ESTUDO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: UMA COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA EM DOIS AMBIENTES DE APRENDIZAGEM

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1 XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática A sala de aula de Matemática e suas vertentes UESC, Ilhéus, Bahia de 03 a 06 de julho de 2019 ESTUDO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: UMA COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA EM DOIS AMBIENTES DE APRENDIZAGEM Helder Lima Silva Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC heldercedoca@gmail.com Afonso Henriques Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC henry@uesc.br Resumo: Apresentamos neste artigo um recorte de uma investigação em nível de Mestrado que foi concluído em 2017, cujo objetivo principal foi pesquisar os saberes matemáticos 1 acerca de Funções Trigonométricas e suas relações com o som 2 que favorecem a contextualização, a representação destas funções em diferentes registros e, analisar as práticas institucionais dos alunos 3 em torno destes saberes, utilizando os ambientes papel/lápis e computacional GeoGebra, bem como o aplicativo DaTuner. Adotamos como metodologia de pesquisa a Análise Institucional & Sequência Didática, para analisarmos alguns elementos institucionais do 2º ano do Ensino Médio e as práticas institucionais dos alunos do 3º ano do Ensino Médio de uma Escola Pública do Sudoeste da Bahia. Como fundamentação, mergulhamos os nossos estudos na Abordagem Instrumental e nas Teorias: Linguística e Comunicação, na Antropológica do Didático e Registros de Representações Semióticas. Os resultados obtidos mostram que existe uma forte relação entre as Funções Trigonométricas e o som enquanto fenômeno/onda longitudinal que se propaga por um meio material. Essa relação foi comprovada, a priori utilizando um Smartphone, o computacional GeoGebra e o DaTuner como meios materiais, assim como pelos alunos do 3 ano do Ensino Médio (instituição de aplicação) utilizando o ambiente papal/lápis paralelamente com esses meios ou recursos na compreensão de algumas propriedades desse tipo de Funções. Palavras-chave: Funções Trigonométricas; GeoGebra; Papel/lápis; Sequência Didática. 1 Saberes matemáticos no 2º ano do Ensino Médio, sendo este a instituição de referência desta pesquisa. 2 Som enquanto fenômeno natural. 3 Alunos do 3º ano do Ensino Médio, sendo este a instituição de aplicação dessa pesquisa In: Anais do XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática. pp.xxx. Ilhéus, Bahia. XVIII EBEM. ISBN:

2 INTRODUÇÃO As Funções Trigonométricas são objetos reconhecidos nas Instituições de Educação Básica (IEB), a partir do 2º ano do Ensino Médio por meio do currículo, fazendo assim parte da vida estudantil dos alunos, não apenas nos estudos matemáticos, nesse nível escolar, como também em outros domínios das ciências, tais como a Física, a Química, a Biologia e as Engenharias nas Instituições de Ensino Superior (IES). Vários problemas que colaboram com a evolução da ciência e da tecnologia encontram soluções na Matemática utilizando conceitos de Funções Trigonométricas, contribuindo direta ou indiretamente no convívio social das pessoas. A comunicação ou transmissão de sinais produzidos pelo batimento do coração, o acompanhamento do choro de um bebê, os sistemas de discagem DTMF 4 de telefones, o batimento na afinação de um piano, são exemplos dinâmicos de problemas sociais carregados de conceitos de Funções Trigonométricas enquanto componente curricular, favorecendo, por conseguinte, a contextualização. Acreditamos na existência de diversas possibilidades de representação, visualização e manipulação direta, em tempo real ou por animações dinâmicas produzidas nos computadores que são associadas aos conhecimentos trigonométricos no processo ensino-, podendo auxiliar os alunos na compreensão do tipo de soluções acima mencionadas, mas que nem sempre são desenvolvidas no processo ensino-, em particular nas IEB. Essa problemática é notável, nos documentos oficiais como os Projetos Políticos Pedagógicos (PPP), nos parâmetros de avaliação de competências dos alunos, em especial no Estado da Bahia. Por outro lado, os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM), enquanto elementos institucionais revelam que: A proposta de Matemática dos PCNEM é que cada escola e grupo de professores proponham um trabalho pedagógico que permita o desenvolvimento das competências almejadas. Fazem parte desta elaboração diversos fatores mais diretamente ligados ao planejamento, entre eles a escolha dos temas relativos ao conteúdo específico da disciplina, a análise dos recursos de ensino e dos métodos de abordagem desse conhecimento, o cuidado com os tempos de ensino e de e dos espaços para que isso ocorra. (BRASIL, 2002, p.119) As Instituições escolares têm, portanto, a autonomia de desenvolverem os seus próprios projetos, com base nos PCNEM. Estes últimos, ao se referirem sobre o estudo da Trigonometria, imerso no tema Álgebra: números e funções, sublinham ainda que o aluno do Ensino Médio deve: Utilizar e interpretar modelos para resolução de situações-problema que envolva 4 DTMF é a sigla em inglês Dual-ToneMulti-Frequency, de tons de duas frequências utilizados na discagem dos telefones mais modernos.

