Concepções da Álgebra nos Livros Didáticos: a necessidade de uma inter-relação para o desenvolvimento do pensamento algébrico

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1 Concepções da Álgebra nos Livros Didáticos: a necessidade de uma inter-relação para o desenvolvimento do pensamento algébrico Juliana Thais Beltrame (Mestranda PUC/SP) Orientadora: Barbara Lutaif Bianchini (PUC/SP) Desde que iniciei meu trabalho como professora no ensino fundamental tanto da rede pública estadual quanto na municipal, me questionava por que meus alunos tinham tanta dificuldade em aprender álgebra, já que a considero muito mais fácil que a geometria e, além disso, a álgebra ocupa, nos currículos, um lugar privilegiado no ensino da matemática. Esta inquietação levou-me a voltar para a universidade e pesquisar sobre este tema, ou seja, sobre como poderia auxiliar meus alunos na compreensão da álgebra. Na universidade encontrei o Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica GPEA, que estuda o papel que a Matemática desempenha na estrutura curricular do ensino fundamental e médio e a reorientação da formação do professor de matemática com ênfase nas pesquisas sobre as representações dos professores feitas de sua prática e sobre as relações professor - aluno - saber matemático, seguindo a linha - A Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores. Ao ler o livro, As idéias da álgebra, organizado por Arthur F. Coxford e Albert P. Shulte (1995), que traz uma coletânea de artigos de 1988 de alguns dos eminentes especialistas da área sobre as diferentes concepções do ensino da álgebra, sobre as dificuldades em iniciar estudo da álgebra, sobre erros cometidos pelos alunos, sobre linguagem matemática e a necessidade de torná-la significativa e ao fazer uma leitura mais atenta nos Parâmetros Curriculares Nacionais, percebi que este documento sinalizava também para as mesmas reflexões do livro, além de ênfase também para as concepções da álgebra, na qual, para este documento é necessária a inter-relação entre as concepções para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

2 Desse modo, surgiu a motivação para estudar se o ensino da álgebra abordado pelos livros didáticos, ferramenta utilizada quase que exclusivamente para o ensino em sala de aula, contempla esta inter-relação entre as diferentes concepções da Álgebra. Assim, pretendemos abordar neste trabalho quais as concepções defendidas por Usiskin podem ser identificadas nos livros didáticos desde os tempos do movimento da matemática moderna até os dias atuais, procurando verificar a concordância das mudanças ocorridas nos livros com a legislação vigente, ou seja, os Guias Curriculares, a Proposta Pedagógica, os Parâmetros Nacionais Curriculares, na data de publicação. O estudo da álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização (BRASIL, 1998, p.115). Existem inúmeras pesquisas e trabalhos realizados na Educação Matemática sobre o ensino e aprendizagem da álgebra e, em sua grande maioria, esses estudos nos apresentam reflexões acerca da dificuldade em definir a álgebra, apresentam referencias sobre a dificuldade dos alunos na compreensão desta área da matemática. Muitas vezes ainda, a álgebra é caracterizada ou considerada, como estudo de manipulações rotinizadas, tem contribuído para muitos insucessos, fortalecendo a idéia de que a matemática é algo abstrato, mecanizado e descontextualizado do mundo fora da escola. Em contrapartida, existem trabalhos que nos chamam a atenção para o como poderemos melhorar o ensino da álgebra nas escolas públicas hoje, ou ainda, nos mostram a necessidade de proporcionar instrumentos úteis para a compreensão da álgebra. É neste ambiente que nosso trabalho procura contribuir, considerando esse instrumento, o livro didático. Para tanto, buscamos estudos relacionados com o tema do nosso trabalho, entre eles, encontramos: Nobre (1996) teve por objetivo estudar como o aluno que ainda não iniciou seu estudo da álgebra é capaz de criar um código e adaptá-lo à notação algébrica usual. A autora optou por utilizar uma situação de comunicação que privilegia a criação de uma linguagem, por meio do trabalho em duplas e da elaboração/leitura de mensagens, em que estas eram elaboradas por uma dupla de alunos, sobre a resolução de um problema aritmético, e enviado a outra dupla, que iria decodificá-la a fim de resolver um problema semelhante àquele resolvido pela dupla emissora. Concluiu que a codificação/decodificação de mensagens é propícia ao desenvolvimento da linguagem algébrica.

