Capítulo IX Interações Fundamentais

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1 Capítulo IX Interações Fundamentais No atual estágio de conhecimento, partículas elementares e os campos de interação são os constituintes fundamentais do universo. Toda a matéria conhecida tem como elementos básicos de sua constituição os átomos. Os componentes massivos dos átomos são os núcleos, sistemas formados por prótons e nêutrons. Porém, as propriedades químicas da matéria devem-se à camada eletrônica e à particularidade dos elétrons serem férmions, partículas de spin 1/2, sujeitos ao Princípio de Exclusão de Pauli. A camada eletrônica é ligada ao núcleo atômico pela interação eletromagnética, em orbitais atômicos definidos pelas regras da Mecânica Quântica. Esta mesma interação, atuando entre os prótons nucleares, são agentes desestabilizadores devido à repulsão eletrostática e, provavelmente, inibe a existência de elementos químicos muito pesados. A coesão do núcleo atômico é atribuída a uma força muito maior que a eletrostática e atuando somente entre prótons e nêutrons e ou seus constituintes. É a interação nuclear forte, que deve ser de curto alcance, da ordem de grandeza da dimensão do núcleo atômico. Os prótons e os nêutrons também são partículas de spin 1/2, e devem se acomodar em orbitais nucleares. Com massas da mesma ordem de grandeza, prótons e nêutrons foram considerados como estados diferentes de uma mesma partícula, o nucleon, um dupleto de isospin 1/2. Isospin, no caso, significa partículas de mesma massa e, em analogia com os estados de spin 1/2, tem os estados = (próton) e = (nêutron). Os nucleons flutuariam entre os dois estados, intermediados por uma partícula carregada de massa intermediária entre as massas do próton e do elétron. A proposta teórica de Yukawa de um agente intermediador da interação nuclear forte foi acompanhada pelas descobertas de partículas de massa intermediária nos raios cósmicos, os mésons μ (múon) e π (píons). Com estas observações, as partículas foram classificadas como baríons (pesadas - prótons e nêutrons), léptons (partículas leves - elétrons) e mésons (partículas de massas intermediárias píons). Apesar da massa próxima à dos píons, na classificação atual, que considera as interações, os múons pertencem à família dos léptons. Previsões teóricas como as antipartículas logo se confirmaram com as detecções dos pósitrons e os estudos dos decaimentos beta, baseados nas leis de conservação, levaram aos neutrinos e antineutrinos. O acesso a energias cada vez maiores, seja nos aceleradores de partículas ou nos detectores de raios cósmicos, levaram às descobertas de um número quase ilimitado de novas partículas. No entanto, partículas estáveis, responsáveis pelo universo macroscópico, são poucas: prótons e nêutrons (cuja estabilidade é devida à interação forte), os elétrons (que se ligam aos núcleos atômicos via interação eletromagnética), e os neutrinos (sempre presentes nos processos que envolvem a interação fraca). Embora estáveis, em estudos de espalhamentos a altas energias, verifica-se que os prótons e os nêutrons apresentam distribuições internas não uniformes da densidade de carga elétrica, e são considerados como sistemas constituídos de partículas mais fundamentais, os quarks, portadores das cargas da interação forte. São conhecidas quatro interações fundamentais: gravitacional, eletromagnética e as interações nucleares fraca e forte. As interações gravitacional e eletromagnética são as mais 122

