Integrated watershed management. Tools for water resources planning and managing

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1 Integrated watershed management Tools for water resources planning and managing Linear programming Rodrigo Proença de Oliveira

2 IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, 2015 Simulation versus optimization 2 Simulação Alternativa i Modelo de simulação Indicadores de desempenho Análise pericial Optimização Alternativa i Modelo de simulação (simplificado) Função objectivo (Indicador de desempenho Proposta de nova alternativa Proposta de nova alternativa (processo iterativo automático) Simulation / Simulação: More realistic / Permite simular o sistema de forma mais realista; Requires manual identification of all alternatives / Exige a identificação manual das alternativas viáveis; Requires manual testing of all alternatives / Exige identificação da melhor alternativa por tentativa e erro; Hard work, if not impossible / Quando existe um número infinito de alternativas, é difícil identificar a melhor. Optimization / Optimização: Simulation of a simplified version of the system / Simulação simplificada do sistema; Best solution is identified automatically / Identificação da melhor solução de forma automática. The identified solution may not be best in the real word / A solução identificada como melhor pode não ser a melhor no mundo real Solução / Solution: Use optimization for scanning solutions / Otimização para eliminar as piores soluções. Simulation for fine tunning / Simulação para avaliar soluções promissoras e proceder a aperfeiçoamentos.

3 Optimization techniques Linear programming / Programação linear: All model equations have to be linear / Só podem ser incluídas equações lineares g(x1, X2,, Xn) = c1 X1 + c2 X2 + + cn Xn e.g. não é possível assumir que o custo de uma solução varia com o quadrado de uma variável Dynamic programming / Programação dinâmica: The objective function has to be separable / A função objectivo tem de ser separável. F(X1, X2,, Xn) = f1(x1) + f1(x2) + + fn(xn) Curse of dimensionality / Maldição da dimensão Non-linear programming / Programação não linear: There are no gurarantees to find the best solution / Não há garantia de identificação da melhor solução. Heuristic techniques / Técnicas heurísticas: Neural networks / Redes neuronais; Genetic algorithms / Algoritmos genéticos; Simulated annealing / Recozimento simulado; Integer programming / Programação inteira: Linear Programming variant for integer variables / Variante da PL que permite considerar variáveis não contínuas Stochastic dynamic programming and control theory / Programação dinâmica estocástica e teoria do controlo: Dynamic programming variants / Variantes da Programação dinâmica IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira,

4 IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, 2015 Optimization models: Problem formulation 4 Decision variables / Variáveis de decisão: X 1, X 2,.,X n Possible alternative solutions / Representam uma alternativa de decisão Objective function / Função objectivo: Max B(X 1, X 2,.,X n ) Objectives to achieve: max benefits or min damages / Representa os objetivos da política: maximizar benefícios ou minimizar prejuízos Subject to restrictions / Sujeito a restrições: F 1 (X 1, X 2,.,X n ) <= b 1 F 2 (X 1, X 2,.,X n ) <= b 2... F n (X 1, X 2,.,X n ) <= b n Existing conditional factors such as available water, storage capacity, etc / Representam condicionamentos existentes: conservação de massa, volume de água disponível, capacidade de armazenamento e adução, etc..

5 Linear programming IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, All variables are continous / As variáveis são contínuas: All equations are linear / Todas as equações são lineares: Standard formulation / Formulação padrão (forma canónica): Max C 1 X 1 + C 2 X C n X n Subject to / Sujeito a: a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 1n X n <= b 1 a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 2n X n <= b 2 a m1 X 1 + a m2 X 2 + a mn X n <= b m X 1 >=0, X 2 >=0,., X n >=0

6 Linear programming All equations (restrictions and the objective function) are linear and are represented by straight lines in the solution space / Todas as equações (restrições e função objectivo) são lineares e são representadas por rectas no espaço das soluções; The feasible solution space is a convex polygon / A zona das soluções admissíveis é um polígono convexo; The optimal solution is always represented by a vertice of the polygon (a corner solution) / A solução óptima é sempre um dos vértices do polígono (solução de canto); The number of binding restrictions is equal or greated than the number of variables / O número de restrições condicionantes é igual (ou superior) ao número de variáveis; Non convex polygon Polígono não convexo IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, 2015 Convex polygon Polígono convexo 6

