ANÁLISE POR ENVOLTÓRIA DE DADOS - EVOLUÇÃO E POSSIBILIDADES DE APLICAÇÃO

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1 ANÁLISE POR ENVOLTÓRIA DE DADOS - EVOLUÇÃO E POSSIBILIDADES DE APLICAÇÃO Resumo Mariana Rodrigues de Almeida Escola de Engenharia de São Carlos (USP) mary@prod.eesc.usp.br Enzo Barbeiro Mariano Escola de Engenharia de São Carlos (USP) enzo.mariano@gmail.com Daisy A. do Nascimento Rebelatto Escola de Engenharia de São Carlos (USP) daisy@prod.eesc.usp.br A Análise por Envoltória de Dados (DEA) é um assunto de suma importância para o atual contexto competitivo que as empresas estão vivenciando, pois tal técnica auxilia as tomadas de decisões, baseando-se no sistema gerencial, visando alcançar a eficiência. Nesse sentido, este artigo tem como objetivo a apresentação dos principais modelos do DEA, mostrando sua origem e evolução, bem como a aplicação desses modelos em um estudo de caso ficticio. A análise dos resultados foi realizada por meio das ferramentas Excel e Frontier para corroborar as taxionomias da literatura, bem como identificar as limitações e vantagens de ambas as ferramentas quando são implementadas pelo gestor. Palavras chave: Análise por Envoltória de Dados, Modelos Matemáticos, Eficiência. 1. Introdução No ambiente mundializado é vital para a sobrevivência de uma empresa ter conhecimento do seu nível de eficiência em relação aos principais concorrentes, pois isso irá auxiliar as tomadas de decisões estratégicas, permitindo assim, em caso de ineficiência, uma reação antecipada antes de ser comprimida pelos seus competidores. O desempenho das organizações em relação às suas concorrentes é um assunto de extrema importância porque contribui para que as empresas identifiquem quais são as metas exigidas pelo mercado. Diante da complexidade dos ambientes produtivos, o número de variáveis consideradas para avaliar a produtividade das empresas cresceu drasticamente. Portanto, o cálculo da eficiência relativa - eficiência em relação aos concorrentes - se torna um problema cada vez mais complexo, exigindo, assim, o desenvolvimento de novas técnicas matemáticas (KOZYREFF FILHO; MILIONI, 2004). A Engenharia de Produção postula que para avaliar todo e qualquer sistema é necessário definir quais são os principais inputs e outputs representantes do sistema produtivo em sua totalidade e a pesquisa operacional é a disciplina que melhor circunscreve esse ambiente complexo, apresentando grande avanço no desenvolvimento de técnicas para análise de eficiência (CHARNES et al., 1981).