2 conhecidas por estarem presentes no cotidiano, mensuráveis em estruturas macroscópicas, as fontes sendo a massa (gravitacional) e a carga elétrica, respectivamente. A teoria da interação gravitacional pós-newtoniana foi desenvolvida por Einstein no contexto da Relatividade Geral, tendo como postulado o Princípio da Equivalência na versão forte (equivalência local entre os efeitos da gravitação e da aceleração do referencial). A interação eletromagnética é descrita pelas equações de Maxwell, sendo uma teoria relativística por excelência. A invariância de fase da Mecânica Quântica na forma local combinada com a invariância de gauge do campo eletromagnético fornecem as diretrizes para as teorias de gauge que fundamentam as teorias da interação forte e da eletrofraca, em estruturas de simetrias internas baseadas em modelos a quarks, atualmente conhecidas como Modelo Padrão das Interações Fundamentais. Na formulação lagrangeana, as equações de movimento são obtidas usando o princípio variacional da mínima ação = 0, a ação definida pela integral temporal = (,, ) (9.1) da função lagrangeana (,, ) dependente das coordenadas generalizadas, das velocidades e do tempo t, onde representa um pequeno desvio da trajetória real mantendo a condição ( ) = ( ) = 0, de modo que = + = = 0, (9.2) resultando a equação de Euler-Lagrange = 0 (9.3) que leva às equações de movimento de um sistema de partículas clássicas. No caso de um sistema de partículas clássicas, a função lagrangeana é definida como (,, ) = 1 2 (, ) No caso de sistemas contínuos, a ação fica. (9.3) = (,, ) = L, = L,, (9.4) onde L, é a densidade de lagrangeana, de modo que a condição mínima fica = L L +,, = 0. (9.5) A integração de termos em divergência contêm elementos calculados na superfície onde se anulam por definição. Portanto, usando a igualdade 123

3 L,, = L, L, (9.6) resulta = L L, = 0 (9.7) que leva à equação de Euler-Lagrange Atente para as notações compactas para as derivadas = =, L L = 0. (9.8), e = =, (9.9) usadas para não sobrecarregar as equações matemáticas. A (densidade de) lagrangeana dos campos escalares de Klein-Gordon é para campos () reais e L = (9.10) L = = ( + ) (9.11) para campos () = () + () e () = () () complexos. Campos espinoriais de Dirac tem a lagrangeana onde =. No caso do campo eletromagnético livre, L = ħ (9.12) L = 1 4 (9.13) para =. No caso dos campos vetoriais com massa, L = (9.14) Os campos espinoriais descrevem os férmions (partículas de spin 1/2) como a maioria das partículas fundamentais, como os elétrons e os quarks. Os campos vetoriais descrevem bósons de spin 1 responsáveis pelas interações. Os campos escalares descrevem bósons de spin zero, responsáveis pelo mecanismo de quebra espontânea de simetria e a geração dos bósons de Higgs. As funções lagrangeanas acima se referem aos respectivos campos livres. As interações resultam de acoplamentos entre estes campos. 124

4 9.1 Correntes Conservadas Segue uma rápida revisão dos procedimentos para a obtenção das correntes conservadas para transformações de simetria contínuas. A uma dada simetria do sistema físico, traduzida pela invariância das equações de movimento, existe uma quantidade que é conservada. Considere a lagrangeana, uma função do campo e da sua derivada primeira, L = L, (9.15) onde () pode, eventualmente, representar um conjunto de campos. As equações de movimento se obtêm através da equação de Euler-Lagrange L L = 0. (9.16) ( ) Por uma transformação (virtual) genérica do sistema, que pode incluir deslocamentos no espaço-tempo (sem aceleração), a lagrangeana fica sujeita à modificação L(), () L ( ), ( ). (9.17) fica Considerando transformações infinitesimais, a variação total da função lagrangeana L = L ( ), ( ) L(), () = L + L (9.18) onde L = L ( ), ( ) L ( ), ( ) (9.19) é a variação funcional da lagrangeana e L = L ( ), ( ) L(), () (9.19) é a variação devida à variação dos seus argumentos (campos), L = L +, + L,, (9.20) isto é, L = L + L ( ). (9.21) O campo () tem a variação soma da variação funcional mais a variação diferencial = ( ) () = + ( ) (9.22) = ( ) ( ) (9.23) = ( ) () =. (9.24) Da mesma forma, a derivada do campo tem a variação 125

