Estudo da Heterogeneidade nas Populações de Portugal e Espanha. Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

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Maria das Dores Regueira Gabeira
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de Atuários 7 de junho de 2016 Rute Ferreira Onofre

1 Estudo da Heterogeneidade nas Populações de Portugal e Espanha Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de 2016 Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

2 Programa 1 Introdução 2 Modelos de Fragilidade Fragilidade Modelo Gama Modelo Inversa Gaussiana Força de Mortalidade 3 Aplicação à População Ibérica 4 Aplicação Atuarial Tábua Heterogénea Tábua Heterogénea vs Tábuas Convencionais 5 Conclusão 6 Estudos Posteriores 7 Referências Bibliográficas Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

3 Introdução Introdução Homogeneidade Padrão de mortalidade semelhante na população, em cada idade. Heterogeneidade Padrão de mortalidade diferente consoante o indivíduo; Oriunda de: Fatores observáveis. (Género, localização geográfica,...) Fatores não observáveis. (Genética,...) Modelos de fragilidade Literatura Vaupel, Manton e Stallard, 1979; Olivieri, 2006; Su e Sherris, 2012;... Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

4 Modelos de Fragilidade Fragilidade Modelos de Fragilidade Modelo Multiplicativo µ x (z) = zµ x (1) z Fragilidade µ x (1) Força de mortalidade standard µ x (1) = αe βx Lei de mortalidade de Gompertz Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

5 Modelos de Fragilidade Modelo Gama Modelo Gama Nascença Idade x Distribuição z 0 Gama(k, λ) z x Gama(k, λ(x)) λ(x) = λ + H(x) Média z 0 = k λ z x = k λ(x) Variância σ 2 z 0 = k λ 2 σ 2 z x = k λ(x) 2 Pressuposto z 0 = 1 k = λ Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

6 Modelos de Fragilidade Modelo Inversa Gaussiana Modelo Inversa Gaussiana Nascença Idade x Distribuição z 0 IG(δ, θ) z x IG(δ, θ(x)) θ(x) = θ + H(x) Média z 0 = ( δ θ ) 1 2 z x = ( δ Variância σ 2 z 0 = 1 2 δ (θ) 3 σ 2 z x = 1 2 θ(x) ) 1 2 δ θ(x) 3 Pressuposto z 0 = 1 δ = θ Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

7 Modelos de Fragilidade Força de Mortalidade Força de Mortalidade µ x (z) = zµ x (1) Distribuição Média Variância Gama ( ) µ x Gama k, λ(x) µ x (1) λ(x) = k + H(x) E[µ x ] = Inversa Gaussiana ( ) µ x IG µ x (1)δ, θ(x) µ x (1) θ(x) = δ + H(x) ( µx (1)k k+h(x) E[µ x ] = µ x (1) Var[µ x ] = (µx (1))2 k (µx (1))2 Var[µ (k+h(x)) 2 x ] = 2 δ δ+h(x) ( ) 1 2 ) 1 δ 2 (δ+h(x)) 3 Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

8 Modelos de Fragilidade Força de Mortalidade Força de Mortalidade Força de mortalidade observada amostra de dimensão E x E[ˆµ x ] = E[µ x ] Var[ˆµ x ] = Var[µx ] E x Máxima Verosimilhança log L(ˆµ x E x, k ou δ, µ x (1)) = x { 12 [log(σ2 ) + log(2π)] (ˆµ x µ) 2 } 2σ 2 Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

9 Aplicação à População Ibérica Portugal Parâmetros estimados para os modelos de fragilidade Gama Mulheres Homens Mulheres Homens k 0, , , , α 0, , ,585E-06 2,687E-10 β 0, , , , log Máxima Verosimilhança -601, ,63 54,11-95,89 R 2 0,9325 0,9691 0,8871 0,3424 Inversa Gaussiana δ 0, , , , α 0, , , , β 0, , , , log Máxima Verosimilhança -55,50 88,18 49,22-208,71 R 2 0,9641 0,9936 0,9422 0,9142 Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

10 Aplicação à População Ibérica Portugal Força de mortalidade observada vs estimada Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

11 Aplicação à População Ibérica Espanha Parâmetros estimados para os modelos de fragilidade Gama Mulheres Homens Mulheres Homens k 0, , , , α 0, , , , β 0, , , , log Máxima Verosimilhança , ,43-571, ,61 R 2 0,7133 0,9930 0,8771 0,6009 Inversa Gaussiana δ 0, , , , α 0, , , , β 0, , , , log Máxima Verosimilhança 97,29 3,80-71, ,20 R 2 0,9936 0,9971 0,9617 0,7208 Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

12 Aplicação à População Ibérica Espanha Força de mortalidade observada vs estimada Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

13 Aplicação à População Ibérica Previsão da Força de Mortalidade Portugal Espanha Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

14 Aplicação à População Ibérica Média e Desvio Padrão Média Portugal Desvio Padrão Idade Mulheres Homens Mulheres Homens 0 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Média Espanha Desvio Padrão Idade Mulheres Homens Mulheres Homens 0 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

15 Aplicação à População Ibérica Prob. de Morte para Diferentes Fragilidades Portugal Espanha Numa população, indivíduos com diferentes fragilidades geram heterogeneidade. As duas populações em estudo têm, em geral, uma baixa fragilidade. Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

16 Aplicação Atuarial Tábua Heterogénea Valor Atuarial de uma Pensão Tábua Heterogénea Portugal Espanha Fragilidade Média da Coorte 0,0001 0,001 Média da Coorte 0,0001 0,001 Mulheres ä 65 23,83 27,65 18,76 24,20 26,66 17,51 % 51% 93% 67% 96% Homens ä 65 18,45 23,89 13,61 18,01 20,88 11,18 % 27% 87% 49% 93% Total ä 65 20,93 25,86 15,93 20,61 23,28 13,54 % 36% 90% 56% 94% Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

17 Aplicação Atuarial Tábua Heterogénea vs Tábuas Convencionais Tábuas Convencionais - Portugal (Fundos de Pensões) Tábua TV88/90 Mulheres Homens Total Tábua TV88/90 ä 65 16,41 Tábua Heterogénea ä 65 Portugal 23,83 18,45 20,93 ä 65 Espanha 23,28 18,01 20,61 VA inferior aos das populações em estudo, adequado apenas, por exemplo, para cerca de 10% da população portuguesa; Tábua mais adequada ao género masculino, ainda que insuficiente; Exemplo: Para uma pensão anual de e temos as seguintes provisões, Tábua Heterogénea Portuguesa = e; Tábua TV88/90 = e. Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

18 Aplicação Atuarial Tábua Heterogénea vs Tábuas Convencionais Tábuas Convencionais - Portugal e Espanha Tábua GKF95 Mulheres Homens Total Tábua GKF95 ä 65 17,01 Tábua Heterogénea ä 65 Portugal 23,83 18,45 20,93 ä 65 Espanha 23,28 18,01 20,61 VA inferior aos das populações em estudo; Tábua mais adequada ao género masculino; Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

19 Aplicação Atuarial Tábua Heterogénea vs Tábuas Convencionais Tábuas Convencionais - Portugal e Espanha Tábua GRF95 Mulheres Homens Total Tábua GRF95 ä 65 20,80 Tábua Heterogénea ä 65 Portugal 23,83 18,45 20,93 ä 65 Espanha 23,28 18,01 20,61 VA superior às duas tábuas anteriores; VA muito próximo dos obtidos para as populações em estudo; Adequação da tábua aos valores obtidos com heterogeneidade. Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

20 Conclusão Conclusões O Modelo Inversa Gaussiana revela-se o mais adequado na aplicação dos modelos de fragilidade; Existência de heterogeneidade nas populações portuguesa e espanhola, principalmente em idades mais precoces; Diminuição da heterogeneidade com o avançar da idade; As populações portuguesa e espanhola revelam, em geral, uma baixa fragilidade; Indivíduos mais resistentes levam a uma esperança média de vida superior. Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

21 Conclusão Conclusões As tábuas obtidas recorrendo à heterogeneidade são úteis no estudo e análise da longevidade; A tábua TV88/90, utilizada na área de fundos de pensões em Portugal, e a tábua GKF95 utilizada nos dois países, não se ajustam aos dados; A tábua GRF95, utilizada nos dois países, maioritariamente em seguros de vida, adequa-se aos dados em estudo; Recomendação: Necessidade de reavaliar as tábuas utilizadas, nomeadamente utilizar as tábuas mais recentes (como é o caso da tábua GRF95). Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

22 Estudos Posteriores Estudos Posteriores Aplicação dos Modelos de Fragilidade a carteiras de seguradoras; Utilização dos MLG para a modelação da fragilidade; Utilizar outras leis de mortalidade (Ex.: Lei de Gompertz-Makeham); Aplicar o Modelo Markov ageing para o estudo da heterogeneidade (Lin e Liu ). Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

23 Referências Bibliográficas Butt, Z., & Haberman, S. (2004). Application of Frailty-Based Mortality Models Using Generalized Linear Models. Em Astin Bulletin; Olivieri, A. (2006). Heterogeneity in Survival Models, Applications to Pensions and Life Annuities. Em Belgian Actuarial Bulletin (Vol. 6 No.1, pp ); Sanz, L. (2007). La igualdad efectiva de mujeres y hombres: aspectos relacionados con las tablas actuariales de supervivencia. Em Actuarios. Su, S., & Sherris, M. (2012). Heterogeneity of Australian population mortality and implications for a viable annuity market. Em Insurance: Mathematics and Economics 51 (pp ); Shkolnikov, V., Barbieri, M., & Wilmoth, J. (2015). The Human Mortality Database. Obtido de Vaupel, J. W., Manton, G. K., & Stallard, E. (1979). The Impact of Heterogeneity in Individual Frailty on the Dynamics of Mortality. Em Demography (Vol. 3, pp ). Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24 Referências Bibliográficas

24 Fim Rute Ferreira Onofre Simões V Congresso Ibérico de Atuários 7 de junho de / 24

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