As bases da Dinâmica Molecular - 7

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1 As bases da Dinâmica Molecular - 7 Alexandre Diehl Departamento de Física - UFPel

2 Considere um sistema com N partículas monoatômicas, que interagem através de um potencial do tipo Lennard-Jones (LJ). Tomando o parâmetro de distância ij = 1.0 e de energia ij = 1.0, construa um programa em FORTRAN 90 que faça o que se pede: 1. Insira as N partículas de forma aleatória (use a função ran2) dentro de uma caixa cúbica de lado L. A menor separação centro-centro entre quaisquer duas partículas durante a inserção deve ser 1.5. Caso não seja possível inserir as N partículas, o programa deve ser interrompido. 2. Atribua velocidades aleatórias para as partículas, mantendo a velocidade do CM igual à zero. 3. Faça um loop de MD, a fim de acompanhar a evolução temporal do sistema (use velocity-verlet como integrador) durante um certo tempo. A saída do programa deve fornecer a energia cinética energia potencial por partícula, além da velocidade do CM, todas em função do tempo de simulação. IDMSF2017 2

3 Algumas propriedades IDMSF2017 3

4 Algumas propriedades Energia cinética por por partícula Energia potencial por por partícula IDMSF2017 4

5 Etapas de uma simulação em MD produção termalização IDMSF2017 5

6 Etapas de uma simulação em MD termalização produção Termalização também chamada de etapa de equilibração. usada para o sistema perder a memória da configuração inicial. não calculamos propriedades nesta etapa. O número de passos de MD na etapa depende dos parâmetros da simulação (densidade, temperatura, etc). IDMSF2017 6

7 Etapas de uma simulação em MD termalização produção Produção as propriedades de interesse flutuam em torno de valores médios. O sistema é dito em equilíbrio. calculamos as propriedades nesta etapa. O número de passos é definido de tal forma a minimizar as flutuações em torno dos valores médios. IDMSF2017 7

8 Média aritmética simples dos valores instantâneos Média temporal sobre os M valores da propriedade A, calculada para cada intervalo de tempo de MD. O valor de M neste caso é igual ao número de passos de MD usados na etapa de produção. As sucessivas medidas A i estão separadas por t. Como t em geral é pequeno, as medidas A i estão fortemente correlacionadas, o que impacta negativamente no valor da média (os A i não são independentes). IDMSF2017 8

9 Médias de blocos [Flyvbjerg e Petersen. J. Chem. Phys. 91, 461 (1989)] Dividimos a etapa de produção em um dado número de blocos. Cada bloco é separado dos demais por um dado número de passos de MD. Cada passo de MD dentro de um bloco tem comprimento t. IDMSF2017 9

10 Médias de blocos [Flyvbjerg e Petersen. J. Chem. Phys. 91, 461 (1989)] Dividimos a etapa de produção em um dado número de blocos. Cada bloco é separado dos demais por um dado número de passos de MD. Cada passo de MD dentro de um bloco tem comprimento t. O número de blocos em geral não é grande (10, por exemplo). As propriedades de interesse são calculadas dentro de cada bloco e reunidas nas médias destas propriedades por bloco. Se o número de passos entre dois blocos sucessivos é grande o suficiente, dizemos que as médias por bloco estão descorrelacionadas (são independentes). IDMSF

11 Médias de blocos [Flyvbjerg e Petersen. J. Chem. Phys. 91, 461 (1989)] Ao final da etapa de produção reunimos as médias por bloco para calcular o valor médio da propriedade de interesse na simulação. Como as médias por blocos estão descorrelacionadas (são independentes) esta média final pode ser calculada como uma média aritmética simples. Queremos estimar também o erro (incerteza) na medida desta propriedade. Em geral o número de blocos é pequeno, o que inviabiliza o uso do desvio padrão como uma medida da incerteza do resultado da simulação. Devemos usar a distribuição t de Student para ter uma medida da incerteza (ou da confiança no resultado). IDMSF

12 Distribuição t de Student Student. "The Probable Error of a Mean." Biometrika 6, 1-25 (1908) Usada quando queremos obter a média de uma população a partir de uma amostra menor desta população. A população é constituída de um número muito grande variáveis aleatórias e independentes x i, que seguem uma distribuição normal (gaussiana). Em geral não se sabe o valor médio ou o desvio padrão da população, mas ela deve ser normal. Tomamos uma amostra menor de N membros independentes da população. IDMSF

13 Distribuição t de Student Student. "The Probable Error of a Mean." Biometrika 6, 1-25 (1908) O valor médio e o desvio padrão desta amostra podem ser calculados facilmente. Quando o número de membros da amostra cresce, obtemos o resultado da população estudada. A diferença normalizada entre a média da amostra e o valor médio real da amostra é definida pela variável t. onde IDMSF

14 Distribuição t de Student Student. "The Probable Error of a Mean." Biometrika 6, 1-25 (1908) A variável aleatória t tem uma distribuição t de Student com N-1 graus de liberdade. Número de graus de liberdade Função Gamma IDMSF

15 Distribuição t de Student Student. "The Probable Error of a Mean." Biometrika 6, 1-25 (1908) O teste t de Student é usado como um teste de hipótese, usando conceitos estatísticos para rejeitar ou não uma hipótese nula, desde que o objeto de teste siga uma distribuição t de Student. A hipótese é testada com um dado grau (ou porcentagem) de confiança (confidence). O intervalo de confiança (95%, por exemplo) dos resultados de uma amostra com N elementos é calculado como IDMSF

16 Distribuição t de Student Student. "The Probable Error of a Mean." Biometrika 6, 1-25 (1908) Os valores críticos t crit são calculados para um dado número de graus de liberdade e nível de significância. Mede o nível de confiança Se o nível de confiança é de 95%, por exemplo, = Os valores t crit de são obtidos de tabelas, especialmente preparadas para este fim, para um dado número de graus de liberdade e níveis de confiança. IDMSF

17 IDMSF

18 Valor Valor médio Desvio padrão IDMSF

19 TAREFA 5: Considere um sistema com N partículas monoatômicas, que interagem através de um potencial do tipo Lennard-Jones (LJ). Tomando o parâmetro de distância ij = 1.0 e de energia ij = 1.0, construa um programa em FORTRAN 90 que faça o que se pede: 1. Insira as N partículas de forma aleatória (use a função ran2) dentro de uma caixa cúbica de lado L. As velocidade devem ser aleatórias e de mesmo módulo, com velocidade do CM igual a zero. 2. Calcule o valor médio da energia potencial e cinética por partícula, usando médias de 10 blocos. Data limite de entrega: 04/06/2017 (mandar o arquivo.f90 para o [email protected]) IDMSF