UM SISTEMA DE OTIMIZAÇÃO APLICADO AO DESDOBRO DE MADEIRA

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1 UM SISTEMA DE OTIMIZAÇÃO APLICADO AO DESDOBRO DE MADEIRA Rosilei de Souza Nova PPGMNE/UFPR Centro Politécnico - Curitiba, PR ms_rsnova@hotmail.com Arinei Carlos Lindbec da Silva PPGMNE/UFPR Curitiba, PR lindbec@mat.ufpr.br RESUMO Foi desenvolvido neste trabalho um sistema para análise e otimização do setor de serrados de toras, levando-se em consideração a demanda de produtos com seus preços e a diversidade do estoque disponível na empresa. O sistema possui dois módulos principais: o módulo gerador de padrões de corte, que emprega Programação Dinâmica em uma rotina de busca exaustiva e o módulo de adequação dos padrões de cortes ótimo sueitos às restrições de estoque, que usa Programação Linear, minimizando o custo da matéria prima. As restrições consideram a demanda e a quantidade de toras de cada faixa de diâmetro em estoque. Na resolução do problema foi utilizada a técnica da geração de colunas. PALAVRAS CHAVE: Programação Matemática. Padrões de corte. Programação Dinâmica. ABSTRACT We developed in this wor a system for analysis and optimization in the logs sawing sector, taing into account the demand of products with its prices and the diversity of stoc available in the company. The system has two principal modules: The module generator of cutting patterns which uses Dynamic Programming in a exhaustive searching routine, and the module for adapting the optimal cutting patterns subect to inventory restrictions, which uses Linear Programming, minimizing row material costs. The restrictions tae into account the demand and the number of logs for each diameter interval existing in stoc. For solving the optimization problem it was uses the column generation technical. KEYWORDS: Mathematical Programming. Cutting Patterns. Dynamic Programming. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 3030

2 1. Introdução As indústrias madeireiras possuem como um dos seus principais obetivos, a aquisição de um melhor rendimento na sua matéria prima, levando em consideração o maior aproveitamento para um menor preço. Visando uma melhor rentabilidade a indústria madeireira preocupa-se com uma série de tomadas de decisões que envolvem desde as operações silviculturais, colheita e transporte, armazenamento correto das toras, adequação de estoque, escolha de equipamentos e produtos a serem serrados, e um bom planeamento nas técnicas de desdobro. Logo nestas condições, o gerenciador de uma serraria necessita constantemente associar seu estoque de matéria prima ao alvo de produção exigida pelo mercado. Tomar decisões com base numa enorme quantidade de informação, e a definição destes patamares fica estritamente sueita ao bom senso e experiência do profissional. No momento de tomar a decisão, o administrador do setor de serrados se defronta com inúmeras opções que o levam em geral, a escolher alternativas questionáveis do ponto de vista técnico e econômico. A avaliação precedente do sortimento de classes diamétrica no estoque permite, em determinadas circunstâncias, planear os tipos de produtos a serem cortados de maneira a otimizar o valor econômico da tora observando a restrição do estoque existente. Existem alguns aplicativos computacionais no mercado que visam facilitar e agilizar tais decisões. Estes sistemas otimizam o planeamento de desdobro, mas não consideram as restrições de quantidades diamétricas existentes do estoque contido na indústria madeireira otimização da demanda em função do estoque de matéria-prima existente. Dentre estes sistemas podem ser mencionados o aplicativo computacional para a otimização de desdobro SawCAM, (Calculator software, a cutting pattern simulator), desenvolvido na Austrália a partir do trabalho de Pty Ltd., e o software MAXITORA, desenvolvido pela empresa OPTIMBER (Otimização e Informática Ltda), com finalidade de otimizar o desdobro no setor de serrados 2. Obetivos O principal obetivo deste trabalho foi colaborar com a melhoria do aproveitamento da matéria prima em serrarias de pinus, através de ferramentas da Pesquisa Operacional. Tendo como obetivos específicos: estabelecer planos de corte em função de classes diamétricas e produtos; Avaliar os diagramas obtidos em situação real em uma serraria. 3. Revisão. A Pesquisa Operacional é um campo multidisciplinar de conhecimento científico. O conceito de otimização envolve a colocação estratégica de quantidades limitadas de recursos entre atividades competitivas, de forma a que a solução produzida sea a melhor possível. Este processo surge com freqüência em estruturas organizacionais que envolvam alguma complexidade de gestão. Em termos práticos, os modelos de otimização permitem a tomada decisões, tanto no planeamento quanto na operação, que em algum sentido mensurável são ótimas. Um sistema de desdobro programado constituí-se em utilizar um sistema de corte previamente estudado obetivando a máxima utilização da tora (LEITE, 1994). Pode-se definir um problema de otimização como um problema que envolve a escolha de valores para um conunto de variáveis inter-relacionadas, com o intuito de alcançar um determinado obetivo (MINOUX, 1986). XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 3031

