Heurística Grasp Para o Problema do Roteamento de Veículos com Multi- Compartimentos e sua Integração com o Sistema de Informação Geográfica Geo-Rota

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1 Heurística Grasp Para o Problema do Roteamento de Veículos com Multi- Compartimentos e sua Integração com o Sistema de Informação Geográfica Geo-Rota Carlos Leonardo Ramos Póvoa, UENF, leonardo_povoa@yahoo.com.br Geraldo Galdino de Paula Jr., UENF, galdino@uenf.br Rodrigo Tavares Nogueira, UENF, nogueirart@bol.com.br Resumo Algumas empresas utilizam veículos com mais de um compartimento para o serviço de distribuição de mercadorias, podem-se citar as empresas de combustível e as de alimento que podem ter o seu transporte feito em veículos que possuem divisões de temperaturas de acordo com o tipo de produto. Neste trabalho é apresentado o problema de roteamento de veículos com multi-compartimentos e uma heurística GRASP para solução do mesmo. Bem como sua integração com o sistema de informação geográfica Geo-Rota que contém toda informação necessária para alimentar os dados de entrada do algoritmo. - Introdução Há uma série de serviços que são considerados problemas de distribuição como entrega bancária, entrega postal, entrega de mercadorias, rotas de ônibus escolar, coleta de lixo industrial, serviço de entregas noturnas, operações de frete etc. A solução destes problemas pode diminuir bastante o custo de distribuição, causando uma grande economia tanto para as instituições privadas quanto para as instituições públicas. No entanto, muitos destes são de difícil solução e vários ainda não foram estudados. Estes atrativos fazem com que haja vários estudos sobre estes problemas, conhecidos como problemas de roteamento. A utilização de modelagem matemática e soluções computacionais têm-se mostrado satisfatória em termos de diminuição de custos de distribuição. Algumas empresas utilizam veículos com mais de um compartimento para o serviço de distribuição de mercadorias, podem-se citar as empresas de combustível e as de alimento que podem ter o seu transporte feito em veículos que possuem divisões de temperaturas de acordo com o tipo do produto. Esta parece ser uma tendência mundial para o transporte de cargas heterogêneas, já que várias empresas estão adotando essas soluções (Moreira, 2000). A motivação em trabalhar com esse tipo de problema é justificada pela falta de estudos sobre este assunto e a relevante importância do mesmo para reduzir custos de entrega nestas empresas. Esse artigo tem como objetivo descrever e propor uma solução para o problema, através de um algoritmo heurístico (GRASP), e terá a seguinte composição: a seção 2 apresenta o problema de roteamento de veículo, bem como suas extensões. Já a seção 3 apresenta o problema de roteamento de veículos com multi-compartimentos. Na seção 4 é apresentado o algoritmo heurístico (GRASP) proposto. E por fim a seção 5 apresenta os resultados dos testes realizados, bem como sua integração com o sistema de informação geográfica Geo-Rota.

