Thaysa Fernanda Elias

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Uma Nova Caracterização dos Espaços de Sobolev W,p (R n Thaysa Fernanda Elias São Carlos 28

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Uma Nova Caracterização dos Espaços de Sobolev W,p (R n Thaysa Fernanda Elias Orientador: Prof. Dr Tiago Henrique Picon Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de São Carlos como parte dos requisitos para a obtenção do Título de Mestre em Matemática. São Carlos 28

3 Dedico aos meus pais.

4 O que faço agora, talvez não podes compreender, todavia o compreenderás mais tarde. João 3:7 A tarefa não é tanto ver aquilo que ninguém viu, mas pensar o que ninguém ainda pensou sobre aquilo que todo mundo vê. Arthur Schopenhauer

5 AGRADECIMENTOS Essa é uma das partes mais difícies do trabalho, que nos faz refletir sobre a vida, nos questionarmos sobre o significado da palavra Gratidão. Comecei a pensar em todas as pessoas nas quais deveria direcionar meus agradecimentos, pessoas que me ajudaram ao longo desses 25 anos. Depois de algumas minutos percebi que seria impossível listar todos os nomes, então me restringi a tentar lembrar somente os nomes das pessoas que me ajudaram nesses últimos 7 anos, período no qual fiz graduação, intercâmbio e mestrado, também não foi uma tarefa nada fácil, por fim, me limitei a escrever os nomes das pessoas que me ajudaram nesses últimos 2 anos, mas meu medo de ter esquecido alguém falou mais alto, sendo assim optei por direcionar meus agradecimentos a Deus, Ele que é onipresente, unipotente e uniciente, sabe de cada uma das pessoas que me ajudaram, me inspiram, me desafiaram, me encorajaram, me fizeram ser quem eu sou hoje, peço para que Ele abençõe a vida dessas pessoas para que elas possam ajudar outras pessoas, bem como, ser ajudadas. Agradeço também a CAPES pelo apoio financeiro.

6 RESUMO Nessa dissertação apresentaremos uma nova caracterização para o espaço de Sobolev W, (R n, além disso, daremos uma nova demonstração da caracterização W,p (R n para < p <, em termos da desigualdade de Poincaré. Ambas as caracterizações foram estabelecidas por Piotr Hajlasz no paper A new characterization of the Sobolev spaces publicado na Studia Mathematica em 23. Palavras chaves: Função Maximal de Hardy-Littlewood, Espaços de Sobolev, Desigualdades de Poincaré, Caracterização pontual dos Espaços de Sobolev.

7 ASTRACT In this work we will present a new characterization of the Sobolev space W, (R n and also we give another proof of the characterization of the Sobolev space W,p (R n, < p <, in terms of Poincaré inequalities. oth characterization was proved by Piotr Hajlasz in the paper A new characterization of the Sobolev spaces published in Studia Mathematica in 23. Key words: Hardy-Littlewood Maximal Functions, Sobolev Spaces, Inequality of Poincaré, Pointwise Characterization of the Sobolev Space.

8 SUMÁRIO Lista de Abreviaturas 9 Preliminares 3. Tópicos em Teoria da Medida e Integração Tópicos de Análise Funcional Teoria das Distribuições Convolução Tópicos em Análise Harmônica Aproximação da Identidade Operador Maximal de Hardy e Littlewood Desigualdades do Tipo Forte e Fraco Teorema de Interpolação Espaços de Sobolev W,p (R n 5 3. Introdução aos Espaços de Sobolev W,p (R n Propriedades dos Espaços W,p (R n Desigualdades de Sobolev Uma nova caracterização dos Espaços de Sobolev Caracterização dos Espaços W,p (R n

9 SUMÁRIO Teorema de Equivalências em W,p (R n

10 LISTA DE SÍMOLOS Ω - Subconjunto aberto do R n C(Ω - Espaço das funções contínuas C k (Ω - Espaço das funções k vezes diferenciáveis C (Ω - Espaço das funções infinitamente diferenciáveis C c (Ω - Espaço das funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto C (R n - Espaço das funções contínuas que decaem no infinito D(Ω - Espaço das funções testes D (Ω - Conjunto das distribuições δ a - Distribuição Delta de Dirac no ponto a f g - f convolução com g u - Gradiente da função u H - Função de Heaviside no ponto M f - Função maximal de Hardy-Littewood M R f - Função maximal de Hardy-Littewood restrita S(Ω - Espaço das funções de Schwartz S (Ω - Conjunto dos funcionais lineares contínuos em S supp(f - Suporte da função ou distribuição f u - u = u ω f (λ - Função distribuição associada a f << - Medida absolutamente contínua

11 INTRODUÇÃO de Sobolev Nosso estudo inicial é dedicado a estabelecer uma nova caracterização dos espaços W,p (R n = {u L p (R n ; u L p (R n } para p <. Veremos a possibilidade de encontrar uma nova caracterização equivalente a W,p (R n que não envolva derivadas. A caracterização que apresentaremos é devida a Piotr Hajlasz. No artigo [3] Hajlasz provou que se < p < então u W,p (R n se, e somente se, existe g L p (R n tal que satisfaz a desigualdade u(x u(y x y (g(x + g(y q.t.p. Entretanto, para p = esse resultado não é verdadeiro (apresentaremos um contraexemplo no decorrer do texto. Um dos objetivos da dissertação é apresentar uma versão, também dada por Hajlaz, que engloba o caso p =. O texto fora estruturado da seguinte forma: no Capítulo veremos resultados preliminares sobre Teoria da Medida, Análise Funcional e Teoria das Distribuições. No Capítulo 2 apresentaremos alguns tópicos em Análise Harmônica, definiremos o operador maximal de Hardy-Littlewood e provaremos o Teorema de Interpolação de Marcinkiewicz. O Capítulo 3 será dedicado a uma breve introdução aos Espaços de Sobolev W,p (R n.

12 SUMÁRIO 2 Mostraremos que para certas escolhas de p os espaços são de anach, separável e reflexivo, bem como, alguns resultados sobre densidade e desigualdades nesse espaço. No que concerne o Capítulo 4, o principal capítulo da dissertação, cujo enfoque é estudar o artigo []. Alguns resultados dos capítulos iniciais não serão demonstrados, apenas citaremos as referências de suas demonstrações. 2

13 CAPÍTULO PRELIMINARES Neste capítulo trataremos de diversos assuntos em Teoria da Medida e Integração, alguns resultados de Análise Funcional e de Teoria das Distribuições. Assumiremos familiaridade com alguns tópicos em Espaços Métricos e Topologia. As principais bibliografias utilizadas neste capítulo foram: [8], [8] e [2] (para referências adicionais consulte [2] e [3].. Tópicos em Teoria da Medida e Integração Nesta seção vamos recordar algumas definições e resultados de Teoria da Medida que serão essenciais no estudo dos espaços L p. Em seguida enunciaremos alguns teoremas que serão recorrentes nas demonstrações dos resultados de Teoria das Distribuições como, por exemplo, Teorema da Convergência Monótona e Dominada. Por fim, definiremos medida de Radon e o Teorema de Radon-Nikodym, que serão importantes na demonstração de um lema fundamental que será enunciado no Capítulo 4. Seja X um conjunto não vazio. Dizemos que uma álgebra M em X é uma coleção de subconjuntos de X tal que: (i Se E M então E c M; 3

