A ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS COMO FERRAMENTA PARA MEDIÇÃO DE PRODUTIVIDADE: UMA APLICAÇÃO NO CAMPEONATO PERNAMBUCANO DE FUTEBOL

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1 A ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS COMO FERRAMENTA PARA MEDIÇÃO DE PRODUTIVIDADE: UMA APLICAÇÃO NO CAMPEONATO PERNAMBUCANO DE FUTEBOL Raphael Harry Frederico Ribeiro Kramer (UFPB) Walton Pereira Coutinho (UFPB) Vitoria Maria Mola de Vasconcelos (UFPB) Luciano Carlos Azevedo da Costa (UFPB) O alto investimento realizada nas atividades esportivas, vem incorporando dentro das instituições esportivas. Uma das ferramentas mais usadas, bem como uma das mais eficientes é o DEA. O trabalho em questão objetiva determinar as eficiênciaas cruzadas dos times que disputaram o campeonato pernambucano de futebol no ano de 2011 e encontrar agrupamentos entre estes times de modo a determinar os benchmarks para cada agrupamento. Para utilização da metodologia, considerou-se os 12 times que disputaram o campeonato pernambucano como DMUs (Decision Making Units). Os inputs selecionados foram folha salarial de jogadores e média de público. Os outputs foram pontos ganhos e números de vitórias. As eficiências dos times foram calculadas por meio do modelo DEA BCC orientados para outputs. Foram calculadas então as eficiências cruzadas para cada par de DMUs, e então construiu-se a matriz de correlações entre pares de colunas de matriz de eficiências cruzadas. Palavras-chaves: DEA, eficiência, futebol

2 1. Introdução O futebol é um dos esportes mais praticados no mundo. No Brasil, em particular, este esporte apresenta uma adesão ainda maior, sendo considerado o esporte da paixão nacional. As competições no Brasil ocorrem durante todo o ano. Existem competições de âmbito nacional, regional e estadual. Os campeonatos estaduais acontecem em cada estado da nação e apresentam formas de disputa e regulamentos próprias. Tradicionalmente, os campeonatos estaduais apresentam uma função estratégica para os times que dele participam, uma vez que, além de servirem como classificatórios para alguns campeonatos nacionais, estes campeonatos servem de vitrine para investidores. Por possuir diversas equipes de representatividade nacional, com diversos títulos nacionais no seu histórico, o Campeonato Pernambucano de Futebol, pode ser considerado um dos mais tradicionais da região Nordeste, ficando apenas atrás do campeonato baiano. Nos últimos anos, a quantidade de investimentos nos mais diversos esportes e em particular no futebol, vem sendo bastante elevada. Neste contexto, uma das maiores preocupações tem sido investigar se estes investimentos vêm sendo rentáveis. Diante deste cenário, as ferramentas de cálculo de eficiência apresentam-se bastante úteis. Na literatura inúmeros trabalhos que visam calcular a eficiência no contexto das atividades esportivas. Uma das ferramentas mais utilizadas é a análise envoltória de dados (DEA Data Envelopment Analysis), como por exemplo no trabalho de Cortez et al. (2010). Este trabalho objetiva determinar as eficiências cruzadas dos times que disputaram o campeonato pernambucano de futebol no ano de 2011 e encontrar agrupamentos entre estes times de modo a determinar os benchmarks para cada agrupamento. 2. Medidas de Produtividade Para Hansen e Mowen (2001, p. 543), a produtividade envolve a produção eficiente de uma saída e considera especificamente o relacionamento entre a saída e as entradas usadas para produzir a saída. A equação abaixo relaciona o conceito de produtividade segundo os autores: (1) Basicamente existem dois métodos de mensuração de eficiência e produtividade, cada qual com suas técnicas, porém ambos efetuam a estimação da máxima produção que pode ser obtida com os recursos disponíveis. O primeiro desses métodos é constituído por modelos paramétricos e o segundo baseia-se na programação matemática Medidas Paramétricas Dentre os modelos paramétricos encontram-se a produtividade de fator simples, produtividade de fator agregado e produtividade de fator total (SEVERIANO FILHO et al, 2008). Tais produtividades são apresentadas, brevemente, a seguir: 2