2 A Análise por Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis - DEA) surge como uma das técnicas, oriunda da Pesquisa Operacional, mais conhecida para mensurar a eficiência (VILLELA, 2004). Essa técnica foi proposta por Charnes, Cooper e Rhodes no ano de 1978 e auxiliou de maneira eficaz a resolução do problema do cálculo da eficiência relativa. A técnica é baseada em um modelo de programação linear, podendo ser sistematizada e facilmente resolvida com as ferramentas computacionais existentes hoje em dia. Ao longo dos anos, a aplicabilidade do DEA se expandiu fazendo-se necessário o surgimento de novos modelos matemáticos (SEIFORD; THRALL, 1990; SEIFORD, 1996) para suprir essa nova gama de aplicações em diversos setores (PAIVA JR, 2000). Com essa evolução, os modelos passaram a apresentar modificações em relação ao modelo original oriundas da incorporação de novos conceitos a cada modelo. Charnes, Cooper, Lewin, Seiford (1994) descrevem o DEA como um corpo de conceitos e metodologias que tem sido, agora, incorporados dentro da coleção dos novos modelos que surgiram. Diante desse contexto, verifica-se a real necessidade da consolidação dessa pesquisa para organizar e sistematizar todas as informações correlacionadas ao DEA, já que não foi identificado, na literatura, nenhum trabalho nessa direção. Com isso, o objetivo geral deste artigo consiste, em apresentar, discutir e aplicar o método de avaliação de desempenho organizacional, desenvolvido a partir da Análise Envoltória de Dados com base nas variáveis de input e output, com aplicação em estudo de caso simulado. A existência de conhecimento sistematizado e formalizado sobre o assunto certamente poderá auxiliar acadêmicos, pesquisadores e estudantes que necessitem implementar esses conceitos, pois contribuirá a identificar qual é o melhor modelo e a formulação matemática mais adequada para uma determinada aplicação. Nesse sentindo, o presente trabalho pode representar um ponto de partida para quem deseje se aprofundar nos estudos da técnica de Análise por Envoltória de Dados (DEA). 2. Evolução dos modelos matemáticos relacionados à medida de eficiência A abordagem analítica rigorosa aplicada à medida da eficiência na produção teve origem com o trabalho de Pareto-Koopmans e Debreu (1951). Existem dois tipos de eficiência relativa, a técnica e a de escala. No início apenas a eficiência técnica era considerada. De acordo com Lins e Meza (2000), a definição de Pareto-Koopmans, para a eficiência técnica é que um vetor input-output pode ser considerado tecnicamente eficiente se e só se: i) Nenhum dos outputs pode ser aumentado sem que algum outro output seja reduzido ou algum input necessite ser aumentado. ii)nenhum dos inputs possa ser reduzido sem que algum outro input seja aumentado ou algum output seja reduzido. O estudo das medidas de eficiência baseadas em técnicas não paramétricas teve prosseguimento com Farrel (1957), que propôs um modelo empírico para o cálculo da eficiência relativa. Para Farrel (1957) era melhor comparar a eficiência de uma empresa com os melhores níveis até então observados do que com algum ideal inatingível (NORMAN; STOKER, 2003), mas foi considerado apenas um único insumo e um único produto nessas análises iniciais. Baseados nas análises de Farrel (1957), os autores Charnes, Cooper e Rhodes (1978) transformaram as equações de Farrel (1957) em um problema de programação linear, possibilitando realizar cálculos utilizando diversos insumos e produtos, e foi nessa pesquisa

3 que se utilizou pela primeira vez o termo DEA (OLIVEIRA; GOMES, 2001). Esse modelo passou a ser conhecido como modelo CCR, em homenagem aos seus autores, ou modelo CRS, Constant Returns to Scale (retornos constantes a escala). Um modelo CCR, considerado como um problema de programação linear, apresenta a seguinte formulação: (1) a função objetivo que deve ser otimizada e (2) e (3) as restrições do problema. Abaixo se encontra um modelo sendo representado por uma das modelagens existentes para o CCR que é a modelagem primal orientada ao input. m MAX = i= Sujeito a: n j= 1 m 1 u i y i 0 (1) v j x j 0 = 1 (2) u y n i ik i= 1 j= 1 v j x jk 0 para k = 1,2...z (3) Onde: u i = peso calculado para o produto i v j= peso calculado para o insumo j x jk =quantidade do insumo j para unidade k y ik =quantidade do produto i para unidade k x j0 =quantidade do insumo j para unidade em análise y j0 =quantidade do produto i para unidade em análise z = número de unidades em avaliação m = número de tipos de produtos n = número de tipos de insumo u i e v j 0 Banks, Charnes e Cooper (1984) criaram um novo modelo utilizando os conceitos de eficiência em que considerava os ganhos de escala em seu cálculo. Esse passou a ser identificado como modelo VRS, Variable Returns to Scale (Retornos Variáveis a Escala), ou modelo BCC, em homenagem aos autores. O modelo BCC permite identificar se o retorno a escala é constante (escala de produção não influi), crescente (aumento de escala garante aumento de produtividade) ou decrescente (aumento de escala provoca decréscimo na produtividade). Esse modelo incorporava, pela primeira vez, o conceito de eficiência de escala (CHARNES; COOPER; LEWIN; SEIFORD, 1994). Apresenta em (4) a função objetivo do modelo BCC a ser otimizada e em (5) e (6) as restrições referente a função objetivo. Essas equações descrevem o modelo BCC primal orientado aos inputs. MAX P0 = Sujeito a: m i=1 ui yi0 + u (4)

