Avaliação Energética de Sistemas de Conversão Fotovoltaicos

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1 Avaliação Energética de Sistemas de Conversão Fotovoltaicos Pedro André Lourenço do Vale Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores Orientador: Professor Doutor Rui Manuel Gameiro de Castro Júri Presidente: Professor Doutor Paulo Ferreira Godinho Flores Orientador: Professor Doutor Rui Manuel Gameiro de Castro Vogal: Professor Doutor Carlos Augusto Santos Silva Maio 2015

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3 AGRADECIMENTOS Agradeço ao Professor Rui Manuel Gameiro de Castro pela orientação e disponibilidade, contribuindo sempre para a resolução dos problemas que foram surgindo durante a execução deste trabalho. Aos meus pais pelo apoio, paciência e compreensão. A todos os colegas e amigos que contribuíram para a minha formação académica e que me ajudaram ao longo do curso. A todos os professores pelo conhecimento transmitido ao longo destes anos. A todos os outros que não foram aqui referidos e que contribuíram para a minha formação pessoal e académica. A todos deixo o meu agradecimento.

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5 RESUMO As energias renováveis têm vindo a crescer e a ter cada vez mais importância nos dias de hoje. A descrição da variação do recurso primário, em geral uma variável aleatória, em termos de funções probabilísticas é um objetivo que tem preocupado os investigadores. Por exemplo, a velocidade do vento, que está na base da energia eólica, é habitualmente representada através de uma função densidade de probabilidade de Weibull ou de Rayleigh. A irradiância solar, que está na base da energia fotovoltaica, é mais difícil de descrever, sendo que existem atualmente diversos modelos para representar o seu comportamento. Esta dificuldade resulta do facto de a irradiância solar só ocorrer durante uma parte do dia, de ser bastante influenciada pelas estações do ano e de a nebulosidade local ser um fator perturbador. As funções densidade de probabilidade mais aplicadas para descrever a irradiância solar são a beta bi-modal e a do índice de claridade. O objetivo desta dissertação é estudar a aplicação de diversas funções probabilísticas na descrição da variável aleatória, irradiância solar. Neste trabalho é realizado o estudo e simulação com cinco funções densidade de probabilidade distintas (Weibull, normal, lognormal, beta bi-modal e índice de claridade), com o objetivo de verificar qual delas descreve melhor os histogramas dos dados experimentais de irradiância (dados de irradiância referentes às 8760 horas de um ano), em termos da variação mensal, por estação do ano e numa base anual. A qualidade da aproximação é aferida através do Mean Absolute Error (MAE) e Root Mean Square Error (RMSE). Iremos verificar que a melhor distribuição quando se trata de descrever a irradiância solar é a beta bi-modal, sendo esta a melhor aproximação para a maioria das situações consideradas. Palavras-chave: Irradiância solar, função densidade de probabilidade, distribuição beta bi-modal, distribuição do índice de claridade, erro médio absoluto

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7 ABSTRACT The renewable energies have been growing and have become increasingly important these days. The description of the primary resource variations, in general, a random variable, in terms of probability functions is an objective that has concerned researchers. For example, the wind speed, which is the base of the wind energy, is usually represented by a Weibull or Rayleigh probability density function. The solar irradiance, which is the basis of photovoltaic energy, is more difficult to describe, and currently there are several models to represent its behaviour. This difficulty results from the fact that solar irradiance only occur during part of the day, it is strongly influenced by the seasons and the local cloudiness is a disturbing factor. The probability density functions used more often to describe the solar irradiance are the bi-modal beta and the clearness index. The objective of the present Master Thesis is to study the application of different probabilistic functions in the description of the random variable, solar irradiance. In this work, the study and simulation with five different probability density functions (Weibull, normal, lognormal, bi-modal beta and clearness index), is performed, in order to verify which one best suits the histograms of the experimental irradiance data (irradiance data related to the 8760 hours of a year) in terms of monthly variations, for each season and on an annual basis. The quality of the approximation is measured by the Mean Absolute Error (MAE) and Root Mean Square Error (RMSE). We found that the best distribution when it comes to describe the solar irradiance is the bi-modal beta, this being the best approximation for most situations considered. Keywords: Solar irradiance, probability density function, bi-modal beta distribution, clearness index distribution, mean absolute error

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9 Índice Lista de Figuras...i Lista de Tabelas... iii Acrónimos... iv Variáveis...v 1. Introdução Enquadramento Objetivos Estrutura Energia Solar Fotovoltaica Energia Solar em Portugal Geradores Fotovoltaicos Célula Fotovoltaica Seguidor de Potência Máxima (MPPT) Modelos Matemáticos Modelo de Um Díodo e Três Parâmetros Modelo de Um Díodo e Cinco Parâmetros Curvas I-V Variação com a temperatura Variação com a irradiância incidente Potência Máxima Energia do Sol Posicionamento Solar Irradiância Solar Funções Densidade de Probabilidade Distribuição de Weibull Distribuição Normal Distribuição Lognormal Distribuição Beta bi-modal Distribuição do Índice de Claridade (Clearness Index) Qualidade da Aproximação... 43

10 5.1 Mean Absolute Error (MAE) Root Mean Square Error (RMSE) Método de Integração Trapezoidal Simulação e Resultados Estudo relativo aos meses Estudo relativo às estações do ano Estudo do ano completo Conclusões Bibliografia Anexos A. Função Gamma B. Melhores aproximações mensais... 61

11 Lista de Figuras Figura 2.1: Energia Solar na Europa [5]... 4 Figura 2.2: Módulos Fotovoltaicos... 6 Figura 2.3: Junção p-n do semicondutor... 6 Figura 2.4: Variação da curva I-V com a temperatura e com a irradiância [1]... 7 Figura 2.5: Esquema dum gerador fotovoltaico ligado à rede [1]... 8 Figura 2.6: Circuito elétrico equivalente de uma célula fotovoltaica [1] Figura 2.7: Circuito elétrico equivalente do modelo de um díodo e cinco parâmetros [1] Figura 2.8: Variação da curva I-V Figura 2.9: Característica I-V para diferentes temperaturas e uma irradiância constante de 1000 W/m2 [6] Figura 2.10: Característica I-V para diferentes irradiâncias e uma temperatura constante de 25 [6] Figura 2.11: Características I-V e P-V do módulo fotovoltaico em estudo e respetivo ponto de máxima potência Figura 3.1: Diferentes valores para a Latitude e Longitude [8] Figura 3.2: Variação do ângulo horário [7] Figura 3.3: Equação temporal [7] Figura 3.4: Ângulo de Declinação [7] Figura 3.5: Variação do ângulo de declinação ao longo do ano [7] Figura 3.6: Sistema de coordenadas da superfície terrestre para um observador em Q [7] Figura 3.7: Efeito do cosseno no cálculo da irradiância total extraterrestre [7] Figura 4.1: Simulação em MATLAB, aproximação da função de Weibull aos histogramas. Eixo do x corresponde à irradiância solar [kw/m2] Figura 4.2: Simulação em MATLAB, aproximação da função Normal aos histogramas. Eixo do x corresponde à irradiância solar [kw/m2] Figura 4.3: Simulação em MATLAB, aproximação da função Lognormal aos histogramas. Eixo do x corresponde à irradiância solar [kw/m2] Figura 4.4: Exemplo de uma distribuição Beta Bi-modal Figura 4.5: Distribuição beta bi-modal para (a) mês de Agosto e (b) mês de Dezembro Figura 4.6: Irradiância Total Extraterrestre em W/m2 para o ano em estudo (G0) Figura 4.7: Distribuição do índice de claridade para o mês de Julho Figura 6.1: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Julho Figura 6.2: Distribuição Beta Weibull para o mês de Dezembro Figura 6.3: Distribuição Beta bi-modal para a Primavera Figura 6.4: Distribuição Beta bi-modal para o Verão Figura 6.5: Distribuição Beta bi-modal para o Outono Figura 6.6: Distribuição Beta bi-modal para o Inverno i

12 Figura 6.7: Distribuição Beta Bi-modal para o ano completo Figura 0.1: Função Gamma Figura 0.2: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Janeiro Figura 0.3: Distribuição do Índice de Claridade para o mês de Fevereiro Figura 0.4: Distribuição do Índice de Claridade para o mês de Março Figura 0.5: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Abril Figura 0.6: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Maio Figura 0.7: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Junho Figura 0.8: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Agosto Figura 0.9: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Setembro Figura 0.10: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Outubro Figura 0.11: Distribuição Beta bi-modal para o mês de Novembro Figura 0.12: Distribuição do Índice de Claridade para o mês de Novembro ii