14 .. Tópicos em Teoria da Medida e Integração 4 n (ii Se E j M para j =, 2,, n então E j M. Uma σ álgebra é uma álgebra fechada para união enumerável. Observações: Seja M uma álgebra em X. Então j= ( M e X M. De fato, se E M então E E c = e E E c = X. ( n n c (2 Seja E j M para j =, 2,, n, temos E j = Ej c, ou seja, é uma álgebra fechada em relação a interseção finita. j= j= Se X é um espaço topológico qualquer então a σ álgebra gerada pela família de conjuntos abertos (fechados de X é chamada de σ álgebra de orel e seus elementos são chamados de conjuntos de orel. Seja X um conjunto equipado com uma σ álgebra M. Uma medida em M é uma função µ : M [, ] tal que (i µ( = ; (ii Se {E j } j N M é uma coleção enumerável disjunta então ( µ E j = j= µ(e j. j= O par (X, M é chamado de espaço mensurável e os conjuntos em M são chamados conjuntos mensuráveis. A terna (X, M, µ é chamado de espaço de medida. Uma medida satisfaz as seguintes propriedades: Proposição.. Seja (X, M um espaço mensurável. Então (i Sejam E e E 2 M tais que E E 2 então µ(e µ(e 2 ; ( (ii Se {E j } j N M então µ E j j= µ(e j. j= Demonstração. Vide [8] p

15 .. Tópicos em Teoria da Medida e Integração 5 Sejam (X, M, µ e (Y, N, σ espaços de medida. Dizemos que f : X Y é mensurável se f ( M para qualquer N. Denotamos por M + = M + (X, M, µ o espaço das funções a valores reais, não negativos e mensuráveis. Uma função em M + é chamada simples se pode ser escrita da seguinte forma: φ(x = n a j χ Aj, j= no qual a j R + e A j M disjuntos. Assim, podemos definir a integral de uma função simples em M + como: X ϕdµ = n a j µ(a j. j= Uma vez que definimos a integral de funções simples, podemos definir a integral para qualquer f M +, nesse sentido o próximo resultado afirma que qualquer função mensurável não negativa pode ser aproximada por funções simples. Proposição.2. Se f M + então existe uma sequência {ϕ j } j N de funções simples tais que ϕ j ϕ j+ e ϕ f, para todo j N. Além disso, ϕ j f pontualmente e uniformemente em qualquer conjunto no qual f seja limitada. Demonstração. Vide [8] p. 47. Agora podemos estender o conceito de integral a todas as funções mensuráveis a valores positivos. Se f M + então a integral de f com respeito a µ é X fdµ = sup ϕdµ, X no qual o supremo é tomado sobre todas as funções simples ϕ M + que satisfazem ϕ f. Os próximos resultados seguem na direção de definir a integral para funções mensuráveis a valores reais. Seja f : X [, + ] definimos a parte positiva e parte negativa de f, respec- 5

16 .. Tópicos em Teoria da Medida e Integração 6 tivamente, como f + (x = max(f(x,, f (x = max( f(x,. Observemos que f é mensuravel se, e somente se, f + e f pertencem a M +. Se, ao menos, uma das partes (positiva ou negativa possuem integrais finitas com respeito a µ, definimos a integral de f por fdµ = f + dµ f dµ, X X X e dizemos que f integrável. Teorema.3. (Teorema Convergência Monótona Seja {f n } n N uma sequência de funções em M + tais que f n (x f n+ (x f(x para todo n. Suponha que a sequência converge para uma função f em quase todo ponto. Então f = lim n f n. Demonstração. Vide [8] p. 3. Teorema.4. (Teorema Convergência Dominada Seja {f n } n N uma sequência de funções integráveis que convergem para uma função mensurável f em quase todo ponto. Além disso, suponha que exista uma função g integrável tal que f n (x g(x para todo n N. Então f = lim n f n. Demonstração. Vide [8] p. 44. Teorema.5. (Lema de Fatou Seja {f n } n N uma sequência de funções em M + que convergem para a função f em quase todo ponto. Então n lim inf f n lim inf n f n. 6

17 .. Tópicos em Teoria da Medida e Integração 7 Demonstração. Vide [8] p. 52. Definição.6. Seja (X, M um espaço mensurável. Uma medida com sinal em (X, M é uma função ν : M [, + ] tal que. ν( = ; 2. ν assume apenas um dos valores + ou ; 3. Se {E j } j N é uma sequência de conjuntos disjuntos em M então ( ν E j = j= ν(e j, j= ( no qual a soma converge absolutamente se ν E j j= é finita. Exemplo.7. Toda medida é uma medida com sinal. Definição.8. Se ν é uma medida com sinal em (X, M, um conjunto E M é positivo em relação uma medida ν (respectivamente negativo em relação a medida ν se ν(f (respectivamente ν(f para toda F M tal que F E. Dizemos que o conjunto F M é nulo em relação uma medida ν se ν(f = para toda F M tal que F E. Definição.9. Suponhamos que ν é uma medida com sinal e µ é uma medida positiva em (X, M. Dizemos que ν é absolutamente contínua com respeito a µ se µ(e = implicar ν(e = para qualquer E M, e escrevemos ν << µ. Vejamos um exemplo no qual as medidas não são absolutamente contínuas. Exemplo.. Considere uma enumeração {r, r 2, } do conjunto Q. Defina µ(a = r i A 2 i. 7

18 .. Tópicos em Teoria da Medida e Integração 8 Observemos que µ é uma medida positiva para qualquer aberto da reta, pois necessariamente A contém algum r i. Seja a medida de Lebesgue, sabemos que Q =. Porém, a medida µ de Q é µ(q = =. Portanto, µ não é absolutamente contínua com respeito à medida de 2i r i A Lebesgue. Definição.. Dizemos que duas medidas com sinais µ e ν em (X, M são mutualmente singulares, se existe E, F M tais que E F =, E F = X, E é nulo com respeito a medida µ e F é nulo com respeito a medida ν. Denotamos por µ ν. O próximo teorema afirma que quando ν << µ, a medida ν pode ser vista como integral, com respeito a medida µ, de uma certa função mensurável f. Teorema.2. (Teorema de Radon-Nikodym Sejam ν uma medida σ-finita e µ uma medida σ-finita positiva em (X, M. Existem únicas medidas λ, ρ σ finitas tais que λ µ, ρ << µ e µ = λ + ρ. Além disso, existe uma única função q.t.p µ-integrável f : X R tal que dρ = fdµ. Demonstração. Vide [8] p. 9. Definição.3. Seja µ uma medida de orel positiva em X e E um conjunto de orel em X. Dizemos que uma medida µ é regular exterior em E se µ(e = inf{µ(u; E U, U aberto}. Otto Marcin Nikodym ( matemático polonês, um de seus trabalhos mais famosos foi o teorema enunciado. 8

19 .. Tópicos em Teoria da Medida e Integração 9 Dizemos que uma medida µ é regular interior em E se µ(e = sup{µ(k; K E, K compacto}. Definição.4. A medida de Radon 2 em X é uma medida de orel que é finita em todo conjunto compacto (localmente finita, regular exterior em todo conjunto de orel e regular interior em todo conjunto aberto ou qualquer E M tal que ν(e <. Vejamos alguns exemplos de medidas de Radon. Exemplo.5. A medida de Lebesgue em espaços Euclidianos restrita a subconjuntos de orel é uma medida de Radon. Exemplo.6. Sejam (X, M mensurável e E M. A medida da contagem em X definida por: #E, se E é finito, µ(e =, se E é infinito, no qual #E denota a cardinalidade do conjunto E, não é uma medida de Radon, uma vez que não é localmente finita. Definição.7. Definimos C (R n o espaço das funções que decaem rapidamento no infinito, ou seja, C (R n = {f : R n C; f(x quando x + }. Para entendermos o próximo resultado, precisamos estabelecer a convergência em C (R n. Uma vez que C (R n C(R n é um espaço métrico completo com a norma herdada de C(R n, a convergência nesse espaço é dada da seguinte forma: Uma sequência ϕ j converge para zero em C (R n se existe um compacto K R n tal que supp(ϕ j K para todo j N e ϕ j uniformemente quando j (veja [2] página Johann Radon ( matemático austríaco, foi aluno de David Hilbert. 9