4 n j= 1 v j x j 0 = 1 (5) m u y + u i jk i= 1 j= 1 n v j x jk 0 para k = 1,2...z (6) Onde: u i = peso calculado para o produto i v j= peso calculado para o insumo j x jk =quantidade do insumo j para unidade k y ik =quantidade do produto i para unidade k x j0 =quantidade do insumo j para unidade em análise y j0 =quantidade do produto i para unidade em análise z = número de unidades em avaliação m = número de tipos de produtos n = número de tipos de insumo u = coeficiente de retorno a escala u i e v j 0 u sem restrição de sinal. De acordo com Coelli (1998), a Análise por Envoltória de Dados pode apresentar duas orientações: para produtos (outputs) ou para insumos (inputs). Por exemplo, no caso da orientação ser para minimização dos inputs, o modelo busca responder a seguinte questão: dado o nível de outputs que uma unidade produz qual a redução que pode ocorrer nos inputs de modo a manter o corrente nível de outputs? Já os modelos orientados para a maximização dos outputs procuram responder à questão: dado o nível de inputs utilizado, qual o maior nível de outputs que se pode alcançar mantendo-se o nível dos inputs constante? (VILELA, 2004). A Figura 1 ilustra as orientações referidas. Eixo y: Produto Função de produção y= f(x) P A A A Orientação ao produto Orientação ao insumo C Eixo x: Insumo Figura 1 Modelo de Orientação ao insumo ou ao produto Fonte: COELLI (1998). De acordo com Thanassoulis (2001), é necessário considerar as duas orientações (para insumos e para produtos) que um modelo DEA pode apresentar, e também que a todo problema de programação linear (que denomina-se Primal) associa-se um outro problema de

5 programação linear (designado como Dual), (CHARNES; COOPER; LEWIN; SEIFORD, 1994) cujo resultado da função objetivo é igual. Outrossim, a literatura apresenta quatro formas para representar um modelo CCR ou um modelo BCC (input primal, input dual, output primal e output dual), conforme está representado na Figura 2. Destaca-se que o BCC e o CCR não são os únicos modelos do DEA, existem outros modelos sofisticados, tais como: os modelos multiplicativos, modelos aditivos e a extensão dos modelos aditivos (COOPER; SEIFORD; TONE, 2000). Tendo em vista a importância desses modelos na literatura descrever-los não faz parte do escopo deste artigo. Primal Input Dual DEA CCR Output Primal Dual Input Primal Dual BCC Output Primal Dual Figura 2 Discriminação dos tipos de modelos matemáticos associados com suas distintas orientações Apenas para ilustrar, um modelo Dual apresenta em (7) a função objetivo e em (8) e (9) as restrições referente a essa função. Essas equações descrevem o modelo CCR orientado a Input Dual. MIN FO = (7) Sujeito a: z k = 1 z k = 1 y ik λ y para i=1,2,3...m (8) x jk k i0 λ θ x 0 para j=1,2,3,n (9) k j0 Onde: x jk =quantidade do insumo j para unidade k y ik =quantidade do produto i para unidade k

