x y = x + y 1 ( 2) = 1, (5 + 3) 2 = 10

Transcrição

1 ÍÅ ÈÇÍ Ç ÇÅ ÌÊÁ ÌÊÇÈÁ Ä ÉÙ ØÖ Ò ÙÖ ÓÑ ÔÖÓÔÖ Ñ Ø Ö Ó ÓÒ Ñ¹ ÔÓÖ ØÖ Ò Ñ Ø Ó ÒÓÑ ÓÑ ØÖ ØÖÓÔ Ð ÒØÖ Ó ØÖ Ô Ó Ñ ÓÑÓ Ñ ÓÙØÖÓ ÐÙ Ö Ð ÒÓÒØÖ Ö Ð Ó Ñ ÑÔÐ Ó ÕÙ ÙÑ Ö Ø º Ö ÒÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ó ØÓ ØÙ Óº ÍÑ Ö Ø ØÖÓÔ Ð ÓÖÑ ÔÓÖ Ñ ¹Ö Ø Ù Ù Ö ( 1,0) (0, 1) (1,1) Ñ Ò Ò Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ó ÔÐ ÒÓº ÈÓ ¹ Ô Ö ÙÒØ Ö ÓÑ Ö ÞÓ ÔÓÖÕÙ Ñ Ö Ö Ø ØÖÓÔ Ð ÓÙ ÒÓ Ø Ó ØÓ Þ ÖÖÓ ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ô Ò Ò Ó Ñ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ö Ø ØÖÓÔ Ø Þ Ñ Ñ Ñ ÔÖÓÔÖ ÓÑ ØÖ ÕÙ Ö Ø ÒÓÖÑ ÓÙ Ð Ù Ö Ø ØÖÓÔ ÓÒÓÖÖ Ñ ÒÙÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ Ú Ö ÙÖ ½ µ Ó ÔÓÒØÓ Ó ÔÐ ÒÓ Ò Ñ ÙÑ Ò Ö Ø ØÖÓÔ Ð Ú Ö ÙÖ ½µº µ µ µ ÙÖ ½º Ö Ø ØÖÓÔ Ð Å ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ñ ÓÖ Ñ ÒÓ Ú Ú Ð ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ð ØÖÓÔ Ó Ñ ÔÓÖ ÙÑ ÕÙ Ó ÓÖÑ ax+by + c = 0º ÆÓ ÓÒØ ÜØÓ Ð Ö Ù Ù Ð ÓÒ Ñ ÑÓ Ó ÙÑ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÙÑ ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ö ÓÒ ÑÓ ÐÑ ÒØ ÙÑ Ö Ø Ð Ò ÕÙ Óº Å ÒÓ ÑÙÒ Ó ØÖÓÔ Ð ÓÒ Ö ÕÙ Ö Þ Ö ØÓÑ Ö Ó Ñ Ü ÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ò ÓÒ Ö ØÓ Ó Ó Ó ØÓ ÐØ Ö Ñ ÓÖÑ È Ö Þ Ö Ú Ö Ñ ÑÓ Ö Ù Ð ¼ Ø Ñ ÓÙØÖÓ ÒØ Óººº ÓÑ ØÖ Ð ØÖÓÔ ÒØÓ Ó Ð ÓÖ ÙÒ Ó Ó Ñ ÑÓ ÔÖ Ò Ô Ó Ô ÖØ Ö Ó ÑÓ Ó Ø ÒØÓ ÐÙÐÓº Ð Ó Ñ Ò Ù Ð Ö Ö ÒØ º ÓÑ ØÖ ØÖÓÔ Ð ÓÒØÙ Ó ÒÓ Ô Ò ÙÑ Ö Ò Ö Ô Ö Ñ Ø Ñ Ø Ó ÓÙÔ Ó º Ç ÑÙÒ Ó Ð Ó ÔÓ Ö Ò Ö Ó Ø Ó ÑÙÒ Ó ØÖÓÔ Ð Ó Ó ØÓ ØÖÓÔ ÓÒ ÖÚ Ñ Ò ØÙÖ Ð¹ Ñ ÒØ Ð ÙÑ ÔÖÓÔÖ Ó Ó ØÓ Ð Ó Ó ÕÙ Ó Ó Ð Ñ Ø º Ñ ÙÑ ÒÙÒ Ó ØÖÓÔ Ð Ø Ñ ÑÙ Ø Ò ÔÓ Ù Ö ÙÑ ÒÙÒ Ó Ð Ó Ñ Ð Öº ÈÓÖ Ñ Ó Ó ØÓ ØÖÓÔ Ó Ð Ò Ö ÔÓÖ Ô ÖØ ÔÓÖØ ÒØÓ Ó ÑÙ ØÓ Ñ ÑÔÐ ØÙ Ö ÕÙ Ó Ù Ò ÐÓ Ó Ð Ó ÈÓ Ö ÑÓ ÒØÓ Ö ÙÑ Ö ÓÖ Ñ ØÖÓÔ Ð Ô ÐÓ Ù ÒØ ÔÖ Ò Ô Ó ØÙ Ö Ó ØÓ ÑÔÐ ÒÙÒ Ö Ø ÓÖ Ñ Ó Ö Ó ØÓ ÓÑÔÐ Ó ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ Ø Ø ÜØÓ Ó Ð Ö ØÖÓÔ Ð ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð ÙÑ Ù ÔÖÓÔÖ º ÜÔÐ ÑÓ Ñ Ù ÔÓÖÕÙ ÓÑ ØÖ Ð ØÖÓÔ Ð Ó Ú ÒÙ¹ Ð ÑÓ ØÖ Ò Ó Ù ÒØ Ñ ÒØ ÓÑÓ Ó ÑÙÒ Ó Ð Ó ÔÓ Ö Ò Ö Ó Ø Ó ÑÙÒ Ó ØÖÓÔ Ðº ÌÖ ÙÞ Ó Ó Ö Ò ÔÓÖ Ñ ÑÓÖ Ò Í Å µ ² Æ ÓÐ ÈÙ Ò Ù Í Êµ ½

2 ¾ Ñ Ù ÐÙ ØÖ ÑÓ Ó ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ ÒØ Ô ÐÓ Ñ ØÓ Ó Ñ Ó Ô Ø ÛÓÖ Ô Ö ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÖÚ Ð Ö Ö ÔÓÖ Ñ Ó Ñ º Ì ÖÑ Ò ÑÓ Ø Ø ÜØÓ Ò Ó Ð ÙÑ Ö Ö Ò Ð Ó Ö º Å ÒØ ÓÑ Ö Ú ÑÓ ÜÔÐ Ö Ó ÔÓÖÕÙ Ô Ð ÚÖ ØÖÓÔ Ð º Ë Ö Ú Ó ÓÖÑ Ü Ø Ó Ó ØÓ ÓÒ Ö Ó ü ÔÖ Ò Ñ ÓÑ ÕÙ Ð ØÓ ÒØ Ð Ö Ð Ö ØÖÓÔ Ð Ù Ú ¹ Ó ÒÓÑ Ñ ÔÖ Ø Ó Ð Ö Ñ Ü¹ÔÐÙ º Ô Ö ÓÒÖ Ö Ó ØÖ Ð Ó Ó Ù ÓÐ Ö Ð ÖÓ ÁÑÖ Ë ÑÓÒ ÕÙ Ô ÕÙ ÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö È Ö Ö Ñ ØÖÓ Ö Ñ Ü¹ÔÐÙ ÔÓÖ ØÖÓÔ Ð º Ü ÑÓ ÓÒÐÙ Ó Ï Ô ½ Ó Ö ÓÖ Ñ Ô Ð ÚÖ ØÖÓÔ Ð Ø ÑÔÐÝ Ö Ø Ø Ö Ò Ú Û ÓÒ Ö Þ Ðº ½º ýð Ö ØÖÓÔ Ð ½º½º ÇÔ Ö ØÖÓÔ º Ð Ö ØÖÓÔ Ð Ó Ø ÓÒ Ö Ò Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö R Ù Ø ØÙ Ò Ó Ó Ô ÐÓ Ñ Ü ÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ô Ð Óº Ñ ÓÙØÖ Ô Ð ÚÖ Ó Ò Ù ÒÓÚ ÓÔ Ö Ó Ö R Ñ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ó ØÖÓÔ ÒÓØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ + Ò ÔÓÖ x + y = max(x,y) x y = x + y Æ Ø Ø ÜØÓ ÓÔ Ö Ð Ö ØÖÓÔ Ó ÒÓØ ÒØÖ Ô º ÓÑÓ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ð Ö Ú ÑÓ ÑÙ Ø Ú Þ x y ÔÓÖ xy º Î ÑÓ ÒÓ Ñ Ð Ö Þ Ö ÓÑ Ù ÓÔ Ö ØÖ Ò Þ Ò Ó Ð ÙÒ ÐÙÐÓ ÑÔÐ = 1, 1 + =, = 3, 1 = 3, 1 ( + ( 1)) = 3, 1 ( ) = 1, (5 + 3) = 10 Ù ÓÔ Ö ØÖÓÔ Ø Ñ ÑÙ Ø ÔÖÓÔÖ Ñ ÓÑÙÑ ÓÑ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ð º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ñ Ó ÓÑÙØ Ø Ú ÓÔ Ö Ó ØÖ ÙØ Ú Ñ Ö Ð Ó + º º (x+y)z = xz +yz µº Ü Ø Ñ ÓÒØÙ Ó Ù Ö Ò º Ñ ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÙ Ö Ó ØÖÓÔ Ð ÒÓ Ø Ñ Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ñ Rº Å ÕÙ Ð ÑÔÓÖØÒ ÈÓ ÑÓ Ø Ò Ö Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÒÓ Ù ÓÔ Ö ØÖÓÔ Ñ x T, x + ( ) = max(x, ) = x e x ( ) = x + ( ) = ÓÒ T = RR Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ØÖÓÔ º ÒØÓ Ó Ö ÒØ Ö R Ó ØÖÓÔ Ð ÔÓ Ù ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓº ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ü Ø ÙÑ Ö Ò Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÒØÖ ØÖÓÔ Ð Ð ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ R ÒÓ Ø Ñ Ñ ØÖ Ó Ô Ö ÓÔ Ö Ó + º Ñ ÓÙØÖ Ô Ð ÚÖ ÒÓ Ò Ù ØÖ Ó ØÖÓÔ Ðº Ð Ñ Ó Ú Þ ÒÓ ÒØ Ñ Ö ÒØ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ì Ô Ö Ö Ö Ñ ØÖ Ó º ÓÑ ØÓ + ÑÔÓØ ÒØ ØÓ x+x = x Ô Ö ØÓ Ó x Ñ T ÒØÓ ÒÓ Ø ÑÓ ÓÙØÖ ÓÔÓ ÒÓ Ö ÔØ Ö¹ÒÓ ÓÑ Ù Ò Ñ ØÖ Ó Ô Ö + º ÈÓÖ Ñ Ñ ÒÓ ÐØ ÑÓ ÔÓÒØÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ T ÑÙÒ Ó ÓÔ Ö + Ø Þ ØÓ ÓÙØÖ ÔÖÓÔÖ ÙÑ ÓÖÔÓº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ 0 Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ó ØÖÓÔ Ð ÕÙ ÐÕÙ Ö Ð Ñ ÒØÓ x T Ø ÒØÓ Ø Ñ ÓÑÓ ÒÚ Ö Ó 1 x = xº Þ ÑÓ ÕÙ T ÙÑ Ñ ¹ÓÖÔÓº Ù Ó ÒÓ Ö Ö Ô Ó Ñ Ò Ö Ø ÖÑÙÐ ØÖÓÔ Ñ x x + x Ñ x = x + Ø Ñ Ñ 1x x Ñ 1x = x + 1 ÓÙ Ò 0x = x ( 1)x = x 1º ½ ½ Å ÖÓ ¾¼¼ º