3 Segundo Arce (2000), os trabalhos referentes à utilização de técnicas matemáticas na otimização de problemas de corte são numerosos e bem variados no que se refere ao material, tipo de corte e ferramentas matemáticas utilizadas. Uma árvore, logo após ser derrubada, deve ser desgalhada e traçada, ou sea, cortada em porções menores, as quais recebem o nome de toras. As dimensões (comprimento mínimo na ponta fina, diâmetro médio do lote e eventualmente diâmetro na ponta grossa) e a qualidade destas toras são usualmente definidas pelo cliente. Não é raro observar nos plantios comerciais de pinus no Sul do Brasil, a retirada de toras de vários diâmetros, a partir de toda a área florestal de uma determinada empresa. Tem-se aqui a situação de um problema combinatório de corte Arce (2000). Os chamados problemas de corte e empacotamento que são encontrados em Pesquisa Operacional são muito utilizados no setor madeireiro. O problema de corte consiste, basicamente, na determinação de padrões de corte de unidades de material de maneira a produzir um conunto de unidades menores, satisfazendo determinadas restrições. Dependendo do tipo de material (barra, placas, caixas, outros), têm-se os chamados problemas unidimensional, bidimensional, tridimensional e outros. Cortes e empacotamentos de materiais constituem componentes importantes na formação do custo final dos produtos, e claramente, qualquer redução de custos é sempre bemvinda neste cenário econômico competitivo atual. Marques e Arenales (2002) comentam que cortar obetos grandes (por exemplo, bobinas, placas, paralelepípedos) para a produção de itens menores em quantidades bem definidas, ou empacotar itens pequenos dentro de espaços bem definidos são problemas idênticos, considerando que um item cortado de certa posição pode ser visto como ocupando aquela posição (daí a referência na literatura a Problemas de Corte e Empacotamento). O número de combinações possíveis dos itens dentro de um obeto (cada combinação possível é chamada padrão de corte), em geral é muito grande e a tentativa de enumerá-las completamente é inviável do ponto de vista prático. Uma função obetivo pode ser definida, por exemplo, como vínculos de perdas no caso do problema de corte, ou de vazios no caso de empacotamento, de custos, ou ainda do número de obetos usados, etc. Um problema de corte e empacotamento consiste em determinar um padrão de corte que minimize a função obetivo. Dentro desta categoria de problemas estão vários clássicos da literatura de pesquisa operacional, tais como os problemas da mochila, bin-pacing, dentre outros, que são, em geral, NPcompletos (GAREY e JOHNSON, 1979). Segundo Dowsland e Dowsland (1992), o problema de geração de padrões de corte (ou problema de corte de estoque) consiste em cortar obetos em estoque de tamanhos e quantidades conhecidos, para atender uma demanda de itens de tamanhos e quantidades especificados pelos clientes. Ainda o corte deve ser feito de forma a otimizar algum critério, por exemplo, a minimização do custo ou da perda do material cortado. Os obetos são cortados de acordo com padrões de corte que definem maneiras diferentes de arranar itens dentro de obetos. Os problemas de corte e empacotamento, em geral, pertencem à classe de problemas NP-difíceis, devido à diversidade de casos em que os problemas podem aparecer na prática, e à complexidade dos algoritmos exatos, a maioria dos trabalhos encontrados na literatura apresenta abordagens heurísticas, (BELLUZZO e MORABITO, 2005). De acordo com Leite (1994), a decisão de um operador ao desdobrar um tronco dificilmente obterá um nível ótimo de rendimento em madeira serrada, isso porque ele raramente conseguirá obter a melhor visualização de todas as alternativas no pouco tempo que terá para tomada da decisão. Recentes avanços no desenvolvimento de pacotes comerciais de otimização (ILOG, 2001) permitem o tratamento de problemas combinatórios de grande porte. Tais ferramentas permitem que problemas inerentemente complexos possam ser resolvidos em tempo computacional aceitável, através da utilização de técnicas combinadas como, por exemplo, o Método de Geração de Colunas aplicado a problemas de Programação Inteira. Baseado no trabalho de Dantzig e Wolfe (1960), a XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 3032