6 x j0 =quantidade do insumo j para unidade em análise y j0 =quantidade do produto i para unidade em análise z = número de unidades em avaliação m = número de tipos de produtos n = número de tipos de insumo e 0 e k não possuem significado econômico, porém tem algumas aplicações práticas De acordo com a especificação de cada modelo, o conjunto de referência admitirá forma específica. Segundo Avelar (2004), a técnica DEA só é aplicável quando são fornecidos numericamente todos os insumos e produtos de cada DMU. Nesse sentido, decidir quais são os insumos e os produtos de cada DMU, e para extrair os dados numéricos não é uma tarefa simples. Para calcular a eficiência de um conjunto de DMUs, é necessário utilizar um modelo de programação linear (PPL) diferente para cada DMU. O resultado deste PPL evidencia o escore de eficiência das unidades avaliadas em relação às demais (eficiência relativa). O escore de eficiência é um indicador que pode variar de 0 a 1 (ou de 0 a 100%), sendo que quando se obtém um escore de eficiência igual a 1, isso identifica que a unidade avaliada é eficiente (PIMENTEL e CASA NOVA, 2005). Desde a criação do modelo CCR e do BCC, uma série de outros modelos que se destinavam aos mais diversos fins foram desenvolvidos e os resultados obtidos se tornavam cada vez mais completos (SENGUPTA, 2000; SEIFORD, 1990). Com base nessa evolução, a Figura 3 sintetiza os principais setores onde foram feitas aplicações da ferramenta DEA, no Brasil e no exterior. Transporte Rodoviário Portos Ferrovias Aeroportos Suécia, Ônibus Transporte Urbano Metrô Sociologia Marketing Estratégia Teoria dos Jogos Recursos Humanos Informações Grupos Estratégicos Relações Internacionais Tecnologia de Informações Infra-estrutura Empresa Investimentos DEA Desempenho de Projetos Bancos Educação ibus Saúde Esporte Manufatura Planejamento Meio Ambiente ibus Estado x Iniciativa Privada ibus Figura 3 - Campos de aplicação do DEA Fonte: Adaptado de PAIVA JR (2000).

7 De acordo com a bibliografia consultada, o DEA apresenta em torno de 27 campos de aplicação, o que determinou sua evolução, de maneira a atingir, cada vez mais, eficiência nos estudos. Análise por Envoltória de Dados - conceitos A Análise por Envoltória de Dados (DEA) é uma técnica baseada em programação linear, com o objetivo de medir o desempenho de unidades operacionais ou tomadoras de decisão (DMUs), quando a presença de múltiplas entradas e múltiplas saídas torna difícil realizar uma comparação (VILELLA, 2004). De acordo com Oliveira e Gomes (2003), o DEA é uma abordagem de programação matemática, alternativa aos métodos estatísticos tradicionais, que possibilita estimar eficiência relativa mediante fronteiras eficientes. O termo fronteira designa os pontos que cercam os limites de produtividade sobre o qual uma unidade produtiva hipotética é tecnicamente eficiente (LORENZETT, LOPES, LIMA, 2004). Casa Nova (2002) define análise por envoltória de dados como sendo uma curva de eficiência (ou de máxima produtividade) considerando a relação ótima entre insumos e produtos. Segundo Charnes e Cooper (1985), a curva desenvolvida pode ser definida como uma fronteira de eficiência tornando-se referência para as demais unidades avaliadas. O termo utilizado para denominar empresas, organizações ou unidades produtivas será DMU (Decision Making Units unidades tomadoras de decisão). Segundo Casa Nova (2002), as DMUs podem ser grupos empresariais, empresas individuais, unidades administrativas, mas devem atender os seguintes requisitos:a) as unidades em análise devem ser comparáveis; b) devem atuar sob as mesmas condições; e c) os fatores (insumos e produtos) devem ser os mesmos para cada unidade, diferindo apenas na intensidade e magnitude. O objetivo da técnica DEA é construir um conjunto de referência convexo e as DMUs podem ser classificadas em unidades eficientes e ineficientes, tendo como referencial essa superfície formada (F ARE,; GROSSKOPF; LOVELL,1994). A Figura 4 ilustra esses conceitos da convexidade da curva. Figura 4 - Fronteira de eficiência Com base nessa classificação das unidades, a fronteira fornecerá os parâmetros para que uma empresa ineficiente se torne uma empresa eficiente. Gonzalez Araya (2002) e (2003)