3 Teles (2004) em seu artigo 1 publicado na Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática aponta que os estudos em educação matemática apresentam a aritmética tratando de números, das operações e das propriedades destas, enquanto a álgebra possui um aspecto de generalização da aritmética por causa da utilização da linguagem simbólica. Este estudo procura discutir a relação entre a aritmética e a álgebra na matemática, destacando a dificuldade dos alunos na aprendizagem da álgebra além de procurar oferecer subsídios para a formulação de situações didáticas mais eficientes para o aprendizado da álgebra. Neste artigo também encontramos referencias sobre a evolução da linguagem algébrica. Temos nos trabalhos de Booth (1982) e Kieran (1981) evidências sobre as dificuldades dos alunos no aprendizado da álgebra. Ambos os autores abordam que o início das dificuldades, em álgebra, está na incompreensão de conceitos, princípios e convenções da aritmética ou em concepções errôneas decorrentes de uma falsa generalização dos procedimentos aritméticos, na compreensão insuficiente das relações existentes entre as operações e das propriedades operatórias dos números, nas diferentes interpretações do sinal de igualdade e soma. Com relação à interpretação dos símbolos pelos alunos sinal de igualdade, Kieran (1981) realizou uma experiência com estudantes de 12 a 14 anos, com o objetivo de mostrar que crianças dessa idade consideram o sinal de igual (=) como símbolo que precede uma resposta numérica, ou seja, um símbolo unidirecional. De acordo com a autora, ficou evidente que os alunos interpretaram o sinal de igual uma resposta, ou seja, ao invés desse sinal representar uma relação de equivalência, ele antecipava um resultado. Usiskin (1995) afirma que muitos alunos pensam que variáveis são letras representando números e que é importante estarmos atentos para as interpretações equivocadas com o conceito de variável. Dessa forma, o autor relaciona os diferentes usos das variáveis com o que chama de concepções da álgebra, apresentam assim a álgebra como aritmética generalizada, a álgebra como procedimento para resolver problemas, a álgebra como estudo das relações entre grandezas e como estudo das estruturas. Silva (2006) em seu trabalho investigativo sobre os números e operações nos quatro ciclos, ficou evidenciado que, apesar do PCN indicar o estudo associado de álgebra e aritmética, não estão contempladas no conjunto de suas orientações ações que possam 1 Recorte da fundamentação teórica da dissertação de Mestrado em Educação defendida em 2002 pela UFPE.

4 concretizar essa indicação. As análises revelaram que os PCN trazem em suas orientações, visões da álgebra como aritmética generalizada, como ferramenta, e a álgebra como uma atividade todas com a finalidade de produzir a linguagem simbólica das letras. Os dados mostraram também que, tal como sugerem os PCN de Matemática, faz-se necessário abrir espaços de reflexões sobre o ensino da álgebra no Ensino Fundamental, que englobe os diversos segmentos envolvidos no processo de ensino e da aprendizagem, como professores, pesquisadores, instituições afins, comunidade, sociedade, e outros. Percebemos, portanto, que os autores citados acima possuem grande preocupação com o ensino e aprendizagem da álgebra e dessa forma, estes estudos são de extrema importância para a nossa pesquisa. Hipóteses e objetivos Por vivenciar a dificuldade dos meus alunos e também pela álgebra ser uma área da matemática que ocupa um lugar importante no currículo escolar, propusemo-nos neste trabalho investigar o ensino da álgebra, mediante a análise dos livros didáticos, tanto os que já foram utilizados, quanto os atuais livros presentes na rede pública do Estado de São Paulo. O livro didático, para muitos estudiosos e pesquisadores, pode parecer um tema com poucas contribuições ao avanço das discussões sobre o processo de aprendizagem da matemática nos ambientes escolares, ou mesmo um tema já esgotado. Entretanto, a realidade vivida e encontrada nas escolas nos mostra que o livro didático é um instrumento de grande poder nas decisões que orientam as ações docentes. É um instrumento de fácil acesso tanto para professores quanto para alunos. Sendo assim, a nossa pesquisa tem como objetivo proporcionar a união destes dois aspectos importantes para o ensino da matemática escolar, ou seja, unir a álgebra ao livro didático e desse modo verificar a se as diferentes concepções da álgebra se interrelacionam e assim, verificar como a álgebra está sendo abordada nas séries finais do Ensino Fundamental, principalmente nos livros didáticos de 6ª série ou 7º ano, já que, de acordo com os currículos escolares propostos atualmente, é quando se introduz o estudo da álgebra. Na direção oposta a esta proposta dos currículos temos as idéias e as considerações de Lins e Gimenez (2006), quanto ao que encontramos nos livros didáticos hoje. Os autores afirmam que os livros contemplam uma visão letrista, resumindo a atividade

5 algébrica como cálculo com letras, com ênfase na utilização da seqüência técnica (algoritmo)/prática (exercícios). Apontam também, que a idéia de que é preciso primeiramente compreender aritmética para depois iniciar o estudo da álgebra, tornando tardia a iniciação da atividade algébrica é uma forma equivocada e indesejável, uma vez que consideram que a álgebra e a aritmética possuem uma ligação e uma dependência. Para chegarmos às questões de pesquisa refletimos sobre vários pontos importantes para o processo de ensino e de aprendizagem da álgebra, levantando algumas hipóteses e assim delineando nosso trabalho. Um primeiro questionamento levantado diz respeito aos diferentes usos das variáveis, ou seja, à abordagem das concepções da álgebra defendidas por Usiskin (1995) nos livros didáticos que já estiveram e ainda estão sendo usados pela rede pública. - Os livros didáticos utilizados na rede pública de ensino abordam as concepções da álgebra propostas por Usiskin? Será que todas as concepções defendidas por Usiskin estão presentes nos livros didáticos, ou os livros apresentam apenas uma das concepções propostas por este autor? Pensando especificamente nos livros didáticos editados e publicados para a utilização no ambiente escolar, podemos levantar as seguintes questões, tendo sempre em mente que livro didático, no ambiente escolar, é um dos elementos de fundamental importância na divulgação do conhecimento matemático. - A maneira com que os livros didáticos iniciam o estudo algébrico contribui para a compreensão dos conceitos desta área da matemática? - Os conteúdos algébricos abordados no livro, bem como seus exercícios propostos estão de acordo com a proposta curricular do estado de São Paulo e com as orientações trazidas pelo PCN de Matemática do Ensino Fundamental? - Esses exercícios e situações propostas contribuem para um efetivo aprendizado dos conceitos algébricos, ou privilegiam a idéia de que a matemática é algo abstrato, mecanizado e descontextualizado? Além disso, podemos refletir sobre como os livros didáticos abordam as notações e convenções em álgebra, como utilizam as letras na representação algébrica e como trabalham com a idéia de variável. Questões estas, importantes no processo de ensino e de aprendizagem da álgebra, pois como já mencionado estes aspectos possuem evidências de serem causadores das dificuldades e do fracasso dos alunos em álgebra. Estes

6 questionamentos são pertinentes à nossa pesquisa e servirão de base para o delineamento do nosso trabalho. Questões de pesquisa Este trabalho busca investigar o estudo da álgebra abordado no livro didático, principal instrumento de trabalho em sala de aula dos professores, contemplam concepções propostas por Usiskin para o ensino da álgebra. Para tanto, pretendemos ao longo do nosso estudo, responder as seguintes questões de pesquisa. - Quais concepções da álgebra definidas por Usiskin podem ser identificadas nos livros didáticos da 6ª série ou 7 anos do ensino fundamental a partir da implantação das orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais? - Os livros didáticos procuram garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico, apresentando atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra, como propõe os PCN? Fundamentação Teórica No ambiente escolar existe a idéia de que a aritmética trata de números e a álgebra de letras. Tenta-se também, estabelecer limites entre conteúdos, sendo que no currículo da escola, a aritmética é trabalhada desde a educação infantil até o 5º ano do ensino fundamental e os conteúdos tradicionais da álgebra, como equações, cálculo com letras, expressões algébricas, são abordados a partir da 6ª série ou 7 ano do ensino fundamental, além de considerar que os conteúdos aritméticos são conhecimentos prévios para a introdução da álgebra. Mas também, segundo Oliveira (2002), é importante destacar o nãoconsenso sobre o significado de álgebra entre os estudiosos e evidenciar o freqüente conceito encontrado álgebra entendida como cálculo literal ou generalização da aritmética. Portanto, se considerarmos este conceito freqüente generalização da aritmética, encontramos concordância com a primeira concepção da álgebra proposta por Usiskin (1995), definindo que as diferentes concepções da álgebra relacionam-se com os diferentes usos das variáveis e assim temos como concepções da álgebra, pospostas por este autor com sendo, a álgebra como aritmética generalizada, como procedimento para resolver problemas, como estudo das relações entre grandezas e como estudo das estruturas. Além