13 Lista de Tabelas Tabela 2.1: Parâmetros do módulo fotovoltaico Shell SM (parâmetros são fornecidos nas condições de referência STC) Tabela 4.1: Principais diferenças entre as distribuições Beta bi-modal e Índice de Claridade Tabela 6.1: Valores dos erros para todos os meses do ano Tabela 6.2: Valores dos erros para as estações do ano Tabela 6.3: Valores dos erros para o ano completo iii

14 Acrónimos AC DC fdp fda MPPT MAE NOCT RMSE STC Alternating current Direct current Função densidade de probabilidade Função de distribuição acumulada Maximum Power Point Tracker Mean Absolute Error Normal Operating Cell Temperature Root Mean Square Error Standard Test Conditions iv

15 Variáveis α βc c k D diff δ E ε G G 0 G t G sc γ Γ(x) I I 0 I D I S I cc I MP k k t k tu k tm L m μ N s n p P P max P p ϕ Parâmetro de forma 1 (beta bi-modal) Parâmetro de forma 2 (beta bi-modal) Parâmetro de escala (Weibull) Parâmetro de forma (Weibull) Fator de correção do tempo solar Diferença sucessiva Ângulo de declinação Equação temporal Hiato do semicondutor Irradiância solar Irradiância total extraterrestre Irradiância num plano horizontal Constante solar Parâmetro do índice de claridade baseado na média e no máximo do índice de claridade Função Gamma Corrente através da célula Corrente inversa de saturação do díodo Corrente do díodo Corrente da fonte Corrente de curto-circuito Corrente de máxima potência Constante de Boltzmann Índice de claridade Máximo do índice de claridade Média do índice de claridade Ângulo de longitude Fator de idealidade do díodo Média Número de células em série Número do dia do ano Coeficiente de mistura Potência Potência máxima Potência pico Ângulo de latitude v

16 q σ T t s t θ θ c θ a μi cc μv ca V Var V ca V T V MP ω Γ() Carga do eletrão Desvio padrão Temperatura Tempo solar Hora local Ângulo de zenith solar Temperatura da célula Temperatura ambiente Coeficiente de temperatura da corrente de curto-circuito Coeficiente de temperatura da tensão de circuito aberto Tensão da célula fotovoltaica Variância Tensão de circuito aberto Potencial térmico Tensão de máxima potência Ângulo horário Função Gamma vi

17 1. Introdução 1.1 Enquadramento Há muito tempo que se pretende encontrar uma forma de aproveitar a energia que nos é fornecida pelo Sol, dada a grande quantidade de energia que a Terra recebe do Sol (cerca de 4, J em cada hora) [1]. Contudo, devido a algumas barreiras a nível tecnológico, houve dificuldades no desenvolvimento e aproveitamento deste recurso. Em 1839, Edmond Becquerel (físico francês) surgiu com uma solução para este desafio, solução esta que vem sofrendo até hoje grandes melhorias. Foi ele quem verificou pela primeira vez que placas metálicas, de platina ou prata, mergulhadas num eletrólito, produziam uma pequena diferença de potencial quando expostas à luz. Foi então descoberto o efeito fotovoltaico, no ano de Uns anos depois, em 1877, W. G. Adams e R. E. Day, desenvolveram o primeiro dispositivo sólido de produção de eletricidade por exposição à luz solar, a partir do selénio. Apesar de baixa eficiência de conversão, aproximadamente 0,5% [2], nos finais do século XIX o engenheiro alemão Werner Siemens (fundador do império industrial com o seu nome) comercializou células de selénio como fotómetros para máquinas fotográficas. Foi a primeira vez que este tipo de tecnologia foi comercializado. Em 1905 Albert Einstein veio contribuir com novos conhecimentos para a área, com a sua explicação para o efeito fotoelétrico. Seguiu-se o aparecimento da mecânica quântica e da física dos semicondutores, e também das técnicas de purificação e dopagem associadas ao desenvolvimento do transístor de silício. Através destes avanços foi possível obter grandes melhorias de eficiência na conversão de energia, tornando assim o fotovoltaico numa solução viável para várias situações. Com a chegada da era espacial, esta tecnologia ganhou uma nova importância. Em 1958 as células solares começaram a ser utilizadas como backup às pilhas químicas usadas nos satélites. Num instante mostraram ser soluções muito mais viáveis, e por este facto, todos os veículos espaciais são hoje equipados com material fotovoltaico. A utilização de células solares no espaço levou a importantes melhorias na sua eficiência na década de Foi também nessa década que surgiram as primeiras aplicações terrestres, para casos muito particulares, como sistemas de telecomunicações remotos e boias de navegação, aplicações que justificavam um custo de eletricidade produzida muito elevado. Contudo o maior desenvolvimento do fotovoltaico foi graças ao choque petrolífero em Devido a esta crise petrolífera, foram feitos grandes investimentos em programas de investigação de células solares, com o objetivo de reduzir o seu custo de produção. Surgem então novos conceitos, como a utilização de outros materiais, como foi o caso do silício multicristalino (por oposição aos monocristais, cristais únicos de silício, muito mais caros de produzir) e também de métodos de produção de silício diretamente em fita (eliminando o processo de corte dos lingotes de silício, e todos os custos associados). Em 1976 é produzida a primeira célula em silício amorfo hidrogenado (a-si), sendo esta a primeira tecnologia de filmes finos desenvolvida. Esta tecnologia teve aplicações imediatas sendo 1

18 considerada uma tecnologia ideal para aplicação em calculadoras, relógios e outros produtos de baixo consumo elétrico [3]. Com estes avanços tecnológicos foi possível uma redução do custo de eletricidade solar de 80 $/Wp (dólares por Watt pico) para cerca de 12 $/Wp em menos de uma década [4]. O investimento em programas de financiamento e desenvolvimento para produção de eletricidade continuou nas décadas de oitenta e de noventa, movido pela procura de alternativas aos combustíveis fósseis. Alguns exemplos destas iniciativas são a instalação da primeira central solar de grande envergadura (1MWp) na Califórnia em 1982, e a inauguração dos programas de telhados solares na Alemanha (1990) e no Japão (1993), programas estes que foram fortemente apoiados pelos governos para a microgeração de eletricidade por particulares. O apoio por parte dos governos de cada país foi essencial para o desenvolvimento exponencial a que assistimos na última década. Em 1999 o total acumulado de painéis solares atingia 1 GW (gigawatt), duplicando três anos depois. Como esperado o desenvolvimento tecnológico do fotovoltaico acompanhou esse crescimento. Em 1998 a eficiência de conversão record era de 24,7% (em laboratório) com células em silício monocristalino. Em 2005 cientistas alemães do Institute for Solar Energy Systems anunciaram uma eficiência superior a 20% para células em silício multicristalino. Surgiram depois células solares com configurações mais complexas, as chamadas células em cascata, que consistem na sobreposição de várias células semicondutoras otimizadas para diferentes comprimentos de onda da radiação, que permitem atingir rendimentos de conversão superiores a 34%. Beneficiando de vários fatores e eventos, o fotovoltaico cresceu de uma forma impressionante nas últimas décadas. Em 1954 foi apresentada a primeira célula fotovoltaica da era moderna. Hoje em dia o fotovoltaico é a solução energética para um número crescente de mercados e estamos a evoluir num sentido de ter bases para o desenvolvimento de um verdadeiro mercado de eletricidade solar sustentável a médio prazo. Deverá contudo demorar alguns anos até que este mercado se torne numa realidade. 1.2 Objetivos O objetivo principal desta tese de mestrado é aplicar diferentes distribuições (funções densidade de probabilidade) na descrição de diferentes perfis de níveis de irradiância solar. Para isso será desenvolvido um algoritmo adequado para modelar diferentes funções densidade de probabilidade à variável aleatória em estudo, que neste caso será a irradiância solar ou o índice de claridade. Após isso será efetuado o cálculo do erro da função densidade de probabilidade relativamente às distribuições de frequência da irradiância (dados observados), de modo a avaliar a adequação da função densidade de probabilidade na representação dos dados observados. 2