4 primeira aplicação prática desta técnica foi na determinação de padrões de corte unidimensionais (Gilmore e Gomory, 1961, 1963) e, desde então, seu uso difundiu-se de forma intensa. A técnica de geração de colunas pode ser aplicada a problemas lineares de grandes dimensões, no caso de não se dispor de todas as colunas a priori, ou quando se pretende resolver um problema utilizando a decomposição de Dantzig- Wolfe, onde as colunas correspondem aos pontos extremos do conunto convexo de soluções factíveis do problema. Neste caso, o algoritmo para resolução alterna entre um subproblema e um problema mestre restrito. A partir de um conunto inicial de colunas resolve-se um problema mestre obtendo-se as variáveis duais que serão utilizadas no subproblema gerador para determinar novas colunas a serem adicionadas ao problema mestre, (PEREIRAS, 2004). Sabe-se que a aplicação direta do método de geração de colunas, freqüentemente produz um número muito grande de colunas que não são relevantes para a solução final, comprometendo desta forma a convergência para a solução do problema. Nestes casos, observa-se que as variáveis duais oscilam em torno da solução dual ótima, sendo necessária a implementação de métodos de estabilização que previnam tal comportamento e que possibilitam a aceleração da resolução do problema (NEAME, 1999). Olandosi et. al. (1998), trabalhou com toras com diâmetros entre 18 a 32,9 cm, e obtive perdas da ordem de 50% na forma de resíduos, sendo que 25% destes foram originados do refilo. Raffensperger (2005) cita que Gilmore e Gomory em 1961 desenvolveram um algoritmo da geração de coluna, para um subproblema da mochila. Entretanto, esse algoritmo necessitava de muitas iterações, e a solução inteira nem sempre era a solução ótima. Dychoff em 1981 observou que o subproblema da mochila poderia ser modelado como um programa linear do traeto mínimo, e reformulou o problema original. Percebeu que após a reformulação o problema poderia ser resolvido diretamente com programação linear sem geração da coluna com solução inteira otimizada. Mas a reformulação de Dychoff, mais tarde foi considerada um modelo muito extenso e de difícil resolução. 4. O Problema Uma serraria típica recebe toras de variados diâmetros e comprimentos, possui uma carteira de pedidos de vários tamanhos (largura, espessura e comprimento), e quantidades a serem produzidas. Além disto, a serraria tem um procedimento padrão de desdobro condizente com seu equipamento. Destacamos aqui 4 tipos principais encontráveis na maioria das serrarias brasileiras: a) Bloco. E retirado em primeiro lugar um bloco central (figura 1), o qual é tombado e desdobrado no outro sentido (figura 2). XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 3033

5 Figura 1: Bloco Figura 2: Bloco b) Semi-Bloco. (figura 3) Figura 3: Semi-Bloco c) Costaneira. Peças menores são deixadas de lado no corte principal e usadas para possível aproveitamento nas costaneiras, tanto laterais, quanto a superior e a inferior (figura 4). Figura 4: Costaneiras XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 3034

6 Há a possibilidade do aproveitamento da parte da costaneira entre os dois diâmetros (ponta fina e ponta grossa, figura 5), mas isto não será levado em conta neste trabalho. Vamos supor também neste trabalho que todas as toras e peças a serem retiradas são do mesmo comprimento. Figura 5: Tora com aproveitamento lateral Dada uma certa quantidade de toras disponíveis de cada classe diamétrica, com seus preços de compra, e dada uma carteira de pedidos com seus tamanhos e quantidades, o problema que se coloca é: Como combinar os diversos tamanhos do pedido em cada classe diamétrica e em quais quantidades de toras para satisfazer a demanda pelo mínimo custo total? 5. O Algoritmo Maxitora Este Algoritmo foi construído para resolver o seguinte problema: Dado o diâmetro D e raio R na ponta fina de uma tora e n peças com dimensões w i li, e preços p i, determinar o padrão de corte que maximiza o valor total. O Algoritmo baseia-se em Programação Dinâmica. Consideremos uma variável x que percorre o intervalo [-R, R] de mm em mm, (ver figura 6). Sea F x o ganho máximo possível da calota que possui corda de -R até x. Figura 6: Valores para Programação Dinâmica O cálculo de F é feito por meio da equação recursiva x F = max{ F, F + V ( x, w )} (1) x x 1 x w XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 3035

