ÊÍÆÇ Æ Ê ËÇÍ ÙÖÚ Ð ÔØ Æ Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÖØ Ó ÔÖ ÒØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð Í ÖÐÒ ÓÑÓ Ô ÖØ Ó Ö ÕÙ ØÓ Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ø ØÙÐÓ Å ËÌÊ Å Å Ì ÅýÌ

Transcrição

1 ÊÍÆÇ Æ Ê ËÇÍ ÙÖÚ Ð ÔØ Æ Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÍÆÁÎ ÊËÁ Ê Ä Í ÊÄþÆ Á ÍÄ Å Ì ÅýÌÁ ¾¼½

2 ÊÍÆÇ Æ Ê ËÇÍ ÙÖÚ Ð ÔØ Æ Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÖØ Ó ÔÖ ÒØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð Í ÖÐÒ ÓÑÓ Ô ÖØ Ó Ö ÕÙ ØÓ Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ø ØÙÐÓ Å ËÌÊ Å Å Ì ÅýÌÁ º ýö ÓÒ ÒØÖ Ó Å Ø Ñ Ø º Ä Ò È ÕÙ ÓÑ ØÖ Ð Ö º ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº Î ØÓÖ ÓÒÞ ÐÓ ÄÓÔ Þ Æ Ù¹ Ñ ÒÒº Í ÊÄþÆ Á ¹ Å ¾¼½

3

4 Ú

5 Ú Ø Ö Ó Ø ØÖ Ð Ó ØÓ Ó Ñ Ù Ñ Ð Ö Ñ Ô Ð Ñ Ò Å Ú Ò Ö Ó Ò¹ Ö Ó Ñ Ù È Ë Ö Ó ÄÙ Þ ËÓÙÞ Ñ Ò Ú Ô Ö ÄÙ ÞÞ ÒÓ Ô Ð Ñ Ö Ú Ð Ó Ö Ó ÔÓÖ ØÓ Ó ÔÓ Ó Ó Ó ÐÓÒ Ó Ñ Ò Ú Ñ º

6 Ú Ö Ñ ÒØÓ Ö Ó Ù Ñ ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÙ Ö ÔÓÖ ØÓ ÒÓ Ö Ð Þ Ñ Ñ Ò Ú º ü Ñ Ò Ñ Ú Ò Ö Ó Ò Ö ÕÙ Ó Ò Ô Ó ÕÙ ÒÙÒ ÜÓÙ Ö Ø Ö Ñ Ñ Ñ Ø Ñ ÑÓ ÕÙ Ò Ó Ù Ö Ø Ú º ÔÓÖ Ð Ô Ö Ð ÕÙ ÐÙØÓ ØÓ Ó Ó º ÉÙ Ò Ó Ù Ô Ò Ó Ñ Ø Ö Ù Ð Ñ ÖÓ ÕÙ Ø Ñ ÙÑ Ù ÖÖ Ö Ð Ñ Ò Ö Ò ØÓÖ Ò Ó ÓÖ Ò Ó ÔÓÖ Ñ Ñº Ó Ñ Ù È Ë Ö Ó ÄÙ Þ ËÓÙÞ ÔÓÖ ØÓ Ó ÑÓÖ Ö Ò Ó ÔÓ Ó Ó Ó ÐÓÒ Ó Ø ØÖ Ø Ö Ñ º ÈÓÖ Ö Ñ Ù ÔÓÖØÓ ÙÖÓ ÔÓÖ ÒÙÒ Ñ Ö ÓÖÓ Ô Ö Ñ Ù Öº ü Ñ Ò Ú Ô Ö ÄÙ ÞÞ ÒÓ ÕÙ ÓÒØÖ Ù Ù ÑÙ ØÓ Ñ Ñ Ò Ö Ó Ô Ö ÕÙ Ù Ñ ØÓÖÒ ÙÑ ÓÑ Ñ Ö Ø Öº Ó Ñ Ù ÓÖ ÒØ ÓÖ Î ØÓÖ ÓÒÞ ÐÓ ÄÓÔ Þ Æ ÙÑ ÒÒ Ô Ð Ó Ô Ò ÙÖ ÒØ Ô Ö Ó Óº ÈÓÖ Ö ÙÑ Ü Ð ÒØ ÔÖÓ ÓÒ Ð Ð Ö Ò Ó ÑÔÖ Ñ Ò Ú ÓÑ ÑÙ Ø ÔÓ Ó ÔÓÖ Ø Ö ÙÑ Ø ÓÖ Óº Ó ÔÖÓ ÓÖ ÖÓ ÖÒ Ò ÖÚ Ð Ó À Ö Ú ÐØÓ Å ÖØ Ò ÓÖ Ð Ó ÔÓÖ Ø Ö Ñ ØÓ Ó ÓÒÚ Ø Ô Ö Þ Ö Ô ÖØ Ø Ò º Ó Ñ Ù Ñ Ó Ò Ö Ò ÕÙ ÓÒ ÖÓ ÓÑÓ ÖÑÓ ÀÓÑ ÖÓ Ö Ó Ð ÖÙÒÓ À ÒÖ ÕÙ À Ö Ê Ò ÖÝ Ê ÒÓµ Å ÖÐÓÒ Í Ø Ò ÔÓÖ Ø Ö Ñ ÑÔÖ Ó Ñ Ù Ð Ó Ñ ØÓ Ó Ó ÑÓÑ ÒØÓ º Ñ Ô Ð Ó Ñ Ù Ô Ö ÖÓ ÖÐÓ Ë ÒØÓ Ã Óµ ÕÙ Ñ Ó ÕÙ Ù Ô ÑÔÖ Ø Ú ÙÒØÓ ÓÑ Óº Ñ Þ ØÙ Ó Ó Ñ Ó Ó» ÈÌÄ¹Í ÅË Ì Ó Å Ð Ò ÌÙ µ Ï Ò Ð Ê Ä Ò ÖÓ ÂÓ Ð Ö ÊÓ Ö Ó Ä Ñ Ò ÖÐ Ä Ð Â Ò Ò ÔÓÖ ØÓ Ó Ó ÑÓÑ ÒØÓ Ô ÕÙ Ô ÑÓ ÙÒØÓ ÙÖ ÒØ Ö Ù Óº ÑÓ Ó Ô Ð Ó Ô Ö ÖÓ Å ÖÓ Ù Ö Ó Å Ö¹ Óµ Ê Ð Ó Ä Ñ Ô ÐÓ ÓÑÔ Ò Ö ÑÓ ÓÖØ Ð Ñ ÒØÓ ÒÓ Ñ Þ º Ó Ê Ð Ó ÙÑ Ö Ñ ÒØÓ Ô ÖØ Ô Ð Ù ÓÑ ÙÖ ÖØ Óº Ó Ñ Ó ØÙÖÑ Ó Ñ ØÖ Ó Á Ó Ê Ð ÇØÓÒ Ð Ó ÐÙÒÓ ÓÙØÖ ØÙÖÑ Ø Ñ¹ Ñ ÕÙ ÓÒØÖ Ù Ö Ñ ÑÙ ØÓ Ñ Ñ Ò ÓÖÑ Óº Ñ Ô Ð Ö Ó Ñ Ò Ö Ò Ñ Ä Ø ÕÙ ÙÑ Ô Ó ÜØÖ ÓÖ Ò Ö Ö ÔÓÒ Ú Ð ÔÓÖ Ö Ò Ô ÖØ Ó Ñ Ù Ñ ÙÖ ¹ Ñ ÒØÓ Ñ Ø Ñ Ø Óº Ó Ñ Ù Ñ Ó ÊÓÑ Ö ÓÒ ÕÙ Ñ ÓÐ Ù Ñ Í ÖÐÒ Ñ Ù ÓÙ Ó Ø ÑÔÓ ÕÙ Ó Ò Ö Ó Ô Ö Ñ Ø Ð Þ Ö Ñ Í ÖÐÒ º ØÓ Ó Ó ÔÖÓ ÓÖ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø Í Í Ñ Ô Ð Ó ÕÙ Ñ Ò ØÖ Ö Ñ Ð ÙÑ ÔÐ Ò ÙÖ ÒØ Ó Ñ ØÖ Óº Ó ÔÖÓ ÓÖ Ó» ÈÌÄ¹Í ÅË Ñ Ô Ð Ó Ñ Ù Ö Ò Ñ ØÖ ÒØÒ Ó ÖÐÓ Ì Ñ ÖÓÞÞ Ê Ò ØÓ Ö ËÒ Ò Ð Ò Ù Ò ÊÓ Ò Ì Ö È ÙÐÓ À ÒÖ ÕÙ

7 Ú Ô ÐÓ Ò ÒØ ÚÓ Ô Ð ÓÒ Ò º ü È ÅÁ Ô ÐÓ ÔÓ Ó Ò Ò ÖÓº ØÓ Ó Ñ Ò ÓÒ Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ó ÕÙ Ù Ú Ò Ø Ö ÕÙ Ó Ñ Ù ÅÍÁÌÇ Ç ÊÁ Ç

8 Ú ËÇÍ º º ÙÖÚ Ð ÔØ Æ Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º ¾¼½¾º Ôº ÖØ Ó Å ØÖ Ó ÍÒ Ú Ö Ö Ð Í ÖÐÒ Í ÖÐÒ ¹Å º Ê ÙÑÓ Ç Ó Ø ÚÓ Ø ØÖ Ð Ó Ö Ð ÓÒ Ö ÙÖÚ Ð ÔØ Æ Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º Ö Ú ÑÓ ÙÑ ÓÔ Ö Ó Ó Ö ÙÖÚ ÕÙ ØÓÖÒ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ù ÔÓÒØÓ Ó Ö ÙÑ ÓÖÔÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÑ ÖÙÔÓ Ð ÒÓº Ñ Ù ÔÖ ÒØ ÑÓ Ó Ì ÓÖ Ñ Æ ÐйÄÙØÞ ÕÙ ÒÓ ÓÒ Ò Ö Ô Ö ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ø Ò ÓÖ Ñ Ò Ø ÒÓ ÖÙÔÓº ØÓ ØÓ ÔÖÓÚ ÑÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ÅÓÖ ÐÐ Ô Ö ÙÖÚ Ó Ø ÔÓ y 2 = x 3 + ax 2 + bx Ø Ð Ø ÓÖ Ñ ÒÓ Þ ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ó Ö ÙÖÚ Ð ÔØ ÙÑ ÖÙÔÓ Ð ÒÓ Ò Ø Ñ ÒØ Ö Óº Ò ÐÑ ÒØ Ò ÑÓ Ò Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð ÙÑ ÔÖÓÔÖ Ü ÑÔÐÓ Ó Ö Ø Ò Ñ ÖÓ Ø Ð ÑÓ ÓÒ ÜÓ ÒØÖ Æ Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÙÖÚ Ð ÔØ º È Ð ÚÖ ¹ Ú ÙÖÚ Ð ÔØ Ì ÓÖ Ñ ÅÓÖ ÐÐ Æ Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ µº

9 Ü ËÇÍ º º ÓÒ ÖÙ ÒØ ÆÙÑ Ö Ò ÐÐ ÔØ ÙÖÚ ¾¼½ º Ôº ź ˺ ÖØ Ø ÓÒ Ö Ð ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Í ÖÐÒ Í ÖÐÒ ¹Å º ØÖ Ø Ì Ñ Ó Ø Ô Ô Ö ØÓ Ö Ð Ø ÓÒ ÖÙ ÒØ ÆÙÑ Ö Ò ÐÐ ÔØ ÙÖÚ º Ï Ö Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÙÖÚ Û Ñ Ø Ø Ó Ø ÔÓ ÒØ ÓÒ ÒÝ Ð Ò Ð Ò ÖÓÙÔº Æ ÜØ Û ÔÖ ÒØ Ø Æ ÐйÄÙØÞ Ø ÓÖ Ñ Û Ú Ù Ø Ò ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÔÓ ÒØ Ø Ø Ò Ø ÓÖ Ö Ò Ø ÖÓÙÔº À Ú Ò ÓÒ Ø Û ÔÖÓÚ Ø ÅÓÖ ÐÐ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ ÙÖÚ Ð y 2 = x 3 + ax 2 + bx Ø Ø ÓÖ Ñ Ø ÐÐ Ù Ø Ø Ø Ø Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÔÓ ÒØ ÓÒ ÐÐ ÔØ ÙÖÚ Ò Ø ÐÝ Ò Ö Ø Ð Ò ÖÓÙÔº Ò ÐÐÝ Û Ò ÓÒ ÖÙ ÒØ ÒÙÑ Ö Û ÔÖ ÒØ ÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ü ÑÔÐ Ó Ù ÒÙÑ Ö Ò Ø Ð Ø ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò ÓÒ ÖÙ ÒØ ÆÙÑ Ö Ò ÐÐ ÔØ ÙÖÚ º à ÝÛÓÖ ÐÐ ÔØ ÙÖÚ ÅÓÖ ÐÐ Ì ÓÖ Ñ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÒÙÑ Ö µº

10 ËÍÅýÊÁÇ Ê ÙÑÓ ØÖ Ø ÁÒØÖÓ ÙÓ Ú Ü ½ ½ ÙÖÚ Ð ÔØ ½º½ ÙÖÚ Ð Ö Ó ÈÐ ÒÓ ÈÖÓ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ç Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÙÖÚ Ð ÔØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º ÓÖÑ ÆÓÖÑ Ð Ï Ö ØÖ ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ÖÑÙÐ ÜÔÐ Ø Ô Ö Ä ÖÙÔÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÈÓÒØÓ ÇÖ Ñ Ò Ø ½ ¾º½ ÈÓÒØÓ ÇÖ Ñ ¾ ÇÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ì ÓÖ Ñ Æ ÐйÄÙØÞ Ó Ì ÓÖ Ñ Å ÞÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ Ç Ì ÓÖ Ñ ÅÓÖ ÐÐ ¾ º½ ÐØÙÖ ÙÑ ÈÓÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÖÓÔÖ ÐØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÐØÙÖ P +P 0 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÐØÙÖ 2P º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÍÑ ÀÓÑÓÑÓÖ ÑÓ ÁÑÔÓÖØ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÑÓÒ ØÖ Ó Ó Ä Ñ º¾º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Æ Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ¼ º½ ÁÒØÖÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ü

11 Ü º Ê ÙÓ Å ÙÐÓ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ð Ó ÒØÖ ÙÖÚ Ð ÔØ Æ Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º

12 ÁÆÌÊÇ Í Ç ÙÖÚ Ð ÔØ Ø Ñ Ó ÑÙ ØÓ ÙØ Ð Þ Ô Ö Ð Ò Ö ÐÙÞ Ó Ö Ð ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ö ÔØÓ Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÑÔ ÓØ Ñ ÒØÓ Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÍÑ ÙÖÚ Ð ÔØ E Ó Ö ÙÑ ÓÖÔÓ K ÙÑ ÙÖÚ ÔÖÓ Ø Ú Ò ÔÓÖ ÙÑ ÕÙ Ó Ó Ø ÔÓ y 2 z = x 3 +ax 2 z +bxz 2 +cz 3 ÓÒ a,b,c K Ó Ö Ñ Ò ÒØ = 4a 3 c+a 2 b 2 +18abc 4b 3 27b 2 E ÒÓ ÒÙÐÓº ÍÑ Ó ØÓ Ñ ÒØ Ö ÒØ Ó Ö ÙÖÚ Ð ÔØ ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ó Ö Ð Ø Ñ ÙÑ ØÖÙØÙÖ ÖÙÔÓ Ð ÒÓ Ò Ø Ñ ÒØ Ö Ó Ñ Ô ¹ Ñ ÒØ Ø ÑÓ Ó Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ ÅÓÖ ÐÐ Ë E ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ Ô Ð ÕÙ Ó E : y 2 z = x 3 +ax 2 z +bxz 2 +cz 3, ÓÒ a b c Ó ÒØ ÖÓ E(Q) = {[x : y : z] E : x,y,z Q}º ÒØÓ E(Q) ÙÑ ÖÙÔÓ Ð ÒÓ Ò Ø Ñ ÒØ Ö Óº ØÖ Ú Ó Ì ÓÖ Ñ º º Ø ÓÖ Ó ÖÙÔÓ Ò Ø Ñ ÒØ Ö Ó ÔÓ ÑÓ ÓÑÔÓÖ E(Q) = E(Q) tors Z r, ÓÒ E(Q) tors Ó ÖÙÔÓ ÔÓÒØÓ ØÓÖÓ Ó ÒØ ÖÓ r Ó ÔÓ ØÓ ÙÖÚ Ð ÔØ º ÍÑ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ØÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÖ Ö ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö ØÒ ÙÐÓ Ù Ó Ð Ó Ó Ö ÓÒ º Ø ÑÓ ÒØ Ö Ó ÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÕÙ ÓÒ Ø Ñ Ö ÙÑ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÙ ÒÓº Ö Ð Ó ÒØÖ Ò Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÙÖÚ Ð ÔØ ØÖ Ú Ó Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ó ÍÑ Ò Ñ ÖÓ n ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÑ ÒØ Ó ÔÓ ØÓ ÙÖÚ Ð ÔØ y 2 = x 3 n 2 x ÔÓ Ø ÚÓº ½

