O método de Runge-Kutta multidimensional x

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1 O método de Runge-Kutta multidimensional 25 Γ() intgama1.py Γ() Gnuplot Γ() Figura 2.12: Cálculo de Γ() com o método de Runge-Kutta: saída de intgam1 comparada com a função Γ() do programa de plotagem (Gnuplot) 2.11 Resolva, usando o método de Euler de ordem 2, e compare com a solução analítica: 2.12 Na equação d + y = 2 ep( ), y(0) = 1. d + y 2π = sen L, y(0) = 0, estude a sensibilidade do h, necessário para produzir ε = 0,001, ao valor L Utilizando um método implícito semi-analítico, resolva 2.14 Resolva, utilizando Runge-Kutta: d + y = e, y() = 0. d + y = sen(), y(0) = O método de Runge-Kutta multidimensional Vamos, na sequência, generalizar o método de Runge-Kutta para que ele seja capaz de resolver sistemas de equações diferenciais ordinárias do tipo d = f (, y). Note que y e f são vetores, enquanto que permanece sendo um escalar.

2 Matemática Aplicada 62 Listagem 2.24: Listas em Python 4 # tentalista: tenta manipular uma lista como se ela fosse 5 # um vetor matemático. 6 # from future import print_function 8 uu = [1,2] # lista com dois elementos 9 vv = [3,4] # outra lista com dois elementos 10 ww = uu + vv # soma para ver no que dá 11 kk = 3*uu # multiplica pelo escalar 3 para ver no 12 # que dá 13 print('ww = ', ww) ; 14 print('kk = ',kk) ; A base para a solução de sistemas de equações diferenciais ordinárias com o método de Runge-Kutta é muito simples: basta reconhecer que as equações também funcionam vetorialmente! De fato, podemos escrever k 1 = f ( n, y n ), k 2 = hf ( n + h 2, y n k 1), k 3 = hf ( n + h 2, y n k 2), k 4 = hf ( n + h, y n + k 3 ), y n+1 = y n k k k k 4. As questões fundamentais que nós teremos aqui do ponto de vista de implementação computacional do método de Runge-Kutta multidimensional são como: Representar um vetor computacionalmente. Multiplicar um vetor por um escalar. Somar dois vetores. A primeira idéia que vem à cabeça é representar um vetor em Python por uma lista; assim, por eemplo, o vetor (1, 1) seria representado pela lista [1,-1]. É preciso lidar com o fato de que em geral nós escrevemos para as componentes de um vetor em matemática: u = (u 1, u 2, u 3 ) (os subscritos começam em 1), enquanto que os elementos de uma lista u em Python são u[0], u[1], e u[2]. Vamos tentar então utilizar listas, no programa tentalista.py, mostrado na listagem O resultado de rodar tentalista.py é ww = [1, 2, 3, 4] kk = [1, 2, 1, 2, 1, 2]

3 O método de Runge-Kutta multidimensional Listagem 2.25: tentaarray.py: arrays com Numpy 4 # tentaarray: usa arrays, em vez de listas 5 # from future import print_function 7 from numpy import array 8 uu = array([1,2]) # lista com dois elementos 9 vv = array([3,4]) # outra lista com dois elementos 10 ww = uu + vv # soma para ver no que dá 11 kk = 3*uu # multiplica pelo escalar 3 para ver no 12 # que dá 13 print('ww = ', ww) ; 14 print('kk = ',kk) ; Que não é o que esperávamos! O operador + aplicado a listas não soma componente a componente, mas sim concatena as duas listas; e o produto por 3 não multiplica componente a componente, mas sim repete a lista 3 vezes. Felizmente, eiste uma maneira de se obter o comportamento esperado mas não com listas. Um módulo etra-python (que tem que ser instalado separadamente), denominado numpy, faz a mágica. A principal contribuição de numpy é que ele provê um novo tipo chamado array, que se comporta como um vetor. Vamos vê-lo em ação no próimo programa, tentaarray.py mostrado na listagem 2.25, cujo resultado é ww = [4 6] kk = [3 6] Como podemos ver, agora as coisas funcionam. Para usar numpy, é claro, você tem que baiar o pacote, e ler o manual: procure em Vamos agora resolver um caso para o qual possuímos solução analítica. Dado o sistema a sua solução é du 1 d = u 2, du 2 d = u 1, u 1 () = k 1 e + k 2 e, u 2 () = k 1 e + k 2 e. O programa que resolve este sistema é o rungek4v.py mostrado na listagem 2.26; o mais interessante, e um dos pontos fortes de Python, é que a rotina rk4 segue inalterada: observe que ela é capaz de receber como entrada um array (y), assim como uma função que agora devolve array s (ff), e que ela própria agora devolve um array. Com um h = 0.1, os erros relativos médios de u 1 e u 2 são etremamente pequenos: ε = em ambos os casos. Graficamente, temos a resultado mostrado na figura Note que cosh sinh para 2,5.

4 Matemática Aplicada 64 Listagem 2.26: rungek4v.py: o método de Runge-Kutta multidimensional 4 # rungek4v: resolve as equações diferenciais 5 # 6 # du1/d = u2, 7 # du2/d = u1, 8 # 9 # usando o método de Runge-Kutta de ordem 4 10 # from future import print_function 12 from numpy import array 13 h = 0.1 # passo em 14 = [0.0] # inicial 15 y = [array([1.0,0.0])] # y inicial 16 n = int(10/h) # número de passos 17 from math import sinh, cosh 18 def ff(,y): 19 return array([y[1],y[0]]) 20 def rk4(,y,h,ff): 21 ''' 22 rk4 implementa um passo do método de Runge-Kutta de ordem 4 23 ''' 24 k1 = h*ff(,y) 25 k2 = h*ff(+h/2,y+k1/2) 26 k3 = h*ff(+h/2,y+k2/2) 27 k4 = h*ff(+h,y+k3) 28 yn = y + k1/6.0 + k2/3.0 + k3/3.0 + k4/ return yn 30 for i in range(0,n): # loop da solução numérica 31 n = (i+1)*h 32 yn = rk4([i],y[i],h,ff) 33.append(n) 34 y.append(yn) 35 erro0 = 0.0 # calcula o erro relativo médio 36 erro1 = for i in range(1,n+1): 38 yana0 = cosh([i]) 39 yana1 = sinh([i]) 40 erro0 += abs( (y[i][0] - yana0)/yana0 ) 41 erro1 += abs( (y[i][1] - yana1)/yana1 ) 42 erro0 /= n 43 erro1 /= n 44 print ( 'erro relativo médio = ', '%10.6f %10.6f' % (erro0,erro1) ) 45 fou = open('rungek4v.out','wt') 46 for i in range(0,n+1): # imprime o arquivo de saída 47 fou.write( '%12.6f %12.6f %12.6f\n' % ([i],y[i][0],y[i][1]) ) 48 fou.close()

5 O método de Runge-Kutta multidimensional delta = 0.5 u1() (num) u1() (ana) u2() (num) u2() (ana) 20.0 u() Figura 2.13: Solução numérica pelo Método de Runge-Kutta de um sistema de 2 equações diferenciais ordinárias z h(, t) Figura 2.14: Drenagem de um maciço poroso semi-infinito inicialmente totalmente saturado.