SEMINÁRIO DO GRUPO DE PESQUISA MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL DO PÓLO UNIVERSITÁRIO DO SUL FLUMINENSE

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Jerónimo Valgueiro Gabeira
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1 SEMINÁRIO DO GRUPO DE PESQUISA MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL DO PÓLO UNIVERSITÁRIO DO SUL FLUMINENSE Um problema de um milhão de dólares Luiz Leduíno de Salles Neto 25/07/2006

2 Grupo consultivo de especialistas alerta para erosão da vantagem competitiva dos Estados Unidos na ciência, The New York Times, 13 de outubro de 2005 Os especialistas disseram que o principal objetivo da estratégia traçada no documento é o de usar as "idéias brilhantes" de cientistas e engenheiros para desenvolver novas indústrias e novas fontes de energia, e com isso criar empregos de alto nível Uma delas é a criação de 10 mil bolsas de estudo por ano para a formação de professores de ciência e matemática, destinadas aos melhores estudantes do país. O grupo também pediu 30 mil bolsas para estudo universitário em ciência, matemática e engenharia, assim como o acesso à Internet de banda larga em todo o território a baixo custo.... e a expansão do investimento nacional em pesquisa básica a uma taxa de 10% ao ano, durante sete anos.

alto nível Uma delas é a criação de 10 mil bolsas de estudo por ano para a formação de professores de ciência e matemática, destinadas aos melhores estudantes do país.

3 Roteiro do seminário 1. Problemas do Milênio 2. P vs NP 3. Problema do Caixeiro Viajante 4. Surgimento da Pesquisa Operacional 5. Problemas de Otimização Combinatória Pesquisados 6. Evolução histórica da métodos de resolução 7. Minha aposta 8. Referências Básicas

4 Problemas do Milênio ( A Conjectura de Birch e Swinnerton- Dyer A Conjectura de Hodge As equações de Navier-Stokes P versus NP Demonstrada? A Conjectura de Poincaré Hipótese de Riemann Teoria de Yang-Mills

5 Matemática e Computadores Década de 30 Kurt Godel: Teorema da Incompletude (1931) na demonstração relacionou perguntas sobre demonstralidade em perguntas sobre computabilidade Alan Turing: Teoremas mostrando a possibilidade téorica de construção de computadores programáveis Máquinas de Turing (1934).

perguntas sobre computabilidade Alan Turing: Teoremas mostrando a

6 O Conceito de Completude: NP The Complexity of Theorem Proving Procedures 1971 Stephen Cook

7 P vs NP Definição: NP é a classe de problemas de decisão com a seguinte propriedade: para qualquer exemplo para o qual a resposta é SIM existe uma curta (polinomial) prova do SIM. Definição: P é a classe de problemas de decisão em NP para o qual existe um algoritmo polinomial. Um problema pertence à classe dos Problemas NP- Completo se a descoberta de um procedimento em tempo polinomial para sua solução implicar que todos os outros problemas NP podem ser resolvidos por um programa em tempo polinomial.

Definição: P é a classe de problemas de decisão em NP para o qual existe um algoritmo polinomial.

8 Campo Minado é NP-Completo Kaye, Richard 'Minesweeper is NP-complete', Mathematical Intelligencer volume 22, number 4, 2000, pages 9-15

9 Problema do Caixeiro Viajante Suponha que Bentinho é um vendedor, sediado em Macondo, que deve passar de carro por três cidades, Antares, Santana do Agreste e Dogville, até voltar à Macondo. Qual roteiro ele deve fazer para ter o menor custo, de acordo com a tabela (em km) abaixo? Macondo Antares Santana do Agreste Dogville Macondo Antares Santana do Agreste Dogville

Qual roteiro ele deve fazer para ter o menor custo, de acordo com a tabela (em km) abaixo?

10 3! Rotas possíveis MASDM: 273 km MADSM: 266 km MDASM: 271 km MDSAM: 249 km MDASM: 245 km MDSAM: 273 km

11 PCV aplicado à região Sul Fluminense 13! maneiras de percorrer todas as cidades do Sul Fluminense saindo de VR. 13!=

12 Tabela: Tempo computacional, num computador com um milhão de operações por segundo, em função da Complexidade/Quantidade de Dados Quantidade de Dados/ Complexidade n 0,000001s 0,000002s 0,000004s n 3 0,001s 0,008s 0,064s 3 n 0,059s 58min 3855 séculos

Dados Quantidade de Dados/ 10 20 40 Complexidade n 0,000001s

13 Pesquisa Operacional Kantorovich desenvolve em 1939 o trabalho Mathematical Methods of Organizing and Planning Production, publicado em 1960 na Management Science George Dantzig publica em 1947 o Método Simplex 1975, Koopmans e Kantorovich recebem o Prêmio Nobel de Economia por suas contribuições à alocação ótima de recursos