5 soma da variação funcional mais a variação diferencial = ( ) () = + ( ) (9.25) = () () = (9.26) = ( ) () =. (9.27) Considere a variação total da lagrangeana L = L + L = L + L + L ( ) (9.28) onde ou L = L + ( ) + L ( ) + ( ) (9.29) L = L + L ( ) + L. (9.30) Usando a equação de Euler-Lagrange (9.16), resulta a variação total L = L + L ( ) + L. (9.31) Como as equações de movimento são obtidas através da equação de Euler-Lagrange, uma transformação de simetria requer uma lagrangeana invariante na forma funcional a menos de um terno de divergência (), L ( ), ( ) = L ( ), ( ) +. (9.32) Assim, a equação (9.31) fica L = L, + L +. (9.33) Como a densidade de lagrangeana é uma função escalar por construção, L = 0, resultando L, + L + = 0. (9.34) Nas transformações de coordenadas que envolvem apenas referenciais inerciais, como as translações e as transformações de Lorentz, ( ) = 0 e, portanto, Esta expressão define uma corrente conservada L, + L + = 0. (9.35) 126

6 = 0 (9.36) para ~ L, + L +. (9.37) Translações As translações infinitesimais no espaço-tempo são definidas por e, como neste caso = 0, a variação funcional fica ou seja, = = ħ (9.37) = =. (9.38) A equação de conservação (9.35) fica (considerando = 0) L, L = 0, (9.39) = 0 (9.40) para = L, L (9.41) que define o tensor densidade de corrente de energia e momento. A carga conservada é a energia e momento = = L ( ) L Transformações de Lorentz Considere as transformações de Lorentz na forma infinitesimal, com a variação infinitesimal das coordenadas e a variação funcional para = = ( + ), (9.42) = = 2ħ, (9.43) = = 2ħ, (9.44) = ħ + = +, (9.45) 127

7 soma das componentes do momento angular orbital mais as componentes do momento angular de spin. As componentes de spin dependem da natureza do campo considerado. A equação de conservação resultante é que, substituindo os operadores diferenciais, fica L, L = 0 (9.46) L, ħ + L, ħ L = 0. Considerando a densidade de corrente de energia e momento, equação (9.41), resulta a expressão que define a corrente L ħ, = 0, (9.47) com a equação de conservação A carga conservada é identificada como o momento angular total Simetrias internas No caso de simetrias internas, resultando a corrente conservada com a equação de continuidade = L ħ,, (9.48) = 0. (9.49) = (9.50) = 0 e =, (9.51) = L, (9.52) = 0. (9.53) Aqui são os geradores da transformação considerada, matrizes atuando sobre a representação (matricial) -dimensional A carga conservada é =. =. (9.54) 128

8 No caso de uma transformação de fase de um campo espinorial, (x, t) (x, t) = (x, t), para = /(ħ), a corrente conservada, considerando a lagrangeana (9.12), é com a carga conservada 9.2 Teorias da gauge = L, = (9.55) = =. (9.56) A eletrodinâmica é o modelo em que se baseiam as teorias de gauge, generalizando a simetria por transformações de fase, (x, t) (x, t) = (x, t), que define o grupo abeliano (1), para transformações mais abrangentes (x, t) (x, t) = (x, t), onde são matrizes unitárias, isto é, = =, definidas por geradores = tal que = atuando sobre um espaço vetorial dimensional. Excluindo as transformações de fase, resta o conjunto de ( 1) geradores (matrizes) de traço nulo que define o grupo (), não abeliano, em especial os grupo (2) da interação eletrofraca (dupletos de léptons) e o grupo (3) da interação forte (tripletos de cores dos quarks). No grupo (2) os geradores são representados pelas três matizes de Pauli e no grupo (3) pelas oito matrizes de Gell-Man. De início, considera-se a lagrangeana de um sistema livre, e uma transformação de simetria global e, portanto, A ação deve ser invariante, L = L, (9.57) = =. (9.58) = L, = L, (9.59) L, = L, = L,, = L, L L,,. (9.60) Usando a equação (9.16), de Euler-Lagrange, e considerando a comutatividade = () () = () () =, (9.61) 129