2 2 - Problemas de Roteamento de Veículos 2. Descrição do problema de roteamento de veículos Considerando n clientes cada um com uma demanda de mercadorias. As mercadorias são entregues a partir de um depósito por uma frota de veículos homogêneos. Cada veículo realiza um percurso saindo do depósito e entregando as mercadorias para um subconjunto de clientes, satisfazendo as necessidades de demanda de cada um e retornando ao depósito. A rota de cada veículo deve obedecer a algumas restrições como: a quantidade de mercadoria entregue não deve exceder a capacidade do veículo e o tempo limite para realizar uma rota não deve ser ultrapassado. O problema de roteamento de veículos pretende traçar rotas para os veículos, determinando a quais clientes deve-se fornecer a mercadoria, de forma à não violar as restrições e otimizar alguma função objetivo. Normalmente são consideradas três funções objetivos: -Minimizar a distância total percorrida (ou tempo gasto) por todos os veículos, -Minimizar o número de veículos e deste número mínimo, minimizar a distância total percorrida, -Minimizar a combinação de custo de veículos e distância percorrida. Existem outras possibilidades de funções objetivos como Christofides et al. (979) mostram. Hjorring (995) mostrou que o problema de roteamento de veículos é NP-difícil, ou seja, pertence a uma classe de problemas difíceis de resolver. Para um caso particular do PRV, ele se reduz ao clássico problema do caixeiro viajante, ou seja, encontrar as várias rotas dos veículos é resolver pequenos problemas do caixeiro viajante. 2.2 Extensões do Problema de Roteamento de Veículos Muitos pesquisadores têm incluído outras extensões ao problema básico de roteamento de veículos, com o intuito de melhorar a aproximação a aplicações reais. Estes melhoramentos incluem acréscimos de novas restrições, relaxação de algumas outras restrições, tamanho da frota de veículos ou rotas de diferentes formas. Podem-se destacar os seguintes problemas: - Problema de roteamento de veículos com divisão de entrega (PRVDE). - Problema de roteamento de veículos com janela de tempo (PRVJT). - Problema de roteamento de veículos com multi-depósito (PRVMD) Problema de roteamento de veículos com divisão de entrega (PRVDE). O PRV básico não permite que um cliente seja servido por mais de um veículo, podemos relaxar esta restrição permitindo que o cliente seja servido por mais de um veículo, se isto beneficia o custo total (no caso distância), isto pode ocorrer se a demanda do cliente estiver próxima da capacidade do veículo. Dror e Trudeau (990) apresentam algumas

3 heurísticas para resolver o problema e mostram que apesar da relaxação o problema é NPcompleto. Os resultados apresentados por eles mostram a vantagem de permitir a divisão de entregas. Se a demanda dos clientes for próxima da capacidade do veículo a melhoria em distância chega a 0% em relação ao PRV básico. Dror et al. (994) descreveram uma restrição de relaxação utilizando branch and bound para PRVDE e concluíram que este é mais difícil de resolver exatamente que o clássico PRV O problema de roteamento de veículos com janela de tempo (PRVJT) O problema de roteamento de veículos com janela de tempo (PRVJT) implica em satisfazer as necessidades dos clientes em termos de horário de entrega de mercadorias, a competição das distribuidoras (entregadoras) fez com que para atender melhor os clientes, estes determinem em que horários devem ser realizados as entregas. A formulação do problema costuma estipular dois horários a i e b i e neste intervalo de tempo o cliente deve ser servido. Algumas formulações permitem múltiplas janelas de tempo por cliente. Quando a janela de tempo deve ser estritamente respeitada se diz que é forte (hard) e quando a janela pode ser violada se diz que é fraca (soft) e sua violação está sujeita a algumas penalidades. Quando há janela de tempo para entregas, deve-se levar em conta o custo incorrido no tempo de espera ao chegar muito cedo ao local de entrega e o tempo de carregar e descarregar o veículo. Solomon e Desrosiers (988) apresentam uma revisão bibliográfica de vários problemas de roteamento e gerenciamento (scheduling) de veículos com janela de tempo, tais como o problema do caixeiro viajante, problema de múltiplos caixeiros viajantes e problema do caminho mínimo. Solomon e Desrosiers concluem que este problema é mais difícil do que o PRV básico. Solomon (987) faz um estudo de várias heurísticas para o PRV com janela de tempo forte como a heurística econômica (savings), heurística do vizinho mais próximo orientado ao tempo, heurística da inserção e heurística de varredura orientada a tempo. Chegando a conclusão após um conjunto de testes que a heurística de inserção aliada a uma abordagem de varredura é a melhor heurística para obter uma excelente solução inicial ao PRVJT. Kosdosidis et al. (992) compara para o PRV com janela de tempo fraca uma otimização baseada em heurística e algoritmos de buscas locais. Kosdosidis et al. (992) faz a decomposição do PRVJT-fraco resultando em um problema de atribuição/agrupamento e vários problemas do caixeiro viajante. Já Kontoravdis e Bard (995) desenvolveram uma heurística GRASP para resolver o problema. Liu e Shen (999) resolveram, através de uma heurística construtiva, o problema de roteamento de veículos com janela de tempo e frota heterogênea/mista Roteamento de Veículos com Multi-Depósito (PRVMD) Suponhamos que em vez de apenas um depósito haja vários depósitos que podem servir os clientes. Se estes clientes estão agrupados aos depósitos o problema de distribuição a ser resolvido poderia ser modelado de forma a termos um conjunto independente de PRVs.

