Matriz S e suas Propriedades
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- Isabela Juliana Figueiroa Cabral
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1 Matriz S e suas Propriedades Patricia Gonçalves Moreira 1 1 Universidade Federal de Pelotas Departamento de Física Programa de Pós-Graduação em Física Pelotas-RS-Brasil 04 de novembro de 2016 Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
2 Sumário 1 Definição 2 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque 3 Unitariedade e o Teorema Óptico 4 Analiticidade 5 Cruzamento 6 Fórmula Froissart-Gribov 7 Bibliografia Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
3 Definição Definição Função: transformar um estado i em um estado f S i = f (1) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
4 Definição Definição Função: transformar um estado i em um estado f S i = f (1) Probabilidade do sistema ser encontrado no estado final P i f = f S i 2 (2) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
5 Definição Definição Função: transformar um estado i em um estado f S i = f (1) Probabilidade do sistema ser encontrado no estado final P i f = f S i 2 (2) Coincide com o operador de evolução temporal S U(, + ) (3) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
6 Definição É dada pela série de Dyson i n S = 1 + n! n=1 d 4 x 1 d 4 x n τ ( H int(x 1 ) H int(x n ) ) (4) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
7 Definição É dada pela série de Dyson i n S = 1 + n! n=1 d 4 x 1 d 4 x n τ ( H int(x 1 ) H int(x n ) ) (4) Onde H int - Hamiltoniano da interação τ - produto ordenado do tempo Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
8 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Matriz de transição S = 1 + it (5) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
9 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Matriz de transição S = 1 + it (5) Elementos de matriz S if = f 1 + it i Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
10 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Matriz de transição S = 1 + it (5) Elementos de matriz S if = f 1 + it i S if = δ if + f T i Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
11 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Matriz de transição S = 1 + it (5) Elementos de matriz S if = f 1 + it i S if = δ if + f T i S if = δ if + it if (6) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
12 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Impondo p i = p f S if = f S i = δ if + i(2π) 4 δ 4 (p f p i )A(i f ) (7) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
13 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Impondo p i = p f S if = f S i = δ if + i(2π) 4 δ 4 (p f p i )A(i f ) (7) Normalização dos auto-estados de p p p = (2π) 3 2Eδ 3 (p p ) (8) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
14 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Impondo p i = p f S if = f S i = δ if + i(2π) 4 δ 4 (p f p i )A(i f ) (7) Normalização dos auto-estados de p p p = (2π) 3 2Eδ 3 (p p ) (8) Estado inicial de 2 partículas de p i = p 1 + p 2 e final de n partículas i = p 1 p 2 (9) f n = p 1 p n (10) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
15 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Seção de choque diferencial para n partículas dσ = 1 φ A(i f ) 2 dπ n (11) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
16 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Seção de choque diferencial para n partículas dσ = 1 φ A(i f ) 2 dπ n (11) Seção de choque total σ tot = 1 φ n dπ n A(i f ) 2 (12) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
17 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Seção de choque diferencial para n partículas dσ = 1 φ A(i f ) 2 dπ n (11) Seção de choque total σ tot = 1 φ n dπ n A(i f ) 2 (12) Espaço de fase dπ n = n d 3 p j (2π) 3 2E j (2π) 4 δ 4 p 1 + p 2 j=1 n j=1 p j (13) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
18 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Onde d 3 p 2E = d 4 δ(p 2 m 2 )θ(p 0 ) (14) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