3 1. Produtividade de fator simples: este procedimento é geralmente utilizado quando as medidas físicas desses recursos são facilmente medidas, como por exemplo, quilo e unidades. 2. Produtividade de valor agregado: este modelo requer que qualquer medida de output deve incluir todos os recursos produzidos pela organização, assim como os inputs devem corresponder à quantidade dos recursos que foram utilizados na produção. 3. Produtividade de fator total: produtividade que relaciona todos os recursos de um produto através da união das diversas produtividades relacionadas aos seus recursos individuais em uma única equação. Uma vez quantificadas as medidas de produtividade a etapa seguinte é a avaliação, que consiste na interpretação dos valores obtidos, que entre outros aspectos, pressupõe o conhecimento da influência da participação dos recursos no desempenho global Medidas Não-Paramétricas (Avaliações Quantitativas) Os modelos não paramétricos são baseados em programação matemática, que buscam a construção de uma fronteira de eficiência (SENGUPTA, 1989). Ao contrário dos paramétricos estes não apresentam coeficientes e os dados só são apresentados após a resolução do problema. Segundo Souza e Wilhelm (2009) a utilização de programação linear matemática para calcular a eficiência técnica proporciona a obtenção de dois objetivos: construir fronteiras de produção a partir de dados empíricos e computar uma medida de produtividade relacionandose dados de observação com fronteiras de produção. Os principais métodos, do tipo quantitativo, para avaliar técnicas de eficiência são: DEA, fronteira estocástica e o índice Malmquist, apresentadas brevemente a seguir: 1. DEA: Trata-se de uma técnica com base nos modelos de eficiência de Farell (1957) e suportada pela programação linear que tem como objetivo a medição de desempenho de unidades operacionais denominadas unidades de tomada de decisão (DMUs Decision Marking Units) para a construção de um conjunto de referência em ambientes que se dispõe de múltiplas entradas e saídas, dificultando a comparação. 2. Fronteira estocástica: Este modelo tem como objetivo a estimação de uma função que proporcione o máximo de produção mediante a combinação mais eficiente dos fatores envolvidos. 3. Índice de Malmquist: Refere-se à avaliação da evolução da produtividade de cada unidade de produção em relação ao conjunto de dados em que a mesma encontra-se inserida. De acordo com Brunetta (2004) este índice é definido de acordo com a razão entre funções distância em dois períodos diferentes. No estudo destes três modelos, Almeida e Rabellato (2005) apresentam o Quadro 1, que aborda resumidamente, as vantagens e desvantagens de cada um deles. Técnicas Vantagem Desvantagem Fronteira Identifica os desvios em relação àfronteira Apenas um produto pode ser 3

4 Estocástica de Produção; Decompõe em ruídos puramente aleatórios a ineficiência. considerado Índice Malmquist Identifica o comportamento da eficiência oriunda da tecnologia e da natureza relativa da mudança de produtividade É sensível à especificação e à quantidades de variáveis por unidades agregadas DEA Analisa múltiplos produtos e múltiplos insumos sem a especificação de nenhuma forma funcional; Determina uma fronteira linear por partes compreendidas pelo conjunto de DMU's; Apresenta uma flexibilidade nos pesos. Amostra não pode ser muito grande, pois pode causar distorções no resultado Quadro 1 - Vantagens e desvantagens das técnicas de análise de eficiência Fonte: Almeida e Rabellato (2005) De acordo com o Quadro 1 e considerando a sua funcionalidade e efetividade, bem como a enorme gama de possibilidades de aplicação, optou-se pela utilização da DEA para medir a eficiência dos times do campeonato pernambucano de futebol em Uma explanação mais detalhada desta técnica é apresentada na seção a seguir. 3. Análise Envoltória de Dados (DEA) A técnica da Análise Envoltória de Dados tem como objetivo a análise comparativa de unidades independentes em relação a seu desempenho operacional. As denominadas unidades de tomada de decisão (DMUs) têm suas eficiências avaliadas a partir das medidas fornecidas por esta técnica, a partir da comparação entre inputs e outputs. Segundo Macedo e Bengio (2003) a DEA representa uma das mais adequadas ferramentas para avaliar a eficiência em comparação com ferramentas convencionais, sendo assim, são destacadas as seguintes características: Não requer a priori uma função de produção explícita; Examina a possibilidade de diferentes, mas igualmente eficientes, combinações de inputs e outputs; Localiza a fronteira eficiente dentro de um grupo analisado e as unidades incluídas; Determina, para cada unidade ineficiente, subgrupos de unidades eficientes, os quais formam seu conjunto de referência. A eficiência pode ser melhorada pelo aumento dos outputs e/ou pela diminuição dos inputs. De acordo com Casado (2007) a aplicação dos modelos DEA deve ser precedida pela escolha do tipo de abordagem, isto é, determinar se o modelo será orientado para outputs ou inputs. Assim, escolhe-se entre usar um modelo orientado a outputs, no qual se obtém o máximo nível de outputs mantendo os inputs fixos, ou um modelo orientado a inputs, que visa a obter um menor uso de inputs conservando a quantidade dos outputs. 4