4 Porém, se ambos clientes e depósitos estiverem misturados cairemos no problema de roteamento de veículos com multi-depósito. Wren e Holliday (972) descrevem um algoritmo que constrói uma solução inicial para o problema de roteamento de veículos com multi-depósito e um número de diferentes refinamentos heurísticos são aplicados a solução obtida pelo primeiro algoritmo. A construção inicial é realizada com um algoritmo do tipo varredura. Os clientes são atribuídos aos seus mais próximos depósitos, e os ângulos formados entre os clientes e os depósitos são calculados. A partir disto, os clientes são ordenados no sentido horário, independente do depósito. As rotas são construídas seqüencialmente em cada depósito. Os clientes são inseridos na rota que minimiza o custo Outros Problemas de Roteamento de Veículos Além dos problemas citados, existem outros que estão sendo pesquisados, dentre eles pode-se citar o problema de roteamento para caminhões com trailer associados, onde cada veículo pode ter vários trailers engatados ao truck (Chao, 2002). Neste artigo o autor propõe a solução utilizando a metaheurística busca tabu (Glover, 989; Glover, 990). Já Tarantilis e Kiranouids (200) adaptam o modelo básico do PRV para distribuição de produtos perecíveis e solucionam o problema utilizando a metaheurística de busca estocástica Backtracking Adaptive Threshold Accepting (Ducker e Scheuer, 990), apresentam um excelente estudo de caso em uma indústria de laticínios. Os trabalhos de Nanry e Barnes (2000) e Irnich (2000) apresentam o problema de pickup e delivery, ou seja, cada consumidor deve ser atendido por um único veículo que deve carregar a mercadoria em um local e descarregá-lo em um outro local. Todos os problemas de roteamento de veículos apresentados acima tratam sempre de um horizonte de planejamento de um dia. Já o trabalho de Drummond et al. (200) considera que o consumidor é suprido em um período de m dias, ou seja, cada consumidor deve ser suprido uma única vez durante o período considerado. Para solução do problema foi proposto um algoritmo genético paralelizado. 3 - Problema de Roteamento de Veículos com Multi-Compartimentos Considerando n clientes cada um com uma demanda de mercadorias específica para cada tipo de compartimento do veículo. As mercadorias são entregues a partir de um depósito por uma frota de veículos heterogênea. Sendo que cada veículo tem o seu próprio conjunto de divisórias ou compartimentos (fig. ). Para exemplificar, considere uma empresa que vende produtos congelados e secos e que possui uma frota de veículos dividida de acordo com a temperatura do produto. Ou uma transportadora de combustíveis que possui uma frota de veículos com divisórias para cada tipo de combustível. C C2 C3 2 C C2 3 C3

5 Fig. 3. Exemplo de frota de veículos com multi-compartimentos. Fig. 2 Veículos com Multi-Compartimentos Fig. Veículos com Multi-Compartimentos O problema consiste em minimizar a combinação de custo fixo do veículo e distância total percorrida. Na próxima seção será apresentada a heurística GRASP (Feo e Resende, 995) proposta para solução do problema. 4 Algoritmo GRASP Proposto 4. - GRASP A metaheurística GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedures) combina heurísticas gulosas, escolha aleatória e busca local. A GRASP é dividida em duas fases, a primeira consiste na construção de soluções viáveis. Nesta todos os movimentos viáveis são ordenados de acordo com algum critério guloso, em seguida é feita uma escolha aleatória a partir de uma lista restrita previamente montada. Na segunda fase é aplicado algum procedimento de busca local, usado para melhorar a solução. Segundo Feo e Resende (995) a GRASP apresenta maior sucesso quando a fase de construção produz soluções mais próximas do ótimo. Várias soluções são geradas e a partir da melhor é aplicado o procedimento de busca local (melhoria). Em contraste com a metaheurística busca tabu e simulated annealing, que não necessitam de uma boa solução inicial, a GRASP depende de boas soluções iniciais. A escolha aleatória funciona como mecanismo de diversificação da GRASP. Quanto menor a lista de candidatos possíveis mais guloso fica o algoritmo, o contrário deixa o algoritmo mais aleatório. A seguir é mostrado (fig. 2) um resumo da metaheurística GRASP. Para k =, 2,..., T Procedimento construir solução; Procedimento melhorar solução; Procedimento atualizar solução; Fim Para Escrever (solução melhorada); Fig. 2 Procedimento GRASP O procedimento melhorar solução não precisa, necessariamente, ser executado a cada nova solução. Podendo o mesmo ser executado, por exemplo, a cada 5 ou 0 iterações. O valor de T, indica quantas vezes o procedimento GRASP será executado. A solução do problema será a melhor entre as T diferentes soluções.