19 Isto será feito com o auxílio de uma ferramenta computacional, o MATLAB, através da criação de um programa que gera a função densidade de probabilidade de acordo com um conjunto de dados observados. Por fim será possível concluir através do cálculo dos erros, correspondendo a distribuição com menor erro à melhor aproximação, qual a distribuição que é melhor para modelar cada caso em estudo. Pretende-se então com esta tese, encontrar a função densidade de probabilidade que melhor descreva diferentes perfis de irradiância, para que no futuro se use essa função para modelar a irradiância solar. 1.3 Estrutura Esta tese está organizada em sete capítulos principais. No capítulo 1, foi apresentada uma breve revisão do estado da arte sobre a energia solar fotovoltaica é dada, como uma introdução para o trabalho que se segue. No capítulo 2 são explicados os geradores fotovoltaicos e os modelos matemáticos usados para calcular a potência de saída dos módulos fotovoltaicos. A irradiância solar e o posicionamento solar, para o qual se introduziram diversos ângulos com o objetivo de prever a posição do Sol em relação ao dispositivo de receção (painel solar) são estudados no capítulo 3. No capítulo 4 são apresentadas as diferentes funções densidade de probabilidade que serão utilizadas para modelar a irradiância solar. O capítulo 5 corresponde à explicação dos dois métodos utlizados para o cálculo dos erros e a explicação do método trapezoidal. O capítulo 6 é o lugar onde todas as simulações e resultados são apresentados. Por fim, a discussão dos resultados e as conclusões são apresentadas no capítulo 7. 3

20 2. Energia Solar Fotovoltaica 2.1 Energia Solar em Portugal Portugal é um dos países da Europa com maior disponibilidade de radiação solar devido à sua localização geográfica. A disponibilidade de radiação solar pode ser medida ou determinada em termos do número médio anual de horas de Sol, que no caso de Portugal varia entre as 2200 e 3000 horas. Contudo, este recurso tem sido mal aproveitado. Verificando o caso da Alemanha que possui apenas um número médio anual de horas de Sol que varia entre as 1200 e 1700 horas e é a líder na produção de energia Solar, podemos dizer que Portugal não tem um grande aproveitamento deste recurso. Ou seja este fato demonstra as dificuldades que Portugal apresenta na difusão deste tipo de energia, que apesar de ostentar uma enorme potencialidade, não existe o seu devido aproveitamento e uso. A Figura 2.1 mostra o número médio anual de horas de Sol na Europa. As zonas mais escuras correspondem às zonas onde o número médio anual de horas de Sol é maior e as zonas mais claras são os locais com menor número médio anual de horas de Sol. Como podemos verificar Portugal é um dos países da Europa com um maior número médio anual de horas de Sol, logo com boas condições para ter um elevado aproveitamento energético da energia solar fotovoltaica. Figura 2.1: Energia Solar na Europa [5] 4

21 2.2 Geradores Fotovoltaicos A aposta na promoção de instalações de Sistemas Fotovoltaicos está em linha com os objetivos traçados pela ratificação do Protocolo de Quioto e as metas impostas pelos programas nacionais de incentivo à produção de energia elétrica a partir de Energia Solar Fotovoltaica. Atualmente a produção de energia a partir de fontes de energia renovável tem muitas vantagens, existindo também alguns incentivos que atraem o investimento em centrais fotovoltaicas. Estes sistemas podem ser instalados em qualquer superfície com boa exposição solar. Estes sistemas fotovoltaicos são constituídos pelos módulos ou painéis fotovoltaicos, um seguidor de máxima potência e um inversor. É possível obter uma estimativa da energia a produzir pelo módulo fotovoltaico. Para isso é necessário efetuar medições das grandezas irradiância e temperatura ambiente desse determinado local Célula Fotovoltaica Uma célula fotovoltaica ou célula solar, corresponde ao elemento mais pequeno do sistema fotovoltaico. Uma célula fotovoltaica é capaz de produzir uma tensão de cerca de 0,5 V e uma corrente de 3 A, à qual corresponde uma potência elétrica DC de 1,5 W. Para gerar potências maiores, as células são ligadas em série e/ou paralelo, constituindo-se assim módulos fotovoltaicos. Um módulo fotovoltaico produz potências DC entre os 100 e os 200 W. Na Figura 2.2 é mostrado um módulo fotovoltaico. A agregação de módulos fotovoltaicos dá origem aos painéis fotovoltaicos. Os painéis fotovoltaicos são ligados à rede elétrica AC através de um equipamento auxiliar, um conversor DC/AC (inversor). 5

22 Figura 2.2: Módulos Fotovoltaicos As células fotovoltaicas produzem energia DC sendo que a energia produzida aumenta com o aumento da radiação solar. As células fotovoltaicas são constituídas por um material semicondutor, na maioria dos casos o silício, sendo também usado outros tipos de materiais como o Telureto de Cádmio (CdTe), o Disseleneto de Cobre-Índio-Gálio (CIGS) e o Arsenieto de Gálio (GaAs). Hoje em dia cerca de 95% de todas as células solares existentes são de silício [6]. Ao material semicondutor são adicionadas substâncias/impurezas, chamadas de dopantes, que criam duas camadas na célula, a camada tipo p e a camada tipo n, que possuem respetivamente um excesso de cargas positivas e um excesso de cargas negativas, relativamente ao silício puro. Na região onde os dois materiais se encontram, denominada junção p-n, origina-se um campo elétrico, que corresponde à diferença de potencial entre as duas zonas da célula. Uma representação da junção p-n do semicondutor é ilustrada na Figura 2.3. Figura 2.3: Junção p-n do semicondutor Quando a célula fotovoltaica é exposta à luz solar os fotões atingem os eletrões e, se tiverem energia suficiente, fazem-nos saltar da banda de valência para a banda de condução, originando a quebra das ligações entre os eletrões, devido ao fornecimento de energia. Os eletrões libertados serão conduzidos através do campo elétrico para a área n. Os buracos ou lacunas criados seguiram na direção contrária para a área p. Este processo denomina-se por efeito fotovoltaico. A difusão dos portadores de carga até aos contactos elétricos, produz uma tensão na fronteira da célula solar. Se o 6

23 circuito estiver fechado, obtém-se então corrente elétrica que juntamente com uma tensão aplicada ao circuito gera energia elétrica. A intensidade da corrente elétrica é proporcional à radiação solar incidente na célula. Deste modo, quanto maior for a radiação solar, maior será também o número de eletrões na banda de condução, aumentando assim a energia produzida pela célula. O princípio de funcionamento de uma célula solar composta por camadas de silício dopado por impurezas do tipo p e do tipo n é o mesmo de um díodo comum de silício, pois possuem as mesmas propriedades elétricas. A característica elétrica de uma célula fotovoltaica pode ser representada através da variação das curvas I-V (corrente-tensão) e P-V (potência-tensão). Estas curvas serão diferentes se houver uma variação na temperatura ou na irradiância, como podemos verificar através da Figura 2.4. Figura 2.4: Variação da curva I-V com a temperatura e com a irradiância [1] Seguidor de Potência Máxima (MPPT) Na ligação do módulo à rede existem equipamentos de regulação e interface, como o seguidor de máxima potência (MPPT) e o inversor, que servem para melhorar as condições de geração e que adaptam a energia produzida pelos painéis de modo a que esta possa ser injetada na rede. O MPPT é um dispositivo eletrónico que opera nos módulos fotovoltaicos e que tem como finalidade fazer com que os módulos produzam no ponto de máxima potência. Não se trata de um sistema de seguimento mecânico que os move fazendo com que os módulos apontem diretamente para o sol, mas sim de um dispositivo eletrónico que faz variar o ponto de operação elétrico do módulo de modo a que 7

24 estes sejam capazes de fornecer à potência máxima disponível. O MPPT pode ser usado simultaneamente com um sistema de seguimento mecânico, mas os dois sistemas são completamente diferentes. Na Figura 2.5 é representado o esquema de um gerador fotovoltaico com ligação à rede elétrica. Figura 2.5: Esquema dum gerador fotovoltaico ligado à rede [1] A potência máxima será não só função das condições ambientais, nomeadamente a temperatura e a irradiância, como também da tensão aos terminais do módulo, sendo desejável o funcionamento à máxima potência possível de modo a maximizar o rendimento energético. Para a ligação deste sistema à rede de energia elétrica, é necessário um inversor para converter a energia DC produzida pelo módulo fotovoltaico em energia AC. 2.3 Modelos Matemáticos Com o objetivo de estudar os equipamentos fotovoltaicos, é prática comum fazer a sua representação através de circuitos elétricos equivalentes. Nesta secção consideram-se dois modelos distintos. Um modelo de um díodo e três parâmetros, também chamado de modelo simplificado e outro modelo de um díodo e cinco parâmetros ou modelo detalhado. 8