13 ¾ ÆÓ ÖØ Ó Ø ÓÖ Ò Þ Ù ÒØ Ñ Ò Ö ÆÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ô ØÙÐÓ Ö ÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÓ Ó Ö ÙÖÚ Ð ÔØ º ÓÑ ÑÓ ÓÑ Ð ÙÒ ÓÒ ØÓ ÙÖÚ Ð Ö Ò Ò Ó ÙÖÚ Ñ ÔÐ ÒÓ ÔÖÓ Ø ÚÓ ÙÖÚ ÔÖÓ Ø Ú º Ù Ö ÒÙÒ ÑÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙØ ÕÙ Ò Ð Ò ÓÒ ØÖÙÓ Ð ÖÙÔÓ Ó Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓÒØÓ ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ º Ç ÙÒ Ó Ô ØÙÐÓ ØÖ Ø Ó Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñ 2 3º ÓÑ ÑÓ ÑÓ ØÖ Ò Ó ÔÖÓÔÖ ÕÙ Ø Þ Ñ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñ 2 3º Ù Ö ÒÙÒ ÑÓ Ó Ø ÓÖ Ñ Æ ÐйÄÙØÞ Å ÞÙÖ ÕÙ ÒÓ Ù ÖÓ ÒÓÒØÖ Ö ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ ØÓÖÓ ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ º ÆÓ Ø Ö ÖÓ Ô ØÙÐÓ ÑÓÒ ØÖ Ö ÑÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ÅÓÖ ÐÐ Ô Ö ÙÑ Ð ÙÖÚ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÖ ÖÙÔÓ Ø ÒÓ ÔÖ Ü ÑÓ Ô ØÙÐÓº ÆÓ ÕÙ ÖØÓ Ô ØÙÐÓ Ö ÑÓ Ð ÙÑ ÔÖÓÔÖ Ó Ö Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÒÙÒ ¹ Ö ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÑÓ Ö Ð Ó ÒØÖ Æ Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÙÖÚ Ð ÔØ º ÖÙÒÓ Ò Ö ËÓÙÞ Í ÖÐÒ ¹Å ¾ Ú Ö ÖÓ ¾¼½ º

14 È ÌÍÄÇ ½ ÍÊÎ Ë Ä ÈÌÁ Ë Æ Ø Ô ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÓ Ø ÓÖ ÙÖÚ Ð ÔØ º ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ K ÙÑ ÓÖÔÓ ÔÓÖ K Ù Ó Ð Ö Óº Ø ÓÖ Ø Ô ØÙÐÓ ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ ¾ º ½º½ ÙÖÚ Ð Ö Ó ÈÐ ÒÓ ÈÖÓ Ø ÚÓ Ò Ó ½º½º½º Ë f(x,y)ùñ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ Ñ R[x,y]º Ñ ÑÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö ÔÐ Ò Ö Ðº C f = {(x,y) R 2 : f(x,y) = 0} Ü ÑÔÐÓ ½º½º¾º µ Ê Ø f(x,y) = ax+by +c (a,b) (0,0) µ ÖÙÐÓ f(x,y) = x 2 +y 2 1 µ È Ö ÓÐ f(x,y) = y x 2 µ Ë f(x,y) = x 2 +y 2 ÒØÓ C f = {(0,0)} µ Ë f(x,y) = x 2 +y 2 +1 ÒØÓ C f = º Ç ÖÚ Ó ½º½º º Ø ÑÓ Ñ Ò Ó C f ÙÖÚ ÐÓ Ó ÒÓ Ü ÑÔÐÓ d) e) Ø ÒÓÑ Ò¹ Ð ØÙÖ ÔÓ Ô Ö Ö ØÖ Ò º ÓÖ Ò Ô ÖÑ Ø ÖÑÓ ÓÐÙ ÓÑÔÐ Ü Ô Ö ÕÙ Ó f(x,y) = 0 Ñ d) e) ÒØÓ C f Ô Ø Ö Ò Ò ØÓ ÔÓÒØÓ º Ò Ó ½º½º º Ë K ÙÑ ÓÖÔÓ Ð Ö Ñ ÒØ Óº Ç Ô Ó Ñ Ñ Ò Ó n K Ó ÓÒ ÙÒØÓ K n º Ë S K[x 1,...,x n ]º Ç ÓÒ ÙÒØÓ C S = {(x 1,...,x n ) K n : f(x 1,...,x n ) = 0, f S},

15 Ñ Ó ÙÑ Ú Ö Ð Ö Ñº Ò ØÙÖ Ð Ù Ö ÓÐÙ Ô Ö ÕÙ ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ Ù Ú Ö Ú Ô ÐÓ Ù Ô ØÓ ÓÑ ØÖ Óº Ø ÑÓ ÒØ Ö Ó ÒÓ Ó Ñ ÕÙ n = 2 S = {f(x,y)} ÓÒ f(x,y) ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ Ñ K[x,y]º Æ Ø Ó Ø Ö ÑÓ Ù ÒØ Ò Ó Ò Ó ½º½º º Ë f(x,y) ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ Ñ K[x,y]º ÙÖÚ Ð Ö ÔÐ Ò Ñ C f Ó Ö K Ø ÖÑ Ò ÔÓÖ f(x,y) Ó ÓÒ ÙÒØÓ C f = {(x,y) K 2 : f(x,y) = 0}. ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ Ø Ñ Ñ ÒÓØ Ó C f : f(x,y) = 0º Ò ÑÓ Ó Ö Ù ÙÖÚ C f ÓÑÓ Ò Ó Ó Ö Ù Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó f Ù ÒÓØ Ó grau(f)º ÙÖÚ Ö Ù ½ ¾ Ó Ñ Ö Ø Ò Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ç ÖÚ Ó ½º½º º ÓÑÓ K Ð Ö Ñ ÒØ Ó f(x,y) ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ ÒØÓ C f Ò Ò ØÓº Ç ÖÚ Ó ½º½º º Ë f(x,y) = g(x,y)h(x,y) ÓÒ g(x,y) h(x,y) Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÒÓ ÓÒ ¹ Ø ÒØ Ñ K[x,y] ÒØÓ C f = C g C h º Ò Ó ½º½º º Þ ÑÓ ÕÙ ÙÖÚ C f Ö ÙØ Ú Ð Ü Ø Ñ g(x,y) h(x,y) ÔÓÐ ÒÑ Ó ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ Ñ K[x,y] Ø ÕÙ f(x,y) = g(x,y)h(x,y)º Ó ÒÓ Ü Ø ÙÑ ÓÑÔÓ Ó ÓÖÑ ÙÖÚ Ø ÖÖ ÙØ Ú Ðº ÕÙ Ñ ÒØ ÒÓØ Ö ÑÓ f(x,y) ÑÔÐ Ñ ÒØ ÔÓÖ fº Ä Ñ ½º½º º Ä Ñ Ù µ Ë D ÙÑ ÓÑ Ò Ó ØÓÖ Ó Ò K Ù ÓÖÔÓ Ö º Ë f D[x] ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÔÖ Ñ Ø ÚÓ º º Ó mdc Ó Ó ÒØ f Ù Ð ½µ g D[x] Ö ØÖ Ö Óº ÒØÓ µ f ÖÖ ÙØ Ú Ð Ñ D[x] f ÔÖ Ñ Ø ÚÓ Ñ D[x] ÖÖ ÙØ Ú Ð Ñ K[x] µ f g Ñ D[x] f g Ñ K[x]º ÑÓÒ ØÖ Óº Î Ö Ä Ñ ÁÁº º È º ÍÑ Ó Ø ÓÖ Ñ ÒØÖ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ó Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙØ ÕÙ ÒÓ ÑÓ ØÖ ÓÑÓ ÐÙÐ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ ÒØ Ö Ù ÙÖÚ Ð Ö Ð Ú Ò Ó Ñ ÓÒØ ÒØ Ö ÒÓ Ò Ò ØÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ö º ÈÖ Ñ Ö Ñ ÒØ Ò Ö ÑÓ Ó ÕÙ Ò ÒØ Ö ÒÓ Ò Ò ØÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ö Ñ Ù ÒÙÒ Ö ÑÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙغ ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÑÓ ÕÙ Ù Ö Ø Ø ÒØ Ø Ñ ÙÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÒÓ Ö ÕÙ Ð Ñ Ô Ö Ð Ð º Æ Ø Ó Ö ÑÓ ÕÙ Ð ÒÓÒØÖ Ñ ÒÓ Ò Ò ØÓº ÒØÓ Ú ÑÓ ÒÓÖÔÓÖ Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒÓ Ò Ò ØÓ Ô Ö Ö Ó Ó ÔÐ ÒÓ Ñº È Ö Ú Ù Ð Þ ÖÑÓ Ó ÑÓ Ó

16 Ss Ss Rr Rr ÙÖ ½º½ È Ö Ö Ø Ô Ö Ð Ð º ÕÙ Ú ÑÓ ÓÒ Ö ÔÓÒØÓ ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ñ ÓÒ Ö ÑÓ r s Ù Ö Ø ÓÒÓÖÖ ÒØ r s Ö Ø Ô Ö Ð Ð r s Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë ÓÒ ÖÑÓ ÙÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÒÓ Ò Ò ØÓ ØÓ Ó Ô Ö Ö Ø ÓÒÓÖÖ ÒØ ÓÙ Ô Ö Ð Ð ÒØ Ö Ø Ö Ñ Ò ÔÓÒØÓº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ö Ø ÙÖ ÒØ Ö ÓÖ ÒØ Ö Ø Ö Ñ Ñ Ó ÔÓÒØÓ ÓÑÓ Ò ÙÖ ÜÓº S S Rr Rr ÙÖ ½º¾ ÈÓÒØÓ ÒÓ Ò Ò ØÓº ÓÒÚ Ñ ÒØÓ ÓÒ Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒÓ Ò Ò ØÓ Ô Ö Ö Ó Ó ÔÐ ÒÓ Ñ ÓÙ ÕÙ Ú ¹ Ð ÒØ Ñ ÒØ Ô Ö Ö Ø ÓÒØ Ò Ó ÓÖ Ñº ÓÖÑ ÔÓ Ö ÑÓ Ò Ö Ó ÔÐ ÒÓ ÔÖÓ Ø ÚÓ ÓÑÓ Ò Ó R 2 {Ê Ø Ó ÔÐ ÒÓ ÕÙ Ô Ñ Ô Ð ÓÖ Ñ}. Ë ÒØ ÖÑÓ R 2 ÓÑ Ó ÔÐ ÒÓ z = 1 Ñ R 3 Ú ÑÓ ÕÙ Ô Ö ÔÓÒØÓ Ó ÔÐ ÒÓ z = 1 Ü Ø ÙÑ Ò Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñº Á ØÓ ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ò Ö Ó ÔÐ ÒÓ ÔÖÓ Ø ÚÓ ÓÑÓ Ò Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ø R 3 ÕÙ Ô Ñ Ô Ð ÓÖ Ñº Ö Ø ÕÙ ÒÓÒØÖ Ñ ÒÓ ÔÐ ÒÓ xy Ó Ó ÔÓÒØÓ ÒÓ Ò Ò ØÓ ÓÙØÖ Ö Ø ÒØ Ñ ÓÑ ÔÓÒØÓ R 2 º ÅÓØ Ú Ó ÔÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ò ÑÓ Ó ÔÐ ÒÓ ÔÖÓ Ø ÚÓ Ó Ö Ó ÓÖÔÓK Ù ÒØ ÓÖÑ Ò Ó ½º½º½¼º ÓÒ Ö Ù ÒØ Ö Ð Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÒØÖ Ó ÔÓÒØÓ K 3 (x 1,x 2,x 3 ) (y 1,y 2,y 3 ) λ K : λ(x 1,x 2,x 3 ) = (y 1,y 2,y 3 ).

17 Ò ÑÓ Ó ÔÐ ÒÓ ÔÖÓ Ø ÚÓ Ó Ö K ÓÑÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ð ÕÙ Ú Ð Ò P 2 (K) = { (x 1,x 2,x 3 ) K 3 : (x 1,x 2,x 3 ) (0,0,0) }, ÓÙ Ò P 2 (K) = { Ê Ø Ñ K 3 ÕÙ Ô Ñ Ô Ð ÓÖ Ñ }. ÆÓØ Ó ½º½º½½º Ë (x 1,x 2,x 3 ) K 3 (x 1,x 2,x 3 ) (0,0,0) ÒØÓ Ù Ð ÕÙ Ú Ð Ò Ö ÒÓØ ÔÓÖ [x 1 : x 2 : x 3 ] ÓÙ ÔÓÖ l (x1,x 2,x 3 )º Þ Ò Ó K = R Ø ÑÓ Iz Il O Il п Ix Iy ÙÖ ½º ÈÐ ÒÓ ÈÖÓ Ø ÚÓ Ò Ö ÑÓ ÙÖÚ ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ø Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÔÖÓ Ø ÚÓ ÙÑ Ð ÕÙ Ú Ð Ò ÐÓ Ó ÔÓ Ù Ú Ö Ó Ö ÔÖ ÒØ ÒØ º ÈÓÖØ ÒØÓ Ô Ö ÕÙ Ò Ó ÙÖÚ ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ ØÖ Ð Ö ÑÓ ÓÑ ÙÑ Ð Ô ÔÓÐ ÒÑ Ó º Ò Ó ½º½º½¾º ÍÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó f K[x,y,z] ØÓ ÓÑÓ Ò Ó Ö Ù n 1 ÙÑ Ù ÑÓÒÑ Ó ÔÓ Ù Ö Ù ØÓØ Ðµ Òº Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ f(x,y,z) K[x,y,z] ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó Ö Ù n 1 ÒØÓ f(λx,λy,λz) = λ n f(x,y,z), λ Kº Ñ f ÒÙÐ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ (x,y,z) ÒØÓ f ÒÙÐ Ñ (λx,λy,λz)º ÓÑÓ ÒØ ÒÓØ Ö ÑÓ f Ó ÒÚ f(x,y,z)º ÈÓ ÑÓ Ñ Ò Ö ÙÑ ÙÖÚ ÔÖÓ Ø Ú ÔÐ Ò Ó ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Óº Ò Ó ½º½º½ º Ë f ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ Ñ K[x,y,z]º Ð Ö ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú C f Ó Ö K Ø ÖÑ Ò ÔÓÖ f Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÙÖÚ C f = {[x : y : z] P 2( K ) : f(x,y,z) = 0}. Ë F ÙÑ ÜØ Ò Ó K Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓÒØÓ C f Ò Ó Ó Ö F C f (F) = { [x : y : z] C f : [x : y : z] P 2 (F) }.

18 Ò ÑÓ Ó Ö Ù ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú ÓÑÓ Ò Ó Ó Ö Ù Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÕÙ Ò º ÙÖÚ ÔÖÓ Ø Ú Ö Ù ½ ¾ Ó Ø Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ö Ø Ò ÔÖÓ Ø Ú º Ò Ó ½º½º½ º Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú C f ÒÓ Ò ÙÐ Ö Ô Ö ØÓ Ó P C f Ú Ð f x (P) 0 ÓÙ f y (P) 0 ÓÙ f (P) 0. z Ç Ó Ñ ÒØ Ö ÒØ ÓÓÖÖ Ñ ÕÙ Ò Ó K = Q Ø ÑÓ ÕÙ C f (Q) C f (R) C f (C). Ç ÒØ Ö Ö ØÑ Ø Ó ÓÒ Ö C f (Q)º ÌÖ Ø Ö ÑÓ Ó Ó Ñ ÕÙ Ó Ö Ù Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó f Ñ ÒÓÖ ÓÙ Ù Ð ÒÓ Ô ØÙÐÓ Ù ÒØ ÓÖ Ö ÑÓ Ó Ó Ñ ÕÙ Ó Ö Ù f Ü Ø Ñ ÒØ º Ë ÙÒÓ Ò ØÓÖ K 2 P 2 (K) (x,y) [x : y : 1] ÕÙ ÒØ Ó ÔÓÒØÓ Ó ÔÐ ÒÓ Ñ ÓÑ Ó ÔÓÒØÓ Ó ÔÐ ÒÓ ÔÖÓ Ø ÚÓº Ñ V 3 Ñ Ñ Ø ÙÒÓ ÒØÓ C f V 3 ÔÓ Ö Ú ØÓ ÓÑÓ ÙÖÚ ÔÐ Ò Ñ Ò ÔÓÖ f(x,y,1)º Ó Ñ ÑÓ ÑÓ Ó ÙÑ ÙÖÚ ÔÐ Ò Ñ ÔÓÖ g K[x,y] ÔÓ Ö Ø Ò ÙÑ ÙÖÚ ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ò Ô Ð ÙÒ Ó ÓÑÓ Ò g(x,y,z) = z n g(x/z,y/z) Ñ ÕÙ n Ó Ö Ù Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó gº ÓÖÑ Ö Ñ Ð Ö Ò ÑÓ Ó ÔÐ ÒÓ Ò V 1 V 2 Ù ÒØ ÓÖÑ Ë ÙÒÓ Ò ØÓÖ K 2 P 2 (K) (y,z) [1 : y : z] Ñ V 1 Ñ Ñ Ø ÙÒÓ ÒØÓ C f V 1 ÔÓ Ö Ú Ø ÓÑÓ ÙÖÚ ÔÐ Ò Ñ ÔÓÖ f(1,y,z)º ÓÑ Ö Ô ØÓ Ú Ö Ú Ð y Ó ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ó Ñ ÑÓº Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ó ÓÑÓ Ò Þ Ó C f º ½º¾ Ç Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙØ ÓÒ Ö Ò ÔÓÖ C f : y x 2 = 0 Ö Ø l 0 : y = 0 l 1 : x = 0 l 2 : x = y l 3 : y = x+1º Ö Ñ ÒØ Ú ÑÓ ÕÙ l 0 ÒØ Ö Ø Ó Ö Ó ÙÖÚ C f Ô Ò Ò ÓÖ Ñ Ó Ñ ÑÓ ÓÓÖÖ Ò Ó ÓÑ Ö Ø l 1 º Â Ö Ø l 2 l 3 ÒØ Ö Ø Ñ C f Ñ Ó ÔÓÒØÓ º

