METAHEURÍSTICAS HÍBRIDAS PARA O PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE COM COLETA DE PRÊMIOS

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1 METAHEURÍSTICAS HÍBRIDAS PARA O PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE COM COLETA DE PRÊMIOS Valdir A. Melo, Carlos A. Martinhon Departamento de Ciência da Computação / Instituto de Computação Universidade Federal Fluminense (UFF) Rua Passo da Pátria 156, São Domingos, Niterói, RJ, , Brasil spiff_rj@yahoo.com, mart@dcc.ic.uff.br Resumo: O Problema do Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios (PCVCP) é uma generalização do Problema do Caixeiro Viajante. Pode ser associado a um caixeiro viajante que coleta um premio não negativo, em cada cidade que ele visita e paga uma penalidade para cada cidade que não visita, com um custo de deslocamento entre as cidades. O problema encontra-se em minimizar o somatório dos custos da viagem e penalidades, enquanto inclui na sua rota um número suficiente de cidades que o permitam coletar um prêmio preestabelecido. Este trabalho introduz o conceito de distribuição de soluções progressivas (GRASP-Progressivo) como fase de construção para metaheurísticas híbridas, que combinam o GRASP e o VNS, para solucionar aproximadamente o PCVCP. Palavras-Chaves: Otimização Combinatória, Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios, GRASP, VNS, GRASP-Progressivo. Abstract: The Prize-Collecting Traveling Salesman Problem (PCTSP) is a generalization of Traveling Salesman Problem. In PCTSP, we have to determine a tour visiting each vertex in the graph at most one time. If a given vertex is selected then an associated prize is collected, if a vertex is unrouted a penalty must be paid. We want to minimize an objective function balancing between the travel cost and the total penalties in a such way that a sufficiently large prize is collected. In this work we present a progressive solutions distribution (Progressive GRASP) as a construction phase and a hybrid metaheuristic that combines Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP) and Variable Neighborhood Search (VNS) procedure to solve a generalized version of the Prize-Collecting Traveling Salesman Problem. Key words: Combinatorial Optimization, Prize-Collecting Traveling Salesman Problem, GRASP, VNS, Progressive GRASP. 1 Introdução Escolheu-se o PCVCP, pois pelo que é de conhecimento até o momento, poucos são os trabalhos relacionados a este problema, que é de fácil adaptação a situações da vida real. Em linhas gerais, pode ser descrito como um universo de clientes em potencial, onde existe associado a cada cliente, quando não for atendido, uma penalidade pela expectativa de crescimento ou importância, e quando este for atendido, um ganho relativo. Deseja-se a partir de uma origem, montar um percurso contendo alguns clientes visitados uma única vez e retornando ao ponto de partida, minimizar o custo da distância total percorrida e soma das penalidades, garantindo um ganho mínimo que justifique o investimento. O PCVCP foi formulado inicialmente em 1985, por Balas [01] como um modelo para a programação da operação diária de uma fábrica que produzia lâminas de aço. Por razões que tinham a ver com o desgaste dos rolos e também por outros fatores, a seqüência na ordem do processamento era essencial. A programação consistia na escolha de um número de lâminas associadas às suas ordens de execução, que satisfizessem o limite inferior do peso total, e que ordenadas numa seqüência apropriada, minimizasse a função de seqüência. As tarefas de escolha das lâminas e das opções

2 disponíveis para o seu seqüenciamento, necessitavam ser resolvidas em conjunto. Chamado então de Prize Collecting Traveling Salesman Problem, ou seja, Problema do Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios, serviu como base para o desenvolvimento de um software, implementado por Balas e Martin [02] no ano de 1986, que utilizava a combinação de várias heurísticas para encontrar soluções próximas do ótimo local, organizando-as em programações diárias. Um grande número de problemas de roteamento e planejamento podem ser formulados como uma generalização do Problema do Caixeiro Viajante. Neste caso, o PCVCP pode ser associado a um caixeiro viajante que coleta um prêmio w k, não negativo, em cada cidade k que ele visita e paga uma penalidade p l para cada cidade l que não visita, com um custo c ij de deslocamento entre as cidades i e j. O problema encontra-se em minimizar o somatório dos custos da viagem e penalidades, enquanto