3 medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. Compreender o conhecimento científico e tecnológico como resultado de uma construção humana em um processo histórico e social, reconhecendo o uso de relações trigonométricas em diferentes épocas e contextos sociais. (BRASIL, 2002, p.123) Dentre essas exigências e competências propostas no PCNEM, a nossa prática pedagógica em sala de aula de Escolas Públicas, nos permite afirmar empiricamente sobre a existência de grandes dificuldades por parte dos alunos na de Funções Trigonométricas. Corroborando com essa afirmação, algumas dificuldades segundo Traldi e Rosembaum (2010, p. 377), estão na simplificação de notação, no uso de instrumentos, na formulação de hipóteses, no conhecimento de funções e a dificuldade na construção dos gráficos das funções trigonométricas. Acreditamos, porém que tais dificuldades dependem de vários fatores: didáticos e institucionais, das praxeologias correspondentes, da comunicação matemática colocada em prática no processo de ensino- das Funções Trigonométricas, a resolução de problemas e suas relações sociais, bem como os registros de representação que interferem nesse processo. Assim, a utilização e interpretação de modelos para a resolução de situaçõesproblema, bem como os conhecimentos científicos e tecnológicos preconizados nos PCNEM, se implementados no referido processo, podem exercer um papel preponderante na dos alunos. Mas, quais são as condições que são disponibilizadas pelas instituições do Ensino Médio para essa implementação? Essas inquietações vêm emergindo nas nossas discussões e no processo de planejamento da pesquisa, conduzindo-nos a uma profunda reflexão sobre as nossas práticas pedagógicas no Ensino da Matemática, mais especificamente sobre o processo ensino de Funções Trigonométricas numa Instituição Pública de Ensino. Para Klein e Costa (2011, p. 44), A experiência docente de mais de duas décadas tem mostrado que os alunos apresentam dificuldades em assimilar os conceitos trigonométricos, [...]. Nesse sentido, acreditamos que tais dificuldades apresentadas podem estar associadas pela mera reprodução dos conceitos e das atividades propostas nos livros didáticos adotados nas escolas a partir daqueles sugeridos pelo Ministério da Educação, sem que sejam contextualizadas e muito menos se colocar em ação as possíveis potencialidades que os instrumentos tecnológicos vêm, cada vez mais, disseminando na Educação, de modo a fortalecer e evidenciar as estreitas relações possíveis existentes entre os componentes curriculares e o cotidiano dos alunos. Por exemplo, a comunicação matemática realizada pelo emissor (o Professor ou o

4 aluno) sobre a Função Trigonométrica representada por f ( x) asen( bx c) d, em que a, b, c e d são variáveis didáticas (embora constantes) que assumem diferentes valores reais, pode ser concebida pelo receptor (aluno), como uma simples organização de signos no registro algébrico. Esses conhecimentos podem conduzir os alunos a perceberem uma relação do estudo em jogo com certos fenômenos que lhe cingem no seu dia-a-dia. Será que tais conhecimentos estão sendo trabalhados em sala de aula nesta perspectiva? Pois, o ensino de Matemática às vezes se restringe ao tratamento matemático por ela mesma. Assim, pesquisar as possíveis relações de Funções Trigonométricas com os fenômenos conhecidos pelos alunos no seu dia-a-dia, colocando em prática a comunicação matemática e as possibilidades de representação deste tipo de funções nos diferentes registros integrando instrumentos tecnológicos, é o nosso interesse nesse trabalho. Diante dessa problemática, fixamos