7 Onde: V x, w ) é o ganho máximo que pode ser obtido com uma peça de dimensões ( w 2 ( x w )( D ( x w )) A largura em foi desenvolvida a partir da equação da circunferência x + y = R. Neste caso, faz-se x = R x w ). O valor V x, w ) é calculado separadamente em um problema de ( ( otimização unidimensional. Neste cálculo entram todas as peças que tem espessura wi w. Este problema unidimensional é o problema da mochila. w i satisfazendo 6. O Algoritmo para atendimento das demandas O algoritmo utiliza o processo de geração de colunas em Programação Linear (Gomory e Gilmore, 1961), onde cada coluna representa um padrão de corte. Em cada iteração do Simplex Revisado são gerados os preços duais das peças da demanda e é chamada uma sub-rotina que resolve o problema da mochila. Neste caso calcula-se o aproveitamento de cada tipo de tora com o Algoritmo Maxitora. 7. O Modelo de Programação Linear Vamos supor que há em estoque K diferentes tipos de toras de mesmo comprimento, classificadas pelos seus diâmetros d 1, d2,..., d, com custos c 1, c2,..., c e quantidades em estoque e 1, e2,..., e. Vamos supor também que há um pedido de N diferentes peças com medidas, w i li com i = 1... n, com demandas q 1, q2,..., qn. onde Vamos representar por * a o padrão de corte da tora de diâmetro * * * 1 n d, a = ( a,..., a ) (2) * a i é o número de peças tipo i que serão produzidas segundo no padrão da tora tipo. x Sea a quantidade de toras tipo que serão cortadas segundo o padrão. assim podemos escrever o Problema de Cutting Stoc min F = K NP = 1 = 1 c x K NP ai x = qi, i = 1,..., n = 1 = 1 s. a. x E, = 1,..., K x 0 Onde NP é o número de padrões do tipo (3) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 3036

8 No processo de geração de colunas os padrões de corte a não são gerados a priori, e sim calculados pelos valores duais, os quais são usados no algoritmo que calcula o plano de corte ótimo para aqueles custos. Para facilitar a construção de uma solução inicial, supõe-se que exista um estoque de uma quantidade de toras do tipo K (de maior diâmetro) suficiente para atender toda a demanda. 8. Descrição do Algoritmo Construção da solução inicial: para cada item i do pedido obter um padrão de corte resolvendo o maxitora apenas para a medida w l. i Sea r i a quantidade de exemplares do tipo i obtidos no plano construída utilizando-se os planos i a i. A base inicial pode ser a i como sub-colunas e as variáveis de folga do estoque. (4) Onde A é a coluna do plano a i. Se r i = 0 para algum i, o problema é inviável pois a peça i não cabe na tora de maior diâmetro. 1 n A sub-matriz [ A... A ] é diagonal. B é Inverssível e forma uma base para o simplex revisado. A Inversa de B é (5) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 3037

9 Dados utilizados para testar o sistema de análise, simulação e otimização do planeamento do desdobro no setor de serrados. 9. Resultados O Sistema de Análise, Simulação e Otimização no Setor Serrado foi testado com dados reais de estoque e demandas obtidos em uma empresa do ramo. Os dados de estoque correspondem a um volume de 275,85 m3 de matéria-prima, sendo este volume classificado por diâmetro, em seis classes diamétricas, num total de 950 toras, destinadas ao atendimento de duas demandas existentes no período observado. As simulações foram realizadas na ocasião de vazão das demandas reais. Na Tabela, cada classe de tora é coordenada de acordo com seu diâmetro d, medido em metros a partir da ponta fina, com seguintes especificações: Tabela 1: Disponibilidade de estoque D1 D2 D3 D4 D5 D6 Diâmetro cm Estoque Custo (R$) 12,70 14,50 16,40 18,40 20,40 22,50 Tabela 2: Demanda de produtos Numero da peça Peças (w i x l i ) (em cm) Quantidade 1 2,5 x 12, ,5 x 7, x x Os padrões de corte indicam a quantidade fornecida por cada tipo de corte de cada peça, assim a resposta (15,0,4,0) indica que serão obtidas com este corte 15 peças do tipo 1 e 4 peças do tipo 3. Toras de diâmetro 36 cm - os padrões de corte 1_ ( ) quantidade 42,72065 Toras de diâmetro 38 cm - os padrões de corte 2_ ( ) quantidade 142,6794 Toras de diâmetro 38 cm - os padrões de corte 3_ ( ) quantidade 0, Toras de diâmetro 40 cm - os padrões de corte 4_ ( ) quantidade 35,98091 Corte Quantidade de Toras do método Quantidade de toras como variáveis inteiras Tabela 3: Resultados Totais Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo , *43= *43= , *144=288 7*144=1008 1*144=144 3*144= , *1=6 4*1=4 9*1= , *36= *36=684 2*36=72 Total XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 3038