3 ÍÅ ÈÇÍ Ç ÇÅ ÌÊÁ ÌÊÇÈÁ Ä ½º¾º ÈÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ º Ô Ø Ö Ò Ó Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ó ØÖÓÔ ÑÓ Ò ¹ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÓÒ Ö Ö ÙÒ Ó Ø ÔÓ P(x) = d i=0 a ix i ÓÑ Ó a i Ñ T ØÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ ¾ º Ê Ö Ú Ò Ó P(x) ÓÑ ÒÓØ Ð Ó Ø Ñ¹ P(x) = max d i=1 (a i +ix)º ÜÓ Ð ÙÒ Ü ÑÔÐÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ x = x, 1 + x = max(1,x), 1 + x + 3x = max(1,x,x + 3), 1 + x + 3x + ( )x 3 = max(1,x,x + 3,3x ) Ø ÖÑ Ò ÑÓ ÓÖ Ö Þ ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ðº Å ÒØ Ñ Ò Ó ÕÙ ÙÑ Ö Þ ØÖÓÔ Ð ÒÓÒØÖ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÕÙ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ØÖÓÔ Ð ÙÑ ÒÓÓ Ð Ø Ñ Ú Ö Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ ÒÓ Ó Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÒÓ ÑÙÒ Ó ØÖÓÔ Ðº Ò Ó ÙÑ Ñ ÑÓ Ó ØÓ Ð Ó Ö ÒØÓ ÔÓØ Ò ÐÑ ÒØ Ø ÒØÓ ÕÙ ÒØÓ Ó ØÓ ØÖÓÔ Ö ÒØ º ÔÖ Ñ Ö Ò Ó ÙÑ Ö Þ ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ð Ó P(x) ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ x 0 Ø Ð ÕÙ P(x 0 ) = 0º Ë Ð Ú ÑÓ Ø Ò Ó Ô Ö Ð Ö ØÖÓÔ Ð ÔÖÓÙÖ ÑÓ ÒØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ x 0 Ñ T Ø ÕÙ P(x 0 ) = º ÈÓÖ Ñ a 0 Ó Ø ÖÑÓ ÓÒ Ø ÒØ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó P(x) ÒØÓ P(x) a 0 Ô Ö ØÓ Ó x Ñ Tº ÒØÓ a 0 Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó P(x) ÒÓ Ø Ñ Ö Þººº Ø Ò Ó ÒÓ ÑÙ ØÓ Ø Ø Ö º ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ ÒØ x 0 ÙÑ Ö Þ Ð Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó P(x) Ü Ø ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Q(x) Ø Ð ÕÙ P(x) = (x x 0 )Q(x)º Î ÑÓ Ú Ö ÓÖ ÕÙ Ø Ò Ó Ó Ò Ð Ö ØÖÓÔ Ðº È Ö ÓÑÔÖ Ò ¹Ð ÓØ ÑÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ú Ø ÓÑ ØÖ Ó Ó Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ º ÍÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ð ÙÑ ÙÒÓ Ñ ÔÓÖ Ô ÖØ Ú Ö ÙÖ ¾µ Ñ ÑÓ Ö Þ ØÖÓÔ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó P(x) ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÓÒØÓ x 0 T Ô Ö Ó ÕÙ Ó Ö Ó P(x) Ø Ñ ÙÑ ÕÙ Ò Ñ x 0 º Ð Ñ Ó Ö Ò ÒØÖ Ù ÒÐ Ò ÒØ ÙÑ Ö Þ ØÖÓÔ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Þº Ñ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó 0 + x Ø Ñ ÓÑÓ Ö Þ ÑÔÐ 0 Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó 0 + x + ( 1)x Ø Ñ ÓÑÓ Ö Þ ÑÔÐ 0 1 Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó 0 + x Ø Ñ 0 ÓÑÓ Ö Þ ÙÔÐ º (, ) (, ) (, ) µ P(x) = 0 + x µ P(x) = 0 + x + ( 1)x µ P(x) = 0 + x ÙÖ ¾º Ü ÑÔÐÓ Ö Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ö Þ ØÖÓÔ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó P(x) = d i=0 a ix i = max d i=1 (a i + ix) Ó ÒØÓ Ü Ø Ñ ÒØ Ó Ò Ñ ÖÓ ØÖÓÔ x 0 Ô Ö Ó ÕÙ Ü Ø i j Ø ÕÙ P(x 0 ) = a i + ix 0 = a j + jx 0 º Þ ÑÓ ÕÙ Ó Ñ Ü ÑÓ P(x) Ø Ò Ó Ù Ú Þ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ µ Ñ x 0 º Æ Ø Ó ÑÙÐØ ÔÐ x 0 Ó Ñ Ü ÑÓ i j ÒØÖ ØÓ Ó Ó i j ÔÓ Ú ÕÙ ÙÑÔÖ Ñ Ø Ñ Ü ÑÓº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó Ñ Ü ÑÓ P(x) = 0+x+x Ø Ò Ó Ú Þ Ñ 0 ÑÙÐØ ÔÐ Ö Þ º Ñ Ò Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ x 0 ÙÑ Ö Þ ØÖÓÔ Ð ÑÙÐØ ÔÐ k P(x) Ü Ø Ö ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Q(x) Ø Ð ÕÙ P(x) = (x + x 0 ) k Q(x) º ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ó ØÓÖ x x 0 Ò Ð Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ÒÓ ØÓÖ x + x 0 Ó ÕÙ Ö Þ ÔÓÐ ÒÑ Ó x + x 0 x 0 ÒÓ x 0 º Ò Ó Ö Þ ØÖÓÔ Ð Ô Ö Ð Ö Ñ ÒØ Ñ Ø Ø Ö ÕÙ ÔÖ Ñ Ö º ØÓ Ø ÑÓ ÔÖÓÔÓ Ó Ù ÒØ ¾ ÓÒ Ö ÑÓ ÓÑ ØÓ ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ñ Ú Þ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó º

4 ÈÖÓÔÓ Ó ½º½º Ç Ñ ÓÖÔÓ ØÖÓÔ Ð Ð Ö Ñ ÒØ Ó ØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ð Ö Ù d Ø Ñ Ü Ø Ñ ÒØ d Ö Þ ØÖÓÔ ÓÒØ ÓÑ ÑÙÐØ ÔÐ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ø ÑÓ ØÓÖ Ù ÒØ 0 + x + ( 1)x = ( 1)(x + 0)(x + 1) et 0 + x = (x + 0) ½º º Ü Ö Ó º ½µ ÓÑÓ Ó ØÓ Ó ØÖÓÔ Ð Ö ÑÔÓØ ÒØ ÑÔ Ü Ø Ò Ñ ØÖ Ó Ô Ö Ó ¾µ ÓÒ ØÖÙ Ó Ö Ó Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ P(x) = x 3 + x + 3x + ( 1) Q(x) = x 3 + ( )x + x + ( 1) Ø ÖÑ Ò Ù Ö Þ ØÖÓÔ º µ Ë a Ñ R b c Ñ Tº Ø ÖÑ Ò Ö Þ ÔÓÐ ÒÓÑ ØÖÓÔ ax+b ax +bx+c º ¾º ÙÖÚ ØÖÓÔ ¾º½º Ò Óº ÆÓ Ú ÑÓ ÒÓ Ù Ø Ö Ú ÑÓ ÙÑ ÒØ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ú Ö Ú Ó ÒÓ Ó ÔÓÐ Ò¹ Ñ Ó º ÍÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ð Ñ Ù Ú Ö Ú Ö ØÓ ÓÑÓ P(x,y) = i,j a i,jx i y j ÓÙ Ò P(x,y) = max i,j (a i,j + ix + jy) Ò ÒÓØ Ó Ð º Ñ P(x,y) Ò ÙÑ ÙÒÓ Ñ ÔÓÖ Ô ÖØ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ò ÔÓÖ P(x,y) Ó ÐÙ Ö Ó ÕÙ Ò ÙÒÓº Ñ ÓÙØÖ Ô Ð ÚÖ ÓÒ Ø ØÙ Ó ÔÓÒØÓ (x 0,y 0 ) T Ô Ö Ó ÕÙ Ó Ñ Ü ÑÓ P(x,y) Ø Ò Ó Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Ù Ú Þ Ñ (x 0,y 0 )º ÓÒ ÑÓ Ñ Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ø Ö ÑÓ Ø ØÓ Ò Ø Ø ÜØÓ Ñ ØÙ Ö ÙÖÚ ØÖÓÔ Ñ R Ñ Ú Þ T º Á Ó ÒÓ ÔÖ Ù Ò Ö Ð Ó ÕÙ ÙØ Ó ÕÙ Ò Ò Ó ÒÙÒ Ó Ó Ò Ó Ñ Ñ ÑÔÐ Ñ ÓÑÔÖ Ò Ú º ÇÐ ÑÓ Ö Ø ØÖÓÔ Ð Ò Ô ÐÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó P(x,y) = 1 + x + ( 5)y º Ò Ö Ó ÒØÓ ÔÖÓÙÖ Ö Ó ÔÓÒØÓ (x 0,y 0 ) ÒÓ R ÕÙ Ú Ö Ñ ÙÑ Ó ØÖ Ø Ñ Ù ÒØ + x 0 = y 0, 5 + y 0 = 1 + x 0, + x 0 = 5 + y 0 1 ÒÓ Ö Ø ØÖÓÔ Ð ÒØÓ ÓÒ Ø ØÙ ØÖ Ñ ¹Ö Ø {( ,y) y } {(x, ) x 3 } {(x,x + 7) x 3 } Ú Ö ÙÖ µº µ 1 + x + ( 5)y µ 3 + x + y + 3xy + y + x µ 0 + x + y + ( 1)x ÙÖ º Ð ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ ÐØ ¹ÒÓ Ò ÙÑ Ó Ô Ö Ò Ö Ö ÓÖÓ Ñ ÒØ ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ðº Ç ÐÙ Ö ÕÙ Ò ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ð ÓÑ Ù Ú Ö Ú ÓÒ Ø ØÙ Ó Ñ ÒØÓ Ñ ¹Ö Ø Ñ Ó Ö Ø ÇÙØÖ Ú Þ Ù Ð Ó Ú Ö Ö Ñ Ö Ð Ó ÙÒ ÔÓÐ ÒÑ ÒÓ Ñ Ö Ð Ó Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ñ 0 + x Ø (0 + x) Ó Ù ÓÑÓ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ ÒÓ ÓÑÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó º

