Códigos de detecção e correção de erro

Transcrição

1 Códigos de detecção e correção de erro Raul Queiroz Feitosa Conteúdo Motivação Idéia Básica Definições Deteção de Erro Correção de Erros Código de Hamming Exercícios Códigos 2 1

2 Motivação Erros ocorrem: 0 s se transformam em 1 s devido a causas espúrias em dispositivos de memória, em sistemas de comunicação, etc. Objetivo: Procurar mecanismos que sejam capazes de detectar ou, melhor ainda, corrigir este erros. Códigos 3 Idéia Básica Para representar 2 m palavras utilizam-se n=r+m bits (r bits mais do que o necessário!) Entre as 2 m+r palavras possíveis 2 m palavras são válidas e 2 m (2 r -1) são inválidas. O sistema só gera palavras válidas. Logo, se surgir alguma palavra inválida, trata-se de um erro! Códigos 4 2

3 Definições Código é o conjunto de palavras válidas. Erro simples é a alteração de uma palavra válida numa única posição (bit). Códigos 5 Definições Distância de Hamming entre palavras é o número de posições (bits) em que as palavras diferem. Exemplo: p 1 = h(p 1,p 2 )=3 p 2 = xor(p 1,p 2 ) = Códigos 6 3

4 Definições Distância de Hamming de um código é menor distância de Hamming entre 2 palavras do código. Exemplo: H= Códigos 7 Detecção de erro Para que uma palavra (válida) de um código com H=d se transforme numa outra palavra (válida) do mesmo código, deverão ocorrer pelo menos d erros simples. Logo, um código capaz de detectar d erros simples deve ter H d+1 Códigos 8 4

5 Detecção de erro Exemplo: bit de paridade Códigos 9 Correção de erro Idéia básica: Qualquer palavra inválida é substituída pela válida mais próxima (em termos de distância de Hamming) logo, um código será capaz de corrigir até c erros simples, se e somente se H 2c+1 Códigos 10 5

6 Correção de erro Problema: Suponha que se deseja construir um código contendo 2 m palavras válidas, capaz de corrigir até 1 erro simples. Quantos bits extra serão necessários (r=?) Códigos 11 Correção de erro Solução: 2 m+r total 2 m válidas (m+r)2 m inválidas a uma distância 1 de uma válida Portanto, m+r+1 2 r Códigos 12 6

7 Correção de erro Pela relação anterior m r m+r overhead (%) Códigos 13 Código de Hamming Construindo um código de correção de 1 erro simples para 2 m palavras Acrescentam-se r bits de paridade (vide slide anterior): total de m+r bits por palavra Bits são numerados de 1 a m+r Posições potência inteira de 2 têm os bits de paridade, cf. próximo slide Códigos 14 7

8 Código de Hamming Construindo um código de correção de 1 erro simples para 2 m palavras Bit 1 1, 3, 5, 7, 9, 11 Bit 2 2, 3, 6, 7, 10, 11 Bit 4 4, 5, 6, 7, 12 Bit 8 8, 9, 10, 11, 12 Códigos 15 Exercícios 1. Deseja-se construir um código composto de 3 palavras código de 8 bits cada uma. As palavras código devem ser escolhidas de modo a maximizar o número de erros simples que se poderá detectar. Pergunta-se quantos erros simples se poderá corrigir com tal código? Códigos 16 8

9 Exercícios 2. Derive uma relação que forneça um limite inferior para o número de bits de verificação (r) necessários para se montar um código de correção de até 2 erros simples para 2 m palavras válidas distintas. Códigos 17 Exercícios 3. Seja o código formado pelas palavras código abaixo: Qual é a distância de Hamming do Código? Qual é o número máximo de erros simples que se pode detectar neste código? Qual é o número máximo de erros simples que se pode corrigir neste código? Códigos 18 9

10 Exercícios 4. Qual é o código completo contendo 12 bits produzido pelo código de Hamming derivado palavra de 8 bits abaixo? Altere aleatoriamente um dos bits do resultado à questão anterior e verifique se você consegue identificar o bit alterado, e portanto, corrigí-lo. Códigos 19 FIM Códigos 20 10