19 C f il 1 il 3 Ix + 1 = y il 2 Ix = y il 0 ÙÖ ½º Î Ù Ð Þ Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙØ ÆÓØ ÕÙ l 0 Ø Ò ÒØ C f ÒÓ ÔÓÒØÓ (0,0) Ñ ÔÓ ÑÓ Ñ Ò Ö ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ (0,0) ÓÒØ ÓÑÓ Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÙÔÐ º Á ØÓ ÑÓØ Ú Ò Ö ÙÑ Ò ÒØ Ö Ó ÒØÖ Ù ÙÖÚ º Â Ö Ø l 1 ÒØ Ö Ø C f Ñ ÙÑ Ò Ó ÔÓÒØÓº ÈÖ ÑÓ ÒØÖÓ ÙÞ Ö ÒÓÓ ÔÓÒØÓ ÒÓ Ò Ò ØÓ ØÖ Ð Ò Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÔÖÓ Ø ÚÓµ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö ÙÑ ÙÒ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Óº Ñ ÒØ Ö Ó ÒØÖ ÙÑ Ö Ø ÙÑ Ò ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÔÖÓ Ø ÚÓ ÓÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ º ÁÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ÒØ Ö Ó ÒØÖ ÙÖÚ Ö Ù m n Ú ÓÒØ Ö mn ÔÓÒØÓ º Ç Ø ÓÖ Ñ ÞÓÙØ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ø Ö Ó Ò Ó ÔÓ Ö Ò Ö Ð Þ Ó ÕÙ Ò Ó ÓÑÔÙØ ÑÓ ÓÖÑ ÓÖÖ Ø Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÒØÖ ÙÖÚ ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú º Ø ÙÖÚ Ú Ñ Ø Þ Ö ÙÑ ÓÙØÖ Ô Ø ÒÓ ÔÓ Ù Ö Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ ÓÑÙѵ Ö Ú Ò Ó ½º¾º¾º ÈÖÓÔÓ Ó ½º¾º½º ÍÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó f K[x,y,z] ÔÓ Ö ØÓÖ Ó ÓÑÓ f = f 1 f 2 f 1,f 2 K[x,y,z] ÓÑ ÒØ ÔÓÐ ÒÑ Ó f j j = 1,2 ÓÑÓ Ò Óº ÄÓ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó f j Ò ÙÑ ÙÖÚ ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú C fj : f j = 0 j = 1,2º ÑÓÒ ØÖ Óº ( ) Ð ÖÓº ( ) ÈÓÖ ÙÖ Ó ÙÔÓÒ f 1 ÒÓ ÓÑÓ Ò Óº Ë grau(f 1 ) = kº ÒØÓ f 1 = g k +g k 1 + +g 0 ÓÒ g j ÓÑÓ Ò Ó Ö Ù j j = 0,1,...,kº Ë l = min{j : g j 0}º ÈÓÖ Ô Ø l < k ÐÓ Óf 1 = g k +g k 1 + +g l ÓÑg l 0,g k 0º ÓÒ Ö ÓÖ f 2 = h s +h s 1 + +h t ÓÑ h t 0 h s 0 t sº Ñ f = f 1 f 2 = g k h s +(g k h s 1 +g k 1 h s )+...+g l h l, ÓÒ grau(g k h s ) = k+s g k h s 0 ÔÓ K[x,y,z] ÙÑ ÓÑ Ò Óº Ì ÑÓ ÕÙ grau(g l h t ) = l+t h l g t 0 Ô ÐÓ Ñ ÑÓ ÑÓØ ÚÓº Ì Ñ Ñ l < k t s ÒØÓ l + t < k + sº ØÓ ÑÔÐ ÕÙ f ÒÓ ÓÑÓ Ò Óº ËÍÊ Ç ÈÓÖØ ÒØÓ f 1 ÓÑÓ Ò Óº

20 Ò Ó ½º¾º¾º Ë C f : f(x,y,z) = 0 ÙÑ ÙÖÚ ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú f = f 1...f n, ØÓÖ Ó f Ó Ö K Ñ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÖÖ ÙØ Ú º ÙÖÚ C fj : f j (x,y,z) = 0 j = 1,...,n Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÖ ÙØ Ú Ð C f º ÈÖ Ñ Ö Ñ ÒØ Ú ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ÒØ Ö Ó ÒØÖ Ù ÙÖÚ ÔÐ Ò Ò Ò Ø Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÕÙ Ò Ñ ÒÓ ÔÓ Ù Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑÙÑ ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ º ÈÖÓÔÓ Ó ½º¾º º Ë Ñ f g ÔÓÐ ÒÑ Ó Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑÙÒ Ñ K[x,y]º ÒØÓ ÒØ Ö Ó ÒØÖ ÙÖÚ ÔÐ Ò Ò C f : f(x,y) = 0 C g : g(x,y) = 0 Ò Ø º ÑÓÒ ØÖ Óº Ì ÑÓ ÕÙ f g ÔÓ Ñ Ö Ú ØÓ ÓÑÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ñ K(x)[y] ÓÒ K(x) Ó ÓÖÔÓ Ö K[x]º È ÐÓ Ð Ñ Ù Ø ÑÓ ÕÙ f g Ó Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÔÖ ÑÓ Ñ K(x)[y] ÐÓ Ó Ü Ø Ñ r(x) s(x) Ø ÕÙ r(x)f +s(x)g = 1. Á ØÓ ÑÔÐ Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ f g ÒÓ ÔÓ Ù Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ ÓÑÙÑ Ó Ö Kº Ö Ú Ò Ó r(x) = r 1(x) r 2 (x) s(x) = s 1(x) s 2 (x) ÓÒ r 1,r 2,s 1,s 2 K[x] Ó Ø ÑÓ r 1 (x) r 2 (x) f + s 1(x) s 2 (x) g = 1 r 1(x)s 2 (x)f +r 2 (x)s 1 (x)g = r 2 (x)s 2 (x). Ë P = (x 0,y 0 ) C f C g º ÄÓ Ó f (x 0,y 0 ) = g(x 0,y 0 ) = 0 ÓÙ r 2 (x 0 )s 2 (x 0 ) = 0º Ñ Ú ÑÓ ÕÙ Ü Ø ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ú ÐÓÖ Ô Ö x 0 Ð Ñ Ø Ó Ô ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Þ r 2 (x)s 2 (x) = 0º È Ö x 0 Ü Ó Ü Ø ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ú ÐÓÖ Ô Ö y 0 Ø ÕÙ f(x 0,y 0 ) = 0 Ñ ÒÓ ÕÙ (x x 0 ) ØÓÖ ÓÑÙÑ fº Å Ò Ó f ÒÓ ØÓÖ ÓÑÙÑ gº Ñ Ñ ØÓ Ó Ó Ó Ô Ö x 0 Ü Ó Ü Ø ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ú ÐÓÖ y 0 Ø ÕÙ f g ÒÙÐ Ñ Ó Ñ ÑÓ Ø ÑÔÓ ÓÑÓ ÕÙ Ö ÑÓ ÑÓÒ ØÖ Öº Ø Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ö Ø Ò Ó Ô Ö ÙÖÚ ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú º Ë f(x,y,z) g(x,y,z) Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÓ Ò Ó Ñ K[x,y,z] Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ ÓÑÙÑ ÒØÓ ÒØ Ö Ó ÒØÖ ÙÖÚ ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ò ÔÓÖ Ø ÔÓÐ ÒÑ Ó ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ { [x : y : 1] P 2 (K);f(x,y,1) = g(x,y,1) = 0 } { [x : y : 0] P 2 (K);f(x,y,0) = g(x,y,0) }. Ø Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ò ØÓ Ô Ð ÔÖÓÔÓ Ó ½º¾º ÔÓ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÒ Ö Ó ÒÓÒØÖ Ñ Ñ K[x,y]º Ë ÑC f : f(x,y,z) = 0 C g : g(x,y,z) = 0 Ù ÙÖÚ ÔÖÓ Ø Ú ÔÐ Ò Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑÙÒ º È Ö ÓÑÔÙØ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ ÔÓÒØÓ Ò ÒØ Ö Ó Ø ÙÖÚ ÔÖ Ó Ð Ú Ö Ñ ÓÒØ ÕÙ Ñ Ò Ö Ð ÒØ Ö Ø Ñ Ñ ÙÑ Ó ÔÓÒØÓº Î ÑÓ ÓÖ Ò Ö ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ö Ó Ù ÙÖÚ Ò C f C g Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÜÓ P º

21 ½¼ Ò Ó ½º¾º º Ë Ñ P = (a,b) K 2 F(K) = {(C f,c g ) : f,g K[x,y] C f,c g ÒÓ Ø Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑÙÑ ÓÒØ Ò Ó P}. Ò ÑÓ ÔÐ Ó F(K) N Ø Ð ÕÙ Ó Ô Ö (C f,c g ) ÒÚ Ó Ñ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ (C g,c f ) P Ø Þ Ò Ó Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ ½µ (C f,c g ) P = 1 f(x,y) = x a g(x,y) = y b ¾µ (C f,c g ) P (C g,c f ) P Ô Ö ØÓ Ó (C f,c g ) F(K) µ (C f,c gh ) P = (C f,c g ) P +(C f,c h ) P Ô Ö ØÓ Ó (C f,c g ),(C f,c h ) F(K) µ (C f,c g+fh ) P = (C f,c g ) P Ô Ö ØÓ Ó (C f,c g ) (C f,c h ) Ñ F(K) µ (C f,c g ) P = 0 P C g (C f,c g ) F(K)º ÈÖÓÔÓ Ó ½º¾º º ÔÐ Ó Ò ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ü Ø Ò º ÑÓÒ ØÖ Óº Î Ö ¾ ÔÖÓÔÓ Ó ½º Ô ¹ º Ç ÖÚ Ó ½º¾º º Ç Ò Ñ ÖÓ (C f,c g ) P Ñ Ó Ò ÒØ Ö Ó ÙÖÚ C f C g Ü ÑÔÐÓ ½º¾º º ÓÒ Ö f(x,y) = x g(x,y) = y 2 x 3 +xº ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ö Ó ÒØÖ Ø ÙÖÚ ÒÓ ÔÓÒØÓ P = (0,0) ÔÓÖ (C f,c g ) P = (x,y 2 x 3 +x) P = (x,y 2 x(x 2 1)) P = (x,y 2 ) P = (x,y) P +(x,y) P = 1+1 = 2 ØÓ Ö Ø x = 0 Ø Ò ÒØ ÙÖÚ y 2 = x 3 x ÒÓ ÔÓÒØÓ P = (0,0)º Ë Ñ C f C g ÙÖÚ ÔÖÓ Ø Ú P ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÒÓÒØÖ Ñ V 3 ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓµº Ë Ñ ÙÖÚ ÔÐ Ò Ò C f C g Ò Ô Ð ÙÒ f(x,y) = f(x,y,1) g(x,y) = g(x,y,1), Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë P = [x : y : 1] C f C g ÒØÓ P = (x,y) C f C g º ÓÖÑ ÒØ Ö Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÔÖÓ Ø ÚÓ Ø Ò Ô Ð ÒØ Ö Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ñ Ù ÒØ (C f,c g ) P := (C f,c g ) P, ÓÒ ÒØ Ö Ó Ö Ø Ø Ò Ô Ð ÔÖÓÔÓ Ó ½º¾º ÓÒ ØÖÙ Ñ Ð Ö ÔÓ Ñ Ö Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ò V 1 V 2 º Ò ÐÑ ÒØ ÔÓ ÑÓ ÒÙÒ Ö Ó Ì ÓÖ Ñ ½º¾º Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙصº Ë Ñ C f : f(x,y,z) = 0, C g : g(x,y,z) = 0 Ù ÙÖÚ ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑÙÒ Ö Ù m n Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÒØÓ P C f C g (C f,c g ) P = mn. ÑÓÒ ØÖ Óº Î Ö ½ Ô Ò Ó º

22 ½½ ½º ÙÖÚ Ð ÔØ Æ Ø Ó Ò ÔÖ Ü Ñ µ K ÒÓØ ÙÑ ÓÖÔÓ Ö Ø Ö Ø Ö ÒØ ¾ º Ò Ó ½º º½º ÍÑ ÙÖÚ Ð ÔØ E Ó Ö K ÙÑ ÙÖÚ ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú ÒÓ Ò ÙÐ Ö Ò Ó Ö K Ö Ù ÙÒØ Ñ ÒØ ÓÑ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ð O Eº Ò Ó ½º º¾º ÍÑ ÔÓÒØÓ P Ó Ö ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ E ØÓ ÔÓÒØÓ Ò ÜÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ö Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ ÓÑ ÙÖÚ E ÒÓ ÔÓÒØÓ P 3º ÔÖÓÔÓ Ó Ù Ö ÑÓ ØÖ ÓÖÑ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ º ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º Ù ÒØ Ò ÙÖÚ Ð ÔØ Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ µ Ç Ñ ÑÓ ÕÙ Ò Ó ½º º½ ÕÙ O ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÜÓº µ ÍÑ ÙÖÚ ÔÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú ÒÓ Ò ÙÐ Ö E Ó Ö K ÓÖÑ y 2 z +a 1 xyz +a 3 yz 2 = x 3 +a 2 x 2 z +a 4 xz 2 +a 5 z 3 Ù Ó Ó ÒØ ØÓ Ñ Kº ÑÓÒ ØÖ Óº Î Ö ¾ Ô ¹ º È ÐÓ Ø ÓÖ Ñ ÞÓÙØ Ù ÙÖÚ ÔÖÓ Ø Ú ÒØ Ö Ø Ñ Ñ ÔÓÒØÓ ÓÒØ Ò Ó ÑÙÐØ ÔÐ º ÍÑ Ø ÓÖ Ñ ÑÙ ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ö ÕÙ Ð Ö ÑÓ ÔÖÓÚ ÙÑ Ó Ô Óµ Ò Ø ÖØ Ó Ó Ø ÓÖ Ñ ÅÓÖ ÐÐ Ì ÓÖ Ñ º º µ ÕÙ Þ ÕÙ Ó ÖÙÔÓ Ó ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ó Ö ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ ÙÑ ÖÙÔÓ Ò Ø Ñ ÒØ Ö Óº È Ö ÑÓÒ ØÖ Ö Ó Ì ÓÖ Ñ ÅÓÖ ÐÐ ÔÖ ÑÓ Ò Ö ÙÑ Ð ÖÙÔÓ Ó Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓÒØÓ ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ º È Ö Ø Ð Ò ÑÓ ÙÑ ÓÔ Ö Ó ÕÙ ÒÓØ Ö ÑÓ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ Ô ÖØ Ö Ó ÓÙØÖÓ º Ø ÓÔ Ö Ó Ö Ò ÓÖÑ ÓÑ ØÖ º Ó Ó ÔÓÒØÓ P Q Ò ÙÖÚ Ð ÔØ ÓÒ Ö Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Ø Ó ÔÓÒØÓ º ÈÓÖ ÞÓÙØ Ø Ö Ø ÒØ Ö Ø ÙÖÚ Ñ ÙÑ Ø Ö ÖÓ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÒÓØ Ö ÑÓ P Qº Ø ÓÔ Ö Ó Ò ÒÓ ÙÑ Ð ÖÙÔÓ ÔÓ ÒÓ ÔÓ Ù Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓº P Q P*Q P P*P ÙÖ ½º ÓÑÔÓ Ó ÔÓÒØÓ Ñ ÙÑ ÆÓ ÒØ ÒØÓ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÙÑ Ð ÖÙÔÓ ÓÑ Ù ÒØ Ö Ö ÌÓÑ Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ P Q Ò Ó P Q Ó Ø Ö ÖÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÓÑ º Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ O

23 ½¾ P Q P*Q P+Q ÙÖ ½º Ä ÖÙÔÓ Ñ ÙÑ º ÔÓÖ P Q ÒØ Ö Ø Ñ ÙÑ ÒÓÚÓ ÔÓÒØÓ Ó ÕÙ Ð Ö ÒÓØ Ó ÔÓÖ P +Qº Ñ ÔÓÖ Ò Ó P +Q = O (P Q) Ì ÓÖ Ñ ½º º º Ë E ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ Ó Ö ÙÑ ÓÖÔÓ K ÓÑ ÙÑ ÔÓÒØÓ O E(K)º ÒØÓ E(K) ÙÑ ÖÙÔÓ Ð ÒÓ ÓÑ Ð Ò Ñ º ÑÓÒ ØÖ Óº Ø ÓÔ Ö Ó Ð Ö Ñ ÒØ ÓÑÙØ Ø Ú ÔÓ Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ P Q Ñ Ñ ÕÙ Ô ÔÓÖ Q P º ÈÖÓÚ ÑÓ ÕÙ P +O = P º Ë l Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ P Oº ÈÓÖ ÞÓÙØ Ü Ø ÙÑ Ø Ö ÖÓ ÔÓÒØÓ P O Ò ÒØ Ö Ó E lº ÆÓØ ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ O ÔÓÖ P O ÔÖ ÔÖ Ö Ø l Ó Ø Ö ÖÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ó ÔÓÒØÓ P P +O = P ÓÙ O Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ð ÖÙÔÓº P+O=P P*O ÙÖ ½º Î Ö Ó ÕÙ O Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓº ÓÖ ÑÓ Ó ÒÚ Ö Ó Q ÙÑ ÔÓÒØÓ Qº Ë l Ö Ø Ø Ò ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ O S Ó Ø Ö ÖÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó E l Ó ÖÚ ÕÙ O Ø Þ µ ÔÖÓÔÓ Ó ½º º ÒØÓ S = Oµº Ë r Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Q Sº ÒØÓ Q Ö Ó Ø Ö ÖÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó E l ÔÓ Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Q Q Ö Ø r ÐÓ Ó Q ( Q) = Sº Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ O S Ö Ø l ÕÙ Ø Ò ÒØ E ÒÓ ÔÓÒØÓ O ØÓ O S = Oº Ñ Q+( Q) = Oº ÈÓÖ Ñ ÑÓ ØÖ ÑÓ ÕÙ Ó Ø Ú º Ë Ñ P Q R ØÖ ÔÓÒØÓ Ó Ö ÙÖÚ Eº ÈÖÓÚ Ö ÕÙ (P +Q) R = P (Q+R) Ù ÒØ Ô Ö ÔÖÓÚ Ö ÕÙ (P +Q)+R = P +(Q+R)º Ë Ñ l 1 Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ P Q P Q r 1 Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ O P Q P +Qº Ë Ñ l 2 Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ P +Q R (P +Q) R r 2 Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Q R Q Rº Ë Ñ l 3 Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖO Q R Q+R r 3 Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖP Q+R P (Q+R)º Æ ÙÖ 1.9 Ö Ø r 1,r 2 r 3 ØÓ Ò ÔÓÖ ÙÑ ØÖ Ó ÓÒØ ÒÙÓ Ö Ø l 1,l 2 l 3 ÔÓÖ ÙÑ ØÖ ÓÓ ÔÓÒØ Ð Óº