6 4.2 GRASP para o problema de Roteamento de Veículos com Multi-Compartimentos Para cada consumidor, q i indica a demanda total do consumidor i e τ c i indica a cubagem para o tipo de compartimento c. Para cada veículo v, Q v indica a capacidade total de carga do veículo v e ω µ v indica a cubagem do compartimento µ do veículo v. A construção de soluções viáveis é iniciada pelo procedimento seleção de sementes (fig. 3), que tem como objetivo inicializar cada nova rota com um consumidor. Essa seleção é feita de modo que os consumidores mais dispersos sejam alocados primeiro e o número de rotas inicial é igual ao número de veículos disponíveis. No inicio o procedimento aloca o consumidor mais distante do depósito. Após a inicialização o procedimento construir solução (fig. 4) é chamado. O custo de inserção do consumidor k, na rota r, utilizando o veículo v, entre os consumidores i, j é designado por C ij,k,r,v. Esse custo é calculado conforme descrito na seção Procedimento Seleção de Sementes Entrada: Conjunto de Veículos Disponíveis v Conjunto de Pontos de Entrega C pe Saída: conjunto de rotas ρ cada uma com sua semente de inicialização; S = ; s = Consumidor C pe mais distante do depósito de partida; Enquanto S < v faça S = S s; Crie nova rota r com a semente s; ρ = ρ r; C pe = C pe s; Ache s C pe que maximize a soma das distâncias de todos os elementos S; Fim Enquanto; Fig. 3 Procedimento Seleção de Sementes Durante a construção, primeiramente acha-se o menor custo de inserção viável em cada rota r para cada consumidor k não associado, utilizando o veículo de custo mínimo. Então se calcula uma penalização de oportunidade P k que mede o custo que se deve pagar depois, se o correspondente consumidor não for associado na sua melhor posição. Consumidores com altos valores de penalização devem ser associados a uma rota primeiro, já os de menores valores podem esperar.

7 Procedimento Construir Solução Entrada: Conjunto de veículos disponíveis v Conjunto ρ de rotas iniciais (Sementes) Conjunto de pontos de entrega não associados k Saída: Conjunto de rotas viáveis contendo todos os pontos de entrega Enquanto k faça Para c = até k faça; Para r = até ρ faça; Para w = até v faça; Se for viável : Ache o custo mínimo de inserção Cc, r, w = min { cij, k } ij r Fim Para; {Acha o custo de inserção mínimo do cliente c na rota r, utilizando o veículo w} Para c = até k faça; Ache a rota r * w v que contém o menor custo de inserção { C } C c, r*, w = min r ρ c, r, w Para c = até k faça; Ache o custo de penalização Pc = ( c c, r, w c c, r *, w ) w v r ρ Construa uma lista com as λ maiores penalizações P c e selecione aleatoriamente um consumidor para ser roteado. Fim Para; Fig. 4 Procedimento Construir Solução 4.2. Determinação do Custo Solomon (987) introduz várias maneiras de calcular o custo de inserção de clientes em rotas. Experiências computacionais (Solomon, 987) mostram que essas funções são boas para aplicações onde os consumidores estão agrupados e a capacidade do veículo não é considerada. Em razão dessa limitação iremos introduzir a seguinte função de custo C ij,k,r,v : C 2 3 ij, k, r, v = δ c + δ,,, 2c + δ ij k r v ij, k, r, v 3c ij, k, r, v onde δ, δ 2, δ 3 são pesos não negativos que irão ponderar os valores de cada custo e δ + δ 2 + δ 3 =.