5 Para o cálculo da eficiência, Farell (1975) apresenta o índice de eficiência da k-ésima DMU, para o caso de múltiplos inputs e múltiplos outputs. Nesta equação e representam respectivamente os pesos de cada output e cada input, representa o output da unidade, e indica o input unidade. Estes pesos são normalmente arbitrados. (2) 3.1. Tipos de modelo DEA Na literatura, verifica-se uma grande variedade de formulações para os modelos de DEA. No entanto, segundo Bandin (1997), dois deles são geralmente utilizados, o CRS (Constant Returns to Scale) que avalia a eficiência total, identifica as DMU s eficientes ou não e determina a distância entre as unidades não eficientes e a fronteira de eficiência; e o VRS (Variable Returns to Scale), que utiliza a formulação dual e permite a projeção de cada uma das DMU s ineficientes sobre a superfície da fronteira, denominada envoltória, que é determinada pelas DMU s eficientes. O primeiro modelo de DEA foi proposto por Charnes, Cooper e Rhones (1978). Este modelo, chamado CCR,quando concebido, apresentava a forma de um de problema de programação fracionada. (2) onde e são os insumos da j-ésima DMU, e representam os pesos (coeficientes da ponderação), a serem determinados pelo modelo. De acordo com Mariano, Almeida e Rebelatto (2006), um problema de programação fracionária possui infinitas soluções. Desse modo, para que se possa obter uma única solução ótima, faz-se necessário a sua linearização. A fim de se linearizar a proposta acima, Charles, Cooper e Rhodes apresentaram a formulação que segue: (3) (4) (5) 5

6 (6) O modelo acima é conhecido como problema dos multiplicadores. Neste se transformam os produtos e insumos em medidas únicas chamadas produto virtual e insumo virtual. A medida de desempenho de cada é otimizada através de execuções do programa, sendo uma (7) (8) para cada. A fim de completar as informações de serem obtidas pelo modelo, calculase a forma Dual do problema em questão. (9) (10) (11) Como visto acima, Charnes, Cooper e Rhodes desenvolveram o primeiro modelo matemático para a técnica DEA. Este modelo recebeu o nome de CCR e apresenta como principal características o fato de apresentar retornos constantes para a escala em questão, isto é, os inputs e outputs são proporcionais entre si. O BBC por outro lado, desenvolvido por Banker, Charnes e Cooper em 1984, embora incorpore o modelo CCR, apresenta como diferença o fato de apresentar retornos variáveis à escala. Uma observação feita por Mariano, Almeida e Rebelatto (2006) refere-se ao fato de o modelo CCR desconsiderar os ganhos de escala quando calculadas as eficiências. Assim, a eficiência relativa de uma DMU é obtida por meio da divisão entre a sua produtividade e a maior produtividade entre as DMUs analisadas. Por outro lado, o BBC compara apenas as DMUs que operem em escala semelhante. Desse modo, a eficiência da DMU é obtida dividindo a sua produtividade pela maior produtividade dentre as DMUs que apresentarem o mesmo tipo de escala de retorno. Essas observações implicam no tipo de fronteira que cada modelo apresentar. Enquanto que o CCR apresenta uma fronteira em forma de reta com um ângulo de 45º, o BBC apresenta retas de ângulos variados, caracterizando uma fronteira linear por partes. (12) 6

7 Como o modelo BBC foi desenvolvido a partir do CCR, obtêm-se a modelagem do problema BBC fazendo-se algumas alterações (CORTEZ et al., 2010). Assim, temos: (13) (14) (15) Calculando-se a forma dual, obtêm-se: (16) (17) (18) (19) (20) (21) 4. Metodologia 4.1. Aplicação da DEA no campeonato pernambucano de futebol Para a análise da eficiência dos times do campeonato pernambucano de futebol utilizou-se dados referentes à sua última edição (2011). Neste período doze times participaram da disputa, conforme listados na Tabela 1. Visualizou-se que mesmo em um ambiente com grande disparidade em termos de recursos, times que pequeno porte e consequentemente menos recursos, conseguem alcançar resultados compatíveis àqueles que representam a elite do futebol estadual, como o Sport, Náutico e Santa Cruz, inclusive vencendo-os. Em caso como estes, em que uma equipe de porte maior perde para uma de pequeno porte, pressupõe-se a má utilização de recursos, onde estes últimos podem ser verificados sob diferentes aspectos. Deste modo, este trabalho irá fazer a consideração dos recursos utilizados e dos resultados alcançados para a análise da eficiência. Optou-se por analisar a eficiência dos times sob a ótica de duas entradas/recursos (inputs): folha salarial do ano de 2011 e média de público; e duas saídas/resultados (outputs): número de vitórias e número de pontos ganhos. As DMUs, por sua vez, foram consideradas como sendo as equipes. Os inputs e outputs de cada DMU são apresentados na tabela.1. 7