20 .. Tópicos em Teoria da Medida e Integração 2 Teorema.8. (Teorema de Representação de Riesz Se Ψ é um funcional linear contínuo em C (R n então existe uma única medida de radon µ tal que Ψ(f = fdµ, para toda f C (R n. Demonstração. Vide [8] p Um outro resultado utilizado durante o texto é o Teorema de Integração em coordenadas polares no R n. Teorema.9. Se f é orel mensurável em R n, com f ou f uma função integrável definida q.t.p, então f(xdx = R n S n f(rωr n dσ(ωdr, no qual dσ(ω é uma medida de orel na esfera S n. Demonstração. Vide [8] p. 78. Corolário.2. (Integração de uma função radial Seja f uma função mensurável definida em R n e integrável tal que f(x = g( x para alguma g definida (, então R n f(xdx = σ(s n g(rr n dr. Demonstração. Vide [8] p. 79. A seguir vejamos uma propriedade geral dos espaços com medida. Definição.2. Dizemos que um espaço (X, M, µ é s-regular (s > com respeito a medida µ, se µ(x < e existe uma constante b tal que para qualquer x X e para todo r diam X temos µ((x, r br s. 2

21 .2. Tópicos de Análise Funcional 2 Exemplo.22. A bola do R n com a medida de Lebesgue é n-regular. Demonstração. De fato, (x, r = ω n r n, no qual ω n denota o volume da bola unitária do R n..2 Tópicos de Análise Funcional Neste seção veremos alguns resultados sobre os espaços L p. Daqui em diante dx representa a medida de Lebesgue. Definição.23. Sejam f : Ω R n R e p <, definimos L p (Ω = {f mensurável; f(x p dx < }, Ω que é munida pela norma ( f p = f p p. R n Ainda, L p loc (Ω = {f mensurável; f(x p dx <, para qualquer K Ω compacto}. K Para p =, definimos L (Ω = {f mensurável; f(x C q.t.p}, neste caso a norma é dada por f = ess sup x R n f(x = inf{a ; µ(x; f(x > a = }, chamada de supremo essencial. Proposição.24. (Desigualdade de Hölder Sejam p e q são 2

22 .2. Tópicos de Análise Funcional 22 tais que + =. Se f p q Lp (R n e g L q (R n então fg L (R n e fg = f(xg(x dx f p g q. R n Demonstração. Vide [8] p. 82. Agora segue duas consequências da Desigualdade de Hölder. Proposição.25. (Desigualdade de Minkowski Se f, g L p (R n então f + g L p (R n e f + g p f p + g p. Demonstração. Vide [8] p. 94. Proposição.26. (Desigualdade de Hölder generalizada Sejam g, g 2,, g m funções tais que g i L p i (R n com p i para todo i =, 2,, m e m p =. p i i= Então m i= g i L p (R n e vale a desigualdade m g i p i= m g i pi. i= Demonstração. Vide [3] p. 93. Proposição.27. L p (R n é um subespaço de L loc (Rn para qualquer p. Demonstração. De fato, para p = é imediato. Suponhamos < p < e + =. p q Seja K R n compacto, ( /p ( f(x dx = K f(xχ K (x dx R n f(x p dx R n K dx /q = f p K /q <. 22

23 .3. Teoria das Distribuições 23 Para o caso p =, temos f(x dx f dx f K <. K K Portanto, f L loc (Rn. Teorema.28. (i L p (R n é um espaço de anach para p ; (ii L p (R n é um espaço separável para p < ; (iii L p (R n é um espaço reflexivo para < p <. Demonstração. Vide [3] p. 93, 95 e Teoria das Distribuições Na primeira metade do século XX o matemático francês Laurent Schwartz introduziu o formalismo ao que chamamos de Teoria das Distribuições. Com a criação dessa importante subárea da matemática Schwartz recebeu uma medalha Fields em 95. Considere x = (x, x 2,, x n R n e o gradiente = ( x, x2,, xn, no qual xi = x i. Dado α = (α, α 2,, α n N n com α = α + α α n escrevemos α = α x αn x n, denominamos α de multi-índice. Note que f = x x 2 x n f = f. Seja f : R n C contínua definimos o suporte de f por supp(f = {x R n ; f(x }. Observemos que o suporte é sempre um subconjunto fechado. Além disso, segue imediatamente da definição que se x / supp(f então f é nula em uma vizinhança de 23

24 .3. Teoria das Distribuições 24 x. Dizemos que uma função f tem suporte compacto se o supp(f for um conjunto compacto. O conjunto C k (R n será o espaço das funções k vezes diferenciáveis em R n e C (R n o espaço das funções infinitamente diferenciáveis em R n. Definimos o espaço C c (R n como sendo o espaço das funções definidas em R n infinitamente diferenciáveis com suporte compacto, denominado espaço das funções testes. Alguns autores denotam o espaço das funções testes por D(R n. Vale ressaltar que C (R n é o espaço das funções contínuas definidas em R n que decaem no infinito. Observemos que C c (R n C (R n. Poderíamos nos questionar sobre a existência de alguma função em C c (R n. O exemplo abaixo nos garante que o conjunto de tais funções é não vazio. Exemplo.29. Seja ϕ : R n R tal que ϕ(x = ( exp, se x <, x 2, se x. Vamos definir o conceito de convergência em C c (R n, essa definição induzirá uma topologia no espaço das funções testes. Definição.3. Dada uma sequência {ϕ j } j N C c (R n dizemos que a sequência converge para zero, ou seja, ϕ j, se existe um conjunto K R n compacto tal que supp(ϕ j K, para todo j N, e para qualquer α multi-índice temos α φ j converge uniformemente para em K, quando j. Definição.3. Um funcional linear contínuo f : C c (R n C é chamado de distribuição em R n. Denotamos o espaço das distribuições em R n por D (R n e < f, ϕ >:= f(ϕ para qualquer ϕ C c (R n. Em outras palavras, sejam ϕ, ϕ 2 C c (R n, λ C e {φ j } uma sequência em C c (R n, satisfazendo: (i f(ϕ + λϕ 2 = f(ϕ + λf(ϕ 2 ; (ii ϕ j C c (R n então f(ϕ j C. Exemplo.32. Sejam a R n e δ a : C c (R n C definida por δ a (φ := φ(a. Então δ a é uma distribuição chamada de Delta de Dirac 3. 3 Como fato histórico, é interessante saber que a ideia da distribuição Delta como pico de uma função 24

25 .3. Teoria das Distribuições 25 Demonstração. De fato, para qualquer φ, φ 2 C c (R n e λ C, temos δ a (φ + λφ 2 = (φ + λφ 2 (a = φ (a + λφ 2 (a = δ a (φ + λδ a (φ 2. Agora mostremos a continuidade de δ a. Consideremos uma sequência {φ j } j N C c (R n tal que φ j. Pela definição de convergência, isto significa que existe K R n compacto tal que supp(φ j R n para qualquer j N e para qualquer α multi-índice α φ j (x uniformemente para qualquer x K. Se a / K então φ j (a =, o que implica φ j (a. Se a K, em particular, consideremos o multi-índice α = (,,, assim α φ j (a = φ j (a. Abaixo um dos principais exemplos de distribuição. Exemplo.33. Seja f L loc (Rn então definimos uma distribuição associada a função f denotada por T f como T f (ϕ = f(xϕ(xdx, R n para qualquer ϕ Cc (R n. Demonstração. Primeiro vejamos que o funcional T f está bem definido. De fato, como ϕ < M, temos T f (ϕ = f(xϕ(xdx f(x ϕ(x dx M R R n n supp(ϕ f(x dx <. Portanto, T f L loc (Rn. A linearidade segue imediatamente das propriedades de integração. Mostremos agora que T f é contínua. De fato, dado ε >, como ϕ C c (R n existem um compacto K R n tal que supp(ϕ j K e j N no qual, se j j implica ϕ j (x < ε, para qualquer x K. Então, T f (ϕ j = supp(ϕ j f(x ϕ j (xdx K f(x ϕ j (x dx ε f(x dx. K concentrada em um ponto foi introduzida pela engenheiro elétrico, graduado em matemática, Paul Dirac ( Essa função aparece no seu livro Principles Quantum Mechanics (93. Para saber mais sobre essa função veja [4]. 25