25 2.3.1 Modelo de Um Díodo e Três Parâmetros Os fabricantes disponibilizam as características elétricas do módulo fotovoltaico nas condições de referência STC (Standard Test Conditions) que correspondem a: Temperatura da célula: θ r = 25 = T r = 298,15 K Nível de irradiância: G r = 1000 W/m 2 Nestas condições o fabricante fornece a corrente de curto-circuito (I CC ), a tensão de circuito aberto (V CA ), a corrente do ponto de potência máxima (I max ) e a tensão no ponto de potência máxima (V max ). São também disponibilizadas as características térmicas da célula, que consideram a influência da temperatura no funcionamento da célula. O índice NOCT corresponde à temperatura da célula em funcionamento nominal e é definido por: Temperatura ambiente: θ = 20 Irradiância solar: G = 800 W/m 2 Deste modo a temperatura da célula (θ c ) pode ser calculada através da seguinte expressão: G(NOCT 20) θ c = θ a (2.1) onde θ a é a temperatura ambiente e G é a irradiância. O valor do NOCT é relativamente constante, assumindo-se um valor típico NOCT = 45 Na Tabela 2.1 é dado um exemplo de um catálogo fornecido pelo fabricante de um módulo fotovoltaico. 9

26 Tabela 2.1: Parâmetros do módulo fotovoltaico Shell SM (parâmetros são fornecidos nas condições de referência STC) Silício Monocristalino Potência de pico P p 100,3 Wp Corrente Máxima I MP 5,9 A Tensão Máxima V MP 17,0 V Corrente de curto-circuito I CC 6,5 A Tensão de circuito aberto V CA 21,0 V Temperatura normal de funcionamento NOCT 45 Coeficiente de temperatura de ICC μi CC 2, A/ K Coeficiente de temperatura de VCA μv CA 7, V/ K Número de células em série Ns 36 Comprimento C 1,316 m Largura L 0,660 m Quanto ao modelo matemático simplificado, uma célula poderá ser descrita através do circuito elétrico equivalente que se mostra na Figura 2.6. Figura 2.6: Circuito elétrico equivalente de uma célula fotovoltaica [1] A fonte de corrente I s representa a corrente elétrica gerada a partir do efeito fotovoltaico. Esta corrente unidirecional é constante para uma dada irradiância ( G ) incidente. A junção p n é representada pelo díodo colocado em paralelo com a fonte, que é atravessado por uma corrente interna unidirecional I D. A corrente I atravessa a carga e a tensão V é a tensão aplicada à carga. Através da análise do circuito podemos tirar a seguinte equação pelo método dos nós: I = I s I D (2.2) 10

27 A corrente I D que atravessa o díodo é expressa por: V I D = I 0 (emv T 1) (2.3) onde as variáveis correspondem a: I 0 corrente inversa de saturação do díodo [A]; V tensão aos terminais da célula [V]; m fator de idealidade do díodo (díodo ideal: m = 1; díodo real: m > 1); V T designado por potencial térmico: V T = k T q (2.4) Onde k é a constante de Boltzmann (k = 1, J/K), T é a temperatura absoluta da célula em K (K = + 273,15) e q a carga eléctrica do electrão (q = 1, C). carga: O potencial térmico é um grandeza importante e nas condições de referência vem dado por: V T r = k Tr q = 0,0257 V (2.5) A partir das equações 2.2 e 2.3 obtemos a seguinte expressão da corrente I que se fecha pela I = I s I 0 (emv T 1) V (2.6) É agora necessário determinar os parâmetros (m, I 0, I S ) da equação 2.6. Para o seu cálculo utilizamse os parâmetros fornecidos pelo fabricante do painel e consideram-se três pontos de operação da célula: curto-circuito, circuito aberto e potência máxima. Através da análise da Figura 2.6, podemos retirar as seguintes equações correspondentes a situação de curto-circuito: V = 0 I D = 0 I = I r r s = I cc (2.7) O índice r é referente às condições de referência que já foram faladas anteriormente e significa que estes parâmetros foram calculados nestas condições. r A corrente de curto-circuito I cc é o valor máximo da corrente de carga, sendo o seu valor uma característica da célula, que é fornecido pelo fabricante para as condições STC. 11

28 A equação 2.6 é geral pelo que poderá ser aplicada aos três pontos de operação da célula. Na condição de circuito aberto a corrente será igual a zero pelo que teremos: I = 0 V ca = m V T ln(1 + I s I 0 ) (2.8) A tensão de circuito aberto V ca é o valor máximo da tensão aos terminais da célula, sendo o seu valor também uma característica da célula que é fornecido pelo fabricante para as condições STC. A corrente inversa de saturação do díodo I 0, pode ser determinada através da seguinte equação: I 0 r = r I cc Vr ca emvr T 1 (2.9) por: Ao considerar que a função exponencial é muito maior que um, podemos simplificar a equação 2.9 I 0 r e I cc r Vr ca mvr T (2.10) Falta agora determinar o parâmetro m e para o calcular utiliza-se o terceiro ponto de operação da célula, nas condições de potência máxima. Nestas condições a equação 2.6 pode ser escrita do seguinte modo: r V MP I MP r = I r r s I 0 (em Vr T 1) (2.11) Considerando a função exponencial muito maior que um e utilizando as equações 2.7 e 2.10 em 2.11, é possível obter o valor para m, como se mostra a seguir: r V MP I MP = I r r s I 0 (em V T r) m = V r MP V ca r V T ln (1 I r MP r ) (2.12) r I cc Como verificamos através da equação 2.12, que nos permite calcular o valor do fator de idealidade do díodo, este é calculado apenas com os parâmetros característicos da célula que nos são fornecidos pelo fabricante. Deste modo o valor de m será constante segundo este modelo. 12

29 2.3.2 Modelo de Um Díodo e Cinco Parâmetros Quanto ao modelo de um díodo e cinco parâmetros ou modelo detalhado, este representa uma melhor representação da célula fotovoltaica do que o modelo simplificado. Este modelo ao contrário do modelo simplificado considera tal como acontece nas células reais, uma queda de tensão no circuito até aos contactos exteriores, a qual é representada no circuito pela resistência R s. São também consideradas as correntes de fuga, que são descritas por uma resistência em paralelo, R sh. O circuito equivalente para este modelo é então representado na Figura 2.7. Figura 2.7: Circuito elétrico equivalente do modelo de um díodo e cinco parâmetros [1] Os cinco parâmetros a determinar deste modelo são I s r, I 0 r, m, R s e R sh e podem ser relacionados através da corrente I por: I = I s I D I sh V+R s I I = I s I 0 (e m V T 1) V + R s I R sh (2.13) A equação 2.13 nas condições de referência será representada por: V+R s I I = I r s I r 0 (e m Vr T 1) V + R s I (2.14) R sh A equação 2.14 representa uma equação transcendente, implícita em I, que necessita de métodos iterativos para a sua resolução. O cálculo das resistências R s e R sh não será feito nesta tese, nem será aprofundado o estudo deste modelo matemático. 13

30 2.4 Curvas I-V Para representar a característica de saída de uma célula fotovoltaica utiliza-se a curva de correntetensão (curva I-V). A corrente de saída mantém-se praticamente constante dentro da amplitude de tensão de funcionamento, portanto o dispositivo é considerado por vezes como uma fonte de corrente constante. A corrente e a tensão de operação da célula fotovoltaica são determinadas pela irradiância incidente e pela temperatura da célula. Uma variação numa destas variáveis provoca variações na curva I-V. Segundo este modelo (modelo simplificado) o parâmetro m será constante pelo que apenas é necessário obter para uma determinada irradiância e temperatura, as relações dos parâmetros I 0 e I s. Uma representação da curva I-V é mostrada na Figura 2.8. Figura 2.8: Variação da curva I-V Os valores transcendentes desta curva são: Corrente de curto-circuito (I cc ): máxima corrente que pode ser entregue pela célula para determinada irradiância e temperatura, quando a tensão é nula e subsequentemente potência nula. Tensão de circuito aberto ( V ca ): máxima tensão que pode ser entregue pela célula para determinada irradiância e temperatura, quando a corrente é nula e subsequentemente potência nula. Potência máxima (P max ): Corresponde ao valor máximo de potência que a célula é capaz de gerar. É o ponto da curva onde o produto V I é máximo. Corrente de máxima potência (I MP ): É o valor da corrente que garante a geração de potência máxima para determinada irradiância e temperatura. 14

