EXEMPLOS CADEIAS DE MARKOV

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1 EXEMPLOS CADEIAS DE MARKOV Exemplo 1: Neste exemplo, os produtos são dois jornais de uma cidade, concorrentes entre si. A lealdade à marca está no fato de o assinante mudar ou não de jornal ao longo do tempo. Vejamos os detalhes. A cidade de Lagoa Rasa, no estado gaúcho, possui apenas dois jornais: O Diário de Lagoa Rasa e a Gazeta de Lagoa Rasa. Atualmente (chamemos o momento atual de t), há assinantes de Jornal em Lagoa Rasa, sendo assinantes do Diário, que detém 60% do mercado e assinantes da Gazeta, que detém 40% do mercado. Uma pesquisa conduzida no momento seguinte (t+1) revela que o número de assinantes ainda é 4.000, mas agora temos: assinantes do Diário e assinantes da Gazeta. Assim, o Diário passa a contar agora com 57,5% dos assinantes, e a Gazeta, com 42,5%. Podemos considerar que temos um experimento na linguagem estatística com dois resultados possíveis: ser assinante do Diário ou ser assinante da Gazeta. Esses resultados têm probabilidades de ocorrência variáveis. Por outro lado, uma análise apressada pode sugerir que o Diário simplesmente perdeu 100 assinantes para a Gazeta; assim, o número de assinantes do Diário teria baixado de para 2.300, enquanto o número de assinantes da Gazeta teria aumentado de para Tudo isso nos leva a crer que o Diário, com o tempo, poderá perder todos os seus assinantes para a Gazeta. Entretanto, essa conclusão seria apressada. Vamos por partes. Em primeiro lugar, deveríamos considerar a hipótese de que novos assinantes estivessem agora no mercado, enquanto velhos assinantes tivessem se retirado. Muitas combinações seriam possíveis para se chegar aos números da pesquisa. Vamos, entretanto, supor que uma nova pesquisa revelou que não houve alteração nas listas de assinantes, ou seja, ninguém entrou e ninguém saiu; houve apenas troca de um jornal pelo outro, mas da seguinte maneira: 240 assinantes do Diário passaram a assinar a Gazeta, mas em compensação 140 assinantes da Gazeta passaram a assinar o Diário. A Gazeta, portanto, um ganho líquido de ( ), isto é, de 100 assinantes. a) Faça alguns cálculos, que nos definam as probabilidades de transição (transições da assinatura de um jornal para a assinatura do mesmo jornal ou do outro). b) Considerando a matriz de probabilidades de estado no momento inicial t, calcular as probabilidades de estado nos 3 momentos posteriores. c) Calcular as probabilidades de estado no equilíbrio e interpretar os resultados. 1

2 d) Admita que as probabilidades de transição do Diário para o Diário e para a Gazeta permaneçam as mesmas. Assuma agora que a probabilidade de que um assinante da Gazeta permaneça com a mesma assinatura seja 1,0, isto é, seja nula a probabilidade de que um assinante da Gazeta migre para o Diário. Calcule as probabilidades de estado no equilíbrio e interprete os resultados. a) Analisando, de um período a outro imediatamente posterior, o Diário: reteve ( )=2.160 assinantes; em outras palavras, a probabilidade de retenção do assinante é de 2.160/2.400=0,9; conseqüentemente, a probabilidade de que perca um assinante para a Gazeta é de (1-0,9)=0,1; ganhou 140 assinantes da Gazeta; em outras palavras, a probabilidade de que um assinante troque a Gazeta pelo Diário é de 140/1.600=0,0875; conseqüentemente, a probabilidade de que o assinante da Gazeta permaneça fiel é de (1-0,0875)=0,9125. O Diário A gazeta Do Diário 0,9 0,1 Da Gazeta 0,0875 0,9125 b) Sabe-se que a matriz de probabilidades de estado (ser assinante do Diário ou da Gazeta) no momento inicial t é a seguinte: a () = [0,6 0,4] Vejamos que acontece com essas probabilidades nos momentos posteriores, para isto basta multiplicarmos a matriz de probabilidades de estado pela matriz de probabilidades de transição: Para o momento (t+1): a () = a () P = [0,6 0,9 0,1 0,4] = [0,575 0,425] 0,0875 0,9125 Para o momento (t+2): a () = a () P = [0,575 0,9 0,1 0,425] = [0,555 0,445] 0,0875 0,9125 Para o momento (t+3): a () = a () P = [0,555 0,9 0,1 0,445] = [0,538 0,462] 0,0875 0,9125 2