inclui na sua rota um numero suficiente de cidades que o permitam coletar um prêmio mínimo, w 0, preestabelecido. Caso o valor de w 0 seja igual ao somatório de todos os prêmios w k, para cada cidade k, teremos o Problema do Caixeiro Viajante, conhecido na literatura como Traveling Salesman Problem (TSP), o que nos faz considerar o PCVCP como NP-difícil. Para resolver o PCVCP, faz-se uso de conceitos de metaheurísticas mais recentes, que tem se destacado na solução de problemas altamente combinatórios pelos seus resultados obtidos em diversas aplicações, tais como: Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP) [03] e Variable Neighborhood Search (VNS) [04]. Há, certamente, outras metaheurísticas que poderiam ser empregadas, mas preferiu-se selecionar o GRASP e o VNS, tendo em vista o número não extenso de trabalhos desenvolvidos. Foge ao seu escopo, qualquer comparação entre as metaheurísticas escolhidas e as não utilizadas. Este trabalho está organizado da seguinte forma: na Seção 2, faz-se uma resenha da literatura, na Seção, 3 uma abordagem sucinta das metaheurísticas que serão utilizadas nos algoritmos propostos. Na Seção 4, apresenta-se os algoritmos propostos para a fase de construção e na Seção 5, algoritmos propostos para a fase de busca local. Na Seção 6 os resultados dos testes computacionais. Na Seção 7, encontram-se as conclusões deste trabalho, na Seção 8, nossos agradecimentos e na última Seção, as referências bibliográficas. 2 Resenha da Literatura Podemos citar como problemas análogos ao PCVCP o Selective Traveling Salesman Problem [05], que também possui um prêmio w k, não negativo, associado a cada vértice k do grafo e consiste na construção de uma rota através de um subconjunto destes vértices, mas que busca a maximização total de prêmios coletados pela rota, cujo comprimento total não deve exceder a certo valor R, e o Generalized Traveling Salesman Problem [05], onde dado um conjunto de cidades separadas em grupos, deseja-se encontrar a menor rota parcial através de pelo menos uma cidade em cada agrupamento. Mesmo existindo grande aplicabilidade para problemas do mundo real, pouca atenção tem sido atribuída ao PCVCP, desde que foi introduzido em Por exemplo, em 1992, Goemans e Willianson [06], desenvolveram um procedimento de 2-approximation para uma versão do PCVCP no qual o prêmio mínimo a ser coletado foi removido e o objetivo passou a ser simplesmente minimizar o custo da rota. Em 1994, Dell Amico et al. [07], propuseram o uso da relaxação lagrangeana para solucionar a ordem de visitas a clientes de uma empresa num determinado período, cujo objetivo era maximizar o total de valor das solicitações dos clientes menos o custo de deslocamento e venda, estando sujeitos a restrições de tempo. O limite inferior era obtido primeiro removendo as restrições de conectividade, obtendo um problema de associação com restrições de tempo; e depois, através da relaxação lagrangeana, movendo as restrições de tempo para a função objetivo. 1296

3 Para aproximar o PCVCP de Balas, Awerbuch et al. [08], em 1995, desenvolveram o primeiro algoritmo de aproximação para o PCVCP possuindo um desempenho polilogaritmo. Também na literatura, encontramos a Coleta de Prêmios associada ao problema da árvore de Steiner em Grafos, onde uma destas formas foi descrita no desenho de redes locais por Canuto et al. [10], de modo a equilibrar a receita potencial que pode ser obtida através do oferecimento de serviços aos consumidores e o custo em construí-las. Neste tipo de aplicação, seria construída uma rede de fibra ótica que oferece serviço local aos consumidores. Em 2000, Martinhon et al. [11], desenvolveram um trabalho que utiliza metaheurísticas híbridas para o PCVCP, no caso, o GRASP associado ao VNS. Nele, também foi investigado o uso de filtragem na fase de construção, ou seja a utilização de soluções elites, bem como a adoção, no VNS, de estruturas de vizinhança baseadas na troca de nós (inserções e remoções) e troca de arestas. 