8 Tabela 1: Dados de inputs e outputs de cada DMU (time) DMU Inputs Outputs Folha Salarial (R$) Público (Média) Pontos Ganhos Vitórias América Araripina Cabense Central Náutico Petrolina Porto Salgueiro Santa Cruz Sport Vitória Ypiranga A justificativa para a escolha destes inputs para a análise vem do fato de a folha salarial dos jogadores representar um forma de investimento que está relacionado com a qualidade do elenco possuído pelo time. A média de público, por outro, representa o incentivo dos torcedores. Sendo o principal indicador de desempenho de um time em uma competição, o número total de pontos ao final da primeira fase determina é justificado como um dos outputs utilizado na análise. O número de vitórias por outro lado foi considerado como output por estar diretamente relacionado à soma de pontos, além de ser o primeiro critério de desempate entre times com mesma pontuação. De posse destes dados, foram calculadas as eficiências clássica e cruzada dos times, como pode ser visto nos resultados. Feito isso, computou-se as correlações entre as colunas da matriz de eficiências cruzadas obtida. Esta matriz de correlação é utilizada como dado de entrada para o modelo de Programação Linear Inteira empregado na geração dos agrupamentos de DMUs Modelo DEA BCC e eficiência cruzada Para determinar as eficiências das 12 equipes que disputaram a campeonato pernambucano no ano de 2011 foi utilizado o modelo BCC com orientação a outputs, conforme apresentado nas equações (1)-(5). A notação utilizada para o modelo é a seguinte: n: número de DMUs; 8

9 r: número de inputs; s: número de outputs; x ij : valor do inputi da DMU j; y ij : valor do outputi da DMU j; v i : peso relativo ao inputi: u i : peso relativo ao outputi: (22) sujeito a (23) (24) Obtidas as eficiências clássicas de cada um dos n times, é possível calcular as eficiências cruzadas de cada DMU d, d = 1,..., n, utilizando a expressão a seguir: (25) (26) Pode-se verificar através da equação (25) a eficiência cruzada média padrão de uma DMU k, que pode ser vista como a eficiência desta unidade avaliada pelas outras DMU's (peerappraisal). Segundo Doyle e Green (1994), esta forma de avaliação se assemelha a um processo democrático em contraste ao que ocorreria se os pesos fossem impostos por fatores externos ou determinados pela própria DMU (self-appraisal). Além disso, o uso da eficiência cruzada também é recomendado quando se deseja aumentar a discriminação entre as DMUs estudadas. Tal objetivo é complementado através da geração de agrupamentos de DMUs baseados na correlação entre as colunas da matriz de eficiências cruzadas. O uso de correlação entre colunas da matriz de eficiências cruzadas para geração de agrupamentos de DMUs é relatado em Wu et al. (2009) para avaliar a eficiência dos países participantes dos seis jogos olímpicos 9