8 afirma que todos esses dados fornecem uma estimativa de medidas de eficiência e/ou metas diferentes da projeção radial. Lins e Meza (2000) apresentam uma implementação da metodologia DEA que, segundo eles, foi desenvolvida por Golany e Roll (1989), e que é utilizada largamente de maneira formal e intuitiva. Com base nesta bibliografia, esse método adota três fases: 1) definição e seleção das DMU s a entrarem na análise; 2) seleção das variáveis (inputs e outputs) que são relevantes e apropriadas para estabelecer a eficiência relativa das DMU s selecionadas, e; 3) aplicação dos modelos DEA. Nesta fase é necessário definir além do modelo, qual a orientação desse modelo: se voltado para input ou output. Cabe salientar que, de acordo alguns estudos, uma vez definidas as DMUs, estas devem ser no mínimo o dobro (LINS e MEZA, 2000) ou o triplo (GOMES; SOARES DE MELLO; BIONDI NETO; MEZA, 2004) do número de variáveis utilizadas no modelo. No entanto, outros estudos (GONZALEZ ARAYA, 2002) indicam que essa relação deve ser ainda maior (4 a 5 vezes) quando além do índice de eficiência deseja-se analisar os benchmarks das unidades em avaliação. 3. Método Para alcançar o objetivo proposto para o presente trabalho, foi empregado, inicialmente, o método bibliográfico-exploratório. Gil (1999) afirma que a principal finalidade das pesquisas exploratórias é esclarecer e modificar conceitos e idéias. As pesquisas exploratórias têm como objetivo proporcionar visão geral, aproximativa, de determinado fato. Este tipo de pesquisa é realizado quando o tema é pouco explorado o que mais torna difícil formular hipóteses com precisões. Na sequência foi realizado um estudo caso simulado, com a utilização da técnica Análise Envoltória de Dados para medir o desempenho de oito hospitais (fictícios). Foram utilizados dois softwares para se calcular as eficiências relativas desses hospitais, o primeiro foi o Excel, onde os modelos de programação linear do DEA foram implementados e resolvidos com a ferramenta Solver. Posteriormente, utilizou-se o Frontier Analyst Professional que pode ser definido como um pacote computacional que executa a análise envoltória de dados e apresenta os resultados de maneira mais detalhada (COELLI, 1992). Em seguida, outra análise foi comparar as informações obtidas por essas duas ferramentas. 4. Estudo de caso simulado O problema proposto foi desenvolvido utilizando alguns dos modelos e modelagens do DEA identificados nesse trabalho, tais como: os modelos CCR e BBC orientados ao input e ao outputs de maneira Dual e Primal. Em seguida, com a resolução dos problemas de programação linear, os resultados obtidos em cada modelo/modelagem são comparados individualmente. O objetivo do exemplo analisado, decorrente de um estudo de caso simulado, é avaliar a eficiência relativa de um conjunto de 12 hospitais. Nessa pesquisa foram apenas considerados dois inputs e dois outputs, a fim de avaliar a eficiência do sistema. Logo, sem dúvida, é uma simplificação da realidade em termos de variáveis que possam ser utilizados para mensurar a eficiência. Essa primeira etapa é muito importante porque as variáveis de input e output necessitam um elevado índice de correlação.

9 Neste caso, foi verificada a relação entre o número de médicos e enfermeiras (variáveis de inputs), o número médio de pacientes internados e o número médio de atendimentos ao dia (variáveis outputs). A representação dos dados desse problema pode ser analisada, conforme ilustra o Tabela 1 abaixo. Sendo assim, é subdividido nos inputs e os outputs correlacionando com cada DMU s. Inputs Outputs Hospital Número de Pacientes Médicos Enfermeiras atendimentos internados A B C D E F G H I J K L Tabela 1 - Descrição das variáveis inputs e outputs do sistema produtivo Análise dos dados pela ferramenta Excel A análise dos dados do Excel desencadeia as seguintes etapas para calcular os resultados: 1) registrar os dados da pesquisa em uma planilha do Excel; 2) registrar em uma planilha de forma genérica cada modelo e modelagem do DEA; 3) inserir os dados associados a cada DMU nas planilhas; 4) resolver o problema de programação linear utilizando o solver; e 5) alterar os dados da planilha para analisar as outras DMUs. Com base nos dados do estudo de caso, foi necessário desenvolver equações referentes a cada modelo proposto pela técnica DEA para calcular a eficiência relativa. Na primeira fase dessa pesquisa, os resultados foram calculados tomando como base os dois modelos matemáticos (CCR e BCC) mediante as quatro modelagens cada - CCR input primal, CCR input dual, CCR output primal, CCR output dual, BCC output primal, BCC output dual, BCC input primal e BCC input dual - por meio do Excel. A Tabela 2 apresenta os resultados referentes ao modelo CCR para as modelagens primal e dual e as duas orientações (input e output). Com base nesses resultados, é importante analisar que os resultados dos diferentes modelos não apresentam nenhuma diferença para as várias modelagens. DMU CCR Input CCR Output Primal Dual Primal Dual A B 0, , , , C 0, , , , D 0, , , , E 0, , , ,756577