o nosso objetivo geral, a saber: pesquisar os saberes matemáticos acerca de Funções Trigonométricas e suas relações com o som que favorecem a contextualização, a representação destas funções em diferentes registros e analisar as práticas institucionais dos alunos em torno destes saberes, utilizando os ambientes papel/lápis e computacional GeoGebra, bem como o aplicativo DaTuner. Com base nesse objetivo geral, destacamos os seguintes objetivos específicos: (i) Realizar uma análise institucional acerca do ensino de Funções Trigonométricas a partir dos documentos oficiais e do livro didático de Matemática adotado pela instituição de referência (2º ano do Ensino Médio); (ii) Identificar e analisar as potencialidades e os entraves do software GeoGebra relativamente ao estudo de Funções Trigonométricas; (iii) Investigar as técnicas de medição da frequência de um som relacionado com uma Função Trigonométrica utilizando o ambiente computacional GeoGebra e o aplicativo DaTuner visando contextualizar esse tipo de função no processo ensino-, favorecendo a aquisição de conhecimentos dos alunos da instituição de referencia; (iv) Compreender os elementos da comunicação e as suas aplicações no ensino de Matemática (Funções Trigonométricas); (v) Analisar as práticas institucionais dos alunos do 3º ano do Ensino Médio (Instituição de Aplicação) sobre a de Funções Trigonométricas e as relações destas com o som; (vi) Analisar as representações de Funções Trigonométricas nos diferentes registros mobilizados pelos alunos nas suas práticas institucionais. Assim, visando a análise institucional em torno do ensino- de Funções Trigonométricas e considerando as indagações primárias que apresentamos mais acima, bem como esses objetivos gerais e específicos, nos colocamos as seguintes questões diretrizes da nossa pesquisa: (i) Qual é a praxeologia proposta para o ensino de Funções Trigonométricas

5 na Instituição de Referência? (ii) Quais são as potencialidades do ambiente computacional GeoGebra relativas ao estudo de Funções Trigonométricas por meio do som produzido por essas funções nesse ambiente? (iii) Como captar o som mencionado em (ii) para analisar a frequência e o período da Função Trigonométrica implementada no GeoGebra? (iv) Como os elementos da Comunicação podem trazer contribuições nas práticas institucionais desses alunos do 3º ano do Ensino Médio? (v) Quais são as práticas institucionais dos alunos do 3º ano do Ensino Médio em torno de Funções Trigonométricas utilizando os ambientes papel/lápis, computacional GeoGebra e aplicativo DaTuner? Baseados nesse universo de informações, bem como na nossa problemática que culminou nos objetivos e questões de pesquisa que acabamos de apresentar, encontramos uma fundamentação nas teorias que apresentamos a seguir, constituindo desse modo o quadro teórico da nossa pesquisa. QUADRO TEÓRICO Para introduzirmos esta parte do nosso trabalho, recorremos a definição apresentada por Henriques e Serôdio (2013), quando sublinham: Entendemos por quadro teórico, como o referencial teórico de base de uma pesquisa, escolhido pelo pesquisador em função da sua problemática, constituído, pelo menos, por uma teoria capaz de fornecer ferramentas de análise aos estudos que se pretende desenvolver. (HENRIQUES; SERÔDIO, 2013, p.2) Tendo em vista a compreensão dos elementos da comunicação envolvidos na relação do aluno com os estudos matemáticos, na utilização do ambiente computacional GeoGebra como ferramenta tecnológica no estudo de Funções Trigonométricas, e considerando a dimensão institucional desse objeto de estudo, bem como as possibilidades de suas