3.1 Greedy Randomized Adaptive Search Procedures - GRASP Proposta em 1995, por Tom Feo e Maurício Resende [03], pode ser visto como uma metaheurística que se utiliza das boas características dos algoritmos puramente gulosos e dos procedimentos aleatórios na fase de construção de soluções viáveis. o GRASP é um processo iterativo, no qual cada iteração consiste em duas fases distintas, a fase de construção, onde uma solução viável é construída, e a fase de busca local, onde um ótimo local na vizinhança da solução inicial construída é encontrado e, se necessário, é feita a atualização da melhor solução encontrada até o momento. Na fase de construção, a geração da solução viável é construída iterativamente, um elemento por vez. A cada iteração, o próximo elemento a ser adicionado é determinado pela ordenação de todos os elementos numa lista de candidatos C, isto é, todos que podem ser adicionados a solução, respeitando uma função gulosa g : C R. Esta função estima os benefícios na escolha de cada elemento. A heurística é adaptativa, por que os benefícios associados a cada elemento, são atualizados a cada iteração da fase de construção e refletem nas mudanças trazidas através da seleção do elemento anterior. O componente probabilístico do GRASP é caracterizado pela escolha aleatória de um dos melhores candidatos da lista, não necessariamente do melhor. A lista dos melhores candidatos é chamada de Restricted Candidate List (RCL), isto é, Lista Restrita de Candidatos. Como no caso de vários métodos de construção, as soluções geradas a partir da fase de construção do GRASP não garantem alcançar um ótimo local. Por isso é quase sempre benéfico aplicar uma busca local na tentativa de melhorar cada solução construída. O algoritmo de busca local trabalha de uma maneira iterativa, através de sucessivas trocas na solução corrente por uma solução melhor na sua vizinhança. Esta termina, quando nenhuma solução melhor é encontrada na vizinhança. 3.2 Variable Neighborhood Search - VNS Em 1997, Hansen e Mladenovic [04], propuseram uma metaheurística que se baseia em uma sistemática troca de vizinhança, associada a um algoritmo aleatório na determinação de pontos iniciais da busca local, chamada de Busca em vizinhança Variável, conhecida na literatura como Variable Neighborhood Search (VNS). Contrariamente a outras metaheurísticas baseadas em métodos de busca local, VNS não segue uma trajetória, mas explora incrementalmente vizinhanças distantes da solução corrente, indo da solução atual para a nova, se e somente se, uma melhora possa ser realizada. Desta maneira, freqüentes características da solução atual são guardadas e utilizadas para a obtenção de soluções vizinhas promissoras, o que não ocorre com as heurísticas que utilizam apenas uma única estrutura de vizinhança, pois restringem a qualidade da heurística e, caso a estrutura escolhida não seja adequada, a qualidade das soluções obtidas pode ser comprometida. 1297

4 Em 1998, Hansen e Mladenovic [11], propuseram uma variação do VNS, que foi denominada de Variable Neighborhood Descent (VND), ou seja, máxima Descida em Vizinhanças Variáveis. Justifica-se pelo fato de que um ótimo local dentro de uma vizinhança não necessariamente fique contido em outra vizinhança. Na prática, as mudanças de estrutura de vizinhança somente ocorrem quando não há melhora na função objetivo, caso contrário, permanece-se na estrutura de vizinhança atual, não havendo retorno a primeira estrutura como no VNS. A idéia de permanecer numa estrutura de vizinhança enquanto esta trouxer melhora, em alguns casos pode ser crucial. Todas as vizinhanças serão verificadas incrementalmente, e após analisada a última, ocorre o critério de parada. 4.1 Algoritmo Proposto de Construção GRASP-Progressivo Para o problema em estudo, considera-se a distância entre dois vértices simétrica, ou seja, c ij = c ji. Será utilizado uma matriz de distâncias, com uma estrutura de dados que considera apenas a parte diagonal inferior. A métrica utilizada será a distância euclidiana. Para os casos onde i = j, será considerado sempre o valor c ij = 0. A qualidade da solução inicial é de grande importância, uma vez que bons pontos de partida permitem acelerar a busca local. Considerando a principal característica do problema em estudo, procura-se compor um rota parcial, garantindo que o somatório dos prêmios coletados seja maior ou igual ao prêmio mínimo exigido, para tal, os cálculos para inserção de um vértice propostos a seguir, baseiam-se no Método das Economias, conhecido na literatura como Savings, originalmente proposto por Clarke e Wright [12] para o Problema de Roteamento de Veículos e utilizado posteriormente, em 1981, por Golden et al. [13]. Segundo Resende [14], mesmo que formalmente seja difícil analisar a qualidade das soluções encontradas, contudo, existe uma justificativa intuitiva de que a cada iteração, o GRASP produz soluções a partir da distribuição dos resultados obtidos durante o processamento. O valor e a variância desta distribuição são funções da natureza restritiva da lista de candidatos. Por exemplo, se a cardinalidade da RCL (Lista Restrita de Candidatos) for limitada apenas a um elemento α = 0, somente uma solução será produzida e a variância da distribuição será zero, gerando uma função efetivamente gulosa, cuja solução poderá ser boa, mas provavelmente um subótimo. Se o limite da cardinalidade for menos restritivo α [(0,1]), muitas soluções diferentes serão produzidas, sugerindo uma variância maior, e conforme discutido por Feo e Resende [03], valores de α muito próximos da escolha gulosa, implicarão em soluções de qualidade muito próxima daquela puramente gulosa, com um esforço computacional proporcionalmente maior, mas com uma pequena diversidade de soluções construídas. Já uma escolha de α próxima da solução aleatória (α = 1), leva a uma grande diversidade de soluções construídas, porém muitas destas soluções terão qualidade inferior, tornando mais lento o processo de busca local. Intuitivamente, porém, através de estatísticas e do fato de que as amostras são produzidas aleatoriamente, o melhor valor encontrado no GRASP supera o valor esperado de uma escolha puramente gulosa. O parâmetro α, que determina o tamanho da lista restrita de candidatos, e o número total de iterações, são basicamente os únicos parâmetros a serem ajustados na implementação de um procedimento GRASP. Feo e Resende [03] discutiram também o efeito do valor de α na qualidade da solução e na diversidade das soluções geradas durante a fase de construção, com o resultado apresentado para diferentes valores de cardinalidade. Prais e Ribeiro [15] constataram para os problemas de Decomposição de Matrizes, Recobrimento, MAXSAT com Pesos e Problemas de Planarização de Grafos, cujas descrições podem ser obtidas diretamente na referência, que o uso de uma valor fixo para o parâmetro α, frequentemente impede a construção de soluções de melhor qualidade, que poderiam ser obtidas utilizando-se outros valores para o parâmetro α. Decidiram investigar algumas estratégias de variação do parâmetro α ao longo das iterações do GRASP, 1298

5 estratégia conhecida como GRASP-Reativo, onde concluíram que as variações introduzem um maior grau de diversificação nas soluções construídas na primeira fase. Entretanto, levam em geral a maiores tempos de processamento, já que as soluções de qualidade inferior são construídas, o que torna mais lenta a busca local. Os resultados obtidos mostraram que a estratégia de se utilizar um valor fixo próximo da escolha gulosa para α em todas as iterações, produz resultados que são em média de boa qualidade, com esforço computacional reduzido em relação às demais estratégias. Porém, comparativamente com as estratégias onde se varia o valor de α nas iterações do GRASP, estas jamais conseguem superar as demais na qualidade das soluções obtidas, já que o grau de diversidade das soluções construídas é extremamente baixo. Também segundo Prais e Ribeiro [15], normalmente as aplicações de GRASP relatadas na literatura, utilizam sempre um único valor fixo para o parâmetro α durante a execução de todas as iterações do procedimento. Este valor fixo é simplesmente arbitrado ou resultante de um processo de calibragem para as instâncias do objeto de estudo, em geral próximo do valor correspondente a escolha puramente gulosa. O processo de calibragem, que além de dispendioso e exaustivo, está associado às instâncias consideradas. Com base nos resultados obtidos na literatura, resolvemos neste trabalho investir em uma nova abordagem, apostando em todas as variações para o parâmetro α, isto é, o parâmetro α começará com valor α = 0 indo até o valor α = 1, com variação de 0.1 a cada incremento. Um dificuldade foi definir qual seria o numero ideal de soluções para todo e qualquer, pois se este total de soluções for grande e conforme visto anteriormente, para as soluções muito próximas de α = 0, produzirão resultados com pouca variância, o que para pequenas instâncias, possivelmente acarretará em soluções repetidas. No caso do número de soluções for um valor pequeno, será pouco explorada a possibilidade de examinar regiões mais diversas, o que ocorre à medida que α tende a 1, mesmo que contemplando regiões de péssima qualidade, o que pode ser tratado posteriormente. Isto motivou, para fase de construção, uma proposta de distribuição que garantisse no mínimo uma solução para o α corrente, principalmente quando α = 0, e no máximo um número igual ao número de cidades, o que ocorre quando α = 1. Espera-se com isso, que a geração de um número maior de soluções distintas para cada variação de α, auxilie na convergência para regiões mais