10 F 0, , , , G 0, , , ,84988 H 0, , , , I J 0, , , , K 0, , , , L 0, , , , Tabela 2 - Descrição dos resultados do modelo CCR A próxima etapa foi calcular os resultados referentes ao modelo BCC tomando como base as duas orientações para o input e output e as modelagens primal e dual. A Tabela 3 apresenta os resultados das diferentes modelagens do BCC e verifica que os modelos BCC primal e dual orientado para o input apresentam os mesmos resultados. Da mesma forma, os modelos BCC primal e dual orientado para output apresentaram também resultados iguais em todas as DMUs. Todavia, diferentemente do modelo CCR, os modelos BCC orientados a input e a output apresentam resultados diferentes. DMU BCC Input BCC Output Primal Dual Primal Dual A B C 0, , , , D 0, , , , E 0, , , ,75999 F 0, , , , G 0, , , , H 0, , , , I J 0, , , , K L Tabela 3 - Descrição dos resultados de eficiência do modelo BCC Deve-se lembrar que o Excel além de fornecer como resultados os valores da eficiência relativa de todas as DMUs de um determinado conjunto, também subsidia os resultados dos coeficientes u i e v j (no caso da modelagem primal) e e k (no caso da modelagem dual) para todas as DMUs analisadas. Uma das aplicações para os coeficientes é que por meio dos coeficientes k é possível indicar quais DMUs eficientes poderão ser utilizadas para realizar o benchmarking com as DMUs ineficientes. Esse coeficiente será de grande importância na tomada de decisão dos gestores Análise dos dados pela ferramenta Frontier O Frontier permite calcular apenas dois tipos de modelos: o CCR e o BCC orientados para o input e output de maneira primal. A interface do programa proporciona uma grande facilidade para calcular a eficiência técnica. Além disso, o processamento dos resultados é

11 muito rápido e apresenta os dados visando facilitar as tomadas de decisões estratégicas. Nesse sentindo, o software possibilita oferecer a distribuição da eficiência por meio de ordem crescente ou decrescente, bem como quantificando as unidades por níveis de patamar diferentes. As análises dos dados do Frontier seguem as seguintes etapas para calcular os modelos primais: 1) digitar as variáveis definindo quais são os input e output; 2) determinar qual modelo e sua respectiva orientação; 3) verificar quais as possíveis informações de melhoria referente a cada modelo. Essas informações são obtidas por meio de gráficos que auxiliam o gestor, no sentido de tomar a melhor decisão. Com base nos dados da Tabela 1, o primeiro resultado calculado foi a distribuição do grau de eficiência das unidades de análise dos possíveis modelos. Dessa forma, o programa possibilita a informação da eficiência para todas as unidades analisadas -hospitais - subdividindo por diferentes patamares como ilustrado n Figura 5. Destaca-se que os resultados obtidos por meio do Frontier são iguais aos calculados pelo Excel, apresentados na Tabela 2. Por outro lado, a grande vantagem oferecida por esse software é o desenvolvimento do cálculo ser mais fácil e oferecer uma melhor apresentação dos resultados. A Figura 5 apresenta a distribuição das unidades analisadas, de acordo com o percentual de eficiência. Figura 5 - Distribuição das DMUs por nível de eficiência Além disso, como já comentado, esse aplicativo fornece uma informação de grande importância, que é a discriminação individual, para cada unidade de decisão, das possíveis melhorias a serem adotadas. Por exemplo, a Figura 6 ilustra que, com base no indicador de eficiência, a unidade E apresenta o menor índice para o modelo CCR orientado para o input e output. Isso implica na necessidade de se adotar, para essa unidade ineficiente, algum tipo de gestão, de maneira a melhorar o seu nível de desempenho. Nesse caso, para a unidade E, o software recomenda em taxas percentuais quais as variáveis que necessitam ser alteradas, tomando como base as duas unidades eficientes - A e I - para o modelo CCR.

