Teoria de Campos em Cosmologia. Sergio E. Jorás IF UFRJ

Transcrição

1 Teoria de Campos em Cosmologia Sergio E. Jorás IF UFRJ 1

2 SUMÁRIO Inflação (cold e warm) Quadro geral Re aquecimento Pré aquecimento Warm Inflation 2

3 INFLAÇÃO 3

4 4

5 5

6 6

7 Admitindo que escrever seja homogêneo, podemos como o de um fluido perfeito: PROJETOR 7

8 Em um sistema de coordenadas adaptado ao observador, isto é: pode se escrever 8

9 9

10 Parâmetros de slow roll: 10

11 Interpretação termodinâmica: 11

12 Um exemplo: inflação caótica potencial plano: slow roll: amplitude das perturbações: 12

13 Problemas: 1. Campo escalar?! BOSON DE HIGGS?! 13

14 14

15 2. Como começar?! Campo homogêneo a alta T Fraco auto acoplamento 15

16 3. Como terminar?! 16

17 SLOW ROLL (RE)AQUECIMENTO 17

18 (Re)aquecimento exercício: 18

19 transferência para radiação: 19

20 Temp t 20

21 (Pre)aquecimento SLOW ROLL (PRE)AQUECIMENTO 21

22 22

23 23

24 24

25 BANDAS DE RESSONÂNCIA 25

26 26

27 Warm Inflation SLOW ROLL 27

28 28

29 29

30 Espectro de perturbação 30

31 31

32 warm inflation: 32

33 Física Transplanckiana* t * Brandenberger and Martin,

34 34

35 35

36 A. Campo escalar de teste Tempo conforme: 36

37 37

38 B. Perturbações cosmológicas Métrica uniforme e homogênea Métrica perturbada 38

39 Perturbações escalares: + matéria (campo escalar) 39

40 Variáveis INdependentes de gauge 40

41 de Sitter: 41

42 Perturbações tensoriais: 42

43 43

44 C. Mapeando o problema: 44

45 Dentro do Horizonte: 45

46 Fora do Horizonte: + solução decrescente 46

47 em de Sitter: 47

48 WKB 48

49 ? 49

50 Duas abordagens: Modificar condições iniciais Modificar relações de dispersão 50

51 D. Modificar Condições iniciais Abordagem usual: vácuo adiabático Vantagem: sem suposições sobre Física trans Planckiana Basta definir uma condição razoável para cada modo ao sair da escala de Planck. 51

52 52

53 O que são condições iniciais razoáveis?! 53

54 Vácuo adiabático depende de em ds, é uma solução exata 54

55 vácuo adiabático de ordem zero mínima energia mínima incerteza... Cada escolha corresponde a uma determinada Física trans-planckiana 55

56 A amplitude dos efeitos depende de: 56

57 E. Relações de Dispersão Não Lineares 57

58 J.M. and R.B., Phys. Rev. D63, (2001) 58

59 Expansão em série* 59

60 WKB 60

61 Rel. Disp. LINEAR 61

62 62

63 Em progresso, com G. Marozzi (U. Bologna)*: estimar a amplitude das perturbações para esta relação de dispersão em particular; vincular os parâmetros usando dados da RCF * Proccedings of Les Houches Summer School,

64 CONDIÇÕES INICIAIS: 64

65 65

66 66

67 67

68 68

69 69

70 Λ : lado esquerdo ou direito? 70

71 5A. Contração de Wigner-Inonu* * Lorentz Galileo De Sitter Poincaré J.Math.Phys. 8 (1967),

72 Geradores de ds*: * T. Garidi,

73 Representações unitárias irredutíveis 73

74 Poincaré: massa e spin ds: Q(1) e Q(2) Problema: CdS < 0?! 74

75 5B. Deformação da Álgebra 4-MOMENTUM BOOSTS ROTAÇÕES 75

76 76

77 Kowalski-Glikman, Physics Letters B 499 (2001)

78 Em progresso, com M.V. Cougo Pinto, C. Farina e M.J. de Oliveira Neves (UFRJ): determinação dos efeitos de tais deformações na RCF 78

79 DEFEITOS TOPOLÓGICOS 79

80 Alguns Elementos de Teoria de Campos 1

81 LAGRANGEANA L = 1 2 µφ µ φ V [φ(x)] (1) Quando V [φ] = 1 2 µ2 φ 2, obtém-se a equação de Klein-Gordon: ( µ µ + µ 2 )φ = 0. (2) Podemos passar ao espaço dos momenta: E 2 + p 2 + µ 2 = 0. (3) 2

82 Uma regra fácil de ser aplicada para a determinação da massa de um campo sem correções quânticas é calcular a derivada segunda do seu potencial no seu estado de menor energia. Assim, de modo geral, pode-se dizer que µ 2 = 2 V φ 2 φ0. (4) 3