promissoras na fase da busca local. Uma maneira de se conseguir uma distribuição progressiva das soluções na fase de construção, seria a cada incremento de α, multiplicá-lo pelo número de cidades (α x Numero_Cidades). Descartou-se esta possibilidade, pois o número de soluções a cada novo α mostrou um crescimento muito agressivo, o que na prática favorecia apenas a diversidade, por acarretar uma variância grande. A fim de amenizar este crescimento linear, examinou-se a possibilidade da sua substituição por uma curva suave, onde foram feitos teste preliminares com os seguintes valores para α: α 2, α 3 e α 4. Dentre estes, optou-se pelo valor de referência α 3, pois comparativamente, em α 2, ter-se-ia uma concentração maior de valores próximos a α = 0, o que para estes casos ainda seria uma distribuição muito próxima da nossa idéia anterior. Também em valor relativo, o valor α 4 foi descartado por apresentar como principal característica, apenas uma grande variância, à medida que α tende a 1. A partir de tais afirmações, propomos o algoritmo de construção demonstrado na Figura 5.1, então chamado de construção GRASP com distribuição progressiva de soluções, referido neste trabalho como: GRASP-Progressivo (Progressive GRASP). No algoritmo GRASP-Progressivo, Figura 4.1, encontramos na linha 2 o laço mais externo, que é responsável pelo incremento a cada iteração de 0.1 de α, inicia com α = 0, indo até α = 1, inclusive. Após isto, o algoritmo calcula o número total de soluções para o α atual, considerando para o cálculo o máximo entre 1 e (α 3 * Numero_Cidades), garantindo pelo menos uma solução para o α atual. Na linha 4, existe outro laço, cuja função é a geração do número total de soluções viáveis para o α atual, 1299

6 utilizando-se o algoritmo básico de construção GRASP, descrito na Seção 3. O algoritmo termina quando forem geradas todas as soluções para as respectivas variações de α. Algoritmo GRASP-Progressivo(Numero_Cidades) 01. ƒ(r) = ; 02. Para ( α = 0; α <= 1; 0.1) 03. Total_Solucao = Maximo(1, (α 3 * Numero_Cidades)); 04. Para ( Solucao = 1; Solucao <= Total_Solucao ; Solução ++) 05. R = ; 06. Aplicar o procedimento de construção básica GRASP para obter um solução viável R; 07. Aplicar busca local GRASP em R gerando uma nova solução R ; 08 Se (ƒ(r ) < ƒ(r)) 09. R := R ; fim Se fim Para fim Para 10. Retornar R; Figura 4.1: Algoritmo GRASP-Progressivo básico Outra característica importante do algoritmo proposto de construção GRASP-Progressivo é que o total geral de soluções viáveis geradas, se adapta à quantidade de vértices de cada instância. 4.2 Algoritmos Propostos de Busca Local Os resultados obtidos através dos algoritmos de construção, não garantem necessariamente a obtenção de um ótimo local, por isso, é sempre benéfica à fase de busca local, que por ser um procedimento de refinamento, procura uma melhoria na qualidade das soluções obtidas na fase de construção, o que geralmente envolve um grande gasto computacional Algoritmos Add_Drop Estes algoritmos baseiam-se nos critérios de inserção e remoção de vértices. Funcionando de maneira iterativa, através de sucessivas tentativas de troca da solução corrente por uma solução melhor na sua vizinhança, o que é conseguido através de uma ou mais inserções seguida de uma ou mais remoções, conforme mostrado a seguir: SeqAdd as inserções ocorrerão enquanto houver redução no valor da função objetivo; 1Add ocorrerá sempre uma inserção, independente de existir melhora ou não no valor da função objetivo; SeqDrop as remoções ocorrerão enquanto houver redução no valor da função objetivo; 1Drop ocorrerá sempre uma remoção, independente de existir melhora ou não no valor da função objetivo. As variações criadas a partir dos parâmetros acima permitem a criação das seguintes estruturas de vizinhança: SeqAdd_SeqDrop, SeqAdd_1Drop, 1Add_SeqDrop e 1Add_1Drop. 1300

7 4.2.2 Algoritmos Drop_Add Estes algoritmos também se baseiam nos critérios de remoção e inserção de vértices vistos anteriormente. Funcionando de maneira análoga algoritmo de busca local Add_Drop, através de sucessivas tentativas de troca da solução corrente por uma solução melhor na sua vizinhança, o que é conseguido através de uma ou mais remoções seguida de uma ou mais inserções. Também faz uso dos tipos de movimentos: SeqAdd, 1Add, SeqDrop e 1Drop, vistos previamente, não permitindo que o prêmio coletado seja menor que o prêmio mínimo preestabelecido. As variações criadas a partir dos parâmetros acima permitem a criação das seguintes estruturas de vizinhança: SeqDrop_SeqAdd, SeqDrop_1Add, 