8 O primeiro componente c ij,k,r,v é dado por c ij,k,r,v = VCL v - q k, onde VCL v é a capacidade livre do veículo v. Essa função designa o custo associado à capacidade livre do veículo e mapeia grandes demandas em pequenos custos, consumidores com altas demandas devem ser associados aos veículos primeiro. Essa lógica é a mesma utilizada para problemas de mochila (Martello e Toth, 990). A segunda componente c 2 ij,k,r,v é dada por c 2 ij,k,r,v = (d ik + d jk d ij )α v, onde α v é o custo por Km rodado do veículo v. Esta componente tem como objetivo a mensuração do custo do aumento da distância com a inserção do consumidor k. A terceira componente mede o custo fixo do veículo v e é dada por c 3 ij,k,r,v = F v Condições de Viabilidade Duas condições de viabilidade devem ser consideradas para o problema, a primeira deve contemplar a restrição de capacidade de carga do veículo e a outra deve respeitar a cubagem dos compartimentos. A condição necessária e suficiente, em relação à capacidade de carga do veículo, para a inserção do consumidor k na rota r utilizando o veículo v é dada por q k VCL v. Essa condição impede que um consumidor com demanda superior a capacidade livre do veículo seja alocado. Já a condição de cubagem (capacidade de cubagem do compartimento não pode ser excedida) é dada por τ k ω µ v, onde τ k é demanda (cubagem) do consumidor k, e ω µ v é a capacidade do compartimento µ do veículo v. Outro detalhe a ser considerado é que as demandas dos consumidores k devem ser alocadas somente nos compartimentos onde é possível o seu transporte. Por exemplo demandas que requerem transportes refrigerados não podem ser alocadas em compartimentos sem essa capacidade Procedimento de Melhoria (Busca Local) Como descrito na seção 4., a fase de construção de soluções viáveis é seguida de um procedimento de busca local. Durante a fase de melhoria cada rota r ρ é considerada para ser eliminada, devemos iniciar o procedimento com as rotas que possuem menos consumidores, conforme o algoritmo descrito na fig. 7. Como o procedimento de melhoria é totalmente determinístico, deve-se executá-lo a cada 5 ou 0 rodadas do procedimento de construção. Procedimento Melhoria Entrada: Conjunto de rotas ρ Saída: Conjunto de rotas ρ melhorado Ordenar o conjunto de rotas ρ, em ordem crescente, pela quantidade de consumidores alocados. Para r = até ρ faça Para c = até k faça k = número de clientes alocados na rota r Para cada rota ρ' (ρ r) faça Se for viável alocar o consumidor c na rota ρ' então

9 W = W {c ρ' } Fim Para Mova o consumidor c para rota de custo mínimo W Fim Para Fim Para Fig. 5 Procedimento de Busca Local 6 Experimentos Computacionais O algoritmo foi testado em quatro problemas com 20, 50, 00 e 20 clientes. Essas instâncias foram baseadas nos problemas de Christofides et al. (979). O gerador aleatório implementado usa a distribuição uniforme para gerar as demandas de cada compartimento, bem como a cubagem da carga de cada cliente. O custo fixo e variável de cada veículo, bem como a cubagem dos compartimentos e a capacidade de carga são geradas utilizando a mesma metodologia. As distâncias consideradas são euclidianas. Antes da implementação, propriamente dita, foi elaborado um modelo orientado a objetos, utilizando a linguagem de modelagem UML. Nessa fase procurou-se abstrair através de classes o problema de roteamento de veículos com multi-compartimentos, bem como a heurística GRASP desenvolvida. Destaca-se que o modelo serve como base para qualquer heurística quer por ventura possa ser desenvolvida para a solução do problema, facilitando o aproveitamento futuro do código. Outro fator de destaque é a não utilização de estruturas estáticas de armazenamento, substituída pelas listas que armazenam os objetos (TClientes, TVeiculos, TDemandas, TRestricoes e TRotas). Observa-se também que a classe TRoteamento é uma classe abstrata, e serve como base para o desenvolvimento das heurísticas. O algoritmo GRASP descrito na seção anterior foi abstraído na classe TGRASP. A figura 6 descreve o modelo utilizado. A heurística GRASP, bem como o gerador aleatório foram implementados em object pascal (Delphi), e os testes feitos em um computador AMD Duron (2 Ghz) com 256 Mb de memória RAM. Para avaliação da heurística foi variado o número de iterações (T) em 50, 00, 200 e 500. Já a lista de candidatos restritos foi testada com os seguintes valores: (guloso), 2, 5, 0 e (totalmente aleatório). Para cada variação da lista de candidatos (λ), bem como o número de iterações, gerou-se 5 resultados para avaliar o comportamento médio do parâmetro. Os valores de δ, δ 2 e δ 3 foram fixados em 0., 0.8 e 0. respectivamente. Foi utilizado o procedimento de busca local (melhoria) após cada iteração do procedimento construir solução. As tabelas, 2, 3 e 4 mostram os resultados médios dos testes. A frota utilizada é composta por três diferentes veículos com 2 diferentes compartimentos. T = 50 L.C.R Inst_20 Inst2_50 Inst3_00 Inst4_ Tempo 00:00:00 00:00:02 00:00:3 00:00:9 Tabela 50 Iterações