31 Tensão de máxima potência (V MP ): É o valor da tensão que garante a geração de potência máxima para determinada irradiância e temperatura Variação com a temperatura Os parâmetros fornecidos pelo fabricante são sempre correspondentes às condições STC, ou seja, uma irradiância de 1000 W/m 2 e uma temperatura da célula de 25. Na Figura 2.9 apresenta-se um gráfico da característica I-V (corrente-tensão) para uma irradiância fixa de 1000 W/m 2 mas fazendo variar a temperatura da célula. Figura 2.9: Característica I-V para diferentes temperaturas e uma irradiância constante de 1000 W/m 2 [6] Como podemos observar pela Figura 2.9, a tensão de máxima potência é, ao contrário da corrente de máxima potência, muito sensível à variação de temperatura. A corrente inversa de saturação (I 0 ), é função da temperatura da célula e traduz as variações de temperatura desta relativamente às condições STC. O potencial térmico (V T ) terá um valor diferente das condições de referência, que pode ser calculado por: V T (T) = k T q (2.15) 15

32 em que T corresponde à nova temperatura de operação da célula. A nova corrente de saturação pode ser calculada através da seguinte expressão: I 0 (T) r = I 0 ( T 3 N s ε T r) m. e ( 1 Vr 1 T V ) T (2.16) em que N s é o número de células ligadas em série e ε é a largura de banda do silício (hiato) que apresenta o valor de ε = 1.12 ev Variação com a irradiância incidente Para o caso da variação da irradiância incidente, com uma temperatura da célula fixa de 25, a característica I-V (corrente-tensão) é a que se apresenta na Figura Figura 2.10: Característica I-V para diferentes irradiâncias e uma temperatura constante de 25 [6] Como podemos verificar pela Figura 2.10, a corrente de máxima potência é muito sensível às variações de irradiância incidente, ao contrário da tensão de máxima potencia que pouco oscila. Neste caso verifica-se que a intensidade de corrente que atravessa um módulo fotovoltaico é proporcional à radiação solar que nele incide. Esta relação de proporcionalidade pode ser expressa por: 16

33 I s = I cc (G) = G G r I cc r (2.17) O parâmetro I s traduz as variações da irradiância relativamente às condições STC. 2.5 Potência Máxima Para o cálculo da potência de uma célula fotovoltaica para uma dada irradiância e temperatura da célula, utilizam-se para além dos parâmetros m, I 0 e I s, os parâmetros de referência fornecidos pelo fabricante. A potência DC de saída é dada por: P DC = V MP I MP (2.18) em que a tensão de máxima potência e corrente de máxima potência, nas condições de referência, são dadas respetivamente por: r r V MP = m V T ln ( r I MP = I r cc r I cc r + 1 I 0 r ) V (2.19) MP r + 1 m V T r V MP I r 0 (em Vr T 1) (2.20) De seguida é traçada para além da característica I-V, a característica P-V (potência-tensão), fazendo P = V I. Os parâmetros da simulação são referentes ao módulo fotovoltaico Shell SM100-12, o qual foi simulado através do programa MATLAB. Os resultados são obtidos para as condições STC e mostram-se na Figura 2.11, onde se indica também o ponto de máxima potência. 17

34 Figura 2.11: Características I-V e P-V do módulo fotovoltaico em estudo e respetivo ponto de máxima potência O ponto de máxima potência ( P max ) é representado pelo encontro das retas a vermelho, e corresponde ao ponto da curva onde o produto V I é máximo. 18

35 3. Energia do Sol O Sol é uma fonte de energia renovável, situa-se no centro do sistema solar e emite energia como radiação eletromagnética a uma taxa muito elevada e relativamente constante, 24 horas por dia, 365 dias por ano. O ritmo a que esta energia é emitida é equivalente à energia proveniente de uma fonte a uma temperatura de cerca de 6000 K (5726,85 ). Se pudéssemos aproveitar a energia que vem de apenas 10 hectares ( m 2 ) da superfície do sol, teríamos o suficiente para satisfazer a demanda energética atual de todo o mundo [7]. No entanto, existem três importantes razões que não possibilitam essa solução: A Terra está deslocada do Sol, e como a energia do Sol se espalha como uma luz de uma vela, apenas uma pequena fração da energia que deixa uma área do Sol alcança uma área igual na Terra. Em segundo lugar, a Terra gira sobre o seu eixo polar, de modo que qualquer dispositivo de recolha localizado sobre a superfície da Terra pode receber a energia radiante do Sol para apenas cerca de metade de cada dia. O terceiro e menos previsível fator é a condição da camada da atmosfera que rodeia a superfície da Terra. Na melhor das hipóteses a atmosfera da Terra é responsável por uma redução de 30 por cento da energia do Sol. No entanto, as condições climáticas podem ser responsáveis pela eliminação de quase toda essa energia, e apenas uma quantidade mínima de radiação solar alcançar a superfície da Terra durante muitos dias seguidos. A quantidade de energia solar que atinge uma dada área da Terra é chamada de radiação solar. A unidade de medida da radiação solar é o joule por metro quadrado (J/m 2 ). A irradiância corresponde à potência entregue e é expressa em watts por metro quadrado (W/m 2 ). Logo a radiação solar é a integração da irradiância solar ao longo de um período de tempo. Irradiância solar é uma medida instantânea da taxa, logo trata-se de uma unidade que pode variar ao longo do tempo. Para a compreensão de como recolher e maximizar a energia solar, é preciso primeiro ser capaz de prever a posição do Sol em relação ao dispositivo de receção (painel solar). De seguida serão desenvolvidas as equações necessárias relativas ao posicionamento solar (ângulos). 19

36 3.1 Posicionamento Solar Latitude e Longitude Qualquer localização na superfície da Terra pode ser definida pelo conhecimento de um ângulo de longitude e de um ângulo de latitude. O ângulo de latitude (φ) é o ângulo entre uma linha traçada a partir de um ponto na superfície da Terra até o centro da terra, e o plano equatorial da Terra. A intersecção do plano equatorial com a superfície da Terra constitui o equador e é designado como zero graus de latitude. O eixo de rotação da Terra cruza a superfície da Terra a 90 graus de latitude (Pólo Norte) e -90 graus de latitude (Pólo Sul). A longitude (L) é uma coordenada geográfica que especifica a posição este-oeste de um ponto na superfície da Terra. É uma medida angular, que é expressa em graus. Pontos com a mesma longitude ficam situados em linhas que partem do Pólo Norte para o Pólo Sul. Por convenção, uma delas, o Meridiano de Greenwich, que passa através do Observatório Real de Greenwich em Inglaterra, estabelece a posição de zero graus de longitude. A longitude de outros lugares é medida como o ângulo a este ou oeste do Meridiano de Greenwich, variando de 0 no Meridiano de Greenwich a +180 ou 180, para este ou para oeste respetivamente. Especificamente, é o ângulo entre um plano que contém o Meridiano de Greenwich e outro plano que contém o Pólo Norte, Pólo Sul e o local em questão. Para os cálculos à frente efetuados serão necessários os ângulos referentes à latitude e longitude do local de receção da energia solar. O local considerado para estas coordenadas foi Lisboa, mais exatamente IST Alameda, para o qual temos as seguintes coordenadas: Latitude: φ = 38,7 Longitude: L = 9,14 Os diferentes valores para a latitude e longitude consoante a nossa posição na Terra são representados na Figura 3.1 para uma melhor compreensão dos respetivos ângulos. 20

37 Figura 3.1: Diferentes valores para a Latitude e Longitude [8] Ângulo Horário Para descrever o sistema de rotação da Terra sobre o seu eixo polar, é utilizado o conceito de ângulo horário (ω). O ângulo horário representa a distância angular entre o meridiano do observador (tempo solar local) e o meridiano do plano que contém o Sol (meio-dia solar). O ângulo horário é zero ao meio-dia solar (quando o Sol atinge o ponto mais alto no céu), e aumenta 15 por hora. A Figura 3.2 mostra a variação do ângulo horário ao longo de um dia. 21

38 Figura 3.2: Variação do ângulo horário [7] O ângulo horário mede o tempo depois do meio-dia solar em termos de um grau por cada quatro minutos, ou quinze graus por hora. O tempo depois do meio-dia solar é expresso por um ângulo horário positivo e o tempo antes do meio-dia solar por um ângulo horário negativo. Logo, duas horas antes do meio-dia solar o ângulo horário é -30 graus e duas horas após o meio-dia solar é +30 graus. A expressão utilizada para calcular o ângulo horário é a seguinte: ω = ω (t s 12) [ ] (3.1) onde, ω é a velocidade de rotação da Terra sobre o seu eixo (15 /h); t s é o tempo solar. Tempo Solar O tempo solar é baseado no sistema horário de 24 horas. O conceito de tempo solar é usado para prever a direção dos raios solares relativamente a um ponto na Terra. O tempo solar é dependente da localização (longitude) e é normalmente diferente do tempo horário, definido pelas zonas horárias. A expressão usada para calcular o tempo solar é a seguinte: t s = t + E 60 + L 15 + D [horas] (3.2) onde, 22

