Sistemas de Telecomunicações 1

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1 CODIFICAÇÃO PARA CONTROLO DE ERROS Paula Queluz Sistemas de Telecomunicações

2 Introdução O ruído, a distorção e eventuais interferências, inerentes ao processo de transmissão do sinal, podem originar erros no sinal recebido. A codificação para controlo de erros (CCE), também designada por codificação de canal, consiste em adicionar informação redundante (i.e., mais bits ) à mensagem original; essa redundância é utilizada na recepção de modo a possibilitar a detecção e/ou correcção de erros que tenham eventualmente ocorrido durante a transmissão. A utilização de codificação para controlo de erros conduz a um aumento da complexidade do sistema, em maior ou menor grau, consoante o tipo de código utilizado. Sistemas de Telecomunicações 2

3 Áreas de aplicação Armazenamento de dados Memórias RAM Sistemas de armazenamento ópticos e magnéticos (discos rígidos, CD s, DVD s) Comunicações digitais Comunicações via-satélite Comunicações móveis celulares Comunicações de áudio e vídeo (DAB, DVB) Redes de computadores (protocolo TCP/IP) Sistemas de Telecomunicações 3

4 Cenário de aplicação 4 Sistemas de Telecomunicações 4

5 Codificação para detecção de erros O receptor não consegue corrigir os erros, mas pode detectá-los e efectuar um pedido de retransmissão da informação errada (ARQ - automatic repeat request ) Apropriado para Canais com pouco atraso Canais com uma ligação de retorno Não é apropriado para dados sensíveis ao atraso, e.g., transmissão de voz ou vídeo em tempo real. Em alguns sistemas, esta forma de controlo de erros é utilizada apenas com o propósito de determinar a qualidade da comunicação, e não de garantir uma comunicação isenta de erros (exemplo: controlo de erro nas hierarquias TDM-SDH) 5 Sistemas de Telecomunicações 5

6 Exemplo Códigos de paridade A cada sequência de k bits da informação a transmitir, é acrescentado um bit (bit de paridade) de modo a que o número total de bits a na sequência de k+ bits resultante seja par (paridade par) ou ímpar (paridade ímpar). Simples de implementar (operações XOR) Exemplo (paridade par): Bits de informação: bit de paridade Palavra de código: Só detecta erros se estes ocorrerem em número ímpar. Sistemas de Telecomunicações 6

7 Exemplo Códigos de paridade (cont cont.) Tabela de codificação para um código de paridade (4,3) Informação Palavra de código Sistemas de Telecomunicações 7

8 Exemplo Códigos de paridade no SDH B3 (POH Cabeçalho de caminho) B, B2 e B3 : usados para detecção de erros, ao nível de blocos de bits Sistemas de Telecomunicações 8

9 Codificação para correcção de erros Possibilita a correcção de erros que tenham ocorrido durante a transmissão. É introduzida maior redundância do que na codificação para detecção de erros; codificação e descodificação são também mais complexas. Apropriado para dados sensíveis ao atraso e transmissão unidireccional. Dois tipos principais de códigos: Códigos de blocos Códigos convolucionais Designação Inglesa: Forward Error Correction (FEC). Sistemas de Telecomunicações 9

10 Exemplo Códigos de repetição Codificação: ==> ==> Palavra recebida:. Qual foi a palavra transmitida? cenário A: com erro na a. posição cenario B: com erros na 2a. e 3a. posições Descodificação: aplica lógica de maioria Decisão na descodificação: ==> Exemplo de aplicação: envio do bit de controlo de justificação nas hierarquias TDM-PDH. Desvantagem: aumento da LB necessária para a transmissão e de um factor igual ao número de repetições. Sistemas de Telecomunicações

11 Relembrar Estrutura da Trama E2 Transporta 2 canais de 64 kbit/s; f b =8448 kbit/s SAT bits 52 4 bits 52 4 bits 5 4 bits 2 bits de serviço 4 bits de controlo de justificação 4 bits de controlo de justificação 4 bits de controlo de justificação 4 bits de justificação E E E E MUX E2 E2 Sistemas de Telecomunicações

12 Exemplo Códigos de repetição Codificação: ==> ==> Palavra recebida:. Qual foi a palavra transmitida? cenário A: com erro na a. posição cenario B: com erros na 2a. e 3a. posições Descodificação: aplica lógica de maioria Decisão na descodificação: ==> Exemplo de aplicação: envio do bit de controlo de justificação nas hierarquias TDM-PDH. Desvantagem: aumento da LB necessária para a transmissão e de um factor igual ao número de repetições. Sistemas de Telecomunicações 2