10 T = 00 L.C.R Inst_20 Inst2_50 Inst3_00 Inst4_ Tempo 00:00:00 00:00:04 00:00:25 00:00:40 Tabela 2 00 Iterações T = 200 L.C.R Inst_20 Inst2_50 Inst3_00 Inst4_ Tempo 00:00:00 00:00:08 00:00:54 00:0:22 Tabela Iterações T = 500 L.C.R Inst_20 Inst2_50 Inst3_00 Inst4_ Tempo 00:00:00 00:00:2 00:02:0 00:03:28 Tabela Iterações Na instância de 20 clientes um único veículo foi suficiente para atender a demanda, já na de 50 clientes foi utilizado dois veículos. Nos problemas restantes (00 e 20) os três veículos foram utilizados e nenhum cliente deixou de ser roteado. A tabela 5 mostra o resumo dos melhores resultados (média dos 5 resultados gerados) encontrados para cada variação do número de iterações, percebe-se que não houve grandes variações no resultado, isso fica mais destacado no gráfico abaixo (fig. 6). Sugerindo que o número de iterações não precisa ser alto.

11 TClientes TVeiculos TVeiculo +Clientes : TCliente +Custo : array +MontaCusto() : array +AtualizaCusto() : array +Veiculos : TVeiculo +Capacidade_Total : float +Capacidade : float +Disponivel : boolean +Capacidade_Livre : float +Compartimentos : TCompartimento +Custo_Fixo : float +Custo_km : float +Restricoes : TRestricoes n TCompartimeto +Tipo : integer +Cubagem : float +Capacidade_Livre : float TCliente +id : integer +Nome : string +X : float +Y : float +Cubagem : TDemanda +Roteado : boolean TRoteamento +Rotas : TRota +TempoProcessamento : time +Clientes : TClientes +Veiculos : TVeiculos +MontaRota() TRota +id : integer +Clientes : TClientes +Custo : float +Distancia : float +tempo : float +Veiculo : TVeiculo +Restricoes : TRestricoes +Caixeiro_2opt() TRestricoes +Viabilidade : boolean +Verifica() TDemandas +Demanda : TDemanda TDemanda +Tipo : integer +Cubagem : float +Peso : float TGRASP +Iteracoes : integer +Tamanho_Lista_Escolha : integer -S : TIntegerList +d : float +d2 : float +d3 : float +Itera_Melhoria : integer +MontaRota() -Sementes() -ConstruirSolucao() -Melhoria() n TRotas +Rotas : TRota TCapacidade +Viabilidade : boolean +TVCL : float +TDemanda : float +Verifica() TRestricao +Viabilidade : boolean +Verifica() TCubagem +Viabilidade : boolean +TDemanda : float +TCapacidadeLivre : float +Verifica() TLista_Insere +Possibilidades : TInsere +Cliente : TCliente +Melhor : TInsere +Penalizacao : float +CalculaMelhor() +CalculaPenalizacao() TInsere +Rota : TRota +Veiculo : TVeiculo +Posicao_Rota : Integer +Custo : float +Distancia : float +MelhorInsercao() +CalculaCusto() Fig. 6 Modelo UML GRASP Multi-Compartimentos Iterações Inst_20 Inst2_50 Inst3_00 Inst4_