12 Figura 6 - Discriminação das possíveis melhorias para unidade E Dependendo da orientação do modelo (input ou output), o Frontier, a partir das medidas de desempenho, indica as necessidades de mudança, para melhoria do desempenho, como pode ser observado na Tabela 4. Verificou-se que quando o modelo CCR apresenta resultados semelhantes para ambas as orientações, como é o caso do CCR orientado para input e output, o software oferece diferentes recomendações de melhoria para as diferentes modelagens. Nesse sentido, essas informações se tornam de grande relevância para o gestor. Modelo CCR input Input_Output Atual Meta (%) Melhoria (%) N Enferm ,54-24,34 Médicos 22 15,57-29,25 Pacient. Inter Num. Atend Modelo BCC input Input_Output Atual Meta (%) Melhoria (%) N Enferm ,03 Médicos 22 19,4-11,82 Pacient. Inter Num. Atend , 30 Modelo CCR output Input_Output Atual Meta (%) Melhoria (%) N Enferm Médicos 22 20,57-6,49 Pacient. Inter ,24 32,17 Num. Atend ,24 32,17 Modelo BCC output Input_Output Atual Meta (%) Melhoria (%) N Enferm Médicos 22 20,87-5,13 Pacient. Inter ,84 31,58 Num. Atend ,69 31,58 Tabela 4 - Discriminação das melhorias de cada modelo para o hospital E Com base nessas unidades de eficiência, é necessário retomar aos resultados calculados pelo Excel para os coeficientes k, para indicar quais unidades devem ser adotadas como

13 benchmarking.. Quando essas análises são estendidas para outras unidades, o software calcula novas recomendações podendo, inclusive, alterar as unidades de referência, o que ocorre para o caso do hospital E, que considera como padrão de eficiência as unidades A e I. No caso dos hospitais B e C, somente a unidade I é referenciada, conforme referencia a Tabela 5. Logo, o modelo BCC, para ambas as orientações, apresenta cinco unidades eficientes, como pode ser observado na Tabela 3 utiliza, como padrão de eficiência, apenas quatro delas, o que é possível devido a contribuição do coeficiente k. Nesta orientação, a unidade L que é considerada como eficiente não foi utilizada como padrão em nenhum momento, segundo os resultados obtidos na Tabela 5. Benchmarking DMU Modelo Modelo CCR Modelo BCC Modelo BCC CCR input output input output A Eficiente Eficiente Eficiente Eficiente B I I Eficiente Eficiente C I I A, B e I A, B e I D A e I A e I A, B e I A, B e I E A e I A e I A e B A, B e I F A e I A e I A, B e I A, I e K G A e I A e I A, B e I A, I e K H A e I A e I A, B e I A, I e K I Eficiente Eficiente Eficiente Eficiente J A e I A e I A, I e K I e K K A e I A e I Eficiente Eficiente L A e I A e I Eficiente Eficiente Tabela 5 - Discriminação das unidades utilizadas para realizar o benchmarking para cada modelo 6. Conclusões Os modelos matemáticos permitem auxiliar a avaliação de desempenho das empresas, sendo utilizados como ferramenta de apoio às tomadas de decisão. Tomando este trabalho como base, diversos são os modelos existentes na literatura para correlacionar a cada objetivo proposto pela empresa, em que se pretende maximizar (ou minimizar) os produtos (ou insumos) dependendo da orientação adotada. Como exemplo, utilizou-se uma base de dados referente a 12 hospitais, onde foram calculados os índices de eficiência com os diversos modelos e orientações. A análise destes resultados teve o intuito de corroborar as taxionomias da literatura e realizou os cálculos por meio de duas ferramentas - Excel e Frontier. Os resultados comprovaram as informações obtidas na literatura que, por outro lado, não disponibiliza cálculos de maneira didática, clara e concisa. Além disso, foram identificadas algumas limitações de ambas as ferramentas para efeito de análises dos resultados. O Excel é uma ferramenta que executa cálculos por meio do solver. Para isso, o gestor necessita apresentar um grande domínio do conteúdo para confeccionar todas as restrições e equações (ou inequações) referentes a cada modelagem, o que se transforma numa grande limitação para disseminar o cálculo da eficiência relativa de empresa por meio desta ferramenta, mesmo apresentando baixo custo de aquisição. Portanto, o Frontier é uma ferramenta que permite analisar suas variáveis por diversos meios visando contribuir para que as unidades ineficientes alcancem as metas, além de representar uma interface ideal com o gestor, pois as contribuições de melhorias são

