1 Análise combinatória

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1 Introdução Princípio fundamental da contagem Fatorial Arranjo e Permutação Arranjo com repetição Arranjo simples Permutação Combinação Exercícios de fixação Exercícios de vestibular 1 Análise combinatória 1.1 Introdução No intuito de contar o número de elementos de um conjunto, sendo que estes elementos são agrupamentos formados sob certas condições, iniciaremos o estudo da análise combinatória. Claramente, para conjuntos de poucos elementos, parece até desnecessário o seu estudo; porém, quando o número é grande o suficiente, observa-se sua importância. As aplicações de análise combinatória são inúmeras, desde simples problemas que veremos ao longo do nosso estudo até chegarmos em teoria das probabilidades e, portanto, em estatística. Definição Cardinalidade. Se M for um conjunto de n elementos, então usaremos #M para indicar o número de elementos de M, isto é, a sua cardinalidade: #M = n Exemplo 1.1 Seja A o conjunto de números de dois algarismos distintos formados a partir dos números 1, 2 e 3. Observe que, neste caso, a ordem faz a diferença pois, 12 6= 21, assim temos que A = {12, 13, 21, 23, 31, 23} e como definimos A através de algarismos distintos, excluímos os elementos 11, 22 e 33. Logo, #A = 6 Exemplo 1.2 A quantidade de números com dois algarismos formados a partir dos dígitos 7, 8 e 9 é: B = {77, 78, 79, 87, 88, 89, 97, 98, 99} #B = 9 Atentemo-nos ao fato de que não há nada explícito quanto à igualdade, ou não, dos algarimos

2 2 Análise combinatória no exemplo anterior, por isso consideramos também 77, 88 e 99 como elementos do conjunto B. Exemplo 1.3 C é o conjunto formado pelas sequências de letras obtidas através da mudança de ordem das letras da palavra LUA C = {LUA,LAU,ALU,AUL,UAL,ULA} #C = 6 Definição Anagrama. Anagrama é o rearranjo das letras de uma palavra (ou frase), utilizando todas as letras originais uma única vez. Exemplo 1.4 Determine os anagramas da palavra ABC. Se D for o conjunto de anagramas de ABC, temos: D = {ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA} e, portanto, #D = 6. Exemplo 1.5 Quais são os anagramas da palavra CUBO? E = {CUBO,CUOB,COUB,COBU,CBOU,CBUO, UBCO,UBOC,UCOB,UCBO,UOCB,UOBC, BUOC, BUCO, BOUC, BOCU, BCUO, BCOU, OBCU, OBUC, OCBU, OCUB, OUBC, OUCB} o que nos dá #E = 24.! Note que não necessariamente a palavra ou frase que surgirá tem algum sentido ou lógica. Exemplo 1.6 Se E for o conjunto de números de três algarismos, todos distintos, formados a partir dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, então F = {123,124,125,...,874,875,876} #F = 336 No exemplo acima, ficou claro a complexidade que a resolução de um exercício de contagem pode tomar. A fim de simplificar os cálculos e o extenso trabalho, apresentaremos uma técnica que será fundamental ao longo deste curso. Técnica esta que nos dará, de fato, o resultado #E = Princípio fundamental da contagem Observe o seguinte problema: Exemplo 1.7 Há três cidades: A,B e C. Se há duas rodovias que ligam A a B e três rodovias que ligam B a C, de quantas maneiras possíveis podemos fazer uma viagem de A a C, passando por B?

3 1.2 Princípio fundamental da contagem 3 Temos a seguinte situação: b 1 a 1 b 2 A B C a 2 b 3 Se escolhermos a 2 entre A e B e, depois b 3 entre B e C, temos uma possível rota como o exercício determina: a 2 b 3 Obviamente, poderíamos ter escolhido a 1 e então b 3 : a 1 b 3 A seguir, o diagrama ilustra todas as possíveis viagens entre A e C passando por B: b 1 a 1 b 2 b 3 b 1 a 2 b 2 ou seja, inicialmente tínhamos duas opções: a 1 ou a 2, e, feita esta escolha, uma nova rodovia deveria ser determinada dentre três opções: b 1,b 2 ou b 3. Logo, o total de rotas possíveis é dado por 2 3 = 6 b 3 Propriedade Princípio fundamental da contagem. Suponha que existam n conjuntos finitos: M 1,M 2,M 3,...,M n e que o número de elementos do i-ésimo conjunto seja k i, isto é, #M 1 = k 1 #M 2 = k 2 #M n = k n então se T for o número que indica de quantas formas é possível escolher um único elementro de cada um destes n conjuntos, temos que T = k 1 k 2... k n. Faremos a resolução a partir daqui de vários casos de exercícios de contagem. Para não carregar muito a página, consideraremos nos exemplos em diante o cálculo da quantidade de números possíveis com 3 algarismos formados pelos dígitos de 1 a 8 sob certas condições.