1Drop_SeqAdd e 1Drop_1Add Algoritmo 3-Optimal Executada a fase de construção, o desejo agora é que definidas as cidades, seja possível conseguir uma melhora na função objetivo, através da tentativa de mudança na sua ordem de visitas, o que será conseguido realizando-se possíveis trocas das suas arestas. Para tal, usaremos a heurística 3-Optimal, descrita inicialmente por Steiglitz e Weiner [16] Algoritmo VNS A qualidade das soluções obtidas nos procedimentos que utilizam apenas uma única estrutura de vizinhança pode ser comprometida se a estrutura escolhida não for adequada. Visando verificar o desempenho de procedimentos que fazem uso de várias estruturas de vizinhança, resolveu-se utilizar o VNS aplicados ao nosso problema em estudo. A principal característica do VNS, é que a cada melhora obtida na estrutura de vizinhança atual, retorna-se a primeira vizinhança, caso contrário, passa-se para a próxima vizinhança, até chegar à última estrutura, o que após sua verificação, encerra-se a busca local lgoritmo VND A principal característica do VND, e que difere do VNS, é que caso haja uma melhora na estrutura de vizinhança atual, permanece-se na mesma, caso contrário, passa-se para a próxima vizinhança, até chegar à última estrutura, o que após sua verificação, encerra-se a busca local. 5 Metaheurísticas Propostas A carência de métodos aproximados que solucionem instâncias de larga escala, tem conduzido pesquisas no desenvolvimento de métodos mais eficientes, o que justifica o uso das metaheurísticas. Para o PCVCP, apresenta-se uma metaheurística híbrida, ou seja, GRASP + VNS, onde a fase de construção baseia-se na heurística GRASP-Progressivo e a busca local, na metaheurística VNS. O número de vizinhanças para o VNS foi definido obtendo-se tipos de estruturas de vizinhanças distintas umas das outras, que o nosso problema em estudo, foi fixado um número máximo de estruturas de vizinhança igual a três. Em uma determinada estrutura de vizinhança, tem-se apenas troca de arestas (3-Optimal), em outro tipo, permitem-se inserções e remoções de vértices com uma piora no valor da função objetivo (1Add_1Drop e 1Drop_1Add) e por último, procura-se através de inserções e remoções de vértices apenas melhorar o valor da função objetivo (SeqDrop_SeqAdd, e SeqAdd_SeqDrop). Como justificativa para o número de vizinhanças, pode-se exemplificar a não utilização do algoritmo proposto Swap, que implica num procedimento ao mesmo tempo de remoção (drop) e de inserção 1301

8 (add), pois este ser um caso particular da estrutura de vizinhança 1Add_1Drop. Por sua vez, mesmo sendo a estrutura de vizinhança 1Add_1Drop um caso particular da estrutura de vizinhança SeqAdd_SeqDrop, explica-se o seu uso, por ela permitir um aumento no valor da função objetivo a um baixo custo computacional. Situação idêntica, ocorre entre as estruturas de vizinhança 1Drop_1Add e SeqDrop_SeqAdd. A tabela da Figura 5.1 relaciona às metaheurísticas que serão aplicadas ao PCVCP. Na primeira coluna, encontram-se às metaheurísticas utilizadas, bem como na última coluna, estão os procedimentos que farão parte da busca local A segunda coluna mostra o procedimento irá compor a fase de construção, onde em todos os casos, será utilizado o algoritmo GRASP-Progessivo. Para este algoritmo, bons resultados foram obtidos em testes preliminares, quando associados a uma filtragem. Metaheurística Construção Busca Local - VNS GraspVns-01 GRASP-Progressivo 3-Optimal - SeqAddSeqDrop - 1Drop1Add GraspVns-02 GRASP-Progressivo 3-Optimal - 1Drop1Add - SeqAddSeqDrop GraspVns-03 GRASP-Progressivo 1Drop1Add - 3-Optimal - SeqAddSeqDrop GraspVns-04 GRASP-Progressivo 1Drop1Add - SeqAddSeqDrop - 3-Optimal GraspVns-05 GRASP-Progressivo SeqAddSeqDrop - 1Drop1Add - 3-Optimal GraspVns-06 GRASP-Progressivo SeqAddSeqDrop - 3-Optimal - 1Drop1Add GraspVns-07 GRASP-Progressivo 3-Optimal - SeqDropSeqAdd - 1Add1Drop GraspVns-08 GRASP-Progressivo 3-Optimal - 1Add1Drop - SeqDropSeqAdd GraspVns-09 GRASP-Progressivo 1Add1Drop - 3-Optimal - SeqDropSeqAdd GraspVns-10 GRASP-Progressivo 1Add1Drop - SeqDropSeqAdd - 3-Optimal GraspVns-11 GRASP-Progressivo SeqDropSeqAdd - 1Add1Drop - 3-Optimal GraspVns-12 GRASP-Progressivo SeqDropSeqAdd - 3-Optimal - 1Add1Drop 6 Resultados Computacionais Figura 5.1: Versões de metaheurísticas propostas Embora seja um problema com inúmeras aplicações, o PCVCP é uma generalização do Problema do Caixeiro Viajante ainda pouco explorado pela literatura afim. Ao que é de nosso conhecimento, dos poucos trabalhos associados ao PCVCP, não existe nenhuma