14 apresentadas por gráficos e planilhas didáticas o que se torna vantagem. Por outro lado, o custo de aquisição é bastante elevado. Desta forma, verificou-se que é viável calcular a eficiência relativa dos sistemas produtivos mediante a técnica Análise por Envoltória de Dados, mesmo quando são bastante complexos os quais são caracterizados por apresentarem diversas variáveis de entrada e saída. Para isso, é necessário adotar alguns procedimentos básicos descritos na revisão bibliográfica dessa pesquisa. Como possível extensão para esse trabalho, foi identificado que o coeficiente k apresenta algumas correlações entre ambas as ferramentas utilizadas. Assim, sua análise permite realizar futuras pesquisas sobre quais unidades eficientes podem ser adotadas como padrão, quando correlacionadas com as unidades ineficientes. Destaca-se que essa técnica pode ser implementada em diversos campos no mercado o que se estende em outras pesquisas ainda não exploradas na literatura nacional. Referências Bibliográficas AVELAR, J.V.G. Modelos DEA com soma constante. Dissertação de Mestrado do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), São José dos Campos, CASA NOVA, S.P.C. Utilização da análise por envoltória de dados (DEA) na análise de demonstrações contábeis. Tese de doutorado da Universidade de são Paulo, São Paulo, CHARNES, A.; COOPER, W. W.;RHODES, E. Evaluating program and managerial efficiency: an application of data envelopment analysis to follow through. Management Science. 27, 6, , CHARNES, A.; COOPER, W.W. Preface to topics in Data Envelopment Analysis. Annals of Operations Research 2, p , CHARNES, A.; COOPER, W.W.; LEWIN, A.Y.; SEIFORD, L.M. Data Envelopment Analysis Theory, Methods and Applications. Kluwer Academic Publishers, Boston. Norwell, CHARNES, A.; COOPER, W.W.; RHODES, E. Measuring the efficiency of decision-making units. European Journal of Operational Research, 2, p , COELLI, T. A Computer program for Frontier Production Function Estimation: Version 2.0. Economic Letters, 39, p , COELLI, T.; PRAZADA RAO D. S.; BATTESE G. E. An introduction to efficience and productivity analysis. Massachussets Kluer Academic Pulishers, COOPER,W.W.; SEIFORD, L. M.; TONE; K. Data envelopment analysis a comprehensive text with models, applications, references, and DEA-Solver software. Kluwer Academic Publishers, Boston, DEBREU, G. The Coefficient of Resource Allocation. Econometrica, 19, p , F ARE, R.; GROSSKOPF, S.; LOVELL, C. A. K. Production Frontiers. Cambridge University Press, New York, FARREL, M.J. The measurement of productive productive efficiency. Journal of the Royal Statistical Society, v. 120, series A, p , 1957.

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