13 Classes de Códigos para Controlo de Erros Codificação de canal Detecção Correcção Bloco Bloco Convolucionais Verificação de paridade CRC Cheksum Binários Não binários TCM Convolucionais Binários Códigos Turbo Hamming BCH Reed Solomon Sistemas de Telecomunicações 3

14 Códigos de blocos A mensagem a transmitir é dividida em blocos de k símbolos. Cada bloco de k símbolos da mensagem é codificado num bloco de n símbolos (palavra de código), com n>k código de blocos (n,k). Os símbolos adicionais são designados por símbolos de paridade. n-k símbolos Símbolos de paridade k símbolos Símbolos da mensagem Um código de blocos é: palavra de código com n símbolos Binário, se os símbolos forem bits Linear, se a adição (XOR) de quaisquer duas palavras de código válidas, resulta numa palavra de código válida Cíclico, se um desvio circular de qualquer palavra de código válida, resulta numa palavra de código válida Sistemas de Telecomunicações 4

15 Códigos de blocos (cont cont.) Tipicamente é utilizada a notação vectorial, Mensagem m = (m m 2.m k ) Palavra de código c = (c c 2..c n ) A redundância introduzida pelo código é quantificada pela taxa do código (code rate) Taxa do código = k/n i.e., quanto maior for a redundância, menor é a taxa do código (mas maior é o número de erros que podem ser detectados ou corrigidos) Para um código de blocos (7,4): Comprimento da mensagem k = 4 Comprimento da palavra de código n = 7 Taxa do código = 4/7 m = (), c = (), por exemplo Sistemas de Telecomunicações 5

16 Distância de Hamming A distância de Hamming entre duas palavras de código, é o número de diferenças entre bits correspondentes. A distância de Hamming d(, ) é 2 pois = (dois s) A distância de Hamming d(, ) é 3 pois = (três s) A distância de Hamming mínima de um código, d min, é a mais pequena distância de Hamming entre todos os pares de palavras do código. Sistemas de Telecomunicações 6

17 Exemplo: código (5,2) Mensagem Código (5,2) Palavra de código d min = 3 Qual a d min de um código de paridade? Sistemas de Telecomunicações 7

18 Número de Erros Detectáveis É possível detectar qualquer situação de a s erros desde que a distância de Hamming mínima de um código de blocos seja: d min = s + (É possível a detecção de situações com mais de s erros, mas não todas.) Sistemas de Telecomunicações 8

19 Número de Erros Corrigíveis É possível corrigir qualquer situação de a t erros desde que a distância de Hamming mínima de um código de blocos seja: d min = 2t + (É possível efectuar-se a correcção em algumas situações com mais de t erros, mas não todas.) Sistemas de Telecomunicações 9

20 Exemplo: código (7,4) No. Mensagem Código No. Mensagem Código Sistemas de Telecomunicações 2

21 Exemplo: código (7,4) (cont cont.) Palavras de código ` t = d min = 3 Território de Qualquer palavra desta coluna será descodificada como Todas as palavras de 7 bits Sistemas de Telecomunicações 2

22 Limite de Hamming Num código (n,k) existem 2 k palavras de código distintas (as que se podem transmitir), sendo no entanto possível receber 2 n palavras distintas (todas as que se podem formar com n bits) Para se poderem corrigir até t erros, a distância mínima do código deve ser 2t + O número total de palavras existentes em cada esfera, incluíndo a palavra de código no seu centro, é t n t n + = i= i i= i (i é o número de bits em que uma dada palavra difere da palavra de código) O número total de sequências de n bits que deverá existir para que possam ser corrigidos até t erros, é: 2 k t = i i n Sistemas de Telecomunicações 22

23 Limite de Hamming (cont cont.) Mas o número total de sequências é 2 n, pelo que: 2 k t i = n i 2 n t i = n i 2 ( n k ) No. de bits redundantes Limite de Hamming Um código que verifica a igualdade é designado por código perfeito (mas isto não significa ser o melhor!) O limite de Hamming é uma condição necessária (mas não suficiente) para a existência de um código (n,k) com a capacidade para corrigir t erros Sistemas de Telecomunicações 23

24 Exemplo Questão: Será possível construir um código (,7) com capacidade para corrigir todas as situações de erro? + = + = > 3 2 R: Não é possível. Sistemas de Telecomunicações 24