9 resulta L, = L, L,. (9.62) Usando a equação de conservação (9.35), resulta L, = L, + Ω. (9.63) No caso de uma transformação local, a equação (9.58) fica = = (). (9.64) Neste caso, o termo de divergência da equação (9.62) se expande, de modo que e L, = L, () L,. (9.65) A equação de conservação deve ser readequada na forma L, + Ω = 0 (9.66) L, = L, + Ω (9.67) L, = L, + L, + Ω. (9.68) A variação funcional da lagrangeana resulta L = L, + Ω =, (9.69) a corrente definida em (9.52). O termo Ω é arbitrário e pode ser convenientemente absorvido. Esta variação funcional, com a presença do termo de corrente, destrói a invariância das equações de movimento. Para restabelecer a invariância são introduzidos os campos vetoriais com propriedades conjuntas de transformações de gauge () () = () () (x) (x) = (x) + (x) + (x) (9.70) onde são as constantes de estrutura, completamente antissimétrica, da álgebra de Lie do grupo das transformações em questão,, = = 2. (9.71) Com os campos vetoriais de gauge constroem-se as derivadas covariantes 130

10 = +, (9.72) covariantes no sentido de transformarem-se da mesma maneira que o campo sobre o qual atua, () (1 )() (1 ) implicando a invariância funcional da lagrangeana, (9.73) L = L, = L, + (9.74) desde que L, seja invariante por uma transformação global. A lagrangeana total, incluindo os campos de gauge, fica onde L = L, = L, + + L (9.75) L = 1 4 (9.76) é a parte livre dos campos de gauge e é o tensor antissimétrico com a transformação =. (9.77) Em termos dos geradores da representação adjunta a transformação fica +. (9.78) = (9.79), (9.80) mostrando que os campos de gauge pertencem à representação adjunta do grupo de simetria. O Modelo Padrão das interações fundamentais (excluída a gravitação) unifica a interação forte e a eletrofraca considerando o grupo de simetria (3) (2) (1). A simetria (3) da interação forte é exata enquanto que a simetria (2) (1) da interação eletrofraca é submetida ao processo de quebra espontânea de simetria com a inclusão de bósons escalares na forma taquiônica (termo de massa com sinal invertido) com mínimos de energia degenerados. A escolha do mínimo físico causa a quebra da simetria inicial, quando parte dos bósons tornam-se massivos (bósons de Higgs) e parte sem massa (bósons de Goldstone). O mecanismo de Higgs consiste na absorção dos bósons de Goldstone por parte dos bósons vetoriais, tornando-se massivos e eletricamente carregados. 9.3 Interação forte As primeiras partículas identificadas foram os elétrons ( 9,11 10 ), os prótons 1,67 10 e os nêutrons ( 1,68 10 ) seguidos dos mésons π (píons) e dos mésons μ (múons) 1,