24 ½ Q S -Q ÙÖ ½º ÁÒÚ Ö Ó Q ÙÑ ÔÓÒØÓ Q ÓÒ Ö Ø Ñ Ñ E l Ò Ô Ð ÙÒ Ó l 1,l 2 l 3 E r Ò Ô Ð ÙÒ Ó r 1,r 2 r 3 º ÆÓØ ÕÙ E E l ÒØ Ö Ø Ñ ÒÓ ÔÓÒØÓ P Q P Q R (P + Q) R O Q R Q+Rº ÆÓØ Ø Ñ Ñ ÕÙ E E r ÒØ Ö Ø Ñ ÒÓ ÔÓÒØÓ O P Q P +Q Q R Q R Q + R P P (Q + R)º Ñ E E l E E r ÔÓ Ù Ñ Ó ØÓ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙѺ ÄÓ Ó Ô Ð ÔÖÓÔÓ Ó ½º º Ù Ö Ó ÒÓÒÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ú Ö Ó Ñ ÑÓº Á ØÓ (P +Q) R = P (Q+R)º P R Q Q*R P*Q Q+R P+Q (P+Q)*R=P*(Q+R) ÙÖ ½º Î Ö Ò Ó ÕÙ Ð Ó Ø Ú ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º Ë Ù ÙÖÚ Ñ P 2 (K) ÒØ Ö Ø Ñ Ñ Ü Ø Ñ ÒØ ÒÓÚ ÔÓÒ¹ ØÓ ÒØÓ ØÓ ÙÖÚ ÕÙ Ô ÔÓÖ Ó ØÓ ÔÓÒØÓ Ø Ñ Ñ Ô Ö Ô ÐÓ ÒÓÒÓ ÔÓÒØÓº ÑÓÒ ØÖ Óº Ë Ñ C f C g Ù º È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙØ Ð ÒØ Ö Ø Ñ Ñ ÒÓÚ ÔÓÒØÓ º Ë Ñ Ð P 1,...,P 9 h ÙÑ ÕÙ Ô Ô ÐÓ Ó ØÓ ÔÓÒØÓ P 1,...,P 8 º ÉÙ Ö ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ P 9 hº ÍÑ ÓÖÑ f(x,y,z) = a 1 x 3 + a 2 x 2 y + + a 10 z 3 Ø Ñ ½¼ Ó ÒØ a 1,...,a 10 º ÓÒ Ó C f Ô ÔÓÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ P = (x : y : z) ÙÑ ÓÒ Ó Ð Ò Ö Ñ a 1,...,a 10 ÔÓÖ a 1 x 3 +a 2 x 2 y + +a 10 z 3 = 0.

25 ½ Ç Ó ØÓ ÔÓÒØÓ P 1 = (x 1 : y 1 : z 1 ),...,P 8 = (x 8 : y 8 : z 8 ), ØÓ Ñ ÔÓ Ó Ö Ð Ó Ú ØÓÖ (x 3 i,x3 i y i,...,zi 3 ) i = 1,...,8 Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò¹ ÒØ º ÓÒ Ö Ω = { ÕÙ Ô Ñ ÔÓÖ È 1,...,P 8 }. ÒØÓ dimω = 2 ÓÑÓ Ô Ó Ú ØÓÖ Ð Ó Ö Kº Ë C f C g ÒØÓ f g Ó ÄºÁ Ω = f,g º ÒØÓ h = λf +µg ÓÑ λ,µ K º ÓÑÓ f(p 9 ) = 0 g(p 9 ) = 0 ÒØÓ h(p 9 ) = 0º ÉÙ Ò Ó Ó P i s ÒÓ ØÓ Ñ ÔÓ Ó Ö Ð ÔÖÓÚ ÓÑÔÐ Ø Ô ÐÓ ØÙ Ó Ó Ó Ú Ö ÁÁÁ º¾ºµ ½º ÓÖÑ ÆÓÖÑ Ð Ï Ö ØÖ ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ ÈÖÓÚ Ö ÑÓ Ó Ø ÓÖ Ñ ÅÓÖ ÐÐ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÖÑÙÐ ÜÔÐ Ø Ô Ö Ð ÖÙÔÓº È Ö ØÓÖÒ Ö ÖÑÙÐ ØÓ ÑÔÐ ÕÙ ÒØÓ ÔÓ Ú Ð ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÕÙ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÑ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ð ÔÓ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ñ ÙÑ ÒÓÚ ÓÖÑ Ô Ð Ø ÓÖÑ ÆÓÖÑ Ð Ï Ö ØÖ º ÆÓ Ö ÑÓ ÙÑ ÔÖÓÚ ÓÑÔÐ Ø ØÓ Ñ Ñ ÙÑ Ò Ó ÔÖÓÚ º Ð Ñ Ó Ð ÓÖ Ö ÑÓ ÙÑ Ü ÑÔÐÓ Ô Ó Ô Ö ÐÙ ØÖ Ö Ø ÓÖ Ö Ðº Ñ Ù Ö ÑÓ Ö ØÖ Ò Ö ÒÓ Ø ÒÓ Ô Ö Ó ÓÖÑ ÆÓÖÑ Ð Ï Ö ØÖ Ó ÕÙ Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ñ ÙÑ ÕÙ Ó Ó Ø ÔÓ y 2 = 4x 3 b 2 x b 3 º ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ ÙÑ ÕÙ Ó ÙÑ ÔÓÙÓ Ñ Ö Ð ÕÙ Ñ Ö ÑÓ ÓÖÑ Ï Ö ØÖ º Ë E ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ Ó Ö K ÔÓÖ E : y 2 z +a 1 xyz +a 2 yz 2 = x 3 +a 2 x 2 z +a 4 xz 2 +a 6 z 3. Þ Ò Ó ÙÑ Ù Ø ØÙ Ó Ú Ö Ú Ñ ÕÙ x = x y = y a 3 2 x z = z Ð Ñ Ò ÑÓ Ó Ø ÖÑÓ xyz ÕÙ Ó Ñ º Þ Ò Ó ÙÑ ÒÓÚ Ù Ø ØÙ Ó Ú Ö Ú ÓÒ x = x + a 2 3 z y = y a 3 2 z z = z Ð Ñ Ò Ö ÑÓ Ó Ø ÖÑÓ y Ö ÑÓ Ñ ÙÑ ÕÙ Ó ÓÖÑ y 2 z = x 3 +ax 2 z +bxz 2 +cz 3. ÌÖ Ð Ò Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ z = 1 Ø Ö ÑÓ ÕÙ Ó y 2 = x 3 +ax 2 +bx+c, ÕÙ Ö ÕÙ Ó Ï Ö ØÖ Ù Ò Ø ØÖ Ð Óº Ì ÓÖ Ñ ½º º½º Ë K ÙÑ ÓÖÔÓ Ö Ø Ö Ø Ö ÒØ ¾ º ÙÖÚ Ð ÔØ E ÓÑÓÖ ÙÑ ÙÖÚ ÓÖÑ E(a,b,c) : y 2 z = x 3 +ax 2 z +bxz 2 +cz 3. ÑÓÒ ØÖ Óº ÓÒØ Ø Ñ ÔÖÓÚ Ñ Ó Ø ÓÖ Ñ º

26 ½ ½º ÖÑÙÐ ÜÔÐ Ø Ô Ö Ä ÖÙÔÓ ÆÓ Ø ÓÖ Ñ ½º º½ Ó P Q Ô ÖØ Ò ÒØ E(K) Ò Ø ÑÓ ÙÑ ÔÖÓ Ó ÓÑ ØÖ Ó Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ó ÔÓÒØÓ P+Qº ÆÓ Ö ÒØÓ ÔÓ Ú Ð ÔÖÓÚ Ö Ø Ó Ø Ú Ö Ø Ñ ÒØ ØÙ Ò Ó ÓÓÖ Ò Ó ÔÓÒØÓ P +Q Ñ ÙÒÓ ÓÓÖ Ò P Q Ë Ñ ØÓ ÔÓ Ú Ðº ÓÒ Ö E ÙÖÚ Ð ÔØ Ò ÔÓÖ y 2 z = x 3 +ax 2 z +bxz 2 +cz 3. ÆÓ ÔÐ ÒÓ Ñ z = 1 Ø ÙÖÚ Ø Ò ÔÓÖ y 2 = x 3 +ax 2 +bx+c. ËÙ Ø ØÙ Ò Ó z = 0 Ò ÕÙ Ó ÓÖ Ò Ð Ó Ø ÑÓ x 3 = 0 ÓÙ [0 : 1 : 0] ÔÓ Ù ÑÙÐØ ÔÐ ¹ 3 Ò ÒØ Ö Ó E z = 0. Ñ Ø ÔÓÒØÓ Ò ÜÓ º ÑÓ Ó Ô Ö ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ Ò ÓÖÑ Ï Ö ØÖ Ó ÔÓÒØÓ O Ó ÔÓÒØÓ [0 : 1 : 0] ÕÙ ÒÓÒØÖ ÒÓ Ò Ò ØÓ Ñ Ö Ð Ó Ó ÔÐ ÒÓ Ñ z = 1µº ÈÓ ÑÓ ÒØÓ ÖÑ Ö ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓÒØÓ ÙÖÚ Ð ÔØ E Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ô Ö (x,y) Ø Þ Ò Ó y 2 = x 3 +ax 2 +bx+c ÙÒØ Ñ ÒØ ÓÑ Ó ÔÓÒØÓ ÒÓ Ò Ò ØÓ Oº ÙÖ 1.11 ÐÙ ØÖ Ó ÔÖÓ Ó Ó Ó ÔÓÒØÓ P Q Ó Ö ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ Ò ÓÖÑ Ï Ö ØÖ Ú ØÓ ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ó ÔÓÒØÓ O ÙÑ Ö Ø Ú ÖØ Ð ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ñº Î ÑÓ ÒØÓ Ø ÖÑ Ò Ö ÓÓÖ Ò P 1 + P 2 Ô ÖØ Ö ÓÓÖ Ò P 1 P 2 Ô ÖØ Ò ÒØ E(K)º Ë Ñ P 1 = (x 1,y 1 ) P 2 = (x 2,y 2 ) ÔÓÒØÓ Ò E P 1 P 2 = (x 3,y 3 )º ÒØÓ P 1 +P 2 = (x 3, y 3 )º Q=(x,y) y X -Q=(x,-y) ÙÖ ½º½¼ Ç ÒÚ Ö Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò Ï Ö ØÖ º

27 ½ y P =(x,y ) P =(x,y ) P *P =(x,y ) X P +P =(x,-y ) ÙÖ ½º½½ Ä Ó Ò Ï Ö ØÖ º ÙÑ Ö ÑÓ ÕÙ P 1 = (x 1,y 1 ) P 2 = (x 2,y 2 ) Ó Ó ÐÙÐ Ö ÑÓ (x 3,y 3 )º Ç ÖÚ ÕÙ ÕÙ Ó Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ P 1 P 2 Ø Ñ ÓÑÓ ÕÙ Ó y = λx+υ ÓÒ λ = y 2 y 1 x 2 x 1 υ = y 1 λx 1 = y 2 λx 2. È ÐÓ Ø ÓÖ Ñ ÞÓÙØ Ø Ö Ø ÓÖØ ÒÓ ÔÓÒØÓ P 1 P 2 P 1 P 2 º È Ö Ó Ø ÖÑÓ Ø Ø Ö ÖÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ø Ù Ø ØÙ Ö ÕÙ Ó Ö Ø Ò y 2 = (λx+υ) 2 = x 3 +ax 2 +bx+c. λ 2 x 2 +2λxυ +υ 2 = x 3 +ax 2 +bx+c x 3 +(a λ 2 )x 2 +(b 2λυ)x+(c υ 2 ) = 0. Ñ Ó Ø ÑÓ ÙÑ Ñ x Ù Ö Þ Ó x 1 x 2 x 3 Ó ÔÓÒØÓ P 1 P 2 P 1 P 2 Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÄÓ Ó x 3 +(a λ 2 )x 2 +(b 2λυ)x+(c υ 2 ) = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) x 3 +(a λ 2 )x 2 +(b 2λυ)x+(c υ 2 ) = x 3 +( x 1 x 2 x 3 )x 2 +(x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 2 x 3 )x x 1 x 2 x 3. Á Ù Ð Ò Ó Ó Ó ÒØ Ó Ø ÖÑÓ x 2 Ñ Ñ Ó Ó Ð Ó ÒÓÒØÖ ÑÓ ÕÙ (a λ 2 ) = x 1 x 2 x 3 x 3 = λ 2 a x 1 x 2. ÈÓÖØ ÒØÓ x 3 = λ 2 a x 1 x 2 y 3 = λx 3 +υ, ÕÙ Ó ÖÑÙÐ Ô Ö Ó ÐÙÐÓ P 1 +P 2 = (x 3, y 3 )º Î ÑÓ ÙÑ Ü ÑÔÐÓº Ü ÑÔÐÓ ½º º½º Ë ÙÖÚ Ð ÔØ y 2 = x Ó ÔÓÒØÓ P 1 = ( 1,4) P 2 = (2,5) Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÖÚ º ÐÙÐ Ö ÑÓ P 1 +P 2 ÙØ Ð Þ Ò Ó ÖÑÙÐ ÒØ Ö ÓÖ º

28 ½ ÓÑÓ ÒØÓ ÒØÓ ÈÓÖØ ÒØÓ λ = y 2 y 1 x 2 x 1 = ( 1) = 1 3 υ = y 1 λx 1 = y 2 λx 2 = 13 3, x 3 = λ 2 a x 1 x 2 = y 3 = λx 3 +υ = 1 3 y = 1 13 x P 1 +P 2 = (x 3, y 3 ) = ( ) ( 1) (2) = ( 8 ) = ( 8 ) 9, ÖÑÙÐ ÙØ Ð Þ Ô Ö Ó ÐÙÐÓ P 1 + P 2 ÒÚÓÐÚ Ñ ÒÐ Ò Ó Ö Ø ÕÙ Ô Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ P 1 P 2 Ö λº Ó Ó Ñ ÕÙ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ó Ò Ñ Æ Ø Ó ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ø ÑÓ P 0 = (x 0,y 0 ) ÒÓÒØÖ Ö ÑÓ P 0 +P 0 = 2P 0 º ÈÖ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö Ö Ø Ø Ò ÒØ ÙÖÚ Ô Ò Ó ÔÓÖ P 0 º ÓÑÓ ÓÓÖ Ò x y Ó Ù ÒÓ ÔÓ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö Ñ Ñ ÓÖÑÙÐ Ô Ö λº Ë Ò Ó Ñ Ô ÖØ Ö Ö Ð Ó y 2 = f(x) ÒÓÒØÖ ÑÓ ÔÓÖ Ö Ú Ó ÕÙ λ = dy dx = f (x 0 ) 2y 0, ÕÙ ÖÑÙÐ λ ÕÙ Ò Ó ÕÙ Ö ÑÓ ÙÔÐ Ö ÙÑ ÔÓÒØÓº ÓÒÚ Ò ÒØ Ø Ö ÙÑ ÜÔÖ Ó ÜÔÐ Ø Ô Ö 2P Ñ Ø ÖÑÓ ÓÓÖ Ò P = (x,y)º È Ö Ó Ù Ø ØÙ Ö ÑÓ λ = dy dx = f (x) 2y Ò ÖÑÙÐ ÒØ Ö ÓÖ ÓÙ x 3 = λ 2 a x 1 x 2 x 3 = λ 2 a 2x ( ) 2 f (x) x 3 = a 2x 2y ( ) (3x 2 +2ax+b) 2 x 3 = a 2x 4y 2 x 3 = (9x4 +12ax 3 +6bx 2 +4abx+b 2 )+( 8x 4 12ax 3 4a 2 x 2 8bx 2 4abx 4cx 4ac) 4x 3 +4ax 2 +4bx+4c x 3 = x4 2bx 2 8cx+b 2 4ac. 4x 3 +4ax 2 +4bx+4c Ø ÖÑÙÐ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö x 2P º ÆÓØ ÕÙ y 3 = f (x) 2y x 3 +υ, ÖÑÙÐ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö ÓÓÖ Ò y 2P º

29 ½ ÅÙ Ø Ú Þ Ø ÖÑÙÐ Ó Ñ ÖÑÙÐ ÙÔÐ Ó Ó ÔÓÒØÓº Ø Ó ÖÑÙÐ ÔÐ Ú Ó ÔÓÒØÓ Ó Ö ÙÑ ÕÙ Ò Ó Ñ Ñ Ø Ò ÓÖÑ ÒÓÖÑ Ð Ï Ö ØÖ º Í Ö ÑÓ Ø ÖÑÙÐ Ô Ö ÔÖÓÚ Ö ÑÙ ØÓ ØÓ Ó Ö ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ñ ÙÖÚ ÒÐÙ Ò Ó Ó Ø ÓÖ Ñ ÅÓÖ Ðк

30 È ÌÍÄÇ ¾ ÈÇÆÌÇË ÇÊ Å ÁÆÁÌ ÆÓ ÔÖ Ü ÑÓ Ô ØÙÐÓ ØÙ Ö ÑÓ ÙÖÚ Ð ÔØ Ò Ó Ö Ó ÓÖÔÓ Ó Ö ÓÒ º Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ P ÙÑ ÖÙÔÓ Ø Ñ ÓÖ Ñ m mp = } P +P + +P {{} = O, m vezes Ñ np O Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ 1 n < mº Ó m Ü Ø ÒØÓ P Ø Ñ ÓÖ Ñ Ò Ø ÒÓ P ÓÖ Ñ Ò Ò Ø º Æ Ø Ô ØÙÐÓ Ö ÑÓ ÙÑ ØÙ Ó Ó Ö Ó ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñ Ò Ø E(Q)º ÙÖÚ Ð ÔØ E Ö ÔÓÖ E : y 2 z = x 3 +ax 2 z +bxz 2 +cz 3, ÓÑ a,b,c Z = 4a 3 c+a 2 b 2 +18abc 4b 3 27c 2 0º Ç Ó ÑÓ ÐÓ Ñ Ø ÙÖÚ y 2 = x 3 +ax 2 +bx+c. ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ E(Q) tors Ó Ù ÖÙÔÓ ØÓÖÓ E(Q) ÓÙ Ó ÖÙÔÓ Ó ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ ÓÖ Ñ Ò Ø E[m](Q) Ó Ù ÖÙÔÓ E(Q) ÔÓÒØÓ P Ø ÕÙ mp = Oº Ç ÖÚ ÕÙ E(Q) tors = m 1 E[m](Q). Ë P = (x,y) ÒØÓ Ù ÓÓÖ Ò Ò Ó ÒÓØ ÔÓÖ x(p) y(p)º ¾º½ ÈÓÒØÓ ÇÖ Ñ ¾ ÇÖ Ñ ÈÖÓÔÓ Ó ¾º½º½º Ë E ÙÑ ÙÖÚ ÒÓ Ò ÙÐ Ö Ò ÔÓÖ E : y 2 = x 3 +ax 2 +bx+c. ÒØÓ ½

31 ¾¼ µ ÍÑ ÔÓÒØÓ P = (x,y) O Ñ E Ø Ñ ÓÖ Ñ ¾ ÓÑ ÒØ y = 0º µ E Ø Ñ Ü Ø Ñ ÒØ ØÖ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñ ¾º Ø ÔÓÒØÓ ÙÒØ Ñ ÒØ ÓÑ Ó ÔÓÒØÓ O ÓÖÑ Ñ Ó ÖÙÔÓ E[2] ÓÑÓÖ Ó Z/2Z Z/2Z º ÑÓÒ ØÖ Óº µ ÈÓÖ Ò Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ P = (x,y) Ñ E ÓÖ Ñ ¾ Ø Ð ÕÙ 2P = O P +P = O P +O = P P = P (x,y) = (x, y) y = 0, ÓÑÓ ÕÙ Ö ÑÓ º µ ÈÖ Ñ ÖÓ ÔÖÓÙÖ Ö ÑÓ ÕÙ ÒØÓ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñ ¾ ÙÖÚ E ÔÓ Ù º Ó Ø Ñ a) Ø ÑÓ ÕÙ P = (x,y) O E Ø Ñ ÓÖ Ñ ¾ ÒØÓy = 0 Ó ÑÔÐ ÕÙ x 3 +ax 2 +bx+c = 0º Ñ Ø ÕÙ Ó Ø Ñ ØÖ Ö Þ Ñ Qº ÓÑÓ f ÒÓ Ò ÙÐ Ö Ø ØÖ Ö Þ Ó Ø ÒØ º ÄÓ Ó Ü Ø Ñ ØÖ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñ ¾º ÑÓ ÓE[2](Q) = {O,P 1,P 2,P 3 } ÒÓ ÕÙ Ð P i Ö ÒØ Oº ÓÑÓ Z/2Z Z/2Z Ó Ò Ó ÖÙÔÓ ÕÙ ØÖÓ Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ù Ð Ñ ÒØÓ ÓÖ Ñ ØÓ Ù Ø ÓÖ Ó ÖÙÔÓ µ ÒØÓ E[2] = {O,P 1,P 2,P 3 } = Z/2Z Z/2Z. ÈÖÓÔÓ Ó ¾º½º¾º Ë E ÙÑ ÙÖÚ ÒÓ Ò ÙÐ Ö Ò ÔÓÖ E : y 2 = x 3 +ax 2 +bx+c. ÒØÓ µ ÍÑ ÔÓÒØÓ P = (x,y) O Ñ E Ø Ñ ÓÖ Ñ ÓÑ ÒØ x Ö Þ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó 3x 4 +4ax 3 +6bx 2 +12cx+(4ac b 2 ) = 0. µ E Ø Ñ Ü Ø Ñ ÒØ Ó ØÓ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñ º Ø ÔÓÒØÓ ÙÒØ Ñ ÒØ ÓÑ Ó ÔÓÒØÓ O ÓÖÑ Ñ Ó ÖÙÔÓ E[3] ÓÑÓÖ Ó Z/3Z Z/3Z º ÑÓÒ ØÖ Óº µ Ë P = (x,y) O Ñ E ÒØÓ 3P = O 2P = P x(2p) = x( P) = x(p) ¾º½µ Ô Ð ÖÑÙÐ ÙÔÐ Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ Ø ÑÓ ÕÙ x 4 2bx 2 8cx+b 2 4ac 4x 3 +4ax 2 +4bx+4c = x, ÕÙ ÕÙ Ú Ð ÒØ ψ(x) = 3x 4 +4ax 3 +6bx 2 +12cx+(4ac b 2 ) = 0.

32 ¾½ Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ x Ö Þ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ψ(x) = 3x 4 +4ax 3 +6bx 2 +12cx+(4ac b 2 ) = 0. Ø ÑÓ ÕÙ x 4 2bx 2 8cx+b 2 4ac = x, 4x 3 +4ax 2 +4bx+4c ÓÙ x(2p) = x(p) = x( P)º ÈÓÖØ ÒØÓ ÔÓÖ ¾º½µ Ù ÕÙ P Ø Ñ ÓÖ Ñ ØÖ º µ Ë P = (x,y) ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñ 3º È ÐÓ Ø Ñ µ Ø ÑÓ ÕÙ ψ(x) = 0º ØÖ Ú ÐÙÐÓ ÑÔÐ Ó ÖÚ ¹ ÕÙ ψ (x) = 12f(x) ψ(x) = 2f(x)f (x) f (x) 2 = 0. ÒØÓ ψ Ø Ñ Ö Þ Ñ ÐØ ÔÐ ÓÑ ÒØ 12f(x) = 0 2f(x)f (x) f (x) 2 = 0º Á Ó ÑÔÐ ÕÙ f(x) = f (x) = 0 Ó ÕÙ ÑÔÓ Ú Ðº Ñ ψ ÔÓ Ù ÕÙ ØÖÓ Ö Þ Ø ÒØ º Ë Ñ β 1 β 2 β 3 β 4 Ø Ö Þ ÒØÓ Ô Ö Ú ÐÓÖ x Ø ÑÓ Ó Ú ÐÓÖ Ô Ö y Ñ ÒÓ º È Ö Ö Þ x Ü Ø Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ó Ö º ÄÓ Ó ÙÖÚ Ø Ñ Ü Ø Ñ ÒØ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñ ØÖ º ÑÓ Ó E[3] = {O,P 1,P 2,...P 8 } ÓÒ P i Ö ÒØ Oº ÓÑÓ Z/3Z Z/3Z Ó Ò Ó ÖÙÔÓ Ð ÒÓµ Ñ ÒÓ ÓÖÑÓÖ ÑÓ ÓÑ ÒÓÚ Ð Ñ ÒØÓ Ø ÕÙ Ð Ñ ÒØÓ Ø Ñ ÓÖ Ñ ÒØÓ E[3] = {O,P 1,P 2,...P 8 } = Z/3Z Z/3Z. ¾º¾ Ì ÓÖ Ñ Æ ÐйÄÙØÞ Ó Ì ÓÖ Ñ Å ÞÙÖ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º½ Ì ÓÖ Ñ Æ ÐйÄÙØÞµº Ë Ñ a,b,c Z E ÙÖÚ Ð ÔØ Ò ÔÓÖ y 2 = f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö f(x) ÒÓ ÔÓ Ù Ö Þ Ñ ÐØ ÔÐ º Ë Ó Ö Ñ Ò ÒØ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ó f(x) = 4a 3 c+a 2 b 2 +18abc 4b 3 27c 2 0. Ë P = (x,y) ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ð ÓÖ Ñ Ò Ø Ó Ö ÙÖÚ ÒØÓ x y Ó ÒØ ÖÓ Ø ÑÓ ÕÙ y = 0 Ò Ø Ó P ÓÖ Ñ 2µ ÓÙ y 2 Ú º

33 ¾¾ ÑÓÒ ØÖ Óº Î Ö ÈÖÓÔÓ ¾º¾º¾ ¾º¾º º Ç Ø ÓÖ Ñ ÒÓ ÓÖÒ ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ ØÓÖÓ Ó Ö ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ E Ò ÔÓÖ y 2 = x 3 +ax 2 +bx+cº È Ö y Z Ø Þ Ò Ó y = 0 ÓÙ y 2 Ú ¹ Ö Ö Þ ÒØ Ö x 3 +ax 2 +bx+c y 2 = 0 ÙÑ Ö Þ ÒØ Ö Ú c y 2 µ ÔÓ Ú ¹ Ú Ö Ö P = [x : y : 1] E(Q) ÙÑ ÔÓÒØÓ ØÓÖÓº Ö ÔÖÓ Ó Ø ÓÖ Ñ ÒÓ Ú Ð ÙÑ ÔÓÒØÓ P = [x : y : 1] E(Q) ÔÓ Ø Þ Ö ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ñ Ñ ÕÙ Ð ÙÑ ÔÓÒØÓ ØÓÖÓº Ç Ø ÓÖ Ñ ÔÓ ÑÙ Ø Ú Þ Ö Ù Ó Ô Ö ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ P E(Q) ÓÖ Ñ Ò Ø º ÅÓ ØÖ Ö ÑÓ ÙÑ Ü ÑÔÐÓ Ø ÔÐ Ó ÒÓ ÐØ ÑÓ Ô ØÙÐÓº Ç Ø ÓÖ Ñ Æ ÐйÄÙØÞ Ù Ó Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ö ÙÐØ Ó ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º¾º Ë P = [x 1 : y 1 : 1] E(Q)º Ë P 2P Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÒØ Ö ÕÙ Ò Ó Ø Ð ÑÓ z = 1µ ÒØÓ y 1 = 0 ÓÙ y 2 1 º ÑÓÒ ØÖ Óº Ë Ñ P = [x 1 : y 1 : 1] 2P = [x 2 : y 2 : 1] Ñ E(Q) ÓÑ ÓÓÖ Ò ÒØ Ö ÙÔÓÒ Ò y 1 0º È Ð ÖÑÙÐ ÙÔÐ Ó Ø ÑÓ ÑÓ x 2 = x4 1 2bx2 1 8cx 1 +b 2 4ac 4x ax bx 1 +4c f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c, g(x) = x 4 2bx 2 8cx+b 2 4ac.. Ñ ÓÑÓ y 2 1 = f(x 1) ÒØÓ x 2 = g(x 1) 4f(x 1 ) Z. y 2 1 f(x 1 ) y 2 1 g(x 1 ). Ù ÒØ ÒØ (3x 3 ax 2 5bx+2ab 27c)f(x) (3x 2 +2ax+4b a 2 )g(x) = 4a 3 c+a 2 b 2 +18abc 4b 3 27c 2. ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ y1 2 º Ç ÖÚ Ó ¾º¾º º Ç ÔÓÐ ÒÑ Ó 3x 3 ax 2 5bx+2ab 27c 3x 2 +2ax+4b a 2, ÓÖ Ñ Ó Ø Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ø Ñ Ð Ö ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð Å Ü Ñ º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º º Ë P = [x : y : 1] E(Q) tors ÒØÓ x,y Zº ÑÓÒ ØÖ Óº Î Ö ½ Ô ØÙÐÓ ÁÁ Ë Ó º

34 ¾ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Ì ÓÖ Ñ Å ÞÙÖµº Ë E ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ Ò Ó Ö Ó Ö ÓÒ ÙÔÓÒ ÕÙ E(Q) ÓÒØ Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñ mº ÒØÓ 1 m 10 ÓÙ m = 12. Å ÔÖ Ñ ÒØ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñ Ò Ø Ñ E(Q) ÓÖÑ Ñ ÙÑ ÖÙÔÓ ÓÑÓÖ Ó ÙÑ Ó ÖÙÔÓ Ù ÒØ µ Z/nZ ÓÒ 1 n 10 ÓÙ n = 12º µ Z/2Z Z/2nZ ÓÒ 1 n 4º ÑÓÒ ØÖ Óº Î Ö º

35 È ÌÍÄÇ Ç Ì ÇÊ Å ÅÇÊ ÄÄ Ç Ó Ø ÚÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ø Ô ØÙÐÓ ÑÓÒ ØÖ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ÅÓÖ ÐÐ Ó ÕÙ Ð ÖÑ ÕÙ Ó ÖÙÔÓ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ ÙÑ ÙÖÚ Ð ÔØ Ò Ø Ñ ÒØ Ö Óº Ø Ø ÓÖ Ñ Ó ÓÒ ØÙÖ Ó ÔÖ Ñ Ö Ñ ÒØ ÔÓÖ ÈÓ Ò Ö Ñ ½ ¼½ ÑÓÒ ØÖ Ó Ñ ½ ¾¾ ÔÓÖ ÄÓÙ ÅÓÖ Ðк º½ ÐØÙÖ ÙÑ ÈÓÒØÓ Ò Ó º½º½º Ë ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð x = m mdc(m,n) = 1º Ò ÑÓ ÐØÙÖ H(x) n ÓÑÓ Ò Ó Ó Ñ Ü ÑÓ Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÓÙ ( m H(x) = H = max{ m, n }. n) ÐØÙÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ð Ñ Ó ÕÙ ÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÓÑÔÐ ÜÓ Ó ÔÓÒØÓ Ú Ø Ì ÓÖ Ó Æ Ñ ÖÓ Ø ÐØÙÖ ÙÑ ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓº ÈÓÖ ÕÙ ÐØÙÖ ÙÑ Ó ÓÖÑ Ñ Ö Ó ÕÙ ÒØÓ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ó ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÔÓÖÕÙ ÒÓ Ø ØÓÑ Ö Ó Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ x ÓÒ Ö Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ º Ñ Ó Ø Ñ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ó Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ 1000 ÓÐÙØÓ Ñ Ó ÙÒ Ó Ñ ÓÑÔÐ Ó ÕÙ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Ó ÔÓÒØÓ Ú Ø Ì ÓÖ Ó Æ Ñ ÖÓ º Ë Ø Ö ÞÓ ÒÓ ÓÖ ÓÒÚ Ò ÒØ ÒØÓ ÔÓ Ú ÐÑ ÒØ Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ ÐØÙÖ ÜÔÐ Ö ÔÓÖ ÕÙ ÙÑ ÒÓÓ ØÓ Ø Ðº º¾ ÈÖÓÔÖ ÐØÙÖ ÈÖÓÔÓ Ó º¾º½º Ë M ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓº Ç ÓÒ ÙÒØÓ {x = m n Q : H(x) M } Ò ØÓº ¾

36 ¾ ÑÓÒ ØÖ Óº Ë ÐØÙÖ x = m Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ Ü ÒØÓ m n Ó n Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÔÓÖ Ó ÓÑ ÒØ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÔÓ Ð Ô Ö m nº Ë E : y 2 = f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c, ÙÑ ÙÖÚ ÒÓ Ò ÙÐ Ö ÓÑ Ó ÒØ ÒØ ÖÓ a b c P = (x,y) ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ð Ò ÙÖÚ Ò ÑÓ ÐØÙÖ P Ò Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ ÐØÙÖ x ØÓ H(P) = H(x)º Î Ö ÑÓ ÕÙ ÐØÙÖ ÓÑÔÓÖØ ÓÑÓ Ó ÙÑ ÙÒÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÑÔ Ö Ö ÑÓ H(P +Q) ÓÑ Ó ÔÖÓ ÙØÓ H(P)H(Q)º ÈÓÖ Ö ÞÓ ÒÓØ Ó Ñ ÓÒÚ Ò ÒØ Ø Ö ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ ÔÓ Ù ÙÑ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ø ÚÓ ÒØÓ Ò ÑÓ ÙÒÓ h ÓÑÓ ÐØÙÖ ØÓÑ Ò Ó Ó ÐÓ Ö ØÑÓ H ÓÙ h(p) = logh(p). Ñ h(p) ÑÔÖ ÙÑ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð ÒÓ Ò Ø ÚÓ ÔÓ H(P) 1 logh(p) = h(p) log1 = 0. ÐØÙÖ Ô Ö Ó ÔÓÒØÓ ÒÓ Ò Ò ØÓ Ò ÔÓÖ H(O) = 1 ÓÙ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ h(o) = 0º ÆÓ Ó Ó Ø ÚÓ Ò Ø Ô ØÙÐÓ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ Ó ÖÙÔÓ Ó ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ E(Q) Ò Ø Ñ ÒØ Ö Ó Ø Ð ØÓ Ù Ö Ó Ð Ñ º¾º¾ º¾º º¾º º¾º Ó ÕÙ Ú ÑÓ ÒÙÒ Ö ÑÓÒ ØÖ Ö ÙØ Ð Þ Ö Ô Ö ÑÓÒ ØÖ Ö Ó Ì ÓÖ Ñ ÅÓÖ Ðк Ä Ñ º¾º¾º È Ö ØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ M Ó ÓÒ ÙÒØÓ {P E(Q) : h(p) M} Ò ØÓº ÑÓÒ ØÖ Óº ÓÒ Ö P E(Q) Ø Ð ÕÙ h(p) Mº Ë P O ÒØÓ P = (x,y) ÓÒ (x,y) Ø Þ ÕÙ Ó y 2 = x 3 +ax 2 +bx+cº ÈÓÖ Ò Ó Ø ÑÓ ÕÙ h(p) = h(x) = logh(x) M ØÓ 1 H(x) e M º È Ð ÔÖÓÔÓ Ó º¾º½ Ü Ø Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ k(2k + 1) Ú ÐÓÖ ÔÓ Ú Ô Ö x ÓÒ k Ô ÖØ ÒØ Ö e M º ÓÑÓ Ô Ö Ú ÐÓÖ x Ü Ø Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ Ó Ú ÐÓÖ ÔÓ Ú Ô Ö y ÒØÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ {P E(Q) : h(p) M} Ò ØÓº Ä Ñ º¾º º Ë P 0 ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ð Ñ E : y 2 = f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c, Ü Óº Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ k 0 Ô Ò Ò Ó P 0 a b c Ø Ð ÕÙ h(p +P 0 ) 2h(P)+k 0, P E(Q).

37 ¾ ÑÓÒ ØÖ Óº Î Ö Ó º º Ä Ñ º¾º º Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ k Ô Ò Ò Ó a b c Ø Ð ÕÙ ÑÓÒ ØÖ Óº Î Ö Ó º º h(2p) 4h(P) k, P E(Q). Ç ÖÚ Ó º¾º º Ç Ð Ñ º¾º º¾º Ö Ð ÓÒ Ñ Ð ÖÙÔÓ Ñ E ÕÙ Ò ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ ÓÑ ÐØÙÖ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ ÙÑ ÖÖ Ñ ÒØ Ì ÓÖ Ó Æ Ñ ÖÓ º Ñ ÖØ ÓÖÑ ÔÓ ¹ Ô Ò Ö Ò ÐØÙÖ ÓÑÓ ÙÑ ÖÖ Ñ ÒØ Ô Ö ØÖ ÙÞ Ö Ò ÓÖ¹ Ñ ÓÑ ØÖ Ñ Ò ÓÖÑ Ö ØÑ Ø º Ä Ñ º¾º º Ç Ò [E(Q) : 2E(Q)] Ò ØÓº ÑÓÒ ØÖ Óº Î Ö Ó º º Í ÑÓ ÒÓØ Ó 2E(Q) Ô Ö ÒÓØ Ö Ó Ù ÖÙÔÓ E(Q) ÕÙ ÓÒ Ø Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ó Ó Ó ÖÓ Ó ÔÓÒØÓ E(Q)º È Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÖÙÔÓ Ð ÒÓ G ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ m G m G, P P } + +P {{} = mp, m termos ÙÑ ÓÑÓÑÓÖ ÑÓ Ñ Ñ Ø ÓÑÓÑÓÖ ÑÓ Ó Ù ÖÙÔÓ mg Gº Ç Ð Ñ º¾º ÖÑ ÕÙ Ô Ö G = E(Q) Ó Ù ÖÙÔÓ 2G Ø Ñ Ò Ò ØÓ Ñ Gº Ð Ñ ØÓ Ñ ÓÖ Ñ Ö ÒØ ÙÐ º Ç Ð Ñ º¾º¾ Ó ÔÖÓÚ Óº Ç Ð Ñ º¾º º¾º ØÓ Ö Ð ÓÒ Ó Ø ÓÖ ÐØÙÖ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ º Â Ó Ð Ñ º¾º Ñ ÙØ Ð ÓÑÓ ÕÙ Ö ÑÓ ÒÓ Ö ØÖ Ò Ö Ó ØÖ Ð Ó ÓÑ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ ÔÖÓÚ Ö ÑÓ Ó Ð Ñ Ô Ò Ô Ö ÙÑ Ð ÙÖÚ º ÈÖÓÚ Ö ÑÓ Ó Ø ÓÖ Ñ ÅÓÖ ÐÐ Ô Ö ÙÖÚ Ð ÔØ ÓÖÑ y 2 = f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c ÕÙ ÔÓ Ù Ñ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñ ¾ ØÓ f(x) Ú Ø Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ö Þ Ö ÓÒ Ðº Þ Ò Ó ÙÑ ÑÙ Ò Ú Ö Ú ÔÓ ÑÓ ÙÔÓÖ ÕÙ f(x) = x 3 +ax 2 +bxº È Ö ÓÑ Ö ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ ÓÑÓ Ø ÕÙ ØÖÓ Ð Ñ ÑÔÐ Ñ ÕÙ E(Q) ÙÑ ÖÙÔÓ Ð ÒÓ Ò Ø Ñ ÒØ Ö Óº ÈÓ ÑÓ ÕÙ Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ó ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ ÙÑ ÙÖÚ ÙÔÓÖ ÓÑ ÒØ ÕÙ Ø ÑÓ ÙÑ ÖÙÔÓ ÓÑÙØ Ø ÚÓ G Ö ØÓ Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒÓ ÐØÙÖ h : G [0, ]º ËÙÔÓÒ Ø Ñ Ñ ÕÙ G h Ø Þ Ñ Ó ÕÙ ØÖÓ Ð Ñ º ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÓÖ ÒÓÚÓ ÒÓ Ô Ø ÔÖÓÚ Ö ÑÓ ÕÙ G ÔÖ Ö Ò Ø Ñ ÒØ Ö Óº Ì ÓÖ Ñ º¾º º Ë G ÙÑ ÖÙÔÓ ÓÑÙØ Ø ÚÓº ËÙÔÓÒ ÕÙ Ü Ø ÙÑ ÙÒÓ h : G [0, ] ÓÑ ØÖ ÔÖÓÔÖ ÜÓ ½µ È Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ M Ó ÓÒ ÙÒØÓ {P G : h(p) M} Ò ØÓº ¾µ È Ö P 0 G Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ k 0 Ø Ð ÕÙ h(p +P 0 ) 2h(P)+k 0, P G.

38 ¾ µ Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ k Ø Ð ÕÙ h(2p) 4h(P) k, P G. ËÙÔÓÒ Ò ÕÙ Ó Ù ÖÙÔÓ 2G Ø Ñ Ò Ò ØÓ Ñ Gº ÒØÓ G Ò Ø Ñ ÒØ Ö Óº ÑÓÒ ØÖ Óº Ë [G : 2G] = n ÓÒ Ö {Q 1,,Q n } G ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÔÖ Ò¹ Ø ÒØ G 2Gº Ë P G i 1 Ø Ð ÕÙ P 2G+Q i1 ÐÓ Ó P 1 G Ø Ð ÕÙ P = 2P 1 +Q i1 P Q i1 = 2P 1. Ì Ñ Ñ i 2 Ø Ð ÕÙ P 1 2G+Q i2 ÐÓ Ó P 2 G Ø Ð ÕÙ P 1 = 2P 2 +Q i2 P 1 Q i2 = 2P 2. Ê Ô Ø Ò Ó Ø ÔÖÓ Ó Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÕÙ Ò ÔÓÒØÓ (P m ) m 1 Ø ÕÙ P = 2P 1 +Q i1 ; P 1 = 2P 2 +Q i2 ; º º½µ P m = 2P m+1 +Q im+1 ÓÒ Q i1,...,q im Ó ÓÐ Ó ÒÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð Ð Ø Ö {Q 1,...,Q n } P,P 1,... Ó Ð Ñ ÒØÓ Gº Î ÑÓ ÒØÓ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó m N P = Q i1 +2Q i2 +4Q i m 1 Q im +2 m P m. º¾µ Ó Ø Ñ ¾µ Ø ÑÓ ÕÙ Ô Ö Q j Ü Ø k j Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó P G Ø ÑÓ h(p Q j ) 2h(P)+k j. ÓÑÔ Ö ÑÓ ÐØÙÖ P j P j 1 º º¾µ Ø ÑÓ ÕÙ P j 1 = Q ij +2P j. ÌÓÑ k = max{k j }º Ñ P G : h(p Q j ) 2h(P)+k j 2h(P)+k. ÔÐ Ò Ó Ó Ø Ò ¾µ µ Ñ º½µ 4h(P j ) k h(2p j ) = h ( ) P j 1 Q ij 2h(Pj 1 )+k 4h(P j ) k 2h(P j 1 )+k ÓÑÓ 1 2 = ÒØÓ h(p j ) 1 2 h(p j 1)+ k +k 4

39 ¾ ÖÑ Ó m N : h(p m ) < k +k ÈÓÖ ÙÖ Ó ÙÔÓÒ h(p j ) 3 4 h(p j 1) 1 4 h(p j 1)+ k +k 4 }{{} 1 4 (h(p j 1) (k+k )) m 0 : h(p m ) k +k, ÒØÓ ÓÙ h(p j 1 ) k k 0, 1 4 (h(p j 1) k k ) 0. h(p j ) 3 4 h(p j 1) 1 4 (h(p j 1) k k ) 3 }{{} 4 h(p j 1) h(p j ) 3 4 h(p j 1). 0 Ñ ÈÓÖ Ò ÙÓ h(p 1 ) 3 4 h(p) h(p 2 ) 3 4 h(p 1) ( ) 2 3 h(p). 4 ÓÑÓ lim j ( 3 4 h(p j ) ( 3 jh(p). 4) ) j = 0 ÒØÓ Ü Ø m 0 Ø Ð ÕÙ ( ) 3 m < k+k 4 h(p) ÄÓ Ó h(p m ) ( 3 4) m h(p) < k +k Ó ÕÙ ÓÒØÖ Þ ÒÓ ÙÔÓ Óº ÄÓ Ó m N : h(p m ) < k +k. Ñ ÔÓÒØÓ P G Ö Ú ÓÑÓ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ð Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ {Q 1,...,Q n } {P G : h(p) k +k }. È ÐÓ Ø Ñ ½µ Ø ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓº ÄÓ Ó G Ò Ø Ñ ÒØ Ö Óº Ø Ø ÓÖ Ñ Ñ Ó Ì ÓÖ Ñ Ú Ø ÕÙ Ù ÑÓÒ ØÖ Ó Ø ÒÓ Ø ÐÓ Ó Ñ ØÓ Ó ÖÑ Ø Ò Ø º ÓÑ ÑÓ ÓÑ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ØÖ Ö Ó Ñ ÒÓ Ó Ó Ó ÔÓÒØÓ P E(Q) ÓÑ Ð ÙÑ Ñ Ò ÔÙÐ ÔÖÓ ÙÞ ÑÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÐØÙÖ Ñ ÒÓÖº ÔÖ Ó Ø Ö ÙÑ ÓÖÑ Ñ Ò ÙÖ Ö Ó Ø Ñ Ò Ó Ó ÔÓÒØÓ Ô Ö Ó Ù ÑÓ ÐØÙÖ º ÓÑ ÓÖØ ÔÐ Ó Ö Ô Ø Ø ÔÖÓ Ó Ð Ú ÙÑ ÓÒÐÙ Ù ÒØ º Ñ ÒÓ Ó Ó

40 ¾ Ö Ô Ø ÑÓ Ó ÔÖÓ Ó Ø Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÒÓÒØÖ Ñ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓº Ñ ÓÙØÖÓ Ó ÙÑ ÓÒØÖ Ó Ù Ù ÐÑ ÒØ Ü Ø Ò ÙÑ ÒØ ÖÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÒØÖ Þ ÖÓ ÙѺ ÒØÓ ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ ÒÓ Ü Ø ÓÐÙÓº Ø Ñ ØÓ Ó Ù Ó ÔÓÖ ÖÑ Ø ÑÓ ØÖ ÕÙ x 4 +y 4 = 1 ÒÓ Ø Ñ ÓÐÙÓ Ö ÓÒ Ð ÓÑ xy 0 Ð ÕÙ Ö ÙØ Ð Þ Ö Ó Ñ ÑÓ Ö Ó Ò Ó Ô Ö ÔÖÓÚ Ö ÕÙ x n +y n = 1 ÒÓ Ø Ñ ÓÐÙÓ Ô Ö ØÓ Ó n 3º ÁÒ Ð ÞÑ ÒØ ÓÑÔÐ ÓÒ ÙÖ Ö Ñ ÕÙ Ò Ó Ó n ÙÑ ÒØ º Ì Ò Ó Ñ Ú Ø Ó Ì ÓÖ Ñ ÑÓÒ ØÖ Ó Ó Ð Ñ º¾º¾ Ñ Ö Ø ¹ÒÓ ÔÖÓÚ Ö Ó Ð Ñ º¾º º¾º º¾º º º ÐØÙÖ P +P 0 Æ Ø Ó Ö Ø ÔÖÓÚ Ó Ð Ñ º¾º ÕÙ ÒÓ ÙÑ Ö Ð Ó ÒØÖ ÐØÙÖ P P 0 P +P 0 º È Ö Ó ÑÓ ÒØ Ð ÙÑ Ó ÖÚ º ÈÖ Ñ Ö Ñ ÒØ P = (x,y) ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ð Ñ ÒÓ ÙÖÚ ÒØÓ x y Ø Ñ ÓÖÑ x = m y = n e 2 e 3 ÓÑ m n ÒØ ÖÓ e > 0 mdc(m,e) = mdc(n,e) = 1º Ñ ÓÙØÖ Ô Ð ÚÖ ÚÓ Ö Ú Ö ÓÓÖ Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ð Ò ÓÖÑ ÖÖ ÙØ Ú Ð ÒØÓ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ x Ó ÕÙ Ö Ó ÙÑ ÒÙÑ ÖÓ Ù Ó Ù Ó Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ yº ÓÑ ØÓ ÙÔÓÒ x = m y = n Ò ÓÖÑ ÖÖ ÙØ Ú Ð ÓÑ M > 0 N > 0º M N ËÙ Ø ØÙ Ò Ó Ò ÕÙ Ó ÙÖÚ Ø ÑÓ y 2 = x 3 +ax 2 +bx+c n 2 N 2 = m3 M 3 +am2 M 2 +bm M +c n 2 M 3 N 2 M = m3 +am 2 M +bmm 2 +cm 3 3 M 3 n 2 M 3 N 2 M = m3 N 2 +an 2 m 2 M +bn 2 mm 2 +cn 2 M 3 3 N 2 M 3 n 2 M 3 = m 3 N 2 +an 2 m 2 M +bn 2 mm 2 +cn 2 M 3. º µ Î ÕÙ N 2 ÙÑ ØÓÖ ÓÑÙÑ ØÓ Ó Ó Ø ÖÑÓ Ó Ð Ó Ö ØÓ Ù Ð º µ ÒØÓ N 2 n 2 M 3 º

41 ¼ ÓÑÓ mdc(n,n) = 1 ÒØÓ N 2 M 3 º ÓÖ ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ ÕÙ M 3 N 2 º ØÓ Ô Ð ÕÙ Ó º µ Ú ÑÓ ÕÙ M N 2 m 3 ÓÑÓ mdc(m,m) = 1 Ó Ø ÑÓ M N 2 º ÇÙ M 2 n 2 M 3, an 2 m 2 M, bn 2 mm 2, cn 2 M 3. º µ Ø ÑÓ N 2 m 3 = n 2 M 3 (an 2 m 2 M +bn 2 mm 2 +cn 2 M 3 ) ÐÓ Ó M 2 N 2 m 3 º ÓÑÓ mdc(m,m) = 1 Ø ÑÓ M 2 N 2 ÓÙ M Nº Á Ó ÑÔÐ ÕÙ M 3 n 2 M 3 (an 2 m 2 M +bn 2 mm 2 +cn 2 M 3 ). ÆÓÚ Ñ ÒØ ÔÓÖ º µ ÕÙ ÕÙ M 3 N 2 m 2 ÓÑÓ mdc(m,m) = 1 ÒØÓ M 3 N 2 º ÓÒÐÙ ¹ ÕÙ M 3 = N 2 ÔÓ M,N > 0º ÓÑÓ M N e = N M N ÒØÓ e 2 = N2 M 2 = M3 M 2 = M e3 = N3 M 3 = N3 N 2 = N. ÈÓÖØ ÒØÓ x = m e 2 y = n e 3, ÓÑ m n ÒØ ÖÓ e > 0 mdc(m,e) = mdc(n,e) = 1º ÆÓ ÙÒ Ó ÖÚ Ó Þ Ö Ô ØÓ Ó Ö ÓÑÓ Ò ÑÓ ÐØÙÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ð Ñ ÒÓ ÙÖÚ º Ë Ó ÔÓÒØÓ P Ó ÔÓÖ P = ( ) m, n e 2 e ÒØÓ ÐØÙÖ È Ó Ñ Ü ÑÓ ÒØÖ m e 2 º 3 Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö m H(P) e 2 H(P)º ÈÓ ÑÓ Ø Ñ Ñ Ú ÒÙÐ Ö Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÓÓÖ Ò y Ñ Ø ÖÑÓ H(P)º ÈÖ Ñ ÒØ ÑÓ ØÖ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ K > 0 Ô Ò Ò Ó a b c Ø Ð ÕÙ n KH(P) 3 2 º ÈÖÓÚ Ö ÑÓ ØÓ Ù Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ P Ø Þ ÕÙ Ó ÙÖÚ º ØÓ Ù Ø ØÙ Ö ÑÓ Ó ÔÓÒØÓ Ò ÕÙ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ e 6 ÜÐÙ Ö ÑÓ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ y 2 = x 3 +ax 2 +bx+c n 2 e = m3 6 e 6 +am2 e +bm 4 e +c = m3 +am 2 e 2 +bme 4 m+ce 6 2 e 6 n 2 = m 3 +am 2 e 2 +bme 4 m+ce 6. ÓÖ ØÓÑ Ò Ó Ó Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ ÓÒ Ö ÑÓ Ù Ð m H(P) e 2 H(P) Ù Ð ØÖ Ò ÙÐ Ö Ø Ö ÑÓ n 2 m 3 + am 2 e 2 + bme 4 m + ce 6 H(P) 3 + a H(P) 3 + b (H(P) 3 + c H(P) 3 ) = H(P) 3 (1+ a + b + c ).

42 ½ ÌÓÑ Ò Ó K = 1+ a + b + c Ø Ö ÑÓ ÈÖÓÚ Ö ÑÓ ÓÖ Ó Ä Ñ º¾º º n 2 K 2 H(P) 3 n K(H(P)) 3 2. ÑÓÒ ØÖ Óº Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ð Ñ ØÖ Ú Ð P 0 = O ÔÓ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö P E(Q) Ø Ñ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö k 0 > 0º Ë ÒØÓ P 0 O P 0 = (x 0,y 0 )º h(p +P 0 ) = h(p) 2h(P) < 2h(P)+k 0. Ç ÖÚ Ó º º½º ÆÓØ ÕÙ Ù ÒØ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ Ù Ð Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó P Ü ØÓ Ô Ö P Ñ Ð ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓº Á ØÓ Ú Ö ÔÓ P Ô ÖØ Ò ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓ Ü Ø ÓÑ ÒØ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ö Ò h(p +P 0 ) 2h(P)º Á ØÓ Ö ÑÓ k 0 > 0 Ø Ð ÕÙ h(p +P 0 ) < 2h(P)+k 0 Ô Ö P ±P 0 ÔÓ ÓÒ Ö Ò Ó k 0 = max{h(p +P 0) 2h(P), ÓÑ P {O,±P 0 }} Ø Ö ÑÓ ÒØÓ k 0 = max{k 0,k 0}º Ë ÒØÓ P E(Q) P / { P 0,O,P 0 }º Ö Ú P = (x,y)º ÓÑÓ P / { P 0,O,P 0 } ÒØÓ x Q x x 0 º Ë P +P 0 = (ζ,η)º È Ö Ó Ø Ö ÐØÙÖ P +P 0 ÔÖ ÑÓ ÐÙÐ Ö ÐØÙÖ ζ ÔÖ ÑÓ Ø Ñ Ñ ÖÑÙÐ ζ Ñ Ø ÖÑÓ (x,y) (x 0,y 0 )º Ó ½º Ø ÑÓ ζ = λ 2 a x x 0 ÓÑ λ = y y 0 x x 0 º Ñ ζ = (y y 0) (x x 0 ) a x x 0 ζ = (y y 0) 2 (x x 0 ) 2 (x+x 0 +a) (x x 0 ) 2 ζ = (y2 2yy 0 +y 0 2 ) (x 2 2xx 0 +x 0 2 )(x+x 0 +a) (x x 0 ) 2 ζ = (y2 2yy 0 +y 0 2 ) (x 3 +x 2 x 0 +x 2 a 2x 2 x 0 2xx 0 2 2axx 0 +x 0 2 x+x 0 3 +ax 0 2 ) (x x 0 ) 2. Þ Ò Ó y 2 x 3 = ax 2 +bx+c ÔÓ Ó ÔÓÒØÓ È Ø Ò ÙÖÚ µ Ø ÑÓ ζ = ax2 +bx+c 2y 0 y +y 0 2 +x 2 x 0 +x 0 2 x ax 2 ax 0 2 x axx 0 (x x 0 ) 2 ζ = ( 2y 0)y +(x 0 )x 2 +(b+x ax 0 )x+(c+y 2 0 x 3 0 ax 2 0 ). x 2 +( 2x 0 )x+x 2 0 ÈÓ ÑÓ Ö Ú Ö ÜÔÖ Ó Ñ Ù ÒØ Ñ Ò Ö ζ = Ay+Bx2 +Cx+D ÓÑ A B C D E F G Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ ÕÙ ÔÓ Ñ Ö ÜÔÖ Ó Ñ Ex 2 +Fx+G Ø ÖÑÓ a b c x x 0 º

43 ¾ Å ÑÙÐØ ÔÐ ÖÑÓ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ Ô ÐÓ Ñ Ò ÑÓ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÓÑÙÑ A,...,G ÔÓ ÖÑÓ ÙÑ Ö ÕÙ A,...,G Ó ÒØ ÖÓ º Ñ Ö ÙÑÓ Ø ÑÓ ÒØ ÖÓ A,...,G ÕÙ Ô Ò Ñ a b c x 0 y 0 ÑÓ Ó ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó ÔÓÒØÓ P = (x,y) ÒÓ Ô ÖØ Ò ÒØ { P 0,O,P 0 } ÓÓÖ Ò x P + P 0 Ù Ð ζ = Ay+Bx2 +Cx+D Ex 2 +Fx+G º ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÐØ Ö ÕÙ ÙÑ Ú Þ ÕÙ ÙÖÚ Ó ÔÓÒØÓ P 0 Ó ÜÓ ÒØÓ Ø ÜÔÖ Ó ÓÖÖ Ø Ô Ö ØÓ Ó ÔÓÒØÓ P º ÈÓÖ Ó Ø ÑÓ ÕÙ ÓÒ Ø ÒØ k Ô Ò A,...,G ÓÒØ ÒØÓ ÕÙ ÒÓ Ô Ò x yº ÓÖ Ù Ø ØÙ Ò Ó x = m e 2 y = n e 3 ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ö Ó ÔÓÖ e4 e 4 ÒÓÒØÖ ÑÓ ζ = Ane+Bm2 +Cme 2 +De 4 Em 2 +Fne 2 +Ge 4. ÄÓ Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÜÔÖ Ó Ô Ö ζ ÓÑ ÙÑ ÒØ ÖÓ Ú Ó ÔÓÖ ÓÙØÖÓ ÒØ ÖÓº ÆÓ ÓÒ ÑÓ Ø ÜÔÖ Ó Ò ÓÖÑ ÖÖ ÙØ Ú Ð Ñ ÔÓÖ Ò Ð Ñ ÒØÓ Ó ØÓÖ ÓÑÙÑ ÐØÙÖ Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ó Ñ Ü ÑÓ ÒØÖ Ø Ò Ñ ÖÓ º ÔÓÖ ÙÑ Ð Ó Ø ÑÓ ÕÙ H(ζ) max { Ane+Bm 2 +Cme 2 +De 4, Em 2 +Fne 2 +Ge 4 }. ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ø ÑÓ Ù ÒØ Ø Ñ Ø Ú e H(P) 1/2 n K H(P) 3/2 m H(P) ÓÒ k Ô Ò ÓÑ ÒØ º Í Ò Ó Ø Ù Ð Ù Ð ØÖ Ò ÙÐ Ö Ø ÑÓ Ane+Bm 2 +Cme 2 +De 4 Ane + Bm 2 + Cme 2 + De 4 ( ) Ak + B + C + D H(P) 2 Em 2 +Fne 2 +Ge 4 Em 2 + Fme 2 + Ge 4 ( E + F + G )H(P) 2. ÈÓÖØ ÒØÓ { } H(P +P 0 ) = H(ζ) max Ak + B + C + D, E + F + G H(P) 2. ÔÐ Ò Ó ÐÓ Ö ØÑÓ Ñ Ñ Ó Ó Ð Ó Ó Ø ÑÓ h(p +P 0 ) 2h(P)+k 0, ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ } k 0 { Ak = logmax + B + C + D, E + F + G k 0 = max{k,k } Ô Ò ÓÑ ÒØ a b c x 0 y 0 Ò Ô Ò P = (x,y)º Ó ÖÚ Ó º º½ ÓÑÔÐ Ø ÑÓÒ ØÖ Óº

44 º ÐØÙÖ 2P Æ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÖÓÚ ÑÓ ÕÙ Ë P 0 ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ð Ñ E Ü Ó Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ k 0 Ô Ò Ò Ó P 0 a b c Ø Ð ÕÙ h(p +P 0 ) 2h(P)+k 0 P E(Q) º E(Q) º Æ Ø Ó Ö ÑÓ ÔÖÓÚ Ó Ä Ñ º¾º ÕÙ ÒÓ Þ Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ k Ô Ò Ò Ó a b c Ø Ð ÕÙ h(2p) 4h(P) k Ô Ö ØÓ Ó P Ñ Ñ Ñ ÓÖÑ ÕÙ Ò ÔÖÓÚ Ó Ä Ñ º¾º ÔÓ ÑÓ ÒÓÖ Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓ ÔÓÒØÓ Ú Ø ÕÙ ÔÓ ¹ ÓÐ Ö k Ñ ÓÖ 4h(P) Ô Ö ØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÓÒ ÙÒØÓº ÒØÓ ÖØ ÑÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ø Þ Ñ 2P = Oº Ë P = (x,y) Ö Ú 2P = (ζ,η)º ÖÑÙÐ ÙÔÐ Ó ζ +2x = λ 2 a ÓÒ λ = f (x) 2y ÐÓ Ó ζ = f (x) 4y 2 a 2x. ÓÐÓ Ò Ó ØÙ Ó Ó Ö ÙÑ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÓÑÙÑ Ù Ò Ó y 2 = f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c Ó Ø ÑÓ Ù ÒØ ÜÔÖ Ó Ô Ö ζ ζ = ( f (x) ) 2 (8x+4a)f(x) 4(f(x)) = x4 4x 3. ÆÓØ ÕÙ f(x) 0 ÔÓ 2P Oº Ñ ζ Ó ÕÙÓ ÒØ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ñ x ÓÑ Ó ÒØ Ñ Zº y 2 = f(x) ÒÓ Ò ÙÐ Ö ÔÓÖ ÙÔÓ Ó ÔÓÖØ ÒØÓ ÑÓ ÕÙ f(x) f (x) ÒÓ Ø Ñ Ö Þ Ñ ÓÑÙѺ Ë Ò Ó ÕÙ h(p) = h(x) h(2p) = h(ζ) Ø ÑÓ Ø ÒØ Ò Ó ÔÖÓÚ Ö ÕÙ h(ζ) = 4h(x) kº Ç Ù ÒØ Ð Ñ ÓÒÐÙ ÑÓÒ ØÖ Óº Ä Ñ º º½º Ë Ñ φ(x) ψ(x) ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑ Ó ÒØ ÒØ ÖÓ Ö Þ ÒÓ ÓÑÙÒ º Ë d Ó Ñ Ü ÑÓ Ó Ö Ù φ(x) ψ(x)º ÒØÓ ½µ Ü Ø ÙÑ ÒØ ÖÓ R 1 Ô Ò Ò Ó φ(x) ψ(x) Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð m Ø ÑÓ mdc( n d φ ( ) m n n,n d ψ ( m n)) Ú Rº ¾µ Ü Ø Ñ k 1 k 2 Ô Ò Ò Ó φ(x) ψ(x) Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó Ö ÓÒ Ð m n Ö Þ ψ Ø ÑÓ ( m dh n) )) ( φ m n k 1 h( ψ ( ) m n ( m dh +k 2. n) ÕÙ ÒÓ Ó

45 ÑÓÒ ØÖ Óº ½µ ÈÖ Ñ ÖÓ Ó ÖÚ ÕÙ φ(x) ψ(x) Ø Ñ Ö Ù Ñ ÒÓÖ ÓÙ Ù Ð d ÐÓ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ n d φ ( m n) ÒØ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÓ ÄÓ Ó n d φ ( m n) Zº φ(x) = a d x d +a d 1 x d a 0 ( m m φ = a d n) d n +a m d 1 d d 1 n +...+a 0. d 1 Ñ Ò Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ Ò ÐÓ n d ψ ( m n) Zº ÒØÓ Þ ÒØ Ó ÒÓÒØÖ Ö Ñ Ü ÑÓ Ú ÓÖ ÓÑÙÑ n d φ ( m n ) n d ψ ( m n) º Ç Ö ÙÐØ Ó ÕÙ ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ ÕÙ ÒÓ ÑÙ ØÓ ÑÔÐ Ö ÕÙ Ò Ó Ö Ð Þ ÑÓ Ó ÕÙÓ ÒØ Ø Ó Ò Ñ ÖÓ º Ç ÕÙ Ú ÑÓ ÑÔÐ Ö Ø Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ Rº Ë Ñ Ô Ö Ò Ö Ð ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ grauφ grauψ ÔÓ ( ( m ( m ( ( m ( m mdc n d φ,n n) d ψ = mdc n n)) d ψ,n n) d φ. n)) Ì ÑÓ ÒØÓ grauφ = d grauψ = e dº Ñ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö ( ) m n d φ = n (a n) d m d d n +a m d 1 d d 1 n + +a d 1 0 = a d m d +a d 1 m d 1 n+ +a 0 n d ( ) m n d ψ = n (b n) d m e e n +b m e 1 e e 1 n + +e e 1 0 = b e m e n d e +b e 1 m e 1 n d e 1 + +b 0 n d. È Ö ÑÔÐ Ö ÒÓØ Ó Ö ÑÓ Φ(m,n) = n d φ ( m n ) Ψ(m,n) = n d ψ ( m n) º ÈÖ ÑÓ Ö ÙÑ Ø Ñ Ø Ú Ô Ö mdc(φ(m,n),ψ(m,n)) ÕÙ Ò Ô Ò m ÓÙ nº ÓÑÓ φ(x) ψ(x) ÒÓ Ø Ñ Ö Þ Ñ ÓÑÙÑ Ð Ó ÔÖ ÑÓ ÒØÖ ÒÓ Ò Ð ÙÐ ÒÓ Q[x]º Ð Ö Ñ Ó Ð ÙÒ Ø Ö Ó Ñ ÔÓ ÑÓ Ö ÔÓÐ ÒÑ Ó F(x) G(x) ÓÑ Ó ÒØ Ö ÓÒ Ø ÕÙ F(x)φ(x)+G(x)ψ(x) = 1( ). Ë A ÙÑ ÒØ ÖÓ Ö Ò Ó Ù ÒØ Ø Ð ÕÙ AF(x) AG(x) Ø Ò Ñ Ó ÒØ ÒØ ÖÓ º Å D = max{grauf(x), graug(x)}º ÆÓØ ÕÙ A D Ò Ô Ò Ñ m ÓÙ nº ËÙ Ø ØÙ Ò Ó x = m Ñ ( ) ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó n Ñ Ó Ó Ð Ó ÔÓÖ An D+d Ø ÑÓ ( m ( m ( m ( m An D+d = n D AF n n) d φ +n n) D AG n n) d ψ n)

46 An D+d = n D AF ( m ( m Φ(m,n)+n n) D AG Ψ(m,n). n) Ë γ = γ(m,n) Ó Ñ ÓÖ Ú ÓÖ ÓÑÙÑ Φ(m,n) Ψ(m,n)º ÓÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ n D AF ( ) m n n D AG ( m n) Ó ÒØ ÖÓ ÒØÓ γ An D+d º Á ØÓ ÒÓ ÓÑ Ó Ù ÒØ ÔÓ Ú ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ γ Ú ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÜÓ ÕÙ Ò Ô Ò nº Æ Ö Ð Ó ÕÙ Ú ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ γ Ú Aa d D+d ÓÒ a d Ó Ó ÒØ ÓÑ Ò ÒØ φ(x)º ÈÖÓÚ ÑÓ ØÓ Ó ÖÚ Ò Ó ÕÙ γ Ú Φ(m,n) ÖØ Ñ ÒØ Ú An D+d Φ(m,n)º ÓÑÓ ( m ) An D+d 1 Φ(m,n) = An D+d 1 n d φ = An (a n) D+d 1 d m d +a d 1 m d 1 n+ +a 0 n d An D+d 1 Φ(m,n) = a d An D+d 1 m d +a d 1 An D+d 1 nm d 1 + +a 0 An D+2d 1. º µ ÓÑÓ γ Ú Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ñ Ñ ÖÓ º µ Ø ÑÓ ÕÙ γ Ø Ñ Ñ Ú Ö Ó ÙÒ Ó Ñ Ñ ÖÓ º µ ÔÓ Ó Ù Ñ Ø ÑÓ ÕÙ ØÓ Ó Ó Ø ÖÑÓ Ü ØÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÔÓ Ù Ñ An D+d ÓÑÓ ØÓÖ ÔÖÓÚ ÑÓ ÕÙ γ An D+d ÒØÓ Ù ÕÙ γ Ú Ö Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ Ó ÙÒ Ó Ñ Ñ ÖÓ º µº ÄÓ Ó γ a d Am d n D+d 1 º ÓÖ ÓÑÓ γ An D+d γ a d Am d n D+d 1 ÒØÓ γ mdc ( An D+d,a d m d n D+d 1) = An D+d 1 mdc ( n,a d m d). Ì ÑÓ ÕÙ mdc(m,n) = 1 Ó ÑÔÐ ÕÙ mdc ( n,a d m d) = mdc(n,a d ) mdc(n,a d ) a d, ÒØÓ γ Aa d n D+d 1. ÈÓÖ Ò ÙÓ ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ù ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ γ Aa 2 d nd+d 2,γ Aa 3 d nd+d 3,,γ Aa D+d d n D+d (D+d) = Aa D+d d. ÑÓ ØÓ ÓÙ ÔÖÓÚ Ö ÑÓ ÕÙ ËÙÔÓÒ ÕÙ γ Aa k d nd+d k º ÒØÓ γ Aa k d nd+d k γ Aa k+1 d n D+d (k+1). Aa k+1 d n D+d (k+1) Φ(m,n) = = Aa k+1 d m d n D+d (k+1) +Aa k d a d 1m d 1 n D+d k + +Aa k d a 0n D+2d (k+1). γ Aa k+1 d m d n D+d (k+1)

47 γ mdc ( Aa k+1 d m d n D+d (k+1),aa k dn D+d k) = mdc(m,n) = 1 Ø ÑÓ mdc ( m d.n ) = 1º = Aa k dn D+d (k+1) mdc ( m d,n ) ÈÓÖØ ÒØÓ γ Aa k+1 d n D+d (k+1) ÓÑÓ ÕÙ Ö ÑÓ º ÓÒÐÙ ÑÓ ÔÓÖ Ò ÙÓ ÕÙ γ Aa D+d d ØÓÑ Ò Ó R = Aa D+d Ò ÖÖ ÑÓ ÑÓÒ¹ ØÖ Ó Ó Ø Ñ 1) Ó Ð Ñ º ¾µ ÅÓ ØÖ Ö ÑÓ ÕÙ Ü Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ K 1 K 2 Ô Ò Ò Ó φ(x) ψ(x) Ø ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó m n Q ÕÙ Ó Ö Þ ψ Ø Ñ¹ ( m dh n) )) ( φ m n k 1 h( ψ ( ) m n ( m dh +k 2 n) ÓÑÓ ÒØ ÜÐÙ Ö ÑÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ º ÙÑ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð m ÒÓ Ö Þ φº È Ð Ò Ó ÐØÙÖ Ø ÑÓ ÕÙ n ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÒÓ¹ÒÙÐÓ ÒØÓ H(r) = H ( ) 1 r º ÓÑ ØÓ r = a Q ÒØÓ b H(r) = h ( ( a b) = max{ a, b } H 1 ( r) = h b a) = max{ b, a } ÆÓÚ Ñ ÒØ ÔÓ ÑÓ ÙÔÓÖ Ñ Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ grauφ = d grauψ = e ÓÑ e dº ÓÒØ ÒÙ Ò Ó ÓÑ ÒÓØ Ó ÙØ Ð Þ Ñ 1) Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð Ù ÐØÙÖ ÔÖ Ø Ò ¹ Ø Ñ Ö ÜÔÖ Ó ξ Ó ÕÙÓ ÒØ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ Ñ ÐØÙÖ H(ξ) Ó Ñ Ü ÑÓ Ú ÐÓÖ ÒØÖ Ó ÒØ ÖÓ Φ(m,n) Ψ(m,n) º Ñ 1) ÑÓ ØÖ ÑÓ ÕÙ Ü Ø ÙÑ ÒØ ÖÓ R 1 Ò Ô Ò ÒØ m n ÑÓ Ó ÕÙ Ó mdc(φ(m,n),ψ(m,n) Rº Ñ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ù Ð ØÖ Ú Ð max{a,b} 1 2 (a+b) Ø ÑÓ ÕÙ H(ξ) 1 R max{ Φ(m,n), Ψ(m,n) } = 1 ( m ( m R max{ nd φ, n n) d ψ } n) ÐÓ Ó 1 1 m φ( RR max{ nd n ) ( m, n d ψ } n) 1 m ) ( m φ( 2R { nd + n d ψ n n) H(ξ)) 1 m ) ( m φ( 2R { nd + n d ψ }. n n) ÉÙ Ö ÑÓ ÓÑÔ Ö ÖH(ξ) ÕÙ ÒØ H ( m n) d = max{ m d, n d } ÓÖÑ ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ ÕÙÓ ÒØ

48 H(ξ) H ( ) m d 1 2R n n d φ ( ) m n + n d ψ ( m n) max{ m d, n d } = 1 n d ( φ ( ( m n) + ψ m n)) = 1 2R max{ m d, n d } 2R Á ØÓ Ù Ö ÕÙ Ú ÑÓ ØÙ Ö ÙÒÓ p(t) = φ(t) + ψ(t) max{ t,1} º Î ÑÓ Ò Ð Ö Ø Ð Ð Ñ Ø º Ë t 1 p(t) = φ(t) + ψ(t) º ÓÑÓ φ ψ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÒØÓ Ó ÙÒ ÓÒØ ÒÙ º ÄÓ Ó ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 1,1] p(t) ÔÓ Ù Ñ Ò ÑÓº Ë t 0 [ 1,1]º Ì ÑÓ ÕÙ p(t) p(t 0 ) Ô Ö ØÓ Ó t Ñ [ 1,1]. = ( ( φ m ) ( n + ψ m ) n) max{ m. º µ n d,1} Ë p(t 0 ) = 0 ÒØÓ φ(t 0 ) = 0 ψ(t 0 ) = 0 Ó ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ ÕÙ φ ψ Ø Ñ Ö Þ ÓÑÙѺ ÙÖ Ó ÄÓ Ó φ(t 0 ) > 0 Ó ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ô Ö t 1 Ø Ñ¹ p(t) c 2 > 0 Ô Ö Ð ÙÑ c 2 > 0 Ë t > 1 ÒØÓ p(t) = φ(t)+ψ(t) t d. lim p(t) = lim a d + a d a 0 t + t + t t d + b e + b e b 0 t t e Ä Ñ Ö Ò Ó ÕÙ d eº ÄÓ Ó lim p(t) = a d + b e > 0 ÔÓÖ Ò Ó Ð Ñ Ø Ü Ø t + M > 0 Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó t M 0 < a d + b e p(t) 3( a d + b e ) º 2 2 ÓÑÓ p(t) ÓÒØ ÒÙÓ ÒØÓ Ô Ö t M p(t) ÔÓ Ù Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ØÓ Ü Ø t 0 ÓÑ t 0 M Ø Ð ÕÙ p(t) p(t 0 ) Ó ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó t R p(t) min{p(t 0 ), a d + b e 2 } Ñ Ö ÙÑÓ Ü Ø c 1 Ø Ð ÕÙ p(t) c 1 Ô Ö ØÓ Ó t R ÍØ Ð Þ Ò Ó Ø ØÓ Ò Ù Ð º µ Ø ÑÓ ÕÙ H(ξ) c 1 2R H( m n) d º ÓÒ Ø ÒØ c 1 R Ò Ô Ò Ñ m n Ñ ÔÐ Ò Ó ÐÓ Ö ØÑÓ Ø ÑÓ Ù ÒØ Ù Ð h(ξ) = logh(ξ) log c 1 H( m 2R n ) d = log H( m n) d 2R c 1 = logh ( ) m d log 2R n c 1 = dh ( m n) k1 Ñ ÕÙ k 1 = log 2R c 1 º Ê Ø ÑÓ ØÖ Ö ÓÙØÖ Ù Ð ÓÒØ ÒÙ Ö ÑÓ ÓÑ Ñ Ñ ÒÓØ Óº Ì ÑÓ Φ(m,n) = a d m d +a d 1 m d 1 n+ +a 0 n d Φ(m,n) ( a d + + a 0 )max{ m d, n d } Ψ(m,n) = b e m e +b e 1 m e 1 n+ +b 0 n e

49 ÓÑ e dº Ψ(m,n) ( b e + + b 0 )max{ m e, n e } ( b e + + b 0 )max{ m d, n d } Ë C = max{ a d + + a 0, b e + + b 0 }º Ñ H(ξ) max{ Φ(m,n), Ψ(m,n) } C(max{ m, n }) d = CH ( m dº n) ÔÐ Ò Ó ÐÓ Ö ØÑÓ ÒÓÚ Ñ ÒØ Ø ÑÓ ÕÙ h(ξ) dh ( m n) +logcº ÌÓÑ Ò Ó k2 = logc Ó Ø ÑÓ Á ØÓ ÓÒÐÙ ÔÖÓÚ Ó Ø Ñ ¾µ Ó Ð Ñ º h(ξ) dh m n +k 2. º ÍÑ ÀÓÑÓÑÓÖ ÑÓ ÁÑÔÓÖØ ÒØ Ä Ñ Ö Ò Ó ÕÙ Ô Ö ÔÖÓÚ ÖÑÓ Ó Ø ÓÖ Ñ ÅÓÖ ÐÐ Ö Ø ÔÖÓÚ Ö Ó Ð Ñ º¾º ÕÙ ÒÓ Þ ÕÙ Ó Ò [E(Q) : 2E(Q)] Ò ØÓº Ø Ô ÖØ Ñ Ø Ò ÑÓÒ ØÖ Óº ÁÒ Ð ÞÑ ÒØ ÒÓ ÔÓ ÑÓ ÔÖÓÚ Ö Ó Ð Ñ º¾º Ô Ö ØÓ ÙÖÚ Ñ ÙØ Ð Þ Ö ÖÖ Ñ ÒØ Ø ÓÖ Ð Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ð Ñ Ó Ò ØÖ Ð Ö ÑÓ ÓÑ ÒØ ÓÑ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ ÔÓÖ ÑÓØ ÚÓ Ú Ñ ÙÔÓÖ ÕÙ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó f(x) Ø Ñ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ö Þ Ö ÓÒ Ð x 0 Ó ÕÙ ÕÙ Ð Ð ÒØ Þ Ö ÕÙ ÙÖÚ Ø Ñ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ð ÓÖ Ñ Ó º ÒÚÓÐÚ Ö ÑÓ Ò Ø Ó Ð ÙÑ ÖÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ô Ö ÑÓÒ ØÖ Ö Ó Ð Ñ º¾º º ÓÑÓ f(x 0 ) = 0 f ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑ Ó ÒØ ÒØ ÖÓ Ó ÒØ ÓÑ Ò ÒØ 1 ÒØÓ x 0 ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓº Þ Ò Ó ÙÑ ÑÙ Ò ÓÓÖ Ò ÔÓ ÑÓ ÑÓÚ Ö Ó ÔÓÒØÓ (x 0,0) Ô Ö ÓÖ Ñº Á ØÓ Ó Ú Ñ ÒØ ÒÓ Ø Ó ÖÙÔÓ E(Q)º ÒÓÚ ÕÙ Ó Ø Ö Ó ÒØ ÒØ ÖÓ ÙÖÚ Ø Ö ÓÖÑ E : y 2 = f(x) = x 3 +ax 2 +bx ÓÒ a,b Z ÓÒ T = (0,0) ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ð Ñ E ÕÙ Ø Þ 2T = Oº ÖÑÙÐ Ó Ö Ñ Ò ÒØ Ò Ø Ó = b 2 (a 2 4b)º ÙÑ ÕÙ ÒÓ ÙÖÚ ÒÓ Ò ÙÐ Ö ØÓ 0 Ñ b 0 a 2 4b 0º Ø ÑÓ ÒØ Ö Ó ÒÓ Ò [E(Q) : 2(Q)] ÓÙ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ Ò ÓÖ Ñ Ó ÖÙÔÓ ÕÙÓ ÒØ E(Q)/2E(Q) ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ Ø Ð Ö ÕÙ ÙÒÓ ÙÔÐ Ó P 2P ÔÓ Ö Ú Ñ Ù ÓÔ Ö º ÙÒÓ ÙÔÐ Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ Ð ÙÑ ÓÖÑ Ö Ù ÕÙ ØÖÓ ÔÓ ÙÒÓ Ö ÓÒ Ð Ô Ð ÓÓÖ Ò x 2P Ö Ù ÕÙ ØÖÓ Ò ÓÓÖ Ò x P º Ö Ú Ö ÑÓ ÙÒÓ P 2P ÓÑÓ ÓÑÔÓ Ó Ù ÙÒ Ö Ù Ó ÕÙ ÖÓ Ñ Ñ ÒÙ Öº ÒØÖ Ø ÒØÓ Ù ÙÒ ÒÓ ÖÓ E Ñ E Ñ Ñ E Ô Ö ÓÙØÖ ÙÖÚ E ÒÓÚ Ñ ÒØ Ô Ö Eº ÓÙØÖ ÙÖÚ E ÕÙ ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÙÖÚ Ô Ð ÕÙ Ó

50 E : y 2 = x 3 +ax 2 +bx Ñ ÕÙ a = 2a b = a 2 4b ÙÖÚ E E ØÓ ÒØ Ñ Ñ ÒØ Ö Ð ÓÒ ÒØÓ Ò ØÙÖ Ð Ø٠ֹРÓÑÔ Ö Ò Ó¹ º ÔÐ Ò Ó ÒÓÚ Ñ ÒØ Ó ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÓÐ Ò Ó Ô Ö E : y 2 = x 3 +ax 2 +bx ÓÒ a = 2a = 4a b = a 2 4b = ( 2a) 2 4(a 2 4b) = 16b Ø ÑÓ ÕÙ ÙÖÚ ÔÓÖ E : y 2 = x 3 +4ax 2 +16bxº ÙÖÚ E Ò ÐÑ ÒØ Ñ Ñ ÙÖÚ ÕÙ E Ø ØÖÓ ÖÑÓ y ÔÓÖ 8y x ÔÓÖ 4x Ú Ö ÕÙ Ó ÔÓÖ 64º ÑÓ Ó Ó ÖÙÔÓ E(Q) ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ñ E ÓÑÓÖ Ó Ó ÖÙÔÓ E(Q) ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ Ñ Eº ÓÖ Ò ÙÒÓ φ : E Eº ÑÓ Ó φ Ö ÓÑÓÑÓÖ ÑÓ ÖÙÔÓ Ð Ú Ö Ó ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ E(Q) ÒÓ ÔÓÒØÓ Ö ÓÒ E(Q)º Ñ Ù ÔÖÓ Ò Ó Ñ Ñ ÓÖÑ Ò Ö ÑÓ ÙÒÓ ψ : E Eº Ì Ò Ó Ñ Ú Ø Ó ÓÑÓÖ ÑÓ E = E ÓÑÔÓ Ó ψ φ ÙÑ ÓÑÓÑÓÖ ÑÓ E Ñ E ÕÙ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ Ó º ÙÒÓ φ : E E Ò Ù ÒØ ÓÖÑ Ë P = (x,y) E ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÑ x 0 ÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ φ(x,y) = (x,y) Ó Ô Ð ÖÑÙÐ x = x+a+ b x = x2 +ax+b ( x. = x x) y2 x 2 y = y x2 b x 2 Ñ φ Ø Ñ Ò Ö Ø ¹ÒÓ Ö x y Ø Þ Ñ ÕÙ Ó E Ó ÕÙ ÑÔÐ Ù Ø ØÙ Ò Ó x Ñ y 2 = x 3 +ax 2 +bx ÑÓ ÕÙ x 3 +ax 2 +bx = x [ x 2 +a.x+b ] = x [ x 2 2ax+(a 2 4b) ] = [ ] = y2 y 4 x 2 x 2ay2 +a 2 4b = y2 4 x 2 x 2 = y2 x 2 [ (y 2 ax 2 ) 2 4bx 4 x 4 [ ] y 4 2ay 2 x 2 +a 2 x 4 4bx 4 = x 4 ] = y2 x 6 [ (x 3 +ax 2 +bx ax 2 ) 2 4bx 4] = = y2 x 6 [ (x 3 +bx) 2 4bx 4] = y2 x 6 [ x 6 +2bx 4 +b 2 x 2 4bx 4] = = y2 x 6(x3 bx) 2 = ( ) y(x 3 2 ( ) bx) y(x 2 2 b) = = y 2 ÈÖÓÔÓ Ó º º½º Ë Ñ E E ÙÖÚ Ð ÔØ Ô Ð ÕÙ x 3 E : y 2 = x 3 +ax 2 +bx E : y 2 = x 3 +ax 2 +bx ÓÒ a = 2a b = a 2 4b Ñ T = (0,0) E T = (0,0) E x 2

51 ¼ ½º Ü Ø ÙÑ ÓÑÓÑÓÖ ÑÓ φ : E E Ò Ó ÔÓÖ ( ) y 2, y(x2 b) P = (x,y) O,T x 2 x 2 φ(p) = O P = O ÓÙ T ÓÒ kerφ = {O,T}º ¾º ÔÐ Ò Ó Ó Ñ ÑÓ ÔÖÓ Ó Ô Ö E Ø ÑÓ ÙÒÓ φ : E Eº ÙÖÚ E ÓÑÓÖ E Ô Ð ÙÒÓ (x,y) ( x, y 4 8) º Ü Ø Ñ ÙÑ ÓÑÓÑÓÖ ÑÓ ψ : E E Ò Ó ÔÓÖ ( ) y 2, y(x2 b) P = (x,y) O,T 4x 2 8x 2 ψ(p) = O P = O ÓÙ P = T ÓÑÔÓ Ó ψ φ : E E ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ Ó ψ φ(p) = 2P. ÑÓÒ ØÖ Óº Î ÑÓ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÕÙ ÙÒÓφÐ Ú ÔÓÒØÓ E Ñ ÔÓÒØÓ E ÙÔÓÒ Ó ÕÙ φ ÙÑ ÓÑÓÑÓÖ ÑÓ Ù ÕÙ Ó Ò Ð Ó φ Ó Ó ÔÓÒØÓ O T ÔÓ φ(o) = O φ(t) = O φ(p) O P O P T º ÄÓ Ó ÔÖ ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ φ ÙÑ ÓÑÓÑÓÖ ÑÓ ÓÙ φ(p 1 +P 2 ) = φ(p 1 )+φ(p 2 ) P 1,P 2 E. Ç ÖÚ ÕÙ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ò Ð + Ó Ñ E Ó ÙÒ Ó Ó Ñ E Ò Ð ÑÓ Ó Ù ÒØ Ó Ë P 1 = O P 2 = P O, E φ(o+p) = φ(o)+φ(p) = φ(p). Ë P 1 = T = P 2 E φ(t +T) = φ(2t) = φ(o) = O φ(t)+φ(t) = O+O = O. ÆÓØ ÕÙ 2T Ø Ñ ÓÖ Ñ Ó ÔÓ y = 0 ÐÓ Ó 2T = O Ë P 1 = T (x 2,y 2 ) P 2 = P = (x 1,y 1 ) = (x,y) E ÓÑ x 0 Ø ÑÓ Ô Ð ÖÑÙÐ ÙÔÐ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ P +T = (x 3, y 3 ) ÓÒ x 3 = λ 2 a x 1 x 2 ÓÒ λ = y 2 y 1 x 2 x 1 y 3 = λx 3 +v, ÓÒ v Ó Ó ÒØ Ð Ò Ö Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ P T.