7 Graphical resolution X 2 Solução óptima Optimal solution Maximização na função objectivo Maximization of the objective function Zona de soluções admissíveis Feasible solutions region Restrição Restriction Restrição condicionante Binding restriction Solução de canto Corner solutions Solução com o mesmo beneficio Solutions that lead to the same benefit The X and Y axis are also restrictions (non-negativity restrictions) / Os eixos são também restrições (não negatividade das variáveis de decisão) ; Corner solution are potential optimal solution / As soluções de canto são potenciais soluções optimas; In most situation, in a n-variable problem n restrictions condition (i.e. bind) the optimal solution / Geralmente, num problema com n variáveis, n restrições condicionam a solução optima; Binding restrictions have no slack / As restrições condicionantes têm associado uma folga nula, i.e. qualquer alteração da restrição altera a solução óptima; Non-binding restrictions have a positive slack / As restrições não condicionantes tem uma folga positiva, i.e. podem ser alteradas ligeiramente sem que tal altere a solução optima. IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, X 1

8 Shadow prices The change of the rhs of a restriction may change the optimal solution / A alteração do lado direito de uma restrição condicionante, pode alterar a solução optima; a i1 X 1 + a i2 X2 + a in X n <= b i >> original solution / solução optima original a i1 X 1 + a i2 X2 + a in X n <= b i + 1 >> new solution / nova solução optima Shadow price of the restriction = New solution benefits Original solution benefits Preço sombra da restrição = Benef Nova solução Benef solução original The shadow price represents the cost of imposing the restriction / Preço sombra representa o custo unitário de impor essa mesma restrição; The shadow price of non-binding solution is zero / O preço sombra das restrições não condicionantes são nulos; The shadow prices of non-negative restrictions are called reduced costs / Os preços sombras das restrições de não negatividade designam-se por custos reduzidos. X 2 Alteração da solução optima Alteração unitária do lado direita da restrição IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, X 1

9 Sensitivity analysis of the objective functions coeficients IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, Changes of the objective function coeficients lead to a change of the objective function slope / Alterações dos coeficientes da função objectivo determinam uma alteração do declive da recta da função objectivo; Small changes of of the objective function coeficients do not change the optimal solution / Pequenas alterações dos coeficientes não afectam a solução optima; Significant change may change the solution / Alterações significativas podem alterar a solução optima; X 2 No significant change of the objective function coeficients / Alteração não significativa dos coeficientes da função objectivo X 2 Significant change of the objective function coeficients / Alteração significativa dos coeficientes da função objectivo. Alteração da solução optima X 1 X 1

10 Example 1 Contamination control

11 Contamination control IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, Consider a watercourse where you want to install a plant that produces 4 g/s of a contaminated effluent. Environmental authorities only authorize the installation if the concentration of values resulting from the T discharge do not exceed the 0.8 mg/l in section 1 and mg/l in Section 2. Assume a coefficient of degradation equal to /day and a flow velocity of 20 km 0.15 m/s. To meet the established requirements, the project promoters are studying the possibility to request additional discharges from a reservoir located upstream to complement the treatment scheme that is to be installed. Treatment costs are 30 euros for each mg/s removed, and it is impossible to get treatment rates above 60%. The reservoir has energy production contracts that require permanent discharges of 1 m3/s. The cost of additional discharge is 30 k /(m 3 /s). The reservoir managers are not interested in discharging more than 3 m 3 /s above the power generation requirements. What is the most cost-effective solution? What is the sensitivity of the proposed solution to variations in the unit costs? How much would you be willing for a technology that would allow a higher treatment rate? How much would you be willing to pay for the possibility of acquiring a greater volume of discharge? What is the additional cost to the company if the environmental authorities impose lower limits of effluent concentration in the river? 2

12 Controlo da contaminação Considere o curso de água onde se pretende instalar uma unidade fabril que produz 4 g/s de um efluente poluente. As autoridades ambientais apenas autorizam essa instalação se os valores de concentração resultantes T da descarga não excederem os 0,8 mg/l na secção 1 e os 1 2 0,5 mg/l na secção 2. Assuma um coeficiente de degradação de 0,25 1/dia e uma velocidade de 20 km escoamento de 0,15 m/s. Para satisfazer os requisitos estabelecidos, os promotores do projecto estão a estudar a hipótese de solicitarem descargas adicionais de albufeira localizada a montante para complementar o tratamento de efluentes que estão a instalar. Os custos de tratamento são de 30 euros por cada mg/s removido, não sendo possível obter taxas de tratamento superiores a 60%. A albufeira tem contratos de produção de energia que a obrigam a descarregar de forma permanente 1 m 3 /s. O custo das descargas adicionais são de 30 mil euros/(m3/s). Os gestores da albufeira não estão interessados em descarregar mais de 3 m 3 /s, acima das descargas de produção de energia. Qual a solução mais económica? Qual é a sensibilidade da solução proposta a variações dos custos apresentados? Quanto é que estaria disposto a pagar por uma tecnologia que permitisse uma maior taxa de tratamento? Quanto é que estaria disposto a pagar pela possibilidade de adquirir um maior volume de descarga? Qual será o custo adicional para a empresa se as autoridades ambientais impusessem limites de concentração mais reduzidos? IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira,

13 IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, 2015 Contamination control: Resolution 13 T T 20 km 60 Decision variables: Additional discharge from the reservoir, Q (m3/s) Treatment rate, T (%) Objective function: Minimize costs = Min 30xQ + 30xT/100x4 (thousands of euros) Constraints: Q < 3 T < 60 (4x(100-T)/100)/(Q+1) < 0,8 3 4 (4x(100-T)/100)/(Q+1) x exp (-0,25 x 20000/0,15/24/3600) < 0,5 Optimal solution: Q = 1,17 m3/s; T = 60%; Cost = 107,5 thousands of euros 6.5 Q

14 Contamination control: Resolution Shadow prices / Preços sombra: Q < 3 Not biding: shadow price is null / Não limitante: preço sombra nulo (4x(100-T)/100)/(Q+1) < 0,8 Not biding: shadow price is null / Não limitante: preço sombra nulo Q>0 Not biding: shadow price is null / Não limitante: preço sombra nulo T>0 Not biding: shadow price is null / Não limitante: preço sombra nulo T < 60 Binding restricition: Shadow price not null / Restrição condicionante ou limitante: preço sombra não nulo The shadow price represents the value of being able to treat more effluent Corresponde ao valor unitário da possibilidade de poder tratar mais efluente If T < 61 >> Optimum solution: T = 61%, Q = 1,11 m3/s, Cost = 106,6 keuros Shadow price = 107,5-106,6 = 900 euros for each 1% (4x(100-T)/100)/(Q+1) x exp (-0,25 x 20000/0,15/24/3600) < 0,5 Binding restricition: Shadow price not null / Restrição condicionante ou limitante: preço sombra não nulo The shadow price respresenta the additional cost imposed by restricting the concentratin in 2 / Corresponde ao custo unitário adicional de exigir uma menor concentração em 2 If C2 < 0,4 >> Optimum solution: T = 60%, Q = 1,37 m3/s, Custo = 113,0 mil keuros Shadow price = 113,9-106,6 = 7,3 keuros for each mg/l of reduced concentration IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira,

15 Example 2 Contamination control

16 Contamination control Consider the waterway represented in the following figure which receives two continuous discharges of the same type of pollutant. A sampling period in a year in which the flow rate was 4.5 m 3 /s and the average flow velocity was 0.15 m/s indicated that the concentration figures in sections 1, 2, 3 and 5 are respectively: C 1 = 0 mg/l; C 2 = 0.75 mg/l; C 3 = 0.7 mg/l; C 4 = 1.2 mg/l; C 5 = 0.9 mg/l; Compute the mass discharges values. What is the concentration value 10 km downstream of the discharge 2? Describe, in the form of a graph, the decline of the substance along the river km 20 km Environmental authorities intend to improve the quality of the river and to ensure the pollutant concentration at sections 3, 4 and 5 are smaller than 0.9 and 0.7 below 0.5 mg/l, respectively, for the flow conditions presented earlier. The unit cost reduction of the discharge is, respectively, 50 and 70 k /(g/s) for discharges 1 and 2. Technical reasons prevent discharge reductions of more than 2 g/s and 1 g/s, respectively. What is the cheapest solution and what is its cost? After submitting your report, the environmental authorities asked you to study the possibility of establishing higher quality objectives. What costs are associated with these intensions? IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira,

17 Controlo da contaminação Considere o curso de água representado na figura seguinte onde se realizam duas descargas contínuas de um mesmo tipo de substância poluente. Uma campanha de amostragem num período em que o caudal era de 4,5 m3/s e a velocidade média de escoamento de 0,15 m/s, indicou que os valores de concentração nas secções 1, 2, 3 e 5 são respectivamente: C 1 =0 mg/l; C 2 =0.75 mg/l; C 3 =0.7 mg/l; C 4 =1.2 mg/l; C 5 =0.9 mg/l; Calcule os valores das descargas. Qual é o valor da concentração da substância 10 km a jusante da descarga 2. Descreva, sob a forma de gráfico, a evolução da concentração da substância ao longo do rio. Imagine que as descargas eram interrompidas de forma instantânea. Descreva como é a distribuição da concentração evoluía no tempo, apresentando como exemplo a distribuição da concentração 11 horas após a interrupção da descarga. As autoridades ambientais pretendem melhorar a qualidade do rio e garantir para as condições de escoamento da alínea anterior que a concentração nas secções 3, 4 e 5 são, respectivamente, inferiores a 0,7 0,9 e 0,5 mg/l. O custo unitário de redução das descargas é, respectivamente, 50 e 70 k / (g/s) para as descarga 1 e 2. Razões técnicas impedem reduções de descarga superiores a 2 g/s e 1 g/s, respectivamente para as descargas 1 e 2. Qual é a solução mais barata e qual é o seu custo? Tendo apresentado o seu relatório as autoridades ambientais pediram-lhe para estudar a possibilidade de estabelecer objectivos de qualidade da água ainda mais elevados. Que custos estão associados a essas pretensões? IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira,

18 IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, 2015 Contamination control: RESOLUTION km 20 km Numa primeira fase é necessário calcular as descargas m1 e m2, através de um balanço de massa tendo em conta os valores observados na campanha de amostragem. Q * C2 = Q * C1 + M1 Q * C4 = Q * C3 + M2 É ainda preciso calcular o valor do coeficiente de degradação. C3 = C2 * exp (-k x 6000/0.15/3600/24) C5 = C4 * exp (-k x 20000/0.15/3600/24)

19 IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, 2015 Contamination control: RESOLUTION km 20 km Variáveis de decisão: T1 - Taxa de tratamento da descarga 1 (%) T1 - Taxa de tratamento da descarga 2 (%) Função objectivo: Minimizar custos = Min 50 x T1 x m1+ 70 x T2 x m2(milhares de euros) Restrições: T1 x m1 < 2 (g/s) T1 x m2 < 1 (g/s) C3 < 0,7 mg/l C4 < 0,9 mg/l C5 < 0,5 mg/l << substituir C3 por uma função das variáveis de decisão << substituir C4 por uma função das variáveis de decisão << substituir C5 por uma função das variáveis de decisão

20 Example 3 Contamination control

21 Contamination control IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, A pulp mill currently produces 200,000 tons of paper per year with a profit of EUR 75/ton. Early next year the plant has to comply with new environmental legislation that limits the amount of effluents released into a nearby watercourse. The management of the factory is facing two choices: reduce output or add a new level of treatment to the treatment that handles mill wastewater. Currently, the treatment plant discharges 24'000 m 3 of effluent (120 liters of effluent are produced per ton of paper). These effluents are discharged into the watercourse. The new environmental legislation requires that the effluent discharge is reduced to less than 12'000 m 3 per year. The proposed new level of treatment has a 60% efficiency, i.e. 40 m 3 of treated effluent are equivalent to 100 m 3 of the original effluent The proposed scheme has the ability to treat 10'000 m 3 of wastewater per year at a cost of 100 euros per m 3. Obviously, the plant can not handle a higher amount of the waste they produce. The plant has three major contracts, totaling 120,000 tons, which wants to fulfill to avoid paying heavy damages. On the other hand, the current market of the plant is 200 tons and it is extremely difficult to increase it. What should be the pulp mill production and the level of treatment? How much it costs to reduce the amount released into the river by 1000 m 3. How much would the pulp mill managers be willing to pay to increase the treatment capacity? How much would the pulp mill managers be willing to increase its treatment capacity at a cost of 125 per m 3. Assume that the plant can purchase a third level of treatment that can increase the overall efficiency of treatment to 90% at an additional cost of 150 euros per m 3. In this case, what should be the strategic factory?

22 Controlo da contaminação IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, Uma fábrica de celulose produz actualmente 200 mil toneladas de papel por ano com um lucro de 75 euros por tonelada. No ínício do próximo ano a fábrica tem de cumprir uma nova legislação ambiental que limita a quantidade de efluentes líquidos lançada para um curso de água próximo. A administração da fábrica está encarar duas hipóteses: reduzir a produção ou adicionar um novo nível de tratamento à estação que trata os efluentes da fábrica. Actualmente, saem da estação de tratamento m3 de efluentes, isto é são produzidos 120 litros de efluente por cada tonelada de papel. Estes efluentes são lançados para o curso de água. A nova legislação ambiental obriga a lançar menos de m3 de efluentes por ano. O novo nível de tratamento proposto tem uma eficiência de 60%, isto é os efluentes de 100 m 3 tratados são equivalentes a 40 m 3 não tratados. O esquema proposto tem a capacidade de tratar m3 de efluentes por ano a um custo de 100 euros por m 3. Obviamente, que a fábrica não pode tratar uma quantidade de efluentes superior ao que produz. A fábrica tem 3 grandes contratos, que totalizam 120 mil toneladas, que quer cumprir para evitar pagar pesadas indemnizações. Por outro lado, o mercado actual da fábrica é de 200 mil toneladas e é extremamente difícil aumentá-lo. Qual deve ser a produção da fábrica e o nível de tratamento? Quanto é que custa à fábrica reduzir a quantidade lançada para o rio em mil m3. Quanto é que a fábrica estaria disposta a pagar para aumentar a capacidade de tratamento? Até quanto é que a fábrica estaria disposta a aumentar a sua capacidade de tratamento a um custo de 125 euros por m3. Assuma, agora que a fábrica pode adquirir um terceiro nível de tratamento que permite aumentar a eficiência total de tratamento para 90 % a um custo adicional de 150 euros por m3. Neste caso, qual deve ser a estratégica da fábrica?

23 IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, 2015 Contamination control: RESOLUTION 23 Celulose P-Produção (200 ton.) Lucro=75 /ton E, Efluente (24000 m3) (120 l/ton) E-T T Tratamento 40% T Variáveis de decisão: P Produção (mil ton) T Quantidade de efluentes tratados (m3) Função objectivo: Max lucro = 75xP 0,1xT (mil euros) Restrições P >= 120 ton P <= 200 ton T <= 120xP m3 T <= m3 120xP 0,4xT <= m3

24 Exemple 4 Reservoir operation

25 IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, 2015 Ex.4 - Reservoir operation 25 Abastecimento publico (1 hm 3 ) Vol = 20 hm 3 Pomares (3 hm 3 ) Culturas horticolas (10 hm 3 ) Qecol (2 hm 3 ) At the beginning of the summer 20 hm 3 of water are stored in a reservoir with a storage capacity of 30 hm 3. The expected inflow in the following month is 0. The compulsory demands for the following month are 1 hm 3 for domestic use and 2 hm 3 for ecological needs. In addition, one should supply 3 hm 3 for fruit trees e 10 hm 3 for vegetable crops. The damages for not satisfying the fruit trees and the vegetal crop water demands are 500 k /hm 3 and 80 k /hm 3, repectively. The storage at the end of the month has to be greater than 5 hm 3 and any volume above this level is valued at 350 k /hm 3. How should the water be alocated? Suponha que no início do Verão se encontram armazenados 20 hm 3 de água numa albufeira com 30 hm 3 e de volume útil e que não é de esperar qualquer afluência significativa no próximo mês. As necessidades de água para o mês seguinte são de 1 hm 3 para abastecimento público e 2 hm 3 para caudal ambiental, que tem de ser satisfeitas obrigatoriamente. Existe ainda a necessidade de satisfazer 3 hm 3 para a rega de pomares e 10 hm 3 para culturas hortícolas. Os prejuízos de não satisfazer os 3 hm 3 destinados aos pomares podem ser estimados por 500 milhões del euros por cada hm 3 em falta. Os prejuízos de não satisfazer os 10 hm 3 destinados aos produtos hortícolas são estimados em 80 mil euros por cada hm 3 em falta / É necessário garantir que o volume armazenado na albufeira no final do mês seja superior a 5 hm 3 e estima-se ainda que o valor da água armazenada no final do mês acima deste valor é 350 mil euros por hm 3. Como deve ser a alocação da água?

26 IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, 2015 Ex.4 Reservoir operation: Formulation and resolution 26 Objective function: Minimize damages / Função objectivo: Minimizar prejuízos; Decision variables / Variáveis de decisão: P Fruit trees water supply / Volume fornecido aos pomares (hm3) H Vegetable crops water supply / Volume fornecidos aos produtos hortícolas (hm3) Restrictions / Restrições: Fruit trees / Forn. a pomares: P <= 3 Veg. Crops / Forn. de produtos hortícolas: H <= 10 End of month volume / Volume no final do mês: P - H >=5 P + H <= 12 Objective function / Função objectivo: Min 500x(3-P) + 80x(10-H) - 350x( P-H-5 ) (mil ) Min 270xH - 150xP H Optimal solution / Solução óptima: P = 3 hm 3 H = 0 hm 3 Damages/ Prejuízos: k euros (benefits) 3 12 P

27 IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, 2015 Ex.4 Reservoir operation 27 H 12 Objective function: Minimize damages / Função objectivo: Minimizar prejuízos 10 Decision variables/ Variáveis de decisão: P Vol. to fruit trees / Volume fornecido aos pomares (hm3) H Vol. To veg. Crops / Volume fornecidos aos produtos hortícolas (hm3) 3 12 Optimal solution / Solução óptima: P = 3 hm 3 H = 0 hm 3 Damages/Prejuízos: mil euros P What are the binding restrictions? / Quais são as restrições determinantes da solução do problema? What is the stability of the optimal solution to changes in the unit damages? / Qual é a estabilidade da solução encontrada a variações dos valores unitário dos prejuízos indicados? Assuming that the value of the stored water at the end of the month is 60 k /hm 3 up to 10 hm 3 and 30 k /hm3 above that value, what is new formulation of the problem? / Suponha agora que o valor da água armazenada no final do mês é de 60 mil euros por hm 3 até 10 hm 3 e de 30 mil euros por hm3 acima desse valor. Qual é a nova formulação do problema?

28 Example 5 Reservoir operation

29 IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, 2015 Ex.5 Reservoir operation 29 In late winter the water situation in a given watershed is worrying. The stored water volume to meet the region needs amounts to 30 hm 3, and the expectation for any significant water inflow are nil until next autumn. Water needs for public supply and irrigation for the spring are, respectively, 2.5 hm 3 and 18 hm 3. Energy needs are 1 GWh. Each hm 3 of water allocated for irrigation produces 0.07 GWh. The watershed management policy states that 2 hm 3 of water for public supply needs must necessarily be met. A failure to address the remaining 0.5 hm 3 causes losses amounting to 40 k per hm3. With respect to water requirements for irrigation it is necessary satisfy the permanent crop needs (6 hm 3 ) and, where possible, other crop requirements ( 2 hm 3 ). Irrigation needs that are not satisfied lead to losses, estimated at 20 k per hm3. Energy needs that area not met lead to losses, estimated at 100 k per GWh. Concerns regarding summer needs lead to the requirement that the volume stored at the end of the spring should be at least 16 hm 3. What discharge decisions do you suggest to deal with this situation? What additional costs would be required to ensure the full satisfaction of urban supply and irrigation needs? What is the shadow price of the constraint to ensure 16 hm3 in late spring? What does this value mean? Abastecimento público Irrigação

30 Ex.5 Reservoir operation No final do Inverno a situação hídrica de uma dada bacia hidrográfica é preocupante. As reservas de água armazenada na albufeira que procura satisfazer as necessidades da região ascendem a 30 hm3, não sendo de esperar qualquer afluência de água significativa até ao próximo Outono. As necessidades de água para abastecimento público e irrigação para a Primavera são, respectivamente, 2,5 hm 3 e 18 hm 3. As necessidades de energia são 1 GWh. Cada hm 3 de água atribuído para rega produz 0,07 GWh. A política da administração da bacia hidrográfica define que 2 hm 3 das necessidades de água para abastecimento público devem ser necessariamente ser satisfeitas. A não satisfação dos restantes 0,5 hm3 acarreta prejuízos no valor de 40 mil euros por hm 3. No que respeita às necessidades de água para rega, pretende-se satisfazer obrigatoriamente as necessidades de pomares (6 hm 3 ) e, na medida do possível, as necessidades das restantes culturas (12 hm 3 ). Os prejuízos de não satisfazer as necessidades de rega estimam-se em 20 mil euros por hm 3. Os prejuízos de não satisfazer as necessidades de energia estimam-se em 100 mil euros por GWh. As preocupações de escassez hídrica abrangem a capacidade de satisfazer as necessidades do Verão. Por essa razão, pretende-se garantir que o volume armazenado no final da Primavera seja no mínimo 16 hm 3. Que decisões de descarga e de alocação de recursos sugere que seja tomadas nesta situação? Que custos adicionais teria a obrigação de garantir a totalidades das necessidades de água para abastecimento e para irrigação? Qual o preço sombra da restrição de garantir 16 hm 3 no final da Primavera? Qual é o significado desse valor? IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, 2015 Abastecimento público Irrigação 30

31 Ex.5 Reservoir operation: Formulation and resolution IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, Variáveis de decisão: A Volume fornecido para abastecimento (hm3) R Volume fornecido para rega (hm3) R Restrições Abastecimento: A >= 2 Abastecimento: A <=2,5 Irrigação: R >= 6 Irrigação: R <= 18 Necessidades de verão: A R >= 16 A + R <= 14 A>= 0; R >= Função objectivo Min 40x(2,5-A) + 20x(18-R) + 100x(1-0,07R) Min A - 27R Max 40A + 27R A Solução óptima A = 2,5 hm3 R = 11,5 hm3 Prejuizos: 258 mil euros 2 2,5 14 A restrição condicionante é o volume mínimo para satisfazer as necessidades de verão. Por essa razão estamos dispostos a incorrer em prejuízos por não satisfazermos as necessidades de irrigação e energia

32 Example 6 Reservoir operation

33 Ex.6 Reservoir operation IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, A reservoir with a capacity of 40 hm 3 built for water supply, energy production, flood protection, promotion of leisure and ensuring good ecological conditions in the reservoir downstream, is in full storage at the beginning of the dry season. It is estimated that the tributary flow in the dry season is 5 hm 3 and in the wet season is 15 hm 3. To ensure adequate protection against floods drownstream, the reservoir has a flood control storage of 5 hm3. As the dry season coincides with the tourist season it is crucial to ensure that the volume stored at the beginning of this season exceeds 25 hm 3. The good ecological quality in the river stretch downstream of the dam requires discharges equal to or greater than 5 hm 3 in every season. Moreover, the capacity of penstock to the hydroelectric power station is 20 hm 3. The reservoir operation due to water supply are 400,000 and 200,000 per hm 3 provided respectively in the dry season and the wet season. The energy production benefits are 400,000 and 800,000 per hm 3 provided, respectively in the dry season and the wet season. The water supply abstraction is located downstream from the dam which mean that the abstracted volumes contribute to energy production. What should be the reservoir operation policy? How much does it costs flood protection, promotion of leisure and ensuring good ecological conditions? What is the benefit to increase the capacity of the penstock to the hydroelectric power station? What is the sensitivity of the operation policy to variations in unit benefits of water supply and energy production?