10 Ao considerar a otimização com variáveis contínuas, o resultado obtido seria exatamente o estabelecido pela demanda, no entanto, como as quantidades não podem ser fracionárias arredondando-se sempre para cima as quantidades tendo-se assim um sobre de estoque que pode funcionar como margem de segurança. Nas figuras 7, 8, 9 e 10 a representação dos padrões obtidos no software. Figura 7: Corte_1 diâmetro da tora=36 cm Figura 8: Corte_2 - diâmetro da tora=38 cm Figura 9: Corte_3 - diâmetro da tora=38 cm Figura 10: Corte_4 diâmetro da tora=40 cm 10. Conclusões O exercer fielmente a finalidade a que foi proposto, otimizando os cortes atendendo as restrições de disponibilidade de estoque, aponta que a manipulação das variáveis relacionadas com os recursos restritivos e a utilização da programação linear untamente com as técnicas de pesquisa operacional permite identificar um melhor resultado. E a partir desse resultado, é possível a prática de simulações de cenários que serão considerados com o obetivo de definir o planeamento de ação da organização para se obter um melhor rendimento no setor madeireiro. Tendo em vista que a totalidade de padrões de corte não precisa ser conhecida pelo uso dessas técnicas, o que viabiliza a utilização de problema de maior porte. O arredondamento dos resultados finais não preudica a finalidade de otimização, pois, se fossem utilizadas variáveis inteiras no problema de atendimento de demanda a quantidade de XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 3039

11 padrões de corte poderia ser muito grande, o que inviabilizaria sua utilização na produção.o modelo serve às necessidades das serrarias por considerar diferentes layouts de serras e modelos de corte. Se bem utilizado pode representar uma capitalização significativa em termos econômicos, bem como uma menor agressão ao meio ambiente, devido à utilização racional dos recursos. Considerando que as técnicas formais atribuídas de conhecimentos gerais a cada geração utilizadas no desdobro têm um papel relevante como sistema de informação para administração dos recursos escassos à disposição da empresa. É necessário que se faça uso de ferramentas que possam contribuir para a redução dos custos e aumentar a competitividade da organização no mundo globalizado de hoe. 11. Referências Arce, J. E. [2000]. Um sistema de análise, simulação e otimização do sortimento florestal em função da demanda por multiprodutos e dos custos de transporte. 129 f. Tese (Doutorado em Ciências Florestais) Universidade Federal do Paraná, Curitiba. Belluzzo, L. & Morabito, R., [2005]. Otimização nos padrões de corte de chapas de fibra de madeira reconstituída: um estudo de caso. Pesquisa Operacional, 25(3), Dantzig, G.B. and Wolfe, P., [1960]. Decomposition principle for linear programs. Operations Research. Dowsland, K.A. & Dowsland, W.B., [1992]. Pacing Problems. European Journal of Operational Research. Dychoff, H., [1981]. A typology of cutting and pacing problems. European Journal of Operational Research. Leite, H.G., [1994]. Conversão de troncos em multiprodutos da madeira, utilizando programação dinâmica. Imprensa Universitária, UFV, Viçosa, MG, 230p. Tese (Doutorado em Ciência Florestal). Universidade Federal de Viçosa. Olandosi, D.P.; Brand,M. A.; Rocha, M.P, [1998]. Avaliação do rendimento em madeira serrada, qualidade e quantidade de resíduos no desdobro de Pinus spp. Rev. Set. Ciênc. Agr., v. 17, n Garey, M.R. & Johnson, D.S., [1979]. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. W.H. Freeman and Co., San Francisco. Gilmore, P. e Gomory, R., [1961]. A Linear Programming Approach to the Cutting Stoc Problem, Operations Research, (9), Gilmore, P.C. & Gomory, R.E., [1963]. A linear programming approach to the cutting stoc problem Part II. Operations Research, 11, ILOG CPLEX 7.1 User s Guide. Mar Marques, F.P. e Arenales, M.N., [2002]. O problema da Mochila compartimentada e aplicações. Pesquisa Operacional vol.22 no.3. Rio de Janeiro. Minoux, M., [1986]. Mathematical programming Theory and algorithms. Wiley, Chichester. Neame, P.J., [1999]. Nonsmooth dual methods in integer programming. Tese de Doutorado. University of Melbourne, Melbourne, 172p. Pereira, M.A., [1993]. Uma Abordagem Matemática para o Problema de Corte e Laminação de Fitas de Aço. Dissertação de Mestrado, UNICAMP, Campinas, São Paulo. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 3040