26 .3. Teoria das Distribuições 26 para qualquer j j. A partir desse exemplo, inferimos que L loc (Rn D (R n, ou seja, podemos identificar as funções localmente integráveis como distribuições. À vista da Proposição.27, qualquer função f em L p (R n pode ser vista como distribuição por meio do operador T f, mais ainda, qualquer função nos subespaços C(R n, C k (R n, C c (R n, pode ser visto como distribuição. Vale a pena ressaltar que a recíproca nem sempre é válida. Vamos assumir por hora que C c (R n é denso em L p (R n para p < (esta demonstração encontra-se no Capítulo 4. Um contraexemplo é a distribuição Delta de Dirac vista no Exemplo.33, é uma distribuição, contudo, não define uma função em L loc (Rn. De fato, suponhamos que exista f L loc (Rn tal que T f = δ, ou seja, < δ, φ > = f(xφ(xdx, R n para qualquer φ C c (R n. Definamos ( exp η k (x := kx 2, se x k,, caso contrário, para todo k N. Como η k C c (R n, temos η k (xf(xdx = δ(η k = η k ( = e para todo k N. Assim, e = η k (xf(xdx η k (,/k f(x dx. Como f L loc (Rn e η k e, pelo Teorema de Convergência Dominada segue e e inf f(x dx =. k N (,/k Absurdo. Portanto, a distribuição delta de Dirac não define uma função em L loc (Rn. 26

27 .3. Teoria das Distribuições 27 Proposição.34. Sejam f, g L loc (Rn. Então f = g em quase todo ponto se, e somente se, T f = T g no sentido das distribuições. Demonstração. Vide [8] p. 35. Em vista das proposições acima, não faremos distinção entre f L loc (Rn e a distribuição T f associada a ela. Motivados por integração por partes, definimos a derivada de uma distribuição u D (R n como xj u, ϕ := u, xj ϕ, (. para qualquer ϕ C c (R n e para qualquer j =, 2,, n. Analogamente, para α multi-índice e u D (R n definimos α u, ϕ := ( α u, α ϕ, (.2 para qualquer ϕ C c (R n. Dessa forma, a derivada de uma distribuição é também uma distribuição. Exemplo.35. Consideremos a função H : R\{} R dada por, se x > H (x =, se x <. Observemos que H L loc (R, logo H é uma distribuição, chamada de distribuição de Heaviside 4. A derivada de H é a distribuição Delta de Dirac vista no Exemplo.33. Demonstração. De fato, para qualquer ϕ C c com supp(ϕ [ M, M] com M R, 4 Recebeu esse nome devido ao engenheiro elétrico Oliver Heaviside (85-897, um inglês que desenvolveu um dispositivo matemático para manipular equações e analisar indução eletromagnética. 27

28 .3. Teoria das Distribuições 28 temos H, ϕ = = = R M H (x ϕ(xdx ϕ(xdx ϕ(xdx = ϕ(m + ϕ( = ϕ( = δ, ϕ. Concluímos, H = δ. Definição.36. Definimos o espaço de Schwartz S(R n como sendo o conjunto das funções f C (R n tal que para qualquer α, β multi-índice, vale sup x α β f(x <. Definimos a topologia em S(R n do seguinte modo: Uma sequência {ϕ k } k converge para zero se, e somente se, para quaisquer α, β multi-índices x α β ϕ k (x uniformemente em R n. Exemplo.37. Qualquer função infinitamente diferenciável com suporte compacto é uma função de Schwartz, ou seja, C c (R n S(R n. Entretanto, a recíproca não é verdadeira. Considere a função e x 2 S(R n, mas não pertence a C c (R n. Os funcionais lineares contínuos em S(R n são chamados de distribuições temperadas, denotado por S (R n. Proposição.38. O espaço de Schwartz S(R n está contido L (R n. Demonstração. Considere f S(R n para α = n + 2, β =, para x grande, temos 28

29 .4. Convolução 29 f(x < c. Então x n+2 f(x dx = f(x dx + f(x dx R n x x f (, + c x x n+2 c + c S n+ r n+2 rn drds = c + c r drds 3 S n+ c + c 2 S n+ = C <. O espaço de Schwartz S(R n é denso em L p (R n. Além disso, C c (R n é denso no espaço de Schwartz S(R n, como consequência disso, a restrição dos funcionais S (R n no conjunto C c (R n define uma distribuição em D (R n, com isso temos que S (R n D (R n..4 Convolução Primeiro iniciemos com a definição de convolução para funções contínuas. Definição.39. Sejam f, g : R n C funções contínuas, no qual ao menos uma delas possua suporte compacto. Definimos a operação convolução por f g(x = f(x yg(ydy. R n As hipóteses de continuidade e suporte compacto garantem que a integral esteja bem definida. A operação de convolução satisfaz algumas propriedades que serão listadas na proposição a seguir. Proposição.4. Suponha que a integral acima esteja bem definida. Então (i é bilinear e simétrico; (ii (f g h = f (g h; (iii Se w R n então τ w (f g = (τ w f g onde τ w f(x = f(x w; 29

30 .4. Convolução 3 (iv supp(f g {supp(f + supp(g}. A demonstração dos itens (i e (ii são simples, mostremos apenas os dois últimos. Demonstração (iii Seja x R n então τ w ((f g(x = (f g(x w = f(x w yg(ydy R n = τ w f(x yg(ydy R n = (τ w f g(x. Demonstração (iv Primeiro notemos que supp(f + supp(g é um conjunto fechado. Seja x R n, basta mostrarmos que se x / supp(f + supp(g então x / supp(f g, ou seja, (f g(x =. De fato, (f g(x = f(x yg(ydy = f(x yg(ydy. (x supp(f (supp(g Se x / supp(f + supp(g então (x supp(f (supp(g =, assim (f g(x =. Portanto, (f g(x = q.t.p em (supp(f + supp(g c. Em particular, (f g(x = q.t.p em Int[(supp(f + supp(g c ]. Donde concluímos, supp(f g {supp(f + supp(g}. Teorema.4. (Desigualdade de Young Sejam p, q, r tais que + r = +. Se f p q Lp (R n e g L q (R n então f g existe q.t.p e vale f g r f p g q. Demonstração. Vide [3] p. 4. Motivamos pela definição de convolução para funções contínuas vamos estender este conceito para para distribuições. 3

31 .4. Convolução 3 Definição.42. Sejam u D (R n e ϕ C c (R n denotaremos por u ϕ a função definida por (u ϕ(x = u, ϕ(x Exemplo.43. δ a ϕ(x = δ a, ϕ x = ϕ x (a = ϕ(x a. Exemplo.44. Seja f L loc (Rn, já vimos que podemos associar a esta uma distribuição T f, então T f φ(x = f(yφ(x ydy. R n O próximo resultado nos mostra como a operação de derivação se comporta com relação a convolução. Teorema.45. Seja f C k c (R n e g L loc (Rn então f g C k (R n e satisfaz α (f g = ( α f g para qualquer multi-índice α k. Demonstração. Vide [3] p. 7. 3