3 c) [π π ] = [π π 0,9 0,1 ] 0,0875 0,9125 π + π = 1 Resolvendo temos: π = 0,533 e π = 0,467 d) O Diário A gazeta Do Diário 0,9 0,1 Da Gazeta 0 1 Resolvendo temos: π = 1 e π = 0 [π π ] = [π π ] 0,9 0,1 0 1 π + π = 1 Exemplo 2: Vamos supor que a equipe dirigente do Diário aceite que, na pior das hipóteses, o mercado seja dividido igualmente entre os dois jornais. Sem alterar as probabilidades de transição de G (Gazeta), de quanto deverá ser a probabilidade de retenção de assinantes de D (Diário) para que ambos os jornais atinjam 50% do mercado de assinantes cada um? Considerando a seguinte matriz de transição: O Diário A gazeta Do Diário x 1-x Da Gazeta 0,0875 0,9125 e que π = 0,5 e π = 0,5 Temos que: assim, [π π ] = [π π x 1 x ] 0,0875 0,9125 π = π x + π 0,0875 π = π (1 x) + π 0,9125 portanto, x = 0,9125 3

4 Exemplo 3: Voltemos à cidade de Lagoa Rasa, para estudar agora o seu mercado regional de aguardente de cana. Operam ali três marcas, com as seguintes fatias de mercado: - Caninha Trinta e Três (50% do mercado) - Aguardente Velho Tropeiro (30% do mercado) - Caninha Cachorrinho (20% do mercado) Chamemos essas marcas, respectivamente, por T, V e C. Por outro lado, é conhecida a seguinte matriz de transição, referente às três marcas. Matriz de Probabilidades de Transição Marcas de Aguardente Para T V C De T 0,70 0,15 0,15 De V 0,04 0,80 0,16 De C 0,07 0,08 0,85 a) Considerando a matriz de probabilidades de estado no momento inicial, calcular as probabilidades de estado nos 2 momentos posteriores. b) Calcular as probabilidades de estado no equilíbrio e interpretar os resultados. a) Seja: 0,70 0,15 0,15 a () = [0,5 0,3 0,2] e P = 0,04 0,80 0,16 0,07 0,08 0,85 para o momento (t+1), temos: 0,70 0,15 0,15 a () = a () P = [0,5 0,3 0,2] 0,04 0,80 0,16 = [0,376 0,331 0,293] 0,07 0,08 0,85 para o momento (t+2), temos: 0,70 0,15 0,15 a () = a () P = [0,376 0,331 0,293] 0,04 0,80 0,16 0,07 0,08 0,85 = [0,297 0,345 0,358] b) Usando as equações, 4

5 0,70 0,15 0,15 [π π π ] = [π π π ] 0,04 0,80 0,16 0,07 0,08 0,85 π + π + π = 1 temos: π = 0,162 π = 0,327 e π = 0,511 Exemplo 4: Duas marcas de sabonete disputam um certo segmento de mercado, e essa disputa poder ser expressa como um processo de Markov com as seguintes probabilidades de transição: De Para Imensée Perfume Maior Imensée 0,90 0,10 Perfume Maior 0,07 0,93 a) Qual marca parece ter os clientes mais leais? Por quê? b) Calcular as fatias de mercado projetadas para cada uma das marcas. a) Os clientes mais leais são os da marca Perfume Maior, pois quem a usa tem probabilidade de 0,93 de usá-la em um momento imediatamente posterior. No caso da marca Imensée, a probabilidade de uso dessa mesma marca em um momento posterior é de 0,90. b) Fatias do mercado no estado de equilíbrio, [π π ] = [π π 0,9 0,1 ] 0,07 0,93 π + π = 1 Resolvendo temos: π = 0,41 e π = 0,59 Exemplo 5: Dada a tabela de probabilidades de transição a seguir, determinar as probabilidades de estado no equilíbrio. 5