83 CAMPO ELETROMAGNÉTICO A µ (φ, A) Como o potencial vetor define o campo magnético a menos de um gradiente, a Lagrangeana do campo EM deve ainda ser invariante sob transformações do tipo A µ A µ + µ Λ. (5) 4

84 Duas transformações consecutivas deste tipo estão relacionadas a uma terceira do mesmo tipo: µ Λ 1 + µ Λ 2 = µ Λ 3 Λ 1 + Λ 2 = Λ 3. (6) Estas transformações de gauge ou de calibre formam um grupo, cuja regra de composição é a mesma do grupo U(1). O EM é, portanto, invariante sob U(1). 5

85 A Lagrangeana que fornece as equações de Maxwell do EM é L C F µν F µν j µ A µ, (7) onde C é uma constante (exercício!) e F µν µ A ν ν A µ (8) j µ (ρ, j) (9) cujos componontes designam os campos elétrico e magnético e a densidade e corrente elétricas. 6

86 Note que um termo de massa, do tipo 1 2 m2 γ A µ A µ, não é invariante pela transformação de calibre do EM. A µ A µ + µ Λ. (10) 7

87 MECANISMO DE HIGGS L = 1 2 ( µφ) µ φ 1 2 m2 φ φ φ, (11) onde ( ) indica o complexo conjugado. Note que ela é invariante sob a transformação φ φ exp(ieα), pertencente ao grupo U(1). 8

88 φ φ exp(ieα) µ Λ 1 + µ Λ 2 = µ Λ 3 Λ 1 + Λ 2 = Λ 3. exp(ieα 1 ) exp(ieα 2 ) = exp(ieα 3 ) α 1 + α 2 = α 3 Quando α é uma constante, a simetria sob U(1) é dita global. 9

89 Suponhamos agora uma Lagrangeana que acople este campo e o EM, dada por L = 1 4 F µνf µν + (D µ φ) (D µ φ) V (φ) (12) onde V (φ) = λ 4! ( φ φ a 2) 2 (13) D µ µ + iea µ 10

90 Figura 1: Potencial com quebra espontânea de simetria para um campo escalar complexo, com a 0. O plano horizontal é definido pelas componentes real e imaginária do campo φ. O círculo, pertencente a este plano, é o vácuo deste campo. 11

91 φ(x) φ(x) exp[ieα(x)] (14) A µ (x) A µ (x) µ α(x) (15) Note que esta definição identifica a constante e com a carga elétrica, que acopla o campo EM com o campo φ representando, portanto, uma partícula carregada eletricamente. 12

92 PERTURBAÇÕES φ(x) = a 1 2 (φ R (x) + i φ I (x)) (16) 13

93 Ao redor deste ponto, o potencial dado pela Eq. (13) fica V (φ) = 1 2 λa 2 6 φ2 R + O(φ 3 ). (17) O campo φ R possui massa quadrada m 2 R = λa 2 /6 enquanto que o campo φ I não tem massa. Este é o chamado bóson de Goldstone, e aparece sempre que a simetria do campo é quebrada espontaneamente. 14

94 O campo de gauge A µ também adquire um termo de massa: Expandindo o termo da derivada covariante e lembrando que o módulo do campo φ no seu estado de vácuo vale a 0, obtemos o termo e 2 a 2 A µ A µ (18) o que indica uma massa m A = 2ea para o campo de gauge A µ. 15

95 UNIFICAÇÃO DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS E TRANSIÇÕES DE FASE Vamos utilizar o mecanismo de Higgs para descrever o processo de unificação das forças fraca (com simetria SU(2) L ) e eletromagnética (U(1)). Diferença fundamental: grupos não-abelianos! 16

96 µ D µ µ + i 2 gac µσ c i 2 g B µ, (19) onde há 4 campos de gauge: três A c µ (c = 1, 2, 3), associados ao grupo SU(2), e B µ, ao U(1). 17

97 PERTUBAÇÕES φ P = a (20) 18

98 O campo φ, como antes, adquire massa m φ = a λ/6. Os valores das massas adquiridas pelos campos de gauge podem ser obtidos calculando D µ φ 2 diretamente da expressão (19), o que leva aos termos extras 1 2 a 2 4 na Lagrangeana. [ g 2 (A 1 µ) 2 + g 2 (A 2 µ) 2 + ( ga 3 µ + g B µ ) 2] (21) 19