10 de verão realizados entre 1988 e No entanto, a técnica empregada pra construir os agrupamentos neste trabalho é diferente e consiste na solução de um modelo de programação linear inteira (PLI) baseado no problema de coloração mínima de grafos(pcmg). O cálculo da matriz de correlação e o modelo de PLI utilizado para gerar os agrupamentos de DMUs são descritos na subseção seguinte Modelo de Programação Linear Inteira para agrupamento das DMUs A correlação entre um par de colunas da matriz de eficiências cruzadas é dada por: Onde, C ij n n EC k ik ECi EC jk EC j 2 n EC EC EC EC 1 (27) k1 ik i k1 Cij é a correlação entre as colunas de eficiências cruzadas das DMUs i e j; jk j 2 EC ik é a eficiência cruzada entre a DMU i e uma DMU k; EC i é a média das eficiência cruzadas da DMU i; EC jk é a eficiência cruzada entre a DMU j e uma DMU k; EC j é a média das eficiências cruzadas da DMU j. Desta forma, calcula-se a correlação entre todos os pares de colunas da matriz de eficiências cruzadas e obtém-se uma matriz de correlação que é utilizada como dado de entrada para o modelo de PLI que objetiva gerar os agrupamentos de DMUs. Sejam C ij a correlação entre as colunas da matriz de eficiências cruzadas das DMUs i e j e C min a correlação mínima desejada para que duas DMUs possam estar em um mesmo agrupamento. Para este trabalho considerou-se C min = 0,8. Uma variável binária y k é igual a 1 se o agrupamento k existe e igual a 0 caso contrário. Define-se também uma variável binária x ki que é igual a 1 se a DMU i está no agrupamento k e é igual a 0 caso contrário. Assim, temse a seguinte formulação de PLI para gerar os agrupamentos de DMUs: sujeito a min n y k k1 (28) x k i n k1 x k i 1 i 1,...,n (29) k x j y k i, j C ij Cmin ; k 1,..., n (30) y k 0,1 k 1,..., n (31) k x i 0,1 i 1,..., n ; k 1,..., n (32) A função objetivo (28) minimiza o número de agrupamentos de DMUs. As restrições (29) garantem que cada DMU esteja em exatamente um agrupamento. As restrições (30) evitam 10

11 que duas DMUs cuja correlação entre as colunas da matriz de eficiências cruzadas é menor que a correlação mínima desejada estejam em um mesmo agrupamento. As restrições (31) e (32) definem os domínios das variáveis de decisão. 5. Resultados Esta seção apresenta os resultados obtidos ao aplicar a metodologia proposta para avaliação do desempenho das equipes do campeonato pernambucano de futebol de Os modelos apresentados foram implementados em linguagem de programação Visual Basic for Applications embutida em planilha Microsoft Excel utilizado a biblioteca UFFLP e o resolvedor COIN. A resolução dos modelos foi executada em um PC com processador Intel Core i5-2410m 2.3 GHz com 4 GB de memória RAM. As eficiências clássicas dos times obtidas através do modelo BCC com orientação a outputs, e as eficiências cruzadas médias são apresentadas na Tabela 2. Tabela 2: Resultados de eficiência do modelo DEA BCC e eficiências cruzadas média DMUS Eficiência Padrão Eficiência Cruzada Média América 1,0000 0,7675 Araripina 0,6385 0,5954 Cabense 0,6999 0,5904 Central 0,8938 0,7162 Náutico 1,0000 0,7354 Petrolina 0,7380 0,7005 Porto 1,0000 0,9806 Salgueiro 0,8281 0,7685 Santa Cruz 1,0000 0,4997 Sport 0,7872 0,4176 Vitória 0,6430 0,5793 Ypiranga 0,5996 0,5616 Na Tabela 2 observa-se a existência de 4 equipes eficientes de acordo com o modelo BCC (América, Náutico, Porto e Santa Cruz) com suas respectivas eficiências clássicas em destaque. Observa-se também que uma equipe eficiente segundo o modelo clássico não terá, necessariamente, a maior eficiência cruzada. A exemplo disso tem-se a DMU América que é eficiente de acordo com o modelo clássico, mas tem eficiência cruzada média de 0,7675, menor que a da DMU Salgueiro (0,7685) que tem uma eficiência clássica razoavelmente inferior (0,8281). Verifica-se ainda que equipe do Porto mostrou-se a mais eficiente das equipes já que ela se iguala às equipes com eficiência padrão 1,0000 e se mostra mais eficiente do que as demais segundo a eficiência cruzada (apresentando um valor de 0,9806). 11