39 t é a hora local (no sistema 1-24h); E é a equação temporal; L é a correcção de longitude; D é igual a 1 (hora) se a localização corresponde a uma região onde o horário de verão está atualmente em vigor, ou 0 caso contrário. Equação Temporal A equação temporal ou EOT (equation of time) é uma fórmula utilizada no processo de conversão entre o tempo solar e hora do relógio, para compensar a órbita elíptica da Terra em torno do Sol e a sua inclinação axial. Como a Terra se move numa órbita elíptica, então a equação temporal é usada para ajustar face a uma orbita circular. Existem várias expressões para calcular a equação temporal. A expressão utilizada neste trabalho segundo [9] é: E = 9,87 sin(2b) 7,53 cos(b) 1,5 sin(b) [minutos] (3.3) onde B é o ângulo em graus definido em função do número do dia n: B = 360 (n 81) 364 [ ] (3.4) n é o número do dia (no sistema 1-365). A Figura 3.3 mostra a variação da equação temporal ao longo de um ano. Figura 3.3: Equação temporal [7] 23

40 Correção Longitudinal A correção longitudinal que aparece na fórmula do cálculo do tempo solar, corresponde à diferença de longitudes entre o local onde nos situamos e o meridiano da zona horária. É então calculada da seguinte forma: L = longitude local longitude do meridiano da zona horária [ ] (3.5) Neste caso a longitude do local considerado (Lisboa) é de -9,14 e a longitude do meridiano da zona horária é GMT Greenwich Mean Time +0, ou seja a longitude do meridiano é 0. O valor de L vem então dado por: L = 9,14 0 = 9,14 (3.6) Ângulo de Declinação O ângulo de declinação (δ) varia sazonalmente, devido à inclinação da Terra sobre o seu eixo de rotação e também devido à rotação da Terra em torno do Sol. Se a Terra não fosse inclinada em relação ao seu eixo de rotação, a declinação seria sempre 0. No entanto, a Terra está inclinada de 23,45 e o ângulo de declinação varia entre mais ou menos este valor. Na Figura 3.4 é representado o ângulo de declinação. 24

41 Figura 3.4: Ângulo de Declinação [7] A expressão que nos permite calcular o ângulo de declinação para um dado dia do ano é a seguinte: 360 (284 + n) δ = 23,45 sin ( ) [ ] 365 (3.7) se argumento do ângulo em graus, ou: 2π (284 + n) δ = 23,45 sin ( ) [ ] 365 (3.8) com o argumento do ângulo em radianos, onde n é o número do dia do ano (por exemplo, n = 1 no dia 1 de Janeiro e n = 32 no dia 1 de Fevereiro). A declinação é zero nos equinócios (22 de Março e 22 de Setembro). É positiva durante o Verão do hemisfério norte e negativa durante o Inverno do hemisfério norte. A declinação atinge um máximo de 23,45 a 22 de Junho (solstício de Verão no hemisfério norte) e um mínimo de -23,45 a 22 de Dezembro (solstício de Inverno no hemisfério norte). A Figura 3.5 mostra a evolução do ângulo de declinação ao longo de um ano. 25

42 Figura 3.5: Variação do ângulo de declinação ao longo do ano [7] Ângulo de Zenith Solar A posição do Sol relativa às coordenadas da latitude e longitude pode ser descrita por dois ângulos: ângulo de altitude solar (α) e ângulo zenith solar (θ). Para o cálculo dos valores da irradiância, que veremos a seguir, é necessário o conhecimento do ângulo de zenith solar (θ). Este ângulo e o ângulo de altitude solar são representados na Figura 3.6. Figura 3.6: Sistema de coordenadas da superfície terrestre para um observador em Q [7] 26

43 Para o cálculo do ângulo de zenith solar é necessário o conhecimento do ângulo horário (ω), do ângulo da latitude (φ) e do ângulo de declinação (δ). A expressão que permite o cálculo do ângulo de zenith solar é a seguinte: cos(θ) = cos(φ) cos(δ) cos(ω) + sin(φ) sin (δ) (3.9) θ = cos 1 (cos (θ)) [rad] (3.10) 3.2 Irradiância Solar A irradiância solar é a potência das radiações eletromagnéticas por área de superfície e é expressa em watts por metro quadrado [W m 2 ]. A quantidade de irradiância solar que atinge a superfície terrestre depende não só do momento do ano em que nos encontramos, como também da localização geográfica e das condições meteorológicas existentes (ex: existência de nuvens, poluição atmosférica). Alguns estudos vieram provar que a nebulosidade é o principal fator que determina a diferença entre a radiação solar medida no exterior da atmosfera e na superfície terrestre. Enquanto a irradiância solar incidente na atmosfera terrestre é aproximadamente constante, a irradiância à superfície terrestre varia devido aos fatores referidos anteriormente. A radiação solar que atinge a superfície terreste é composta por duas componentes, a radiação direta e a radiação difusa. A radiação direta corresponde aos raios solares provenientes diretamente do Sol, sem qualquer reflexão ou refração. A radiação difusa consiste na radiação que atinge a superfície terrestre proveniente dos fenómenos de reflexão e refração da atmosfera. O índice de claridade (k t ) é utilizado em algumas distribuições e é definido pela razão entre a irradiância num plano horizontal G t (W/m 2 ) e a irradiância total extraterrestre G 0 (W/m 2 ). k t = G t G 0 (3.11) A irradiância num plano horizontal ( G t ) é medida através de sensores de radiação que são colocados no local da instalação fotovoltaica. Estes valores foram obtidos para as 8760 horas de um determinado ano e serão utilizados nos cálculos de outras variáveis. 27

44 A irradiância total extraterrestre (G 0 ) corresponde à radiação medida acima da atmosfera terrestre sob um plano perpendicular aos raios incidentes, ou seja, com um ângulo de zenith solar nulo (θ = 0 cos(θ) = 1). Pode ser calculado o seu valor através da seguinte expressão: G 0 = G SC [1 + 0,033cos ( 2πn 365 )] [W/m2 ] (3.12) onde, G SC é a constante solar (G SC = 1367 W/m 2 ); n é o número do dia do ano para o qual se pretender calcular o valor da irradiância total extraterrestre. A hipótese frequentemente utilizada nos modelos de radiação solar é o da radiação solar extraterrestre incidir sobre uma superfície horizontal. Considera-se uma superfície plana fora da atmosfera da Terra e paralela à superfície da Terra. Quando esta superfície se encontra de frente para o Sol (normal para um raio central), a radiação solar que incide sobre ele será G 0, que corresponde à irradiância máxima possível solar. Se a superfície não é normal para o Sol, a radiação solar que incide sobre ele irá ser reduzida pelo cosseno do ângulo entre a normal da superfície e um raio central do Sol. Este conceito é demonstrado na Figura 3.7. Como se pode observar a taxa de energia solar incidente em ambas as superfícies é a mesma. No entanto a área da superfície A é maior do que a área da superfície B, fazendo com que a taxa de energia solar por unidade de área (ou seja, a irradiância solar), que cai na superfície A seja menos do que na superfície B. Figura 3.7: Efeito do cosseno no cálculo da irradiância total extraterrestre [7] Para o cálculo do índice de claridade utiliza-se a radiação solar extraterrestre disponível numa superfície plana horizontal no topo da atmosfera terrestre. Para o seu cálculo é necessário o 28

45 conhecimento do ângulo formado entre o Sol e o plano. Esse ângulo θ é denominado de ângulo de zenith solar que já referimos anteriormente. Pode ser afetado pelo movimento translacional elíptico da Terra, pelo seu movimento de rotação e também pela latitude do plano do observador. Deste modo a quantidade máxima de irradiância solar extraterrestre é reduzida, sendo calculada através da seguinte expressão: G 0 = G SC [1 + 0,033cos ( 2πn 365 )]. cos (θ) [W/m2 ] (3.13) onde θ é o ângulo de zenith solar que pode ser determinado pela seguinte expressão: cos(θ) = cos(φ) cos(δ) cos(ω) + sin(φ) sin (δ) (3.14) sendo φ, δ, ω ângulos entre o Sol e a Terra que já foram introduzidos anteriormente. A redução de radiação pelo cosseno do ângulo entre a radiação solar e uma superfície normal é conhecido como o efeito do cosseno. O efeito cosseno é um conceito muito importante na otimização da orientação de coletores solares. Devido a este efeito a radiação solar extraterrestre num plano horizontal varia ciclicamente enquanto a Terra gira sobre seu eixo. A quantidade de radiação solar recebida sobre uma superfície horizontal fora da atmosfera forma um limite superior para a quantidade de radiação que vai incidir sobre uma superfície horizontal abaixo da atmosfera da Terra. 29

