CAT172 - Eletrotécnica Geral

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1 Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas CAT172 - Eletrotécnica Geral prof. Danny A. V. Tonidandel Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas 7 de junho de 2016

2 Sumário 1 Circuitos Magnéticos 2 Referências

3 Origens da Teoria de Campo No século XIX, James Clerk Maxwell ( ) desenvolveu seu tratado sobre eletricidade e magnetismo, inspirado nos experimentos de Michael Faraday ( )

4 Origens da Teoria de Campo Figura : James Clerk Maxwell ( ). Fonte: Wikipedia.org.

5 Origens da Teoria de Campo Figura : Michael Faraday ( ). Fonte: Wikipedia.org.

6 Origens da Teoria de Campo Alguns anos depois, um grupo formado pelos seguidores de Maxwell, em especial Oliver Heaviside ( ), Oliver Joseph Lodge ( ) e George Francis FitzGerald ( ) formalizaram, com o auxílio do cálculo vetorial, um conjunto de 4 equações básicas que explicam, de certa forma, o eletromagnetismo.

7 Origens da Teoria de Campo Figura : Oliver Joseph Lodge ( ). Fonte: Wikipedia.org.

8 Origens da Teoria de Campo Figura : George Francis FitzGerald ( ). Fonte: Wikipedia.org.

9 Origens da Teoria de Campo Figura : Oliver Heaviside ( ). Fonte: Wikipedia.org.

10 Origens da Teoria de Campo Tais equações vieram a ser conhecidas, posteriormente, como Equações de Maxwell, mesmo que ele nunca as tenha escrito! E = B t E = ρ ɛ 0 Lei de Gauss (1) B = µ J Lei de Ampère (2) B = 0 Lei sem dono (3) Lei de Faraday da indução (4)

11 Origens da Teoria de Campo Traduzindo a Lei de Gaus E = ρ ɛ 0 Linhas de campo elétrico divergem de uma carga positiva (e convergem para uma carga negativa).

12 Origens da Teoria de Campo Traduzindo a Lei de Ampère B = µ J Uma corrente elétrica cria um campo magnético ou um campo magnético enrola-se ao redor de uma corrente.

13 Origens da Teoria de Campo Traduzindo a Lei sem dono B = 0 Linhas de campo magnético não começam nem terminam em lugar nenhum (não divergem).

14 Origens da Teoria de Campo Traduzindo a Lei de Faraday E = B t Um campo magnético variável cria um campo elétrico.

15 Origens da Teoria de Campo Em conjunto com a Equação da Continuidade J = ρ t ; (5) Traduzindo a Equação da Continuidade J = ρ t A mudança de densidade de carga em um ponto do espaço requer a condução de corrente. O que é, de maneira disfarçada, a Lei de Kirchhoff das correntes.

16 Origens da Teoria de Campo Em conjunto com a Equação da Continuidade J = ρ t ; (6) Observação O sinal negativo implicam em uma redução na carga, o que implica em uma corrente saindo do ponto que, em outras palavras, também expressa a Leri de conservação da carga elétrica

17 Origens da Teoria de Campo Além da Equação da Continuidade, a Lei de Força de Lorentz F = q( J + v B), (7) ou, escrita em outros termos: F = I(L B). (8) Teoria de Campo As quatro equações de Maxwell em conjunto com a Equação da Continuidade e a Lei de Força de Lorentz resumem todo o Eletromagnetismo Clássico ou Teoria Clássica de Campo

18 Indução Eletromagnética Michel Faraday Em 1821, Michael Faraday ( ), após ter conhecimento da grande descoberta de Øersted sobre a ação eletromagnética, conduziu uma série de experimentos (FARADAY, 1831) envolvendo seus próprios estudos sobre o magnetismo e a eletricidade, em que descobre o fenômeno das rotações eletro-magnéticas e, posteriormente, aquela que seria sua grande descoberta, a Indução Eletromagnética.

19 Indução Eletromagnética Podemos resumir os experimentos de Faraday, com um ligeiro anacronismo, como: Experiento 1 Faraday moveu uma espira feita com um fio condutor para a direita, enquanto estava imersa em um campo magnético.

20 Indução Eletromagnética Experiento 2 Faraday moveu o ímã para a esquerda, mantendo a espira estática.

21 Indução Eletromagnética Experiento 3 Com a espira e ímã fixos, ele variou a intensidade do campo (utilizando um eletroímã como fonte do campo e variando a sua corrente elétrica).

22 Indução Eletromagnética Conclusão principal: o magnetismo poderia produzir uma corrente elétrica: Indução eletromagnética; Pôs em cheque a dominante ideia da eletricidade como fluido exercendo ação à distância, há mais de 200 anos! Faraday, que aparentemente tinha poucas habilidades matemáticas, desenvolveu toda a sua teoria baseando-se em uma série de analogias visuais criadas por ele mesmo, como o conceito de linhas de força ; Suas ideias a respeito da condição do meio que conectava os corpos sob alguma interação eletromagnética influenciaram profundamente Maxwell, no desenvolvimento da Teoria de Campo.

23 Indução Eletromagnética Vale relembrar a última aula...: Lei de Faraday E = B t Um campo magnético variável cria um campo elétrico.

24 Indução Eletromagnética Em outras palavras... A corrente elétrica induzida por um campo magnético em um circuito fechado é proporcional à taxa de variação temporal do número de linhas de fluxo magnético que atravessam a área delimitada pelo circuito.

25 Indução Eletromagnética Faraday anunciou a sua lei de maneira verbal, tendo sido traduzida para a linguagem matemática mais tarde (1845) por Franz E. Neumann. Pode-se mostrar, inclusive (vá estudar Física III!), que a equação (4) (Lei de Faraday) é análoga a: V = Φ B t, (9) em que V é a força eletromotriz (a unidade é o Volt, V) e Φ B é o fluxo magnético, definido por: Φ B = B. d A, (10) em que A é a área (em m 2 ) atravessada pelas linhas de campo e B é a densidade de fluxo magnético (a unidade é o Tesla, T). Em suma Φ B resume-se ao número de linhas (a unidade é o Weber, Wb). A

26 Indução Eletromagnética O sinal negativo (contribuição de Heirinch Lenz) indica que o sentido da corrente (ou da fem) é o oposto à causa que lhe deu origem, isto é, oposta à variação do campo magnético que a gera. Resumindo:.

27 Indução Eletromagnética O sinal negativo (contribuição de Heirinch Lenz) indica que o sentido da corrente (ou da fem) é o oposto à causa que lhe deu origem, isto é, oposta à variação do campo magnético que a gera. Resumindo: Lei de Faraday-Neumann-Lenz A natureza abomina variações de fluxo.

28 Indução Eletromagnética Exemplo Exemplo (Anel saltador) O que acontece se enrolarmos uma bobina em um núcleo de ferro (que está ali para potencializar o campo magnético), conectando-a em uma bateria, e colocarmos um anel de metal ferromagnético em cima, acionando, em seguida, o circuito?

29 Indução Eletromagnética Exemplo Demonstração. Com a chave aberta o fluxo Φ B = 0Wb (não há linhas de campo). Depois de fechada, um fluxo apareceu para cima. Seguindo a lei de Faraday-Neumann-Lenz, a corrente no anel terá um sentido tal que tende a cancelar este novo fluxo. Isso significa dizer que a corrente no anel é oposta ao solenóide. Como correntes opostas se repelem (contribuição de Ampère (ASSIS; CHAIB, 2011)), então o anel salta.

30 Indutores e Transformadores Imagine uma bobina de n voltas na qual aplica-se uma corrente elétrica I(t): Figura : Campo magnético em um solenóide alimentado.

31 Indutores e Transformadores Pode-se mostrar que a Lei de Ampère ( equação (2): B = µ J) pode ser rescrita na forma integral como: H. dl = I, (11)

32 Indutores e Transformadores Pode-se mostrar que a Lei de Ampère ( equação (2): B = µ J) pode ser rescrita na forma integral como: H. dl = I, (11) Em que B = µh, sendo µ a permeabilidade magnética do material. Esta equação nos diz que a intensidade do campo magnético é uma medida do quão forte é a corrente que estabelece este campo.

33 Indutores e Transformadores E para entendermos esta equação, considere uma bobina enrolada em um núcleo de material ferromagnético (o que implica que as linhas de campo ficarão aprisionadas no núcleo ): Figura : Enrolamento em um núcleo ferromagnético.

34 Indutores e Transformadores Como o núcleo possui uma área da seção transversal uniforme, o caminho de integração será o próprio comprimento do núcleo l. Além disso, como caminho será cortado pelas n voltas da bobina, ele será dado por ni, isto é: I = ni. Assim H. dl = ni H = ni l, em que [H] = Ampere.espira m é a unidade. A expressão ni é chamada de força magneto-motriz (fmm),

35 Indutores e Transformadores e o fluxo será dado pela equação (10): φ = B. da, sendo que para o exemplo anterior φ = B. A.

36 Indutores e Transformadores Na primeira bobina, o fluxo produzido pela corrente em cada volta contribui para o fluxo total φ de uma quantidade ki, em que k é uma constante dependente do tamanho da bobina e da natureza do material dentro dela.

37 Indutores e Transformadores Na primeira bobina, o fluxo produzido pela corrente em cada volta contribui para o fluxo total φ de uma quantidade ki, em que k é uma constante dependente do tamanho da bobina e da natureza do material dentro dela. Como os fluxos se adicionam, então o fluxo total será: φ = kni.

38 Indutores e Transformadores Da Lei de Faraday (equação (9)) para as n espiras em série, tem-se que a tensão (fem) entre os terminais do enrolamento será: v = n dφ dt = n d di (kni) = kn2 dt dt.

39 Indutores e Transformadores Da Lei de Faraday (equação (9)) para as n espiras em série, tem-se que a tensão (fem) entre os terminais do enrolamento será: v = n dφ dt = n d di (kni) = kn2 dt dt. Denotando por L = kn 2 (i.e. L é proporcional a n 2 ), tem-se, por conseguinte: v(t) = L di dt. (12) Em que L é chamada de auto-indutância da bobina de n voltas.

40 Indutores e Transformadores Observe que ela varia com o quadrado do número de voltas do enrolamento. Esta análise é o prelúdio do que chamaremos de transformador ideal.

41 Indutores e Transformadores Além disso, pode-se perceber que o circuito magnético formado pelo enrolamento da bobina em um núcleo ferromagnético possui uma proximidade com seu análogo elétrico. Assim, podemos estabelecer a chamada Lei de Ohm para os circuitos magnéticos:

42 Indutores e Transformadores Além disso, pode-se perceber que o circuito magnético formado pelo enrolamento da bobina em um núcleo ferromagnético possui uma proximidade com seu análogo elétrico. Assim, podemos estabelecer a chamada Lei de Ohm para os circuitos magnéticos: Circuito elétrico: I = V R ; Circuito Magnético: φ = F R.

43 Indutores e Transformadores R é similar à resistência elétrica R, que chamaremos relutância (a unidade é o Rel). R = L, em Rels µa (13) R = ρl em Ω. A (14)

44 Indutores e Transformadores Se posicionarmos dois indutores próximos um do outro, o fluco magnético de cada um pode, parcialmente, transferir-se para o outro. Disso resulta em uma tensão adicional induzida em cada uma das bobinas (figura 8): Figura : Indutores enrolados em um núcleo ferromagnético.

45 Indutores e Transformadores Aplicando a equação (12), tem-se: di 1 v 1 = L 1 dt + M di 2 12 dt v 1 = L 2 di 2 dt + M 21 em que M 12 e M 21 são chamadas as indutâncias mútuas. di 1 dt (15) (16)

46 Indutores e Transformadores Observação Em verdade, é possível mostrar que M 12 = M 21 = M e que M L 1 L 2, com M dependente do fluxo cruzado. Assim, quando K = M L1 L 2, que é o coeficiente de acoplamento. Além disso: Núcleo de ar (acoplamento fraco): K < 1 2 ; Núcleo de ferro (acoplamento forte): K 1.

47 Indutores e Transformadores Voltando às tensões nas bobinas, considerando o caso acoplamento forte (K = 1), sabendo-se que M 12 = M 21 = M, tem-se: K = M L1 L 2 = 1 M 2 = L 1 L 2 ; (17) v 1 = L 1 di 1 dt + M di 2 dt L 1 (18) v 1 = M di 1 dt + M di 2 dt M (19)

48 Indutores e Transformadores Assim: di 1 v 1 L 2 = L 1 L 2 dt + ML di 2 2 dt v 2 M = M 2 di 1 dt + ML 2 (20) di 2 dt, (21)

49 Indutores e Transformadores Assim: levando a: di 1 v 1 L 2 = L 1 L 2 dt + ML di 2 2 dt v 2 M = M 2 di 1 dt + ML 2 (20) di 2 dt, (21) v 1 L 2 = M 2 di 1 dt + ML di 2 2 dt v 2 L1 L 2 = M 2 di 1 dt + ML 2 (22) di 2 dt, (23)

50 Indutores e Transformadores que resulta em di 1 v 1 L 2 = L 1 L 2 dt + L di 2 2 L1 L 2 (24) dt di 1 v 2 L1 L 2 = L 1 L 2 dt + L di 2 2 L1 L 2 (25) dt v 1 L 2 = v 2 L1 L 2. (26)

51 Indutores e Transformadores que resulta em di 1 v 1 L 2 = L 1 L 2 dt + L di 2 2 L1 L 2 (24) dt di 1 v 2 L1 L 2 = L 1 L 2 dt + L di 2 2 L1 L 2 (25) dt v 1 L 2 = v 2 L1 L 2. (26) Logo, v 1 = v 2 L1 L 2. (27)

52 Indutores e Transformadores ou ainda, lembrando que a indutância depende do quadrado do número de voltas da bobina (L = kn 2 ), tem-se: n 2 v 1 = v 1 2 n 2, (28) 2 resultando na relação de transformação para o transformador ideal (acoplamento unitário): v 2 (t) v 1 (t) = n 2. (29) n 1

53 Interações eletromecânicas e eletromagnéticas Da última aula: A condução de corrente, na visão de Faraday, era resultado de um processo contínua ruptura [resultante de um estado de tensão] em um meio dielétrico [espaço em torno], processo que ele denotava por indução elétrica. Em um indutor, chegamos à relação: v(t) = L di dt. (30) Em que L é chamada de auto-indutância da bobina de n voltas.

54 Interações eletromecânicas e eletromagnéticas Para se entender o conceito de tensão imaginado por Faraday e transportado aos dias atuais simplesmente como uma entidade que promove a condução de uma corrente elétrica, uma referência formidável é o artigo On Action at a distance, de James Clerk Maxwell (MAXWELL, 1873):

55 Interações eletromecânicas e eletromagnéticas Ele [referindo-se à Faraday] observou que o movimento que a força elétrica ou magnética tendem a gerar é invariavelmente tal como para encurtar as linhas de força ao mesmo tempo em que permite que se afastem lateralmente umas das outras. Assim, ele percebeu no meio um estado de tensão que consiste em uma tração como a que existe em uma corda esticada, na direção das linhas de força, combinada com uma pressão em todas as direções mas formando um ângulo reto com essas linhas.

56 Referências I ASSIS, A. K. T.; CHAIB, J. P. M. de C. Eletrodinâmica de Ampère. Campinas: Editora Unicamp, ISBN FARADAY, M. Faraday s Experimental Researches in Electricity: The First Series (Science Classics Module for Humanities Studies). Santa Fe, New Mexixo, USA: Green Lion Press, Inclui texto integral dos Experimental Researches, rascunho biográfico de Faraday, além de comentários do editor, H. J. Ficher. MAXWELL, J. C. On action at a distance. Proceedings of the Royal Institution of Great Brittain, v. 7, p , 1873.