11 Os mésons receberam esta denominação devido às massas intermediárias entre as massas dos elétrons e dos prótons e nêutrons. Nesta nomenclatura, os elétrons são léptons (leves) os prótons e nêutrons são hádrons (pesados). A interação forte atua exclusivamente entre os hádrons e a interação fraca atua entre os hádrons e os léptons. Neste contexto, os múons pertencem à família dos léptons, que atualmente incluem os léptons τ e os neutrinos. Os quarks são férmions (spin = 1/2) com número bariônico = 1/3. Os outros números quânticos são específicos: isospin e a sua componente, estranheza, charm, beauty, top e carga elétrica (em unidades de carga eletrônica) relacionadas por = (9.81) cujos valores associados a cada um dos quarks aparecem na tabela 8.1. Os anti-quarks, ( ), têm os números quânticos invertidos (com exceção do isospin). Tabela 8.1: Os quarks com os respectivos números quânticos. I S C B T Q (Isospin) (Strange) (Charm) (Beauty) (Top) d 1/3 1/2-1/ /3 u 1/3 1/2 1/ /3 s 1/ /3 c 1/ /3 b 1/ /3 t 1/ /3 Os primeiros modelos a quark se baseavam na simetria (2) de isospin, tendo como base os dupletos de quarks e antiquarks e Os bárions (número bariônico = 1) são sistemas de três quarks, tendo como exemplo os nucleons, p = n = 1 u(ud du) 2 1 d(ud du) 2, (9.82) prótons e nêutrons, respectivamente. Sistemas quark-antiquark,, constituem os mésons (número bariônico = 0), como o píon, π = ud π = du 1 π = 2 dd uu. (9.83) Foram as estruturas de dupletos e tripletos de isospin dos núcleons e píons, posteriormente aumentados para octetos com a adição das partículas estranhas,

12 K = us K = ds K = sd K = su = 1 6 uu + 2, (9.84) que motivaram a reconstrução destas partículas como estados ligados de sistemas de quarks e anti-quarks. Esta estrutura admite ainda um singleto = 1 3 uu + +. (9.85) Posteriormente, seguindo as descobertas de novas partículas, foram adicionados os quarks c (charm), b (bottom, beauty) e t (top). Os quarks são os carreadores das cargas da interação forte, denominadas três cargas de cores, em três tipos (Red, Yellow, Blue), que triplicam o número de quarks, ( ), numa estrutura de simetria (3), () = ( ) =. (9.86) Todos os estados físicos dos sistemas de quarks e anti-quarks devem ser neutros nas cargas de cor, não existindo quarks livres. A interação nuclear que garante a coesão nuclear contrapondo-se à repulsão eletrostática entre os prótons é a interação forte residual, supostamente por troca de partículas como os píons. Uma analogia às forças moleculares que, apesar de os átomos constituintes serem eletricamente neutros, ligam-se por troca de elétrons devido à interação eletromagnética. No grupo (3) os geradores das transformações () () = () () (x) (x) = (x) + (x) + (x) (9.87) são as oito matrizes de Gell-Man (de traço nulo),, = = (9.88) onde são as constantes de estrutura, completamente antissimétrico nos índices (,, ), assumindo valores de 1 a 8, totalizando = 512 elementos, apenas 9 não nulos. A lagrangeana total do sistema é L = ħ (9.89) onde é a corrente conservada e = L, = ħ (9.90) =. (9.91) 133

13 o tensor antissimétrico com a transformação Em termos dos geradores da representação adjunta a transformação fica +. (9.92) = (9.93), (9.94) mostrando que os campos de gauge pertencem à representação adjunta do grupo de simetria. 9.4 Quebra Espontânea de Simetria A quebra espontânea de simetria ocorre quando o sistema tem simetria na lagrangeana mas tem estados de vácuo degenerados. Na medida em que o sistema tem de escolher apenas um como o seu estado de vácuo, justamente este processo de escolha leva à quebra da simetria original da lagrangeana. Nas teorias de campo, a quebra espontânea de simetria é realizada através de campos escalares auto-interagentes, mais propriamente táquions, pois devem ter o sinal do termo de massa quadrática invertido. Um exemplo típico de um sistema com quebra espontânea de simetria é representado pela lagrangeana de um campo escalar real com simetria, onde pode-se identificar o termo de potencial L = !, (9.95) () = !. (9.96) O mínimo de energia do sistema coincide com o mínimo do potencial, que ocorre quando satisfeita para = + 3! = 0, (9.97) = 0 ou = 3!. (9.98) Para > 0 o mínimo ocorre para um único valor do campo, = 0. No entanto, para < 0 (táquion) e para > 0, o ponto = 0 quando (0) = 0 é um ponto de máximo local. Os pontos de mínimo são duplamente degenerados, identificados como = ± 3!. (9.99) Escolher um destes estados de mínimo como o vácuo físico significa fazer a redefinição do campo original Assim, a lagrangeana original fica +. (9.100) 134

14 L = ( + ) 4! ( + ) (9.101) que, após expandida, resulta L = (2 + + ) 4! ( ). A menos de termos constantes, pode ser reorganizada na forma L = ! 4! 3! onde verifica-se que a simetria anterior não existe mais. Se fizer a substituição do campo no coeficiente do termo quadrático, resulta L = ! 4! 3! (9.102) de modo que o campo escalar ganha o termo de massa com o sinal correto Bósons de Goldstone Uma generalização imediata é o modelo de Goldstone, que contém um campo escalar complexo cuja lagrangeana, tem simetria de fase L = ! ( ), (9.103) ou, equivalentemente, dois campos escalares reais com simetria (2), L = ( + ) 4! ( + ) (9.104) Como antes, o ponto de mínimo da energia coincide com o de mínimo do potencial (, ) = 1 2 ( + ) + 4! ( + ). (9.105) Considerando apenas o caso < 0 (táquions) e > 0, resultam nas condições + 3! ( + ) = 0 + 3! ( + ) = 0 que são satisfeitas para = + = 0, que é um ponto de máximo local, e para (9.106) + = = 3! (9.107) que define os pontos de mínimo, infinitamente degenerados, que podem ser representados, a menos de uma fase arbitrária, por para = + = (9.108) 135

15 = 6 e 0 2. (9.109) A escolha de um destes estados de mínimo como o vácuo físico, considerando por exemplo = 0, significa redefinir os campos originais, nesta escolha, como de modo que, com as substituições a lagrangeana, a menos de termos constantes, fica + e (9.110) ( + ) = 2 + +, (9.111) L = ! ( + ) 4! ( + ) (9.112) cuja simetria de fase original não está mais presente. Nesta nova forma, o campo tem massa enquanto que o campo tem massa nula, conhecido como o bóson de Goldstone. A escolha de um dos vácuos como o vácuo físico, ao mesmo tempo em que acarreta a quebra da simetria original da lagrangeana, parte dos campos escalares originais passam a ter massa nula, os bósons de Goldstone. Estas partículas escalares sem massa, inexistentes na realidade, aparentemente inviabilizaria a quebra espontânea de simetria como um mecanismo válido nas teorias de campo. No entanto, se for considerada a simetria local, os bósons de Goldstone são absorvidos pelos campos vetoriais de gauge, que também adquirem massas pela quebra espontânea de simetria, num processo conhecido como o mecanismo de Higgs Mecanismo de Higgs O modelo de Goldstone estendido para a simetria local permite a eliminação dos bósons de Goldstone, ao mesmo tempo em que os campos de gauge adquirem massa pela quebra espontânea de simetria. Este procedimento é conhecido como o mecanismo de Higgs, No entanto, na presença dos campos vetoriais de gauge, o processo de quebra espontânea de simetria cria termos de massa para os campos de gauge e os bósons de Goldstone são absorvidos por estes campos vetoriais agora massivos. A lagrangeana, com os campos de gauge, fica L = ( ) (9.113) com simetria de fase local. Considerando < 0, pode-se ver que o potencial assume valor mínimo para os campos definidos por onde () = + 4 ( ) (9.114) =. (9.115) = 2. (9.116) e η uma fase arbitrária. Neste caso, é conveniente redefinir os campos usando a representação polar 136

16 onde χ e θ são campos reais, que entram na lagrangeana como = 1 2 ( + )/ (9.117) L = ( + 4 ) (9.118). A massa do campo é dado por = = 1 2 (9.119) e corresponde, portanto, a / 2. O campo de gauge também tem um termo de massa, enquanto que o campo escalar pode ser eliminado pela redefinição do campo de gauge, +, (9.120) que absorve o campo escalar sem diminuir o grau de liberdade do sistema, pois o campo vetorial massivo tem três graus de liberdade, enquanto que o campo vetorial de massa nula tem apenas dois graus de liberdade. Este procedimento pode ser imediatamente estendido para grupos de simetria não abeliana, como ocorre no modelo de Weinberg-Salam da interação eletrofraca. Se a massa for nula, um espinor de Dirac pode ser decomposto nas chamadas componentes chirais e (mão direita e mão esquerda), cada qual com duas componentes complexas, =, (9.121) = =. (9.122) Partículas eletricamente carregadas são, em geral, representadas por funções complexas, com simetria de fase (1). As duas componentes da equação (8.144) transportam informações sobre os dois estados de spin das partículas de spin 1/2, que tem simetria (2) de spin. Os espinores de Dirac, com quatro componentes complexos, contêm informações sobre as partículas e as respectivas anti-partículas. O modelo da interação eletrofraca é baseado na simetria (2) (1) para as componentes de mão esquerda, organizando as partículas fundamentais em famílias com três gerações,,, (9.123) para a família dos léptons (elétron, múon, lépton e os respectivos neutrinos), que inclui ainda os singletos de mão direita (,, ). As representações do grupo (2) da interação 137

17 fraca, equação (8.145), não deve ser confundida com a estrutura do grupo (2) de spin, equação (8.144). Deve-se considerar que cada uma das componentes da equação (9.123) são partículas de spin 1/2, portanto com as duas componentes espinoriais da equação (9.121). Para a família dos hádrons, a estrutura (2) dos quarks portadores das cargas da interação fraca é definida pelos dupletos,, (9.124) cujas componentes inferiores (,, ) são combinações lineares (misturas) dos quarks (,, ), = (9.125) a matriz 3 3 conhecida como matriz de Kobayashi-Maskawa. Significa que os auto-estados representativos das partículas das interações fraca e forte são diferentes, combinações lineares entre si. Esta mistura é particularmente sensível no chamado setor (, ) cuja mistura é definida pela rotação de Cabibbo = (9.126) ( é conhecido como ângulo de Cabibbo). O modelo da interação fraca contém representações de espinores chirais de massa nula, com a simetria (2) (1). A teoria de gauge é aplicada considerando esta simetria localmente, com a introdução dos bósons vetoriais de gauge. Deve corresponder aos três campos vetoriais devido à simetria (2) mais um da simetria (1). Como as partículas físicas, quarks e léptons, devem ter massas diferentes de zero, recorre-se ao mecanismo de Higgs para gerar as massas necessárias, introduzindo potenciais escalares ( ) com estados de energia mínima degenerados. Ao escolher um dos mínimos de energia como o estado fundamental, a simetria inicial é quebrada. Conhecida como quebra espontânea de simetria, serve também para introduzir termos de massa para as partículas físicas, os léptons (elétrons, múons, léptons τ e os respectivos neutrinos) e os hádrons (quarks u, d, s, c, b, t). Neste processo, a simetria de fase (1) é preservada resultando a interação eletromagnética e, exceto o fóton, as partículas de gauge adquirem massa assim como carga elétrica. Estas partículas intermediárias da interação fraca são conhecidas como,,. Exercícios 1. Mostre que termo de derivada na lagrangeana, L = para uma função = () resulta identicamente nulo na equação de Euler-Lagrange L = L,

18 Bibliografia 1. James D. Bjorken e Sidney D. Drell, Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill (1965). 2. James D. Bjorken e Sidney D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill (1965). 3. Pierre Ramond, Field Theory: A Modern Primer (second edition), Addison-Wesley (1990). 4. C. Itzykson and J. B. Zuber: Quantum Field Theory, McGraw-Hill (1980). 5. John J. Brehm e William J. Mullin, Introduction to the Structure of Matter - A course in Modern Physics, John Wiley & Sons (1989). 6. David Griffiths, Introduction to Elementary Particles, John Wiley & Sons, N.Y. (1987). 139