12º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Guayaquil, 10 a 13 de Novembro de 2015

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1 º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Guayaquil, a de Novembro de 5 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DE FRATURAMENTO HIDRÁULICO UTILIZANDO ELEMENTOS FINITOS COM ALTA RAZÃO DE ASPECTO Pedro Cleto *, Osvaldo Manzoli *, Michael Andrade Maedo *, Leonardo Guimarães +4 * Universidade Estadual Paulista - UNESP - Bauru/SP - Av. Eng. Luiz Edmundo Coube, 4-, CEP: Universidade Federal de Pernambuco - UFPE - Recie/PE - Av. Pro. Moraes Rego, 5, CEP: pedro.constant@gmail.com omanzoli@eb.unesp.br michaelmaedo@yahoo.com.br 4 leonardo@upe.br RESUMO A extração e produção de gás de olhelho ganhou espaço na indústria petrolíera nos últimos anos, mas a permeabilidade do olhelho é baixa, diicultando a extração do gás. O raturamento hidráulico é uma técnica capaz de aumentar a permeabilidade do olhelho por meio de raturas geradas da injeção de luidos a altas pressões no poço. Este trabalho apresenta uma erramenta numérica que permite estudar a ormação e propagação de raturas geradas hidraulicamente. A ratura é modelada por meio da técnica de ragmentação de malha (TFM), a qual insere elementos initos sólidos de elevada razão de aspecto (elementos de interace) entre os elementos da malha original. O comportamento não linear dos elementos de interace é descrito por um modelo de dano que representa o processo de degradação do material até a ormação da ratura. O comportamento do luido é descrito pela Lei de Darcy. Foram realizadas simulações para veriicar a inluência da permeabilidade da rocha e a para a determinação da pressão de ruptura. Os resultados mostraram que para altas permeabilidades não ocorre ratura em unção da perda de líquido para o meio. A pressão de ruptura obtida apresentou concordância com a expressão analítica. A TFM mostrou-se capaz de reproduzir adequadamente o enômeno de raturamento. PALAVRAS-CHAVE: raturamento hidráulico, acoplamento hidromecânico, ragmentação da malha.

2 INTRODUÇÃO O processo de raturamento hidráulico ganhou destaque nos últimos anos, sobretudo por sua aplicação em reservatórios de gás de olhelho nos Estados Unidos. O processo consiste em injetar continuamente um luido especíico em um poço de modo que, ao longo do tempo, a pressão interna do poço alcance um valor suicientemente alto para raturar a rocha que o circunda. Muitos trabalhos vêm sendo publicados com o intuito de reproduzir o enômeno de raturamento hidráulico e proporcionar melhor compreensão do mesmo. Shimizu et al. () avaliaram a inluência da viscosidade do luido de raturamento realizando diversas simulações. Utilizando o Método dos Elementos Distintos, os autores obtiveram padrões de issuras muito próximos daqueles obtidos experimentalmente. Além disso, veriicaram que quando um luido possui uma baixa viscosidade, ele penetra imediatamente na ratura, mas quando é utilizado um luido de alta viscosidade, o mesmo penetra lentamente no meio e apenas após o crescimento da ratura. Manzoli et al. (4) realizaram simulações utilizando o Método dos Elementos Finitos aliado à Técnica de Fragmentação da Malha, a qual consiste em inserir elementos initos com alta razão de aspecto entre elementos da malha original, para representar a ormação e propagação de issuras em materiais estruturais. Os resultados obtidos pelos autores mostraram-se similares a resultados experimentais, indicando assim que a técnica representa adequadamente o processo de issuração. O objetivo deste trabalho consiste em utilizar a técnica de ragmentação da malha aliada a um modelo de acoplamento hidromecânico para reproduzir o enômeno de raturamento hidráulico em rochas de baixa permeabilidade. ELEMENTO FINITO SÓLIDO COM ALTA RAZÃO DE ASPECTO Considere um elemento triangular linear com base b deinida pela distância entre os nós e e altura h deinida pela distância entre o nó e sua projeção na base, assim como mostra a Fig.. Fig. : Elemento inito sólido de interace. Considere também que x, x e x (Fig. ) são as coordenadas cartesianas dos nós, e, respectivamente, e a é um ator multiplicador. A pressão no elemento de interace pode ser dada por: T Pˆ = N P P P () { } onde N é a matriz das unções de orma e P, P e P são pressões nos nós, e, respectivamente. A área do elemento é dada por: bh A = () Realizando adequadamente o desenvolvimento matemático, determina-se que o gradiente de pressão no elemento é dado por: T ˆ ìï üï Ñ P = í ( P - P ) P ý () ïî h b ïþ com P = P - [()- a P + a] P = P -' P denotando o salto de pressão, ou seja, a dierença de pressões entre o nó e sua projeção na base do elemento.

3 Sendo assim, o luxo no elemento de interace é dado por: éˆ ù ˆ ˆ m é ˆ ù ˆ ìï P - P ü ï ïì ïü q = - Ñ P = - Ñ P = - Ñ P = - - m ˆ í ý í ý (4) ê ú b ïî ïþ h ïî P ë û ïþ ê mú ë û onde ˆ é a permeabilidade intrínseca do material do elemento de interace e compõe ˆ, que é o tensor de segunda ordem de permeabilidade intrínseca, e m é a viscosidade dinâmica do luido. Note que há duas parcelas que deinem o luxo: a primeira depende da base b e a segunda da altura h. Quando a altura h, o luxo no elemento de interace permanece limitado, pois P, signiicando que a pressão no nó e em sua projeção na base ( ) tendem ao mesmo valor. Isso impede que o luxo no elemento assuma valores absurdamente elevados com a diminuição de h, mantendo assim uma coerência ísica adequada ao problema. EQUAÇÕES GOVERNANTES DO PROBLEMA Considerando-se o Princípio das Tensões Eetivas de Terzaghi, a tensão total é dada por: σ = σ + I P (5) onde σ é o tensor de tensões eetivas de Terzaghi, P é a poropressão e I é o tensor unitário de segunda ordem. O tensor σ, por sua vez, é escrito em termos de uma relação constitutiva dada por å ( ), isto é: σ ε (6) =å ( ) onde ε é o tensor de deormações. Para os elementos regulares da malha, a relação constitutiva apresenta comportamento linear e para os elementos de interace, seu comportamento é não linear, isto é, a relação constitutiva é regida pelo modelo de dano à tração adotado neste trabalho. Para os elementos de interace, ε pode ser escrito em termos da base b e da altura h e pode ser encontrado em []. Para o problema hidráulico, considera-se que a equação de balanço de massa para a ase líquida é dada por: () Sr +Ñ () r q t + = (7) O primeiro termo da Eq. (7) é chamado de termo de armazenamento, onde t é o tempo, é a porosidade do meio rochoso, S é o grau de saturação da rocha (neste trabalhou considerou-se a rocha completamente saturada por um único luido, portanto, S = ) e r é a densidade do luido, o qual é unção da pressão. Assim, adotou-se uma variação exponencial da densidade, dada por: r = r () P P e b - (8) onde r, o qual também aparece no segundo termo da Eq. (), é a densidade de reerência do luido para uma determinada pressão de reerência P e b é o ator de compressibilidade isotérmica do luido. O segundo termo da Eq. (7) se reere ao transporte de luido, onde q é o vetor de luxo, dado pela Lei de Darcy. Esta lei permite descrever o luxo laminar de um luido newtoniano em um meio poroso, sendo dada por: q = - Ñ P (9) m onde é o tensor de segunda ordem de permeabilidade intrínseca do meio poroso e m é a viscosidade dinâmica do luido. O terceiro termo da Eq. (7),, corresponde ao termo de onte ou sumidouro de massa de líquido. MODELO DE DANO CONTÍNUO O modelo de dano adotado para expressar a degradação sorida pelo material é expresso de acordo com a seguinte equação: σ = å ( ε) = ( - d) C : ε () onde C é tensor constitutivo elástico de quarta ordem, ε é o tensor de deormações elásticas e d corresponde à variável de dano escalar, a qual varia de (material intacto) até (material completamente degradado).

4 Critério de Dano à Tração O critério de dano é baseado na componente do tensor de tensões que é normal à base b do elemento de interace (denotada por s nn ) e, portanto, capaz de descrever o processo de ratura em modo I. Assim, o critério de dano é escrito como: q = s - q () ( nn ) onde q é uma variável interna do tipo tensão. Detalhes para o modelo de dano utilizado neste trabalho podem ser encontrados em []. ACOPLAMENTO HIDROMECÂNICO Neste trabalho utilizou-se o método de acoplamento explícito ([], [4] e [5]). Neste caso considera-se uma interação raca entre o modelo mecânico e o modelo hidráulico, pois mudanças no campo de pressão provocam deormações no maciço rochoso, mas variações no estado de tensão não aetam a pressão nos poros da rocha. Em reservatórios de gás, o acoplamento explícito pode ser usado sem problemas signiicantes, pois a compressibilidade do gás ultrapassa a compressibilidade da rocha ([4] e [5]). Modelo de Placas Paralelas O modelo de placas paralelas ([6]) oi utilizado para relacionar a permeabilidade da ratura com sua respectiva abertura. Para tal, considera-se que as paredes da ratura podem ser representadas por duas placas paralelas de superície plana, separadas por uma determinada distância (abertura). Assim, a permeabilidade da ratura, denotada por, pode ser escrita em termos da abertura w ([7] e [8]) de acordo com a seguinte relação: w = () Devido ao ato do modelo de dano adotado se aplicar somente aos elementos de interace, apenas esses elementos estão susceptíveis à lei de placas paralelas. Assim, adotou-se a seguinte aproximação para a abertura: w» e nnh () onde e nn é a componente do tensor de deormações que é normal à base b do elemento de interace. Portanto, quando e > Þ ˆ =. nn TÉCNICA DE FRAGMENTAÇÃO DA MALHA Primeiramente considera-se a região de interesse para análise do comportamento não linear do material. Assim, a técnica de ragmentação da malha consiste em reduzir o tamanho dos elementos initos da malha original de modo a deixar um pequeno espaço entre elementos adjacentes. Em cada espaço acomoda-se um par de elementos de interace, os quais possuem elevada razão de aspecto, assim como mostrado na Fig.. As raturas geradas ocorrem somente nos locais onde estão os elementos de interace e, consequentemente, contornando os elementos regulares. Fig. : Técnica de Fragmentação da Malha (adaptado de []).

5 EXEMPLOS NUMÉRICOS Todas as simulações apresentadas neste trabalho oram realizadas com elementos initos triangulares lineares g - 7 m e considerou-se m = MPa s, b = 4.5 MPa, P =.MPa, r =.6 e Q =. Para m s o Caso adotou-se a geometria e condições de contorno mostradas na Fig. a e para o Caso adotou-se a geometria e condições de contorno mostradas na Fig. b. Note que Pc, Pc, Pc e Pc são poropressões. Fig. : Condições de contorno mecânicas e hidráulicas para o (a) Caso e (b) Caso. A malha de elementos initos utilizada está apresentada na Fig. 4. Os materiais de cores rosa e cinza são regiões não ragmentados e representam a rocha e o poço, respectivamente. A aixa central de cor azul também representa a rocha, porém oi ragmentada e possui elementos de interace. Fig. 4: Malha utilizada. (a) A aixa em azul representa a região ragmentada e o quadrado em vermelho destaca as proximidades do poço. (b) O material cinza representa o poço e o quadrado em vermelho destaca um exemplo de local em que há elementos de interace. (c) Os elementos de interace estão representados em ciano. Caso : Variação de Permeabilidade Consideraram-se quatro situações com dierentes permeabilidades para o meio rochoso e veriicou-se a variação da pressão no poço com o tempo de injeção de luido. As Tabelas e apresentam as propriedades

6 mecânicas e hidráulicas dos elementos regulares e dos elementos de interace utilizados para representarem a rocha. Propriedades mecânicas Módulo GPa de Young Coeiciente de Poisson Propriedades mecânicas Módulo GPa de Young Coeiciente de Poisson Resistência.8MPa à tração Energia 98N/m de ratura Tabela : Propriedades dos elementos regulares Permeabilidade intrínseca Propriedades hidráulicas = m / = m / = m / = m Porosidade =. Tabela : Propriedades dos elementos de interace Permeabilidade intrínseca Propriedades hidráulicas = m / = m / = m / = m Porosidade =. A Fig. 5a apresenta a curva de pressão no poço em unção do tempo de injeção de luido para as quatro situações consideradas. Note que quanto maior a permeabilidade do meio, maior o tempo necessário para que ocorra a ratura. Além disso, é possível perceber que quando a permeabilidade é relativamente alta, não ocorre ratura. Isso acontece porque uma quantidade considerável de líquido penetra na rocha, evitando que a pressão no poço aumente a ponto de raturá-la. A Fig. 6 apresenta a distribuição da pressão na rocha considerando a - 6 situação de = m. Note que para este caso não há ratura, pois a permeabilidade é relativamente alta. Para permeabilidades baixas, a pressão no poço alcança um determinado limite e então decai bruscamente. Este comportamento é característico de quando ocorre a ratura, pois aumenta-se rapidamente a região na qual o líquido pode penetrar e, consequentemente, a pressão no poço diminui. A Fig. 7 apresenta a distribuição da - 8 pressão na rocha considerando a situação de = m. Note que a pressão na borda do poço aumenta com o tempo, mas após o surgimento da ratura, esta pressão decai. Note também que a ratura propaga-se horizontalmente. Esta característica é condizente com a teoria proposta por [9], a qual determina que a propagação da ratura ocorre na direção perpendicular à menor tensão principal. Fig. 6: Distribuição da pressão considerando m - 6 = (deormação ampliada 4 vezes).

7 - 8 Fig. 7: Distribuição de pressão considerando = m (deormação ampliada 4 vezes). Caso : Pressão de Ruptura Com o objetivo de veriicar a pressão de ruptura oram simuladas situações com dierentes poro-pressões, as quais oram Pc =, Pc = 5.MPa e Pc =.MPa. A geometria e condições de contorno estão apresentadas na Fig. b, a malha está apresentada na Fig. 4 e as propriedades dos elementos regulares e de interace estão descritas nas Tabelas e, respectivamente, sendo que, para a permeabilidade intrínseca, oi - 9 adotada apenas a situação de 4 = m. A pressão de ruptura possui expressão analítica e pode ser encontrada em []. As curvas de pressão no poço por tempo de injeção de luido são apresentadas na Fig. 5b. Nota-se que Pb, Pb e Pb correspondem às pressões de ruptura obtidas analiticamente para as três situações simuladas. A Tabela apresenta os valores de pressão de ruptura determinados analiticamente e os determinados a partir das simulações eetuadas. As pressões de ruptura numéricas correspondem ao maior valor numérico de pressão de cada curva. Nota-se uma boa concordância entre os valores analíticos e numéricos para a pressão de ruptura, tendo em vista que o maior erro percentual oi de.6%. Fig. 5: Curvas de pressão no poço ao longo do tempo de injeção de luido. (a) Caso : comparação entre permeabilidades distintas. (b) Caso : comparação entre pressões de ruptura analíticas e numéricas considerando poropressões distintas.

8 Tabela : Pressões de ruptura para os três casos considerados Pressão de ruptura Poropressão (MPa) Analítica (MPa) Numérica (MPa) Erro (%) Pc =. Pb = Pc = 5. Pb = Pc =. Pb = CONSIDERAÇÕES FINAIS A técnica de ragmentação da malha utilizando elementos initos com alta razão de aspecto mostrou-se adequada à predição de raturas geradas hidraulicamente. Assim como predito teoricamente, a propagação da ratura ocorre na direção perpendicular à menor tensão principal. Foi possível veriicar que para rochas com altas permeabilidades, a perda de luidos também é alta e isso impede a ormação da ratura, pois não se consegue atingir a pressão mínima para a ruptura da rocha. Para os casos em que ocorre ratura é possível determinar a pressão de ruptura. O modelo e a técnica propostos neste trabalho conseguiram capturar satisatoriamente a pressão de ruptura, mostrando-se, portanto, em acordo com resultados analíticos. UNIDADES E NOMENCLATURA b h x, x, x a ˆP N Base do elemento de interace (m) Altura do elemento de interace (m) Coordenadas cartesianas dos nós do elemento de interace (m) Fator multiplicador [,] (adimensional) Pressão no elemento de interace (Pa) Matriz das unções de orma (adimensional) { } T Transposto de { } (mesma unidade de medida de { } P, P, P Pressão nos nós do elemento de interace (Pa) A Área do elemento de interace (m²) æ Ñ Operador dierencial vetorial ç è m ø P ' Pressão na projeção do nó na base do elemento de interace (Pa) æm q Vetor de luxo no elemento de interace ç è s ø ˆ Tensor de segunda ordem de permeabilidade intrínseca do elemento de interace (m²) m Viscosidade dinâmica do luido (Pa s) æ m Razão entre permeabilidade intrínseca e viscosidade dinâmica ç Pa s è ø,,, Permeabilidade intrínseca (m²), 4 Permeabilidade da ratura (m²) w Abertura da ratura (m) e nn Componente do tensor de deormações normal à base b do elemento de interace (adimensional) σ Tensor de segunda ordem de tensões eetivas de Terzaghi (Pa) d Variável de dano escalar (adimensional) C Tensor constitutivo elástico de quarta ordem (Pa) ε Tensor de deormações elásticas de segunda ordem (adimensional) q Critério de dano à tração (Pa) s Componente do tensor de tensões normal à base b do elemento de interace (Pa) nn )

9 q Variável interna do tipo tensão (Pa) σ Tensor de segunda ordem de tensões totais (Pa) I Tensor unitário de segunda ordem (adimensional) P Poropressão (Pa) å ( ) Relação constitutiva de () (Pa) t Tempo s Porosidade (%) S Grau de saturação da rocha (%) r æg Densidade do luido ç è m ø æg r Densidade de reerência do luido ç è m ø q æm Vetor de luxo de luido ç è s ø æ g Fonte ou sumidouro de massa de líquido ç è m s ø b - Fator de compressibilidade isotérmica do luido ( Pa ) P Pressão de reerência do luido (Pa) Tensor de segunda ordem de permeabilidade intrínseca do meio poroso (m²) Q æ m Vazão de entrada de luido ç s è ø Pc, Pc, Pc, Pc Poropressão aplicada como condição de contorno (Pa) Pb, Pb, Pb Pressão de ruptura analítica (Pa) REFERÊNCIAS [] Shimizu, H., Murata, S., and Ishida, T. (). The distinct element analysis or hydraulic racturing in hard roc considering luid viscosity and particle size distribution. International Journal o Roc Mechanics and Mining Sciences, 48(5), [] Manzoli, O., Maedo, M., Rodrigues, E., and Bittencourt, T. (4). Modeling o multiple cracs in reinorced concrete members using solid inite elements with high aspect ratio. Computational Modelling o Concrete Structures, page 8. [] Settari, A., and Walters, D. A. (). Advances in coupled geomechanical and reservoir modeling with applications to reservoir compaction. Spe Journal, 6(), 4-4. [4] Naveira, V. P. (8). Incorporação dos Eeitos Geomecânicos de Compactação e Subsidência na Simulação de Reservatórios de Petróleo. Master s thesis, Universidade Federal do Rio de Janeiro. [5] Yaquetto, N. P. R. (). Avaliação de esquemas de acoplamento na simulação de reservatórios de petróleo. Master's thesis, Pontiícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. [6] Snow, D. T. (965). A parallel plate model o ractured permeable media. PhD thesis, University o Caliornia. [7] Witherspoon, P., Wang, J., Iwai, K., and Gale, J. (98). Validity o cubic law or luid low in a deormable roc racture. Water resources research, 6(6):6 4. [8] Marin, I. S. P. (). Apereiçoamento do Método de Elementos Analíticos para Simulação de Escoamento em Rochas Porosas Fraturadas. PhD thesis, Escola de Engenharia de São Carlos. [9] Hubbert, M. K., and Willis, D. G. (957). Mechanics o hydraulic racturing. Petroleum Transactions AIME, :5-68. [] Jaeger, J. C., Coo, N. G., and Zimmerman, R. (7). Fundamentals o roc mechanics. Blacwell Publishing, 4th edition.