5 ÍÅ ÈÇÍ Ç ÇÅ ÌÊÁ ÌÊÇÈÁ Ä Ó ÕÙ ÓÖØ Ñ Ñ ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ú ÖØ º ÓÑÓ ÒÓ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö Ô Ö Ö Ø Ö Ò ÒÐ Ò Ó P(x,y) Ó Ó Ð Ó Ö Ø º ÑÓ Ñ Ù ÒØ Ò Ó ÓÖÑ Ðº Ò Ó ¾º½º Ë P(x,y) = i,j a i,jx i y j ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ðº ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð C Ò ÔÓÖ P(x,y) Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ (x 0,y 0 ) R Ø ÕÙ Ü Ø Ñ (i,j) (k,l) ÕÙ Ú Ö ÕÙ Ñ P(x 0,y 0 ) = a i,j + ix 0 + jy 0 = a k,l + kx 0 + ly 0 º ÓÒ Ö Ò Ó ÙÑ Ö Ø C Ò ÑÓ Ó Ô Ó Ö Ø ÓÑÓ Ó Ñ Ü ÑÓ Ó MDC Ó Ò Ñ ÖÓ i k j l Ô Ö Ô Ö (i,j) (k,l) ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ó Ö Ø º ÆÓ Ò Ó Ö Ú Ö ÑÓ Ó Ô Ó ÙÑ Ö Ø Ó Ð Ó Ô Ò Ó Ô Ó ÓÖ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ¾º ÆÓ Ó Ö Ø ØÖÓÔ Ð ØÓ Ö Ø Ó Ô Ó ½ ÒØÓ ÙÖ Ö Ú Ø Ú Ñ ÒØ ÙÑ Ö Ø ØÖÓÔ Ðº Ó Ü ÑÔÐÓ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ö Ù ¾ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º Ò ØÖÓÔ Ð ÙÖ Ø Ñ Ù Ö Ø Ô Ó º ¾º¾º ËÙ Ú Ó Ù Ðº ÍÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ð P(x,y) ÒØÓ Ó Ô ÐÓ Ñ Ü ÑÓ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÙÒ Ò ÕÙ Ó Ó ÑÓÒÑ Ó P(x,y)º Ð Ñ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ó ÔÐ ÒÓ Ô ÐÓ ÕÙ Ó Ñ ÒÓ Ó ÑÓÒÑ Ó Ö Ð Þ Ñ Ø Ñ Ü ÑÓ Ó ÔÖ Ñ ÒØ Ó ÔÓÒØÓ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ò ÔÓÖ P(x,y)º Ê Ò ÑÓ ÙÑ ÔÓÙÓ Ø ØÙ Ó Ô Ö ÔÓÒØÓ (x 0,y 0 ) C ÓÒ Ö ÑÓ ØÓ Ó Ó ÑÓÒÑ Ó P(x,y) ÕÙ Ö Ð Þ Ñ Ø Ñ Ü ÑÓ Ñ (x 0,y 0 )º ØÙ ÑÓ Ñ ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÙ Ö Ó Ó Ö Ø ØÖÓÔ Ð C Ò ÔÓÖ P(x,y) = 1 + x + ( 5)y Ú Ö ÙÖ µº ÆÓ ÔÓÒØÓ ( 3, 11 ) Ó Ú ÖØ Ö Ø Ó ØÖ ÑÓÒÑ Ó 1 = 1 x0 y 0 x = x 1 y 0 ( 5)y = ( 5)x 0 y 1 Ø Ñ Ó Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖº Ç ÜÔÓ ÒØ Ø ÑÓÒÑ Ó Ó Ó ÔÓÒØÓ (0,0) (1,0) (0,1) Ò Ñ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ 1 Ú Ö ÙÖ µº Ó ÐÓÒ Ó Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð C Ó Ú ÐÓÖ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó P(x,y) Ó Ô ÐÓ ÑÓÒÑ Ó 0 y ØÓ Ô ÐÓ ÑÓÒÑ Ó ÜÔÓ ÒØ (0,0) (0,1)º Ç Ñ ÒØÓ Ò Ó ÔÓÖ Ø Ó ÜÔÓ ÒØ ÒØÓ Ö Ø Ú ÖØ Ð Ó ØÖ Ò ÙÐÓ 1 º Ó Ñ ÑÓ ÑÓ Ó Ó ÑÓÒÑ Ó ÕÙ Ó Ó Ú ÐÓÖ P(x,y) Ó ÐÓÒ Ó Ö Ø Ú ÖØ Ð Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒÐ Ò Ó 1µ C Ø Ñ ÜÔÓ ÒØ (0,0) (1,0) Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ (1,0) (0,1)µ Ó Ñ ÒØÓ Ò Ó ÔÓÖ Ø ÜÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒÐ Ò Ó 1µ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ 1 º Ç ÕÙ Ð Ñ Ö Ö Ø ÙÖØÓ Ü Ö Ó ÇÐ Ò Ó Ó ÑÓÒÑ Ó ÕÙ Ó Ó Ú ÐÓÖ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ð P(x,y) ÒÙÑ ÔÓÒØÓ Ö Ø ØÖÓÔ Ð C Ú ÑÓ ÕÙ Ó Ú ÖØ C ÓÖÖ ÔÓÒ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ 1 ÕÙ Ö Ø e C ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÑ Ö Ø 1 Ù Ö Ó Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö eº ÇÐ ÑÓ ÓÖ Ò ØÖÓÔ Ð Ò Ô ÐÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó P(x,y) = 3 + x + y + 3xy + x + y Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º ÙÖÚ Ø Ñ ÔÓÖ Ú ÖØ Ó ÕÙ ØÖÓ ÔÓÒØÓ ( 1,1) ( 1,) (1, 1) (, 1)º Ñ ÙÑ Ø Ú ÖØ (x 0,y 0 ) Ó Ú ÐÓÖ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó P(x,y) Ó ÔÓÖ ØÖ ÑÓÒÑ Ó P( 1,1) = 3 = y 0 + = x 0 + y P( 1,) = y 0 + = x 0 + y = y 0 P(1, 1) = 3 = x 0 + = x 0 + y P(, 1) = x 0 + = x 0 + y = x 0 Ñ Ô Ö Ú ÖØ C Ó ÜÔÓ ÒØ Ó ØÖ ÑÓÒÑ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ò Ñ ÙÑ ØÖ Ò¹ ÙÐÓ ÕÙ ØÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÔÓ ØÓ ÓÑÓ Ò ÙÖ º Ð Ñ Ó ÓÑÓ ÒÓ Ó Ö Ø Ô Ö Ö Ø e C Ó ÜÔÓ ÒØ Ó ÑÓÒÑ Ó ÕÙ Ó Ó Ú ÐÓÖ P(x,y) Ó ÐÓÒ Ó e Ò Ñ ÙÑ Ö Ø ÓÙ Ù µ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ó Ö Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö eº ÜÔÐ Ö ÑÓ ÓÖ Ø ÒÑ ÒÓ Ñ ØÓ Ò Ö Ð º Ë P(x,y) = i,j a i,jx i y j ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ð ÕÙ ÐÕÙ Öº Ç Ö Ù P(x,y) Ó Ñ Ü ÑÓ ÓÑ i + j Ô Ö Ó Ó ÒØ a i,j Ö ÒØ º È Ö ÑÔÐ Ö ØÓ Ó Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù d ÓÒ Ö Ó Ò Ø Ø ÜØÓ Ø Þ Ñ a 0,0 a d,0 a 0,d º Ñ ÒÚÓÐØ Ö ÓÒÚ Ü Ó ÔÓÒØÓ (i,j) Ø ÕÙ a i,j Ó ØÖ Ò ÙÐÓ d Ú ÖØ (0,0) (d,0) (0,d)º

6 Ë v = (x 0,y 0 ) ÙÑ Ú ÖØ C ÒØÓ ÒÚÓÐØ Ö ÓÒÚ Ü Ó ÔÓÒØÓ (i,j) Ñ d Z Ø ÕÙ P(x 0,y 0 ) = a i,j +ix 0 +jy 0 ÙÑ ÔÓÐ ÓÒÓ v ÒÐÙ Ó Ñ d º Ó Ñ ÑÓ ÑÓ Ó (x 0,y 0 ) ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ ÙÑ Ö Ø e ÒØÓ ÒÚÓÐØ Ö ÓÒÚ Ü Ó ÔÓÒØÓ (i,j) Ñ d Z Ø ÕÙ P(x 0,y 0 ) = a i,j + ix 0 + jy 0 ÙÑ Ñ ÒØÓ δ e ÒÐÙ Ó Ñ d º ÓÑÓ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ð P(x,y) ÙÑ ÙÒÓ ÓÒÚ Ü Ñ ÔÓÖ Ô ÖØ ÙÒ Ó Ó v ÓÖÑ ÙÑ Ù Ú Ó d º Ñ ÓÙØÖ Ô Ð ÚÖ ÙÒ Ó Ó ÔÓÐ ÓÒÓ v Ù Ð Ó ØÖ Ò ÙÐÓ d Ó ÔÓÐ ÓÒÓ v v Ø Ñ ÓÙ ÙÑ Ö Ø ÓÑÙÑ ÓÙ ÙÑ Ú ÖØ ÓÑÙÑ ÓÙ ÒÓ ÖÙÞ Ñº Ð Ñ Ó e ÙÑ Ö Ø C ÒØ Ó Ú ÖØ v ÒØÓ δ e ÙÑ Ö Ø v Ö e δ e Ó Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö º Ø Ù Ú Ó d Ñ Ù Ú Ó Ù Ð ÙÖÚ Cº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ù Ú Ù ÙÖÚ ØÖÓÔ ÙÖ Ó Ò Ò ÙÖ Ó ÔÓÒØÓ ÔÖ ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ ÓÑ ÓÓÖ Ò ÒØ Ö ÒÓ Ó Ò Ö Ñ ÒØ Ú ÖØ Ù Ú Óµº Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ e ÙÑ Ö Ø Ô Ó w Ñ C Ó Ñ ÒØÓ δ e ÓÒØ Ñ w + 1 ÔÓÒØÓ Ñ Z º Ñ Ó Ö Ù ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð ÔÓ Ö Ð Ó Ö Ø Ñ ÒØ Ò ÙÖÚ ÓÑ Ó Ô Ó Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ó ( 1,0) ÓÙ (0, 1) ÓÙ Ò (1,1)µº Ð Ñ Ó ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ô Ð Ù Ù Ú Ó Ù Ð Ñ ÒÓ ØÖ Ò Ð Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ö Ø º µ µ µ ÙÖ º Ð ÙÑ Ù Ú Ù ¾º º Ö Ó ÕÙ Ð Ö Ó ÙÖÚ ØÖÓÔ º ÔÖ Ñ Ö ÓÒ ÕÙ Ò Ù Ð Ó ØÓ ÕÙ ÙÑ ÖØ ÕÙ Ó Ñ Ö Ð Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ú Ö Ñ ØÓ Ó Ó Ú ÖØ ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ðº Ë v ÙÑ Ú ÖØ C ÒØ Ö Ø e 1,...,e k Ô Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ w 1,...,w k º ÓÑÓ e i ÙÔÓÖØ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ö Ø ÒÓ ÒØ Ó Ù Ù Ðµ Ù ÕÙ Ó Ø Ñ Ó ÒØ ÒØ ÖÓ Ü Ø ÙÑ Ò Ó Ú ØÓÖ ÒØ ÖÓ v i = (α,β) Ñ e i ÓÑ MDC(α,β) = 1 ÓÖ Ñ Ó Ú ÖØ v Ú Ö ÙÖ µº ÔÓ Ó ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÐ ÓÒÓ v Ù Ð v ÙÞ¹ Ñ Ø Ñ ÒØ Ó Ú ØÓÖ w 1 v 1,...,w k v k ÓÖ ÒØ ÑÓ Ó ÓÖ Ó v ÒÓ ÒØ Ó ÒÚ Ö Ó Ó ÔÓÒØ ÖÓ ÙÑ Ö Ð Ó ÒØÓ Ö Ø δ ei v Ù Ð e i Ó Ø Ô ÖØ Ö Ó Ú ØÓÖ w i v I ÔÓÖ ÖÓØ Ó Ò ÙÐÓ π Ú Ö ÙÖ µº Ó ÕÙ v Ó Ð ÑÓ ÒØÓ Ñ Ø Ñ ÒØÓ Ö Ð Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ù ÒØ k w i v i = 0 i=1 ÍÑ Ö Ó ÒÓ R ÕÙ Ú Ö Ö Ð Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ñ ØÓ Ó Ó Ù Ú ÖØ Ñ Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ö Óº ÑÓ ÒØÓ ÑÓÒ ØÖ Ö ÕÙ ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð ÑÔÖ ÙÑ Ö Ó ÕÙ Ð Ö Óº Ì ÑÓ ÕÙ Ö ÔÖÓ Ú Ö Ö º Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º ÙÖÚ ØÖÓÔ ÒÓ R Ó Ü Ø Ñ ÒØ Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ö Ó º Ñ ÔÓ ¹ ÖÑ Ö ÕÙ Ü Ø Ñ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ö Ù Ù ÙÖÚ ØÖÓÔ Ó Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º Ì Ñ Ñ Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ô Ö Ó Ù Ú Ó 3 Ù Ð ÙÖÚ º

7 ÍÅ ÈÇÍ Ç ÇÅ ÌÊÁ ÌÊÇÈÁ Ä v v 3 µ µ ÙÖ º Ê Ð ÕÙ Ð Ö Ó µ µ µ ÙÖ ¾º º Ü Ö Ó º ½µ Ò ÙÖÚ ØÖÓÔ Ò Ô ÐÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ P(x,y) = 5 + 5x + 5y + 4xy + 1y + x Q(x,y) = 7 + 4x + y + 4xy + 3y + ( 3)x Ñ ÓÑÓ Ù Ù Ú Ù º ¾µ ÍÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ØÖÓÔ Ð ÙÑ Ö Ó R Ð Ñ Ø ÔÓÖ ØÖ Ö Ø ØÖÓÔ º ÉÙ Ó ÓÖÑ ÔÓ Ú ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ØÖÓÔ Ð µ ÅÓ ØÖ ÕÙ ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ö Ù d Ø Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ d Ú ÖØ º µ ÒÓÒØÖ ÙÑ ÕÙ Ó Ô Ö ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð ÙÖ º Ä Ñ Ö ÑÓ ÕÙ v ÙÑ Ú ÖØ ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ò Ô ÐÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ð P(x,y) ÒØÓ Ó Ú ÐÓÖ P(x,y) ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò v Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ô ÐÓ ÑÓÒÑ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ó Ó ÔÓÐ ÓÒÓ Ù Ð vº º ÁÒØ Ö Ó ØÖÓÔ Ð º½º Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙغ ÍÑ Ó Ñ ÓÖ ÒØ Ö ÓÑ ØÖ ØÖÓÔ Ð ÓÖÒ Ö ÙÑ ÑÓ ÐÓ ÑÔÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ø ÓÖ Ñ Ó Ó Ö ÒØ Ö Ó ÙÖÚ ØÖÓÔ ÔÖ Ñ ÙÑ Ñ Ð Ö Ð Ö Ñ ÒØ Ñ ÒÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ó Ù ÓÑ ÐÓ Ó Ð Ó º Î ÑÓ ÐÙ ØÖ Ö Ø ÔÖ Ò Ô Ó ÓÑ Ó Ø ÓÖ Ñ ÞÓÙØ ÕÙ Ð ÖÑ ÕÙ Ù ÙÖÚ Ð Ö ÔÐ Ò Ö Ù d 1 d ÓÖØ Ñ¹ Ñ d 1 d ÔÓÒØÓ º ÒØ Ó Ó Ö Ð ÓÐ ÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ö Ø Ò ØÖÓÔ º Ü ØÓ ÔÓÖ ÒØ Ù Ö Ø ØÖÓÔ ÓÖØ Ñ ÒÙÑ ÔÓÒØÓ Ò Ó Ú Ö ÙÖ µ Ø Ð ÓÑÓ Ñ ÓÑ ØÖ Ð º ÓÖ ÙÑ Ö Ø ÙÑ Ò ØÖÓÔ Ð ÓÖØ Ñ¹ Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ë ÓÒØ ÑÓ Ù Ó Ó ÙÑ Ø ÓÖ Ñ ÓÑ ØÖ ÔÖÓ Ø Ú ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ù Ö Ø Ò ÔÓ Ñ Ö Ô Ö Ð Ð ººº

8 ÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Ò Ñ ÖÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ö ÔÓ Ø Ú Þ Ñ ÙÖ µ Ú Þ ÒÓ ÙÖ µººº µ µ µ ÙÖ º ÁÒØ Ö Ó Ö Ø Ø ÓÒ ØÖÓÔ ÓÑ ØÓ Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ò Ö Ø ØÖÓÔ Ò ÙÖ Ú Ö ÓÒØ Ó ¾ Ú Þ º Å ÔÓÖ ÕÙ ¾ ÕÙ ½ ÒÓ Ó ÔÖ ÒØ Ö ÔÓ Ø ÒÓÒØÖ ¹ Ò Ù Ú Ó Ù Ð ÙÒ Ó Ù ÙÖÚ º Ç ÖÚ ÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ ÙÒ Ó Ù ÙÖÚ ØÖÓÔ C 1 C Ò ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ðº ÓÑ ØÓ Ð ÓÒ Ö Ö ÕÙ ÙÒ Ó Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ò ÙÑ Ö Ó ÕÙ Ð Ö Ó ÔÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ú ÑÓ ÕÙ ÙÖÚ ØÖÓÔ C 1 C Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ò Ô ÐÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ P 1 (x,y) P (x,y) ÒØÓ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Q(x,y) = P 1 (x,y)p (x,y) Ò ÔÖ Ñ ÒØ ÙÖÚ C 1 C º Ð Ñ Ó Ó Ö Ù C 1 C ÓÑ Ó Ö Ù C 1 C º Ñ Þ Ö ÐÑ ÒØ ÒØ Ó Ð Ö Ù Ú Ó Ù Ð ÙÖÚ C 1 C º Ù Ú Ù ÙÒ Ó ÙÖÚ C 1 C Ñ Ó ÙÖ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º Ñ ÙÑ Ð Ó Ú ÖØ C 1 C Ó Ó Ú ÖØ C 1 Ó Ú ÖØ C Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó C 1 ÓÑ C º Å ÓÑÓ ÔÓÒØÓ C 1 C ÒØ Ö Ó ÙÑ Ö Ø C 1 ÙÑ Ö Ø C Ó ÔÓÐ ÓÒÓ Ù Ð Ø Ð Ú ÖØ C 1 C ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº È Ö ØÓÖÒ Ö ÙÖ Ñ ØÖ Ò Ô Ö ÒØ Ò ÑÓ Ö Ø Ù Ú Ó Ù Ð Ñ Ñ ÓÖ ÕÙ Ù Ö Ø Ù Ðº ÓÒ Ø Ø ÑÓ ÒØÓ ÕÙ Ò ÙÖ Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ñ Ó Ö ½ ÒÕÙ ÒØÓ Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ù Ú Ó ÙÖ Ö ¾ Ñ Ô Ö ÕÙ Ú ÑÓ ÓÒØ Ö ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÓÑ ÑÙÐØ ÔÐ Ò ÜÓº µ µ µ ÙÖ º ËÙ Ú Ù ÙÒ Ó ÙÖÚ ÙÖ Ò Ó º½º Ë Ñ C 1 C Ù ÙÖÚ ØÖÓÔ ÖÙÞ Ò Ó¹ ÒÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ó Ú ÖØ Ù ÙÖÚ p ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó C 1 ÓÑ C º ÑÙÐØ ÔÐ

9 ÍÅ ÈÇÍ Ç ÇÅ ÌÊÁ ÌÊÇÈÁ Ä ØÖÓÔ Ð p ÓÑÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó C 1 ÓÑ C Ö Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ù Ð p Ò Ù Ú Ó Ù Ð C 1 C º ÓÑ Ø Ò Ó ÑÓÒ ØÖ Ö Ó Ø ÓÖ Ñ ÞÓÙØ ØÖÓÔ Ð ØÓÖÒ ¹ ÙÑ Ö Ò Ö º Ì ÓÖ Ñ º¾º Ë Ñ C 1 C Ù ÙÖÚ ØÖÓÔ Ö Ù d 1 d ÖÙÞ Ò Ó¹ ÒÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ó Ú ÖØ Ù ÙÖÚ º ÒØÓ ÓÑ ÑÙÐØ ÔÐ ØÖÓÔ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó C 1 C Ù Ð d 1 d º ÑÓÒ ØÖ Óº ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ s ÓÑ º Ü Ø Ñ ØÖ Ø ÔÓ ÔÓÐ ÓÒÓ Ò Ù Ú Ó Ù Ð ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð C 1 C Ó Ù ÙÑ Ú ÖØ C 1 º ÓÑ Ù Ö Ú Ð Ö d1 ØÓ d 1 º Ó Ù ÙÑ Ú ÖØ C º ÓÑ Ù Ö Ú Ð d º Ó Ù ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó C 1 ÓÑ C º ÓÑ Ö Ð Ú Ð sº º¾º ÁÒØ Ö Ó Ø Ú Ðº ÓÒ Ö ÑÓ ÔÓÖ ÒÕÙ ÒØÓ Ô Ò ÙÖÚ ØÖÓÔ ÖÙÞ Ò Ó¹ Ö ¹ Ú ÐÑ ÒØ ØÓ ÒÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ó Ú ÖØ º Å ÕÙ ÔÓ ÑÓ Þ Ö ÒÓ Ó Ó Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ Ù Ö Ø ØÖÓÔ ÖÙÞ Ñ¹ Ó ÐÓÒ Ó ÙÑ Ö Ø µ ÙÑ Ö Ø Ô Ò Ó Ô ÐÓ Ú ÖØ ÙÑ Ò µ Ð ÞÑ ÒØ Ø ÑÓ Ñ ÙÑ ØÖÙÕÙ ØÖÓÔ Ð ÒÓ ÒÓ Ó ÓÐ Óº ε v εv µ µ µ µ ÙÖ º ÁÒØ Ö ÒÓ¹ØÖ Ò Ú Ö Ø ØÖ Ò Ð Ë ε ÙÑ Ô ÕÙ ÒÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð v ÙÑ Ú ØÓÖ Ù Ö ÞÓ ÓÓÖ Ò ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ðº Ë ØÖ Ò Ð ÑÓ Ñ Ó ÙÑ Ù ÙÖÚ Ô ÐÓ Ú ØÓÖ ε v Ø ÖÑ Ò ÑÓ ÒØÓ ÒÓ Ó ÙÑ ÒØ Ö Ó Ö Ú Ð Ú Ö ÙÖ µº Ú ÒØ Ñ ÒØ Ó ÒÓ Ó ÒÓÚÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ¹ Ô Ò Ñ Ó Ú ØÓÖ ε vº ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ó Ð Ñ Ø Ø ÔÓÒØÓ ÕÙ Ò Ó ε Ø Ò Ô Ö 0 ÒÓ Ô Ò v Ð Ó Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ø Ú Ð Ù ÙÖÚ º ÑÙÐØ ÔÐ ÕÙ Ð ÓÑ ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÕÙ Ð Ó Ð Ñ Ø º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ø Ú Ð Ù Ö Ø ÙÖ Ó Ú ÖØ Ö Ø ÕÙ Ö ÑÙÐØ ÔÐ 1º ÆÓ Ù Ö Ø ØÖÓÔ ÖÙÞ Ñ¹ Ñ ÒÙÑ ÔÓÒØÓ Ò Óº Ç ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ø Ú Ð Ù ÙÖÚ ÙÖ Ó Ú ÖØ Ò ÑÙÐØ ÔÐ º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÒØ Ö Ó Ø Ú Ð Ù ÙÖÚ ØÖÓÔ ÓÒ ÒØÖ ÒÓ ÔÓÒØÓ Ò¹ Ø Ö Ó ÓÐ Ó ÒÓ Ú ÖØ Ù ÙÖÚ º Ö ÒØ Ö Ó Ø Ú Ð ÔÓ ÑÓ Ö ÑÓÚ Ö Ó Ì ÓÖ Ñ ÞÓÙØ ØÖÓÔ Ð Ô Ø ÓÑ ÔÓ ÓÒ Ñ ÒØÓ Ù ÙÖÚ º Ì ÓÖ Ñ º º Ë Ñ C 1 C Ù ÙÖÚ ØÖÓÔ Ö Ù d 1 d º ÒØÓ ÓÑ ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ø Ú C 1 ÓÑ C Ú Ð d 1 d º

10 ½¼ Ó Ö ÑÓ Ô ÐÓ Ó ÙÑ ÒÑ ÒÓ ØÖÓÔ Ð ÙÖÔÖ Ò ÒØ ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ø Ñ ÙÑ ÙØÓ¹ ÒØ Ö Ó Ñ Ò ÓÑ ØÓ Ù ÒØ ÓÒ Ö Ö ÒØ Ö Ó Ø Ú Ð ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð ÓÒ Ó Ñ Ñ º Ë ÙÒ Ó Ó ÕÙ ÔÖ Ø ÙØÓ¹ ÒØ Ö Ó ÓÒ ÒØÖ ÒÓ Ú ÖØ ÙÖÚ Ú Ö ÙÖ ½¼µº ÙÖ ½¼º ÔÓÒØÓ ÙØÓ¹ ÒØ Ö Ó ÙÑ ÓÒ ØÖÓÔ Ð º º Ü Ö Ó º ½µ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ø Ú Ð Ù ÙÖÚ ØÖÓÔ Ó Ü Ö Ó ½ Ó ¾ Ñ ÓÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ð º ¾µ ÍÑ ÔÓÒØÓ ÙÔÐÓ ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð ÒØ Ö Ó Ù Ù Ö Ø º ÅÓ ØÖ ÕÙ ÙÑ Ò ØÖÓÔ Ð ÓÑ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÔÐÓ ÙÒ Ó Ù Ö Ø ØÖÓÔ º ÈÓ ¹ ÓÒ Ö Ö ÙÑ Ö Ø Ô Ò Ó Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ ÙÔÐÓ ÔÓÖ ÙÑ ÓÙØÖÓ Ú ÖØ Ò º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ö Ù ÓÑ Ó ÔÓÒØÓ ÙÔÐÓ ÙÒ Ó ÙÑ Ö Ø ÙÑ Ò ØÖÓÔ Ðº ÅÓ ØÖ ÕÙ ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ö Ù ÓÑ ØÖ ÔÓÒØÓ ÙÔÐÓ ÙÒ Ó ØÖ Ö Ø ØÖÓÔ º º Ð ÙÑ ÜÔÐ È Ö ÑÓ Ð ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ ÒÓ ØÙ Ó ÓÑ ØÖ ØÖÓÔ Ð ÓÑÓ Ø Ð ÑÓ Ð ÙÑ Ö Þ Ó Ú ÒÙÐÓ ÑÙ ØÓ ÓÖØ ÒØÖ ÓÑ ØÖ Ð ÓÑ ØÖ ØÖÓÔ Ðº Ç ÒÓ Ó Ó Ø ÚÓ ÐÙ ØÖ Ö Ô Ð¹ Ñ ÒØ Ó ØÓ ÓÑ ØÖ ØÖÓÔ Ð Ö ÙÑ Ð Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð º È Ö Ö ÙÑ Ö ÖÓ Ö Ñ ÒØ Ó ÓÒØ Ó Ø Ó ÓÑ ØÖ ØÖÓÔ Ð Ñ Ñ ÓÑ ØÖ Ð Ô ÐÓ ÐÓ Ö ØÑÓ º º½º ÕÙ ÒØ Ó Å ÐÓÚº ÜÔÐ ÕÙ ÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÑÓ Ó Ñ ÓÖÔÓ ØÖÓÔ Ð Ó Ø Ó Ò ¹ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÓÑÓ Ð Ñ Ø Ñ ÓÖÔÓ Ð Ó º Ø ÔÖÓ Ó ØÙ Ó ÔÓÖ Î ØÓÖ Å ÐÓÚ Ó Ù ÓÐ ÓÖ ÓÖ Ô ÖØ Ö Ó ÒÓ ¼ Ñ ¹ ÕÙ ÒØ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ö º ÍÑ Ñ ÓÖÔÓ ÓÒ Ó (R +,+, ) Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÔÓ Ø ÚÓ ÓÙ ÒÙÐÓ ÑÙÒ Ó Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ð º Ë t ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ ÒØÓ Ó ÐÓ Ö ØÑÓ t ÓÖÒ ÙÑ Ó ÒØÖ R + T Ø Ó Ò ÙÞ ÙÑ ØÖÙØÙÖ Ñ ÓÖÔÓ Ñ T ÓÒ ÓÔ Ö ÒÓØ ÔÓÖ + t t Ó ÔÓÖ x + t y = log t (t x + t y ) x t y = log t (t x t y ) = x + y Â Ú ÑÓ Ô Ö Ö Ó Ð Ø Ð ÓÑÓ ÙÑ ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ü Ø Ó Ö Tº Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÔÓÖ ÓÒ ØÖÙÓ ØÓ Ó Ó Ñ ÓÖÔÓ (T, + t, t ) Ó ÓÑÓÖ Ó (R +,+, )º Ù Ð Ñ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ó Ò Ñ ÖÓ ÔÓÒØÓ ÙØÓ ÒØ Ö Ó ÙÑ ÙÖÚ ÔÐ Ò Ò Ó ÒÓ Ù ÔÓ Ó Ó Ö ÙÖÚ º ÍÑ Ö Ø Ø Ñ ÙØÓ¹ ÒØ Ö Ó ÒÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÒÓ Ð ÖÓ ÕÙ Ð Ø ÔÓÒØÓººº

11 ÍÅ ÈÇÍ Ç ÇÅ ÌÊÁ ÌÊÇÈÁ Ä ½½ ØÖ Ú Ð max(x,y) x + y max(x,y) Ó Ö R + ÓÑ Ò ÓÑ Ó Ö Ñ ÒØÓ ÙÒÓ ÐÓ Ö ØÑÓ ÒÓ Ó ÒÕÙ Ö Ñ ÒØÓ Ù ÒØ t > 0, max(x,y) x t y max(x,y) + log t ÉÙ Ò Ó t Ø Ò Ô Ö Ó Ò Ò ØÓ log t Ø Ò Ô Ö 0 Ð + t Ø Ò ÒØÓ Ô Ö Ó ØÖÓÔ Ð + Ñ Ó Ñ ÓÖÔÓ ØÖÓÔ Ð Ó Ø Ó Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÓÑÓ ÓÖÑ Ó Ó ÓÖÔÓ Ð Ó (R +,+, )º ÇÙ Ò ÔÓ ÑÓ Ú Ö Ó Ñ ÓÖÔÓ Ð Ó (R + +, ) ÓÑÓ ÙÑ ÓÖÑ Ó Ó ÓÖÔÓ ØÖÓÔ Ð Ó Ù Ó Ô Ð ÚÖ ÕÙ ÒØ Ó º º¾º ÕÙ ÒØ Ó ÙÑ Ö Ø Ó ÔÐ ÒÓº Î ÑÓ ÔÐ Ö ÙÑ Ö Ó Ò Ó Ñ Ð ÒØ ÓÑ Ö Ø ÕÙ Ó x y +1 ÒÓ ÔÐ ÒÓ R Ú Ö ÙÖ ½½ µº ÈÖ Ñ Ö Ñ ÒØ ÓÒØÖ ÑÓ Ó ÕÙ Ö ÒØ Ó Ö Ó ÕÙ Ö ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ ÓÑ ÙÒÓ Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ú Ö ÙÖ ½½ µº Ñ Ñ Ô ÐÓ ÐÓ Ö ØÑÓ t Ø Ö Ø ÓÒØÖ ÒÓ (R +) Ô Ö Ó Ò Ó ÙÖ ½½º ÈÓÖ Ò Ó ØÓÑ Ö Ó ÐÓ Ö ØÑÓ t ÓÖ ÔÓÒ ØÓÑ Ö Ó ÐÓ Ö ØÑÓ Ò ØÙÖ Ð Ñ Ù ÔÐ Ö ÙÑ ÓÑÓØ Ø Ö ÞÓ 1 ln t º Ñ ÕÙ Ò Ó t ÙÑ ÒØ Ñ Ñ Ô ÐÓ ÐÓ Ö ØÑÓ t Ó Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ ÒÓ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ ¹ ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò ÓÖ Ñ Ö ÒØ Ø Ú Ö ÙÖ ½½ µº ÒÕÙ ÒØÓ t Ø Ò Ô Ö Ó Ò Ò ØÓ Ú ÑÓ Ô Ö Ö Ò ÙÖ ½½ ººº ÙÑ Ö Ø ØÖÓÔ Ð µ µ µ µ µ µ ÙÖ ½½º ÕÙ ÒØ Ó ÙÑ Ö Ø º È Ø ÛÓÖ ÙÖ ½½ Ð ÕÙ Ö Ô Ö Ö Ø ÜÔÐ ¹ÒÓ ÓÑÓ Ô Ö ÙÑ Ö Ø Ð ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ô Ö ÙÑ Ö Ø ØÖÓÔ Ðº Ð ØÙÖ Ø ÙÖ Ö Ø Ô Ö ÕÙ Ö Ö ÐÑ ÒØ ÑÙ ØÓ Ñ ÒØ Ö ÒØ ÓÑ ØÓ Ú ÑÓ Ñ ÓÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÑ Ö Ø Ð Ô ÖØ Ö ÙÑ Ö Ø ØÖÓÔ Ðº Ø Ò Ñ Ô Ø ÛÓÖ ÙÑ Ò Ö Ð Þ Ó Ø Ó ÖÚ Óº Ô Ñ ÒØ Ð ÓÖÒ ÙÑ Ñ ØÓ Ó Ñ Ö Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ø Ö Ó ÓÒ ØÖÙÓ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ô ÖØ Ö ÙÖÚ ØÖÓÔ º Å ÒØ ÜÔÐ Ö Ø Ñ ØÓ Ó Ñ Ø Ð ÚÓÐØ ÑÓ ÙÑ ÔÓÙÓ ÒÓ Ô Óº º½º Ç ½ Ó ÔÖÓ Ð Ñ À Ð Öغ ÍÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ð ÔÐ Ò ÙÑ ÙÖÚ Ó ÔÐ ÒÓ R Ò ÔÓÖ ÙÑ ÕÙ Ó ÓÖÑ P(x,y) = 0 ÓÒ P(x,y) ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑ Ó ÒØ Ö º ÙÖÚ Ð Ö Ö Ö Ù ½ ¾ Ó ÑÔÐ Ñ ÓÒ Ö Ø Ò º ÒÕÙ ÒØÓ Ó Ö Ù P(x,y) ÙÑ ÒØ Ó Ò Ó Ö Ð Þ Ó Ô Ð ÙÖÚ ÕÙ Ó P(x,y) = 0 ÔÓ Ö Ú Þ Ñ ÓÑÔÐ ÜÓº È Ö ÓÒÚ Ò Ö¹ Ù ÒØ Ö ÙÑ ÓÐ Ò ÙÖ ½¾ ÓÒ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ó ÙÑ Ô ÖØ Ó Ò Ó ÔÓ Ú Ö Ð Þ Ó ÔÓÖ ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ð Ö Ù º ÍÑ Ø ÓÖ Ñ Ü Ð À ÖÒ ÒÓ Ñ Ó ÙÐÓ Á ÖÑ ÕÙ ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ð ÔÐ Ò Ö Ù d Ø Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ d(d 1)+ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ Ü º Å ÓÑÓ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ ÔÓ Ñ ØÙ Ö¹ ÙÑ Ñ Ö Ð Ó ÓÙØÖ Ñ ÑÓ ÖÖ Ò Ó ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ð ÔÐ Ò ÔÓ Ó Ö Ð Ø Ú Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ Ü ÒÓ ÔÐ ÒÓº ÈÓÖ ÓÙØÖ Ô Ð ÚÖ ÒÓ ÒÓ ÒØ Ö ÑÓ ÔÓ Ó Ü Ø ÙÖÚ ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ñ Ô Ò Ó Ò Ó Ð º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÙÑ ÙÖÚ Ø Ñ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ Ü Ð Ñ Ø ÔÖ ÓÙÔ ÑÓ¹ÒÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ñ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ

12 ½¾ µ µ µ µ ÙÖ ½¾º Ð ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ö Ù ØÓ ÓÖ ÙÑ ÓÙØÖ Ú Ö ÙÖ ½¾ µ ÓÙ ÒÓ Ú Ö ÙÖ ½¾µº ÙÖ ÒØ Ó ÙÒ Ó ÓÒ Ö Ó ÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ñ È Ö Ñ ½ ¼¼ Ú À Ð ÖØ ÒÙÒ ÓÙ Ù ÑÓ Ð Ø Ó ¾ ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö Ó ÙÐÓ ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ Ó Ù ½ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ö ÓÑÔÖ Ò Ò Ù ÓÖÑ ÑÙ ØÓµ Ø Ò Ó Ù ÒØ ÑÓ Ó Ó ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ d Ø Ð Ö Ð Ø Ó ÖÖ Ò Ó ÔÓ Ú ÙÖÚ Ð Ö Ö Ö Ù dº ÆÓ Ø ÑÔÓ À Ð ÖØ Ö ÔÓ Ø Ö ÓÒ Ô Ö ÙÖÚ Ö Ù ÒÓ Ñ Ü ÑÓ º Ô Ö ÔÖÓ Ö Ó Ô Ø ÙÐ Ö Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓ ÙÐÓ Ú Ó Ô ÐÑ ÒØ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó ÓÐ ÖÙ ÒÙÑ ÖÓ Ô Ö ÙÒØ Ô ÖÑ Ò Ñ Ò Ñ Ö ÔÓ Ø ººº º¾º ÙÖÚ Ö ÙÖÚ ØÖÓÔ º Ñ Ö Ð ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÑ ÙÖÚ Ð¹ Ö Ö Ð ÙÑ Ö Ù Ó ÕÙ Ö Ð Þ ÙÑ ÖÖ Ò Ó Óº À Ñ ÙÑ ÙÐÓ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó ÔÖÓÔÙ Ö Ñ ÒÙÑ ÖÓ Ó Ò Ò Ó Ó Ñ ØÓ Ó Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ º Ç Ô Ø ÛÓÖ ÒÚ ÒØ Ó ÔÓÖ ÇÐ Î ÖÓ ÒÓ ÒÓ ¼ ÙÑ Ó Ñ ØÓ Ó ØÙ Ñ ÔÓØ ÒØ º Æ ÔÓ ÓÑ ØÖ ØÖÓÔ Ð ÒÓ Ü Ø Ò Î ÖÓ ÒÙÒ ÓÙ Ó Ù Ø ÓÖ Ñ ÒÙÑ Ð Ò Ù Ñ Ö ÒØ ÒÓ ÕÙ º ÓÒØÙ Ó Ð Ô Ö Ù ÒÓ Ò Ð Ó ÒÓ ¼ ÕÙ Ó Ô Ø ÛÓÖ ÔÓ Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑÓ ÙÑ ÕÙ ÒØ Ó ÙÖÚ ØÖÓÔ º Ç Ô Ø ÛÓÖ ÒØÓ Ð Ö ÙÖ ½½ Ö Ø Ô Ö ÕÙ Ö Ñ Ú Þ ÕÙ Ö Ô Ö Ö Ø º Ö Ø ÒÓÚ ÒØ ÖÔÖ Ø Ó Ö ÓÖÝ Å Ð Ò Ò Ö Ð ÞÓÙ Ñ Ø ¹ Ñ ÒØ ÔÓ Ó Ñ ØÓ Ó Î ÖÓ ÓÖ Ò Ðº ÑÓ ÕÙ ÙÑ Ú Ö Ó ÑÔÐ Ó Ô Ø ÛÓÖ Ó Ð ØÓÖ ÒØ Ö Ó ÒÓÒØÖ Ö ÙÑ Ú Ö Ó Ñ ÓÑÔÐ Ø Ò Ö Ö Ò Ò Ò Ó º ÓÖ Ú ÒØ a b Ó Ó Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ s a,b : R R ÓÑÔÓ Ø a Ñ ØÖ Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ ÓÑ b Ñ ØÖ Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ ÓÖ Ò º Ñ Ó Ú ÐÓÖ ÑÓ ÙÐÓ ¾ a b Ó ÑÔÓÖØ ÒØ s 0,0 ÙÒÓ ÒØ s 1,0 Ñ ØÖ Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ s 0,1 Ñ ØÖ Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ ÓÖ Ò s 1,1 Ñ ØÖ Ñ Ö Ð Ó ÓÖ Ñº ÜÔÐ Ö ÑÓ ÓÖ Ñ Ø Ð Ó ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ó Ô Ø ÛÓÖ º ÌÓÑ ÑÓ ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð C Ö Ù d Ø Ò Ó Ô Ò Ö Ø Ô Ó ÑÔ Ö Ø Ð ÕÙ ØÓ Ó Ó ÔÓÐ ÓÒÓ Ù Ú Ó Ù Ð Ó ØÖ Ò ÙÐÓ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÐ ÑÓ Ö Ø ØÖÓÔ Ð ÙÖ ½ º È Ö Ö Ø e C ÓÐ ÑÓ ÙÑ Ú ØÓÖ v e = (α e,β e ) Ö ØÓÖ e ÓÑ α e β e Ó Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÖ ÑÓ ÒØÖ º È Ö Ö Ø ØÖÓÔ Ð ÓÐ ÑÓ Ó Ú ØÓÖ (1,0) (0,1) (1,1)º ÓÖ ÓÒ Ö ÑÓ ÕÙ Ó R ÒÓ ÕÙ Ð ÑÓÖ ÒÓ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ò Ö Ð Ó ÕÙ Ö ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ (R +) R ØÓÑ ÑÓ ÙÒ Ó ÒÓ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð ÓÑ Ù Ô Ñ ØÖ Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ º ÆÓ Ó Ö Ø ØÖÓÔ Ð ÍÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ö ÞÓ Ú Ð Ò ØÙÖ Ð ÓÒ Ø Ñ ÓÐ Ö Ó ÖÖ Ò Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ Ü ÙÖÚ Ð Ö Ö ÔÖÓ Ø Ú Ò ÙÐ Ö º È Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ö ØÖ ØÓ Ö ÔÓ Ø ØÙ ÐÑ ÒØ ÓÒ Ø Ó Ö Ù º ÙÑ Ø ÓÖ Ñ ÇÐ Î ÖÓ Ó Ô Ø ÛÓÖ ÙÑ Ò ØÖÙÑ ÒØÓ Ò Ð ÑÓÒ ØÖ Óº

13 ÍÅ ÈÇÍ Ç ÇÅ ÌÊÁ ÌÊÇÈÁ Ä ½ Ó Ø ÑÓ ÒØÓ ÙÖ ½ º È Ö Ö Ø e ÒÓ ÙÖÚ Ô ÑÓ e e Ù ÕÙ ØÖÓ Ô Ñ ØÖ e ÓÖ Ó ÓÑ Ù Ö Ö Ù ÒØ e = s αe,β e (e ) Ô Ö Ú ÖØ v C ÒØ Ö Ø e 1 e e 3 Ô Ö Ô Ö (ε 1,ε ) Ñ {0,1} Ü Ø Ñ ÒØ ÙÑ ÓÙ ØÖ Ô s ε1,ε (e 1 ) s ε1,ε (e ) s ε1,ε (e 3 ) Ó Ô º Ñ ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Ó ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ö Ðº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ C ÙÑ Ö Ø ØÖÓÔ Ð ÔÓ Ú Ð Ô Ö Ô Ñ ØÖ Ö Ø C ÓÖ Ó ÓÑ Ø Ù Ö Ö Ô Ö Ó Ø Ö Ö Ø ØÖÓÔ Ð Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ½ º Å ÑÓ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ö Ð ÒÓ Ú Ö Ö Ñ ÒØ ÙÑ Ö Ø ÕÙ Ð Ö Ð Þ Ó Ñ ÑÓ ÖÖ Ò Ó ÕÙ ÙÑ Ö Ø Ð ÒÓ R Ú Ö ÙÖ ½ µ Á ØÓ ÒÓ Ù Ð Ñ ÙÑ Ø ÓÖ Ñ º µ µ µ µ ÙÖ ½ º È Ø ÛÓÖ ÙÑ Ö Ø Ì ÓÖ Ñ º½ Ǻ Î ÖÓµº ÉÙ ÐÕÙ Ö ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ö Ð Ö Ù d Ö Ð Þ Ó Ñ ÑÓ ÖÖ Ò Ó ÕÙ ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ð Ö Ù dº ÉÙ Ö ÑÓ Ò Ø Þ Ö Ð Þ ÔÖÓ ÙÒ Ø Ð ÒÙÒ Ó ÓÑ ØÓ ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ¹ ÓÖ Ó ÓÑ Ö Ö ÓÑ Ò Ø Ö ÒØÓ Ô Ö Ñ Ð Ö¹ ÙÑ ØÖ Ô ÖÑ Ö ÕÙ Ð ÔÓ Ø Ö ÙÑ Ö Ð Ó ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÑ ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ð ÆÓ Ó Ö ÑÓ ÕÙ Ñ Ó Ø ÓÖ Ñ Î ÖÓ ÔÓ Ð Ø Ø Ñ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ Ó ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ð ÕÙ Ö Ð Þ Ó Ñ ÑÓ ÖÖ Ò Ó ÕÙ ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ö Ð º ÍØ Ð Þ ÑÓ ÓÖ Ø Ø ÓÖ Ñ Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö Ü Ø Ò Ù ÙÖÚ Ð Ö Ö ÙÑ Ö Ù ÓÙØÖ Ö Ù º ÈÖ Ñ Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ö ÑÓ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ö Ù Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ ½ º ÈÓÖ ÙÑ ÓÐ ÓÒÚ Ò ÒØ Ö Ø Ô Ö ÙÖ ½ Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ù Ø Ô Ó ÔÖÓ ¹ Ñ ÒØÓ Ó Ô Ø ÛÓÖ º ÈÖÓÚ ÑÓ ÒØÓ Ü Ø Ò ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ð Ö Ù Ñ Ð ÒØ Ó Ò Ó ÙÖ ½ º µ µ µ µ ÙÖ ½ º È Ø ÛÓÖ ÙÑ

14 ½ È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ö Ù Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ½ º È Ö ÙÑ ÓÐ ÓÒÚ Ò ÒØ Ö Ø Ô Ö Ó ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ó Ô Ø ÛÓÖ ÙÖÚ ÙÖ ½ º ÍÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ð Ö Ù ÕÙ Ö Ð Þ Ó Ñ ÑÓ ÖÖ Ò Ó ÕÙ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ö Ð Ó Ò ÐÑ ÒØ ÓÒ ØÖÙ ÔÓÖ Ù ÓÚ ÙÑ ØÓ ÑÙ ØÓ Ñ ÓÑÔÐ Ó ÒÓ ÒÓ ¼º È Ö ÓÒØ Ö ÙÑ Ò ÓØ À Ð ÖØ ÖÑ Ú Ñ ½ ¼¼ ÕÙ Ø Ð ÙÖÚ ÒÓ ÔÓ Ü Ø Öººº º º Ñ º Ë ÕÙ ÒØ Ó ÙÑ Ö Ø ÔÓÖ ØÖ Ó Ô Ø ÛÓÖ Ñ Ù Ñ ÓÖ ¹ Ò Ö Ð ÔÖÓÚ Ó Ø ÓÖ Ñ Î ÖÓ Ð Ö Ñ ÒØ Ñ Ø Ò Ô Ö Ö Ú Ö Ö ÓÖÓ Ñ ÒØ º Ö ÑÓ Ø ØÓ Ñ Ó Ö Ó ÓÒØÓÖÒÓ º µ µ µ ÙÖ ½ º ÙÖÚ Ù ÓÚ Ñ ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÙ Ö Ó ÓÖÔÓ R ÒÓ Ò Ó Ð Ö Ñ ÒØ Ó Ú ÑÓ ØÖ Ð Ö ÒÓ ÓÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ñ Ñ Ö ÐÑ ÒØ ÓÑ ÙÖÚ Ð Ö ÓÑÔÐ Ü Ó Ó Ù ÓÒ ÙÒØÓ (C ) Ò Ó ÔÓÖ ÙÑ ÕÙ Ó ÓÖÑ P(x,y) = 0 ÓÒ P(x,y) ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑ Ó ÒØ ÓÑÔÐ ÜÓ ÕÙ ÔÓ Ñ ÒØÓ Ö Ö µº È Ö t ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ Ò ¹ ÔÐ Ó ÄÓ t Ó Ö (C ) ÔÓÖ ÄÓ t (C ) R (z,w) (log t z,log t w ) Ñ Ñ ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö ÕÙ Ó P(x,y) = 0 Ô ÐÓ Ñ Ô ÄÓ t ÒÓØ ÔÓÖ A t (P) Ñ Ñ t ÙÖÚ º Ç Ø ÓÖ Ñ Ù ÒØ ÓÖÒ ÙÑ Ö Ð Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÒØÖ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð ÓÑ ØÖ ØÖÓÔ Ð ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ð Ñ Ø Ñ ÙÖÚ Ð Ö ÓÑÔÐ Ü º Ì ÓÖ Ñ º¾ º Å Ð Ò Àº ÊÙÐÐ Ö µº Ë P (x,y) = i,j a i,jx i y j ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ØÖÓÔ Ð α i,j ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ ÜÓ ÒÓ ÒÙÐÓ Ô Ö Ó ÒØ a i,j Ö ÒØ º È Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö t > 0 Ò ÑÓ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÓÑÔÐ ÜÓ P t (x,y) = i,j α i,jt a i,j x i y j º ÒØÓ Ñ A t (P t ) ÓÒÚ Ö Ô Ö ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ò ÔÓÖ P (x,y) ÕÙ Ò Ó t Ø Ò Ó Ò Ò ØÓº ÕÙ ÒØ Ó Ö Ø Ú Ø Ò Ó º¾ ÙÑ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÒÙÒ Ó Ñ Ñ t Ö Ø ÕÙ Ó t 0 x t 0 y +t 0 1 = 0 ÓÒÚ Ö Ô Ö Ö Ø ØÖÓÔ Ð Ò ÔÓÖ 0x+0y +0 º ÙÞ ÑÓ Ó Ø ÓÖ Ñ Î ÖÓ Ó Ø ÓÖ Ñ Ñ Ó ÖÚ Ò Ó Ð Ñ ÓÙØÖ Ó ÕÙ Ó α i,j Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÒØÓ ÙÖÚ Ò Ô ÐÓ ÔÓÐ ÒÑ Ó P t (x,y) Ó ÙÖÚ Ð Ö Ö º

15 ÍÅ ÈÇÍ Ç ÇÅ ÌÊÁ ÌÊÇÈÁ Ä ½ º º Ü Ö Ó º ½µ ÓÒ ØÖÙ ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ö Ð Ö Ù ÕÙ Ö Ð Þ Ó Ñ ÑÓ ÖÖ Ò Ó ÕÙ ÙÑ Ô Ö ÓÐ ÒÓ R º Å Ñ ÓÒ ØÖÙÓ ÓÑ ÙÑ Ô Ö ÓÐ º ÈÓ ¹ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÑ ÙÖÚ ØÖÓÔ Ð Ö Ð ÕÙ Ö Ð Þ Ó Ñ ÑÓ ÖÖ Ò Ó ÕÙ ÙÑ Ð Ô ¾µ ÓÑ Ù Ó Ô Ø ÛÓÖ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ü Ø ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ð Ö Ù 4 ÕÙ Ö Ð Þ Ó ÖÖ Ò Ó ÙÖ ½¾ º ÈÓ Ö Ò Ô Ö Ö ÓÑ ÓÒ ØÖÙÓ ÐÙ ØÖ Ò ÙÖ ½ º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ö Ù d Ü Ø ÙÑ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ð ÔÐ Ò ÓÑ d(d 1)+ ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØ ÓÒ Ü º º Ê Ö Ò È Ö ÒÓ Ó Ö Ó Ð ØÓÖ ÒÙÑ ÓÒ Ö Ö Ò Ñ ÓÙ Ñ ÒÓ Ú Ö Ö ÑÓ Ô Ò Ó Ø ÜØÓ ÒØÖÓ ÙÓ ÓÑ ØÖ ØÖÓÔ Ð Ù ÔÐ º È Ö Ö Ö Ò Ñ Ô Ð Þ ÔÓ ¹ Ö ÔÓÖØ Ö Ö Ö Ò Ó Ø ÜØÓ Ø Ó º Ù Ó Ð ÙÒ ÙØÓÖ ÔÖ Ö Ñ ÙØ Ð Þ Ö Ó Ñ Ò ÑÓ Ñ Ú Þ Ó Ñ Ü ÑÓ Ò Ð Ö ØÖÓÔ Ð ÒØÖÓ Ù ÓÑ ØÖ ØÖÓÔ Ð È˼ ËË Ö Ñ¹ Ð ØÓÖ ÓÑ ÙÑ ÓÒ Ñ ÒØÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ñ Ò ÑÓº Ç Ð ØÓÖ Ñ ÜÔ Ö ÒØ ÔÓ ÖÓ Ù ÐÑ ÒØ Ð Ö Ó Ö Ê Ë̼ ÁÅ˼ ÓÙ Ø º È Ö Ñ ØÖ Ú Ò Ó ÓÒ Ð ÑÓ Ó Ø Ó ÖØ Å ¼ Å ¼ º È Ö Ö Ñ Ó Ö Ó ½ Ó ÔÖÓ Ð Ñ À Ð ÖØ Ó Ô Ø ÛÓÖ ÕÙ ÒØ Ó Å ÐÓÚ Ñ ÙÖÚ Ð Ö Ö Ö ÑÓ Ó Ø ÜØÓ Î Ö¼½ Î Ö¼ Å ¼ Ñ ÓÑÓ Ó Ø Î Ö º È Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÒØÖÓ ÙÓ ÓÑ ØÖ ØÖÓÔ Ð Ö ÒØ ÑÓ ÕÙ Ð ÔÐ ÓÑ Ù Ó Ñ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ð Ñ Ó ½ Ó ÔÖÓ Ð Ñ À Ð Öغ Ø ÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÑ ØÖ ÒÙÑ Ö Ø Ú ÓÑ Ò Ø Ö Ô Ð Ó¹ Ñ ØÖ ÓÐÓ Ñ Ø Ñ Ø ººº Ê Ö Ò È˼ ƺ ÖÐ Ò º ÈÐ Ò Ò º Ë ØÓÖ º ÓÑ ØÖ ØÖÓÔ Ð º ÓÐ ÈÓÐÝØ Ò ÕÙ È Ð ¹ Ù ¾¼¼ º ½¾ Ôº Ø º Ø Ñ ÒÒº ÌÖÓÔ Ð Ð Ö ÓÑ ØÖݺ Ö Ú Ñ Ø º»¼ ¼½ ¾¾º ÁÅ˼ Áº ÁØ Ò Ö º Å Ð Ò Ò º Ë Ù Ø Òº ÌÖÓÔ Ð Ð Ö ÓÑ ØÖÝ ÎÓк Ó Ç ÖÛÓÐ Ë Ñ Ò Ö Ë Ö º Ö Ù Ö ¾¼¼ º Å ¼ º Å Ð Òº ÑÓ Ó Ð Ö Ú Ö Ø Ò ØÖÓÔ Ð ÓÑ ØÖݺ Ñ Ö ÒØ Ó ÓÑ ØÖÝ ÎÓк Ó ÁÒغ Å Ø º Ë Öº ƺ ºµ Ôº ¾ ¼¼º ÃÐÙÛ Ö»ÈÐ ÒÙÑ Æ Û ÓÖ ¾¼¼ º Å ¼ º Å Ð Òº ÌÖÓÔ Ð ÓÑ ØÖÝ Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ñ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÎÓк ¾ Ôº ¾ ¾º ÙÖº Å Ø º ËÓº Ö ¾¼¼ º Ê Ë̼ º Ê Ø Ö¹ ÖØ º ËØÙÖÑ Ð Ò Ìº Ì Ó Ð º Ö Ø Ø Ô Ò ØÖÓÔ Ð ÓÑ ØÖݺ Ñ Á ÑÔÓØ ÒØ Ñ Ø ¹ Ñ Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ô Ý ÎÓк Ó ÓÒØ ÑÔº Å Ø º Ôº ¾ ½ º Ñ Öº Å Ø º ËÓº ÈÖÓÚ Ò ÊÁ ¾¼¼ º ËË º ËÔ Ý Ö Ò º ËØÙÖÑ Ð º ÌÖÓÔ Ð Ñ Ø Ñ Ø º Å Ø Ñ Ø Å Þ Ò º ÓÙÖ Ù Ð Ý Å Ø Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØ È Ö ØÝ ÍØ Ú Ð ÔÓÖ ØØÔ»» ÖÜ ÚºÓÖ»»Ñ Ø º Ç»¼ ¼ ¼ º Î Ö Î Ö¼½ Ǻ Î ÖÓº ØØÔ»»ÛÛÛºÔ Ñ ºÖ ºÖÙ» ÓÐ Ú ÖÓ»Ô Ø ÛÓÖ Ò º ØÑк Ǻ Î ÖÓº ÕÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ Ó Ö Ð Ð Ö ÓÑ ØÖÝ ÓÒ ÐÓ Ö Ø Ñ Ô Ô Öº Ñ ÙÖÓÔ Ò ÓÒ Ö Ó Å Ø ¹ Ñ Ø ÎÓк Á Ö ÐÓÒ ¾¼¼¼µ ÎÓк ¾¼½ Ó ÈÖÓ Öº Å Ø º Ôº ½ ½ º Ö Ù Ö Ð ¾¼¼½º Î Ö¼ Ǻ Î ÖÓº ÖÓÑ Ø ÜØ ÒØ À Ð ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ØÖÓÔ Ð ÓÑ ØÖݺ Â Ô Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó Å Ø Ñ Ø ÎÓк Ò Ó ¾ ¾¼¼ º ÍÒ Ú Ö Ø È ÖÖ Ø Å Ö ÙÖ È Ö ½ ÖÙ Ù Ú Ð Ö Ø ¼½ È Ö Ö Ò ¹Ñ Ð Ö ÖÙ ÐÐ Ñ Ø º Ù Ùº Ö