12 Após obter as eficiências clássica e cruzada das equipes, foi computada a matriz de correlação entre as colunas da matriz de eficiências cruzadas através da equação (27). Tal matriz de correlação serve como dado de entrada para a construção dos agrupamentos de DMUs resolvendo o modelo (28) (32). Logo, têm-se os agrupamentos de DMUs, apresentados na Tabela 3: Tabela 3: Agrupamentos de times e benchmarks Clusters Time Eficiência Cruzada Média I II III IV V Araripina 0,5954 Cabense 0,5904 Vitória 0,5793 Petrolina 0,7005 Sport 0,4176 Porto 0,9806 Salgueiro 0,7685 Central 0,7162 Ypiranga 0,5616 América 0,7675 Náutico 0,7354 Santa Cruz 0,4997 Na Tabela 3 tem-se a divisão das equipes em 5 grupos, onde as que estão marcadas em negrito são benchmarks do agrupamento a que pertencem. Uma equipe é considerada benchmark do seu grupo por possuir a maior eficiência cruzada média. Dessa forma, as equipes benchmark de seus respectivos agrupamentos são: Araripina, Petrolina, Porto, Central e América. Os agrupamentos de DMUs com características semelhantes pode ser observado por meio dos seguintes exemplos: no agrupamento 1 tem-se equipes com baixo número de vitórias e pequena diferença entre as médias de público; no terceiro agrupamento a média de público é relativamente baixa (cerca de 4535 espectadores) e as equipes possuem alta média de pontos; já o agrupamento 5é composto por times que tiveram a maior parte de sua pontuação obtida com vitórias.. 6. Conclusões Neste trabalho foram determinadas a eficiência clássica (através do modelo BCC orientado a outputs) e a eficiência cruzada de 12 equipes que disputaram o campeonato pernambucano de futebol em 2011 segundo a metodologia DEA. Foram considerados dois inputs (folha de pagamento anual dos times e a média de público do time jogando em casa) e dois outputs (número de vitórias e o número pontos ganhos), e as equipes foram as unidades de tomada de decisão (DMUs). 12

13 Observou-se que uma DMU avaliada como eficiente segundo o modelo clássico pode não figurar entre as mais eficientes segundo a eficiência cruzada. Como pode ser verificado em uma equipe considerada eficiente segundo o modelo clássico e a segunda mais ineficiente pela eficiência cruzada. A eficiência cruzada foi empregada por ser considerada uma forma mais justa de determinar a eficiência dos times de forma que a eficiência de uma DMU é determinada também pelas demais e não apenas por si mesma. Adicionalmente, foi utilizado um modelo de PLI para separar as DMUs em grupos com práticas similares e, para cada um destes, foram determinados os seus benchmarks. Referências ALMEIDA, M.; REBELATTO, D. Sistematização das técnicas para avaliar a eficiência: variáveis que influenciam a tomada de decisão estratégica. In: II Simpósio de Excelência em Gestão e Tecnologia, 2006, Rezende RJ. BANDIN, N. Avaliação da Produtividade de Supermercados e seu Benchmarking. Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção Universidade Federal de Santa Catarina. Tese de Mestrado. Florianópolis, BRUNETTA, M. Avaliação da Eficiência Técnica e de Produtividade usando Análise por Envoltória de Dados: Um Estudo de Caso Aplicado a Produtores de Leite. Dissertação (Mestrado em Métodos Numéricos em Engenharia) - Universidade Federal do Paraná CASADO, F. Análise Envoltória de Dados: Conceitos, Metodologia e Estudo da Arte na Educação Superior. Sociais e Humanas, Santa Maria, v. 20, n CHARNES, A.; COOPER, W.; RHONES, E. Measuring the efficiency of decision making units. European Journal of Operational Research, v. 2, p (1978). CORTEZ. et al. Estudo da eficiência dos times de futebol que mais investiram em jogadores na temporada Relatórios de Pesquisa em Engenharia de Produção. v.10. n DOYLE, J.; GREEN, R.. Efficiency and cross-efficiency in DEA: Derivations, meanings and uses. Journal of the Operational Research Society, 45(5), , 1994 FARELL, M. The Measurement of Productive Efficiency, Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General), vol. 120, n. 3, p , HANSEN, D.; MOWEN, M. Gestão de custos. 1ªed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, MACEDO, M.; BENGIO, M. Avaliação de Eficiência Organizacional através de Análise Envoltória de Dados. In: CONGRESO INTERNACIONAL DE COSTOS, 8., 2003, Punta del Este Uruguay. Anais eletrônicos. Punta Del Este, Disponível em:< Acesso em: 25/04/2012. MARIANO, E; ALMEIDA, M.; REBELATTO, D. Peculiaridades da Análise por Envoltória de Dados. XII SIMPEP SENGUPTA, J. Efficiency Analysis by Production Frontiers: The Nonparametric Approach. Kluwe Academics Publishers. 246 p.,

14 SEVERIANO FILHO, C; DUNDA, M.; BATISTA, G. Análise das Abordagens Sobre Medidas de Produtividade. In: XVII Encontro Nacional de Engenharia de Produção, 1997, Gramado RS. SOUZA, P.; WILHELM, V. Uma introdução aos modelos DEA de eficiência técnica WU, S.; DELGADO, M., MALONEY L. Economic decision-making compared to an equivalent motor task. Proceedings of the National Academy of Sciences