19 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Onde d 3 p 2E = d 4 δ(p 2 m 2 )θ(p 0 ) (14) Fluxo incidente Φ = 2E 1 E 2 v 1 v 2 (15) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
20 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Onde d 3 p 2E = d 4 δ(p 2 m 2 )θ(p 0 ) (14) Fluxo incidente Φ = 2E 1 E 2 v 1 v 2 (15) Ou Φ = 4[(p 1 p 2 ) 2 (m 1 m 2 ) 2 ] 1/2 (16) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
21 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Em (16): invariância de Lorentz expĺıcita Se 2p 1 p 2 = s m 2 1 m2 2 Φ = 2λ 1/2 (s, m 2 1, m 2 2) (17) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
22 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Em (16): invariância de Lorentz expĺıcita Se 2p 1 p 2 = s m 2 1 m2 2 Φ = 2λ 1/2 (s, m 2 1, m 2 2) (17) Seção de choque para a reação n 1 n d 3 p j dσ = 2λ 1/2 (s, m1 2, m2 2 ) (2π) 3 2E j=1 j n x(2π) 4 δ 4 p 1 + p 2 A(i f n ) 2 (18) j=1 p j Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
23 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Para o processo de dois corpos dσ = 1 2λ 1/2 (s, m1 2, m2 34) 2 2 ) A(12 x(2π) 4 δ 4 d 3 p 3 d 3 p 4 (p 1 + p 2 p 3 p 4 ) (2π) 3 2E 3 (2π) 3 (19) 2E 4 Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
24 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Para o processo de dois corpos dσ = 1 2λ 1/2 (s, m1 2, m2 34) 2 2 ) A(12 x(2π) 4 δ 4 d 3 p 3 d 3 p 4 (p 1 + p 2 p 3 p 4 ) (2π) 3 2E 3 (2π) 3 (19) 2E 4 dσ dω = 1 64π 2 s A(s, t) 2 (20) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
25 Amplitude de Espalhamento e Seção de Choque Para o processo de dois corpos dσ = 1 2λ 1/2 (s, m1 2, m2 34) 2 2 ) A(12 x(2π) 4 δ 4 d 3 p 3 d 3 p 4 (p 1 + p 2 p 3 p 4 ) (2π) 3 2E 3 (2π) 3 (19) 2E 4 dσ dω = 1 64π 2 s A(s, t) 2 (20) dσ dt = 1 16πs 2 A(s, t) 2 (21) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
26 Unitariedade e o Teorema Óptico Unitariedade e o Teorema Óptico Pela conservação da probabilidade S S = SS = 1 (22) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
27 Unitariedade e o Teorema Óptico Unitariedade e o Teorema Óptico Pela conservação da probabilidade S S = SS = 1 (22) Em termos da matriz de transição ( ) i T T = T T (23) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
28 Unitariedade e o Teorema Óptico Unitariedade e o Teorema Óptico Pela conservação da probabilidade S S = SS = 1 (22) Em termos da matriz de transição ( ) i T T = T T (23) Tomando os elementos da matriz e inserindo um conunto completo de estados n i f T T i = {n} f n T n n T i (24) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
29 Unitariedade e o Teorema Óptico Que nos dá 2ImT if = {n} T fn T in (25) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
30 Unitariedade e o Teorema Óptico Que nos dá 2ImT if = {n} T fn T in (25) E {n} incorpora toda função de unitariedade = n {n} n j=1 d 3 q j (2π) 3 2E j (26) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
31 Unitariedade e o Teorema Óptico Que nos dá 2ImT if = {n} T fn T in (25) E {n} incorpora toda função de unitariedade = n {n} n j=1 d 3 q j (2π) 3 2E j (26) que em termos da amplitude de espalhamento 2ImA(i f ) = n dπ n A (f n)a(i n) (27) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
32 Unitariedade e o Teorema Óptico Se i = f é o caso do espalhamento elástico (t = 0) 2ImA el (s, t = 0) = n dπ n A(i n) 2 (28) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
33 Unitariedade e o Teorema Óptico Se i = f é o caso do espalhamento elástico (t = 0) 2ImA el (s, t = 0) = n dπ n A(i n) 2 (28) A formulação do teorema óptico para espalhamento relativista é σ tot = 2 Φ ImA el(s, t = 0) (29) ou σ tot 1 s ImA el(s, t = 0) (30) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
34 Analiticidade Analiticidade Elementos da matriz S são funções analitícas das variáveis cinemáticas quando são contínuas a valores complexos [1]; Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
35 Analiticidade Analiticidade Elementos da matriz S são funções analitícas das variáveis cinemáticas quando são contínuas a valores complexos [1]; A(s, t) é função anaĺıtica de s e t, que são variáveis complexas; Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
36 Analiticidade Analiticidade Elementos da matriz S são funções analitícas das variáveis cinemáticas quando são contínuas a valores complexos [1]; A(s, t) é função anaĺıtica de s e t, que são variáveis complexas; Sigularidades: polos simples sobre o eixo real correspondente à troca de partículas física; Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
37 Analiticidade Analiticidade Elementos da matriz S são funções analitícas das variáveis cinemáticas quando são contínuas a valores complexos [1]; A(s, t) é função anaĺıtica de s e t, que são variáveis complexas; Sigularidades: polos simples sobre o eixo real correspondente à troca de partículas física; Para espalhamento de 2 corpos de massas iguais e s e t como variáveis independentes, A(s, t) é singular em Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
38 Analiticidade Analiticidade Elementos da matriz S são funções analitícas das variáveis cinemáticas quando são contínuas a valores complexos [1]; A(s, t) é função anaĺıtica de s e t, que são variáveis complexas; Sigularidades: polos simples sobre o eixo real correspondente à troca de partículas física; Para espalhamento de 2 corpos de massas iguais e s e t como variáveis independentes, A(s, t) é singular em s = m 2 (31) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
39 Analiticidade A(s, t) é singular na troca de partícula no canal s Figura: Diagrama de Feynman para troca de uma partícula escalar no canal s em uma teoria φ 3 [2]. Propagador de troca 1 s m 2 + iɛ (32) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
40 Analiticidade Pontos de ramificação no canal s, com A(s, t) singular em s = m 2 s = (2m) 2, (3m) 2,... (33) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
41 Analiticidade Pontos de ramificação no canal s, com A(s, t) singular em s = m 2 s = (2m) 2, (3m) 2,... (33) Pontos de ramificação no canal t, com A(s, t) singular em t = m 2 t = (2m) 2, (3m) 2,... (34) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
42 Analiticidade Pontos de ramificação no canal s, com A(s, t) singular em s = m 2 s = (2m) 2, (3m) 2,... (33) Pontos de ramificação no canal t, com A(s, t) singular em t = m 2 t = (2m) 2, (3m) 2,... (34) Pontos de ramificação no canal u, com A(s, t) singular em u = m 2 u = (2m) 2, (3m) 2,... (35) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
43 Cruzamento Cruzamento Canais da operação de passagem (canal s) (canal t) (canal u) (36) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
44 Cruzamento Cruzamento Canais da operação de passagem (canal s) (canal t) (canal u) (36) CPT correspondente às reações transformadas (canal s) (canal t) (canal u) (37) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
45 Cruzamento Singularidades de A(s, t) no canal s s = 3m 2 t (polo) (38) s = t, t 5m 2,... (pontos de ramificação) (39) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
46 Cruzamento Singularidades de A(s, t) no canal s s = 3m 2 t (polo) (38) s = t, t 5m 2,... (pontos de ramificação) (39) Estrutura singular de A(s, t) do canal s Figura: Singularidade da amplitude de espalhamento no canal s [2]. Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
47 Fórmula Froissart-Gribov Teorema Froissart-Martin Limite para a taxa de crescimento com a energia da seção de choque total σ tot C ln 2 s (s ) (40) com C C π m 2 π (41) Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) patigmoreira@hotmail.com 04 de novembro de / 20
48 Bibliografia Bibliografia [1] DONNACHIE, S. et al. Pomeron physics and QCD. New York: Cambridge University Press, p. [2] BARONE, V.; PREDAZZI, E. High-energy particle diffraction. New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, p. Patricia Gonçalves Moreira (UFPel) 04 de novembro de / 20
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