biblioteca pública de problemas testes. Neste trabalho, utilizaremos instâncias de um outro trabalho desenvolvido recente por Martinhon et al. [11], cujas principais características encontram-se na Tabela da Figura 8.1. Cada instância foi testada nas 12 versões da tabela da Figura 6.1. Para cada combinação possível, instância x versão de metaheurística, foram realizados 10 testes, cujo critério de parada foi por número de iterações. Todos os algoritmos foram implementados na linguagem C e os testes computacionais foram realizados sob o Sistema Operacional Linux, num microcomputador com processador Pentium III de 733 Mhz e 128 Mb de memória RAM. Instância pc50a pc50b pc50c pc50d pc69a pc75a pc75b pc100 pc120a pc130 V Pr Min Figura 6.1: Instâncias utilizadas de Martinhon et al. Após a realização dos testes, verificou-se para as instâncias consideradas, que a metaheurística GraspVns-12, que possui as seguintes estruturas de vizinhança: SeqDropSeqAdd 3Optimal 1302

9 1Add1Drop, apresentou o melhor desempenho médio entre as 12 metaheurísticas proposta. De posse dessa informação, utilizamos as estruturas de vizinhança do GraspVns-12, com o mesmo conjunto de instâncias, para a realização dos testes com os seguintes algoritmos propostos: ApenasVns Deseja-se verificar a qualidade das soluções encontradas quando não se é utilizado uma metaheurística híbrida, no caso o GRASP associado ao VNS. Para tal, a fase de construção foi obtida de maneira totalmente aleatória; GraspVns-TP A intenção é observar o comportamento da heurística, permanecendo na busca local, enquanto um tempo máximo de uso de cpu, não for alcançado; GraspVnd A idéia é observar o desempenho do VND para o PCVCP, aplicado apenas a melhor versão média do GRASP+VNS; GraspVns-SF Mesmo observando os bons resultados médios obtidos nas versões propostas que se utilizam da filtragem na fase de construção, procurou-se validar a proposta básica da distribuição progressiva das soluções (GRASP-Progressivo) sem filtragem, onde cada solução viável gerada na fase de construção é utilizada na busca local. A seguir, na Figura 6.2, mostra-se um comparativo do erro médio das metaheurísticas propostas acima. Estas, encontram-se numeradas no eixo X. Os valores relativos ao erro médio compõem o eixo Y. 0,0120 Erro médio 0,0100 0,0080 0,0060 0,0040 0,0020 pc50 pc75a pc75b pc100a pc120a pc130a 0, GraspVns-12 ApenasVns GraspVns-TP GraspVnd GraspVns-SF Figura 6.2: Erro médio x tempo médio de cpu Notar que conforme dito anteriormente, as instâncias utilizadas foram as mesmas dos testes iniciais. Neste caso, a fim de melhorar a visualização, as instâncias pc50a, pc50b, pc50c e pc50d, formam os valores de pc50, obtidos através de média, já que o comportamento destes mostrou-se semelhante. Propositadamente, não utilizamos no gráfico da Figura 8.3 a instância pc69a, pois para esta instância, todos os testes convergiram para a melhor solução local, acarretando um erro médio nulo para todos os casos. Este fato, pode se justificado talvez pela boa distribuição das coordenadas e penalidades associadas a instância em questão. Considerando-se o gráfico visto na Figura 6.2, a metaheurística GraspVns-12, mostrou-se a de melhor resultado médio entre todas as metaheurísticas propostas. Pode-se notar que a versão ApenasVns, apresentou em sua grande maioria, os piores resultados médios. Observa-se a importância da qualidade das soluções iniciais para a busca local, já que todas as soluções iniciais desta metaheurística foram construídas de forma totalmente aleatória. A versão GraspVns-TP, não justificou o acréscimo de utilização de cpu e a versão GraspVnd, apresentou uma redução no tempo médio de execução, mas na média seu desempenho foi modesto. 1303

10 O desempenho obtido pela última versão de metaheurística GraspVns-SF contribuiu na verificação do benefício da utilização da filtragem na fase de construção, onde cada solução disponibilizada para a fase de busca local é escolhida a partir de um subconjunto de soluções, de onde se escolhe a que possui o menor valor da função objetivo. Atribui-se o aumentou do esforço computacional na fase de busca local, a qualidade inferior das soluções iniciais da versão GraspVns- SF em relação a versão de metaheurística GraspVns-12. 