25 Limite de Gilbert O limite de Hamming impõe um limite inferior ao número de bits redundantes (n-k) necessários para que um código de blocos linear (n,k) consiga corrigir t erros. O limite de Gilbert, indica um limite superior do número de bits redundantes necessários para se conseguir corrigir t erros. 2 t i = n i 2 ( n k ) Limite de Gilbert Sistemas de Telecomunicações 25

26 Questões a resolver no processo de codificação Como seleccionar as 2 k palavras de código a partir das 2 n sequências possíveis, de modo a garantir a maior distância mínima para o código resultante? Exemplo: Como obter as 6 palavras do código (7,4) representado no slide 7? Será necessário armazenar toda a tabela de codificação? Necessário processos eficientes de codificação e de descodificação Sistemas de Telecomunicações 26

27 Códigos de blocos lineares - codificação Num código de blocos linear, as palavras de código podem ser obtidas a partir de: c = m G, onde a matriz G (k n) é a matriz geradora do código. Exemplo: O código de blocos (7,4) apresentado atrás tem a seguinte matriz geradora: G = m Para m=() c=( ) I (4 4) Códigos sistemáticos Sistemas de Telecomunicações 27

28 Códigos de blocos lineares (cont.) Uma palavra de código válida verifica a relação: c H T =, onde H ((n-k) n) é a matriz de verificação de paridade do código. Exemplo: O código de blocos (7,4) apresentado atrás tem a seguinte matriz de verificação de paridade: H = Se a matriz geradora do código, G, puder ser escrita na forma sistemática G=[P (k n-k) I (k k) ], então H pode-se obter directamente através de H = [I (n-k n-k) P T (n-k k) ] Sistemas de Telecomunicações 28

29 Códigos de blocos lineares - descodificação com síndromas Para um código de blocos linear, sendo r a palavra recebida e e a sequência de erros : s = r H T = (c+e) H T = + e H T síndroma só depende do erro Se s=, a palavra recebida é considerada como correcta c r Compute syndrome Compute s Look-up s Look-up table syndrome table + r e e c c De notar que como r=c e tem-se também c=r e Sistemas de Telecomunicações 29

30 Códigos de blocos lineares - descodificação com síndromas Para um código de blocos linear, sendo r a palavra recebida e e a sequência de erros : s = r H T = (c+e) H T = + e H T síndroma só depende do erro Se s=, a palavra recebida é considerada como correcta c r Compute syndrome Compute s size n-k Look-up Look-up table syndrome table s + r e e c c De notar que como r=c e tem-se também c=r e Sistemas de Telecomunicações 3

31 Look up table size Code Number of valid codewors Number of different syndromes (7,4) 2 4 = = 8 (5,9) 2 9 = = 64 (3,25) 2 25 = = 64 (63,57) 2 57 =.44 x = 64 Sistemas de Telecomunicações 3

32 Códigos detectores de erros Sistemas de Telecomunicações 32

33 Exemplos Miquelina Pereira Oliveira Asdrúbal Oliveira * Pancrácia Pereira Oliveira S. Sebastião da Pedreira * Lisboa Olivais * Lisboa //98 SOL.,7 4/9/2 Sistemas de Telecomunicações 33

34 Classes de Códigos para Controlo de Erros Codificação de canal Detecção Correcção Bloco Bloco Convolucionais Verificação de paridade CRC Cheksum Binários Não binários TCM Convolucionais Binários Códigos Turbo Hamming BCH Reed Solomon Sistemas de Telecomunicações 34

35 Representação de sequências binárias através de polinómios Uma sequência de bits pode ser representada como um polinómio. O bit mais à direita (LSB) representa o termo de expoente ; o bit seguinte representa o termo de expoente, etc. Se um bit tiver valor, o termo correspondente do polinómio é eliminado. Sistemas de Telecomunicações 35

36 Códigos Cíclicos ( Cyclic redundancy check - CRC) Seja M(x) o polinómio correspondente à mensagem, e G(x) um polinómio conhecido pelo codificador e pelo descodificador (polinómio gerador). Exemplo: m=() M(x)=x 9 + x 8 + x 6 + x 4 + x 3 + x + G(x) = x 4 + x + Nos códigos CRC, os bits redundantes são determinados de modo a que a representação em polinómio da palavra de código resultante - T(x) - seja divisível pelo polinómio gerador G(x). No exemplo anterior: c=() bits redundantes A detecção dos erros é feita pelo receptor dividindo a palavra recebida pelo polinómio gerador: Se o resto for zero, conclui (bem ou mal) que não houve erros. Se o resto não for zero, conclui (e bem) que houve erros. Sistemas de Telecomunicações 36