4 4 Análise combinatória Exemplo 1.8 Se E for o conjunto de números de três algarismos, todos distintos, formados a partir dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, qual o valor de #E? Ou seja, quantos números são possíveis com tais condições? Observe que, sendo o número de três algarismos distintos e estando diante de um conjunto com 8 elementos (números de 1 a 8), segue que, para a primeira casa, existem 8 possibilidades: 8 escolhida uma, como os números não podem se repetir, sobram 7 possibilidades para a segunda casa: 8 7 e, com o mesmo raciocínio, 6 possibilidades para a terceira casa, ou seja: E pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos que a quantidade total de números é dada por: = 336 Exemplo 1.9 Determine quantos números são possíveis de 3 algarismos formados a partir dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. Diferente do exemplo anterior, neste caso não há restrição quanto a algarismos distintos, isto é, podemos ter, por exemplo, os números 774 ou 888. Segue então, que há 8 possibilidades para a primeira casa: 8 e não havendo necessidade de distinção, também temos 8 possibilidades para a segunda casa: 8 8 e do mesmo modo, 8 possibilidades para a terceira casa: Resultando num total de = 8 3 = 512 através do Princípio Fundamental da Contagem. Exemplo 1.10 Determine quantos números são possíveis usando a condição de que o

5 1.3 Fatorial 5 primeiro algarismo seja 4. Neste exemplo, só serão permitidos números do tipo: 417, 422, 444. Assim sendo, só há uma única possibilidade para a primeira casa (apenas o número 4), e para as demais casas, 8 possibilidades: Logo, o total é dado por = 64 Exemplo 1.11 Calcule quantos números são possíveis usando a condição de que o primeiro algarismo seja 4 ou 2. A idéia deste exemplo é a mesma do anterior: só serão permitidos números do tipo: 417, 422, 444 ou 223, 283. Assim sendo, existem duas possibilidades para a primeira casa (4 ou 2), e para as demais casas, 8 possibilidades: o que nos dá uma quantidade total de = 128 possibilidades. 1.3 Fatorial Com a finalidade de simplificar tanto a notação quantos os cálculos, definimos: Definição Fatorial. Seja n Z, com n 0. Então o fatorial de n, denotado por n! é definido por: 1, se n = 0, n! = n (n 1)!, se n 1! Da definição, podemos escrever, por exemplo, 5! de várias maneiras: 5! = 5 4! 5! = 5 4 3! 5! = ! Exemplo 1.12 (a) 4! = = 24 (b) 2! = 2 1 = 2 (c) 1! = 1 (d) 6! = 6 5 4! = = 720 (e) 3! + 2! = = = 8

6 6 Análise combinatória Exemplo 1.13 Simplifique 6! 3!. Quando se exige a simplificação de fatorial num exerício, o ideal é manter o fatorial com menor valor e expandir aquele de maior valor até chegar no de menor valor: 6! 3! = ! 3! = ! 3! = = 120 Exercício resolvido 1.1 ESPM. A expressão equivale a 2! 8! 13! 4! (a) 4 13! (b) 4! 13! (c) 15! (d) 16 13! (e) 16! Resolução: Neste caso, iremos manter o termo 13! visto que, todas as alternativas levam diretamente ou indiretamente para ele: 2! 8! 13! 4! = {}}{ = ! 13! 4! 2 3 {}}{ ! = 2 } 2 {{ 2 2 2} }{{} 3 5 }{{} ! =16 =15 =14 = ! = 16! Alternativa E. (n + 1)! + (n + 2)! Exemplo 1.14 Resolva = 0. n! Observe que, como dito anteriormente, expandiremos os fatoriais de maior valor, neste

7 1.4 Arranjo e Permutação 7 caso: (n + 1)! e (n + 2)!: (n + 1)! + (n + 2)! n! (n + 1) n! + (n + 2) (n + 1) n! = 0 n! (n + 1) n! + (n + 2) (n + 1) n! n! (n + 1) + (n + 2) (n + 1) = 0 (n + 1)(n + 3) = 0 n = 1 ou n = 3 = 0 = Arranjo e Permutação Arranjo com repetição Definição Arranjo com repetição. Se M for um conjunto com n elementos, então chamamos de arranjo com repetição dos n elementos, tomados r a r, toda sequência de r elementos formada com elementos de M não necessariamente distintos. O número de arranjos com repetição de n elementos tomados r a r é dado por: (AR) n,r = n r! Como a definição de arranjo é de uma sequência, então neste caso a ordem importa. Exemplo 1.15 Uma urna contém uma bola vermelha (V), uma branca (B) e uma azul (A). Uma bola é extraída e observada sua cor e reposta na urna. Em seguida, outra bola é extraída e observada sua cor. Quantas são as possíveis sequências de cores observadas? Como a bola é recolocada na urna após sua retirada, então podemos ter repetição. E se tratando de uma sequência, a ordem importa, obtendo assim um arranjo com repetição, onde temos n = 3 possíveis valores para formar uma sequência com r = 2 elementos. Da fórmula acima, segue que: (AR) 3,2 = 3 2 = 9 Observe que, usando o Princípio Fundamental da Contagem, o exercício fica mais simples: devem ser retiradas duas bolas de uma urna com reposição. Assim, na primeira possibilidade dispomos de 3 bolas: V, B e A: 3 E como a bola retirada é inserida novamente na urna, na segunda possibilidade, também dispomos de 3 bolas: 3 3 Portanto, temos 3 3 = 9 possíveis sequências de cores observadas.! Apesar de a fórmula para arranjo com repetição ter sido dada, podemos fazer o uso apenas do Princípio Fundamental da Contagem, sem fórmula ou expressão alguma para decorar.

8 8 Análise combinatória Arranjo simples Definição Arranjo simples. Se M for um conjunto com n elementos, então chamamos de arranjo simples, ou simplesmente arranjo, dos n elementos, tomados r a r, toda sequência de r elementos formada com elementos de M distintos. O número de arranjos de n elementos tomados r a r é dado por: A n,r = n! (n r)! Exemplo 1.16 De um baralho de 52 cartas, 3 cartas são retiradas sucessivamente e sem reposição. Quantas sequências de cartas são possíveis de se obter? Sendo uma sequência, a ordem importa, tratando-se de um arranjo. E, uma vez que as cartas são retiradas sem reposição, então fica claro que todas as cartas retiradas são distintas, logo é um arranjo simples de tal modo que de n = 52 cartas, são formadas sequências de r = 3: A 52,3 = 52! (52 3)! = 52! 49! ! = 49! ! = 49! = = Exercício resolvido 1.2 PUC-MG. Com os algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5}, pode-se formar números de três algarismos distintos, em um total de: (a) 90 (b) 100 (c) 110 (d) 115 (e) 120 Resolução: Observe que se o número começar com 0, então ele terá apenas dois algarismos. Portanto, existem 5 possibilidades para a centena: 5 Como os algarismos devem ser distintos, não podemos usar o dígito da centena na dezena, todavia aqui pode-se ter o número 0; deste modo, há ainda 5 possibilidades para a dezena: 5 5 E, assim, 4 possibilidades para a unidade:

9 1.4 Arranjo e Permutação Totalizando em números. Alternativa B = Permutação Definição Permutação. Permutação é todo arranjo simples em que r = n, isto é, as sequências tomadas englobam necessariamente todos os elementos do conjunto dado. O número de permutações de um conjunto de n elementos é dado por: P n = n! Exemplo 1.17 De quantas maneiras possíveis 6 pessoas podem formar uma fila indiana? Sendo uma fila, a ordem importa e como as sequências tomadas englobam todos os elementos, então o valor total será uma permutação das 6 pessoas: P 6 = 6! = 720 Exemplo 1.18 Quantos anagramas tem a palavra AURÉLIO? Temos 7 letras e cada sequência é formada por 7 elementos que se permutam, assim P 7 = 7! = 5040 Definição Permutação com repetição. Se em uma sequência de n elementos, k forem iguais, de tal modo que se repitam n 1,n 2,...,n k vezes cada um, então o número de permutações destes n elementos é dado por P n 1,n 2,...,n k n! n = n 1! n 2!... n k! Exemplo 1.19 Calcule o número de anagramas da palavra ARARA. As letras A e R repetem, respectivamente, 3 e 2 vezes. Deste modo, o total de anagramas é: P 3,2 5 = 5! 3! 2! = 10 Exercício resolvido 1.3 UNITAU. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra VESTIBULAR, tais que comecem com a letra V? Resolução: A palavra VESTIBULAR tem 10 letras. Como a primeira deve ser V, segue que, há uma única possibilidade para a primeira letra:

10 10 Análise combinatória 1 Não havendo restrição para as outras letras, existem então 9 possibilidades para a segunda letra, 8 para a terceira e assim por diante: Portanto, existem 1 9! anagramas de VESTIBULAR começando com a letra V. 1.5 Combinação Exemplo 1.20 Se M = {a,b,c,d}, determine a quantidade de pares que podemos formar usando os elementos de M. Por se tratar de um subconjunto de M, fica evidente que a ordem aqui não importa, uma vez que, por exemplo, {a,b} = {b,a}. As possíveis combinações são: {a,b} {a,c} {a,d} {b,c} {b,d} {c,d} totalizando em 6 pares. Definição Combinação. Se M for um conjunto de n elementos, então chamamos de combinação dos n elementos, tomados r a r, os subconjuntos de M constituído de r elementos. O número total de combinações de um conjunto com n elementos, tomados r a r é o coeficiente binomial definido por: C n r = Ç å n n! = r r! (n r)! Exemplo 1.21 Deseja-se criar uma comissão de formatura com 5 alunos do curso de Psicologia. Se existem 30 alunos na turma e todos estão aptos a participar da comissão, qual o número de comissões possíveis? Observe que uma comissão é um subconjunto dos alunos da turma de Psicologia. Deste modo, temos uma combinação dos 30 alunos, tomados 5 a 5: C 30 5 = Ç å ! = 5! (30 5)! = 30! 5! 25! = isto é, podem ser formadas até diferentes comissões com 5 alunos cada.

11 1.5 Combinação 11 Exemplo 1.22 Em uma escola, há 5 professores de Matemática, 2 de Geografia e 4 de Português. Deseja-se criar um conselho com 3 professores de Matemática, 1 de Geografia e 2 de Português. De quantas maneiras possíveis este conselho pode ser criado? O total de maneiras possíveis de se escolher 3 professores de Matemática dentre 5 é dado por: C 5 3 Assim como, para se escolher 1 professor de Geografia dentre 2, temos um total de: E, usando o mesmo raciocínio para os professores de Português: C 2 1 C 4 2 Logo, a quantidade total de conselhos possíveis segue do Princípio Fundamental da Contagem: C 5 3 C 2 1 C 4 2 ou seja, C 5 3 C 2 1 C 4 2 = Ç å 5 3 = 120 Ç å 2 1 Ç å 4 2 Exercício resolvido 1.4 UEL. Em uma floricultura, estão à venda 8 mudas de cravos e 12 mudas de rosas, todas diferentes entre si. Um cliente pretende comprar 3 mudas de cravos e 4 de rosas. De quantos modos ele pode selecionar as 7 mudas que quer comprar? (a) C 20 7 (b) A 20,7 (c) 7! (d) A 8,3 A 12,4 (e) C 8 3 C12 4 Resolução: Claramente, o exercício deseja saber o número de conjuntos possíveis que podem ser formados com 3 cravos, dentre 8, e com 4 rosas, dentre 12, tratando-se assim de uma combinação. O número total de mudas de cravos que podem ser escolhidas é dado por C 8 3 e, para as mudas de rosas, temos Totalizando em Alternativa E. C 12 4 C 8 3 C 12 4! Notemos que se um exercício solicitar a quantidade total de comissões, grupos, equipe, time ou qualquer outro sinônimo de subconjunto, devemos então usar a teoria de combinações vista nesta seção.

