Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Transcrição

1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Infraestrutura Aeronáutica Programa de Pós-Graduação em Engenharia Aeronáutica e Mecânica Prova de Seleção 2 o semestre de 2018 Questões de Matemática 21 de maio de 2018 Nome do Candidato Observações 1. Duração da prova: 90 minutos (uma hora e meia) 2. Não é permitido o uso de calculadoras ou outros dispositivos eletrônicos 3. Cada pergunta admite uma única resposta 4. Marque a alternativa que considerar correta na tabela abaixo 5. Utilize o verso das folhas para a resolução das questões Questão Resp. Questões em Português 1. O MDC (máximo divisor comum) e o MMC (mínimo múltiplo comum) entre os polinômios f = x 2 1, g = (x 1) 2 e h = x 3 1, correspondem, respectivamente a: (a) x 1 e x 5 x 3 x (b) x 2 1 e x 4 x 3 x (c) x 1 e x 5 x 3 + x 2 1 (d) x 3 1 e x 3 x 2 x + 1 (e) x 1 e x 3 x 2 x + 1 1

2 Figura 1: Triângulo de Pascal 2. A Figura 1 mostra pirâmide numérica conhecida como Triângulo de Pascal, em que os elementos que iniciam e finalizam cada linha são iguais a 1, e os elementos intermediários de cada linha são iguais à soma dos números representados pelos seus dois elementos mais próximos, localizados na linha anterior. O número representado pelo terceiro elemento da quinquagésima primeira linha é igual a: (a) 1081 (b) 1128 (c) 1176 (d) 1225 (e) Um coiote executa três saltos em determinado intervalo de tempo, enquanto que uma lebre executa quatro saltos no mesmo intervalo. Em termos de distância, dois saltos do coiote equivalem a três saltos da lebre. Supondo que a lebre encontra-se avançada 50 saltos (de lebre) em relação ao coiote, quantos saltos serão necessários ao coiote para alcançá-la durante uma caçada? Considere que os dois iniciam a corrida no mesmo instante. (a) 100 (b) 200 (c) 300 (d) 400 (e) Tomam-se seis pratos, três deles azuis e iguais, três deles vermelhos e iguais. De quantos modos distintos podemos dispor os seis pratos em uma única pilha? (a) 6 modos (b) 12 modos (c) 20 modos (d) 24 modos (e) 36 modos 2

3 Figura 2: Triângulo retângulo isóceles com lúnula 5. A Figura 2 mostra um triângulo retângulo isóceles e uma lúnula que fica entre dois arcos de círculo. O primeiro arco compreende um ângulo reto, tem seu centro no vértice que une os dois catetos e tem como raio o comprimento de um dos catetos. O segundo arco compreende um ângulo raso, tem seu centro no ponto médio da hipotenusa e tem seu diâmetro igual à própria hipotenusa. Se a hipotenusa tem comprimento igual 2, a área da lúnula será (a) 1 (b) π/2 (c) π/ 2 (d) π 3 (e) 2 6. Uma fábrica utiliza três essências para fabricar três perfumes: I. Cada frasco do perfume A utiliza 100 ml da essência e 1 e 100 ml da essência e 2 II. Cada frasco do perfume B utiliza 100 ml da essência e 1 e 100 ml da essência e 3 III. Cada frasco do perfume C utiliza 100 ml da essência e 2 e 100 ml da essência e 3 Em sua máxima capacidade, a fábrica produz 3 L/h da essência e 1, 2 L/h da essência e 2 e 4 L/h da essência e 3. Com base nestas condições, o engenheiro de produção da fábrica estabeleceu o modo de produção que entrega a maior soma possível de frascos dos três perfumes. Neste modo de produção, quantos frascos do perfume B a fábrica entregará? (a) 5 frascos por hora (b) 10 frascos por hora (c) 15 frascos por hora (d) 20 frascos por hora (e) 25 frascos por hora 3

4 Figura 3: Octaedro inscrito a um tetraedro B γ β α O A Figura 4: Segmentos tangentes a um círculo (esboço sem escala ou forma reais) 7. A Figura 3 mostra um octaedro cujos vértices se coincidem com os pontos médios das arestas de um tetraedro. Sejam A o a soma das áreas das faces do octaedro, A t a soma das áreas das faces do tetraedro, V o o volume do octaedro e V t o volume do tetraedro. A t /A o e V t /V o valem, respectivamente (a) 2 e 2 (b) 2 e 2/2 (c) 2/2 e 2 (d) 3 e 3/2 (e) 3/2 e 3 8. Na Figura 4, os segmentos OA e OB são tangentes ao círculo. Além disso, os ângulos α, β e γ estão em progressão aritmética. Assim sendo, o ângulo β deve valer (a) 90 (b) (360 4/7) (c) (360 3/7) (d) 120 (e) 135 4

5 C 40 x Questões em Inglês 9. The system of equations A Figure 5: Isoceles triangle (draft with no real scale or form) (a) has no real solution B x + y + z = 0 x y + y z + x z = 1 x y z = 0 (b) has one and only one ordered triple (x, y, z) of real numbers as solution (c) has three distinct ordered triples (x, y, z) of real numbers as solutions (d) has six distinct ordered triples (x, y, z) of real numbers as solutions (e) has eight ordered distinct triples (x, y, z) of real numbers as solutions 10. Triangle ABC in Figure 5 is isoceles and AB is its base (different side). The value of angle x is (a) 55 (b) 60 (c) 65 (d) 70 (e) What is the probability of rolling two normal six-sided dice and getting exactly one four? (a) 1/3 (b) 11/36 (c) 5/18 (d) 1/6 (e) 1/36 5

6 12. Let x and y be the solution of the equation system 13. If Hence, x y equals to: (a) 1 (b) 1 (c) 2 (d) 2 (e) 0 3 x+y = 1 2 x+2y = , which of the following must be true? 9 x2 (a) 3 > x or x > 3 (b) 3 < x (c) 3 < x < 3 (d) 3 x or x 3 (e) 3 x Alice and Bob shared the driving on a certain trip. In order to determine what fraction of the total distance did Alice drive, the following statements are taken: I. Alice drove for 2/3 as much time as Bob did. II. Alice s average driving speed for the entire trip was 3/4 of Bob s average driving speed for the trip. About these statements, it is wright to say that (a) Statement I alone is sufficient, but statement II is not sufficient (b) Statement II alone is sufficient, but statement I is not sufficient (c) Both statements together are sufficient, but neither statement alone is sufficient (d) Each statement alone is sufficient (e) Statements I and II together are not sufficient 15. How many positive integers less than 600 can be formed using the numbers 1, 2, 4 and 6 for the digits? (a) 48 (b) 52 (c) 66 (d) 68 (e) 84 6

7 16. A perfect square is a number that becomes an integer when square rooting it. A, B, and C are three positive integers. The ratio of the three numbers is 3 2 1, respectively. Which one of the following expressions must be a perfect square? (a) A + B + C (b) A 2 + B 2 + C 2 (c) A 3 + B 3 + C 3 (d) A 2 + B 2 + 3C 2 (e) 4A 2 + 4B 2 + 3C 2 7