representações em diferentes registros apoiamos a nossa pesquisa no Quadro Teórico 5 constituído: pela Teoria Linguística e Comunicação elaborada por Roman Jakobson, por entendermos que os elementos da comunicação podem nos auxiliar na compreensão e estruturação de conhecimentos matemáticos; pela Abordagem Instrumental de Rabardel (1995), por entender que esta pode nos permitir compreender melhor as ferramentas ou recursos do ambiente computacional GeoGebra e utilização deste, no estudo de Funções Trigonométricas; pela Teoria Antropológica do Didático proposta por Chevallard (1992) por entendermos que todo objeto de estudo em particular as Funções Trigonométricas é institucional e, que pode ser analisado no contexto praxeológico e, pela Teoria de Registros de Representação Semiótica desenvolvida por Duval (1995), pois compreendemos que as 5 Acesse os arquivos e para uma melhor compreensão do nosso quadro teórico.

6 Funções Trigonométricas, enquanto objeto matemático de referência, pode ser analisado em vários registros de representações semióticas, buscando assim mobilizar o cognitivo de um sujeito diante dessas representações. Como metodologia, consideramos os estudos que apresentamos a seguir. METODOLOGIA A condução da nossa pesquisa trilhou pela metodologia da Análise Institucional & Sequência Didática conforme proposta por Henriques (2001), Henriques et al (2012), (2013), Henriques (2016), Henriques (2018) e, baseados na TAD e na Engenharia Didática, respectivamente. Segundo Henriques, Nagamine, Nagamine (2012) Análise Institucional é: Um estudo realizado em torno de elementos institucionais, a partir de inquietações/questões levantadas pelo pesquisador no contexto institucional correspondente, permitindo identificar as condições e exigências que determinam, nessa instituição, as relações institucionais e pessoais a objetos do saber, em particular, os objetos matemáticos, as organizações ou praxeologias desses objetos que intervém no processo ensino/. (HENRIQUES; NAGAMINE; NAGAMINE, 2012, p.1268) Baseados na Noosfera 6 debatida por Chevallard (1992), os autores explicam que uma instituição é constituída pelo menos por um dos elementos que eles apresentam na Figura1 e afirmam que Uma instituição de referência é correspondente à instituição de realização da pesquisa em questão, seja de ensino ou não. A explicitação dessa instituição pelo pesquisador deve satisfazer, pelo menos, um desses elementos. (HENRIQUES, 2012, p.1263). Figura 1 Elementos constituintes de uma instituição Fonte: HENRIQUES (2016, p.3) Assim, os elementos que analisamos atendem a essa apresentação. Relativamente a Sequência Didática (SD) nos apoiamos em Henriques (2001) que lhe apresenta, como um dos aspectos da Engenharia Didática 7, fornecendo a seguinte definição: A SD é um esquema experimental formado por situações, ou tarefas, realizadas com um determinado fim, desenvolvido por sessões de aplicação a partir de um estudo 6 A noção de Noosfera proposta por Chevallard (1991), conjectura que a Transposição Didática é a realizada em uma Instituição invisível, uma esfera pensante, composta por pesquisadores, professores, técnicos educacionais, técnicos administrativos, entre outros que contribuirão na definição e organização dos saberes a serem ensinados e como estes saberes deverão ser ensinados na sala de aula. 7 A Engenharia Didática, vista como metodologia de pesquisa, caracteriza-se por um esquema experimental baseado em realizações didáticas em sala de aula, isto é, na concepção, na realização, na observação e na análise sequencial de atividades de ensino (ARTIGUE, 1988 apud HENRIQUES, 1999).