32 CAPÍTULO 2 TÓPICOS EM ANÁLISE HARMÔNICA Neste capítulo versaremos sobre o operador maximal de Hardy-Littlewood e algumas consequências decorrentes da limitação destes operadores. Um dos principais resultados do capítulo é o Teorema de Marcinkiewicz, que é fundamental para o estudo da limitação do operador maximal de Hardy-Littlewood em norma L p para < p <. Além disso, veremos também o conceito de aproximação da identidade e o Teorema da Diferenciação de Lebesgue. Este capítulo foi baseado na referência [5]. 2. Aproximação da Identidade Seja φ L (R n tal que φ =. Para cada ε > definimos φ ε (x := ε n φ ( x ε, (2. denominada Aproximação da Identidade. Notemos que a seguinte propriedade é mantida φ(xdx = φ ε (xdx =. R n R n 32

33 2.. Aproximação da Identidade 33 Um exemplo de função como acima é dado por φ(x = ϕ(x ϕ no qual ϕ(x = ( exp, se x <, x 2, se x. Outro fato interessante sobre as funções {φ ε } ε> é que, quando ε o volume de φ ε se concentra na origem, em outras palavras é um Delta de Dirac na origem. Proposição 2.. Seja φ L (R n tal que φ =. Então φ ε converge para a função δ em S (R n quando ε. Demonstração. De fato, para qualquer φ S(R n, temos φ ε, ϕ = φ ε (xϕ(xdx = R n R n ε n φ ( x ε ϕ(xdx = φ(zϕ(εzdz. R n Pelo Teorema da Convergência Dominada, quando ε temos φ(zϕ(εzdz φ(zϕ(dz = ϕ(. R n R n Assim, φ ε, ϕ ϕ( = δ, ϕ. Portanto, lim ε φ ε (ϕ = δ (ϕ em S (R n. Como δ f = f para qualquer f S(R n temos φ ε f f quando ε. Por esta razão, dizemos que φ ε é uma aproximação da identidade. O próximo resultado nos fornece informação adicional sobre a convergência de φ ε f f em L p. Teorema 2.2. Seja φ L (R n com R n φ(xdx =. Se f L p (R n com p < então φ ε f f em norma L p (R n quando ε. 33

34 2.. Aproximação da Identidade 34 Demonstração. De fato, φ ε f(x f(x = = = = φ ε (x yf(ydy φ(yf(xdy R n R ( n x y R ε φ f(ydy φ(yf(xdy n n ε R n φ(zf(x εzdz φ(zf(xdz R n R n φ(z[f(x εz f(x]dz. R n Pela Desigualdade de Minkowski, temos φ ε f f p = = ( R n p p φ(z[f(x εzdz f(x]dz R ( n φ(z p f(x εzdz f(x p p dx dz R n R n R n φ(z τ εz f f p dz τ representa uma translação, ou seja, τ a g( := g( a. Para cada z fixo, defina f z como sendo τ εz f f p. Observe que f z é integrável, limitada por τ εz f f p 2 f p. Além disso, converge para zero q.t.p. quando ε, pois a translação é contínua na norma L p (R n para p <. Portanto, pelo Teorema da Convergência Dominada, concluímos que φ ε f f p. Observação 2.3. Se lim ε φ ε f f p = então φ ε f p f p. Isto segue como consequência direta da desigualdade triangular, pois φ ε f p f p φ ε f f p. Além disso, se φ ε f f p então passando a uma subsequência temos que φ εk f f q.t.p quando ε k. 34

35 2.2. Operador Maximal de Hardy e Littlewood Operador Maximal de Hardy e Littlewood Seja r = (x, r a bola centrada em x R n e raio r >. Definição 2.4. Seja f L loc (Rn então definimos a função maximal de Hardy-Littlewood por Mf(x = sup r> f(y dy, r r no qual o supremo é tomado sobre todas as bolas centradas no ponto x e r é a medida de Lebesgue de r. Embora definimos a função maximal de Hardy-Littlewood com bolas centradas no ponto x, poderíamos ter definido para qualquer bola que contenha o ponto x, pois as bolas não centradas estão contidas na bola com raio duas vezes maior que o raio das bolas centradas, assim é possível mostrar que as definições são equivalentes, ou seja, que existem c e c 2 tais que c M f Mf c 2 M f, no qual M é a função maximal definida para bolas centradas. Chamamos de Operador Maximal de Hardy-Littlewood M : f L loc(r n Mf M(R n, no qual M(R n é o espaço de todas as funções mensuráveis em R n. Proposição 2.5. Se f L (R n e f então Mf / L (R n. Demonstração. Se f L (R n e f, existe r R n mensurável tal que r f(x dx ε >. Caso contrário, se para toda r aberto tivéssemos f(x dx = então f(x = em r quase todo ponto de r. Como r é arbitrário, implicaria que f(x = em quase todo ponto do R n. Seja x R n tal que x > r, temos r (x, 2 x. Assim, Mf(x = sup r> f(y dy f(y dy r r r r 35 ε r ε (x, 2 x = c ε x. n

36 2.2. Operador Maximal de Hardy e Littlewood 36 Sabemos, R n x n dx = Sn r n rn dr = S n dr =. r Portanto, Mf / L (R n. O Teorema de Diferenciação de Lebesgue, também conhecido como Teorema Pontual de Lebesgue nos fornece uma aproximação de médias de uma função. Teorema 2.6. (Teorema de Diferenciação de Lebesgue Seja f L loc (Rn então lim f(x ydy = f(x r + r r q.t.p, no qual r = (, r. Este teorema será provado mais adiante. Corolário 2.7. Seja f L p (R n. Então lim f(y p dy = f(x p r + r r(x q.t.p. no qual r (x = (x, r. Demonstração. Como L p (R n L loc (Rn, aplicando o teorema anterior para f(y p, o resultado segue diretamente. Definição 2.8. Seja x R n, dizemos que x é um ponto de Lebesgue de f quando lim f(x y f(x dy = r + r r q.t.p Observação 2.9. Se x é um ponto de Lebesgue e { j } j N sequência de bolas tal que 2 j e j = {x} (bolas não necessariamente centradas em x então j= lim j f(ydy = f(x. j j 36

37 2.3. Desigualdades do Tipo Forte e Fraco Desigualdades do Tipo Forte e Fraco Estamos interessados em estudar a limitação do operador maximal de Hardy- Littlewood nos espaços L p, isto é, nos questionarmos quando existe uma constante C > tal que Mf p C f p, para toda f L p. Para p =, o resultado é imediato. Seja = (x, r, para qualquer r >, temos Logo, f(y dy f dy = f. Mf(x = sup r> f(y dy f. Portanto, Mf f. Para p =, vimos na Proposição 2.5 que a desigualdade não é válida, pois se f não é identicamente nula temos Mf(x x para x grande. Diante disso, não é possível obter a estimativa desejada para o caso p =, mas podemos enfraquecer a estimativa. Observemos que f = f(x dx > R n λ {x R n ;f(x>λ} {x R n ;f(x>λ} f(x dx dx = λ {x R n ; f(x > λ} ou seja, {x R n ; f(x > λ} f λ. Pergunta: Será possível encontrar uma constante c > tal que {x R n ; Mf(x > λ} c f λ? Inspirados nessa observação definiremos um controle que chamaremos de desigualdade do tipo fraco. 37