12 12 Análise combinatória 1.6 Exercícios de fixação Princípio fundamental da contagem 1. Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição? 2. Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia? 3. Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados? 4. Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar? 5. Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos? 6. De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada questão são: sim ou não? 7. Uma prova consta de 20 testes tipo Verdadeiro ou Falso. De quantas formas uma pessoa poderá responder os 20 testes? 8. Quantos anagramas podemos formar, batendo ao acaso 6 teclas (escolhidas entre as 26 existentes) num computador? Entre eles consta o anagrama TECTEC? 9. Quantos números de 3 algarismos (iguais ou distintos) podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 7, 8? 10. Temos um conjunto de 10 nomes e outro de 20 sobrenomes. Quantas pessoas podem receber um nome e um sobrenome, com esses elementos? 11. Cinco moedas são lançadas. Quantas sequências possíveis de caras e coroas existem? 12. Seis dados são lançados simultaneamente. Quantas sequências de resultados são possíveis, se considerarmos cada elemento da sequência como o número obtido em cada dado? 13. Quantos números telefônicos com 7 dígitos podem ser formados, se usarmos os dígitos de 0 a 9? 14. As letras em código MORSE são formadas por sequências de traços (-) e pontos (.) sendo permitidas repetições. Quantas letras podem ser representadas: (a) usando exatamente 3 símbolos? (b) usando no máximo 8 símbolos? 15. Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal de eixos Ox e Oy. Ele pode dar um passo de cada vez para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetórias ele

13 1.6 Exercícios de fixação 13 pode percorrer se der exatamente 4 passos? 16. Resolver o problema anterior, se o homem der exatamente 6 passos. 17. Quantos divisores positivos tem o número 3888? 18. Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis: (a) se a escolha for feita com reposição? (b) se a escolha for feita sem reposição? 19. Duas pessoas, Antônio e Benedito, praticam um jogo, onde em cada partida, há um único vencedor. O jogo é praticado até que um deles ganhe 2 partidas consecutivas ou 4 partidas tenham sido jogadas, o que ocorrer primeiro. Quais as sequências possíveis de ganhadores? 20. Uma urna tem 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Três bolinhas são extraídas sucessivamente, sem reposição. De quantas formas os números de bolinhas formam uma PA na ordem em que foram extraídas? Arranjo e permutação 21. Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De quantas formas isto pode ser feito? 22. Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada, respectivamente? 23. As 5 finalistas do concurso para Miss Universo são: Miss Japão, Miss Brasil, Miss Finlândia, Miss Argentina e Miss Noruega. De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, segundo e terceiro lugares neste concurso? 24. Um cofre possui um disco marcado com os dígitos de 0 a 9. O segredo do cofre é formado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer, no máximo, para conseguir abrí-lo? 25. Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas? 26. Uma urna I contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna II contém 3 bolas numeradas de 1 a 3. Qual o número de sequências numéricas que podemos obter se extraírmos, sem reposição, 3 bolas da urna I e, em seguida, 2 bolas da urna II? 27. Existem duas urnas. A primeira com 4 bolas numeradas de 1 a 4 e a segunda com 3 bolas numeradas de 7 a 9. Duas bolas são extraídas da primeira urna, sucessivamente e sem reposição e, em seguida, 2 bolas são extraídas da segunda urna, sucessivamente e sem reposição. Quantos números de 4 algarismos são possíveis de serem formados nestas condições? 28. Com os algarimos de 1 a 9, quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?

14 14 Análise combinatória 29. Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 3, 6, 7, 8, 9? 30. Com os algarismos de 1 a 9, quantos números com algarismos distintos existem entre 500 e 1000? 31. Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de 3 algarismos existem? 32. Com os algarismos de 1 a 9, quantos números de quatro algarismos existem, onde pelo menos dois algarismos são iguais? 33. Quantos números formados por 3 algarismos distintos escolhidos entre 2, 4, 6, 8 e 9 contém o 2 e não contém o 6? 34. Com os dígitos de 1 a 6, quantos arranjos desses dígitos tomados 4 a 4 têm o dígito 1 antes do 4? 35. Com os algarismos de 1 a 6, quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar? 36. Com os dígitos 2, 5, 6 e 7, quantos números formados por 3 dígitos são divisíveis por 5? 37. Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando-se os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, que lugar ocupa o número ? 38. Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o número ? 39. Uma peça para ser fabricada deve passar por 7 máquinas, sendo que a operação de cada máquina independe das outras. De quantas formas as máquinas podem ser dispostas para montar a peça? 40. Com relação a palavra TEORIA: (a) Quantos anagramas existem? (b) Quantos anagramas começam por T? (c) Quantos anagramas começam por T e terminam com A? (d) Quantos anagramas começam por vogal? (e) Quantos anagramas tem as vogais juntas? 41. Quantos anagramas da palavra FILTRO começam por consoante? 42. Quantos anagramas da palavra PASTEL começam e terminam por consoante? 43. De quantas formas podemos colocar 8 torres num tabuleiro de xadrez de modo que nenhuma torre possa comer outra? 44. Dez pessoas, por entre elas Antônio e Beatriz, devem ficar em fila. De quantas formas isto pode ser feito se Antônio e Beatriz devem ficar sempre juntos?