7 preliminar [análise institucional] em torno de um objeto do saber e de uma análise matemática/didática, caracterizando os objetivos específicos de cada situação, problema ou tarefa [constituinte de uma praxeologia]. (HENRIQUES, 2001, p. 23, grifo do autor). As análises matemática/didática que o autor se refere contemplam as estratégias e resoluções possíveis, a forma de controle e os resultados esperados em cada situação, prérequisitos e competências, que são parte da análise a priori e se desenvolvem com base na praxeologia referente ao objeto de estudo, que no nosso caso, as Funções Trigonométricas. As referidas sessões são constituídas de dispositivos experimentais organizados na Pesquisa Interna, contendo as tarefas propostas ao público envolvido na Pesquisa Externa. Ambos os conceitos são definidos por Henriques (2014) como segue: A PESQUISA INTERNA é uma sondagem realizada pelo pesquisador individualmente (ou por um grupo de pesquisadores), sem intervenção de sujeitos externos. Momento no qual o pesquisador (ou o grupo) procura compreender melhor o seu objeto de estudo. Ele conjectura, problematiza, formula hipóteses, questionase, define o quadro teórico, os objetivos e descreve o percurso metodológico da sua pesquisa. A PESQUISA EXTERNA é uma sondagem que envolve sujeitos externos, como público alvo. Momento, no qual o pesquisador (ou grupo) aplica os estudos desenvolvidos na pesquisa interna. Esta aplicação, teste ou experimentação pode ou não envolver seres humanos. A aplicação de uma sequência para o estudo de práticas efetivas de estudantes de uma instituição, por exemplo, é uma pesquisa externa. (HENRIQUES, 2014, p.68, grifo do autor) Para tornar explícito os procedimentos metodológicos da Análise institucional & Sequência Didática que trilhamos, trazemos no Quadro 1 a organização proposta por Henriques (2016) no qual o autor apresenta a metodologia em oito etapas. Quadro 1 Etapas de Análise institucional & Sequência Didática Fonte: HENRIQUES (2016, p. 5)

8 Como podemos observar no Quadro 1, essa metodologia é composta por duas fases e cada uma delas contendo quatro etapas, totalizando oito etapas, sendo as seis primeiras desenvolvidas durante a Pesquisa Interna e as duas últimas na Pesquisa Externa conforme se mostra na Figura 2. Figura 2 Esquema organizacional das fases do percurso metodológico PESQUISA INTERNA Da 1ª Etapa à 6ª Etapa da Análise Institucional & Sequência Didática PESQUISA EXTERNA 7ª Etapa e 8ª Etapa da Análise Institucional & Sequência Didática Fonte: Dados da pesquisa (2017) Apoiando-nos nesse percurso metodológico, apresentamos a seguir, a descrição de cada uma das etapas em consonância com as nossas escolhas. Na 1ª Etapa, definimos, inicialmente o nosso objeto de estudo como sendo as Funções Trigonométricas, com base nas nossas reflexões e inquietações sobre as nossas efetivas práticas pedagógicas no ensino de Matemática nas IEB, onde constatamos grandes dificuldades dos alunos do Ensino Médio, relacionadas a contextualização e comunicação matemática acerca desse objeto do saber. Com base nessa problemática, destacamos os nossos objetivos gerais, específicos e questões de pesquisa, bem como o quadro teórico de base da nossa pesquisa, avançando significativamente na arquitetura do nosso projeto de Dissertação de Mestrado. Em seguida na 2ª Etapa, elegemos como instituição de referência e aplicação, uma Escola da Rede Pública de Ensino no Sudoeste da Bahia que oferece o Ensino Médio. Na 3ª etapa, escolhemos analisar os elementos institucionais que são: os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM), as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM), o Projeto Político Pedagógico (PPP), o Livro Didático (LD) e as Tecnologias (GeoGebra) tendo o 2º ano do Ensino Médio como instituição de referência, dessa instituição, e os alunos do 3º ano do Ensino Médio como instituição de aplicação. O Livro Didático (LD) é considerado como um dos elementos institucionais, tão