38 2.3. Desigualdades do Tipo Forte e Fraco 38 Definição 2.. Um operador T : V {g : (X, µ C mensuráveis}, V espaço vetorial, é dito ser sublinear se satisfaz: (i T (f + f 2 (x T f (x + T f 2 (x ; (ii T λf(x = λ T f(x. para qualquer f, f 2, f V, x X e λ C. Exemplo 2.. O operador Maximal de Hardy-Littlewood é sublinear. Demonstração. De fato, sejam f, g L loc (Rn e λ C então para qualquer x R n, temos M(f + g(x = sup r> sup r> = sup r> f + g (ydy r r ( f + g (ydy r r f(y dy + sup r r r> = Mf(x + Mg(x. r r f(ydy Ainda, M(λf(x = sup r> = λ sup r> = λ Mf(x. λf (ydy r r r r f (ydy Sejam (X, µ e (Y, ν espaços com medida e T : L p (X, µ {g mensuráveis; g : Y C} sublinear. Definição 2.2. Dizemos que T é do tipo fraco (p, q com p, q < se existe uma constante C > tal que ( c f p ν ({y Y ; T f(y > λ} λ 38 q

39 2.3. Desigualdades do Tipo Forte e Fraco 39 para λ >. Definição 2.3. Dizemos que T é (p, q forte com p, q se T é limitado de L p (X, µ em L q (Y, ν, ou seja, se existe uma constante C > tal que T f q C f p para qualquer f L p. Observação 2.4. Quando q =, as definições de forte e fraco coincidem. Proposição 2.5. Se T é do tipo (p, q forte então T é do tipo fraco (p, q. Demonstração. Considere o conjunto E λ = {y Y ; T f(y > λ}, assim T f(y ν(e λ = dν dν T f(y E λ E λ λ λ E q dν q λ λ q T f q p λ q c f q p. Portanto, ( q C f p ν(e λ. λ Exemplo 2.6. Um exemplo de operador fraco (, e forte (, é o operador de maximal de Hardy-Littewood. Já mostramos que o operador de maximal de Hardy-Littewood é forte (,, para mostrarmos que ele é fraco, precisaremos do lema que enunciaremos a seguir. Lema 2.7. (Lema de Recobrimento de Vitali Seja = {, 2,, N } uma coleção de bolas (abertas ou fechadas em R n. Então existe uma subcoleção { i, i2,, ik } de bolas disjuntas de tal que N j 3 n l= k ij. j= Demonstração. A demonstração deste lema é construtiva. Considere a bola = (x, r de maior raio do conjunto e defina = (x, 3r. Todas as bolas que intersectam estarão contidas em. Chame de i, delete todas as bolas que intersectam i. As 39

40 2.3. Desigualdades do Tipo Forte e Fraco 4 bolas restantes formam uma coleção, no qual repetimos este o processo, que acabará após k passos e assim teremos k bolas disjuntas. Como toda bola l está contida em uma i j e i j = 3 n ij segue N l l= k k i j = 3 n ij. j= j= Demonstração do Exemplo 2.6. Vamos utilizar o lema para mostrar que Mf é fraco (,. Seja f L (R n mensurável e E λ = {y Y : Mf(y > λ}. Notemos que o conjunto E λ é um aberto, pois E λ = Mf ]λ, + [ e a aplicação (x, r f(y dy := g(x, r (x, r (x,r é contínua em R n ], + [. De fato, suponhamos que (x n, r n (x, r quando n e mostremos que g(x n, r n g(x, r, uma vez que χ (xn,r n χ (x,r e χ (xn,r n é limitada, segue do Teorema da Convergência Dominada f(y dy (x n, r n (x n,r n f(y dy. (x, r (x,r Portanto, a aplicação g é contínua em R n ], + [ Consideremos x E λ, assim existe uma bola r centrada em x tal que f(y dy > λ. r r Logo, r < f(y dy. λ r Seja K E λ compacto. Observemos que K x E λ r, sendo este compacto podemos 4

41 2.3. Desigualdades do Tipo Forte e Fraco 4 extrair uma subcobertura finita de bolas disjuntas n K l. l= Pelo lema anterior, existem i, i2,, in disjuntas tal que n K l 3 n l= 3n λ = 3n λ 3n λ k ij j= k j= ij f(y dy f(y dy n j= i j f(y dy R n = 3n λ f. Como E λ = sup{ K ; K E λ com K compacto} e E λ 3n λ f, segue que Mf é fraco (,. Definição 2.8. Seja {T t } t> uma família de operadores lineares definidos em L p (X, µ. Definimos T f(x = sup T t f(x t> chamado de operador maximal associado a família T t. Teorema 2.9. Se T (definido como acima é fraco (p, q então o conjunto A = {f L p (X, µ; lim T t f(x = f(x q.t.p} t t é fechado em L p (X, µ. Demonstração. Seja {f n } n N A tal que f n f em L p, ou equivalentemente, f n f p. Mostremos que f A. Como f n A para todo n N, vale que lim T t f n (x = f n (x t t q.t.p 4

42 2.3. Desigualdades do Tipo Forte e Fraco 42. Analisemos a medida do seguinte conjunto E λ = µ({x X; lim t t sup T t f(x f(x > λ}. Somando e subtraindo f n e usando a desigualdade triangular temos T t f(x f(x T t (f n f(x (f n f(x + T t f n (x f n (x. Então, lim sup T t f(x f(x lim sup T f (f n f(x (f n f(x + lim sup T t f n (x f n (x. t t t t t t Com a observação acima podemos separar o conjunto na seguinte união {x X; lim t t sup T t f(x f(x > λ} {x X; lim t t sup T t (f n f(x (f n f(x > λ/2} {x X; lim t t sup T t (f n f n (x > λ/2} Entretanto, ( µ {x X; lim sup T t (f n f n (x > λ/2} =, t t pois, por hipótese, f n A, ou seja, lim t t T t f n (x = f n (x q.t.p. Assim, como T f(x = sup T t f(x e T é fraco (p, q, segue ( µ {x X; lim sup T t f(x f(x > λ} t t µ ({x X; lim sup T t (f n f(x (f n f(x > λ/2} t t ( µ {x X; lim sup T t (f n f(x > λ/2} t t µ ({x X; Tt (f n f(x > λ/2} ( q 2c fn f p. λ Por hipótese, f n f em L p, segue que E λ com λ uniforme. Para concluir a 42

43 2.3. Desigualdades do Tipo Forte e Fraco 43 demonstração, consideremos λ = n com n N e notemos que E = E n µ(e µ(e = q.t.p n Assim, µ({x X; lim t t sup T t f(x f(x > λ} = q.t.p O que implica, lim t t T t f(x = f(x. Portanto, A é fechado. Vamos agora demonstrar o principal resultado deste seção. Demonstração do Teorema 2.6. Vamos supor f L (R n e f, caso contrário escrevamos f = f + f com f +, f no qual f + (x = f(xχ {x R n ;f(x } e f (x = f(xχ {x R n ;f(x<}. No caso em que f seja complexo escrevamos f = Ref + iimf. caso: f é contínua. Fixado r temos que f é uniformemente contínua em r, ou seja, dado ε > existe δ > tal que y < δ então f(x y f(x < ε. Considere r = min{δ, r} assim, se s < r para qualquer y s temos que f(x y f(x < ε. Portanto, (f(x y f(xdy s f(x y f(x dy < ε. s s s 2 caso: f L (R n. Para cada r > defina T r f(x = f(x ydy. r r Pelo Teorema 2.9 aplicado a p = temos que o conjunto A = {f L (R n ; lim T t f(x = f(x t t q.t.p} é fechado em L (R n. Como o conjunto das funções contínuas está contido em A que é 43

44 2.4. Teorema de Interpolação 44 denso e fechado em L (R n, assim o resultado segue para f L (R n. Agora se f L loc (Rn, consideremos a família Q constituída por cubos {Q j } j de tamanho, então f = j= fχ Q j = f j, j= no qual cada f j L (R n, pois f j R n f <. Q j Pelo 2 caso, temos lim r f j (x ydy = f j (x r r em que R n \E j tal que E j =. Defina E = j= E j, temos lim f(x ydy = f(x r r com R n \E. Mas, E E j =. j= 2.4 Teorema de Interpolação Definição 2.2. Se f é uma função mensurável de X em C, definimos sua função distribuição ω f (λ em [, + como ω f (λ = µ({x X : f(x > λ}. Exemplo 2.2. A função distribuição da função f(x = x p é ω f (λ = S n λ n p. Demonstração. Pois, {x R n ; x p > λ} = {x R n ; ( λ p > x }, e a medida deste último conjunto é igual a medida (, λ p. Com a definição precedente as normas em L p (R n, para p <, ficam com- 44

45 2.4. Teorema de Interpolação 45 pletamente determinadas pela função distribuição. De fato, pelo Teorema de Fubini, obtém-se: f p p = f(x p dx = R n = p = p R n f(x pλ p dλdx λ p dxdλ f(x >λ λ p ω f (λdλ. Portanto, f p = ( p λ p p ω f (λdλ. (2.2 Proposição Se f é uma função mensurável de X em C. Suponhamos φ : [, + [, + diferenciável, crescente e tal que φ( = então φ ( f(x dx = X φ (λω f (λdλ. Demonstração. φ ( f(x dx = X = = = = X X ( f(x φ (λdλ dx ( φ (λ φ (λχ {x X; f(x >λ} (xdλ dx ( χ {x X; f(x >λ} (xdx dλ X φ (λµ({x X; f(x > λ}dλ φ (λω f (λdλ. Teorema (Teorema de Interpolação de Marcinkiewicz Dados (X, µ e (Y, ν espaços de medida com p < p e T um operador sublinear de L p (X, µ + L p (X, µ no conjunto das funções mensuráveis definidas em Y. Se T é do tipo fraco (p, p e fraco (p, p então T é do tipo forte para todo p < p < p. Antes de começarmos a demonstração, vamos esclarecer alguns conceitos. 45

46 2.4. Teorema de Interpolação 46 Define-se L p + L p como sendo o conjunto das funções f tais que f = f + f no qual f pertence a L p e f pertence a L p. Ainda, uma norma neste espaço é dado por f = inf { f p + f p }. f=f +f Demonstração. A ideia inicial consiste em escrever f como soma de duas funções f e f de modo que pertençam a L p, L p respectivamente. Seja p < p < p, fixe f L p (X e λ >. Defina f (x = f(xχ {x X: f(x >cλ} e f (x = f(xχ {x X: f(x cλ}, no qual c é uma constante a ser determinada. Claramente, f = f + f. Afirmação: f L p. Note que {x X : f(x > cλ} = {x X : f(x cλ > } e que p p >, assim X f (x p dx = f(x p dx f(x {x X: cλ >} ( p p f(x p f(x dx X cλ = (cλ p p f(x p dx <, X pois f L p. Afirmação: f L p. 46

47 2.4. Teorema de Interpolação 47 Observe {x X : f(x cλ} = {x X : f(x cλ } e que p p <, logo X f (x p dx = f(x p dx f(x {x X: cλ } ( p p f(x p f(x dx X cλ = (cλ p p f(x p dx <. X pois f L p. Observemos que o conjunto {x X; T f(x > λ} está contido na seguinte união {x X; T f (x λ/2} {x X; T f (x λ/2}, De fato, notemos que T f (x λ/2 e T f (x λ/2, então λ < T f(x = T (f + f (x T f (x + T f (x < λ Contradição. Assim, ω T f (λ = µ({x X; T f(x > λ} µ({x X; T f (x λ/2} + µ({x X; T f (x λ/2} = ω T f (λ/2 + ω T f (λ/2. Dividamos a demonstração em dois casos. caso: p =. Escolhamos c = 2a, no qual a é tal que T f a f para toda f L. Mostraremos que ω T f (λ/2 =. Segue da definição que f (x = f(xχ {x X: f(x cλ} cλ = λ 2a, 47

48 2.4. Teorema de Interpolação 48 Assim, T f a f aλ 2a = λ 2. Deste modo, T f (x T f λ/2. para todo x X. Logo, ω T f (λ/2 = µ({x X : T f (x > λ/2} =. (2.3 Por hipótese, T é fraco (p, p, ou seja, ω T f (λ/2 ( p 2c λ f p. (2.4 Finalmente, da igualdade 2.2 e das desigualdades (2.3, (2.3 e (2.4, temos T f p p = p λ p ω T f (λ/2 dλ ( λ p p X X f p p. f(x p f(x p dx f(x p dx {x X: f(x cλ} ( f(x c λ p p dλ dx dλ 2 caso: p < Como ω T f (λ = µ({x X : T f(x > λ} sabemos que ω T f (λ ω T f (λ/2 + ω T f (λ/2. Além disso, por hipótese, T é fraco (p, p e fraco (p, p sendo assim, vale: ( p ( p 2c f p 2c f p ω T f (λ/2, ω T f(λ/2. (2.5 λ λ 48

49 2.4. Teorema de Interpolação 49 Seguem pelas estimativas (2.2,(2.5 e pelo Teorema de Fubini T f p p = T f(x p X p λ p ω T f (λ/2dλ + p λ p ω T f (λ/2dλ p pc λ p p f (x p dxdλ X p + pc λ p p f (x p dxdλ X λ p p f(x p dxdλ {x X:f(x>cλ} + λ p p f(x p dxdλ + X X X f p p. f(x p f(x p {x X:f(xcλ} ( f(x c ( f(x c λ p p dλ λ p p dλ f(x p f(x p p dx + X dx dx f(x p f(x p p dx Exemplo Como o operador maximal de Hardy-Littlewood fraco (, e forte (,, segue como consequência do Teorema de Interpolação de Marcinkiewicz que o operador maximal é forte (p, p para < p <, isto é, existe uma constante C > tal que Mf p C f p f L p. 49

50 CAPÍTULO 3 ESPAÇOS DE SOOLEV W,P (R N Em 93, Sobolev introduziu o conjunto das funções no espaço de Lebesgue L p com derivadas em L p, espaço que recebe seu nome a saber Espaços de Sobolev, que tornouse muito importante no desenvolvimento de diversas áreas da análise como Equações Diferenciais Parciais, principalmente no que tange problemas da Mecânica e da Física. Neste capítulo faremos uma breve introdução à Teoria dos espaços de Sobolev no intuito de estabelecer as principais propriedades que serão utilizadas no capítulo posterior. Veremos alguns resultados gerais, dentre eles a Desigualdade Clássica de Poincaré e a Desigualdade de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg. Este capítulo foi baseado nas referências [], [7], [2] e [2]. 3. Introdução aos Espaços de Sobolev W,p (R n Vamos recapitular alguns resultados. Vimos no Capítulo que se u D (R n e α N n multi-índice então a derivada distribucional de u é definida por α u, ϕ := ( α u, α ϕ, Sergei Lvovich Sobolev ( matemático russo, introduziu os espaços de Sobolev, bem como funções generalizadas. 5

51 3.. Introdução aos Espaços de Sobolev W,p (R n 5 para qualquer ϕ C c (R n e portanto defini uma distribuição. Vimos também que se u L loc (Rn então a identificamos pela distribuição T u D (R n dada por T u (ϕ = u(xϕ(xdx = u, ϕ, R n para ϕ C c (R n. Além disso, no Exemplo.35 calculamos a derivada distribucional da função Heaviside H L loc e vimos que a derivada de H é a distribuição Delta de Dirac δ / L loc (Rn. Mostramos que não existe nenhuma função f L loc (Rn que satisfaça δ, ϕ = f(xϕ(xdx, para qualquer ϕ Cc (R n. Com isso, dado u L loc (Rn, pode ou não existir uma função v L loc (Rn tal que u(x α ϕ(xdx = ( α v(xϕ(xdx R n R n para qualquer ϕ C c (R n. Justificados por tais observações formalizemos o conceito de derivada fraca. Definição 3.. Seja u L loc (Rn e α N n multi-índice. Então uma função v L loc (Rn é a α-ésima derivada fraca de u se u(x α φ(xdx = ( α v(xφ(xdx R n R n para qualquer φ C c (R n. Comumente escrevemos v = α u. Proposição 3.2. Se a derivada fraca existe então ela é única. Demonstração. De fato, suponha que existam v e v 2 L loc (Rn satisfazendo u(x α φ(xdx = ( α R n v (xφ(xdx = ( α R n v 2 φdx R n 5

52 3.. Introdução aos Espaços de Sobolev W,p (R n 52 para toda φ C c (R n. Então (v v 2 (xφ(xdx = = φ(xdx R n R n para toda φ Cc (R n. Assim, pela Proposição.34 segue que v v 2 = ou seja, v = v 2 q.t.p. Exemplo 3.3. Sejam n =, Ω = (, 2 e φ Cc (Ω com suporte compacto em Ω. Considere x, se < x, u(x =, se < x < 2. Essa função não possui derivada no sentido clássico, mas possui derivada no sentido fraco (ou distribucional. Demonstração. Defina, se < x, v(x =, se < x < 2. Afirmação: u = v no sentido fraco. De fato, 2 u(xφ (xdx = = = = u(xφ (x u(xφ (xdx xφ (x + φ (xdx φ(xdx + φ(2 φ( ( φ( φ(xdx = 2 v(xφ(xdx Exemplo 3.4. Sejam n =, Ω = (, 2 e φ C c (Ω com suporte compacto em Ω. Considere x, se < x, u(x = 2, se < x < 2. 52

53 3.. Introdução aos Espaços de Sobolev W,p (R n 53 Afirmação: Não possui derivada fraca. Suponha (por absurdo que exista v L loc (Ω tal que 2 u(xφ (xdx = 2 v(xφ(xdx para toda φ C c (Ω. Então 2 u(xφ (xdx = = = φ( = φ( u(xφ (xdx + xφ (xdx u(xφ (xdx 2φ (xdx φ(xdx + 2φ( 2φ( φ(xdx. Deveríamos ter, 2 v(xφ(xdx = φ( + φ(xdx, (3. o que é impossível. De fato, existe uma função φ Cc (Ω tal que φ e φ numa vizinhança de K Ω com K compacto (Veja [8] p. 7. Consideremos K = {} e Ω = ( /m, + /m com m N. Assim, obtemos uma sequência {φ m } m N tal que φ m ( =, φ m para qualquer m N e φ m quando m para x. Substituindo φ por φ m na igualdade (3., temos 2 v(xφ m (xdx = φ m ( + φ m (xdx. Como φ m são funções integráveis, pois φ m C c (Ω, φ m q.t.p e φ m, pelo Teorema de Convergência Dominada, segue que φ m (xdx. Assim, = lim m 2 ( v(xφ m (xdx = lim φ m ( + m φ m (xdx =. 53

54 3.2. Propriedades dos Espaços W,p (R n 54 Absurdo. Definição 3.5. Seja p. Os espaços de Sobolev W,p (R n consistem de todas as funções f L p (R n tais que existe a i-ésima derivada fraca xi f L p (R n para qualquer i =, 2,, n. Além disso, definimos o espaço W,p loc (Rn como sendo o espaço das funções f L p loc (Rn tais que existe a i-ésima derivada fraca xi f L p loc (Rn para qualquer i =, 2,, n.. Note que podemos escrever os espaços de Sobolev W,p (R n, como W,p (R n = {f L p (R n ; f L p (R n }, no qual f = ( x f, x2 f,, xn f. Sejam p e f W,p (R n. Uma norma para o espaço W,p (R n é dada por ou equivalentemente, f,p = f p + n xi f p, i= f,p = f p + f p, no qual g = ess sup x R n g(x. 3.2 Propriedades dos Espaços W,p (R n Vejamos algumas propriedades dos espaços W,p (R n. Proposição 3.6. W,p (R n é um espaço de anach para p. Demonstração. Seja {f n } n N uma sequência de Cauchy em W,p (R n então existe um n N tal que para qualquer m, n n temos f n f m,p < ε. 54

55 3.2. Propriedades dos Espaços W,p (R n 55 Pela definição do espaço W,p (R n segue xi f n xi f m p < ε, para todo i =, 2,, n, ou seja, xi f m é uma sequência de Cauchy em L p (R n, sendo L p (R n completo existem f e g i, ambas pertencentes a L p (R n, tais que f n f e xi f n g i na norma L p (R n, para todo i =, 2,, n. Resta mostrar que g i é a i-ésima derivada fraca de f. Como f n W,p (R n vale f n (x xi φ(xdx = ( ( xi f n (xφ(xdx, R n R n para qualquer φ Cc (R n. Afirmação : f n (x xi φ(xdx f(x xi φ(xdx. R n R n De fato, usando a Desigualdade de Hölder.24 e a hipótese de que f n f, temos f n (x xi φ(xdx f(x xi φ(xdx R n R n f n f (x xi φ(xdx R n f n f p xi φ q, no qual + =. p q Afirmação 2: ( xi f n (xφ(xdx g i (xφ(xdx. R n R n De fato, novamente pela Desigualdade de Hölder.24 e a hipótese de que f n g i, temos ( xi f n (xφ(xdx g i (xφ(xdx R n R n ( xi f n (xφ(x g i (x φ(x dx R n xi f n (x g i (x p φ q, no qual p + q =. Assim, para qualquer φ C c (R n e i =, 2,, n, temos ( g i φ = lim ( ( xi f n φ = lim f n ( xi φ = f( α φ. R n n R n n R n R n 55

56 3.2. Propriedades dos Espaços W,p (R n 56 Portanto, g i é a derivada fraca de f, donde concluímos que W,p (R n é um espaço de anach. Teorema 3.7. Seja f W,p (R n então supp( xi f supp(f para qualquer i =, 2,, n. Demonstração. Seja {O j } j J a família de todos os subconjuntos abertos de O j do R n tais que f = em quase todo ponto de O j. Podemos ver o suporte da função f como sendo o conjunto R n \O no qual O = j J O j (notemos que esta definição é equivalente a definição de suporte que apresentamos no Capítulo, pois se x / suppf f(x = x O j x O j x / R n \O. O teorema segue se mostrarmos que xi f = q.t.p em O j, para qualquer j J, com i =, 2,, n. Para qualquer φ C c (O j, temos ( xi f(xφ(xdx = O j f(x xi φ(xdx = O j q.t.p em O j. Pela Proposição.34, segue xi f = q.t.p em O j. Teorema 3.8. Seja f W,p (R n para p < então existe uma sequência {ϕ m } m N W,p C (R n tal que ϕ m f em W,p (R n quando m. Em outras palavras, W,p C (R n é denso em W,p (R n. Demonstração. Sejam f W,p (R n com p < e ϕ C c (R n uma função integrável com ϕ(xdx =. Tal como fizemos em (2., para cada ε > definamos aproximação da identidade dada por ϕ ε (x = ε n ϕ ( x ε. Consideremos a seguinte convolução f ε := ϕ ε f. Afirmação. f ε C W,p (R n. 56