0,0060 0,0050 0,0040 0,0030 0,0020 0,0010 0, Erro Tempo Figura 6.3: Erro médio x tempo médio de cpu Na Figura 6.3, mostra-se um comparativo do erro médio versus o tempo médio de utilização de cpu das metaheurísticas propostas GraspVns-12, ApenasVns, GraspVns-TP, GraspVnd e GraspVns-SF para instâncias com até 130 cidades, encontrando-se numeradas no eixo X. Os valores relativos ao tempo foram ajustados para uma escala menor, possibilitando sua comparação com os valores do erro médio que compõem o eixo Y. Sua principal função é permitir uma análise de alternativas de utilização das versões quando o principal fator a ser considerado for o tempo de utilização de cpu. Novamente a metaheurística GraspVns-12, mostra-se como sendo a melhor relação erro médio x tempo médio de cpu entre todas as metaheurísticas propostas. A metaheurística com o pior aproveitamento foi a ApenasVns, apresentando um erro médio com o dobro do valor visto na melhor versão. 7 Conclusões Apresenta-se neste trabalho algumas contribuições para o Problema do Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios, fazendo uso de metaheuristicas híbridas, onde se associa o GRASP ao VNS. Foram verificadas diferentes versões tanto para a fase de construção quanto para a busca local. Através dos testes realizados, notou-se benefícios com sua utilização, já que foram combinados os pontos mais fortes de cada metaheurística. Os algoritmos metaheurísticos propostos apresentaram resultados médios promissores, principalmente os que utilizaram na fase de construção o procedimento proposto GRASP-Progressivo. Foi introduzido neste trabalho, mais precisamente na fase construção GRASP, o conceito de distribuição progressiva de soluções, referido também como GRASP-Progressivo. A idéia básica reside na variação do valor do parâmetro α, onde cada incremento do valor de α está associado a um aumento progressivo de soluções iniciais viáveis. Nosso sentimento era que a geração de um número maior de soluções distintas para cada variação de α, pudesse auxiliar na convergência para melhores regiões, facilitando assim, a fase da busca local. Nos testes realizados para o PCVCP, esta versão apresentou resultados médios promissores. 1304

11 Também foi notado que o uso de um subconjunto de soluções iniciais viáveis, de onde se escolhe a que possui o menor valor da função objetivo, chamado neste trabalho de filtragem, contribuiu significativamente na qualidade da busca local. 8 Agradecimentos Os autores agradecem ao Professor Dr. Luiz Satoru Ochi por sua contribuição na elaboração deste artigo. 9 Bibliografia [01] E. Balas, The Prize Collecting Salesman Problem, ORSA/TIMS (1985). [02] E. Balas and Martin, Roll-a-Round: Software Package for Scheduling the Rounds of a Rolling Mill, Copyright Balas and Martin Associates (1986). [03] M. G. C. Resende, and T. A. Feo, Greedy Randomized Adaptative Search Procedures, Journal of Global Optimization 6 (1995), [04] P. Hansen, and N. Mladenovic, Variable Neighborhood Search, Computers Operations Research 24 (1997), [05] G. Laporte and S. Martello, The Selective Traveling Salesman Problem, Discrete Appl. Math. 26 (1990), [06] M. Goemans, and D. Willianson, A General Approximation Tchnique for Constrained Forest Problems, In Proceedings of the 3rd Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (1992), [07] M. Dell'Amico, F. Maffioli, and P. Varbrand, On Prize-Collecting Tours and the Asymmetric Traveling Salesman Problem, Dipartamento di Elettronica Compu\-ters, Politecnico di Milano 53 (1994). [08] B. Awerbuch, Y. Azar, A. Blum, and S. Vempala, New Approximations Guarantees for minimum-weight k-trees and Prize-Collecting Salesman, In Proceedings of the 27th Annual ACM Symposium on Theory of Computing (1995), [09] S. A. Canuto, M. G. C. Resende, and C. C. Ribeiro, Local Search with pertubations for the Prize- Collecting Tree Problem in Graphs, Working Paper, DCS, Catholic University of Rio de Janeiro, (1999), [10] Carlos A. Martinhon, Leonardo M. Gomes, and Viviane B. Diniz, An Hybrid GRASP+VNS Metaheuristic for the Prize-Collecting Traveling Salesman Pro\-blem, Technical Report, Universidade Federal Fluminense, (2000), RT-06/00. [11] P. Hansen, N. Mladenovic and D. Perez-Brito, Variable Neighborhood Decomposition Search, GERAD (1998), G [12] G. Clarke and J. W. Wright, Scheduling of Vehicles from a Central Depot to a Number of Delivery Points, Operations Research 12 (1963), [13] B. Golden, L. Levy, and R. Dahl, Two Generalizations of Traveling Salesman Problem, OMEGA 9 (1981), [14] M. G. C. Resende, Greedy Randomized Adaptative Search Procedures (GRASP), Technical Report, AT&T Labs Research (1998), [15] M. Prais, and C. C. Ribeiro, Variação de Parâmetros em Procedimentos GRASP, Working Paper, DCS, Catholic University of Rio de Janeiro, (1999),

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