9 importante quanto os outros, e segundo Henriques (2013), não deve ser omitido na AI&SD, pois favorece ao pesquisador destacar a organização e as praxeologias do seu objeto matemático de referência. Para a análise desse elemento (LD), Henriques (2016) apresenta o modelo que denomina Estruturas Organizacionais do Livro Didático, designados: Global, regional e Local. Assim, a análise do LD caracteriza-se como um momento relevante, pois se aprofunda no reconhecimento do habitat 8 do objeto do saber da pesquisa, na sua organização praxeológica aplicada nas respectivas instituições de referência e/ou de aplicação. Na 4ª Etapa, realizamos a análise dos elementos institucionais que escolhemos na 3ª etapa. Assim, evidenciamos nessa etapa os documentos oficiais escolhidos que representam elementos importantíssimos para existência e institucionalização do objeto do saber Funções Trigonométricas na instituição de referência. Na análise desses documentos, descrevemos de forma clara e objetiva a organização e as praxeologias das Funções Trigonométricas, seu habitat nessa instituição com base no LD, adotado pela instituição. A 5ª etapa, apoiou-se nos estudos realizados na 4ª etapa, quando organizamos uma SD tendo um Dispositivo Experimental (DE) composto por duas tarefas e aplicado em uma única sessão, utilizando os ambientes computacional GeoGebra e papel/lápis. Para elaborar e organizar as tarefas que compõem o DE, investigamos problemas modelados com a praxeologia de Funções Trigonométricas (FT) cuja manipulação de valores de variáveis didáticas promove a visualização nos registros gráfico e algébrico de forma dinâmica. Com efeito, a visualização de elementos de FT na janela representante do registro algébrico no GeoGebra e a frequência do som correspondente por meio de um medidor de frequência previamente instalado num Smartphone por exemplo se inscreve nessa investigação. A primeira tarefa do DE foi composta por três subtarefas para o estudo de propriedades de uma função seno. A segunda tarefa contendo quatro subtarefas permitiu estabelecer uma relação entre a frequência do som e o período de Funções Trigonométricas específicas. Na 6ª etapa, discutimos e apresentamos as estratégias e as resoluções e soluções possíveis das tarefas que compõem a SD, a forma de controle, os resultados esperados, as variáveis didáticas, os pré-requisitos e as competências dos sujeitos envolvidos na pesquisa, necessárias na realização de cada tarefa proposta na SD com base na praxeologia do objeto matemático de estudo onde essas tarefas foram construídas. Nesse sentido, realizamos a análise a priori, com base nas análises realizadas nas etapas anteriores. 8 Habitat é o lugar de vida e o ambiente conceitual de um objeto do saber (CHEVALLARD, 1992).

10 Realizado as análises das tarefas que compuseram o dispositivo experimental, relativos ao estudo de Funções Trigonométricas, iniciamos a 7ª etapa em que buscamos, a autorização da direção da unidade de ensino e o consentimento da Professora que leciona matemática em uma turma do 3º ano do Ensino Médio, dialogamos com os responsáveis e alunos sobre o nosso projeto. Convidamos todos os alunos da turma para participarem da nossa pesquisa, apresentamos o termo de consentimento livre e esclarecido (TCLE) aos seus respectivos responsáveis e o termo de assentimento livre e esclarecido (TALE), aos alunos e solicitamos a anuência desses. A aplicação aconteceu em uma Instituição de Educação Básica da rede Pública Estadual, no Sudoeste da Bahia, tendo como sujeitos da pesquisa 33 alunos de uma turma do 3ª ano do Ensino Médio com faixa etária variando entre 16 e 18 anos. Assim, nessa etapa tivemos três momentos da nossa pesquisa referente à coleta de dados na instituição de aplicação, que são: (a) familiarização dos alunos com o software GeoGebra durante três horas aula da disciplina Matemática, (b) aplicação do dispositivo experimental da nossa SD com a mesma duração do primeiro momento com uma turma do 3º ano do Ensino Médio utilizando o ambiente computacional GeoGebra e papel/lápis e, (c) aplicação de um questionário diagnóstico com o intuito de investigarmos as possíveis contribuições da utilização do software no ensino- de Funções Trigonométricas. No segundo momento, observamos as práticas dos alunos durante a realização das tarefas propostas e, ao final recuperamos os seus arquivos e manuscritos, construindo, por conseguinte, os dados que analisaremos posteriormente, sem perder de vista os objetivos gerais e específicos da nossa pesquisa. A aplicação envolveu, além, das propriedades acerca do objeto matemático de referência, a investigação da influência dos elementos da comunicação em matemática a partir da organização dos alunos em duplas, em que o emissor é um aluno e o receptor são os demais alunos organizados em duplas, que estabeleceram a comunicação entre eles (emissor e receptores) utilizando como canal, a leitura (voz) das tarefas do dispositivo experimental e o ambiente computacional GeoGebra. Coube ao aluno emissor estabelecer as estratégias dentre os elementos da comunicação para realizar uma comunicação que contribuísse no entendimento do objeto em estudo dos alunos receptores.