99 Os campos A 1 µ e A 2 µ são associados aos bósons vetoriais carregados W ± µ, com massa ag/2. O terceiro termo acima representa o Z 0 µ, com massa a/2. Estes são os três mediadores da força fraca. Há um quarto grau de liberdade, pois começamos com 4 campos de gauge. Exigindo-se ortogonalidade ao Z 0 µ, obtemos a expressão A µ = que é associado ao fóton. 1 ( ) g A 3 g 2 + g µ + gb µ 2, (22) 20

100 Assim, o campo eletromagnético não é associado à simetria U(1) presente no início, mas à que permaneceu após a quebra. Indica-se este processo por SU(2) L U(1) Y U(1) EM, (23) associando a simetria incial à hipercarga. 21

101 Analogia com Matéria Condensada: o Efeito Meissner 22

102 A principal característica dos potenciais efetivos que nos interess é a mudança no sinal do termo de massa, que depende da temperatura do sistema: V T (φ) = 1 2 m2 T φ2 + σ 3! φ3 + λ 4! φ4 (24) 23

103 Figura 2: Comportamento do potencial efetivo V [φ] com a mudanç a progressiva no sinal do termo de massa para uma transição de fase de primeira (à esquerda) e segunda (à direita) ordens. 24

104 Unificação: porquê, como, quando? 25

105 PORQUÊ: Figura 3: Esquematização do processo de blindagem de uma carga elétrica positiva em um meio dielétrico. 26

106 g Forte g Fraca g EM GUT E Figura 4: Variação das constantes de interação com a energia. O eixo horizontal se estende por várias ordens de grandeza. 27

107 COMO: Unificação dos grupos de simetria SU(2) L U(1) Y SU(3) C 28

108 QUANDO: o universo como um acelerador 29

109 GUT Pelas justificativas apresentadas anteriormente, acredita-se que um grupo de simetria que englobaria as forças forte e eletrofraca deve ter se dividido nos conhecidos SU(3) C SU(2) L U(1) Y quando T GeV e t s. 30

110 Eletro-fraca A transição eletro-fraca, que separou a força fraca da eletromagnética quebrando os grupos SU(2) L U(1) Y U(1) EM, ocorreu em t s, a uma temperatura T 300 GeV. Nesta quebra as partículas adquirem massa através do mecanismo de Higgs. Não se sabe, ao certo, qual a ordem desta transição, mas parece ser fracamente de primeira ordem. Acredita-se que esta transição seja fundamental para a existência de matéria atualmente em nosso universo, através do mecanismo explicado mais adiante. 31

111 Quiral Dois fenômenos caracterizam o final da época das transições, quando t 10 6 s, e T 1 GeV : o confinamento dos quarks e a conseqüente formação dos hádrons. Os bósons de Goldstone desta simetria são os píons, cujas pequenas massas indicam a validade do raciocínio. Esta simetria não descreve uma relação fundamental, e é conseqüência apenas dos pequenos valores das massas dos três quarks mais leves (u, d, s). 32

112 Antes desta transição, o universo era composto por um plasma de quarks e glúons. Experiências estão atualmente em curso no Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC), em Brookhaven (NY, EUA), para tentar reproduzir este estado da matéria. 33

113 CONDIÇÕES DE SAKHAROV 1. Interações que violem a conservação do número de bárions: De outra forma, um bárion seria criado sempre com um anti-bárion, e deveria-se imaginar um mecanismo bastante eficiente para separá-los espacialmente e evitar, assim, sua futura aniquilação mútua. 2. O sistema deve estar fora do equilíbrio térmico: Em equilíbrio, as reações que geram a procurada assimetria podem ser invertidas com a mesma taxa, anulando seu efeito. Isto é alcançado quando as taxas de reações são menores que a taxa de expansão do universo (dada pela 34

114 constante de Hubble) ou em transições de fase de primeira ordem, como as que acontecem em algumas quebras de simetria, dependendo do potencial efetivo. 3. Interações que discriminem matéria de anti-matéria: Ou seja, violação das simetrias discretas de carga (C) e paridade (P) simultaneamente. Já observadas em laboratório no decaimento do káon, controlado pela interação fraca. 35

115 Defeitos Topológicos transição de fase G H SU(3) C SU(2) L U(1) Y SU(3) C U(1) EM. (25) 36

116 Matéria Condensada: congelamento de um lago Cosmologia: quebra espontânea de simetria região causalmente conectada natureza do defeito 37

117 Paredes Cósmicas vácuo tem simetria discreta L = 1 2 µφ µ φ V (φ) V (φ) = λ ( φ 2 η 2) 2 4 ESTADO DE VÁCUO: φ = ±η 38

118 µ µ φ = V (φ) d 2 φ dz 2 = V (φ) 1 2 ( dφ dz )2 V (φ) = cte = 0 z z 0 = ± dφ = ± 2 2V (φ) λ dφ φ 2 η 2 39

119 φ = η tanh η 2 (z z 0 ) 2 40