15 1.6 Exercícios de fixação De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila se: (a) os homens devem ficar juntos, (b) os homens devem ficar juntos e as mulheres também? 46. Temos 5 meninos e 5 meninas. De quantas formas eles podem ficar em fila se meninos e meninas ficam em posições alternadas? 47. De quantas formas 6 pessoas podem sentar-se numa fileira de 6 cadeiras se duas delas (Geraldo e Francisco) se recusam sentar um ao lado do outro? 48. Temos numa estante 15 livros dos quais 4 são de Matemática. De quantas formas podemos colocá-los em ordem na estante, de modo que os livros de Matemática fiquem sempre juntos? 49. Calcule: (a) A 6,3 (b) A 10,4 (c) A 20,1 (d) A 12,3 50. Resolva as equações: (a) A n,4 = 12A n,2 (b) A m,3 A m,2 = 4 (c) A m,3 = 30m (d) (m + 2)! = 72m! 51. De quantas formas 8 sinais + e 4 sinais podem ser colocados em uma sequência? 52. Quantos números de 6 algarismos podemos formar permutando os algarismos 2, 2, 3, 3, 3, 5? 53. Quantos anagramas existem da palavra AMARILIS? 54. Se uma pessoa gasta exatamente um minuto para escrever cada anagrama da palavra ESTATÍSTICA, quanto tempo levará para escrever todos, se não deve parar nenhum instante para descansar? Considere Í=I. 55. Uma moeda é lançada 20 vezes. Quantas sequências de caras e coroas existem, com 10 caras e 10 coroas? 56. Quantos números de 7 algarismos existem nos quais comparecem uma só vez os algarismos 3, 4 e 5 e quatro vezes o algarismo 9? 57. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas. Elas são extraídas uma a uma sem reposição. Quantas sequências de cores podemos observar? Combinação 58. Calcule os números:

16 16 Análise combinatória (a) Ç å 6 2 (b) Ç å 6 4 (c) Ç å Obter todas as combinações dos elementos de M = {7,8,9,0} tomados dois a dois. 60. Sabendo-se que C8 p+2 C 8 = 2, determine o valor de p. p Calcule p, sabendo-se que A n,p = C n p. 62. Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? 63. De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem reposição. Qual o número de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem das cartas extraídas? 64. Em uma reunião social, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas havia na reunião? 65. Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos entre 2, 3, 5, 7 e 11? 66. Um grupo tem 10 pessoas. Quantas comissões de no mínimo 4 pessoas podem ser formadas com as disponíveis? 67. De quantos modos podemos escolher 5 cartas de um baralho de 52 cartas, sem levar em conta a ordem das mesmas, de modo que sempre compareçam os 4 ases? 68. De quantas formas podemos escolher 4 cartas de um baralho de 52 cartas, sem levar em conta a ordem delas, de modo que em cada escolha haja pelo menos um rei? 69. Existem 10 jogadores de futebol de salão, entre eles João, que por sinal é o único que joga como goleiro. Nestas condições, quantos times de 5 pessoas podem ser escalados? 70. Um time de futebol de salão deve ser escalado a partir de um conjunto de 10 jogadores (entre eles Ari e Arnaldo). De quantas formas isto pode ser feito, se Ari e Arnaldo devem ser necessariamente escalados? 71. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 são matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que: (a) nenhum membro seja matemático? (b) todos os matemáticos participem da comissão? (c) haja exatamente um matemático na comissão? (d) pelo menos um membro da comissão seja matemático? 72. De um grupo de 10 pessoas, deseja-se formar uma comissão com 5 membros. De quantas formas isto pode ser feito se duas pessoas (A e B) ou fazem parte da comissão, ou não? 73. Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas formas ele pode

17 1.6 Exercícios de fixação 17 selecionar 2 meias, sem que elas sejam do mesmo par? 74. Temos 10 homens e 10 mulheres. Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres? 75. Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas: (a) podemos formar uma comissão de 3 pessoas? (b) podemos formar uma comissão de 3 pessoas de modo que haja 2 pessoas e uma mulher, na mesma? 76. Um lote contém 50 peças boas e 10 defeituosas. Extraindo-se 8 peças (sem reposição), não levando em conta a ordem das mesmas, de quantas formas podemos obter 4 peças boas e 4 defeituosas? 77. Em uma urna existem 12 bolas das quais 7 são pretas e 5 brancas. De quantos modos podemos tirar 6 bolas da urna, das quais 2 são brancas? 78. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas. De quantas formas podemos extrair 2 bolas, sem reposição e sem levar em conta a ordem na extração, de modo que: (a) as duas sejam vermelhas? (b) as duas sejam brancas? (c) uma seja vermelha, outra branca? 79. Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas, das quais pelo menos 4 sejam pretas? 80. Em um grupo de 15 pessoas existem 5 médicos, 7 engenheiros e 3 advogados. Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar, cada qual constituída de 2 médicos, 2 engenheiros e 1 advogado? 81. Existem 5 pontos, entre os quais não existem 3 colineares. Quantas retas eles determinam? 82. Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. (a) Ligando-se 2 desses pontos, quantas cordas podem ser traçadas? (b) Ligando-se 3 desses pontos, quantos triângulos podem ser formados? (c) Ligando-se 6 desses pontos, quantos hexágonos podem ser formados? 83. São dadas 2 retas paralelas. Marcam-se 10 pontos distintos sobre uma e 8 pontos distintos sobre a outra. Quantos triângulos podemos formar ligando 3 quaisquer desses 18 pontos?