46 4. Funções Densidade de Probabilidade Neste capítulo serão referidas as diferentes funções densidade de probabilidade (fdp), que foram utilizadas para fazer uma aproximação aos histogramas dos dados observados dos valores de irradiância e onde se calculam de seguida os respetivos erros. Para investigar as características da irradiância solar, algumas funções densidade de probabilidade foram utilizadas para descrever a sua distribuição de frequência. Algumas distribuições são melhores para descrever dias limpos, enquanto outras descrevem melhor dias nublados. Alguns matemáticos dizem que os modelos de distribuição disponíveis na literatura não são aplicáveis a todos os tipos de climas e propuseram então outros tipos de distribuições. Para este estudo e comparação de erros para se determinar qual a distribuição que é mais adequada para cada situação, serão utilizadas cinco funções densidade de probabilidade: Weibull Normal Lognormal Beta bi-modal Índice de claridade As últimas duas funções densidade de probabilidade referidas acima (beta bi-modal e índice de claridade) são as que se usam mais para descrever a irradiância solar e que já foram referidas em trabalhos recentes. As outras três foram simuladas de acordo com [10]. Para as simulações irá ser considerado cada mês isolado, as quatro estações do ano e o ano inteiro em geral para o qual temos os dados, para se concluir qual a melhor distribuição para cada caso. Como se poderá observar mais à frente nos gráficos, as funções densidade de probabilidade são as curvas nos gráficos a vermelho e como se poderá verificar na escala, estas podem assumir valores superiores a um. Isto deve-se ao fato de estas funções representarem uma densidade de probabilidade e não uma probabilidade, tal como o nome indica. Densidade significa probabilidade por unidade de valor da variável aleatória. O que tem que se verificar é que o integral desta função de densidade considerando o intervalo em que ela está definida deve ser exatamente igual a um. Nos gráficos das distribuições o eixo do x corresponde à irradiância registada (G t ) em kw/m 2 em todas as distribuições exceto na distribuição do índice de claridade onde o eixo do x corresponde ao índice de claridade k t. No eixo do y temos do lado esquerdo a probabilidade de ocorrência de cada nível de irradiância/índice de claridade e do lado direito a escala da respetiva função densidade de probabilidade. 30

47 Os erros referentes às diferenças entre as distribuições de frequência (histogramas) e a respetiva função densidade de probabilidade serão calculados mais a frente de dois modos diferentes, de modo a podermos concluir qual a distribuição que melhor representa cada situação. 4.1 Distribuição de Weibull A distribuição Weibull é uma das distribuições mais utilizadas em engenharia. É uma distribuição versátil que pode assumir as características de outros tipos de distribuição, com base no valor do parâmetro de forma (k ). Esta distribuição é utilizada para modelar a velocidade do vento, método que já foi provado ser uma muita boa aproximação. No caso da irradiância não existe ainda uma distribuição que seja ótima para a descrever em todas as situações. Será utilizada esta distribuição para modelar a irradiância solar e calcular os seus erros, concluindo-se depois se se trata de uma boa distribuição para a modelar ou não. A função densidade de probabilidade de Weibull com dois parâmetros foi aplicada para modelar a irradiância solar. Pode ser descrita pela sua função de densidade de probabilidade f (x) que é apresentada a baixo: f(x) = k c (x c ) k 1 e (x c )k (4.1) Na expressão acima, a variável x representa a irradiância solar, k corresponde ao parâmetro de forma e c é o parâmetro de escala. A função de distribuição cumulativa de Weibull é dada por: F(x) = 1 e (x c )k (4.2) Os parâmetros de forma e de escala da função de Weibull podem ser estimados pelas seguintes fórmulas: k = ( σ ) 1,086 x (4.3) c = x Γ(1 + 1/k ) (4.4) onde x e σ corresponde à média e ao desvio padrão receptivamente e Γ() é a função Gamma. 31

48 A função de Weibull é simulada através do conhecimento destes dois parâmetros, o parâmetro de forma e o parâmetro de escala. Na Figura 4.1 podemos observar como a distribuição de Weibull modela diferentes casos de distribuições de frequência (histogramas). Figura 4.1: Simulação em MATLAB, aproximação da função de Weibull aos histogramas. Eixo do x corresponde à irradiância solar [kw/m2] 4.2 Distribuição Normal A distribuição Normal é uma distribuição de probabilidade contínua muito utilizada. Trata-se de uma função que nos dá a probabilidade de qualquer observação verdadeira cair entre dois limites reais ou números reais, pois a curva aproxima-se de zero em ambos os lados. Distribuições normais são extremamente importantes na estatística e são frequentemente utilizadas nas ciências naturais e sociais para variáveis aleatórias com valores reais cujas distribuições não são conhecidas. A função densidade de probabilidade de uma distribuição Normal é dada por: h(x) = 1 (x μ) 2 σ 2π e 2σ 2 (4.5) Nesta expressão o parâmetro μ representa a média ou expectativa da distribuição, o parâmetro σ é o desvio padrão sendo portanto a variância dada por σ 2 e a variável x representa a irradiância solar que será a variável de estudo. A função de distribuição cumulativa Normal é dada por: 32

49 H(x) = μ erf (x 2 σ 2 ) (4.6) onde erf () é o erro da função que é dado por: erf(x) = 2 x π e t2 dt (4.7) 0 A função Normal é simulada através do conhecimento dos parâmetros da média e do desvio padrão, relativos à irradiância. Na Figura 4.2 podemos observar como a distribuição Normal modela diferentes casos de distribuições de frequência (histogramas). Figura 4.2: Simulação em MATLAB, aproximação da função Normal aos histogramas. Eixo do x corresponde à irradiância solar [kw/m2] 4.3 Distribuição Lognormal A distribuição Lognormal é um tipo de função densidade de probabilidade usada para qualquer variável aleatória cujo logaritmo é normalmente distribuído, podendo ser expressa pela seguinte expressão: r(x) = 1 [ln(x) λ] 2 xβ 2π e 2β 2 (4.8) 33

50 Na expressão anterior λ representa a média e β corresponde ao desvio padrão do logaritmo da variável natural. A variável x é a irradiância que pretendemos estudar. A função de distribuição cumulativa Lognormal é dada por: R(x) = λ erf [ln(x) 2 β 2 ] (4.9) A função Lognormal é simulada através do conhecimento dos parâmetros da média e do desvio padrão, relativos à irradiância. Na Figura 4.3 podemos observar como a distribuição Lognormal modela diferentes casos de distribuições de frequência (histogramas). Figura 4.3: Simulação em MATLAB, aproximação da função Lognormal aos histogramas. Eixo do x corresponde à irradiância solar [kw/m2] 4.4 Distribuição Beta bi-modal Segundo alguns estudos, a distribuição beta bi-modal é a distribuição mais adequada para descrever o comportamento da irradiância solar durante um certo período, usando duas distribuições beta regulares com um coeficiente de mistura (p). 34

51 Para o desenvolvimento desta distribuição, é necessário um método de uma estimativa de máxima verosimilhança com o auxílio de um software de computador. Cada distribuição beta pode ser descrita através da seguinte equação: Γ(α + βc) f b (x) = { Γ(α)Γ(βc). xα 1. (1 x) βc 1 para 0 x 1, α 0, βc 0 0 caso contrário (4.10) onde Γ(α + βc) é o valor da função Gamma (Anexo A) para os valores obtidos de α e βc, aplicando-se o mesmo a Γ(α) e Γ(βc). Estes dois parâmetros α e βc, chamados parâmetros de forma, definem a distribuição beta e podem ser calculados através da média (μ) e desvio padrão (σ). Alterando estes parâmetros de forma, é possível produzir uma ampla gama de diferentes distribuições. O cálculo desses dois parâmetros é feito através das seguintes equações: μ(1 + μ) βc = (1 μ) ( σ 2 1) (4.11) α = μ βc 1 μ (4.12) A variável aleatória x (que neste caso corresponde à irradiância solar G) pode variar apenas entre os valores 0 e 1, dado que a função densidade de probabilidade é contínua, ela irá atingir valores superiores a 1, logo neste caso não representa a probabilidade de um determinado valor. Para se saber qual a probabilidade de qualquer nível de irradiância é feito o integral da pdf nesse intervalo. Esse fato constitui uma pequena dificuldade pois não podemos dizer através da análise rápida do gráfico qual a probabilidade de determinado valor. Mas através do cálculo de um integral podemos conhecer rapidamente o seu valor. A distribuição beta bi-modal foi simulada através da implementação das funções referentes a esta distribuição, através do conhecimento dos seus parâmetros de forma. Da Figura 4.4 podemos verificar que as duas distribuições devem ser entrelaçadas, dando assim origem a um coeficiente de mistura (p). Para obter os parâmetros de forma, é necessário modelá-los através do método de máxima verosimilhança que foi referido. 35