12 Tabela 5 Resultados Médios - Iterações Inst_20 Inst2_50 Inst3_00 Inst4_20 Fig. 6 Gráfico Comparativo Iterações A tabela 6 mostra os melhores resultados (média dos 5 resultados gerados) para cada variação da lista de candidatos restritos, percebe-se que os melhores resultados foram obtidos com valores entre 5 e 0 com uma leve tendência para 5. Já os piores foram obtidos na solução gulosa (λ=) e totalmente aleatória (λ=00000). O gráfico 7 demonstra a diferença dos resultados obtidos em utilizar λ=2, 5 ou 0. L.C.R Inst_20 Inst2_50 Inst3_00 Inst4_ Tabela 6 Resultados Médios Lista de Candidatos Restritos

13 Inst_20 Inst2_50 Inst3_00 Inst4_20 Fig. 7 Gráfico Comparativo Lista de Candidatos Restritos A tabela 7 sumariza os resultados médios para cada instância, destaca-se que o algoritmo apresenta eficiência em tempo computacional, tornando viável sua aplicação em problemas reais. Instância Custo Médio Tempo Médio < 00:00: :00: :00: :0:27 Tabela 7 Resultados Médios 7 O Sistema de Informação Geográfica Geo-Rota O projeto do SIG Geo-Rota foi iniciado em meados de 999, motivado pela elaboração de um sistema computacional capaz de resolver problemas logísticos de distribuição em pequenas e médias empresas (Póvoa, 2000), devido ao alto custo de aquisição de sistemas similares. A primeira versão do sistema manipulava de forma simples (usando objetos desenvolvidos) os dados necessários (rede de vias e clientes) para a correta utilização dos algoritmos de otimização aplicados a problemas logísticos de distribuição física de produtos (caminho mais curto, caixeiro viajante e roteamento de veículos) para mais detalhes ver em Póvoa (2000). Na nova versão que esta sendo elaborada, buscou-se uma modelagem mais detalhada dos dados que fazem parte do sistema. As principais funções do Geo-Rota são agrupadas nas seguintes classes: - Gerenciamento de Projetos: responsável pela abertura, gravação e gerenciamento dos arquivos que compõem o mapa, bem como os parâmetros de configuração. - Gerenciamento de Mapas: responsável pelo gerenciamento das camadas que compõem o mapa utilizado em cada projeto de roteamento. Engloba funções de adicionar e remover camadas, ferramentas de zoom, representação cartográfica (sistemas de projeção e

14 simbologia), geração de toponímia a partir de um atributo não geográfico, montagem de regras de endereçamento automáticas, utilizadas para transformar um endereço (Rua y, n o x) em uma par de coordenadas geográficas (GeoCode) e ligação com banco de dados externo via ODBC, aqui chamado de GeoLink. - Gerenciamento de Clientes: responsável pelo gerenciamento das camadas de clientes a serem roteados. Engloba funções de criação de novos arquivos, remoção e inserção de novos clientes. Possibilita a inserção de duas maneiras distintas, via mapa ou via endereçamento (GeoCode). - Gerenciamento da frota de Veículos: responsável pelo gerenciamento dos veículos que irão ser utilizados na resolução do problema de roteamento. Permite manipular diferentes tipos de veículos, bem como seus compartimentos. - Roteamento: resolve o problema de caminho mais curto, entre dois clientes, rota multi-ponto (problema do caixeiro viajante) e o problema de roteamento de veículos com multi-compartimentos. Todos os resultados são armazenados em um banco de dados. 8 Considerações Finais Neste trabalho demonstrou-se uma nova variação do problema de roteamento de veículos, aqui chamado de roteamento de veículos com multi-compartimentos. Bem como uma proposta de solução utilizando a metaheurística GRASP. Destaca-se que o algoritmo apresentou solução estável para os problemas gerados e menor tempo de solução em comparação com outros problemas de roteamento de veículos que utilizam outras heurísticas como solução. A adaptação do mesmo para a solução de outras variantes do problema, como janela de tempo, multi-depósito, dentre outras, pode ser feita sem muitos esforços, já que o mesmo foi implementado orientado a objetos, facilitando a reutilização do código. Destaca-se também que o algoritmo apresentou tempo de solução computacional compatível para solução de problemas reais O sistema de Informação geográfica Geo-Rota é uma importante ferramenta de provimento de dados (geográficos e não geográficos) necessários ao algoritmo. É facilmente possível a integração do mesmo com outros algoritmos de otimização (roteamento de veículos), tornando uma ferramenta de alta importância para empresas que necessitam de otimizar a distribuição física de produtos.