11 A 8ª etapa se constituiu na análise de dados, onde apresentamos as análises das práticas efetivas dos alunos envolvidos na pesquisa, utilizando o protocolo experimental 9. Assim, com base nesse protocolo e na análise a priori, elaboraremos os critérios que utilizamos para acompanhar as produções dos sujeitos da pesquisa. RESULTADOS Os resultados obtidos mostram que existe uma forte relação entre as Funções Trigonométricas e o som enquanto fenômeno/onda longitudinal que se propaga por um meio material. Essa relação foi comprovada, a priori utilizando um Smartphone, o computacional GeoGebra e o DaTuner como meios materiais, assim como pelos alunos do 3 ano do Ensino Médio (instituição de aplicação) utilizando o ambiente papal/lápis paralelamente com esses meios ou recursos na compreensão de algumas propriedades desse tipo de Funções. Ressaltamos que a análise institucional contribuiu para compreendermos melhor o objeto de estudo proposto para o ensino- de Funções Trigonométricas (FT) na instituição de referência, dando ênfase nos problemas emblemáticos que nos motivaram a construção de tarefas utilizando o ambiente computacional GeoGebra, bem como um medidor de frequência previamente instalado num Smartphone. A análise de Livros Didáticos (LD) permitiu mostrar que as Funções Trigonométricas são objetos de estudos matemáticos institucionalizadas no 2º ano do Ensino Médio (instituição de referência), garantindo a sua aplicação nas instituições subsequentes. Contudo, as primeiras técnicas de tratamento de amplitude, período, e deslocamentos de gráficos de FT (seno, cosseno e tangente) sobrevivem inicialmente no 2º ano do Ensino Médio, cujo o habitat ocupa um espaço significativo nos LD propostos para o ensino da Matemática nessa instituição. Com efeito, a análise do LD nos permitiu encontrar a praxeologia de Funções Trigonométricas proposta nesse habitat, identificando assim, o tipo de tarefas destinadas aos alunos, as técnicas sejam elas entrelaçadas com as definições ou com propriedades, que permitem realizar cada tipo de tarefa, as tecnologias e as teorias que sustentam as técnicas e as tarefas correspondentes. Por conseguinte, encontramos uma organização praxeológica completa, na qual o autor parte da teoria que revela a tecnologia, as técnicas e os tipos de tarefas. O autor desse livro segue, portanto, o modelo praxeológico usual. 9 É um documento construído pelo pesquisador durante as investigações. Esse documento é constituído de manuscritos de alunos/estudantes, filmagens, transcrições de entrevistas faladas, entrevistas escritas, arquivos de computadores etc. A construção do protocolo experimental é essencial em pesquisas educacionais e deve constar como anexo na versão final do manuscrito de pesquisa. (HENRIQUES, 2011 p )

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