52 Figura 4.4: Exemplo de uma distribuição Beta Bi-modal Parâmetros de entrada: p μ 1 μ 2 σ 1 σ 2 0,4855 0,2992 0,7970 0,2386 0,3690 Para cada distribuição beta, são necessários dois parâmetros essenciais para o processo de modulação: a média e o desvio padrão. Isto significa que serão necessários cinco parâmetros, duas médias, dois desvios padrão e um coeficiente de mistura. A forma de uma distribuição bi-modal regular possui duas modas (Figura 4.4), o que significa que a primeira moda será aproximadamente a média da primeira distribuição beta e a segunda será aproximadamente a média da segunda distribuição beta. Quanto ao desvio padrão, este tem a sua própria fórmula para distribuições com mistura. Segundo [11] pode ser calculado através da seguinte equação: σ = (Var(G) 0,25diff([μ 1 μ 2 ]) 2 ) (4.13) onde diff retorna a diferença entre valores sucessivos na forma de um vector, Var(G) é a variância de um vector de irradiância e μ 1 e μ 2 são as médias da primeira e da segunda distribuições beta respetivamente. Uma vez que neste caso existem apenas duas modas, diff é o mesmo que a diferença entre as médias das duas distribuições beta individuais. Quanto ao fator de mistura, este é sempre definido como 0,5, sendo depois ajustado de acordo com os dados fornecidos. Os valores obtidos para as 8760 horas de um ano, em Lisboa, permitiram um ajuste das curvas de irradiância. Com o objetivo de se ajustar os dados obtidos, com a distribuição beta bi-modal, organizaram-se os dados. Foram agrupados em meses, estações do ano e ano em estudo, para os 36

53 quais os cinco parâmetros acima descritos foram calculados. Isso deu origem a uma distribuição beta bi-modal para cada mês, estação do ano e ano completo em estudo, o que significa que há 17 distribuições diferentes. É claro que neste procedimento, alguns pressupostos tiveram de ser feitos. Por exemplo, irradiâncias solares inferiores um valor mínimo (G < 26 W/m 2 ) não foram consideradas para os cálculos, caso contrario existiria uma elevada concentração de dados no nível de irradiância zero, dado que durante a noite não existe Sol. (a) (b) Figura 4.5: Distribuição beta bi-modal para (a) mês de Agosto e (b) mês de Dezembro Parâmetros de entrada (Agosto): p μ 1 μ 2 σ 1 σ 2 0,4806 0,2679 0,7600 0,2239 0,3101 Parâmetros de entrada (Dezembro): p μ 1 μ 2 σ 1 σ 2 0,4125 0,1490 0,3805 0,1067 0,3081 Como se pode verificar na Figura 4.5 (a), a distribuição assemelha-se claramente a uma distribuição beta bi-modal, enquanto na Figura 4.5 (b) a distribuição parece ser uma única distribuição beta. No primeiro caso, referente a um mês do Verão, existe uma maior variação dos níveis de irradiância ao longo do dia. No segundo caso que é referente a um mês do Inverno, o resultado é bastante expectável. Durante o mês de Dezembro a radiação solar apresenta em geral valores baixos. Os dados do mês de Dezembro apresentam grandes desvios, o que significa que as duas distribuições beta, aparentemente diferentes que devem compor a distribuição beta bi-modal para determinado mês, vão ser muito próxima uma da outra para criar um abismo como se verifica na Figura 4.5 (a). 37

54 Este é um modelo simples que é viável para aplicações de longo prazo. A maior desvantagem nas simulações foi o facto de os dados serem limitados a um ano de leituras. 4.5 Distribuição do Índice de Claridade (Clearness Index) Durante um dia médio, a quantidade de irradiância que atinge a superfície dum módulo fotovoltaico depende da latitude e altitude do local, bem como das condições climáticas, tais como a temperatura e a nebulosidade. A nebulosidade tem um grande impacto quando se trata de medir a diferença entre a irradiância fora da atmosfera da Terra e no seu solo. Isso introduz o conceito do índice de claridade. Há várias maneiras de considerar o efeito da nebulosidade, mas a principal variável é o índice de claridade. O índice de claridade (k t ) é o quociente entre a irradiância num plano horizontal (G t [kw/m 2 ]) e a irradiância total extraterrestre (G 0 [kw/m 2 ]) num determinado dia, durante uma certa hora. Utiliza-se então o modelo proposto por Hollands e Huget [12] para modelar o índice de claridade para os diferentes meses do ano. Para isso será necessário primeiro criar um modelo da função densidade de probabilidade. A função densidade de probabilidade é mostrada em baixo e pode ser usada para modelar o comportamento do índice de claridade. P(k t ) = C (k tu k t ) k tu e λ k t (4.14) onde C e λ podem ser calculados usando o valor máximo do índice de claridade (k tu ) e a média do índice de claridade (k tm ): C = λ 2 k tu (e λk tu 1 λktu ) (4.15) λ = (2γ 17,519e 1,3118γ 1062e 5,0426γ ) k tu (4.16) γ = k tu k tu k tm (4.17) 38

55 Os valores máximo e médio do índice de claridade foram retirados após o calculo do valor de k t. Foi primeiro calculado o valor de G 0, podendo de seguida calcular-se o valor de k t através da seguinte expressão: k t = G t G 0 (4.18) A variável G t corresponde aos valores dados de irradiância, enquanto G 0 tem um valor que é variável de hora para hora que pode ser calculado através da expressão: G 0 = 1367 (1 + 0,033 cos ( 2πn )) (cos(φ) cos(δ) cos(ω) + sin(φ) sin(δ)) 365 (4.19) [W/m 2 ] O valor 1367 corresponde à constante solar (G sc ) que representa a intensidade da radiação solar a uma distância de 1 UA (unidade astronómica), distância média entre a Terra e o Sol. As variáveis da equação correspondem a ângulos do posicionamento solar e já foram referidas na secção anterior, são calculadas através das expressões: 2π(284 + n) δ = 23,45 sin ( ) [ ] 365 (4.20) ω = 15(t s 12) [ ] (4.21) φ = 38,7 (4.22) onde φ é o latitude do local em estudo (neste caso a latitude referida é para a região de Lisboa, mais concretamente o IST), δ é o angulo de declinação, que representa a posição angular do Sol ao meio dia no que diz respeito ao plano equatorial, n é o dia do ano (de 1 de Janeiro com n = 1 a 31 de Dezembro com n = 365), t s é o tempo solar que já foi explicado e demonstrado o seu cálculo na secção anterior e ω é o ângulo horário. Relativamente às variáveis k tm e k tu estas variam o seu valor de mês para mês, sendo k tm a média dos valores do índice de claridade desse mês e k tu o valor máximo que se registou nesse mês. Segundo este modelo (Hollands e Huget), o valor máximo teórico possível do índice de claridade é de 0,864, sendo que sempre que se obteve valores superiores, estes foram limitados a este mesmo valor. 39

56 Outra situação considerada foi o facto de não se terem tido em conta valores do índice de claridade muito baixos (k t < 0,025 não foram considerados), que representam as horas em que não há Sol, pois se fossem considerados esses valores iriamos obter uma elevada concentração de resultados no índice zero. Foram então apenas tidos em conta valores de índice de claridade (k t ) iguais ou superiores a 0,025. A Figura 4.6 mostra os valores da irradiância total extraterrestre (G 0 ) para as 8760 horas do ano em estudo. Como se pode verificar pela figura as horas correspondentes aos meses de Verão apresentam valores de irradiância mais elevados em comparação com os outros meses. Figura 4.6: Irradiância Total Extraterrestre em W/m2 para o ano em estudo (G0) Na Figura 4.7 é representado como exemplo uma aproximação através da distribuição do índice de claridade para um determinado mês, onde o eixo do x corresponde ao índice de claridade (k t ). 40