6 De Para Estado 1 Estado 2 Estado 3 Estado 4 Estado Estado Estado 3 0,5 0,1 0,2 0,2 Estado 4 0,6 0,1 0,1 0,2 a) Calculando o estado de equilíbrio, [π π π π ] = [π π π π ] 0,5 0,1 0,2 0,2 0,6 0,1 0,1 0,2 π + π + π + π = 1 Resolvendo temos: π = π = 0 e π + π = 1 Se quisermos poderíamos calcular as probabilidades de Absorção: 0,5 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,5 0,1 0,6 0,1 0,1 0,2 0,1 0,2 0,6 0,1 P = ,2 0,2 0,1 0 N = A = 0,5 I = 1 0,1 0,2 0,6 0,1 0 1 PA = (I N) 0,84 0,16 A = 0,85 0,15 Exemplo 6: Um professor de engenharia compra um novo computador cada dois anos e tem preferência por três modelos: M1, M2 e M3. Se o modelo atual for M1, o próximo computador pode ser M2 com probabilidade 0,2 ou M3 com probabilidade 0,15. Se o modelo atual for M2, as probabilidades de trocar para M1 e M3 são 0,6 e 0,25, respectivamente, e, se o modelo atual for M3, então as probabilidades de trocar para M1 e M2 são 0,5 e 0,1, respectivamente. Represente a situação como uma cadeia de Markov. 6

7 O problema apresenta três possíveis estados: 1) Comprar o modelo M1; 2) Comprar o Modelo M2 e 3) Comprar o modelo M3. A matriz de transição pode ser descrito como: Exemplo 7: 0,65 0,20 0,15 P = 0,60 0,15 0,25 0,50 0,10 0,40 Um carro de polícia está patrulhando uma região conhecida pelas atividades de gangues. Durante uma patrulha, há 60% de chance de a localidade que precisar de ajuda ser atendida a tempo, senão o carro continuará sua patrulha normal. Ao receber uma chamada, há 10% de chance de cancelamento (quando o carro volta a sua patrulha normal) e 30% de chance de o carro já estar atendendo a uma chamada anterior. Quando o carro de polícia chega à cena, há 10% de chance de os arruaceiros terem fugido (então o carro volta à patrulha) e 40% de chance de uma prisão imediata. Caso contrário, os policiais farão uma busca na área. Se ocorrer uma prisão, há 60% de chance de transportar os suspeitos até o distrito policial; caso contrário, serão liberados e o carro volta à patrulha. Expresse as atividades probabilísticas da patrulha policial sob a forma de uma matriz de transição. O problema pode ser descrito através de 5 possíveis estados: S1: Carro em patrulha S2: Carro que atende uma chamada S3: Carro na cena da chamada S4: Prisão efetuada S5: Transporte para a delegacia da polícia. Sendo a matriz de transição: P= S1 S2 S3 S4 S5 S1 0,4 0, S2 0,1 0,3 0,6 0 0 S3 0,1 0 0,5 0,4 0 S4 0, ,6 S