15 Fig. 8 Exemplo de geração de roteiro de entrega no Sistema de Informação Geográfica Geo-Rota. 9 - Referências Bibliográficas Chao, M. (2002) A tabu search method for the truck and trailer routing problem. Computers & Operations Research, 29: Christofides, N., Mingozzi, A., Toth, P. (979) The vehicle routing problem. In: Christofides, Mingozzi, Toth, Sandi (Editors). Combinatorial Optimization. John Wiley & Sons, Dror, M., Trudeau, P. (990) Split delivery routing. Naval Research Logistics, 37: Dror, M., Laporte, G., Trudeau, P. (994) Vehicle routing with split deliveries. Discrete Applied Mathematics, 50: Drumond, M. A. L., Ochi, L. S., Vianna, D. S. (200) An asynchronous parallel metaheuristic for the period vehicle routing problem. Future generation computer systems, 7: Dueck, G., Scheuer, T. (990) A general purpose optimization algorithm appearing superior to simulated annealing. Journal of Computational Physics, 90:, Feo, T. A., Resende, M.G.C. (995) Greedy Randomized Adaptive Search Procedures. Journal of Global Optimization, 6: Glove, F. (989) Tabu Search part I. ORSA Journal on Computing, :3, (990) Tabu Search part II. ORSA Journal on Computing, 2:, Hjorring, C. A. (995) The vehicle routing problem and local search metaheuristics. Phd Thesis. The University of Aucland, 2 p.

16 Irnich, S. (2000) A mult-depot pickup and delivery problem with a single hub and heterogeneous vehicles. European Journal of Operation Research, 22: Koskosidis, Y.A., Powell, W.B., Solomon, M. M. (992) An optimization-based heuristic for vehicle routing and scheduling with soft time window constraints. Transportation Science, 26:2, Kontoravids, G., Bard, J. F. A. (995) GRASP for the vehicle routing problem with time windows. ORSA Journal on Computing, 35: Liu, F., Shen, S. (999) An overview of a heuristic for vehicle routing problem with time windows. Computers & Industrial Engineering, 37: Martello S., Toth P. (990) Lower Bounds and Reduction Procedures for the Bin Packing Problem. Discrete Applied Mathematics 28, Moreira, V. (2000) Logística determina o mercado. Distribuição. São Paulo: ABAD. 93: Nanry, W. P., Barnes J. W. (2000) Solving the pickup and delivery problem with time windows using reactive tabu search. Transportation Research, part B(34): Póvoa, C. L. (2000) Geo-Rota Sistema de Informação Geográfica Aplicado à Distribuição Física de Produtos em Pequenas e Médias Empresas. Dissertação de Mestrado em Ciências de Engenharia Produção - Campos dos Goytacazes RJ. Universidade Estadual do Norte Fluminense UENF, 82 p. Solomon, M.M., Desrosiers, J. (988) Time window constrained routing and scheduling. Transportation Science, 22: -3. Solomon, M. M. (987) Algorithms for the vehicle routing and scheduling problems with time window constraints. Operations Research, 35:2, Tarantilis, C. D., Kiranovdis, C. T. (200) A metaheuristic algorithm for the efficient distribution for perishable foods. Journal of food engineering, 50: -9. Wren, A., Holliday, A. (972) Computer scheduling of vehicles from one or more depots to a number of delivery points. Operational Research Quaterly, 23: