ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

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1 ESL PLITÉNI UNIVERSIE E SÃ PUL epartamento de Enenharia Mecânica Mecânica I PME 300 Prova n o 3 a 7 / / 08 uração da Prova: 0 minutos Não é permitido o porte de calculadoras, "tablets", celulares e dispositivos similares. QUESTÃ (3,0 pontos) sistema merial da fiura é composto pelas partículas B e, cada massa m uma de massa m, e pela partícula, de massa M. s y massa M a barras E, B, e E tem massa desprezível. a etermine: massa m a) o momento de inércia z, em função de M, m e B das dimensões do sistema; 3a b) o valor de M, em função de m, para que os E x z produtos de inércia seam todos nulos. B // z QUESTÃ (3,5 pontos) Para alimentar um sistema de inspeção de peso de caixas de alimentos, uma caixa retanular de massa m (modelada como ponto merial), partindo do repouso, desce por uma superfície sem rito é inir uma correia transportadora que se move com velocidade horizontal v. Nessa correia, o coeficiente de rito entre a caixa e a superfície é, e a caixa escorrea em relação a esta superfície. caixa deve passar sob o sistema de inspeção com a mesma velocidade da correia a uma distância d do ponto onde entrou na correia. Usando o Teorema da Eneria inética, determine qual é essa distância d. H k i d Sistema de inspeção v orreia transportadora QUESTÃ 3 (3,5 pontos) Um carretel de massa M é formado por dois cilindros, de raios R e r, soldados um ao outro, e tem um fio ideal enrolado na circunferência do cilindro (,R). Esse carretel é colocado sobre um trilho fixo e inclinado E, num plano vertical, e uma força R r paralela ao trilho é aplicada na ponta B do i fio, conforme mostrado na fiura ao lado. k Suponha que não há escorreamento entre o E carretel e o trilho. É dado o momento de inércia z do carretel, em relação ao seu centro de massa. Usando o sistema de coordenadas indicado na fiura, e em função dos dados, pede-se: B fio a) o diarama de corpo livre do carretel; b) a relação entre a aceleração do ponto e a aceleração anular do carretel; c) a expressão da força de rito no conto em, em função da força ; d) supondo pequeno, o valor mínimo da força para que o carretel suba pelo trilho.

2 QUESTÃ (3,0 pontos) sistema merial da fiura é composto pelas partículas B e, cada massa m uma de massa m, e pela partícula, de massa M. s y massa M a barras E, B, e E tem massa desprezível. a etermine: massa m a) o momento de inércia z, em função de M, m e B das dimensões do sistema; 3a b) o valor de M, em função de m, para que os E x z produtos de inércia seam todos nulos. B // z a Momento de inércia z : z M m 3a M 8 a m3a 8M 6ma z b álculo dos produtos de inércia: xz m 3a a m 3a a M 0 0 a m a M yz m 0 0 yz xz xy m3 a M ma 4Ma 43m M a xy Basta anular o produto de inércia xy : xy 3m M 4a 0 M 3m bservações: omo o plano xy é de simetria, pode-se concluir imediamente que 0, e que o xz yz eixo z é principal de inércia. Impondo 0, temos que os eixos x e y também são principais de inércia. xy

3 QUESTÃ (3,5 pontos) Para alimentar um sistema de inspeção de peso de caixas de alimentos, uma caixa retanular de massa m (modelada como ponto merial), partindo do repouso, desce por uma superfície sem rito é inir uma correia transportadora que se move com velocidade horizontal v. Nessa correia, o coeficiente de rito entre a caixa e a superfície é, e a caixa escorrea em relação a esta superfície. caixa deve passar sob o sistema de inspeção com a mesma velocidade da correia a uma distância d do ponto onde entrou na correia. Usando o Teorema da Eneria inética, determine qual é essa distância d. 0 d H k i Sistema de inspeção v orreia transportadora Na parte onde não há rito, apenas a força peso realiza trabalho. Usando o Teorema da Eneria inética: E E0 W0 mv mh v H Na correia transportadora, é a posição do sistema de inspeção: iarama de corpo livre da caixa Teorema da resultante N se v v max m se v v ma y N m 0 N m Nesse trecho, é a posição do sistema de inspeção, como há escorreamento, e a posição vertical é constante, apenas a força de rito realiza trabalho. N m (constante, pois há escorreamento) W d md Teorema da eneria cinética E E W mv mv md mv mh md omo queremos v v : mv mh md d v H (uma das respostas) (a seunda resposta)

4 QUESTÃ 3 (3,5 pontos) Um carretel de massa M é formado por dois cilindros, de raios R e r, soldados um ao outro, e tem um fio ideal enrolado na circunferência do cilindro (,R). Esse carretel é colocado sobre um trilho fixo e inclinado E, num plano vertical, e uma força R r paralela ao trilho é aplicada na ponta B do i fio, conforme mostrado na fiura ao lado. k Suponha que não há escorreamento entre o E carretel e o trilho. É dado o momento de inércia z do carretel, em relação ao seu centro de massa. Usando o sistema de coordenadas indicado na fiura, e em função dos dados, pede-se: B fio a) o diarama de corpo livre do carretel; b) a relação entre a aceleração do ponto e a aceleração anular do carretel; c) a expressão da força de rito no conto em, em função da força ; d) supondo pequeno, o valor mínimo da força para que o carretel suba pelo trilho. a) iarama de corpo livre: b) Não havendo escorreamento: v v vi 0 k r v i r i a r i () e () e (4): M rsen R r (5) M r R z z MrR z r M N z M r Msen k i (6) c) Teorema da Resultante M a Msen i N M cos Usando (): M r Msen () 0 N M cos N M cos (3) Teorema da Quantidade de Movimento nular H M H z k H z k M r Rk z r R (4) d) Para o carretel subir pelo trilho: 0. ssim, de (5): r Msen R r

5 bservações: Para que a hipótese de não haver escorreamento sea válida, temos também um limite superior para a força : z MrR zm sen Para não escorrear: N M cos usando(3) e (6) M r M z m r z cos MrR z sen Para que haa que sisfaça os limites mínimo e máximo: M r sen M R r r sen R r z z M r z M r cos MrR z cos MrR z sen z sen z R r tan R