OPTIMIZAÇÃO NA GESTÃO DE RECURSOS NATURAIS I.S.T José Luís Fachada. (

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Victor Gabriel Castel-Branco Castilhos
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2 OPTIMIZAÇÃO NA GESTÃO DE RECURSOS NATURAIS I.S.T. José Luís Fachada ( Clark, Colin "Mathematical Bioeconomics", John Wiley & Sons,

3 n variável de estado ("stock" ou biomassa da espécie no ano n). LEIS NATURAIS n+ = n + F ( n ) (MALTHUS) : F () = r crescimento exponencial r = F () > : taxa de crescimento proporcional n = ( + r) n n n r = :; = lim n = n!

4 (MODELO LOGÍSTICO) : r () = r K r(). r = ; K = F () = r K F()

5 < r = lim! F () : taxa de crescimento intrínseco < K : capacidade de sustentação do ambiente soluções de equilíbrio : n e n K: = =) n = ; n N = K =) n = K; n N Se r não fôr muito grande (r < ) n K é globalmente assintoticamente estável < K =) lim n! n = K n n

6 OBSERVAÇÕES. Se r > ; outros comportamentos mais complexos se podem dar : soluções periódicas e mesmo caóticas.. O modelo logístico tem natureza compensatória (quanto mais baixo é o stock ou biomassa, maior é a taxa de crescimento proporcional) o que é um entrave à extinção natural de uma espécie. MODELOS NÃO COMPENSATÓRIOS OU "DISPENSATÓRIOS" Simples : F () = r + ; > K F()

7 Crítico : F () = r K K F()... soluções de equilíbrio : ; K e K: n K (instável) : população mínima viável < < K =) lim n! n = : extinção natural n K (estável) K < K =) lim n = K n!

8 . INTERVENÇÃO HUMANA O Homem intervém para colher com objectivos económicos "racionais" parte da população (recurso). Y n : colheita no ano n n+ = n + F ( n ) Y n Crescimento logístico e colheita constante:y n = H n n+ = n + r n H K PROBLEMA: Como escolher o valor de H de modo a obter a melhor produção possível? Se H > max F () ; n+ < n ; a população extingue-se e acaba a produção em tempo nito.

Y n : colheita no ano n n+ = n + F ( n ) Y n Crescimento logístico e colheita constante:y n = H n

9 F() F() Se H < max F () F() F() duas soluções de equilíbrio : e

10 < =) n! em tempo nito (extinção!) > =) lim n = n! Desde que o stock inicial não seja muito baixo, a população tende a estabilizar no nível ; mantendo uma produção constante H produção sustentável.

11 Qual é a produção sustentável máxima? H M = max F () = r K estabilizando o nível de stock em n K F() CONCLUSÕES:. Para explorar o recurso terá forçosamente de reduzir-se o seu stock abaixo da capacidade de sustentação. Mantendo o stock em n K não há produção sustentável.. O risco em manter o nível de captura no valor optimal H M está em que um pequeno erro de cálculo ou um "acidente natural" pode baixar o stock a um nível inferior a K ; implicando pois a consequente extinção da espécie.

Mantendo o stock em n K não há produção sustentável.

12 Noção de ESFORÇO : E Hipótese: A produção (colheita) é proporcional ao esforço realizado pelo Homem e ao stock existente em cada ano. Y n = qe n n q : coeciente de captura por unidade de esforço e de stock (supomos q = ) Vamos também, para simplicar, supôr esforço constante : E n E; n: Y n = E n MODELO LOGÍSTICO (Compensatório) n n+ = n + r n E n K F(), Y

Y n = qe n n q : coeciente de captura por unidade de esforço e de stock (supomos q = )

13 Se E r : n+ < n e lim n = n! a população tende para a extinção. Se E < r : lim n = > : n! E = r =) = K K E r a população tende para o equilíbrio com a correspondente produção Y = E: PROBLEMA : Como escolher E de modo a obter a produtividade máxima? E Curva esforço-produção: Y = E = EK r Y(E) E max Y (E) = Y r = r K

14 CONCLUSÕES:. A curva esforço-produção é regular (contínua). Se o esforço ultrapassar o valor óptimo r a produção começa a diminuir o que permite alertar para a necessidade de voltar a reduzi-lo de forma a optimizar a produção. Este facto permite que o esforço se mantenha longe do "limiar da extinção" r : A extinção de espécies é muito improvável com este modelo.. Contudo são conhecidos casos reais de colapsos económicos e mesmo biológicos de certas explorações (baleia azul, p. ex.). Os modelos não compensatórios permitem interpretar esses casos como veremos de seguida.

15 MODELO NÃO COMPENSATÓRIO SIMPLES F(), Y E E : extinção E E : um único equilíbrio estável com a correspondente produção Y = E: E < E < E : três equilíbrios : ; (instável) e (estável) F(), Y < =) > =) lim n = : extinção n! lim n = n!

16 Curva esforço-produção CONCLUSÕES:. Continua a existir um nível de esforço E M para o qual se obtém produtividade máxima. Contudo a curva esforço-produção não é mais regular como no caso logístico e um pequeno aumento do esforço para além do valor crítico E pode fazer cair a produção bruscamente para zero.. (Efeito de Histerese) Ultrapassado o valor crítico E o nível do stock começa a decair para zero e uma pequena redução do esforço pode não garantir o retorno à produção sustentável Y : Só uma redução substancial do esforço abaixo do nível E será garantia de recuperação catástrofe económica.

17 MODELO NÃO COMPENSATÓRIO CRÍTICO F()... E E : extinção E < E : três equilíbrios : ; (instável) e (estável) < =) > =) lim n! n = : extinção lim n = n!

18 Curva esforço-produção CONCLUSÃO: Neste caso, além dos efeitos já referidos no modelo anterior, a histerese pode tornar-se mesmo irreversível. Ultrapassando o esforço crítico E o nível do stock pode baixar abaixo da população mínima viável K e então a extinção da espécie torna-se inevitável, mesmo que o esforço seja reduzido para zero, isto é, que a exploração cesse catástrofe biológica.

Ultrapassando o esforço crítico E o nível do stock pode baixar abaixo da população mínima viável

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