendo considerado não é estritamente periódico, a média ainda assim se aproximará de zero quando avaliada sobre um período suficientemente longo (τ ), assumindo que di/dt é limitado. Isto descreve, por exemplo, um sistema que tenha alcançado uma configuração de equilibro. Em todo caso d 2 I/dt 2 = 0. Logo Este resultado é conhecido como o Teorema do Virial. Pode também ser expresso em termos da energia total do sistema usando a relação E = K + U. Assim

30 Gravitação Universal

31 Exercício 1 : Considerando as forças de maré como ilustrado na figura. Mostre que a força de maré F 1/r 3 R r

32 Exercício 2 A partir dos dados do exemplo 2, determine a contribuição do Sol para para o momento angular orbital total do sistema Sol-Júpiter. Assuma por simplicidade que a excentricidade do Sol e = 0. Sugestão: primeiro encontre a distância do centro do Sol ao centro de massa do sistema. Exercício 3 Estime a massa da nossa Galáxia sabendo que o Sol orbita o centro do sistema com um período de 250 milhões de anos. A distância média do Sol ao centro da Galáxia é cerca de anos-luz. Expressar a massa em unidades de massa do Sol. (G = 6.67 x m 3 kg -1 s -2, lembrar que 1 ano-luz é a distância que a luz percorre durante 1 ano, c = km/s) Exercício 4 A Lua de Marte, Fobos, possui um período de 460 minutos e um raio orbital médio de 9400 km. Qual é a massa de Marte? expressar em unidades de massa da Terra. (M = x kg) Exercício 5 O asteróide Ícaro, descoberto em 1949, recebeu este nome por causa de sua órbita elíptica de grande excentricidade que o traz próximo ao Sol no periélio. Ícaro tem uma excentricidade de 0.83 e um período de 1.1 ano. (a) Determine o semi-eixo maior da órbita de Ícaro. (b) Determine as distâncias do periélio e do afélio da órbita de Ícaro.