8 Exemplo 8: Pacientes que sofrem de falência renal podem fazer um transplante ou diálise periódica. Durante qualquer ano, 30% conseguem transplantes de pessoas que morreram e 10% recebem rins de um doador vivo. No ano seguinte a um transplante, 30% dos transplantados com rins de pessoas mortas e 15% dos que receberam rins de doadores vivos voltam à diálise. As porcentagens de óbitos entre os dois grupos são 20% e 10%, respectivamente. Entre os que continuam com a diálise, 10% morrem, e, entre os que sobrevivem mais de um ano após o transplante, 5% morrem e 5% voltam à diálise. Represente a situação como uma cadeia de Markov. O problema pode ser descrito através de 5 possíveis estados: E1: Diálise E2: Transplantado com rins de pessoas que morreram E3: Transplantado com rins de doadores vivos E4: Sobrevivente mais de um ano E5: Morte Sendo a matriz de transição: P= E1 E2 E3 E4 E5 E1 0,50 0,30 0,10 0 0,10 E2 0, ,50 0,20 E3 0, ,75 0,10 E4 0, ,90 0,05 E Exemplo 9: Todo ano, no início da estação de plantio de mudas (março a setembro), um jardineiro usa um teste químico para verificar a condição do solo. Dependendo do resultado do teste, a produtividade para a nova estação cai em três estados: 1) bom; 2) razoável e 3) ruim. Ao longo dos anos, o jardineiro observou que a condição do solo no ano anterior causava um impacto sobre a produtividade no ano corrente e que a situação podia ser descrita pela seguinte cadeia de Markov: 8

9 Estado do sistema no ano seguinte Estado do sistema neste ano 1 0,2 0,5 0, ,5 0, Porém, o jardineiro pode alterar as probabilidades de transição (P) usando fertilizante para melhorar a condição do solo. Nesse caso, a matriz de transição se torna: Estado do sistema neste ano Estado do sistema no ano seguinte ,30 0,60 0,10 2 0,10 0,60 0,30 3 0,05 0,40 0,55 Suponha que o custo do fertilizante seja R$50 por saco e que o jardim precise de dois sacos se o solo estiver bom. A quantidade de fertilizante é 25% maior se o solo estiver razoável e 60% maior se o solo estiver ruim. O jardineiro estima que o rendimento anual será de R$250 se não for utilizado fertilizante e R$420 se ele for aplicado. Vale a pena utilizar o fertilizante? Vamos calcular as probabilidades de estado no equilíbrio: 0,30 0,60 0,10 [π π π ] = [π π π ] 0,10 0,60 0,30 0,05 0,40 0,55 π + π + π = 1 Resolvendo temos: π = 0,1017, π = 0,5254 e π = 0,3729 Com estas probabilidade obtemos que o custo Anual esperado do fertilizante é: = 2 50 π + 1, π + 1, π = 100 0, , ,3729 = 135,51 Aumento no valor anual do rendimento = = 170 9

10 Os resultados, mostram que, na média, o uso de fertilizante dá um rendimento líquido de ,51=34,49. Portanto, o uso de fertilizante é recomendado. Exemplo 10: Em um domingo ensolarado de primavera, o MiniGolf pode obter R$2.000 de receita bruta. Se o dia estiver nublado, a receita cai 20%. Um dia chuvoso reduz a receita em 80%. Se o dia de hoje estiver ensolarado, há 80% de chance que amanhã o tempo também vai estar ensolarado, sem nenhuma chance de chuva. Se o dia estiver nublado, há 20% de chance de chover amanhã e 30% de chance de fazer sol. A chuva continuará no dia seguinte com uma probabilidade de 0,8, mas há 10% de chance de fazer sol. a) Determine a receita diária esperada para o MiniGolf. b) Determine o número médio de dias em que o tempo não estará ensolarado. a) Dados de entrada da cadeia de Markov P= S C R S 0,80 0,20 0 C 0,30 0,50 0,20 R 0,10 0,10 0,80 Probabilidade de estado no equilibro: 0,80 0,20 0 [π π π ] = [π π π ] 0,30 0,50 0,20 0,10 0,10 0,80 π + π + π = 1 Resolvendo temos: π = 0,50, π = 0,25 e π = 0,25 Receita esperada = , , ,25 = b) Calcula-se o tempo médio de retorno: μ = 1 π = 1 0,5 = 2 Assim, dias ensolarados retornarão a cada 2 dias, o que significa 2 dias seguidos sem sol. 10

11 Exemplo 11: Joe adora jantar em restaurantes de comida típica. Seus pratos favoritos são os mexicanos, italianos, chineses e tailandeses. Na média ele paga R$10 por uma refeição mexicana, R$15 por uma refeição italiana, R$9 por uma refeição chinesa e R$11 por uma refeição tailandesa. Os hábitos alimentares de Joe são previsíveis: há 70% de chance de a refeição de hoje ser uma repetição da de ontem e probabilidades iguais de trocar para uma das três restantes. a) Quanto Joe pagará em média por seu jantar diário? b) Com que freqüência Joe come um prato mexicano? O problema pode ser descrito através de 4 possíveis estados: E1: Jantar comida mexicana E2: Jantar comida italiana E3: Jantar comida chinesa E4: Jantar comida tailandesa Sendo a matriz de transição: P= E1 E2 E3 E4 E1 0,7 0,1 0,1 0,1 E2 0,1 0,7 0,1 0,1 E3 0,1 0,1 0,7 0,1 E4 0,1 0,1 0,1 0,7 a) Vamos calcular as probabilidades de estado no equilíbrio. 0,7 0,1 0,1 0,1 [π π π π ] = [π π π π 0,1 0,7 0,1 0,1 ] 0,1 0,1 0,7 0,1 0,1 0,1 0,1 0,7 π + π + π + π = 1 Resolvendo temos: π = 0,25, π = 0,25, π = 0,25 e π = 0,25 Portanto Joe pagará em média seu jantar diário igual a: C = 10 π + 15 π + 9 π + 11 π = 11,25 b) Calcula-se o tempo médio de retorno: 11

12 μ = 1 π = 1 0,25 = 4 Assim, Joe voltará a comer um prato mexicano a cada 4 dias aproximadamente. Exemplo 12: Alguns ex-detentos passam o resto de suas vidas em um de quatro estados: em liberdade, em julgamento, na prisão ou em liberdade condicional. As estatísticas mostram que, no início de cada ano, há 50% de chance de um ex-detento em liberdade cometer um novo crime e ir a julgamento. O juiz pode mandá-lo para a prisão com probabilidade 0,6 ou lhe conceder liberdade condicional com probabilidade 0,4. Uma vez na prisão, 10% dos ex-detentos serão postos em liberdade por bom comportamento. Dos que estão em liberdade condicional, 10% cometem novos crimes e são levados a novos julgamentos, 50% voltarão para a prisão para cumprir o resto de suas sentenças por violação das condições da liberdade condicional e 10% serão postos em liberdade por falta de provas. Os contribuintes de imposto de renda financiam os custos associados à punição de ex-condenados. Estima-se que um julgamento custará aproximadamente R$5.000, uma sentença de prisão R$ e um período de liberdade condicional R$ a) Determine o custo esperado por ex-detento? b) Qual é o tempo de um ex-detento voltar para a prisão? c) Qual é o tempo de um ex-detento voltar para julgamento? O problema pode ser descrito através de 4 possíveis estados: E1: Em liberdade E2: Em julgamento E3: Na prisão E4: Em liberdade condicional Sendo a matriz de transição: P= E1 E2 E3 E4 E1 0,5 0,5 0 0 E ,6 0,4 E3 0,1 0 0,9 0 E4 0,1 0,1 0,5 0,3 a) Vamos calcular as probabilidades de estado no equilíbrio. 12

13 0,5 0,5 0 0 [π π π π ] = [π π π π ] 0 0 0,6 0,4 0,1 0 0,9 0 0,1 0,1 0,5 0,3 π + π + π + π = 1 Resolvendo temos: π = 0,15, π = 0,08, π = 0,72 e π = 0,05 Portanto os custos associados é: Custo = 5000 π π π = ,00 b) Calcula-se o tempo médio de retorno: μ = 1 π = 1 0,72 = 1,39 Assim, o ex-detento voltará para a prisão em 1,39 períodos. c) Calcula-se o tempo médio de retorno: μ = 1 π = 1 0,08 = 12,5 Assim, o ex-detento voltará para julgamento em 12,5 períodos. Exemplo 13: Há três categorias de contribuintes do Imposto de Renda nos Estados Unidos: os que nunca sonegam impostos, os que sonegam às vezes e os que sempre sonegam. Um exame de auditorias de declarações de Imposto de Renda de um ano para o ano seguinte mostra que 95% dos que não sonegaram impostos no ano anterior continuam na mesma categoria no ano corrente, 4% passam para a categoria às vezes e o restante passa para a categoria sempre. No caso dos que sonegam às vezes, 6% passam para nunca, 90% continuam na mesma categoria e 4% passam para sempre. Quanto aos que sempre sonegam, as porcentagens respectivas são 0%, 10% e 90%. a) Expresse o problema como uma cadeia de Markov. b) No longo prazo, quais seriam as porcentagens de sonegadores nas categorias nunca, às vezes e sempre? c) Estatísticas mostram que o contribuinte da categoria às vezes sonega impostos de aproximadamente $5.000 por declaração, e os da categoria sempre, de aproximadamente $ Considerando uma taxa de imposto sobre a renda de 12% e uma população de contribuintes de 70 milhões, determine a redução anual no recolhimento de impostos devido à sonegação. 13

14 a) O problema pode ser descrito através de 3 possíveis estados: E1: nunca E2: às vezes E3: sempre Sendo a matriz de transição: P= E1 E2 E3 E1 0,95 0,04 0,01 E2 0,06 0,9 0,04 E3 0 0,1 0,9 b) Vamos calcular as probabilidade de estado no equilibro: 0,95 0,04 0,01 [π π π ] = [π π π ] 0,06 0,90 0,04 0 0,10 0,90 π + π + π = 1 Resolvendo temos: π = 0,44, π = 0,37 e π = 0,19 Assim no longo prazo, as porcentagens de sonegadores nas categorias nunca, às vezes e sempre serão de 0,44, 0,37 e 0,19, respectivamente. c) Sonegação esperada de impostos/ano: = 0,12(5000 0, ,19) = ,00 Exemplo 14: Um labirinto para camundongos consiste nos caminhos mostrados na Figura:

15 A interseção 1 é a entrada do labirinto e a interseção 5 é a saída. Em qualquer interseção, o camundongo tem probabilidades iguais de selecionar qualquer um dos caminhos disponíveis. Quando chegar na interseção 5, o camundongo poderá voltar a circular no labirinto. a) Determine o labirinto como uma cadeia de Markov. b) Determine a probabilidade de o camundongo chegar à saída após três tentativas se começar na interseção 1. c) Determine a probabilidade de longo prazo de o camundongo localizar a interseção de saída. d) Determine o número médio de tentativas necessárias para chegar ao ponto de saída partindo da interseção 1. a) O problema pode ser descrito através de 5 possíveis estados: E1: encontra-se na interseção 1 E2: encontra-se na interseção 2 E3: encontra-se na interseção 3 E4: encontra-se na interseção 4 E5: encontra-se na interseção 5 Sendo a matriz de transição: P= E1 E2 E3 E4 E5 E1 0 0,3333 0,3333 0, E2 0, , ,3333 E3 0,3333 0, ,3333 E4 0, ,5 E5 0 0,3333 0,3333 0, b) Sabe-se que a probabilidade inicial é: a () = ( ) a () = a () P = (0 0,3333 0,3333 0, ) a () = a () P = (0, , , , ) a () = a () P = (0, , , , , ) Portanto, a probabilidade do camundongo chegar à saída é de 0, c) Vamos calcular as probabilidade de estado no equilibro usando: Resolvendo temos: π = 0, π = πp e π = 1 15

16 d) Devemos calcular o μ usando a seguinte equação descrito no slide 28: ij 1 I N 1, j i j Como resultado teremos μ = 4,6666, o que significa que o número de tentativa necessárias a partir do ponto 1 é igual a 4,6666. Exemplo 15: Cliente tendem a demonstrar fidelidade a marcas de produtos, mas podem ser persuadidos a trocar de marcas por meio de marketing e propaganda inteligentes. Considere o caso de três marcas: A, B e C. A fidelidade inabalável do cliente a uma dada marca é estimada em 75%, o que dá aos concorrentes uma margem de apenas 25% para conseguir uma troca. Os concorrentes lançam suas campanhas publicitárias uma vez por ano. Para os cliente da marca A, as probabilidades de trocar para as marcas B e C são 0,1 e 0,15; respectivamente. Clientes da marca B têm probabilidades 0,2 e 0,05, respectivamente, de trocar para A e C. Clientes da marca C podem trocar para as marcas A e B com probabilidades iguais. a) Expresse a situação como uma cadeia de Markov. b) Qual será a participação de cada marca no longo prazo? c) Quanto tempo levará em média para um cliente da marca A trocar para a marca B? e para a marca C? a) O problema pode ser descrito através de 3 possíveis estados: E1: Marca A E2: Marca B E3: Marca C Sendo a matriz de transição: P= E1 E2 E3 E1 0,75 0,1 0,15 E2 0,2 0,75 0,05 E3 0,125 0,125 0,75 b) Vamos calcular as probabilidade de estado no equilibro: 0,75 0,10 0,15 [π π π ] = [π π π ] 0,20 0,75 0,05 0,125 0,125 0,75 16

17 π + π + π = 1 Resolvendo temos: π = 0,394737, π = 0, e π = 0, c) Devemos calcular o μ e μ usando a seguinte equação descrito no slide 28: ij 1 I N 1, j i j Como resultado teremos μ = 9,14286 anos e μ = 8,23529 anos. Exemplo 16: Estudantes do PURO ficaram insatisfeitos com a rapidez com que se deu a disciplina de Cálculo I. Para enfrentar esse problema, agora o departamento de matemática está oferecendo Cálculo I em 4 módulos. Os estudantes estabelecerão seu ritmo individual para cada módulo e, quando estiverem prontos, farão testes que os levará para o próximo módulo. Os testes são aplicados uma vez a cada 4 semanas, de modo que um estudante aplicado pode concluir os 4 módulos em um semestre. Após dois anos de aplicação desse programa autocontrolado observouse que 20% dos estudantes não concluem o primeiro módulo a tempo. As porcentagens para os módulos 2 a 4 são 22%, 25% e 30%, respectivamente. a) Expresse o problema como uma cadeia de Markov. b) Na média, um estudante que começa com o módulo I no início do semestre corrente poderia fazer Calculo II no semestre seguinte (Cálculo I é um prérequisito para Cálculo II? c) Um estudante que concluísse somente um módulo no semestre anterior conseguiria terminar Cálculo I ao final do semestre corrente? d) Você recomendaria que a utilização da idéia do módulo fosse estendida a outras matérias básicas de matemática? Porque? a) O problema pode ser descrito através de 5 possíveis estados: E1: Modulo I E2: Modulo II E3: Modulo III E4: Modulo IV E5: Finalizado Sendo a matriz de transição: 17

18 P= E1 E2 E3 E4 E5 E1 0,2 0, E2 0 0,22 0, E ,25 0,75 0 E ,3 0,7 E b) Devemos calcular o μ que é o número médio de transições do estado 1 para o estado 5, usando a seguinte equação descrito no slide 28: ij 1 I N 1, j i j Como resultado teremos μ = 5,29. Analisando, podemos dizer que para poder cursar Calculo II, o estudante deve terminar em 16 semanas (4 transições) ou menos. Porém, o número médio de transições necessárias é 5,29. Em consequência, um estudante médio não conseguirá terminar Calculo I a tempo. c) Não, pela resposta anterior. d) Não. 18