7 disso, aborda a utilização da álgebra, mais precisamente, a utilização das variáveis na ciência da computação. Para uma compreensão mais simplificada das diferentes concepções da álgebra e a relação com os diferentes usos das variáveis podemos observar abaixo. Concepções da Álgebra Aritmética Generalizada Meio de resolver certo problemas Estudo das Relações Estrutura Uso das variáveis veis Generalizadora de modelos Traduzir Generalizar Incógnitas, constantes Resolver - Simplificar Argumentos, parâmetros Relacionar Gráficos Sinais arbitrários no papel Manipular - Justificar Figura 1 Usiskin (1995, p. 20) As concepções acima descritas estão em concordância com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), quando enfatizam sobre a importância fundamental de se desenvolver estes diversos aspectos da álgebra, principalmente através de situaçõesproblema, o que muitas vezes não ocorre em virtude de privilegiar o cálculo algébrico e as equações. Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos de álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que as atividades algébricas serão ampliadas. Pela exploração de situaçõesproblema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a sintaxe (regras para resolução) de uma equação (BRASIL, 1998 p ). Podemos perceber nos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) a preocupação em garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico. E para tanto sugere atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra, como podemos verificar, de forma simplificada.

8 Figura 2 - Diferentes interpretações da álgebra escolar e as diferentes funções das letras. (BRASIL, 1998, p.116) Desse modo, percebemos claramente que os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, documento que visa à construção de um referencial que oriente a prática escolar de forma a contribuir para o acesso ao conhecimento matemático, considera a necessidade do trabalho com as diferentes concepções da álgebra para a compreensão de conceitos e procedimentos algébricos e que sejam propostas atividades variadas, envolvendo as noções algébricas em um trabalho articulado com a Aritmética, permitindo aos alunos a aquisição de uma base sólida e rica em significados para a aprendizagem de Álgebra. Para verificar a presença das diferentes Concepções da Álgebra nos livros didáticos, utilizaremos a Teoria Antropológica do Didático (TAD), desenvolvida por Yves Chevallard (1999), por ser um importante instrumento de análise das práticas docentes, na qual estuda as condições, possibilidades e o funcionamento de sistemas didáticos entendidos como relações entre as instituições, os sujeitos (indivíduos das instituições), e o saber. Este saber, considerado como uma organização do conhecimento e reconhecido como um objeto se, existe um indivíduo ou uma instituição que o reconheça. O saber matemático é uma forma particular do conhecimento, fruto da ação humana, é produzido, se ensina ou se transpõe nas instituições. Para analisar, descrever e estudar as condições de

9 sua realização, ou seja, para modelar a atividade matemática surge à noção de praxeologia, ou organização praxeológica. Desta forma, a TAD é o estudo da organização praxeológica didática pensada para o ensino e a aprendizagem da matemática. Esta organização utiliza-se de determinadas noções, na qual foram chamadas de tarefa, técnica, tecnologia e teoria e estão baseados em três postulados: (1) Toda prática educacional pode ser analisada, sob diferentes pontos de vista e de diferentes maneiras, em um sistema de tarefas; (2) O cumprimento de toda tarefa decorre do desenvolvimento de uma técnica (maneira de fazer uma tarefa); (3) As condições e restrições das tarefas que permitem sua produção e sua utilização nas instituições. Portanto, a Teoria Antropológica do Didático permite promover, desenvolver e analisar as situações de aprendizagem, empregando um modelo chamado organização praxeológica, organizado em tarefa, técnica, tecnologia e teoria. Estas são as categorias que modelam toda a atividade matemática. A tarefa é tudo aquilo que é pedido para uma pessoa fazer, a técnica é a maneira de resolver o que foi solicitado para fazer. A tecnologia por sua vez é o que justifica e esclarece o uso desta técnica escolhida e a teoria é o discurso que justifica a tecnologia. A associação destas categorias ao saber matemático pode ser caracterizada como organização didática e matemática. Dessa forma, a TAD analisa o papel do saber matemático em relação à instituição escolar e representa um importante modelo na analise das atividades propostas aos aprendizes e bem como na análise de materiais como o livro didático. Fundamentação Metodológica O recurso a ser utilizado neste estudo para a coleta dos dados será o da pesquisa documental, que segundo Lüdke e André (1986) constituem uma técnica valiosa de abordagem qualitativa, representa uma fonte poderosa de evidências e informações contextualizadas, além de possuir algumas vantagens como fonte instável e rica de informações, baixo custo e requer apenas investimento de tempo e atenção do pesquisador para selecionar e analisar os documentos mais relevantes para a pesquisa, além de possibilitar inúmeras consultas e poder servir de base para vários outros estudos. Lüdke e André (1986) consideram documentos como sendo materiais escritos que podem ser utilizados como fonte de informação sobre o comportamento humano, incluindo desde leis, regulamentos, normas, pareceres, cartas, memorandos, diários pessoais,

10 autobiografias, jornais, revistas, discursos, roteiros de programas de rádio e televisão até livros, estatísticas e arquivos escolares. Os documentos sobre os quais trabalharemos são livros didáticos, publicados no Estado de São Paulo, correspondentes ao período de implantação dos Parâmetros Curriculares Nacionais, o período da elaboração da Proposta Curricular de São Paulo, e o recém lançamento da Secretaria de Estado da Educação do Estado de São Paulo, a nova Proposta Curricular, publicada e introduzida na rede pública em março de Portanto, os documentos escolhidos obedecem a uma ordem cronológica. Neste período que compreende os anos 90, também é marcado pela elaboração do Programa Nacional do Livro Didático PNLD do Ensino Fundamental, iniciado em 1996, que tem por objetivo oferecer aos alunos e professores de escolas públicas de Ensino Fundamental, de forma universal e gratuita, livros didáticos e dicionários de Língua Portuguesa de qualidade para apoio ao processo ensino-aprendizagem desenvolvido em sala de aula. A Secretaria de Educação Básica coordena todo o processo de avaliação, que é realizado em parceria com universidades públicas, das obras inscritas no PNLD. Procedimentos Este trabalho tem por objetivo examinar, com base na análise de livros didáticos da 6ª série ou 7 ano do Ensino Fundamental, quanto à sua organização matemática e didática, a presenças das concepções propostas por Usiskin para o ensino da álgebra, analisando os livros, a partir dos Parâmetros Nacionais Curriculares até os dias atuais. Como já dito, utilizaremos como fundamentação teórica para a análise dos livros didáticos a Teoria Antropológica do Didático (TAD) de Yves Chevallard, apesar de ainda não ter definidos os critérios de escola dos livros, objeto de nosso estudo. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: Ed. UFPR, BOOTH, Leslly R. Dificuldades das crianças que se iniciam em Álgebra. In: COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Alberto P. As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

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12 operações. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo: TELES, Rosinalva A. de M. A Aritmética e a Álgebra na Matemática Escolar. Educação Matemática em Revista. SBEM, nº. 16, Ano 11, p. 8-15, maio/2004. USISKIN, Zalman. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis. In: COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Alberto P. As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, ZENERE, Liziane C. S. Desenvolvimento do Pensamento Algébrico numa turma de sétima série do ensino fundamental. In: ÁLGEBRA: COMO ENCONTRAR O X DA QUESTÃO? UNIVATES, Lajeado-RS, ZUCHI, Ivaneti. A Importância da Linguagem no Ensino de Matemática. Educação Matemática em Revista. SBEM, nº. 16, Ano 11, p , maio/2004.