37 Algoritmo de geração dos códigos CRC ) Seja M(x) a mensagem a transmitir e G(x), o polinómio gerador (de grau m). 2) Obter M(x). x m (corresponde a acrescentar m bits à direita da mensagem). 3) Efectuar a divisão (módulo 2) de M(x). x m por G(x). 4) Adicionar (módulo 2) o resto da divisão p(x) a M(x). x m, obtendo-se T(x). Sistemas de Telecomunicações 37

38 Exemplo ) m=() M(x)=x 9 + x 8 + x 6 + x 4 + x 3 + x + G(x) = x 4 + x + grau 4 2) M(x). x 4 3) M(x). x 4 G(x) p(x) 4) T(x) = M(x). x 4 p(x) c=() Sistemas de Telecomunicações 38

39 Capacidade de detecção de erros Os erros podem ser representados como uma sequência binária em que o nível lógico indica a ocorrência de um erro. Exemplo: sequência de bits enviada c = sequência de bits recebida r = sequência de erro e = r = c e A sequência de erros também pode ser representada na forma polinomial E(x) Os erros não são detectáveis se E(x) for divisível por G(x) Demonstração: T r (x) = T(x) E(x) (sequência recebida com erros) T r (x) / G(x) = [T(x) E(x)] / G(x) = = [T(x) / G(x)] [E(x) / G(x)] Se E(x) fôr divisível por G(x), então T r (x) também é! Sistemas de Telecomunicações 39

40 Exemplo Quais dos seguintes polinómios geradores garantem a detecção de erros únicos? a) g(x)=x+ b) g(x)= x 3 c) g(x)= Resolução: A ocorrência de um erro único pode ser representada pelo polinómio x i em que i indica a posição do erro. a) Como x i nunca pode ser divisível por x+, garante-se a detecção de qualquer situação de erros únicos b) Se i 3, x i é divisível por g(x); só é possível detectar erros nas posições, ou 2. c) Todos os valores de i tornam x i divisível por g(x)=, não sendo possível detectar qualquer situação de erro. Sistemas de Telecomunicações 4

41 Polinómios Geradores Normalizados (standards internacionais) Sistemas de Telecomunicações 4

42 Cheksum Método de detecção de erros usado por vários protocolos da Internet (IP, TCP, UDP, ) Suponha-se que se pretende transmitir uma sequência de 5 números, cada um representado com 4 bits, enviando-se também o resultado da sua adição. Como exemplo, se a sequência de números for (7,, 2,, 6), envia-se (7,, 2,, 6, 36), onde 36 é o resultado da soma dos números. O receptor efectua a mesma adição, e compara os resultados; se coincidirem assume que não ocorreram erros, aceita os 5 números e descarta a soma. Para simplificar a tarefa do receptor, em vez de se enviar o resultado da soma dos números, envia-se o seu simétrico (checksum), i.e., (7,,2,,6,-36). Neste caso, a soma de todos os números incluindo a checksum deve dar. Como -36 não pode ser escrito em 4 bits, representa-se o seu complemento para 5 ( x5 = 9). Sistemas de Telecomunicações 42

43 Exemplo Neste exemplo a informação é dividida em palavras de 4 bits. Sistemas de Telecomunicações 43

44 Cheksum - Codificação. A mensagem é dividida em palavras de 6 bits. 2. Somam-se as palavras e transforma-se o resultado numa palavra de 6 bits (wrapped sum). 3. Aplica-se o complemento para um ao resultado, obtendo-se a checksum. 4. A checksum é enviada com os dados. Sistemas de Telecomunicações 44

45 Exemplo Mensagem: Checksum Sistemas de Telecomunicações 45

46 Cheksum - Descodificação. A mensagem (incluindo a checksum) é dividida em palavras de 6 bits. 2. Somam-se as palavras e transforma-se o resultado numa palavra de 6 bits (wrapped sum). 3. Aplica-se complemento para um ao resultado. 4. Se o resultado der, conclui-se não terem ocorrido erros. Sistemas de Telecomunicações 46

47 Notas finais Existem vários tipos de códigos para correcção ou detecção de erros. A escolha do(s) código(s) a usar, deverá ter em conta: O tipo de erros esperados (rajadas vs. uniformes) A possibilidade de se efectuarem retransmissões A taxa de erros (BER) esperada A complexidade (custo, atraso) associada aos processos de codificação e descodificação O acréscimo de banda necessária para a transmissão Sistemas de Telecomunicações 47