18 18 Análise combinatória 1.7 Exercícios de vestibular 1. (FUVEST) Considere os números obtidos a partir de efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando-se esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número ? 2. (MACKENZIE) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Dentre esses, determine quantos são divisíveis por (IME) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4 e 6. Uma das permutações possíveis destes algarismos origina o número Determine a soma dos números formados quando os algarismos acima são permutados de todos os modos possíveis. 4. (UFCE) Atualmente, as placas dos veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando estas informações, calcule o número de placas distintas que podem ser fabricadas, iniciadas pelas letras HUI, nesta ordem, e cujo último algarismo seja ímpar. 5. (UNICAMP) Sabendo que números de telefone não começam com 0 nem com 1, calcule quantos diferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos. 6. (MACKENZIE) Os números pares com 4 algarismos distintos, que podemos obter com os elementos do conjunto {0,3,4,5,6,7,8}, são em número de: (a) 6 3 (b) 420 (c) (d) (e) (CESGRANRIO) As novas placas dos veículos são formadas por três letras seguidas por quatro algarismos, como por exemplo GYK O número de placas diferentes que podem ser construídas é, em milhões de placas, aproximadamente igual a: (a) 1 (b) 25 (c) 75 (d) 100 (e) (UFBA) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se formar x números ímpares com três algarismos distintos. Determine x. 9. (FAAP) Em um hospital, existem três portas de entrada que dão para um amplo saguão, onde há cinco elevadores. Um visitante deve se dirigir ao sexto andar, utilizando um dos elevadores. De quantas formas diferentes poderá fazê-lo? 10. (UFC) Deseja-se dispor em fila cinco crianças: Marcelo, Rogério, Reginaldo, Daniele e Márcio. Calcule o número das distintas maneiras que elas podem ser dispostas, de modo que Rogério e Reginaldo fiquem sempre vizinhos. 11. (FAAP) Quantos anagramas podem ser formados com a palavra VESTIBULAR em que as três letras VES, nesta ordem, permaneçam juntas? 12. (FMU) O número de anagramas que se pode construir com a palavra ACREDITO e que começam com a letra A é:

19 1.7 Exercícios de vestibular 19 (a) menor que (b) um múltiplo de 22. (c) maior que (d) um divisor de 15. (e) múltiplo de (MACKENZIE) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é: (a) 120 (b) 320 (c) 500 (d) 600 (e) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é: (a) 24 (b) 48 (c) 96 (d) 120 (e) (MACKENZIE) Em um teste de múltipla escolha, com cinco alternativas distintas, sendo uma única correta, o número de modos distintos de ordenar as alternativas de maneira que a única correta não seja a primeira nem a última é: (a) 36 (b) 32 (c) 60 (d) 72 (e) (FGV) Dentre seis números positivos e seis números negativos, de quantos modos pode-se escolher quatro números cujo produto seja positivo? (a) 720 (b) 625 (c) 30 (d) 960 (e) (ITA) O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO que não apresentam as cinco vogais juntas é: (a) 12! (b) (8!)(5!) (c) 12! (8!)(5!) (d) 12! 8! (e) 12! (7!)(5!) 18. (FUVEST) Com as letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! = 720 palavras (anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas palavras forem colocadas em odem alfabética, como num dicionário, a 250 a palavra começa com: (a) EV (b) FU (c) FV (d) SE (e) SF 19. (FUVEST) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequências dessas músicas, serão necessários, aproximadamente: (a) 100 dias. (b) 10 anos. (c) 1 século. (d) 10 séculos. (e) 100 séculos. 20. (PUCCAMP) O número de anagramas da palavra EXPLODIR, nos quais as vogais aparecem juntas é:

20 20 Análise combinatória (a) 360 (b) 720 (c) 1440 (d) 2160 (e) (UFF) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os valores de x e y são, respectivamente: (a) 48 e 36 (b) 48 e 72 (c) 72 e 36 (d) 24 e 36 (e) 72 e (UNESP) Uma rede de supermercados fornece a seus clientes um cartão de crédito cuja identificação é formada por 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma determinada cidade receberá os cartões que têm L como terceira letra, o último algarismo é zero e o penúltimo é 1. A quantidade total de cartões distintos oferecidos por tal rede de supermercados para essa cidade é: (a) (b) (c) (d) (e) (FGV) Aconteceu um acidente: a chuva molhou o papel onde Teodoro marcou o telefone de Aninha e apagou os três últimos algarismos. Restaram apenas os dígitos Observador, Teodoro lembrou que o número do telefone da linda garota era um número par, não divisível por 5 e que não havia algarismos repetidos. Apaixonado, resolveu testar todas as combinações numéricas possíveis. Azarado! Restava apenas uma possibilidade, quando se esgotaram os créditos do seu telefone celular. Até então, Teodoro havia feito: (a) 23 ligações. (b) 59 ligações. (c) 39 ligações. (d) 35 ligações. (e) 29 ligações. 24. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas sequências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas sequências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas? (a) 3 (b) 5 (c) 8 (d) 12 (e) (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor? (a) 120 (b) 72 (c) 24 (d) 18 (e) (UEL) Para responder a certo questionário, preenche-se o cartão apresentado abaixo, colocando-se um x em uma só resposta para cada questão. CARTÃO RESPOSTA QUESTÕES SIM NÃO De quantas maneiras distintas pode-se responder a este questionário?

21 1.7 Exercícios de vestibular 21 (a) 3125 (b) 120 (c) 32 (d) 25 (e) (UFRJ) Um construtor dispõe de quatro cores (verde, amarelo, cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas lado a lado. Ele deseja que cada casa seja pintada com apenas uma cor e que duas casas consecutivas não possuam a mesma cor. Determine o número de possibilidades diferentes de pintura. 28. (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação? (a) 861 (b) 1722 (c) 1764 (d) 3444 (e) (UFMG) O total de números inteiros, com todos os algarismos distintos, compreendidos entre 11 e 1000, é: (a) 576 (b) 648 (c) 728 (d) 738 (e) (FGV) Num concurso que consta de duas fases, os candidatos fizeram uma prova de múltipla escolha, com 30 questões de 4 alternativas cada. Na segunda fase, outra prova continha 30 questões do tipo falsa ou verdadeira. Chamando de n 1 o número dos diferentes modos de responder a prova da 1 a fase e de n 2, o número dos diferentes modos de responder a prova da 2 a fase, tem-se que: (a) n 1 = 2n 2 (c) n 1 = 4n 2 (e) n 1 = 4 30 n 2 (b) n 1 = 30n 2 (d) n 1 = 2 30 n (MACKENZIE) Agrupamento de quatro algarismos TIPO I - Quantidade x Tipo II - Quantidade y Os dois primeiros algarismos Três algarismos iguais em posições consecutivas, sendo o alga- iguais e os dois últimos iguais, mas diferentes dos primeiros rismo restante diferente dos anteriores. Considerando a tabela acima, x + y é igual a: (a) 180 (b) 190 (c) 270 (d) 280 (e) (FGV) Por ocasião do Natal, um grupo de amigos resolveu que cada um do grupo mandaria 3 mensagens a todos os demais. E assim foi feito. Como o total de mensagens enviadas foi 468, pode-se concluir que o número de pessoas que participam desse grupo é: (a) 156 (b) 72 (c) 45 (d) 13 (e) 11