34 Ex.6 Reservoir operation IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, Uma albufeira com uma capacidade de 40 hm3, e que tem como fins o abastecimento de água, a produção de energia, a protecção contra cheias, a promoção do lazer e a garantia de boas condições ecológicas a jusante da albufeira, está em pleno armazenamento no início da estação seca. Estimase que o caudal afluente na estação seca é 5 hm3 e que na estação húmida é 15 hm3. Para garantir uma protecção contra cheias adequadas está definido um volume de encaixe de cheia de 5 hm3. Como época seca coincide com a época turística é fundamental garantir que o volume armazenado no início desta época seja superior a 25 hm3. A boa qualidade ecológica no troço fluvial a jusante da barragem exige descargas iguais ou superiores a 5 hm3 em cada estação. Por outro lado, a capacidade das condutas forçadas para a central hidroeléctrica é 20 hm3. Os benefícios da operação obtidos através do abastecimento são 400 mil e 200 mil por cada hm3 fornecido, respectivamente na época seca e na época húmida. Os benefícios da operação obtidos através da produção de energia são 400 mil e 800 mil por cada hm3 fornecido, respectivamente na época seca e na época húmida. A captação para abastecimento está localizada a jusante da barragem pelo que os volumes fornecidos para abastecimento podem ser turbinados. Qual deve ser a política de operação da albufeira? Quanto é que custa a protecção contra cheias, a promoção do lazer e a garantia de boas condições ecológicas? Qual é o benefício que um aumento da capacidade das condutas forçadas para a central hidroeléctrica? Qual é a sensibilidade da política de operação definida a variações dos benefícios unitários de abastecimento e produção de energia?

35 Ex.6 Reservoir operation: Formulation and resolution Decision variables / Variáveis de decisão: X1 Água a descarregar na estação seca (hm3); X2 Água a descarregar na estação húmida (hm3). Restrictions / Restrições: Protecção contra cheias: X1 35 Turismo: X X2 25 Capacidade da albufeira: X X2 40 Capacidade da conduta: X1 20 Capacidade da conduta: X2 20 Condições ecológicas: X1 5 Condições ecológicas: X2 5 Objective function / Função objectivo Max ( )X1 + ( )X2 (milhares de euros) Optim. Solution / Solução óptima: X1 = 15 hm3 X2 = 20 hm3 Benefício = milhares de euros IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, X2 Shadow prices / Preços sombra Protecção contra cheias: 0 Turismo:? Capacidade da albufeira: 0 Capacidade da conduta: 0 Capacidade da conduta:?? Condições ecológicas: 0 Condições ecológicas: 0 X1 35

36 MS Excel Solver

37 Excel Solver: Formulation IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, The problem: Max 3X 1 + 4X 2 4X 1 + 2X 2 <= 5 3X 1 + 4X 2 <= 3 X 1 >=0; X 2 >=0

38 Excel Solver: Solving the problem IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, Add Solver Add in Solver becomes available at the Data ribbon

39 Excel Solver: Results IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, Objective function value Valor da função objetivo Decision variable values Valor das variáveis de decisão (solução ótima) Info on which restriction are binding Informação sobre as restrições que condicionam a solução.

40 Excel Solver: Results IST: Integrated watershed management, 2015/16 Rodrigo Proença de Oliveira, Reduced costs: Shadow prices of the nonnegative constraints Custos reduzidos: Preços sombras das restrições de não negatividade / Results of the sensitivity analysis on the objective function coefficients Informação sobre a sensibilidade da solução ótima à variações dos coeficientes da função objectivo Shadow prices Preço sombra