Science George Dantzig publica em 1947 o Método Simplex 1975, Koopmans e

14 Problemas NP-Completos pesquisados: Problemas de Corte e Empacotamento; Problemas de Localização de Facilidades; Problema das p medianas

15 Evolução Histórica dos Métodos de Resolução 50 s PL(Simplex); Kuhn-Tucker, Heurísticas (Polya publica How do it? ( A Arte de resolver problemas Ed. Interciência) 60 s Métodos Exatos - Programação Não-Linear e Programação Inteira 70 s Teoria da Complexidade divisor de águas Heurísticas ganham interesse 80 e 90 s Metaheurísticas

Interciência) 60 s Métodos Exatos - Programação Não-Linear e Programação Inteira

16 Heurística: do grego Heuriskein descobrir Algoritmo: procedimento (iterativo) para resolver um problema formalizado em termos matemáticos capaz de encontrar a solução ótima (a melhor de todas). Heurística: Procedimento para resolver problemas através de um enfoque intuitivo - não tem prova de convergência e não garante achar a solução ótima.

17 Caraterísticas de boas Heurísticas Boa performance solução próxima da ótima Robustez baixa probabilidade de haver problemas com performance pobre Rapidez Simplicidade boa aceitação por usuários

18 Metaheurísticas Estratégia mestre que guia uma heurística subordinada para explorar o espaço de soluções Algoritmo Genético Colônia de Formigas Scatter Search Simulated Annealing Busca Tabu Nuvens de Partículas Redes Neurais

soluções Algoritmo Genético Colônia de Formigas Scatter

19 Minha aposta Métodos exatos + Metaheurísticas

20 Referências Básicas Para Os Problemas do Milênio Devlin, K. Os Problemas do Milênio sete grandes enigmas matemáticos do nosso tempo, Editora Record, Para Otimização Combinatória Goldbarg, M. C. e Luna, H. P. Otimização Combinatória e Programação Linear, Editora Campus, Contatos: luiz.leduino@gmail.com ou matematica.aplicada.vr@gmail.com

Record, 2004. Para Otimização Combinatória Goldbarg, M. C. e Luna, H. P. Otimização Combinatória e Programação Linear, Editora Campus, 2000.

21 O Problema de Corte Unidimensional Itens Demandados Matéria-Prima (Objetos) Determinar a melhor forma de produzir itens menores a partir de objetos maiores!

22 Aplicações no planejamento da produção em indústrias: têxteis de papel metalúrgica química de vidros de móveis

23 Exemplo de um Processo de Corte

24 Dados do Problema: Hipóteses: m: número de itens demandados; w i : comprimento do item i, i=1,...,m; d i : demanda do item i, i=1,...,m; W: Largura do Objeto (Matéria-Prima). w i <W para todo i; Há uma quantidade ilimitada de objetos de largura W em estoque.

25 Padrão de Corte Existem várias maneiras de dispor os itens para efetuar os cortes. Chamamos de padrão de corte cada uma destas maneiras. Exemplo: w 1 =20cm, d 1 =240 w 2 =25cm, d 2 =190 w 3 =35cm, d 3 =300 a 1 =(2,1,1) t a 2 =(1,3,0) t a 3 =(1,0,2) t W=100cm

26 O objetivo pode ser: Minimizar o desperdício; Minimizar o desperdício relativo; Minimizar o número de objetos processados; Minimizar o número de padrões distintos (setup). Sujeito a: Atender a demanda exatamente; Atender a demanda com uma certa tolerância; Atender a demanda admitindo excesso de produção.

Paull e Walter 1954 Metzger 1958 Eilon 1960 Problemas

27 Primeiros Trabalhos sobre Problema de Corte Unidimensional Kantorovick 1939 (publicado em 1960). Paull e Walter 1954 Metzger 1958 Eilon 1960 Problemas Pequenos Em 1961 e 1963 Gilmore e Gomory publicam o método de geração de colunas.

28 Problema de Corte para minimizar o número de Objetos Processados e o Setup (PCOPS)

29 Problema de Localização de Facilidades I = (1,2,...,n) locais potenciais p/ instalar uma facilidade J = (1,2,...,m) conjunto de clientes f i = custo fixo de instalação da facilidade i b j = demanda do cliente j c ij = custo por unidade de produto entregue em j vindo de i x ij = fração da demanda do cliente j atendida pela facilidade i a i = capacidade da facilidade i y i = 1 se a facilidade i é instalada e 0 caso contrário

30 Problema de Localização de Facilidades

31 Galvão, R. D., Nobre, F. F. e Vasconcellos, M. M. publicaram em 1999 o trabalho Modelos matemáticos de localização aplicados à organização espacial de unidades de saúde

32 Bezerra, O. B. e Mayerle, S. F publicaram em 2002 o trabalho LOCALIZAÇÃO DE POSTOS DE COLETA PARA APOIO AO ESCOAMENTO DE PRODUTOS EXTRATIVISTAS - UM ESTUDO DE CASO APLICADO AO BABAÇU

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