22 22 Análise combinatória 33. (FGV) Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C, D e E seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas é: (a) (b) (c) (d) (e) (MACKENZIE) Um hacker está tentando invadir um site do Governo e, para isso, utiliza um programa que consegue testar 16 3 diferentes senhas por minuto. A senha é composta por 5 caracteres escolhidos entre os algarismos de 0 a 9 e as letras de A a F. Sabendo que o programa testa cada senha uma única vez e que já testou, sem sucesso, 75% das senhas possíveis, o tempo decorrido desde o início de sua execução é de: (a) 2 horas e 16 minutos. (b) 1 hora e 40 minutos. (c) 3 horas e 48 minutos. (d) 3 horas e 12 minutos. (e) 2 horas e 30 minutos. 35. (UNESP) Considere a identificação das placas de veículos, compostas de três letras seguidas de 4 dígitos. Sendo o alfabeto constituído de 26 letras, o número de placas possíveis de serem constituídas, pensando em todas as combinações possíveis de 3 letras seguidas de 4 dígitos, é: (a) (b) (c) (d) (e) (UNESP) Se n é um número inteiro positivo, pelo símbolo n! subentende-se o produto de n fatores distintos, n (n 1) (n 2) Nestas condições, qual é o algarismo das unidades do número (9!8!) 7!? (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) (VUNESP) Seja n N,n 1. Então, é igual a: (n 1)![(n + 1)! n!] (a) n!n (b) (n 1)!n (c) (n 2 )! (d) (n!) (MACKENZIE) Efetuando 1 n! n (n + 1)!, obtém-se: 1 2 (a) (b) (n + 1)! n! n!(n + 1)! (c) n 1 Ç å n + 1 (e) 2(n!) 2n + 1 (d) (n + 1)! (e) (UEL) A solução da equação Ç å = 7 é um número inteiro múltiplo de: n 1 2 2

23 1.7 Exercícios de vestibular 23 (a) 11 (b) 9 (c) 7 (d) 5 (e) (UNESP) O número de maneiras que 3 pessoas podem sentar-se em uma fileira de 6 cadeiras vazias de modo que, entre duas pessoas próximas (seguidas), sempre tenha exatamente uma cadeira vazia, é: (a) 3 (b) 6 (c) 9 (d) 12 (e) (UNESP) Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. (a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1. (b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número e que número ocupa a 242 a posição. 42. (UNIFESP) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73 a palavra nessa lista é: (a) PROVA (b) VAPOR (c) RAPOV (d) ROVAP (e) RAOPV 43. (VUNESP) De um grupo constituído de 6 enfermeiros e 2 médicos, deseja-se formar comissões de 5 pessoas. Quantas dessas comissões podem ser formadas se os 2 médicos devem, necessariamente, fazer parte de todas as comissões? (a) 10 (b) 15 (c) 20 (d) 168 (e) (FGV) Em uma Universidade, no Departamento de Veterinária, existem 7 professores com especialização em Parasitologia e 4 em Microbiologia. Em um congresso, para a exposição dos seus trabalhos, serão formadas equipes da seguinte forma: 4 com especialização em Parasitologia e 2 com especialização em Microbiologia. Quantas equipes diferentes poderão ser formadas? 45. (MACKENZIE) O frentista de um posto de gasolina deve calibrar os 4 pneus de um carro. Como está com pressa, escolhe, ao acaso, apenas 2 deles para calibrar. A probabilidade de ele ter calibrado os dois pneus dianteiros é: (a) 1 4 (c) 1 2 (e) 1 6 (b) 1 3 (d) (FGV) Joel e Jane fazem parte de um grupo de dez atores: 4 mulheres e 6 homens. Se duas mulheres e três homens forem escolhidos para compor o elenco de uma peça teatral, a probabilidade de que Joel e Jane, juntos, estejam entre eles é:

24 24 Análise combinatória (a) 3 4 (c) 1 4 (e) 1 8 (b) 1 2 (d) (FGV) No estoque de uma loja há 6 blusas pretas e 4 brancas, todas de modelos diferentes. O número de diferentes pares de blusas, com cores diferentes que uma balconista pode pegar para mostrar a uma cliente, pode ser calculado assim: (a) A 10,2 (C2 6 +C4 2 ) (c) A 10,2 A 6,4 (b) C2 10 (C6 2 +C4 2 ) (d) C2 10 C6 4 (e) C 10 2 A 6,4 48. (UNESP) Considere os algarismos 2, 3, 5, 7 e 11. A quantidade total de números distintos que se obtêm multiplicando-se dois ou mais destes algarismos, sem repetição, é: (a) 120 (b) 52 (c) 36 (d) 26 (e) (UNESP) A turma de uma sala de n alunos resolve formar uma comissão de três pessoas para tratar de um assunto delicado com um professor. (a) Explicite, em termos de n, o número de comissões possíveis de serem formadas com estes alunos. (b) Determine o número de comissões possíveis, se o professor exigir a participação na comissão de um determinado aluno da sala, por esse ser o representante da classe. 50. (FUVEST) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? (a) 12 (b) 18 (c) 36 (d) 72 (e) (FUVEST) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão? (a) 16 (b) 17 (c) 18 (d) 19 (e) (MACKENZIE) Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n letras, das quais somente duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. O valor de n é: (a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 7 (e) (VUNESP) Dez rapazes, em férias no litoral, estão organizando um torneio de voleibol de praia. Cinco deles são selecionados para escolher os parceiros e capitanear as cinco equipes a serem formadas, cada uma com dois jogadores.

25 1.7 Exercícios de vestibular 25 (a) Nessas condições, quantas possibilidades de formação de equipes têm os capitães escolhidos? (b) Uma vez formadas as cinco equipes, quantas partidas se realizarão, se cada uma das equipes deverá enfrentar todas as outras uma única vez? 54. (MACKENZIE) O número de comissões diferentes, de 2 pessoas, que podemos formar com os n diretores de uma firma, é k. Se, no entanto, ao formar estas comissões, tivermos que indicar uma das pessoas para presidente e a outra para suplente podemos formar k + 3 comissões diferentes. Então, n vale: (a) 3 (b) 10 (c) 13 (d) 30 (e) 40 n! 55. (UNICAMP) O símbolo C n,p é definido por para n 0 e 0! = 1. Estes números p!(n p)! C n,p são inteiros e aparecem como coeficietnes no desenvolvimento de (a + b) n. (a) Mostre que C n,p 1 +C n,p = C n+1,p. (b) Seja S = C n,0 +C n, C n,n. Calcule log 2 S. 56. (UNESP) Dispomos de 4 cores distintas e temos de colorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor. P R Q S Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras é possível colorir o mapa, se: (a) os países P e S forem coloridos com cores distintas? (b) os países P e S forem coloridos com a mesma cor? 57. (FUVEST) Uma caixa automática de banco só trabalha com notas de 5 reais e 10 reais. Um usuário deseja fazer um saque de 100 reais. De quantas maneiras diferentes a caixa eletrônica poderá fazer esse pagamento? (a) 5 (b) 6 (c) 11 (d) 15 (e) (ENEM) O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Observe a seguir um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras. Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda

26 26 Análise combinatória para a direita igual à da direita para a esquerda, como o código , no sistema descrito acima. Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é: (a) 14 (b) 12 (c) 8 (d) 6 (e) (UFU) Cada seleção participante da copa do mundo de futebol inscreve 23 jogadores, sendo necessariamente três goleiros. Em cada partida, dois jogadores de cada seleção são escolhidos entre os 23 inscritos para o exame anti-doping, mas são descartadas as possibilidades de que os dois jogadores escolhidos sejam goleiros. De quantas maneiras diferentes estes dois jogadores podem ser escolhidos? 60. (ENEM) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de: (a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. (b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. (c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. (d) duas combinações. (e) dois arranjos. 61. (UEPA) Para a formação de uma equipe de trabalho, uma empresa realizou um concurso para preenchimento de vagas em seu setor de informática, sendo 2 vagas para Analista de Sistemas e 3 para Técnico. O primeiro colocado no cargo de analista de sistemas terá função de coordenador da equipe e os aprovados no cargo de técnico terão funções idênticas. Todos os aprovados no concurso serão chamados juntos, independente da classificação de cada um. Inscreveram-se 5 pessoas para concorrer ao cargo de analista de sistemas e 6 ao cargo de técnico. Então o número máximo de maneiras distintas que essas 5 vagas podem ser preenchidas, para a formação da equipe de trabalho, pelos candidatos é: (a) 200 (b) 400 (c) 800 (d) 1200 (e) (UNIFESP) O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições? (a) 792 (b) 494 (c) 369 (d) 136 (e) (FUVEST) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não têm algarismos adjacentes iguais?

27 1.7 Exercícios de vestibular 27 (a) 5 9 (c) (e) 9 5 (b) (d) (UNIFESP) O valor de é: (a) n 2 (b) 2n Å ã n log 2 n! (c) n (d) 2log 2 n (e) log 2 n 65. (ESPCEX) A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática composto de 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas? (a) 80 (b) 96 (c) 240 (d) 640 (e) (FUVEST) Participam de um torneio de voleibol 20 times distribuídos em 4 chaves, de 5 times cada uma. Na 1 a fase do torneio, os times jogam entre si uma única vez (um único turno), todos contra todos em cada chave, sendo que os 2 melhores de cada chave passam para a 2 a fase. Na 2 a fase, os jogos são eliminatórios; depois de cada partida, apenas o vencedor permanece no torneio. Logo, o número de jogos necessários até que se apure o campeão do torneio é: (a) 39 (b) 41 (c) 43 (d) 45 (e) (ENEM) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é: (a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 9 (e) 10

28 28 Análise combinatória 68. (UNESP) Um certo tipo de código usa apenas dois símbolos, o número zero (0) e o número um (1) e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas palavras de uma, duas e três letras desse código. O número máximo de palavras, com cinco letras ou menos, que podem ser formadas com esse código é: (a) 120 (b) 62 (c) 60 (d) 20 (e) (FUVEST) Uma lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso, (a) a família Sousa quer ocupar um mesmo banco; (b) Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros na lotação é igual a: (a) 928 (b) 1152 (c) 1828 (d) 2412 (e) (FGV) O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam com a letra O é: (a) 9400 (b) 9600 (c) 9800 (d) (e) (MACKENZIE) Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis comissões é: (a) 66 (b) 72 (c) 90 (d) 120 (e) (FUVEST) Numa primeira fase de um campeonato de xadrez, cada jogador joga uma vez contra todos os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores? (a) 10 (b) 11 (c) 12 (d) 13 (e) (ENEM) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada por: O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é: