O SISTEMA CRIPTOGRÁFICO D.E.S. - DATA ENCRYPTION STANDARD

Transcrição

1 PIBIC-UFU, CNPq & FAPEMIG Universidade Federal de Uberlândia Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação DIRETORIA DE PESQUISA O SISTEMA CRIPTOGRÁFICO D.E.S. - DATA ENCRYPTION STANDARD Adriele Giaretta Biase 1 Faculdade de Matemática - Universidade Federal de Uberlândia, MG Av. João Naves de Ávila, 2121, Bloco 1F, Santa Mônica, Uberlândia, MG, CEP adrielegbiase@yahoo.com.br Edson Agustini 2 agustini@ufu.br Resumo: Nesse trabalho apresentamos um estudo do sistema criptográfico DES - Data Encryption Standard, utilizado para proteção de mensagens e informações sigilosas. Para o desenvolvimento desse sistema criptográfico, propriedades de funções discretas são introduzidas sob a forma de tabelas. Um exemplo completo de mensagem cifrada e decifrada pelo sistema criptográfico DES é apresentado. Por fim, algumas conclusões são apresentadas. Palavras-chave: criptografia DES, ciframento, deciframento, função discreta, algoritmos. 1. INTRODUÇÃO Atualmente, a necessidade de se proteger informações, de modo que alguém indesejável não tenha acesso ao seu conteúdo é indiscutível. Uma das maneiras de se criar essa desejada proteção para mensagens é a criptografia, cujo uso corrente é encontrado, por exemplo, em transações bancárias via Internet ou em compras on-line com cartões de crédito. Dessa forma, a criptografia torna-se um agente de segurança em um sistema de comunicações eficiente. A criptografia é um método para codificar (ou modificar) uma mensagem a ser enviada de tal forma que apenas o receptor legítimo consiga interpretá-la. De um modo geral, a base dos sistemas criptográficos mais conhecidos e utilizados, como o sistema RSA (Rivest, Shamir e Adleman) e seus derivados, é a Teoria dos Números, uma vez que o estudo das propriedades dos números inteiros - mais precisamente, a manipulação de máximos divisores comuns, fatorações, congruências e métodos para determinar números primos - são fundamentais para se entender tais sistemas criptográficos. Neste trabalho introduziremos o sistema criptográfico DES (Data Encryption Standard), referências [2], [5] e [6], que, embora não seja derivado do sistema RSA, referências [1], [3] e [4], é bastante conhecido e utilizado em sistemas de comunicações, muitas vezes associados a códigos corretores de erros de transmissão de informação. O principal pré-requisito para compreender o sistema DES é constituído de funções discretas, que serão introduzidas neste trabalho sob a forma de tabelas durante o desenvolvimento do algoritmo computacional do sistema DES. Por fim, um exemplo de ciframento e deciframento de mensagem, utilizando o sistema DES, é apresentado. 2. MATERIAL E MÉTODOS Devido ao caráter apenas teórico deste artigo, visando apenas resultados matemáticos, o método de trabalho empregado foi constituído pelo estudo das referências acima citadas, discussão do algoritmo do sistema criptográfico DES com exemplificação e verificação de sua funcionalidade. 3. PRÉ- CODIFICAÇÃO Para criptografar devemos converter uma mensagem em uma seqüência de números. Para efeito de exemplificação, tomemos a seguinte tabela de conversão: 1 Acadêmica do curso de Licenciatura em Matemática. 2 Orientador.

2 a b c d e f g h i s t u v w x y z j k l m n o p q r Tabela 1 O espaço entre palavras será substituído pelo n o. 36. As conversões do texto a ser cifrado será feito sem considerar acentos e letras maiúscula. A vantagem de se utilizar 2 dígitos para representar uma letra reside no fato de que tal procedimento evita a ocorrência de ambigüidades. Por exemplo, se a fosse convertido em 1 e b em 2, teríamos que ab seria 12, mas l também seria 12. Logo, não poderíamos concluir se 12 seria ab ou l. 4. CRIPTOGRAFIA D.E.S. - DATA ENCRYPTION STANDARD O sistema D.E.S. consiste de um algoritmo de criptografia simétrico e polialfabético com entrada e saída binárias. Sendo assim, uma mensagem a ser enviada deve ser convertida em uma seqüência binária. Assim como em qualquer esquema de criptografia, o algoritmo precisa de duas entradas: a mensagem a ser enviada e, portanto, codificada e a chave, que é a senha que irá manter a transmissão sigilosa. A mensagem original convertida em uma seqüência binária é dividida em blocos M que podem ser de 64 dígitos cada. Consideremos a função I que permuta a posição dos 64 dígitos do bloco M. Geralmente I é definida por uma tabela. Para efeito de compreensão do algoritmo, chamemos a imagem I (M) de N 0 de descrevamos uma rodada do algoritmo (geralmente são realizadas 16 rodadas): (i) Dividamos o bloco N 0 de 64 dígitos em duas partes: a parte esquerda, que chamaremos de E 0 e a parte direita que chamaremos de D 0. (ii) Consideremos a função X que expande o bloco D 0, de 32 dígitos, para um bloco X (D 0 ) de 48 dígitos. Além da expansão, nessa etapa temos também uma permutação de dígitos, uma vez que, à semelhança de I, X é dada por uma tabela. (iii) Consideremos um bloco aleatório de 48 dígito binário que denotaremos por K 1. Esse bloco é parte das chaves do sistema criptográfico (para cada rodada há uma chave). (iv) Uma soma binária dígito a dígito entre X (D 0 ) e K 1 é realizada. (v) O bloco X (D 0 )+K 1 é dividido em blocos B 1,..., B 8 de 6 dígitos cada e, utilizando 8 funções redutoras S 1,..., S 8. Essas funções transformam B i de 6 dígitos em blocos B i de 4 dígitos. De um modo geral, essas funções redutoras são dadas por tabelas e a manipulação dessas tabelas será exemplificada abaixo. Deste modo, o bloco X (D 0 ) + K 1 é transformado em um bloco S de 32 dígitos. (vi) Uma outra permutação de dígitos P é aplicada ao bloco S. (vii) Uma outra soma binária dígito a dígito é feita entre o bloco P (S) e o bloco E 0. Essa soma é chamada de D 1. (viii) Definimos o bloco E 1 como sendo o bloco D 0. 2

3 (ix) Um novo bloco N 1 é formado pela junção do bloco E 1 com o bloco D 1 formado acima. O bloco N 1 é submetido a uma nova rodada conforme descrito acima e obtemos N 2, N 3 até N 16. Após as 16 rodadas, é realizada uma troca de lados em N 16 entre os blocos E 16 e D 16. Chamemos essa troca de T. Assim, T (E 16 ) = D 16 e T (D 16 ) = E 16 e, temos um novo bloco T (N 16 ) = N 16. Por fim, a inversa da função permutação I, ou seja, I 1 é aplicada em N 16 e este é o bloco cifrado, que chamaremos de C. Assim, I 1 (N 16) = C. Simplificando, temos a seguinte composta: I (M) = N 0 = E 0 D 0 X I (M) = E 0 X (D 0 ) K 1 X I (M) = E 0 [X (D 0 ) + K 1 ] = E 0 [B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 ] S K 1 X I (M) = E 0 [S 1 (B 1 ) S 2 (B 2 )...S 7 (B 7 ) S 8 (B 8 )] S K 1 X I (M) = E 0 [B 1B 2B 3B 4B 5B 6B 7B 8] S K 1 X I (M) = E 0 S P S K 1 X I (M) = E 0 P (S) E 0 P S K 1 X I (M) = [E 0 + P (S)] D 0 E 0 P S K 1 X I (M) = D 0 [E 0 + P (S)] D 0 E 0 P S K 1 X I (M) = D 0 D 1 D 0 E 0 P S K 1 X I (M) = E 1 D 1 D 0 E 0 P S K 1 X I (M) = N 1. Chamando D 0 E 0 P S K 1 X = Z 1. Logo, Z 1 I (M) = N 1. Aplicando 16 rodadas, temos: Z Z 1 I (M) = N 16 T Z Z 1 I (M) = N 16 I 1 T Z Z 1 I (M) = C. Chamando I 1 T Z Z 1 I = DES, temos DES (M) = C. Como o algoritmo é simétrico, para decifrar C, basta aplicá-lo novamente, ou seja: DES (C) = M. Exemplo: Consideremos as seguintes tabelas para construção da Criptografia DES: Tabela 2: Função permutação I Tabela 3: Função permutação I 1 3

4 Tabela 4: Função expansão X Tabela 5: Função permutação P Seja a mensagem F AMAT Suponhamos que o emissor A, queira enviar essa mensagem ao receptor B usando a Criptografia DES. Assim, A associa a mensagem aos números correspondentes na Tabela 1, obtendo a seqüencia de números: que, respectivamente, na base binária são: , Agrupando a seqüencia de bits em blocos de 64 bits temos: M = (1) Notemos que tinhamos apenas 60 bits. Os bits que ficaram faltando para completar um bloco de 64 bits foram obtidos acrescentando-se 4 zeros ao final da seqüência. Logo, para o início do processo de ciframento, a mensagem passa pela primeira fase que é a função permutação I, a partir da Tabela 2, no qual é obtida pela seqüência a seguir: I (M) = N 0 = (2) O n-ésimo bit de (2) é o m-ésimo bit de (1), sendo que m e n estão relacionados de acordo com a entrada m n da Tabela 2. Por exemplo, se n = 1, a Tabela 2 fornece m = 59. Logo, o 1 o. bit de (2) é o 59 o. bit de (1) e assim, por diante. Separando (2) em blocos de 32 bits, obtemos dois blocos. Chamaremos os primeiros 32 bits de bloco da esquerda e denotaremos por E 0 e os outros 32 bits restantes de bloco da direita e denotaremos por D 0. Assim, E 0 = D 0 = (3) Para o bloco D 0 faremos uma expansão usando a Tabela 4, dada anteriormente. Assim, essa seqüência de 32 bits será transformada em uma nova seqüência com 48 bits, dada por: X (D 0 ) = (4) O n-ésimo bit de (4) é o m-ésimo bit de (3), sendo que m e n estão relacionados de acordo com a entrada m n da Tabela 4. Por exemplo, se n = 1, a Tabela 4 fornece m = 15. Logo, o 1 o. bit de (4) é o 15 o. bit de (3) e assim, por diante. 4

5 Consideremos uma seqüência binária de 48 bits, que será a chave (que deve ser mantida em sigilo pelos comunicantes): K 1 = Fazendo a soma binária, dígito a dígito, dos 48 bits do bloco X (D 0 ) com a chave K 1, temos a nova seqüência: X (D 0 ) + K 1 = Usaremos agora, as Caixas S Tabela 6 para comprimir a seqüência acima de 48 bits para 32 bits binários. Primeiramente, dividiremos a seqüência anterior em blocos de 6 bits obtendo: B 1 o primeiro bloco, B 2 o segundo bloco até o oitavo bloco: }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8. Os blocos B i serão reduzidos a quatro bits cada utilizando-se as Caixas S i do seguinte modo: O primeiro e último dígitos de B i formam, em decimal, um número x de 0 a 3, que corresponde a uma das quatro linhas de S i. Os quatro dígitos intermediários de B i formam, em decimal, um número y de 0 a 15, que corresponde a uma das 16 colunas de S i. Assim, localizamos o número s x,y na tabela S i. O número s é um número de 0 a 15, que em binário, corresponde a uma seqüência B i de quatro dígitos que será colocada no lugar de B i. Por exemplo, no primeiro bloco B 1 = , temos que o primeiro e o último dígitos, 0 e 1, formam o número binário 01, que em decimal é o número 1, ou seja, temos a segunda linha de S 1. Os quatro dígitos do meio de B 1 formam o número binário 0101, que em decimal é o número 5, que corresponde à sexta coluna de S 1. Logo, localizamos s x,y = 3 1,5, ou seja, s = 3, que em binário é Assim B 1 = é substituído por B 1 = De modo analógo para o restante dos blocos vamos obter: B 2 = 1001, B 3 = 1101, B 4 = 1010, B 5 = 0100, B 6 = 0101, B 7 = 0110, B 8 = Juntando todos os blocos B i, para i = 1, 2,...8, em uma só seqüência obtemos: S = Usando a Tabela 5, fazemos uma nova permutação da seqüência acima à semelhança da que fizemos na seqüência (1) a qual chamaremos de P (S): P (S) = Fazendo a soma binária de E 0 + P (S) temos: D 1 = E 0 + P (S) = Juntando, respectivamente, as seqüências D 0 e D 1 temos: N 1 =

6 S1 10,0 120,1 90,2 50,3 100,4 150,5 60,6 20,7 80,8 110,9 40,10 140,11 70,12 120,13 130,14 20,15 71,0 101,1 21,2 61,3 141,4 31,5 111,6 91,7 151,8 01,9 41,10 121,11 11,12 51,13 31,14 131,15 92,0 02,1 152,2 12,3 22,4 102,5 32,6 112,7 42,8 52,9 132,10 62,11 122,12 72,13 142,14 82,15 03,0 93,1 23,2 123,3 103,4 83,5 153,6 33,7 73,8 113,9 63,10 13,11 43,12 133,13 53,14 143,15 S2 10,0 100,1 110,2 70,3 20,4 140,5 80,6 150,7 60,8 90,9 120,10 00,11 50,12 30,13 130,14 40,15 71,0 101,1 01,2 51,3 61,4 11,5 111,6 21,7 131,8 121,9 31,10 81,11 141,12 91,13 41,14 151,15 142,0 52,1 72,2 112,3 132,4 02,5 22,6 82,7 102,8 12,9 42,10 152,11 32,12 62,13 92,14 122,15 83,0 23,1 143,2 93,3 153,4 53,5 63,6 113,7 73,8 123,9 13,10 03,11 43,12 143,13 103,14 33,15 S3 00,0 90,1 40,2 20,3 110,4 70,5 10,6 120,7 130,8 60,9 140,10 80,11 50,12 30,13 100,14 150,15 41,0 21,1 91,2 31,3 51,4 131,5 141,6 61,7 151,8 111,9 11,10 71,11 101,12 121,13 81,14 01,15 12,0 122,1 72,2 102,3 42,4 152,5 92,6 62,7 32,8 82,9 132,10 112,11 02,12 142,13 22,14 52,15 143,0 53,1 103,2 23,3 83,4 93,5 03,6 113,7 123,8 33,9 13,10 63,11 153,12 73,13 43,14 133,15 S4 90,0 140,1 00,2 130,3 150,4 30,5 50,6 80,7 60,8 110,9 100,10 70,11 10,12 40,13 120,14 20,15 61,0 81,1 91,2 31,3 101,4 151,5 01,6 51,7 11,8 131,9 71,10 41,11 121,12 21,13 111,14 141,15 142,0 02,1 32,2 62,3 52,4 122,5 92,6 152,7 82,8 72,9 132,10 102,11 112,12 12,13 22,14 42,15 133,0 33,1 153,2 03,3 13,4 93,5 143,6 83,7 103,8 43,9 53,10 63,11 73,12 123,13 23,14 113,15 Tabela 6: Caixas S (primeira parte). 6

7 S5 60,0 80,1 20,2 120,3 30,4 70,5 00,6 150,7 90,8 10,9 110,10 40,11 140,12 50,13 130,14 100,15 141,0 121,1 01,2 21,3 61,4 111,5 41,6 81,7 101,8 91,9 51,10 151,11 71,12 31,13 11,14 131,15 02,0 42,1 102,2 52,3 132,4 62,5 152,6 22,7 72,8 122,9 32,10 142,11 82,12 112,13 92,14 152,15 153,0 113,1 43,2 83,3 133,4 63,5 03,6 123,7 53,8 143,9 23,10 93,11 13,12 33,13 103,14 73,15 S6 70,0 120,1 00,2 50,3 140,4 30,5 90,6 100,7 10,8 11 0,9 150,10 60,11 40,12 80,13 20,14 130,15 21,0 91,1 141,2 01,3 111,4 61,5 51,6 121,7 41,8 71,9 31,10 101,11 81,12 131,13 151,14 11,15 82,0 52,1 32,2 152,3 132,4 102,5 62,6 02,7 22,8 142,9 122,10 92,11 12,12 42,13 112,14 72,15 113,0 63,1 53,2 33,3 03,4 93,5 123,6 153,7 133,8 83,9 103,10 43,11 143,12 73,13 13,14 23,15 S7 100,0 60,1 90,2 130,3 50,4 40,5 140,6 00,7 80,8 10,9 110,10 70,11 150,12 120,13 20,14 30,15 21,0 121,1 01,2 31,3 101,4 141,5 41,6 131,7 91,8 111,9 61,10 151,11 11,12 51,13 71,14 81,15 02,0 72,1 132,2 82,3 62,4 12,5 92,6 32,7 102,8 22,9 142,10 42,11 52,12 152,13 112,14 122,15 153,0 33,1 103,2 23,3 83,4 93,5 43,6 143,7 53,8 123,9 73,10 13,11 113,12 03,13 133,14 63,15 S8 150,0 120,1 80,2 20,3 40,4 90,5 10,6 70,7 50,8 110,9 30,10 140,11 100,12 00,13 60,14 130,15 101,0 61,1 91,2 01,3 121,4 111,5 71,6 131,7 151,8 11,9 31,10 141,11 51,12 21,13 81,14 41,15 12,0 42,1 112,2 132,3 122,4 32,5 72,6 142,7 102,8 152,9 62,10 82,11 02,12 52,13 92,14 22,15 133,0 23,1 83,2 43,3 63,4 153,5 113,6 13,7 103,8 93,9 33,10 143,11 53,12 03,13 123,14 73,15 Tabela 6: Caixas S (segunda parte). 7

8 Aplicando a troca T dos blocos de 32 dígitos dos lados esquerdo e direito temos: T (N 1 ) = N 1 = Para finalizar a criptografia vamos utilizar a Tabela 3 e aplicar a permutação I 1 na seqüencia anterior: C = I 1 (N 1) = Logo essa seqüencia, é a mensagem criptografada. Assim o emissor A envia essa mensagem para o receptor B. Para o deciframento, a seqüência recebida o receptor B deverá proceder de modo análogo ao processo de criframento. O receptor B aplicará a função I a partir da Tabela 2, que é a primeira fase, e obterá a seqüência a seguir: I (C) = Separando a seqüência anterior em blocos de 32 bits, obtemos dois blocos. Chamaremos os primeiros 32 bits de bloco da esquerda, que denotaremos por E 0 e os outros 32 bits restantes de bloco da direita, que será denotado por D 0 : E 0 = D 0 = Para o bloco D 0 faremos a expansão usando a Tabela 4. Assim, a seqüência de 32 bits será transformada em uma nova seqüência com 48 bits: X (C) = Usando a mesma chave K 1 de 48 bits que usamos para cifrar a mensagem, dada a seguir: K 1 = Fazemos a soma binária desses 48 bits com o bloco da direita D 0 e obtemos uma nova seqüência: X (C) + K 1 = Utilizando a Tabela 6, das Caixas S, e fazendo os mesmos procedimentos adotados no ciframento, separemos a seqüência em blocos de 6 bits: B 1 = B 2 = B 3 = B 4 = B 5 = B 6 = B 7 = B 8 = Teremos a seguinte redução de 6 bits para 4 bits dada a seguir: B 1 = 0011, B 2 = 1001, B 3 = 1101, B 4 = 1010, B 5 = 0100, B 6 = 0101, B 7 = 0110, B 8 = Juntando todos os blocos B i, para i = 1, 2,...8, em uma só seqüência obtemos: S =

9 Usando a Tabela 5, da função permutação, na seqüência acima obtemos a seqüência a seguir no qual chamaremos de D 1 : P (S) = Fazendo a soma binária de E 0 + P (S) temos: D 1 = E 0 + P (S) = Juntando, respectivamente, as seqüências D 0 e D 1 temos: N 1 = Aplicando T : T (N 1 ) = N 1 = Para finalizar o deciframento vamos utilizar a Tabela 3 e aplicar a função I 1 seqüência anterior chegando em: na M = I 1 (N 1) = Logo, essa seqüência, é a mensagem decifrada. Ou seja, separando essa seqüência em blocos de 6 bits e passando para a base decimal, obtemos os números: , que corresponde a mensagem original F AM AT Nesse exemplo, para simplificar, usamos uma única rodada, mas isso é inseguro. Para oferecer maior segurança e resistência à criptoanálise o ideal é que se realizem várias rodadas, no caso 16 rodadas é o tamanho típico para a criptografia DES. Observação: Tipicamente, na criptografia DES, há um procedimento algoritmo de geração das chaves K 1,..., K 16 a partir de uma única chave K fornecida pelos comunicantes. Neste trabalho não abordamos tal algoritmo. No entanto, o leitor interessado pode encontrá-lo em [6]. 5. CONCLUSÕES Embora o algoritmo de ciframento e deciframento do sistema criptográfico DES seja interessante e simples do ponto de vista matemático, ele não se mostra muito atrativo quando comparado com os sistemas criptográficos assimétricos (cujo algoritmo de ciframento é diferente do algoritmo de deciframento) que utilizam congruências como base matemática. É indiscutivelmente mais simples de armazenar apenas alguns números primos e o programa computacional oriúndo do algoritmo da criptografia, do que, além do algoritmo, ter que armazenar imensas tabelas de funções discretas. 6. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem à FAPEMIG - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais - pela concessão da bolsa de iniciação científica de março de 2008 a fevereiro de 2009, bem como à Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação da Universidade Federal de Uberlândia pelo gerenciamento da mesma. 9

10 7. REFERÊNCIAS [1] Coutinho, S. C. Números Inteiros e Criptografia RSA. Rio de Janeiro, RJ: IMPA - SBM. Série de Computação e Matemática [2] Lucchesi, C. L. Introdução à Criptografia Computacional. Campinas-SP: Editora da Unicamp [3] Mollin, R. A. An Introduction to Cryptography. New York: Chapman & Hall [4] Rivest, M,; Shamir, A. & Adleman, L. A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems. Comm. ACM, 21 (1978), [5] Singh, S. O Livro dos Códigos. Rio de Janeiro: Editora Record [6] Stallings, W. Criptografia e Segurança de Redes. 4 a. ed. São Paulo: Peason Prentice Hall O SISTEMA CRIPTOGRÁFICO D.E.S. - DATA ENCRYPTION STANDARD Adriele Giaretta Biase 1 Faculty of Mathematics - Federal University of Uberlandia, MG Av. Joao Naves de Avila, 2121, Bloco 1F, Santa Monica, Uberlandia, MG, CEP adrielegbiase@yahoo.com.br Edson Agustini 2 agustini@ufu.br Resumo: In this article we show a study of the DES - Data Encryption Standard - cryptographic system, which is used in protection of messages and secret information. In order to develop this cryptographic system, discrete functions properties are considered in table forms. A full example of ciphering and deciphering of a message by DES cryptographic system is presented. Finally, some concluding remarks are presented. Key-words: DES cryptographic system, ciphering, deciphering, discrete function, algorithm. 1 Acadêmica do curso de Licenciatura em Matemática. 2 Orientador. 10